Relatīvā kļūda var būt lielāka par 100. Ko sauc par aptuveno vērtību? Kā reģistrēt mērījumu rezultātu

Fizikālo lielumu mērījumu kļūdas

1. Ievads (mērījumi un mērījumu kļūdas)

2. Nejaušas un sistemātiskas kļūdas

3. Absolūtās un relatīvās kļūdas

4. Mērinstrumentu kļūdas

5. Elektrisko mērinstrumentu precizitātes klase

6. Lasīšanas kļūda

7. Tiešo mērījumu kopējā absolūtā kļūda

8. Tiešā mērījuma gala rezultāta fiksēšana

9. Netiešo mērījumu kļūdas

10.Piemērs

1. Ievads (mērījumi un mērījumu kļūdas)

Fizika kā zinātne radās pirms vairāk nekā 300 gadiem, kad Galileo būtībā radīja fizikālo parādību zinātnisko izpēti: fizikālie likumi tiek noteikti un pārbaudīti eksperimentāli, uzkrājot un salīdzinot eksperimentālos datus, ko attēlo skaitļu kopa, likumi tiek formulēti cilvēku valodā. matemātika, ti ar formulu palīdzību, kas saista fizikālo lielumu skaitliskās vērtības pēc funkcionālās atkarības. Tāpēc fizika ir eksperimentāla zinātne, fizika ir kvantitatīvā zinātne.

Iepazīsimies ar dažām raksturīgām jebkuru mērījumu iezīmēm.

Mērīšana ir skaitliskas vērtības atrašana fiziskais daudzums empīriski izmantojot mērinstrumentus (lineālus, voltmetrus, pulksteņus utt.).

Mērījumi var būt tieši un netieši.

Tiešais mērījums ir fiziska lieluma skaitliskās vērtības noteikšana tieši ar mērinstrumentiem. Piemēram, garums - ar lineālu, atmosfēras spiediens - ar barometru.

Netiešais mērījums ir fiziska lieluma skaitliskās vērtības noteikšana pēc formulas, kas saista vēlamo vērtību ar citiem lielumiem, kas noteikti ar tiešiem mērījumiem. Piemēram, vadītāja pretestību nosaka pēc formulas R=U/I, kur U un I mēra ar elektriskiem mērinstrumentiem.

Apsveriet mērīšanas piemēru.

Izmēriet stieņa garumu ar lineālu (dalījums 1 mm). Var tikai norādīt, ka stieņa garums ir no 22 līdz 23 mm. “Nezināmā” intervāla platums ir 1 mm, tas ir, tas ir vienāds ar dalījuma vērtību. Nomainot lineālu ar jutīgāku instrumentu, piemēram, suportu, šis intervāls samazināsies, kā rezultātā palielināsies mērījumu precizitāte. Mūsu piemērā mērījumu precizitāte nepārsniedz 1 mm.

Tāpēc mērījumi nekad nevar būt absolūti precīzi. Jebkura mērījuma rezultāts ir aptuvens. Mērījumu nenoteiktību raksturo kļūda - fiziska lieluma izmērītās vērtības novirze no tā patiesās vērtības.

Mēs uzskaitām dažus iemeslus, kas izraisa kļūdu parādīšanos.

1. Ierobežota precizitāte mērinstrumentu ražošanā.

2. Ietekme uz ārējo apstākļu mērīšanu (temperatūras maiņa, sprieguma svārstības...).

3. Eksperimentētāja darbības (aizkavēšanās hronometra ieslēgšanā, dažāda acs pozīcija...).

4. Izmērīto lielumu noteikšanai izmantoto likumu aptuvenais raksturs.

Uzskaitītos kļūdu parādīšanās iemeslus nevar novērst, lai gan tos var samazināt. Zinātniskā pētījuma rezultātā iegūto secinājumu ticamības noteikšanai ir metodes šo kļūdu novērtēšanai.

2. Nejaušas un sistemātiskas kļūdas

Mērījumu rezultātā radušās kļūdas iedala sistemātiskās un nejaušās.

Sistemātiskās kļūdas ir kļūdas, kas atbilst izmērītās vērtības novirzei no fiziskā lieluma patiesās vērtības, vienmēr vienā virzienā (pieaugums vai samazinājums). Atkārtoti veicot mērījumus, kļūda paliek nemainīga.

Sistemātisko kļūdu cēloņi:

1) mērīšanas līdzekļu neatbilstība standartam;

2) nepareiza mērinstrumentu uzstādīšana (slīpums, nelīdzsvarotība);

3) ierīču sākotnējo rādītāju nesakritība ar nulli un ar to saistīto labojumu ignorēšana;

4) neatbilstība starp mērīto objektu un pieņēmumu par tā īpašībām (tukšumu klātbūtne utt.).

Nejaušas kļūdas ir kļūdas, kas neparedzami maina to skaitlisko vērtību. Šādas kļūdas izraisa liels skaits nekontrolējamu cēloņu, kas ietekmē mērīšanas procesu (objekta virsmas nelīdzenumi, vēja pūš, strāvas pārspriegums utt.). Nejaušo kļūdu ietekmi var samazināt, atkārtoti atkārtojot eksperimentu.

3. Absolūtās un relatīvās kļūdas

Mērījumu kvalitātes kvantitatīvai novērtēšanai tiek ieviesti absolūto un relatīvo mērījumu kļūdu jēdzieni.

Kā jau minēts, jebkurš mērījums dod tikai aptuvenu fiziskā lieluma vērtību, bet jūs varat norādīt intervālu, kas satur tā patieso vērtību:

A pr - D A< А ист < А пр + D А

D vērtība A sauc par absolūto kļūdu lieluma A mērīšanā. Absolūto kļūdu izsaka izmērītā daudzuma vienībās. Absolūtā kļūda ir vienāda ar fiziskā lieluma vērtības maksimālās iespējamās novirzes no izmērītās vērtības moduli. A pr - eksperimentāli iegūta fizikālā lieluma vērtība, ja mērījums tika veikts atkārtoti, tad šo mērījumu vidējais aritmētiskais.

Bet, lai novērtētu mērījuma kvalitāti, ir jānosaka relatīvā kļūda e. e \u003d D A / A pr vai e \u003d (DA / A pr) * 100%.

Ja mērījuma laikā tiek iegūta relatīvā kļūda, kas lielāka par 10%, tad viņi saka, ka ir veikts tikai izmērītās vērtības novērtējums. Fiziskās darbnīcas laboratorijās ir ieteicams veikt mērījumus ar relatīvo kļūdu līdz 10%. Zinātniskajās laboratorijās daži precīzi mērījumi (piemēram, gaismas viļņa garuma noteikšana) tiek veikti ar precizitāti līdz miljonajām procenta daļām.

4. Mērinstrumentu kļūdas

Šīs kļūdas sauc arī par instrumentālām vai instrumentālām. Tie ir saistīti ar mērierīces konstrukciju, tās izgatavošanas un kalibrēšanas precizitāti. Parasti viņi ir apmierināti ar pieļaujamajām instrumentālajām kļūdām, kuras ražotājs ir norādījis šīs ierīces pasē. Šīs pieļaujamās kļūdas regulē GOST. Tas attiecas arī uz standartiem. Parasti absolūto instrumentālo kļūdu apzīmē ar D un A.

Ja nav informācijas par pieļaujamo kļūdu (piemēram, lineālam), tad par šo kļūdu var ņemt pusi dalījuma cenas.

Sverot absolūtā instrumentālā kļūda ir svaru un atsvaru instrumentālo kļūdu summa. Tabulā ir norādītas visbiežāk pieļaujamās kļūdas

skolas eksperimentā sastaptie mērinstrumenti.

Mērīšana	Mērījumu robeža	Sadalījuma vērtība	Pieļaujamā kļūda
studentu valdnieks
demonstrācijas lineāls
mērīšanas lente
vārglāze
svars 10,20, 50 mg
svars 100.200 mg
svars 500 mg







suporti
mikrometrs
dinamometrs
izglītības svari
Hronometrs			1 s uz 30 minūtēm
aneroid barometrs	720-780 mmHg	1 mmHg	3 mmHg
laboratorijas termometrs	0-100 grādi C
skolas ampērmetrs
voltmetru skola

5. Elektrisko mērinstrumentu precizitātes klase

Rādītāju elektriskie mērinstrumenti saskaņā ar atļautās vērtības kļūdas iedala precizitātes klasēs, kuras uz instrumentu skalām norāda ar cipariem 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0. Precizitātes klase g pr instruments parāda, cik procentu ir visas instrumenta skalas absolūtā kļūda.

g pr \u003d (D un A/A max) * 100% .

Piemēram, 2,5 klases instrumenta absolūtā instrumentālā kļūda ir 2,5% no tā skalas.

Ja ir zināma ierīces precizitātes klase un tās mērogs, tad var noteikt absolūto instrumentālo mērījumu kļūdu

D un A \u003d ( g pr * A max) / 100.

Lai uzlabotu mērījumu precizitāti ar rādītāju elektrisko mērierīci, nepieciešams izvēlēties ierīci ar tādu skalu, lai mērīšanas procesā tie atrastos ierīces skalas otrajā pusē.

6. Lasīšanas kļūda

Nolasīšanas kļūda tiek iegūta no nepietiekami precīzas mērinstrumentu rādījumu nolasīšanas.

Vairumā gadījumu absolūtā nolasīšanas kļūda tiek pieņemta vienāda ar pusi no dalīšanas vērtības. Izņēmums ir mērījumi ar analogajiem pulksteņiem (rokas kustas raustās).

Parasti tiek apzīmēta absolūtā lasīšanas kļūda D oA

7. Tiešo mērījumu kopējā absolūtā kļūda

Veicot tiešus fizikālā lieluma A mērījumus, nepieciešams novērtēt šādas kļūdas: D uA, D oA un D sA (nejauši). Protams, ir jāizslēdz citi kļūdu avoti, kas saistīti ar nepareizu instrumentu uzstādīšanu, instrumenta rādītāja sākotnējās pozīcijas novirzi ar 0 utt.

Tiešā mērījuma kopējā absolūtajā kļūdā jāiekļauj visi trīs kļūdu veidi.

Ja nejaušā kļūda ir maza, salīdzinot ar mazāko vērtību, ko var izmērīt ar šo mērinstrumentu (salīdzinot ar dalījuma vērtību), tad to var atstāt novārtā un tad pietiek ar vienu mērījumu, lai noteiktu fiziskā lieluma vērtību. Pretējā gadījumā varbūtības teorija iesaka mērījumu rezultātu atrast kā vidējo aritmētiskā vērtība visas vairāku mērījumu sērijas rezultātus, rezultāta kļūdu aprēķina ar matemātiskās statistikas metodi. Zināšanas par šīm metodēm pārsniedz skolas mācību programmu.

8. Tiešā mērījuma gala rezultāta fiksēšana

Fiziskā lieluma A mērījuma gala rezultāts ir jāuzraksta šādā formā;

A=A pr + D A, e \u003d (DA / A pr) * 100%.

A pr - eksperimentāli iegūta fizikālā lieluma vērtība, ja mērījums tika veikts atkārtoti, tad šo mērījumu vidējais aritmētiskais. D A ir tiešā mērījuma kopējā absolūtā kļūda.

Absolūto kļūdu parasti izsaka kā vienu nozīmīgu skaitli.

Piemērs: L=(7.9 + 0,1) mm, e=13%.

9. Netiešo mērījumu kļūdas

Apstrādājot fiziska lieluma netiešo mērījumu rezultātus, kas ir funkcionāli saistīti ar fiziskajiem lielumiem A, B un C, kuri tiek mērīti tiešā veidā, vispirms tiek noteikta netiešā mērījuma relatīvā kļūda. e=D X / X pr, izmantojot tabulā norādītās formulas (bez pierādījumiem).

Absolūto kļūdu nosaka pēc formulas D X \u003d X pr * e,

kur e izteikts decimāldaļās, nevis procentos.

Gala rezultāts tiek reģistrēts tāpat kā tiešo mērījumu gadījumā.

Funkcijas veids	Formula
X=A+B+C
X=A-B
X=ABC
X=A n
X=A/B

Piemērs: Aprēķināsim kļūdu, mērot berzes koeficientu, izmantojot dinamometru. Pieredze ir tāda, ka stienis tiek vienmērīgi vilkts pa horizontālu virsmu un tiek mērīts pieliktais spēks: tas ir vienāds ar slīdēšanas berzes spēku.

Izmantojot dinamometru, mēs nosveram stieni ar atsvariem: 1,8 N. F tr \u003d 0,6 N

μ = 0,33. Dinamometra instrumentālā kļūda (atrodiet tabulā) ir Δ un = 0,05N, nolasīšanas kļūda (puse no skalas dalījuma)

Δ o = 0,05 N. Absolūtā kļūda svara un berzes spēka mērīšanā ir 0,1 N.

Relatīvā mērījuma kļūda (tabulas 5. rinda)

, tāpēc μ netiešā mērījuma absolūtā kļūda ir 0,22*0,33=0,074

Absolūtās un relatīvās kļūdas

Absolūtā tuvinājuma kļūda

Veicot aprēķinus ar bezgalīgām decimāldaļām, ērtības labad ir nepieciešams veikt šo skaitļu tuvināšanu, tas ir, noapaļot uz augšu. Aptuvenos skaitļus iegūst arī no dažādiem mērījumiem.

Var būt noderīgi zināt, cik ļoti skaitļa aptuvenā vērtība atšķiras no tā precīzās vērtības. Skaidrs, ka jo mazāka šī starpība, jo labāk, jo precīzāk tiek veikts mērījums vai aprēķins.

Lai noteiktu mērījumu (aprēķinu) precizitāti, tiek ieviests tāds jēdziens kā aproksimācijas kļūda. Citā veidā to sauc par absolūtu kļūdu.

Absolūta kļūda tuvināšana ir starpības modulis starp skaitļa precīzu vērtību un tā aptuveno vērtību.

kur X ir precīza skaitļa vērtība, a ir tā aptuvenā vērtība.

Piemēram, mērījumu rezultātā tika iegūts skaitlis. Tomēr aprēķina pēc formulas rezultātā šī skaitļa precīza vērtība. Tad absolūtā aproksimācijas kļūda

Bezgalīgu daļskaitļu gadījumā aproksimācijas kļūdu nosaka pēc tās pašas formulas. Precīza skaitļa vietā tiek ierakstīta pati bezgalīgā daļa. Piemēram, . Šeit izrādās, ka aproksimācijas absolūtā kļūda tiek izteikta ar iracionālu skaitli.

Aproksimāciju var veikt kā trūkuma dēļ , un pārpalikumā .

Tas pats skaitlis π, tuvojoties deficītam ar precizitāti 0,01, ir 3,14, un, tuvojoties pārsniegumam ar precizitāti 0,01, tas ir 3,15.

Noapaļošanas noteikums: ja pirmais izmetamais cipars ir vienāds ar pieci vai lielāks par pieciem, tad tiek veikta liekā tuvināšana; ja mazāk par pieciem, tad defekta dēļ.

Piemēram, tāpēc, trešais cipars aiz skaitļa π komata ir 1, tad, tuvojoties ar precizitāti 0,01, to veic trūkums.

Aprēķināsim absolūtās aproksimācijas kļūdas līdz 0,01 no skaitļa π deficīta un pārmērības izteiksmē:

Kā redzam, absolūtā tuvinājuma kļūda pēc deficīta ir mazāka nekā pārmērība. Tas nozīmē, ka tuvinājumam pēc deficīta šajā gadījumā ir lielāka precizitāte.

Relatīvā tuvinājuma kļūda

Absolūtajai kļūdai ir viens būtisks trūkums – tā neļauj novērtēt kļūdas nozīmīguma pakāpi.

Piemēram, mēs pērkam tirgū 5 kg kartupeļu, un negodīgs pārdevējs, mērot svaru, kļūdījās par 50 g par labu. Tie. absolūtā kļūda bija 50 g.Mums tāda neuzmanība būs tīrais sīkums un mēs tam pat nepievērsīsim uzmanību. Ko darīt, ja līdzīga kļūda rodas, gatavojot zāles? Šeit viss būs daudz nopietnāk. Un, iekraujot kravas vagonu, novirzes, visticamāk, būs daudz lielākas par šo vērtību.

Tāpēc pati absolūtā kļūda nav īpaši informatīva. Papildus tam bieži tiek papildus aprēķināta relatīvā novirze.

Relatīvā tuvinājuma kļūda ir absolūtās kļūdas attiecība pret precīzu skaitļa vērtību.

Relatīvā kļūda ir bezizmēra lielums vai tiek mērīts procentos.

Ņemsim dažus piemērus.

1. piemērs Uzņēmumā strādā 1284 darbinieki un darbinieki. Noapaļo strādnieku skaitu līdz tuvākajam veselajam skaitlim ar pārpalikumu un trūkumu. Atrodiet to absolūtās un relatīvās kļūdas (procentos). Izdariet secinājumu.

Tātad,.

Absolūtā kļūda:

Relatīvā kļūda:

Tas nozīmē, ka tuvinājuma precizitāte ar mīnusu ir augstāka nekā tuvinājuma precizitāte ar pārmērību.

2. piemērs Skolā mācās 197 skolēni. Noapaļo skolēnu skaitu līdz tuvākajam veselajam skaitlim ar pārpalikumu un trūkumu. Atrodiet to absolūtās un relatīvās kļūdas (procentos). Izdariet secinājumu.

Tātad,.

Absolūtā kļūda:

Relatīvā kļūda:

Tas nozīmē, ka tuvinājuma precizitāte ar pārmērību ir augstāka nekā tuvinājuma precizitāte ar trūkumu.

Atrast absolūta kļūda tuvinājumi:

Aptuvenā skaitļa vērtībaX vienādsa . Atrodiet absolūto aproksimācijas kļūdu, ja:

Uzrakstiet kā dubultu nevienādību:

Atrodiet skaitļa aptuveno vērtībuX , ir vienāds ar vidējo aritmētisko vērtību zem un virs tuvinājumiem, ja:

Pierādīt, ka skaitļu vidējais aritmētiskaisa unb ir katra no šiem skaitļiem aptuvenā vērtība līdz.

Noapaļo skaitļus:

līdz vienībām

līdz desmitdaļām

līdz tūkstošdaļām

līdz pat tūkstošiem

līdz simttūkstošdaļām

līdz vienībām

līdz desmitiem

līdz desmitdaļām

līdz tūkstošdaļām

līdz simtiem

līdz desmit tūkstošdaļām

Iedomājies kopējā frakcija kā decimāldaļu un noapaļo to līdz tūkstošdaļām un atrod absolūto kļūdu:

Pierādiet, ka katrs no skaitļiem 0,368 un 0,369 ir aptuvenā skaitļa vērtība līdz 0,001. Kura no tām ir aptuvenā skaitļa vērtība ar precizitāti 0,0005?

Pierādiet, ka katrs no skaitļiem 0,38 un 0,39 ir aptuvenā skaitļa vērtība līdz 0,01. Kura no tām ir aptuvenā skaitļa vērtība ar precizitāti 0,005?

Noapaļojiet skaitli līdz vienībām un atrodiet relatīvo noapaļošanas kļūdu:

5,12

9,736

49,54

1,7

9,85

5,314

99,83

Izsakiet katru no skaitļiem un kā decimālo daļu. Noapaļojot iegūtās daļas līdz desmitdaļām, atrodiet tuvinājumu absolūtās un relatīvās kļūdas.

Zemes rādiuss ir 6380 km ar precizitāti 10 km. Novērtējiet aptuvenās vērtības relatīvo kļūdu.

Mazākais attālums no Zemes līdz Mēness ir 356400 km ar 100 km precizitāti. Novērtējiet relatīvo aproksimācijas kļūdu.

Salīdziniet masas mērīšanas īpašībasM elektriskā lokomotīve un masasT zāļu tabletes, ja t (ar precizitāti līdz 0,5 t) un g (ar precizitāti līdz 0,01 g).

Salīdziniet Volgas upes garuma un galda tenisa bumbiņas diametra mērīšanas kvalitāti, ja km (ar precizitāti līdz 5 km) un mm (ar precizitāti līdz 1 mm).

Lai novērtētu ar augstu sarežģītību veikto aprēķinu neprecizitāti, tiek izmantota absolūtā un relatīvā kļūda. Tos izmanto arī dažādos mērījumos un aprēķinu rezultātu noapaļošanai. Apsveriet, kā noteikt absolūto un relatīvo kļūdu.

Absolūta kļūda

Skaitļa absolūtā kļūda nosauciet atšķirību starp šo skaitli un tā precīzo vērtību.
Apsveriet piemēru : skolā mācās 374 skolēni. Ja šo skaitli noapaļo līdz 400, tad absolūtā mērījuma kļūda ir 400-374=26.

Lai aprēķinātu absolūto kļūdu, ir nepieciešams no vairāk atņemt mazāk.

Ir absolūtās kļūdas formula. Mēs apzīmējam precīzu skaitli ar burtu A, bet ar burtu a - tuvinājumu precīzam skaitlim. Aptuvenais skaitlis ir skaitlis, kas nedaudz atšķiras no precīzā skaitļa un parasti to aizstāj aprēķinos. Tad formula izskatīsies šādi:

Δa=A-a. Kā atrast absolūto kļūdu pēc formulas, mēs apspriedām iepriekš.

Praksē ar absolūto kļūdu nepietiek, lai precīzi novērtētu mērījumu. Reti ir iespējams precīzi zināt izmērītā daudzuma vērtību, lai aprēķinātu absolūto kļūdu. Ja izmēra grāmatu 20 cm garumā un pieļauj 1 cm kļūdu, mērījumu var nolasīt ar lielu kļūdu. Bet, ja, mērot 20 metru sienu, tika pieļauta kļūda 1 cm, šo mērījumu var uzskatīt par pēc iespējas precīzāku. Tāpēc praksē vairāk nozīmi ir relatīvās mērījumu kļūdas definīcija.

Ierakstiet skaitļa absolūto kļūdu, izmantojot zīmi ±. piemēram , tapešu ruļļa garums ir 30 m ± 3 cm Absolūtās kļūdas robežu sauc par ierobežojošo absolūto kļūdu.

Relatīvā kļūda

Relatīvā kļūda sauc par skaitļa absolūtās kļūdas attiecību pret pašu skaitli. Lai aprēķinātu relatīvo kļūdu studenta piemērā, sadaliet 26 ar 374. Iegūstam skaitli 0,0695, pārvēršam to procentos un iegūstam 6%. Relatīvā kļūda tiek apzīmēta procentos, jo tas ir bezizmēra lielums. Relatīvā kļūda ir precīzs mērījumu kļūdas novērtējums. Ja, mērot 10 cm un 10 m segmentu garumu, ņemam absolūto kļūdu 1 cm, tad relatīvās kļūdas būs attiecīgi vienādas ar 10% un 0,1%. Segmentam, kura garums ir 10 cm, 1 cm kļūda ir ļoti liela, tā ir 10% kļūda. Un desmit metru segmentam 1 cm nav nozīmes, tikai 0,1%.

Ir sistemātiskas un nejaušas kļūdas. Sistemātiskā kļūda ir kļūda, kas paliek nemainīga atkārtotu mērījumu laikā. Ietekmes uz mērīšanas procesu rezultātā rodas nejauša kļūda ārējie faktori un var mainīt tā vērtību.

Kļūdu aprēķināšanas noteikumi

Kļūdu nominālajai novērtēšanai ir vairāki noteikumi:

saskaitot un atņemot skaitļus, jāsaskaita to absolūtās kļūdas;
dalot un reizinot skaitļus, jāsaskaita relatīvās kļūdas;
kad to paaugstina, relatīvā kļūda tiek reizināta ar eksponentu.

Aptuveni un precīzi skaitļi tiek rakstīti, izmantojot decimāldaļskaitļi. Tiek ņemta tikai vidējā vērtība, jo precīzā vērtība var būt bezgalīgi gara. Lai saprastu, kā rakstīt šos skaitļus, jums jāapgūst pareizie un apšaubāmie skaitļi.

Patiesie skaitļi ir tie skaitļi, kuru cipars pārsniedz skaitļa absolūto kļūdu. Ja cipara cipars ir mazāks par absolūto kļūdu, to sauc par apšaubāmu. piemēram , daļai no 3,6714 ar kļūdu 0,002 pareizi būs skaitļi 3,6,7, bet apšaubāmi būs 1 un 4. Aptuvenā skaitļa ierakstā ir atstāti tikai pareizie skaitļi. Daļa šajā gadījumā izskatīsies šādi - 3,67.

Ko mēs esam iemācījušies?

Mērījumu precizitātes novērtēšanai izmanto absolūtās un relatīvās kļūdas. Absolūtā kļūda ir atšķirība starp precīzu un aptuveno skaitli. Relatīvā kļūda ir skaitļa absolūtās kļūdas attiecība pret pašu skaitli. Praksē tiek izmantota relatīvā kļūda, jo tā ir precīzāka.

Bieži dzīvē mums nākas saskarties ar dažādām aptuvenām vērtībām. Aptuvenie aprēķini vienmēr ir aprēķini ar zināmu kļūdu.

Absolūtās kļūdas jēdziens

Aptuvenās vērtības absolūtā kļūda ir precīzās un aptuvenās vērtības starpības modulis.
Tas ir, no precīzās vērtības jums ir jāatņem aptuvenā vērtība un jāņem iegūtais skaitlis modulo. Tādējādi absolūtā kļūda vienmēr ir pozitīva.

Kā aprēķināt absolūto kļūdu

Mēs parādīsim, kā tas varētu izskatīties praksē. Piemēram, mums ir noteiktas vērtības grafiks, lai tā būtu parabola: y=x^2.

No diagrammas mēs varam noteikt aptuveno vērtību dažos punktos. Piemēram, ja x=1,5, y vērtība ir aptuveni 2,2 (y≈2,2).

Izmantojot formulu y=x^2, mēs varam atrast precīzu vērtību punktā x=1,5 y= 2,25.

Tagad mēs aprēķinām mūsu mērījumu absolūto kļūdu. |2,25-2,2|=|0,05| = 0,05.

Absolūtā kļūda ir 0,05. Šādos gadījumos viņi arī saka, ka vērtība ir aprēķināta ar precizitāti 0,05.

Bieži gadās, ka ne vienmēr var atrast precīzu vērtību, un tāpēc ne vienmēr ir iespējams atrast absolūto kļūdu.

Piemēram, ja mēs aprēķinām attālumu starp diviem punktiem, izmantojot lineālu, vai leņķi starp divām taisnēm, izmantojot transportieri, mēs iegūsim aptuvenas vērtības. Bet precīzu vērtību nevar aprēķināt. Šajā gadījumā mēs varam norādīt tādu skaitli, par kuru absolūtās kļūdas vērtība nevar būt lielāka par.

Piemērā ar lineālu tas būs 0,1 cm, jo lineāla dalījuma vērtība ir 1 milimetrs. Protraktora piemērā 1 grāds ir tāpēc, ka transportiera skala ir graduēta katrā grādi. Tādējādi absolūtās kļūdas vērtības pirmajā gadījumā ir 0,1, bet otrajā gadījumā - 1.

Tiešajiem mērījumiem

1. Ļaujiet vienu reizi izmērīt divus spriegumus ar voltmetru U 1 = 10 V, U 2 \u003d 200 V. Voltmetram ir šādi raksturlielumi: precizitātes klase d klase t \u003d 0,2, U max = 300 V.

Noteiksim šo mērījumu absolūtās un relatīvās kļūdas.

Tā kā abi mērījumi tika veikti ar vienu un to pašu ierīci, tad D U 1=D U 2 un tiek aprēķināti pēc formulas (B.4)

Saskaņā ar definīciju relatīvās kļūdas U 1 un U 2 attiecīgi vienādi

ε 1 \u003d 0,6 ∙ V / 10 V \u003d 0,06 \u003d 6%,

ε 2 \u003d 0,6 ∙ V / 200 V \u003d 0,003 \u003d 0,3%.

No iepriekšminētajiem aprēķinu rezultātiem ε 1 un ε 2 var redzēt, ka ε 1 ir daudz lielāks par ε 2 .

Tas nozīmē noteikumu: jums vajadzētu izvēlēties ierīci ar tādu mērījumu robežu, lai rādījumi būtu skalas pēdējā trešdaļā.

2. Ļaujiet kādu vērtību izmērīt vairākas reizes, tas ir, ražot nšī daudzuma individuālie mērījumi A x 1 , A x 2 ,...,A x 3 .

Pēc tam, lai aprēķinātu absolūto kļūdu, tiek veiktas šādas darbības:

1) izmantojot formulu (B.5), nosaka vidējo aritmētisko A 0 izmērītā vērtība;

2) aprēķina atsevišķu mērījumu noviržu kvadrātu summu no atrastā vidējā aritmētiskā un, izmantojot formulu (B.6), nosaka vidējo kvadrātisko kļūdu, kas raksturo viena mērījuma absolūto kļūdu vairākos noteikta lieluma tiešos mērījumos. ;

3) relatīvo kļūdu ε aprēķina pēc formulas (B.2).

Absolūtās un relatīvās kļūdas aprēķins

Ja mēra netieši

Kļūdu aprēķins netiešajos mērījumos - vairāk grūts uzdevums, jo šajā gadījumā vēlamā vērtība ir funkcija no citiem palīglielumiem, kuru mērīšanu pavada kļūdu parādīšanās. Parasti mērījumos, izņemot netrāpījumus, nejaušās kļūdas izrādās ļoti mazas, salīdzinot ar izmērīto vērtību. Tie ir tik mazi, ka otrais vai vairāk augstas pakāpes kļūdas ir ārpus mērījumu precizitātes, un tās var neņemt vērā. Kļūdu mazuma dēļ iegūt kļūdas formulu
netieši mērīts daudzums, tiek izmantotas diferenciālrēķinu metodes. Netiešā daudzuma mērīšanas gadījumā, kad tiek tieši mērīti lielumi, kas saistīti ar kādu vēlamo matemātisko atkarību, ērtāk ir vispirms noteikt relatīvo kļūdu un jau
izmantojot atrasto relatīvo kļūdu, aprēķina absolūto mērījumu kļūdu.

Diferenciālrēķins nodrošina vienkāršāko veidu, kā noteikt relatīvo kļūdu netiešā mērījumā.

Ļaujiet vēlamo vērtību A funkcionāli saistīti ar vairākiem neatkarīgiem tieši izmērītiem lielumiem x 1 ,
x 2 , ..., x k, t.i.

A= f(x 1 , x 2 , ..., x k).

Lai noteiktu vērtības relatīvo kļūdu Aņem naturālo logaritmu abām vienādojuma pusēm

ln A=ln f(x 1 , x 2 , ..., x k).

Pēc tam aprēķina funkcijas naturālā logaritma diferenciāli
A= f(x 1 ,x 2 , ..., x k),

dln A= dln f(x 1 , x 2 , ..., x k)

Iegūtajā izteiksmē tiek veiktas visas iespējamās algebriskās transformācijas un vienkāršojumi. Pēc tam visi diferenciāļu d simboli tiek aizstāti ar kļūdas D simboliem un negatīvās zīmes neatkarīgo mainīgo diferenciāļu priekšā tiek aizstātas ar pozitīvām, proti, tiek ņemts visnelabvēlīgākais gadījums, kad visi kļūdas summējas. Šajā gadījumā tiek aprēķināta rezultāta maksimālā kļūda.

Ņemot vērā iepriekš minēto

bet ε = D A / A

Šī izteiksme ir daudzuma relatīvās kļūdas formula A ar netiešiem mērījumiem tas nosaka vēlamās vērtības relatīvo kļūdu, izmantojot izmērīto vērtību relatīvās kļūdas. Pēc formulas (B.11) aprēķināšanas relatīvā kļūda,
noteikt vērtības absolūto kļūdu A kā relatīvās kļūdas un aprēķinātās vērtības reizinājumu A t.i.

D A = ε A, (AT 12)

kur ε ir izteikts kā bezdimensiju skaitlis.

Tātad netieši izmērītā daudzuma relatīvās un absolūtās kļūdas jāaprēķina šādā secībā:

1) ņem formulu, pēc kuras tiek aprēķināta vēlamā vērtība ( aprēķina formula);

2) tiek ņemts abu aprēķina formulas daļu naturālais logaritms;

3) aprēķina vēlamās vērtības naturālā logaritma kopējo diferenciāli;

4) iegūtajā izteiksmē tiek veiktas visas iespējamās algebriskās transformācijas un vienkāršojumi;

5) diferenciāļu d simbols tiek aizstāts ar kļūdas simbolu D, savukārt visas negatīvās zīmes neatkarīgo mainīgo diferenciāļu priekšā tiek aizstātas ar pozitīvajām (relatīvā kļūda būs maksimālā) un iegūta relatīvās kļūdas formula;

6) tiek aprēķināta izmērītā daudzuma relatīvā kļūda;

7) pēc aprēķinātās relatīvās kļūdas netiešā mērījuma absolūto kļūdu aprēķina pēc formulas (B.12).

Apskatīsim vairākus piemērus relatīvo un absolūto kļūdu aprēķināšanai netiešajos mērījumos.

1. Vēlamā vērtība A kas saistīti ar tieši izmērītiem lielumiem X, plkst, z attiecība

kur a un b ir nemainīgas vērtības.

2. Ņemiet izteiksmes (B.13) naturālo logaritmu.

3. Aprēķiniet vajadzīgās vērtības naturālā logaritma kopējo diferenciāli A, tas ir, mēs atšķiram (B.13)

4. Veicam pārvērtības. Ņemot vērā, ka d a= 0 jo a= const, cos plkst/grēks y=ctg y, mēs iegūstam:

5. Diferenciāļu simbolus aizstājam ar kļūdu simboliem un mīnusa zīmi diferenciāļa priekšā ar plus zīmi

6. Mēs aprēķinām izmērītās vērtības relatīvo kļūdu.

7. Pamatojoties uz aprēķināto relatīvo kļūdu, tiek aprēķināta netiešā mērījuma absolūtā kļūda, izmantojot formulu (B.12), t.i.

Tiek noteikts viļņa garums dzeltena krāsa dzīvsudraba spektrālā līnija, izmantojot difrakcijas režģi (izmantojot pieņemto secību dzeltenā viļņa garuma relatīvo un absolūto kļūdu aprēķināšanai).

1. Dzeltenās krāsas viļņa garumu šajā gadījumā nosaka pēc formulas:

kur AR ir difrakcijas režģa konstante (netieši mērīta vērtība); φ l ir dzeltenās līnijas difrakcijas leņķis noteiktā spektra secībā (tieši mērīta vērtība); K g ir spektra secība, kādā tika veikts novērojums.

Difrakcijas režģa konstante tiek aprēķināta pēc formulas

kur K h ir zaļās līnijas spektra secība; λz - zināms zaļās krāsas viļņa garums (λz - konstante); φ z ir zaļās līnijas difrakcijas leņķis noteiktā spektra secībā (tieši izmērītā vērtība).

Tad, ņemot vērā izteiksmi (B.15)

(B.16)

kur K h, K g - novērojamie, kas tiek uzskatīti par nemainīgiem; φ h, φ l - ir
ar tieši izmērāmiem daudzumiem.

Izteiksme (B.16) ir aprēķina formula dzeltenā viļņa garumam, kas noteikts, izmantojot difrakcijas režģi.

4.d K h = 0; d K f = 0; dλ h = 0, kopš K h, K W un λ w ir nemainīgas vērtības;

Tad

5. (B.17)

kur Dφ w, Dφ h ir absolūtās kļūdas dzeltenās krāsas difrakcijas leņķa mērīšanā
un zaļās spektra līnijas.

6. Aprēķināt dzeltenā viļņa garuma relatīvo kļūdu.

7. Aprēķiniet dzeltenā viļņa garuma absolūto kļūdu:

Dλ labi = ελ labi.