Ievads
gadā iegūta matemātikas izglītība vispārizglītojošā skola, ir vissvarīgākā sastāvdaļa vispārējā izglītība un kopējā kultūra mūsdienu cilvēks. Gandrīz viss, kas ieskauj mūsdienu cilvēku, ir vienā vai otrā veidā saistīts ar matemātiku. Un jaunākie sasniegumi fizikā, tehnoloģijās un informāciju tehnoloģijas neatstāj šaubas, ka lietas paliks nemainīgas arī turpmāk. Tāpēc daudzu praktisku problēmu risinājums tiek reducēts uz risināšanu dažāda veida vienādojumi, lai uzzinātu, kā tos atrisināt.
Elementārajā matemātikā izšķir divu veidu vienādojumus: algebriskos un transcendentālos. Algebriskie vienādojumi ietver:
lineārs;
kvadrāts; kubisks; bikvads; vispārīgās formas ceturtās pakāpes vienādojums; binominālā algebriskā n-tais vienādojums grādi; jaudas algebriskais; - atgriešanās (algebriskā); – vispārējās formas th pakāpes algebriskais vienādojums; 10. frakcionēti algebriskie vienādojumi, t.i. vienādojumi, kas satur polinomus un algebriskās daļas(veidlapas daļas
, kur un ir polinomi);11. iracionālie vienādojumi, t.i. vienādojumi, kas satur radikāļus, zem kuriem atrodas polinomi un algebriskās daļas;
12. vienādojumi, kas satur moduli, zem kura moduļa atrodas polinomi un algebriskās daļas.
Vienādojumi, kas satur transcendentālas funkcijas, piemēram, logaritmiskas, eksponenciālas vai trigonometriskā funkcija tiek saukti par pārpasaulīgiem. Savā darbā mēs sīkāk aplūkojam algebriskos vienādojumus.
Mācību un metodiskajā literatūrā tradicionāli aplūkotas īpašas vienādojumu risināšanas metodes. Tikmēr katras sadaļas vienādojumu risināšanas specifika ir sekundāra lieta. Būtībā ir četras galvenās metodes:
Aizstājot vienādojumu h (f(x))=h (g(x)) ar vienādojumu f(x)=g(x);
Mainīgā aizstāšanas metode;
Faktoringa metode;
Funkcionāli grafiskā metode un to dažādās modifikācijas.
Visizplatītākā no tām ir mainīgā aizstāšanas metode.
Pamatojoties uz to, formulējam sava darba mērķi: izpētīt nezināmā aizstāšanas metodes iespējas risinot algebriskie vienādojumi un demonstrēt to pielietojumu standarta un nestandarta situācijās. Lai sasniegtu šo mērķi, ir jāatrisina šādi uzdevumi:
1. Paplašināt ar vienādojumu risināšanas teoriju saistīto galveno jēdzienu un apgalvojumu saturu: vienādojuma atrisināšana, ekvivalence un sekas, vispārīgās vienādojumu risināšanas metodes.
2. Apzināt nezināmā aizstāšanas metodes izmantošanas iespējas, risinot algebriskos vienādojumus standarta un nestandarta situācijās.
3. Veikt jaunu nezināmo ieviešanas metožu tipizāciju algebrisko vienādojumu risināšanā un noteikt to pielietojamības kritērijus.
4. Sastādiet tipisku problēmu kopu, kas ir saistītas ar aizstāšanas metodes izmantošanu vienādojumu risināšanā, un demonstrējiet to risinājumu.
1. Ar vienādojumu risināšanas teoriju saistītie pamatjēdzieni un apgalvojumi
Mūsu darba pirmajā nodaļā mēs atklāsim galveno jēdzienu un apgalvojumu saturu, kas saistīti ar vienādojumu risināšanas teoriju.
Ar jēdzienu "vienādojums" iepazīstamies matemātikas stundās jau š pamatskola, un problēma "atrisināt vienādojumu", iespējams, ir visizplatītākā problēma. Joprojām dod precīza definīcija jēdziena "vienādojums", lai precīzi definētu, ko nozīmē "atrisināt vienādojumu", nepārsniedzot kursa darbības jomu elementārā matemātika, mēs nevaram. Lai to izdarītu, ir jāiesaista ļoti nopietnas loģiskas un pat filozofiskas kategorijas. Mums pilnīgi pietiek ar šiem jēdzieniem iepazīties "veselā saprāta" līmenī.
Apsveriet divus vienādojumus A un B ar vienu un to pašu nezināmo. Mēs teiksim, ka vienādojums B ir sekas vienādojums A, ja kāda no A vienādojuma saknēm ir vienādojuma B sakne.
Vienādojumus sauc ekvivalents ja kāda viena no tām sakne ir otra sakne un otrādi. Tādējādi vienādojumi ir līdzvērtīgi, ja katrs no tiem ir otra sekas.
No šīm definīcijām, piemēram, izriet, ka divi vienādojumi, kuriem nav atrisinājumu, ir līdzvērtīgi. Ja A nav risinājumu, tad B ir sekas A, neatkarīgi no B vienādojuma.
Definēsim jēdzienu "vienādojuma atrisināšana". atrisināt vienādojumu- nozīmē atrast visas tādas tajā iekļautās nezināmo vērtības, kas vienādojumu pārvērš par identitāti. Šīs vērtības sauc par vienādojuma saknēm.
Vienādojumu risināšanas process galvenokārt sastāv no dotā vienādojuma aizstāšanas ar citu, kas tam līdzvērtīgs.
Kā minēts iepriekš, visvairāk ir četri izplatīta metode izmanto jebkura veida vienādojumu risināšanai. Apskatīsim katru metodi tuvāk.
Metodi vienādojuma h (f(x))=h (g(x)) aizstāšanai ar vienādojumu f(x)=g(x) var izmantot tikai tad, ja
ir monotoniska funkcija, kas katru tās vērtību izmanto vienu reizi. Ja šī funkcija ir nemonotoniska, norādīto metodi nevar izmantot, jo ir iespējama sakņu zaudēšana.Faktorizācijas metodes būtība ir šāda: vienādojums
var aizstāt: Atrisinot šīs kopas vienādojumus, jāņem tās saknes, kas ietilpst sākotnējā vienādojuma definīcijas jomā, un pārējās jāatmet kā svešas. grafiskā metode vienādojuma risinājums
ir šāds: jums ir jāizveido funkciju grafiki un jāatrod to krustošanās punkti. Vienādojuma saknes ir šo punktu abscises. Šī metode ļauj noteikt vienādojuma sakņu skaitu, uzminēt saknes vērtību, atrast aptuvenas un dažreiz precīzas sakņu vērtības. Dažos gadījumos funkciju grafiku konstruēšanu var aizstāt ar atsauci uz dažām funkciju īpašībām (tāpēc mēs runājam nevis par grafisku, bet gan par funkcionāli grafisku metodi vienādojumu risināšanai). Ja, piemēram, kāda no funkcijām
palielinās, bet otrs samazinās, tad vienādojumam vai nu nav sakņu, vai ir viena sakne Minēsim vēl vienu diezgan skaistu funkcionāli grafiskās metodes variantu: ja intervālā vienas funkcijas lielākā vērtība ir vienāda ar un Citas funkcijas mazākā vērtība arī ir vienāda, tad vienādojums šajā intervālā ir vienādojums vienādojumu sistēmai. Atklāsim mainīgo maiņas metodes būtību: ja vienādojums
Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.
Personiskās informācijas vākšana un izmantošana
Personiskā informācija attiecas uz datiem, ko var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.
Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.
Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.
Kādu personas informāciju mēs apkopojam:
- Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi E-pasts utt.
Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:
- Mūsu savākts Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikālus piedāvājumus, akcijas un citi pasākumi un gaidāmie pasākumi.
- Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un ziņojumus.
- Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
- Ja piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.
Izpaušana trešajām personām
Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.
Izņēmumi:
- Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas kārtību, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai lūgumiem no plkst. valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sabiedrības interešu apsvērumu dēļ.
- Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.
Personiskās informācijas aizsardzība
Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret nozaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.
Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī
Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.
Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Mainīgo aizstāšanas metode. Piemēri"
Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus! Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.
Mācību līdzekļi un simulatori interneta veikalā "Integral" 11. klasei
1C: skola. Mēs risinām uzdevumus ģeometrijā. Interaktīvi uzdevumi būvēšanai telpā 10.-11.klasei
Algebriskas problēmas ar parametriem, 9.-11.klase
Šī metode ir diezgan izplatīta, risinot vienādojumus, un mēs to esam izmantojuši vairāk nekā vienu reizi. To var izmantot šādos gadījumos:
- Ja sākotnējam vienādojumam $f(x)=0$ ir sarežģīts skats, bet mums izdevās to pārveidot par vienādojumu formā $h(g(x))=0$.
- Jāveic mainīgo $u=g(x)$ maiņa.
- Atrisiniet vienādojumu $h(u)=0$, atrodiet saknes $u_1$, $u_2$, … $u_n$.
- Ieviesiet apgriezto aizstāšanu $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$.
- Atrisiniet katru vienādojumu $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$. Katra vienādojuma saknes būs sākotnējā vienādojuma risinājumi.
Piemērs.
Atrisiniet vienādojumu: $8x^6+7x^3-1=0$.
Risinājums.
Ieviesīsim aizvietotāju $y=x^3$. Tad mūsu vienādojums tiek reducēts uz kvadrātvienādojumu:
$8y^2+7y-1=0$,
$(8g-1)(y+1)=0$,
$y_1=\frac(1)(8)$ un $y_2=-1$.
Uz šis posms risinot vairāk sarežģīti vienādojumi saknes ir jāpārbauda.
Ieviesīsim apgriezto aizstāšanu: $x^3=\frac(1)(8)$ un $x^3=-1$.
Šo vienādojumu saknes ir viegli atrodamas: $x_1=\frac(1)(2)$ un $x_2=-1$.
Atbilde: $x=0,5$ un $x=-1$.
Piemērs.
Atrisiniet vienādojumu: $\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))+4\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=4$.
Risinājums.
Veiksim līdzvērtīgas transformācijas:
$\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=(\frac(2x-1)(2x+3))^(\frac(1)(2))=(\frac(2x+ 3) )(2x-1))^(-\frac(1)(2))=((\frac(2x+3)(2x-1))^(\frac(1)(2)))^( - 1)=\frac(1)(\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1)))$.
Mēs ieviešam aizstāšanu: $u=\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))$, tad mūsu vienādojums samazinās līdz $u+\frac(4)(u)=4$. $u^2-4u+4=0$, no kurienes $u=2$.
Ieviesīsim apgriezto aizstāšanu: $\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))=2$.
$2x+3=4(2x-1)$ pēc lēmuma lineārais vienādojums$x=1\frac(1)(6)$.
Piemērs.
Atrisiniet vienādojumu: $2^x+2^(1-x)=3$.
Risinājums.
Mūsu vienādojums tiek samazināts līdz ekvivalentam vienādojumam: $2^x+\frac(2)(2^x)=3$.
Mēs ieviešam aizstājēju: $t=2^x$.
$t+\frac(2)(t)=3$,
$t^2-3t+2=0$,
$(t-2)(t-1)=0 $,
$t_1=2$ un $t_2=1$.
Ieviesīsim apgriezto aizstāšanu: $2^x=2$ un $2^x=1$. No: $x=1$ un $x=0$.
Atbilde: $x=1$ un $x=0$.
Piemērs.
Atrisiniet vienādojumu: $lg^2(x^2)+lg(10x)-6=0$.
Risinājums.
Mainīsim savu vienādojumu.
$lg^2(x^2)=(lg(x^2))^2=(2lg(x))^2=4lg^2x$.
$lg(10x)=lg10+lgx=1+lgx$.
Sākotnējais vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam: $4lg^2x+lgx-5=0$.
Mēs ieviešam aizstājēju: $u=lg(x)$.
$4u^2+u-5=0$,
$(4u+5)(u-1)=0$.
Ieviesīsim apgriezto aizstāšanu: $lgx=-1.25$ un $lgx=1$.
Atbilde: $x=10^(-\frac(5)(4))$ un $x=10$.
Piemērs.
Atrisiniet vienādojumu: $sin(x)cos(x)-6sin(x)+6cos(x)+6=0$.
Risinājums.
Ieviesīsim aizvietotāju: $cos(x)-sin(x)=y$.
Pēc tam: $(cos(x)-sin(x))^2=1-2sin(x)cos(x)$.
$sin(x)cos(x)=\frac(1-y^2)(2)$.
Sākotnējais vienādojums ir līdzvērtīgs:
$\frac(1-y^2)(2)+6y+6=0$,
$1-y^2+12y+12=0$,
$y^2-12y-13=0$,
$(y-13)(y+1)=0 $.
Ieviesīsim apgriezto aizstāšanu: $cos(x)-sin(x)=13$ - skaidrs, ka atrisinājumu nav, jo kosinuss un sinuss absolūtā vērtībā ir ierobežoti ar vienu.
$cos(x)-sin(x)=-1$ - reiziniet abas vienādojuma puses ar $\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\frac(\sqrt(2))(2)cos(x)-\frac(\sqrt(2))(2)sin(x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$sin(\frac(π)(4)-x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\begin (cases) \frac(π)(4)-x=-\frac(π)(4)+2πn, \\ \frac(π)(4)-x=-\frac(3π)(4 )+2πn. \end(cases)$
$\begin (gadījumi) x=\frac(π)(2)+2πn, \\ x=π+2πn. \end(cases)$
Atbilde: $x=\frac(π)(2)+2πn$ un $π+2πn$.
Uzdevumi patstāvīgam risinājumam
Atrisiniet šādus vienādojumus:1. $x^8+3x^4-4=0$.
2. $\sqrt(\frac(5x-1)(x+3))+5\sqrt(\frac(x+3)(5x-1))=6$.
3. $5^x+5^(2x+1)=-4$.
4. $2cos^2(x)-7cos-4=0$.
5. $5sin(2x)-11sin(x)=11cos(x)-7$.
Vienādojumu risināšana, mainot mainīgos
Lielākā daļa dzīves uzdevumu
tiek atrisināti kā algebriskie vienādojumi:
samazinot tos vienkāršākajā formā.
Ļ.N. Tolstojs.
Nodarbības mērķis: organizēt mācību aktivitātes studenti apgūst veselu augstākas pakāpes vienādojumu risināšanas metodes ar mainīgā mainīšanas metodi; iepazīstināt studentus ar jēdzieniem, reciprokālo un simetrisko vienādojumu risināšanas metodēm.
Uzdevumi:izglītojošs: turpināt attīstīt aizstāšanas metodes pielietošanas spēju
mainīgais, risinot vienādojumus; veidojot spēju redzēt vienu un to pašu vienādojumu risināšanas metodi dažādas situācijas; veidot priekšstatu par risināšanas metodēm un veidiem nestandarta uzdevumi un algebriskos vienādojumus līmenī, kas pārsniedz valsts izglītības standartu līmeni;
izstrādājot: skolēnu domāšanas attīstība; atmiņas attīstība; attīstību
loģiskā domāšana spēja skaidri formulēt savas domas; skolēnu iztēles attīstība; mutvārdu runas attīstība.
izglītojošs: novērošanas izglītība; precizitātes izglītība
veicot piezīmes uz tāfeles un burtnīcā; patstāvības audzināšana praktisko darbu veikšanā.
Nodarbību laikā
Laika organizēšana.
Zināšanu aktualizēšana un sistematizācija.
Uzdevums numurs 1. Atrisiniet krustvārdu mīklu. Atbildes rakstiet tikai nominatīvajā gadījumā.
Horizontāli:4. Kāda ir kvadrātvienādojuma izteiksme? (diskriminējoša)
6. Mainīgā lieluma vērtība, pie kuras vienādojums pārvēršas patiesā vienādībā. (sakne)
8. Formas vienādojums 
, kur 
. (divu kvadrātu)
9.Franču matemātiķis, kas saistīts ar kvadrātvienādojumiem. (Vjetna)
10. Vienādojums, kurā kreisā un labā daļa ir vesela skaitļa izteiksme. (vesels)
11. Vienādojumi ar vienu mainīgo, kam ir vienāda sakņu kopa. (ekvivalents)
Vertikāli:
1. Vienādojuma sakņu kopa. (risinājums)
2. Vienādojuma atrisinājums 
. (nulle)
3. Vienādība, kas satur mainīgo. (vienādojums)
5. Kvadrātvienādojums, kurā viens no koeficientiem b vai c ir vienāds ar 0. (nepilnīgs)
7. Kvadrātvienādojums, kurā pirmais koeficients vienāds ar vienu. (samazināts)
Kam mēs šodien veltīsim savu nodarbību? ( Vienādojumu risināšana )
Uzdevums numurs 2. Kā jūs atrisinātu vienādojumus katrai grupai?
ATBILDES: 1. grupas piemērus vislabāk var atrisināt, faktorējot, kopējo koeficientu izņemot no iekavām vai izmantojot saīsinātas reizināšanas formulas.
2. grupa) piemērus labāk risina grupēšana un faktorings.
3) grupas piemērus labāk atrisināt, ieviešot jaunu mainīgo un pārejot uz kvadrātvienādojumu.
1 Kādu reizinātāju jūs izņemtu no iekavām 1. grupas piemēros?
ATBILDES:
Kā jūs sagrupētu terminus 2. grupas piemēros?
ATBILDES:
Ko jūs apzīmētu ar jaunu mainīgo 3. grupas piemēros?
ATBILDES:
Kā var faktorizēt polinomu 
?
ATBILDES: .
Šodien nodarbībā parādīsi savas zināšanas par tēmu "Vienādojumu risināšana, mainot mainīgo"
Pierakstiet piezīmju grāmatiņās stundas tēmu.
Šodien nodarbībā aplūkosim vienu no augstākas pakāpes vienādojumu risināšanas veidiem - mainīgā mainīšanas metodi; iepazīsimies ar jēdzieniem, reciprokālo un simetrisko vienādojumu risināšanas metodēm.
Mainīgo aizvietošanas māksla ir noskaidrot, kura aizstāšana ir racionālāka un, visticamāk, novedīs pie panākumiem.
Uzdevums numurs 3.
Atrisiniet vienādojumu.(Uzdevumu pie tāfeles vienlaikus risina 2 skolēni.)
a) (Pirmais students izlemj pie tāfeles ar paskaidrojumu.)
b) (Otrais skolēns klusi atrisina vienādojumu, pēc tam izskaidro risinājumu, klase klausās un uzdod jautājumus, ja kaut kas nav skaidrs.)
1 skolēns Aizstāšana: 
.
2 skolēns Aizstāšana: 
.
(Papildus tiem, kuri iepriekš ir tikuši galā ar iepriekšējiem vienādojumiem).
. .
3 students
(Studenti komentē lēmuma pieņemšanas gaitu no vietas.)
RISINĀJUMS: izņemiet kopējo faktoru: ,
kur 
vai 
, t.i. 
Atbilde: 
Zināšanu padziļināšana un paplašināšana
Mēs turpinām strādāt. Slaidā ir redzams vienādojums: x 4 -5x 3 +6x 2 -5x + 1 = 0.
Kā jūs ierosinātu to atrisināt? Kā mēs varam būt?
Vai to iespējams atrisināt skolu programmu matemātikas ietvaros? Jūs varat atbildēt nē. Galu galā standarta metodes vienādojumu risināšanai skolā paredz vienādojumu risināšanu, kas nav augstāki par otro pakāpi. Bet var atgādināt, ka individuālie vienādojumi ir vairāk augstas pakāpes vēl izlēma skolā. Tiesa, to risināšanas metodes ir zināmu metožu radoša pielietošana, to reducēšana līdz viena vai vairāku pakāpes vienādojumu atrisinājumam, kas nav augstāks par otro.
Paskatieties ļoti uzmanīgi uz šo vienādojumu? Ko jūs pamanījāt ?(šajā vienādojumā koeficienti vienādā attālumā no galiem ir vienādi)
Puiši, šāda veida vienādojumu, kad koeficienti vienādā attālumā no galiem ir vienādi, sauc atgriežams. Šis vienādojums tiek reducēts līdz kvadrātiskajam, izmantojot aizstāšanu.
To risināšanai piedāvāju šādu algoritmu:
Algoritms savstarpējo vienādojumu risināšanai.
1. Sadaliet abas vienādojuma puses ar x 2.
2. Grupējiet terminus (pirmais ar pēdējo, otrais ar ceturto).
Novietojiet vienādojumu formā a
+ c = 0
3.Ieviest jaunu mainīgo t = , tad t 2 = , t.i. \u003d t 2-2.
4. Veiciet aizstāšanu un atrisiniet kvadrātvienādojumu.
5. Atgriezieties pie aizstāšanas un atrisiniet iegūtos vienādojumus.
6. Pierakstiet atbildi.
Puiši mācās algoritmu.
Skolēns pie tāfeles pēc algoritma un ar skolotāja palīdzību atrisina vienādojumu, pārējie raksta kladēs.
6x 4 - 5x 3 - 38x 2 – 5x + 6 = 0.
Risinājums.
6x 2 - 5x - 38 - 5 / x + 6 / x 2 \u003d 0.
6 (x 2 + 1 / x 2) - 5 (x + 1 / x) - 38 \u003d 0.
Ievadiet t: aizstāšana (x + 1/x) = t. Nomaiņa: (x 2 + 1 / x 2) \u003d t 2 - 2, mums ir:
6t 2 – 5t – 50 = 0.
t = -5/2 vai t = 10/3.
Atgriezīsimies pie x. Pēc apgrieztās aizstāšanas mēs atrisinām divus iegūtos vienādojumus:
1) x + 1/x = -5/2;
x 2 + 5/2 x +1 = 0;
x = -2 vai x = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
x 2 — 10/3 x + 1 = 0;
x = 3 vai x = 1/3.
Atbilde: -2; -1/2; 1/3; 3.
Lielu ieguldījumu 3. un 4. pakāpes vienādojumu problēmas risināšanā sniedza 16. gadsimta itāļu matemātiķi N. Tartaglija, A. Fiore, D. Kardano u.c.. 1535. gadā notika zinātniskais duelis starp A. Fioru un N. Tartaglia, kurā pēdējā uzvarēja. 2 stundu laikā viņš atrisināja 30 Fiore piedāvātās problēmas, un pats Fiore nevarēja atrisināt nevienu Tartaglijas doto uzdevumu.
Puiši, un es vēlos jums šodien piedāvāt vēl vienu vienādojumu, es to paņēmu no uzdevumu krājuma, lai sagatavotos OGE.
. ((x + 1) (x + 4)) ((x + 2) (x + 3)) = 24,
(x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x + 6) = 24.
Veicot izmaiņas x 2 + 5x + 4 = t, mums ir vienādojums
t(t + 2) = 24, tas ir kvadrāts:
t 2 + 2 t - 24 = 0.
t = -6 vai t = 4.
Pēc apgrieztās aizstāšanas mēs varam viegli atrast sākotnējā vienādojuma saknes.
Atbilde: -5; 0.
Radoša zināšanu un prasmju nodošana jauniem apstākļiem.
Nodarbības sākumā runājām par to, ka, ja vienādojumā ir atkārtoti elementi, tad var izmantot mainīgo aizstāšanas metodi. Mēs joprojām nezinām, kā atrisināt trigonometriskos un iracionālos vienādojumus. Apskatīsim, vai mēs varam viņiem piemērot šo metodi, ja zinām, kā atrisināt vienkāršākos trigonometriskos un iracionālos vienādojumus.
1. vingrinājums: Nosauciet mainīgā lieluma izmaiņas šādos vienādojumos.
2. uzdevums: Uzrakstiet vairākus vienādojumus, pamatojoties uz mainīgā metodes maiņu.
Apkopojot.
Tātad, puiši, mūsu stunda ir beigusies. Apkoposim mūsu mācību.
Kādus mērķus mēs izvirzījām stundas sākumā?
Vai mūsu mērķi ir sasniegti?
Ko jaunu mēs uzzinājām nodarbībā?
Mājasdarbs.
4x 4 - 8x 3 + 3x 2 - 8x + 4 = 0
(x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 40
. (itāliešu matemātiķu vienādojums)
Un es vēlos pabeigt nodarbību ar izcilā zinātnieka Einšteina A. vārdiem:
"Man ir jāsadala savs laiks starp politiku un vienādojumiem. Taču vienādojums, manuprāt, ir daudz svarīgāks, jo politika pastāv tikai šim brīdim, un vienādojums pastāvēs mūžīgi.
Paldies par nodarbību! Uz redzēšanos!
Matemātika ir urbums, caur kuru loģiskais prāts var izspiegot ideālo pasauli.
Viktors Krotovs
Skolā vadošo vietu algebras kursā ieņem racionālie vienādojumi. Viņu studijām tiek veltīts vairāk laika nekā citām tēmām. Tas galvenokārt ir saistīts ar faktu, ka vienādojumiem ir ne tikai liela teorētiska nozīme, bet tie kalpo arī daudziem praktiskiem mērķiem. Milzīgs uzdevumu skaits īstā pasauleķerties pie dažādu vienādojumu risināšanas, un tikai pēc to risināšanas metožu apgūšanas jūs atradīsiet atbildes uz dažādiem zinātnes un tehnikas jautājumiem.
Racionālu vienādojumu risināšanas prasmes veidošanā liela nozīme ir studenta patstāvīgajam darbam. Taču, pirms pāriet uz patstāvīgu darbu, ir skaidri jāzina un jāprot likt lietā visas iespējamās problēmu risināšanas metodes. racionālie vienādojumi.
Apskatīsim piemērus sīkāk mainīgo izmaiņu metode racionālu vienādojumu risināšanai.
1. piemērs
Atrisiniet vienādojumu (2x 2 - 3x + 1) 2 = 22x 2 - 33x + 1.
Risinājums.
Mēs pārrakstām vienādojumu formā
(2x 2 - 3x + 1) 2 = 11(2x 2 - 3x) + 1. Veiksim izmaiņas. Ļaujiet 2x 2 - 3x \u003d t, tad vienādojums būs šāds:
(t + 1) 2 = 11t + 1.
Tagad mēs atveram iekavas un dodam līdzīgas, mēs iegūstam:
t2 + 2t + 1 = 11t + 1;
Rezultātā nepilnīgi kvadrātvienādojums mēs izņemam kopējo faktoru no iekavām, mums būs:
t = 0 vai t = 9.
Tagad jums ir jāveic apgriezta aizstāšana un jāatrisina katrs no iegūtajiem vienādojumiem:
2x 2 - 3x = 0 vai 2x 2 - 3x = 9
x(2x - 3) = 0 2x 2 - 3x - 9 = 0
x = 0 vai x = 3/2 x = 3 vai x = -3/2
Atbilde: -1,5; 0; 1,5; 3.
2. piemērs
Atrisiniet vienādojumu (x 2 - 6x) 2 - 2 (x - 3) 2 = 81.
Risinājums.
Pielietosim starpības kvadrāta formulu (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 . Mēs rakstām sākotnējo vienādojumu formā
(x 2 - 6x) 2 - 2 (x 2 - 6x + 9) = 81. Tagad varat veikt nomaiņu.
Ļaujiet x 2 - 6x \u003d t, tad vienādojums izskatīsies šādi:
t 2 - 2 (t + 9) \u003d 81.
t 2 - 2t - 18 - 81 = 0;
t 2 - 2t - 99 = 0.
Saskaņā ar Vietas teorēmu iegūtā vienādojuma saknes būs skaitļi -9 un 11.
Veiksim apgriezto aizstāšanu:
x 2 - 6x = -9 vai x 2 - 6x = 11
x 2 - 6x + 9 = 0 x 2 - 6x - 11 = 0
(x - 3) 2 = 0 D = 80
x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 \u003d 3 - 2√5.
Atbilde: 3 - 2√5; 3; 3 + 2√5.
3. piemērs
Atrisiniet vienādojumu (x - 1) (x - 3) (x + 5) (x + 7) = 297 un atrodiet tā sakņu reizinājumu.
Risinājums.
Atradīsim "izdevīgu" veidu, kā grupēt faktorus un atvērt iekavu pārus:
((x - 1) (x + 5)) ((x - 3) (x + 7)) = 297;
(x 2 + 5x - x - 5) (x 2 + 7x - 3x - 21) = 297;
(x 2 + 4x - 5) (x 2 + 4x - 21) = 297.
Veicam izmaiņas x 2 + 4x = t, tad vienādojums izskatīsies šādi:
(t - 5) (t - 21) = 297.
Atvērsim iekavas, norādīsim līdzīgus terminus:
t 2 - 21t - 5t + 105 = 297;
t 2 — 26 t — 192 = 0.
Saskaņā ar Vietas teorēmu mēs nosakām, ka iegūtā vienādojuma saknes būs skaitļi -6 un 32.
Pēc apgrieztās aizstāšanas mums būs:
x 2 + 4x = -6 vai x 2 + 4x = 32
x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x - 32 = 0
D = 16–24< 0 D = 16 + 128 > 0
Nav sakņu x 1 = -8; x 2 = 4
Atradīsim sakņu reizinājumu: -8 4 = -32.
Atbilde: -32.
4. piemērs
Atrodiet vienādojuma (x 2 - 2x + 2) 2 + 3x(x 2 - 2x + 2) = 10x 2 sakņu summu.
Risinājums.
Ļaujiet x 2 - 2x + 2 \u003d t, tad vienādojums būs šādā formā:
t 2 + 3xt - 10x 2 \u003d 0.
Apsveriet iegūto vienādojumu kā kvadrātvienādojumu attiecībā pret t.
D \u003d (3x) 2 - 4 (-10x 2) \u003d 9x 2 + 40x 2 = 49x 2; ≥≤
t 1 = (-3x - 7x) / 2 un t 2 = (-3x + 7x) / 2;
t 1 = -5x un t 2 = 2x.
Tā kā t \u003d x 2 - 2x + 2, tad
x 2 - 2x + 2 = -5x vai x 2 - 2x + 2 = 2x. Atrisināsim katru no iegūtajiem vienādojumiem.
x 2 + 3x + 2 = 0 vai x 2 - 4x + 2 = 0.
Abiem vienādojumiem ir saknes, jo D > 0.
Izmantojot Vietas teorēmu, varam secināt, ka pirmā vienādojuma sakņu summa ir -3, bet otrā vienādojuma sakņu summa ir 4. Iegūstam, ka sākotnējā vienādojuma sakņu summa ir -3 + 4 = 1
Atbilde: 1.
5. piemērs
Atrodiet vienādojuma sakni (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32, kas pieder pie spraugas [-5; 10].
Risinājums.
Pieņemsim, ka x = t - 3, tad x + 1 = t - 2; x + 5 = t + 2 un sākotnējais vienādojums kļūst:
(t - 2) 4 + (t + 2) 4 \u003d 32. Lai paaugstinātu izteiksmes līdz ceturtajai pakāpei, var izmantot Paskāla trīsstūri (1. att.); 
(t – 2) 4 = t 4 – 4t 3 2 + 6 t 2 2 2 – 4 t 2 3 + 2 4 ;
(t + 2) 4 = t 4 + 4 t 3 2 + 6 t 2 2 2 + 4 t 2 3 + 2 4 .
Pēc līdzīgu terminu samazināšanas mēs iegūstam:
2t 4 – 2 6t 2 2 2 + 2 2 4 = 32;
t 4 + 6t 2 2 2 + 2 4 = 16;
t 4 + 24t 2 + 16 = 16;
t4 + 24t2 = 0;
t 2 (t 2 + 24) = 0;
t = 0 vai t 2 \u003d -24.
Otrajam vienādojumam nav sakņu, kas nozīmē, ka t = 0 un pēc apgrieztās aizstāšanas
x \u003d t - 3 \u003d 0 - 3 \u003d -3. Vienādojuma sakne -3 pieder pie intervāla [-5; 10].
Atbilde: -3.
Kā redzat, risinot racionālos vienādojumus, ir jāzina iepriekš minētās formulas un jāprot pareizi skaitīt. Kļūdas visbiežāk rodas, izvēloties nomaiņu un veicot atpakaļ aizstāšanu. Lai no tā izvairītos, jums ir sīki jāapraksta katra darbība, tad jūsu lēmumos nebūs kļūdu.
blog.site, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.