noteiktais integrālis no nepārtrauktas funkcijas f(x) uz ierobežotu intervālu [ a, b] (kur ) ir dažu tā antiatvasinājumu pieaugums šajā segmentā. (Kopumā sapratne būs manāmi vieglāka, ja atkārtos nenoteiktā integrāļa tēmu) Šajā gadījumā apzīmējums
Kā redzams zemāk esošajos grafikos (antiderivatīvās funkcijas pieaugums ir norādīts ar ), Noteiktais integrālis var būt vai nu pozitīvs, vai negatīvs skaitlis (To aprēķina kā starpību starp antiatvasinājuma vērtību augšējā robežā un tā vērtību apakšējā robežā, t.i., kā F(b) - F(a)).
Skaitļi a un b tiek sauktas attiecīgi par integrācijas apakšējo un augšējo robežu un intervālu [ a, b] ir integrācijas segments.
Tādējādi, ja F(x) ir kāda antiderivatīvā funkcija f(x), tad saskaņā ar definīciju
(38)
Vienlīdzību (38) sauc Ņūtona-Leibnica formula . Atšķirība F(b) – F(a) ir īsi uzrakstīts šādi:
Tāpēc Ņūtona-Leibnica formula tiks uzrakstīta šādi:
(39)
Pierādīsim, ka noteiktais integrālis nav atkarīgs no tā, kurš integranda antiatvasinājums tiek ņemts, to aprēķinot. Ļaujiet F(x) un F( X) ir patvaļīgi integranda antiatvasinājumi. Tā kā tie ir vienas funkcijas antiatvasinājumi, tie atšķiras ar nemainīgu terminu: Ф( X) = F(x) + C. Tātad
Tādējādi tiek konstatēts, ka segmentā [ a, b] soli no visiem antiderivatīvās funkcijas f(x) sakrīt.
Tātad, lai aprēķinātu noteikto integrāli, ir jāatrod jebkurš integranda antiatvasinājums, t.i. Vispirms jāatrod nenoteiktais integrālis. Pastāvīgi AR izslēgti no turpmākajiem aprēķiniem. Tad tiek pielietota Ņūtona-Leibnica formula: augšējās robežas vērtība tiek aizstāta ar antiatvasināto funkciju b , tālāk - apakšējās robežas vērtība a un aprēķināt starpību F(b) — F(a) . Iegūtais skaitlis būs noteikts integrālis..
Plkst a = b pieņemts pēc definīcijas
1. piemērs
Risinājums. Vispirms atradīsim nenoteikto integrāli:
Ņūtona-Leibnica formulas piemērošana antiatvasinājumam
(pie AR= 0), mēs iegūstam
Taču, aprēķinot noteiktu integrāli, antiatvasinājumu labāk nemeklēt atsevišķi, bet uzreiz rakstīt integrāli formā (39).
2. piemērs Aprēķināt noteiktu integrāli
Risinājums. Izmantojot formulu
Noteiktā integrāļa īpašības
2. teorēma.Noteiktā integrāļa vērtība nav atkarīga no integrācijas mainīgā apzīmējuma, t.i.
(40)
Ļaujiet F(x) ir antiderivatīvs priekš f(x). Priekš f(t) antiatvasinājumam ir tāda pati funkcija F(t), kurā neatkarīgais mainīgais ir apzīmēts atšķirīgi. Tāpēc
Pamatojoties uz formulu (39), pēdējā vienādība nozīmē integrāļu vienādību
3. teorēma.Pastāvīgo faktoru var izņemt no noteikta integrāļa zīmes, t.i.
(41)
4. teorēma.Noteikts integrālis no noteikta skaita funkciju algebriskās summas ir vienāda ar šo funkciju noteiktu integrāļu algebrisko summu, t.i.
(42)
5. teorēma.Ja integrācijas segmentu sadala daļās, tad noteiktais integrālis visā segmentā ir vienāds ar tā daļu noteikto integrāļu summu, t.i. ja
(43)
6. teorēma.Pārkārtojot integrācijas robežas absolūtā vērtība noteikta integrāļa nemainās, bet mainās tikai tā zīme, t.i.
(44)
7. teorēma(vidējās vērtības teorēma). Noteiktais integrālis ir vienāds ar integrācijas segmenta garuma reizinājumu un integrāda vērtību kādā brīdī tā iekšpusē, t.i.
(45)
8. teorēma.Ja integrācijas augšējā robeža ir lielāka par apakšējo un integrands ir nenegatīvs (pozitīvs), tad noteiktais integrālis arī ir nenegatīvs (pozitīvs), t.i. ja
9. teorēma.Ja integrācijas augšējā robeža ir lielāka par apakšējo robežu un funkcijas un ir nepārtrauktas, tad nevienlīdzība
var integrēt termins pēc termina, t.i.
(46)
Noteiktā integrāļa īpašības ļauj vienkāršot integrāļu tiešo aprēķinu.
5. piemērs Aprēķināt noteiktu integrāli
Izmantojot 4. un 3. teorēmu un atrodot antiatvasinājumus - tabulas integrāļus (7) un (6), iegūstam
Noteikts integrālis ar mainīgu augšējo robežu
Ļaujiet f(x) ir nepārtraukts segmentā [ a, b] funkcija un F(x) ir tā prototips. Apsveriet noteikto integrāli
(47)
un cauri t atzīmēts integrācijas mainīgais nedrīkst sajaukt ar augšējo robežu. Kad tas mainās X mainās arī noteiktais integrālis (47), t.i., tā ir integrācijas augšējās robežas funkcija X, ko mēs apzīmējam ar F(X), t.i.
(48)
Pierādīsim, ka funkcija F(X) ir antiderivatīvs priekš f(x) = f(t). Patiešām, diferencēšana F(X), mēs saņemam
jo F(x) ir antiderivatīvs priekš f(x), a F(a) ir nemainīga vērtība.
Funkcija F(X) ir viens no bezgalīgajiem antiatvasinājumu komplektiem f(x), proti, tas, kas x = a iet uz nulli. Šo apgalvojumu iegūst, ja vienādībā (48) ievietojam x = a un izmantojiet iepriekšējās sadaļas 1. teorēmu.
Noteikto integrāļu aprēķins ar integrācijas pa daļām metodi un mainīgā lieluma maiņas metodi
kur pēc definīcijas F(x) ir antiderivatīvs priekš f(x). Ja integrandā mēs veicam mainīgā lieluma izmaiņas
tad saskaņā ar formulu (16) varam rakstīt
Šajā izteiksmē
antiderivatīvā funkcija
Patiešām, tā atvasinājums, saskaņā ar sarežģītas funkcijas diferenciācijas noteikums, ir vienāds ar
Lai α un β ir mainīgā lieluma vērtības t, kurai funkcija
ņem attiecīgi vērtības a un b, t.i.
Bet, saskaņā ar Ņūtona-Leibnica formulu, atšķirība F(b) – F(a) tur ir
Ņūtons Leibnics ir vācu filozofs, dzimis 1646. gada 1. jūlijā. Papildus filozofijai viņš bija fascinēts eksaktās zinātnes. Viņš izcēlās loģikā, matemātikā, mehānikā, fizikā, vēsturē, diplomātijā un mehānikā. Ņūtons tiek uzskatīts arī par izgudrotāju, kā arī valodnieku. Viņš bija Berlīnes Zinātņu akadēmijas dibinātājs un pirmais, kurš varēja vadīt Zinātņu akadēmiju. Leibnics ieņēma goda vietu Francijas Zinātņu akadēmijā kā ārzemju loceklis.
Svarīgākie Leibnica zinātniskie sasniegumi tiek uzskatīti:
Radīšana matemātiskā analīze. Aprēķins ir diferenciāls un integrāls, ko viņš pamatoja uz bezgalīgi maziem.
Ar viņa palīdzību tika likts matemātiskās loģikas pamats.
Kombinatorikas zinātne.
Binārā skaitļu sistēma ar skaitļiem 0 un 1. Tagad uz tiem balstās visas mūsdienu tehnoloģijas.
Psiholoģijai bija ļoti nozīmīgs ieguldījums, piemēram, bezsamaņā esošu mazu uztveri. Turklāt parādījās doktrīna par bezsamaņā esošo garīgo dzīvi.
Viņš atklāja enerģijas nezūdamības likumu un ieviesa darbaspēka jēdzienu.
Ņūtons tiek uzskatīts par 17. gadsimta filozofijas finālistu. Viņš kļuva par priekšteci jauna sistēma un deva tai nosaukumu – monadoloģija. Papildus sasniegumiem filozofijā viņš spēja identificēt sintēzes un analīzes doktrīnu. Leibnics to formulēja kā pietiekama saprāta likumu. Kā viņš atzīmēja, tas viss nesākās tikai no domāšanas un loģikas, bet arī no būtības un ontoloģijas. Filozofam var piešķirt autorību mūsdienīgs formulējums identitātes likums. Tas bija viņš, kurš atnesa pasaulei jēdziena "modelis" izpratni.
Savos rakstos Leibnics rakstīja par mašīnu simulācijas iespēju daudzveidību cilvēka smadzenēs. Kā izrādījās, tam ir liels skaits funkciju. Tas bija šis zinātnieks, kurš pirmo reizi atklāja pasauli idejai, ka dažus enerģijas veidus var nodot citiem. Šie pētījumi ir devuši lielu ieguldījumu fizikā. Protams, viņa dzīves svarīgākais un slavenākais darbs bija formula. Viņi to sauca par Ņūtona-Leibnica formulu.
Ņūtona Leibnica formula
Ļaujiet kādam x ass segmentam dot dažus nepārtraukta funkcija f. Mēs pieņemam, ka šī funkcija nemaina savu zīmi visā intervālā.
Ja f ir nepārtraukta un nenegatīva funkcija noteiktā segmentā un F ir daži no tās antiatvasinājumiem šajā segmentā, tad līknes trapeces S laukums ir vienāds ar antiatvasinājuma pieaugumu šajā segmentā.
Šo teorēmu var uzrakstīt šādā formulā:
S = F(b) – F(a)
Funkcijas f(x) integrālis no a līdz b būs vienāds ar S. Šeit un tālāk, lai apzīmētu kādas funkcijas f(x) noteikto integrāli ar integrācijas ierobežojumiem no a līdz b, izmantosim šādu apzīmējumu. (a;b)∫f(x). Zemāk ir piemērs tam, kā tas izskatītos.
Tātad mēs varam pielīdzināt šos divus rezultātus. Iegūstam: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), ar nosacījumu, ka F ir funkcijas f on antiatvasinājums. Šo formulu sauc par Ņūtona-Leibnica formulu. Tā būs taisnība jebkurai nepārtrauktai funkcijai f intervālā.
Integrāļu aprēķināšanai tiek izmantota Ņūtona-Leibnica formula. Apskatīsim dažus piemērus:
1. piemērs: aprēķiniet integrāli. Mēs atrodam integrandam x2 antiatvasinājumu. Viens no antiatvasinājumiem būs funkcija (x3)/3.
Tagad mēs izmantojam Ņūtona-Leibnica formulu:
(-1;2)∫x2dx = (23)/3 – ((-1)3)/3 = 3
Atbilde: (-1;2)∫x2dx = 3.
2. piemērs: aprēķiniet integrāli (0;pi)∫sin(x)dx.
Atrodiet integranda sin(x) antiatvasinājumu. Viens no antiatvasinājumiem būs funkcija –cos(x). Izmantosim Ņūtona-Leibnica formulu:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Atbilde: (0;pi)∫sin(x)dx=2
Dažreiz apzīmējuma vienkāršības un ērtības labad funkcijas F pieaugumu segmentā (F(b)-F(a)) raksta šādi:
Izmantojot šo apzīmējumu pieaugumam, Ņūtona-Leibnica formulu var pārrakstīt šādi:
Kā minēts iepriekš, tas ir tikai saīsinājums, lai atvieglotu ierakstīšanu, neko citu šis ieraksts neietekmē. Šis apzīmējums un formula (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) būs līdzvērtīgi.
Šo formulu joprojām izmanto liels skaits zinātnieku un kalkulatoru. Ar tās palīdzību Leibnics atnesa daudzu zinātņu attīstību.
Lieto uzdevumu risinājums tiek reducēts līdz integrāļa aprēķināšanai, taču ne vienmēr to ir iespējams izdarīt precīzi. Dažkārt ir jāzina noteikta integrāļa vērtība ar zināmu precizitātes pakāpi, piemēram, līdz tūkstošdaļai.
Ir uzdevumi, kad būtu nepieciešams ar nepieciešamo precizitāti atrast aptuvenu noteikta integrāļa vērtību, tad tiek izmantota skaitliskā integrācija kā Simposna metode, trapeces, taisnstūri. Ne visi gadījumi ļauj mums to aprēķināt ar noteiktu precizitāti.
Šajā rakstā apskatīta Ņūtona-Leibnica formulas pielietošana. Tas ir nepieciešams, lai precīzi aprēķinātu noteiktā integrāļa vērtību. Tiks dots detalizēti piemēri, mēs ņemam vērā mainīgā lieluma izmaiņas noteiktā integrālī un atrodam noteiktā integrāļa vērtības, integrējot pa daļām.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ņūtona-Leibnica formula
1. definīcijaKad funkcija y = y (x) ir nepārtraukta no segmenta [ a ; b ], un F (x) ir viens no šī segmenta funkcijas antiatvasinājumiem Ņūtona-Leibnica formula uzskatīts par godīgu. Rakstīsim šādi ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .
Šī formula tiek ņemta vērā integrāļa aprēķina pamatformula.
Lai pierādītu šo formulu, ir jāizmanto integrāļa jēdziens ar pieejamo mainīgo augšējo robežu.
Kad funkcija y = f (x) ir nepārtraukta no segmenta [ a ; b ] , tad argumenta x ∈ a vērtība ; b , un integrāļa forma ir ∫ a x f (t) d t, un to uzskata par augšējās robežas funkciju. Jāpieņem, ka funkcijas apzīmējums būs ∫ axf (t) dt = Φ (x) , tā ir nepārtraukta, un formas ∫ axf (t) dt nevienādība " = Φ " (x) = f (x) tam ir derīgs.
Piefiksējam, ka funkcijas Φ (x) inkrements atbilst argumenta ∆ x pieaugumam, ir jāizmanto noteikta integrāļa piektā galvenā īpašība un jāiegūst
Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ ax + ∆ xf (t) dt - ∫ axf (t) dt = = ∫ ax + ∆ xf (t) dt = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x
kur vērtība c ∈ x ; x + ∆x .
Vienādību fiksējam formā Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Pēc funkcijas atvasinājuma definīcijas ir jāpāriet uz robežu kā ∆ x → 0, tad iegūstam formas formulu, kas atrodas uz [ a ; b ] Pretējā gadījumā izteiksmi var uzrakstīt
F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , kur C vērtība ir nemainīga.
Aprēķināsim F (a), izmantojot noteiktā integrāļa pirmo īpašību. Tad mēs to saņemam
F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, tātad C = F (a) . Rezultāts ir piemērojams, aprēķinot F (b), un mēs iegūstam:
F (b) = Φ (b) + C = ∫ abf (t) dt + C = ∫ abf (t) dt + F (a) , citiem vārdiem sakot, F (b) = ∫ abf (t) dt + F (a) . Vienādība pierāda Ņūtona-Leibnica formulu ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .
Funkcijas pieaugumu pieņem kā F x a b = F (b) - F (a) . Ar apzīmējuma palīdzību Ņūtona-Leibnica formula kļūst par ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .
Lai piemērotu formulu, ir jāzina viens no integranda y = f (x) antiatvasinājumiem y = F (x) no segmenta [ a ; b ] , aprēķina antiatvasinājuma pieaugumu no šī segmenta. Apsveriet dažus aprēķinu piemērus, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu.
1. piemērs
Aprēķiniet noteikto integrāli ∫ 1 3 x 2 d x, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu.
Risinājums
Apsveriet, ka formas y = x 2 integrands ir nepārtraukts no intervāla [ 1 ; 3 ] , tad un ir integrējams šajā segmentā. Saskaņā ar nenoteikto integrāļu tabulu mēs redzam, ka funkcijai y \u003d x 2 ir antiatvasinājumu kopa visām x reālajām vērtībām, kas nozīmē, ka x ∈ 1; 3 tiks uzrakstīts kā F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Ir nepieciešams ņemt antiatvasinājumu ar C \u003d 0, tad mēs iegūstam, ka F (x) \u003d x 3 3.
Izmantosim Ņūtona-Leibnica formulu un iegūsim, ka noteiktā integrāļa aprēķins būs ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .
Atbilde:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3
2. piemērs
Aprēķiniet noteikto integrāli ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu.
Risinājums
Dotā funkcija ir nepārtraukta no segmenta [ - 1 ; 2], kas nozīmē, ka tas tajā ir integrējams. Ar summēšanas metodi zem diferenciālzīmes ir jāatrod nenoteiktā integrāļa ∫ x ex 2 + 1 dx vērtība, tad iegūstam ∫ x ex 2 + 1 dx = 1 2 ∫ ex 2 + 1 d (x 2 + 1) = 1 2 ex 2+1+C.
Līdz ar to mums ir funkcijas y = x · e x 2 + 1 antiatvasinājumu kopa, kas ir derīga visiem x, x ∈-1; 2.
Ir nepieciešams ņemt antiatvasinājumu pie C = 0 un piemērot Ņūtona-Leibnica formulu. Tad mēs iegūstam formas izteiksmi
∫ - 1 2 x ex 2 + 1 dx = 1 2 ex 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Atbilde:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
3. piemērs
Aprēķiniet integrāļus ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x un ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .
Risinājums
Segments - 4; - 1 2 saka, ka funkcija zem integrāļa zīmes ir nepārtraukta, kas nozīmē, ka tā ir integrējama. No šejienes mēs atrodam funkcijas y = 4 x 3 + 2 x 2 antiatvasinājumu kopu. Mēs to sapratām
∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C
Ir jāņem antiatvasinājums F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, pēc tam, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu, mēs iegūstam integrāli, kuru mēs aprēķinām:
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 dx = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28
Mēs veicam pāreju uz otrā integrāļa aprēķinu.
No segmenta [ - 1 ; 1 ] mums ir, ka integrands tiek uzskatīts par neierobežotu, jo lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , tad no tā izriet, ka nepieciešamais nosacījums integrējamība no segmenta. Tad F (x) = 2 x 2 - 2 x nav antiatvasinājums y = 4 x 3 + 2 x 2 no intervāla [ - 1 ; 1 ] , jo punkts O pieder segmentam, bet nav iekļauts definīcijas jomā. Tas nozīmē, ka ir noteikts Rīmaņa un Ņūtona-Leibnica integrālis funkcijai y = 4 x 3 + 2 x 2 no intervāla [ - 1 ; viens].
Atbilde: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, ir noteikts Rīmaņa un Ņūtona-Leibnica integrālis funkcijai y = 4 x 3 + 2 x 2 no intervāla [ - 1 ; viens].
Pirms Ņūtona-Leibnica formulas izmantošanas jums precīzi jāzina par noteikta integrāļa esamību.
Mainīgā lieluma maiņa noteiktā integrālī
Kad funkcija y = f (x) ir definēta un nepārtraukta no segmenta [ a ; b ] , tad esošā kopa [ a ; b ] tiek uzskatīts par funkcijas x = g (z) diapazonu, kas definēts intervālā α ; β ar esošo nepārtraukto atvasinājumu, kur g (α) = a un g β = b , līdz ar to iegūstam, ka ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .
Šo formulu izmanto, ja nepieciešams aprēķināt integrāli ∫ a b f (x) d x , kur nenoteiktajam integrālim ir forma ∫ f (x) d x , mēs aprēķinām, izmantojot aizvietošanas metodi.
4. piemērs
Aprēķināt noteiktu integrāli formā ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .
Risinājums
Integrāde tiek uzskatīta par nepārtrauktu integrācijas intervālā, kas nozīmē, ka noteiktais integrālis pastāv. Dosim apzīmējumu, ka 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Vērtība x \u003d 9 nozīmē, ka z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, un x \u003d 18 mēs iegūstam, ka z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u0, tad g 27 \u0, u003d g (3) \u003d 9, g β = g 3 3 = 18 . Aizvietojot iegūtās vērtības formulā ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z, mēs iegūstam, ka
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 dx = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "dz = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z zdz = ∫ 3 3 2 3 + 9 dz
Saskaņā ar nenoteikto integrāļu tabulu mums ir tāds, ka viens no funkcijas 2 z 2 + 9 antiatvasinājumiem pieņem vērtību 2 3 a r c t g z 3 . Tad, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu, mēs to iegūstam
∫ 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 = 2 3 a r c t g 3 - a rc t g 3 = 1 π 1 π 3 - 8
Atrašanu var izdarīt, neizmantojot formulu ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .
Ja aizstāšanas metodē tiek izmantots formas ∫ 1 x 2 x - 9 d x integrālis , tad varam nonākt pie rezultāta ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .
No šejienes mēs veiksim aprēķinus, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu, un aprēķināsim noteikto integrāli. Mēs to sapratām
∫ 9 18 2 z 2 + 9 dz = 2 3 arctgz 3 9 18 = = 2 3 arctg 2 18 - 9 3 - arctg 2 9 - 9 3 = = 2 3 arktg 3 - arctg 1 = 2 3 π 4 3 - \u003d π 18
Rezultāti sakrita.
Atbilde: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18
Integrācija pa daļām noteikta integrāļa aprēķinā
Ja uz segmenta [ a ; b ] funkcijas u (x) un v (x) ir definētas un nepārtrauktas, tad to pirmās kārtas atvasinājumi v " (x) u (x) ir integrējami, tātad no šī intervāla integrējamai funkcijai u " (x) v (x) vienādība ∫ abv " (x) u (x) dx = (u (x) v (x)) ab - ∫ abu " (x) v (x) dx ir patiesa.
Tad var izmantot formulu, ir jāaprēķina integrālis ∫ a b f (x) d x , un ∫ f (x) d x tas bija jāatrod, izmantojot integrāciju pa daļām.
5. piemērs
Aprēķināt noteikto integrāli ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .
Risinājums
Funkcija x sin x 3 + π 6 ir integrējama segmentā - π 2; 3 π 2, tātad tas ir nepārtraukts.
Ļaujiet u (x) \u003d x, tad d (v (x)) \u003d v "(x) dx \u003d sin x 3 + π 6 dx un d (u (x)) \u003d u "(x) dx \u003d dx, un v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . No formulas ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x mēs iegūstam, ka
∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 dx = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 dx dx \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π π 4 - 3 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2
Piemēra risinājumu var veikt citā veidā.
Atrodiet funkcijas x sin x 3 + π 6 antiatvasinājumu kopu, izmantojot integrāciju pa daļām, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu:
∫ x sin xx 3 + π 6 dx = u = x, dv = sin x 3 + π 6 dx ⇒ du = dx, v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 dx = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 dx = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2
Atbilde: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Lai uz kāda Vērša ass segmenta ir dota kāda nepārtraukta funkcija f. Mēs pieņemam, ka šī funkcija nemaina savu zīmi visā intervālā.
Ja f ir nepārtraukta un nenegatīva funkcija noteiktā segmentā un F ir daži no tās antiatvasinājumiem šajā segmentā, tad līknes trapeces S laukums ir vienāds ar antiatvasinājuma pieaugumu šajā segmentā.
Šo teorēmu var uzrakstīt šādā formulā:
S = F(b) - F(a)
Funkcijas f(x) integrālis no a līdz b būs vienāds ar S. Šeit un tālāk, lai apzīmētu kādas funkcijas f(x) noteikto integrāli ar integrācijas ierobežojumiem no a līdz b, izmantosim šādu apzīmējumu. (a;b)∫f(x). Zemāk ir piemērs tam, kā tas izskatītos.
Ņūtona-Leibnica formula
Tātad mēs varam pielīdzināt šos divus rezultātus. Iegūstam: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), ar nosacījumu, ka F ir funkcijas f on antiatvasinājums. Šo formulu sauc Ņūtona-Leibnica formulas. Tā būs taisnība jebkurai nepārtrauktai funkcijai f intervālā.
Integrāļu aprēķināšanai tiek izmantota Ņūtona-Leibnica formula. Apskatīsim dažus piemērus:
1. piemērs: aprēķina integrāli. Atrodiet integrandam x 2 antiatvasinājumu. Viens no antiatvasinājumiem būs funkcija (x 3)/3.
Tagad mēs izmantojam Ņūtona-Leibnica formulu:
(-1;2)∫x2 dx = (2 3)/3 — ((-1) 3)/3 = 3
Atbilde: (-1;2)∫x 2 dx = 3.
2. piemērs: aprēķina integrāli (0;pi)∫sin(x)dx.
Atrodiet integranda sin(x) antiatvasinājumu. Viens no antiatvasinājumiem būs funkcija -cos(x). Izmantosim Ņūtona-Leibnica formulu:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Atbilde: (0;pi)∫sin(x)dx=2
Dažreiz apzīmējuma vienkāršības un ērtības labad funkcijas F pieaugumu segmentā (F(b)-F(a)) raksta šādi:
Izmantojot šo apzīmējumu pieaugumam, Ņūtona-Leibnica formulu var pārrakstīt šādi:
Kā minēts iepriekš, tas ir tikai saīsinājums, lai atvieglotu ierakstīšanu, neko citu šis ieraksts neietekmē. Šis apzīmējums un formula (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) būs līdzvērtīgi.
Priekšskatījums:
Lai izmantotu prezentāciju priekšskatījumu, izveidojiet Google kontu (kontu) un pierakstieties: https://accounts.google.com
Slaidu paraksti:
Integrāls. Ņūtona-Leibnica formula. sastādītāja: matemātikas skolotāja GOUNPO PU Nr.27 lpp. Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilievna
Nodarbības mērķis: Iepazīstināt ar integrāļa jēdzienu un tā aprēķinu, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu, izmantojot zināšanas par antiatvasinājumu un tā aprēķināšanas noteikumiem; Ilustrējiet integrāļa praktisko pielietojumu ar līknes trapeces laukuma atrašanas piemēriem; Nostipriniet to, ko esat iemācījušies, veicot vingrinājumus.
Definīcija: Dota pozitīva funkcija f(x), kas definēta uz galīga segmenta [ a;b ] . Funkcijas f(x) integrālis uz [ a;b ] ir tās līknes trapeces laukums. y=f(x) b a 0 x y
Apzīmējums: “integrālis no a līdz b ef no x de x”
Vēsturiskā atsauce: integrāļa Leibnica apzīmējums, kas iegūts no vārda "Summa" (Summa) pirmā burta. Ņūtons savos darbos nepiedāvāja alternatīvu integrāļa simboliku, lai gan viņš centās dažādas iespējas. Terminu integrālis ieviesa Džeikobs Bernulli. S umma Īzaks Ņūtons Gotfrīds Vilhelms fon Leibnics Jēkabs Bernulli
Apzīmējums nenoteikts integrālis ieviesa Eilers. Žans Batists Džozefs Furjē Leonhards Eilers Furjē izgudroja noteikta integrāļa formulēšanu mums ierastajā formā.
Ņūtona - Leibnica formula
Piemērs 1. Aprēķiniet noteikto integrāli: = Risinājums:
Piemērs 2. Aprēķināt noteiktos integrāļus: 5 9 1
3. piemērs. S y x Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas un x ass. Vispirms atradīsim x ass krustošanās punktus ar funkcijas grafiku. Lai to izdarītu, mēs atrisināsim vienādojumu. = Risinājums: S =
y x S A B D C 4. piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo taisnes, un atrodiet šo līniju krustošanās punktus (abscises), atrisinot vienādojumu S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 - 4,5 = 4,5
SINQWINE NOTEIKUMI 1 rindiņa - syncwine tēma 1 vārds 2 rindiņa - 2 īpašības vārdi, kas apraksta tēmas pazīmes un īpašības 3 rindiņa - 3 darbības vārdi, kas raksturo darbības būtību 4 rindiņa - īss piedāvājums no 4 vārdiem, kas parāda jūsu personīgo attieksmi pret tēmu 5 rindiņa - 1 vārds, sinonīms vai jūsu saistība ar tēmas tēmu.
Integrālis 2. Noteikts, pozitīvs Skaitīt, saskaitīt, reizināt 4. Aprēķināt ar Ņūtona-Leibnica formulu 5. Laukums
Izmantotās literatūras saraksts: mācību grāmata Kolmagorov A.N. un citi.Algebra un analīzes sākums 10 - 11 šūnas.
Paldies par jūsu uzmanību! "TALANTS ir 99% darba un 1% spēju" tautas gudrība
Piemērs 1. Aprēķiniet noteikto integrāli: = Risinājums: 4. piemērs
Priekšskatījums:
Priekšmets: matemātika (algebra un analīzes sākums), atzīme: 11. klase.
Nodarbības tēma: "Integrāls. Ņūtona-Leibnica formula.
Nodarbības veids: Jauna materiāla apgūšana.
Nodarbības ilgums: 45 minūtes.
Nodarbības mērķi: iepazīstināt ar integrāļa jēdzienu un tā aprēķinu, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu, izmantojot zināšanas par antiatvasinājumu un tā aprēķināšanas noteikumiem; ilustrējiet integrāļa praktisko pielietojumu uz līknes trapeces laukuma atrašanas piemēriem; nostiprināt to, ko esat iemācījušies vingrinājumu laikā.
Nodarbības mērķi:
Izglītības:
- veido integrāļa jēdzienu;
- iemaņu veidošana noteikta integrāļa aprēķināšanai;
- prasmju veidošana praktisks pielietojums integrāls, lai atrastu līknes trapeces laukumu.
Attīstās:
- attīstīt skolēnu izziņas interesi, attīstīt matemātisko runu, spēju novērot, salīdzināt, izdarīt secinājumus;
- attīstīt interesi par priekšmetu ar IKT palīdzību.
Izglītības:
- pastiprināt interesi par jaunu zināšanu iegūšanu, precizitātes un precizitātes veidošanos integrāļa aprēķināšanā un rasējumu izpildē.
Aprīkojums: dators, operētājsistēma Microsoft Windows 2000/XP, MS Office 2007: Power Point, Microsoft Word; multimediju projektors, ekrāns.
Literatūra: mācību grāmata Kolmagorova A.N. un citi Algebra un analīzes sākums 10-11 šūnas.
Tehnoloģijas: IKT, individuāla apmācība.
NODARBĪBU LAIKĀ
Nodarbības posms | Skolotāja darbība | Studentu aktivitātes | Laiks |
|
Ievads | ||||
Laika organizēšana | Sveicina, pārbauda skolēnu gatavību stundai, organizē uzmanību. Sniedz kopsavilkumu. | Klausieties, pierakstiet datumu. | 3 min |
|
Ziņojums par nodarbības tēmu un mērķiem | Pamatzināšanu un subjektīvās pieredzes aktualizēšana ar pieeju nodarbības mērķiem. | Klausieties, pierakstiet nodarbības tēmu kladē.Aktīvi iesaistīts garīgajā darbībā. Analizēt, salīdzināt, izdarīt secinājumus, piekļūstot stundas mērķiem. | Prezentācija IKT 3 min |
|
Nodarbības galvenā daļa Jauna materiāla prezentācija ar pagātnes tēmu zināšanu pārbaudi. | ||||
Integrāļa definīcija (3. slaids) | Sniedz definīciju. IKT Kas ir izliekta trapece? | Attēls, ko ierobežo funkcijas grafiks, segments un taisnes x=a un x=b. | 10 min |
|
Integrālais apzīmējums (4. slaids) | Iepazīstina ar integrāļa apzīmējumu un to, kā tas tiek lasīts. | Klausies, raksti. | ||
Integrāļa vēsture (5. un 6. slaids) | Stāsta termina "integrālis" vēsturi. | Klausieties, pierakstiet. | ||
Ņūtona-Leibnica formula (7. slaids) | Dota Ņūtona-Leibnica formulu. Ko F apzīmē formulā? | Klausieties, pierakstiet, atbildiet uz skolotāja jautājumiem. Primitīvs. | ||
Nodarbības beigu daļa. | ||||
Materiāla nostiprināšana. Piemēru risināšana, izmantojot pētāmo materiālu | ||||
1. piemērs (8. slaids) | Analizē piemēra risinājumu, uzdodot jautājumus par integrandu antiatvasinājumu atrašanu. | Klausieties, pierakstiet, parādiet zināšanas par antiatvasinājumu tabulu. | 20 minūtes |
|
2. piemērs (9. slaids). Piemēri priekš neatkarīgs lēmums studenti. | Kontrolē piemēru risinājumu. | Veiciet uzdevumu pēc kārtas, komentējot (individuālās mācīšanās tehnoloģija), klausieties viens otru, pierakstiet, parādiet zināšanas par pagātnes tēmām. | ||
3. piemērs (10. slaids) | Analizē piemēra risinājumu. Kā atrast abscisu ass krustošanās punktus ar funkcijas grafiku? | Klausieties, atbildiet uz jautājumiem, parādiet zināšanas par pagātnes tēmām, pierakstiet. Pielīdziniet integrandu ar 0 un atrisiniet vienādojumu. | ||
4. piemērs (11. slaids) | Analizē piemēra risinājumu. Kā atrast funkciju grafiku krustošanās punktus (abscises)? Nosakiet trīsstūra ABC veidu. Kāds ir taisnleņķa trīsstūra laukums? | Klausieties, atbildiet uz jautājumiem. Pielīdziniet funkcijas viena otrai un atrisiniet iegūto vienādojumu. Taisnstūrveida. kur a un b ir taisnleņķa trijstūra kājas. | ||
Nodarbības kopsavilkums (12. un 13. slaids) | Organizē darbu pie syncwine sastādīšanas. | Piedalīties sinkvīna kompilācijā. Analizējiet, salīdziniet, izdariet secinājumus par tēmu. | 5 minūtes. |
|
Mājas darbs pēc grūtības pakāpes. | Uzdod mājas darbus un paskaidro. | Klausies, raksti. | 1 minūte. |
|
Skolēnu darba novērtējums stundā. | Vērtē skolēnu darbu stundā, analizē. | Klausies. | 1 minūte |
Priekšskatījums:
Atsauces kopsavilkums par tēmu “Integrāls. Ņūtona-Leibnica formula.
Definīcija: Dota pozitīva funkcija f(x) , kas definēts ierobežotā segmentā .Funkcijas f(x) integrālis ieslēgtsir tās līknes trapeces laukums. | ||
Apzīmējums: Lasa: "integrālis no a līdz b ef no x de x" | ||
Ņūtona - Leibnica formula | ||
1. piemērs Aprēķiniet noteikto integrāli: Risinājums: | ||
Piemērs 3. un x-ass. Risinājums: | ||
3. piemērs Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas un . |