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Correcto Prisma hexagonal - un prisma, en cuyas bases hay dos hexágonos regulares, y todos caras laterales estrictamente perpendicular a estas bases.
- A B C D E F A1 B1 C1 D1 mi1 F1 - prisma hexagonal regular
- a- la longitud del lado de la base del prisma
- h- longitud costilla lateral prismas
- Sprincipal- el área de la base del prisma
- Slado.- el área de la cara lateral del prisma
- Scompleto es la superficie total del prisma
- Vprismas- el volumen del prisma
Área de la base del prisma
Las bases del prisma contienen hexágonos regulares con un lado a... Según las propiedades de un hexágono regular, el área de las bases del prisma es
Entonces el camino
Sprincipal= 3 3 √ 2 ⋅ a2
Por tanto, resulta que SA B C D E F= SA1 B1 C1 D1 mi1 F1 = 3 3 √ 2 ⋅ a2
Superficie total del prisma
El área de superficie total del prisma es la suma de las áreas de las caras laterales del prisma y las áreas de sus bases. Cada una de las caras laterales del prisma es un rectángulo con lados a y h... Por tanto, según las propiedades del rectángulo
S
lado.= una ⋅ hEl prisma tiene seis caras laterales y dos bases, por lo tanto, su área de superficie total es
Scompleto= 6 ⋅ Slado.+ 2 ⋅ Sprincipal= 6 ⋅ una ⋅ h + 2 ⋅ 3 3 √ 2 ⋅ a2
Volumen del prisma
El volumen de un prisma se calcula como el producto de su área de base por su altura. La altura de un prisma regular es cualquiera de sus nervios laterales, como un borde A A1 ... En la base de un prisma hexagonal regular hay un hexágono regular, cuyo área conocemos. Obtenemos
Vprismas= Sprincipal⋅ A A1 = 3 3 √ 2 ⋅ a2 ⋅ h
Hexágono regular en la base del prisma.
Considere un hexágono regular ABCDEF que se encuentra en la base del prisma.
Dibujamos los segmentos AD, BE y CF. Sea la intersección de estos segmentos el punto O.
Según las propiedades de un hexágono regular, los triángulos AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA son triángulos regulares. De ahí se sigue que
A O = O D = E O = O B = C O = O F = a
Dibuje el segmento AE, que se interseca con el segmento CF en el punto M. El triángulo AEO es isósceles, en él A O = O E = a, ∠ E O A = 120 ∘ ... Según las propiedades de un triángulo isósceles.
UNA E = una ⋅ 2 (1 - cos E O A)− − − − − − − − − − − − √ = 3 √ ⋅ un
Del mismo modo, llegamos a la conclusión de que UNA C = C E = 3 √ ⋅ un, F M = M O = 1 2 ⋅ un.
Encontramos mi A1
En un trianguloA E A1 :
- A A1 = h
- A E = 3 √ ⋅ un- como acabamos de descubrir
- ∠ E A A1 = 90 ∘
A E A1
mi A1 = A A2 1 + A mi2 − − − − − − − − − − √ = h2 + 3 ⋅ a2 − − − − − − − − √
Si h = a, entonces mi A1 = 2 ⋅ a
F B1
= A C1
= B D1
= C mi1
= D F1
=
h2
+
3
⋅
a2
−
−
−
−
−
−
−
−
√
.
En un triangulo SER B1 :
- B B1 = h
- B E = 2 ⋅ a- porque E O = O B = a
- ∠ E B B1 = 90 ∘ - según las propiedades del correcto centrifugado
Por tanto, resulta que el triángulo SER B1 rectangular. Según las propiedades de un triángulo rectángulo
mi B1 = B B2 1 + B mi2 − − − − − − − − − − √ = h2 + 4 ⋅ a2 − − − − − − − − √
Si h = a, entonces
mi B1 = 5 √ ⋅ un
Después de un razonamiento similar, encontramos que F C1
= A D1
= B mi1
= C F1
= D A1
=
h2
+
4
⋅
a2
−
−
−
−
−
−
−
−
√
.
Encontramos O F1
En un triangulo F O F1 :
- F F1 = h
- F O = a
- ∠ O F F1 = 90 ∘ - según las propiedades del prisma correcto
Por tanto, resulta que el triángulo F O F1 rectangular. Según las propiedades de un triángulo rectángulo
O F1 = F F2 1 + O F2 − − − − − − − − − − √ = h2 + a2 − − − − − − √
Si h = a, entonces
Los diferentes prismas no son iguales. Al mismo tiempo, tienen mucho en común. Para encontrar el área de la base de un prisma, debes averiguar qué tipo tiene.
Teoría general
Un prisma es cualquier poliedro cuyos lados tienen la forma de un paralelogramo. Además, cualquier poliedro puede aparecer en su base, desde un triángulo hasta un n-gon. Además, las bases del prisma son siempre iguales entre sí. Eso no se aplica a las caras laterales, pueden variar significativamente de tamaño.
Al resolver problemas, no solo se encuentra el área de la base del prisma. Puede ser necesario el conocimiento de la superficie lateral, es decir, todas las caras que no sean bases. Superficie completa ya habrá una unión de todas las caras que componen el prisma.
A veces, la altura aparece en las tareas. Es perpendicular a las bases. La diagonal de un poliedro es un segmento que conecta en pares dos vértices que no pertenecen a la misma cara.
Cabe señalar que el área de la base de un prisma recto o inclinado no depende del ángulo entre ellos y las caras laterales. Si tienen las mismas formas en los bordes superior e inferior, entonces sus áreas serán iguales.
Prisma triangular
Tiene en su base una figura con tres vértices, es decir, un triángulo. Se sabe que es diferente. Si entonces es suficiente recordar que su área está determinada por la mitad del producto de las piernas.
La notación matemática se ve así: S = ½ av.
Para averiguar el área de la base en vista general, te vendrán bien las fórmulas: Garza y aquella en la que se lleva la mitad del lado a la altura dibujada.
La primera fórmula debe escribirse así: S = √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Esta entrada contiene un semiperímetro (p), es decir, la suma de tres lados dividida por dos.
Segundo: S = ½ n a * a.
Si quieres conocer el área de la base prisma triangular, que es regular, entonces el triángulo resulta ser equilátero. Hay una fórmula para ello: S = ¼ a 2 * √3.
Prisma cuadrangular
Su base es cualquiera de los cuadrángulos conocidos. Puede ser un rectángulo o un cuadrado, un paralelepípedo o un rombo. En cada caso, para calcular el área de la base del prisma, necesitará una fórmula diferente.
Si la base es un rectángulo, entonces su área se determina de la siguiente manera: S = ab, donde a, b son los lados del rectángulo.
Cuando se trata de un prisma cuadrangular, el área de la base de un prisma regular se calcula usando la fórmula para un cuadrado. Porque es él quien resulta estar en el fondo. S = a 2.
En el caso de que la base sea un paralelepípedo, se necesitará la siguiente igualdad: S = a * na. Sucede que se dan el lado del paralelepípedo y una de las esquinas. Luego, para calcular la altura, necesitará usar una fórmula adicional: n a = b * sin A. Además, el ángulo A es adyacente al lado "b", y la altura es n a opuesta a este ángulo.
Si hay un rombo en la base del prisma, entonces se necesitará la misma fórmula para determinar su área que para el paralelogramo (ya que es su caso especial). Pero también puedes usar esto: S = ½ d 1 d 2. Aquí d 1 y d 2 son las dos diagonales del rombo.
Prisma pentagonal regular
Este caso implica dividir el polígono en triángulos, cuyas áreas son más fáciles de averiguar. Aunque sucede que las figuras pueden ser con diferente número de vértices.
Dado que la base del prisma es un pentágono regular, se puede dividir en cinco triángulos equiláteros. Entonces, el área de la base del prisma es igual al área de uno de esos triángulos (la fórmula se puede ver arriba), multiplicada por cinco.
Prisma hexagonal regular
Según el principio descrito para un prisma pentagonal, es posible dividir el hexágono base en 6 triángulos equiláteros. La fórmula para el área de la base de dicho prisma es similar a la anterior. Solo en él debe multiplicarse por seis.
La fórmula se verá así: S = 3/2 y 2 * √3.
Tareas
№ 1. Dada una recta correcta, su diagonal es de 22 cm, la altura del poliedro es de 14 cm, calcula el área de la base del prisma y toda la superficie.
Solución. La base del prisma es un cuadrado, pero se desconoce su lado. Puede encontrar su valor de la diagonal del cuadrado (x), que está relacionada con la diagonal del prisma (d) y su altura (h). x 2 = re 2 - norte 2. Por otro lado, este segmento "x" es una hipotenusa en un triángulo, cuyos catetos son iguales al lado del cuadrado. Es decir, x 2 = a 2 + a 2. Por tanto, resulta que a 2 = (d 2 - n 2) / 2.
Sustituye 22 en lugar de d, y reemplaza "n" con su valor - 14, entonces resulta que el lado del cuadrado mide 12 cm. Ahora solo averigua el área de la base: 12 * 12 = 144 cm 2 .
Para averiguar el área de toda la superficie, debe agregar el doble del área de la base y cuadriplicar el lado. Este último se puede encontrar fácilmente usando la fórmula para un rectángulo: multiplique la altura del poliedro por el lado de la base. Es decir, 14 y 12, este número será igual a 168 cm 2. La superficie total del prisma es de 960 cm 2.
Respuesta. El área de la base del prisma es de 144 cm 2. Toda la superficie es de 960 cm 2.
№ 2. Dana En la base hay un triángulo con un lado de 6 cm. En este caso, la diagonal de la cara lateral es de 10 cm. Calcula las áreas: base y superficie lateral.
Solución. Dado que el prisma es regular, su base es un triángulo equilátero. Por lo tanto, su área es igual a 6 al cuadrado, multiplicado por ¼ y la raíz cuadrada de 3. Un simple cálculo lleva al resultado: 9√3 cm 2. Ésta es el área de una base del prisma.
Todas las caras laterales son iguales y son rectángulos con lados de 6 y 10 cm. Para calcular sus áreas, basta con multiplicar estos números. Luego, multiplíquelos por tres, porque hay exactamente tantas caras laterales del prisma. Entonces, el área de la superficie lateral resulta ser una herida de 180 cm 2.
Respuesta.Áreas: base - 9√3 cm 2, superficie lateral del prisma - 180 cm 2.
Se pueden dibujar tres diagonales (A 1 E, A 1 D, A 1 C) de cada vértice del prisma, por ejemplo, del vértice A1 (Fig.).
Se proyectan sobre el plano ABCDEF por las diagonales de la base (AE, AD, AC). De los oblicuos A 1 E, A 1 D, A 1 C, el más grande es el que tiene la proyección más grande. Por lo tanto, la mayor de las tres diagonales tomadas es A 1 D (en el prisma también hay diagonales iguales a A 1 D, pero no hay grandes).
Desde el triángulo A 1 AD, donde ∠DA 1 A = α
y A 1 D = D
, encontramos H = AA 1 = D
porque α
,
AD = D
pecado α
.
El área de un triángulo equilátero AOB es igual a 1/4 AO 2 √3. Por eso,
S principal = 6 1/4 AO 2 √3 = 6 1/4 (АD / 2) 2 √3.
Volumen V = S H = 3√3 / 8 АD 2 АA 1
Respuesta: 3√ 3/8 D 3 pecado 2 α porque α .
Comentario ... Se puede construir un paralelogramo BCDO arbitrario para representar un hexágono regular (base de un prisma). Poniendo los segmentos OA = OD, OF = OC y OE = OB en las extensiones de las líneas DO, CO, BO, obtenemos el hexágono ABCDEF. El punto O representa el centro.
El sitio ya ha revisado algunos tipos de problemas de estereometría, que se incluyen en un único banco de tareas de exámenes de matemáticas.
Por ejemplo, tareas sobre.Un prisma se llama regular si sus lados laterales son perpendiculares a las bases y hay un polígono regular en las bases. Es decir prisma correcto Es un prisma recto con un polígono regular en su base.
Prisma hexagonal regular: en la base un hexágono regular, caras laterales: rectángulos.
En este artículo, para ti el problema de resolver un prisma, en la base del cual hay un hexágono regular
... No hay peculiaridades ni dificultades en la solución.¿Cuál es el punto de? Dado un prisma hexagonal regular, debe calcular la distancia entre dos vértices o encontrar un ángulo dado. Las tareas son realmente simples, al final la solución se reduce a encontrar el elemento en un triángulo rectángulo.Se utiliza el teorema de Pitágoras y. Se requiere conocimiento de las definiciones funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Asegúrese de consultar la información sobre el hexágono regular en formato.
La habilidad de extraer una gran cantidad de ellos también le resulta útil. Puedes resolver poliedros, también calcularon la distancia entre los vértices y los ángulos.En resumen: ¿qué es un hexágono regular?
.Se sabe que en un hexágono regular los lados son iguales. Además, los ángulos entre los lados también son iguales
* Los lados opuestos son paralelos.
información adicional
El radio de un círculo circunscrito a un hexágono regular es igual a su lado. * Esto se confirma de manera muy simple: si conectamos los vértices opuestos del hexágono, obtenemos seis triángulos equiláteros iguales. ¿Por qué equilátero?
Cada triángulo tiene un ángulo en su vértice que se encuentra en el centro es de 60 0 (360: 6 = 60). Dado que un triángulo tiene dos lados con un vértice común en el centro que son iguales (estos son los radios del círculo circunscrito), entonces cada ángulo en la base de dicho triángulo isósceles también es igual a 60 grados.
Es decir, un hexágono regular, en sentido figurado, consta, por así decirlo, de seis triángulos equiláteros iguales.
¿Qué otro dato útil para la resolución de problemas conviene señalar? El ángulo en el vértice del hexágono (el ángulo entre sus partidos vecinos) es igual a 120 grados.
* Deliberadamente no tocó las fórmulas del N-gon regular. Consideraremos estas fórmulas en detalle en el futuro, simplemente no son necesarias aquí.
Considere las tareas:
272533. En un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas las aristas son 48. Calcula la distancia entre los puntos A y E 1.
Considerar triángulo rectángulo Automóvil club británico 1 E 1 ... Por el teorema de Pitágoras:
* El ángulo entre los lados de un hexágono regular es de 120 grados.
Sección AE 1 es la hipotenusa, AA 1 y A 1 E 1 piernas. Costilla AA 1 sabemos. Cathet A 1 E 1 podemos encontrar usando using.
Teorema: El cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus otros dos lados sin el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos.
Por eso
Por el teorema de Pitágoras:
Respuesta: 96
* Tenga en cuenta que no es necesario cuadrar 48.
En un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas las aristas son 35. Calcula la distancia entre los puntos B y E.
Se dice que todas las aristas son iguales a 35, es decir, el lado del hexágono que está en la base es 35. Y además, como ya se mencionó, el radio del círculo circunscrito a su alrededor es igual al mismo número.
De este modo,
Respuesta: 70
273353. En un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas las aristas son iguales a cuarenta raíces de cinco. Encuentra la distancia entre puntos B y E 1.
Considere un triángulo rectángulo BB 1 E 1 ... Por el teorema de Pitágoras:
Sección B 1 E 1 es igual a dos radios de un círculo circunscrito alrededor de un hexágono regular, y su radio es igual al lado del hexágono, es decir
De este modo,
Respuesta: 200
273683. En un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas las aristas son iguales a 45. Halla la tangente del ángulo AD 1 D.
Considere un triángulo rectángulo ADD 1, en el que ANUNCIO es igual al diámetro de un círculo circunscrito alrededor de la base. Se sabe que el radio de un círculo circunscrito alrededor de un hexágono regular es igual a su lado.
De este modo,
Respuesta: 2
En un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas las aristas son iguales a 23. Halla el ángulo LENGUADO... Da tu respuesta en grados.
Considere un hexágono regular:
En él, los ángulos entre los lados son iguales a 120 °. Medio,
La longitud de la nervadura en sí no importa, no afecta el ángulo.
Respuesta: 60
En un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas las aristas son iguales a 10. Calcula el ángulo AC 1 C. Da tu respuesta en grados.
Considere un triángulo rectángulo AC 1 C:
Encontrar C.A.... En un hexágono regular, los ángulos entre sus lados son iguales a 120 grados, luego por el teorema del coseno para un triánguloA B C:
De este modo,
Por tanto, el ángulo AC 1 C es igual a 60 grados.
Respuesta: 60
274453. En un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas las aristas son iguales a 10. Calcula el ángulo AC 1 C. Da tu respuesta en grados.