Vai jūs domājat, ka līdz eksāmenam vēl ir laiks, un jums būs laiks sagatavoties? Varbūt tas tā ir. Bet jebkurā gadījumā, jo agrāk students sāk apmācību, jo veiksmīgāk viņš nokārto eksāmenus. Šodien mēs nolēmām veltīt rakstu logaritmiskajām nevienādībām. Šis ir viens no uzdevumiem, kas nozīmē iespēju iegūt papildus punktu.
Vai jūs jau zināt, kas ir logaritms (log)? Mēs tiešām tā ceram. Bet pat tad, ja jums nav atbildes uz šo jautājumu, tā nav problēma. Ir ļoti viegli saprast, kas ir logaritms.
Kāpēc tieši 4? Jums jāpalielina skaitlis 3 līdz tādai pakāpei, lai iegūtu 81. Kad jūs saprotat principu, varat pāriet uz sarežģītākiem aprēķiniem.
Jūs pārvarējāt nevienlīdzību pirms dažiem gadiem. Un kopš tā laika ar tiem pastāvīgi saskaras matemātikā. Ja jums ir problēmas ar nevienlīdzību risināšanu, skatiet atbilstošo sadaļu.
Tagad, kad esam iepazinušies ar jēdzieniem atsevišķi, pāriesim pie to izskatīšanas kopumā.
Vienkāršākā logaritmiskā nevienādība.
Vienkāršākās logaritmiskās nevienādības neaprobežojas tikai ar šo piemēru, ir vēl trīs, tikai ar dažādām zīmēm. Kāpēc tas ir vajadzīgs? Lai labāk saprastu, kā ar logaritmiem atrisināt nevienlīdzību. Tagad mēs sniegsim piemērotāku piemēru, tas joprojām ir diezgan vienkāršs, sarežģītās logaritmiskās nevienādības atstāsim vēlākam laikam.
Kā to atrisināt? Viss sākas ar ODZ. Ir vērts par to uzzināt vairāk, ja vēlaties vienmēr viegli atrisināt jebkuru nevienlīdzību.
Kas ir ODU? ODV logaritmiskajām nevienādībām
Saīsinājums apzīmē reģionu pieņemamām vērtībām... Eksāmena uzdevumos šis formulējums bieži parādās. ODZ jums noder ne tikai logaritmisko nevienādību gadījumā.
Vēlreiz apskatiet iepriekš minēto piemēru. Mēs izskatīsim DHS, pamatojoties uz to, lai jūs saprastu principu, un logaritmisko nevienādību risinājums nerada nekādus jautājumus. No logaritma definīcijas izriet, ka 2x + 4 jābūt lielākam par nulli. Mūsu gadījumā tas nozīmē sekojošo.
Šim skaitlim pēc definīcijas ir jābūt pozitīvam. Atrisiniet iepriekš minēto nevienlīdzību. To var izdarīt pat mutiski, šeit ir skaidrs, ka X nevar būt mazāks par 2. Nevienlīdzības risinājums būs pieļaujamo vērtību diapazona definēšana.
Tagad pāriesim pie vienkāršākās logaritmiskās nevienādības risināšanas.
Mēs atmetam pašus logaritmus no abām nevienādības pusēm. Kas mums tā rezultātā atliek? Vienkārša nevienlīdzība.
To nav grūti atrisināt. X ir jābūt lielākam par -0,5. Tagad mēs apvienojam abas iegūtās vērtības sistēmā. Tādējādi
Tas būs aplūkojamās logaritmiskās nevienādības pieļaujamo vērtību diapazons.
Kāpēc vispār vajag ODZ? Šī ir iespēja atsijāt nepareizas un neiespējamas atbildes. Ja atbilde neietilpst pieņemamo vērtību diapazonā, tad atbildei vienkārši nav jēgas. To ir vērts atcerēties ilgu laiku, jo eksāmenā bieži ir jāmeklē ODZ, un tas attiecas ne tikai uz logaritmiskām nevienādībām.
Algoritms logaritmiskās nevienādības risināšanai
Risinājums sastāv no vairākiem posmiem. Pirmkārt, jums ir jāatrod derīgo vērtību diapazons. ODZ būs divas vērtības, mēs to apspriedām iepriekš. Tālāk jums ir jāatrisina pati nevienlīdzība. Risinājuma metodes ir šādas:
- reizinātāja aizstāšanas metode;
- sadalīšanās;
- racionalizācijas metode.
Atkarībā no situācijas jums vajadzētu izmantot kādu no iepriekš minētajām metodēm. Pāriesim tieši pie risinājuma. Atklāsim populārāko metodi, kas ir piemērota USE uzdevumu risināšanai gandrīz visos gadījumos. Tālāk mēs apskatīsim sadalīšanas metodi. Tas var palīdzēt, ja saskaraties ar īpaši sarežģītu nevienlīdzību. Tātad, logaritmiskās nevienādības risināšanas algoritms.
Risinājumu piemēri :
Mēs vienkārši tādu nevienlīdzību neesam ņēmuši par velti! Pievērsiet uzmanību pamatnei. Atcerieties: ja tas ir lielāks par vienu, zīme paliek nemainīga, kad tiek atrasts pieņemamo vērtību diapazons; pretējā gadījumā jāmaina nevienlīdzības zīme.
Rezultātā mēs iegūstam nevienlīdzību:
Tagad mēs izveidojam kreiso pusi līdz vienādojuma formai, kas vienāda ar nulli. Zīmes “mazāk” vietā liekam “vienāds”, atrisiniet vienādojumu. Tādējādi mēs atradīsim ODZ. Mēs ceram, ka ar šīs problēmas risinājumu vienkāršs vienādojums tev nebūs problēmu. Atbildes ir -4 un -2. Tas vēl nav viss. Šie punkti ir jāparāda diagrammā, jānovieto "+" un "-". Kas šim nolūkam ir jādara? Aizstāt izteiksmē skaitļus no intervāliem. Ja vērtības ir pozitīvas, mēs tur ievietojam "+".
Atbilde: x nevar būt lielāks par -4 un mazāks par -2.
Mēs atradām derīgo vērtību diapazonu tikai kreisajā pusē, tagad mums ir jāatrod derīgo vērtību diapazons labajai pusei. Tas ir daudz vieglāk. Atbilde: -2. Mēs krustojam abus iegūtos apgabalus.
Un tikai tagad mēs sākam risināt pašu nevienlīdzību.
Vienkāršosim, cik vien iespējams, lai to būtu vieglāk atrisināt.
Šķīdumā vēlreiz pielietojiet atstarpes metodi. Izlaidīsim aprēķinus, ar viņu viss jau ir skaidrs no iepriekšējā piemēra. Atbilde.
Bet šī metode ir piemērota, ja logaritmiskajai nevienādībai ir tāds pats pamats.
Risinājums logaritmiskie vienādojumi un nevienlīdzības ar dažādi iemesli paredz sākotnējo samazinājumu līdz vienai bāzei. Pēc tam izpildiet iepriekš minēto metodi. Bet ir vairāk grūts gadījums... Apsveriet vienu no visvairāk sarežģītas sugas logaritmiskās nevienādības.
Mainīgās bāzes logaritmiskās nevienādības
Kā atrisināt nevienlīdzības ar šādiem raksturlielumiem? Jā, un tādus var atrast eksāmenā. Nevienlīdzību risināšana šādā veidā arī nāks par labu jūsu izglītības procesam. Izdomāsim detalizēti... Atmetīsim teoriju, ķersimies pie prakses. Lai atrisinātu logaritmiskās nevienādības, pietiek vienreiz izlasīt piemēru.
Lai atrisinātu uzrādītās formas logaritmisko nevienādību, labā puse ir jāsamazina līdz logaritmam ar tādu pašu bāzi. Princips atgādina līdzvērtīgas pārejas. Rezultātā nevienlīdzība izskatīsies šādi.
Patiesībā atliek izveidot nevienādību sistēmu bez logaritmiem. Izmantojot racionalizācijas metodi, mēs pārejam uz līdzvērtīgu nevienlīdzību sistēmu. Jūs sapratīsit pašu noteikumu, kad aizstāsit atbilstošās vērtības un izsekosit to izmaiņām. Sistēmai būs šādas nevienādības.
Izmantojot racionalizācijas metodi, risinot nevienādības, jāatceras: no bāzes ir jāatņem viens, x pēc logaritma definīcijas tiek atņemts no abām nevienādības pusēm (pa labi no kreisās), divas izteiksmes tiek reizināti un iestatīti zem sākotnējās zīmes attiecībā pret nulli.
Turpmākais risinājums tiek veikts ar intervālu metodi, šeit viss ir vienkāršs. Jums ir svarīgi saprast risināšanas metožu atšķirības, tad viss sāks viegli atrisināties.
V logaritmiskās nevienādības daudzas nianses. Vienkāršākos no tiem ir pietiekami viegli atrisināt. Kā pārliecināties, ka varat atrisināt katru no tiem bez problēmām? Jūs jau esat saņēmis visas atbildes šajā rakstā. Tagad jums priekšā ir ilga prakse. Praktizējiet konsekventi dažādu uzdevumu risināšanu eksāmenā, un jūs varēsiet iegūt augstāko punktu skaitu. Veiksmi grūtajā biznesā!
Starp dažādām logaritmisko nevienādībām atsevišķi tiek pētītas nevienādības ar mainīgu bāzi. Tos risina, izmantojot īpašu formulu, ko skolā nez kāpēc reti stāsta:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0
Izvēles rūtiņas "∨" vietā varat ievietot jebkuru nevienlīdzības zīmi: vairāk vai mazāk. Galvenais, lai abās nevienādībās zīmes būtu vienādas.
Tātad mēs atbrīvojamies no logaritmiem un samazinām problēmu līdz racionālai nevienlīdzībai. Pēdējo ir daudz vieglāk atrisināt, bet, nometot logaritmus, var parādīties nevajadzīgas saknes. Lai tos nogrieztu, pietiek ar to, lai atrastu pieņemamo vērtību diapazonu. Ja esat aizmirsis logaritma ODZ, ļoti iesaku to atkārtot - skatiet "Kas ir logaritms".
Viss, kas saistīts ar pieļaujamo vērtību diapazonu, ir jāizraksta un jāatrisina atsevišķi:
f (x)> 0; g (x)> 0; k (x)> 0; k (x) ≠ 1.
Šīs četras nevienlīdzības veido sistēmu, un tās jāizpilda vienlaikus. Kad derīgo vērtību diapazons ir atrasts, atliek šķērsot to ar risinājumu racionālā nevienlīdzība- un atbilde ir gatava.
Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:
Vispirms izrakstīsim logaritma ODZ:
Pirmās divas nevienādības tiek izpildītas automātiski, un pēdējā būs jāapraksta. Tā kā skaitļa kvadrāts ir nulle ja un tikai tad, ja pats skaitlis ir nulle, mums ir:
x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Izrādās, ka logaritma ODZ ir visi skaitļi, izņemot nulli: x ∈ (−∞ 0) ∪ (0; + ∞). Tagad mēs atrisinām galveno nevienlīdzību:
Mēs veicam pāreju no logaritmiskās nevienādības uz racionālo. Sākotnējā nevienādībā ir zīme "mazāk", kas nozīmē, ka iegūtajai nevienādībai jābūt arī ar "mazāk" zīmi. Mums ir:
(10 — (x 2 + 1)) (x 2 + 1 –1)< 0;
(9 x 2) x 2< 0;
(3 – x) (3 + x) x 2< 0.
Šīs izteiksmes nulles: x = 3; x = –3; x = 0. Turklāt x = 0 ir otrās daudzkārtības sakne, kas nozīmē, ka, izejot tai cauri, funkcijas zīme nemainās. Mums ir:
Iegūstam x ∈ (−∞ −3) ∪ (3; + ∞). Šis komplekts ir pilnībā ietverts logaritma ODZ, kas nozīmē, ka šī ir atbilde.
Logaritmisko nevienādību pārveidošana
Bieži vien sākotnējā nevienlīdzība atšķiras no iepriekšminētās. To ir viegli salabot saskaņā ar standarta noteikumiem darbam ar logaritmiem - skatiet sadaļu "Logaritmu pamatīpašības". Proti:
- Jebkuru skaitli var attēlot kā logaritmu ar noteiktu bāzi;
- Logaritmu ar vienādām bāzēm summu un starpību var aizstāt ar vienu logaritmu.
Vēlos atgādināt arī par pieņemamo vērtību diapazonu. Tā kā sākotnējā nevienādībā var būt vairāki logaritmi, katram no tiem ir jāatrod ODV. Tādējādi vispārējā shēma Logaritmisko nevienādību risinājumi ir šādi:
- Atrodiet katra nevienādībā iekļautā logaritma ODV;
- Samazināt nevienādību līdz standartam pēc logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas formulām;
- Atrisiniet iegūto nevienādību saskaņā ar iepriekš norādīto shēmu.
Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:
Atradīsim pirmā logaritma definīcijas domēnu (ODZ):
Atrisinām ar intervālu metodi. Atrodiet skaitītāja nulles:
3x - 2 = 0;
x = 2/3.
Tad - saucēja nulles:
x - 1 = 0;
x = 1.
Uz koordinātu bultiņas atzīmējam nulles un zīmes:
Iegūstam x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). Otrais ODV logaritms būs tāds pats. Ja neticat, varat to pārbaudīt. Tagad mēs pārveidojam otro logaritmu tā, lai pamatā būtu divi:
Kā redzat, trīskārši logaritma bāzē un priekšā ir saraujušies. Saņēma divus logaritmus ar uz tāda paša pamata... Mēs tos pievienojam:
žurnāls 2 (x - 1) 2< 2;
žurnāls 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .
Saņēma standarta logaritmisko nevienādību. Mēs atbrīvojamies no logaritmiem pēc formulas. Tā kā sākotnējā nevienādība satur zīmi mazāk nekā, iegūtajai racionālajai izteiksmei arī jābūt mazākai par nulli. Mums ir:
(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).
Mums ir divi komplekti:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
- Atbildes kandidāts: x ∈ (−1; 3).
Atliek šķērsot šīs kopas - mēs saņemam īsto atbildi:
Mūs interesē kopu krustpunkts, tāpēc atlasiet abās bultiņās aizpildītos intervālus. Iegūstam x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - visi punkti ir caurdurti.
Bieži vien, risinot logaritmiskās nevienādības, rodas problēmas ar logaritma mainīgo bāzi. Tātad formas nevienlīdzība
ir standarta skolu nevienlīdzība. Parasti, lai to atrisinātu, tiek piemērota pāreja uz līdzvērtīgu sistēmu kopu:
Trūkums šī metode ir nepieciešamība atrisināt septiņas nevienādības, neskaitot divas sistēmas un vienu kopu. Jau ar dotajām kvadrātfunkcijām kopas risināšana var būt laikietilpīga.
Var piedāvāt alternatīvu, mazāk darbietilpīgu veidu, kā atrisināt šo standarta nevienlīdzību. Šim nolūkam mēs ņemam vērā šādu teorēmu.
Teorēma 1. Ļaujiet nepārtraukti pieaugošai funkcijai uz kopas X. Tad šajā kopā funkcijas pieauguma zīme sakritīs ar argumenta pieauguma zīmi, tas ir, , kur 
.
Piezīme: ja nepārtraukti samazinās funkcija komplektā X, tad.
Atgriezīsimies pie nevienlīdzības. Dosimies uz decimāllogaritmu (varat pāriet uz jebkuru, kura konstanta bāze ir lielāka par vienu).
Tagad jūs varat izmantot teorēmu, skaitītājā atzīmējot funkciju pieaugumu 
un saucējā. Tātad tā ir taisnība
Rezultātā aprēķinu skaits, kas ved uz atbildi, tiek samazināts aptuveni uz pusi, kas ne tikai ietaupa laiku, bet arī ļauj potenciāli pieļaut mazāk aritmētisko un “neuzmanības” kļūdu.
1. piemērs.
Salīdzinot ar (1), mēs atklājam 
, 
, .
Pārejot uz (2), mums būs:
2. piemērs.
Salīdzinot ar (1), mēs atklājam,,.
Pārejot uz (2), mums būs:
3. piemērs.
Tā kā nevienlīdzības kreisā puse ir pieaugoša funkcija un 
, tad atbilde ir iestatīta.
Piemēru kopu, kurā var pielietot 1. teorēmu, var viegli paplašināt, ja ņem vērā 2. teorēmu.
Ļaujiet filmēšanas laukumā X funkcijas,,, un uz šīs kopas zīmes un sakrīt, t.i. tad būs godīgi.
4. piemērs.
5. piemērs.
Ar standarta pieeju piemērs tiek atrisināts saskaņā ar shēmu: reizinājums ir mazāks par nulli, ja faktori ir pretējas zīmēs. Tie. aplūkota divu nevienādību sistēmu kopa, kurā, kā norādīts sākumā, katra nevienlīdzība sadalās vēl septiņās.
Ja ņemam vērā 2. teorēmu, tad katru no faktoriem, ņemot vērā (2), var aizstāt ar citu funkciju, kurai ir tāda pati zīme šajā piemērā O.D.Z.
Metode funkcijas pieauguma aizstāšanai ar argumenta pieaugumu, ņemot vērā 2. teorēmu, izrādās ļoti ērta, risinot eksāmena C3 tipiskās problēmas.
6. piemērs.
7. piemērs.
... Apzīmēsim. Mēs saņemam
... Ņemiet vērā, ka aizstāšana nozīmē:. Atgriežoties pie vienādojuma, mēs iegūstam
.
8. piemērs.
Mūsu izmantotajās teorēmās funkciju klasēm nav ierobežojumu. Šajā rakstā, piemēram, teorēmas ir izmantotas logaritmisko nevienādību risināšanai. Daži nākamie piemēri demonstrēs metodes solījumu cita veida nevienlīdzību risināšanai.