1.
Pika materiale ka kaluar gjysmën e rrethit. Gjeni raportin e shpejtësisë mesatare të tokës
Zgjidhje . Nga përcaktimi i vlerave mesatare të shpejtësisë së tokës dhe vektorit, duke marrë parasysh faktin se rruga e përshkuar nga një pikë materiale gjatë lëvizjes së saj t, e barabartë me R, dhe vlera e zhvendosjes është 2 R, Ku R- rrezja e rrethit, marrim:
2.
Makina ka udhëtuar të tretën e parë të udhëtimit me shpejtësi v 1 = 30 km/h, dhe pjesën tjetër të udhëtimit me shpejtësi v 2 = 40 km/h. Gjeni shpejtësinë mesatare
Zgjidhje
. A-parësore 
Ku S- rruga e përshkuar në kohë t. Është e qartë se 
Prandaj, shpejtësia mesatare e kërkuar është
3.
Nxënësi kaloi gjysmën e distancës me biçikletë me shpejtësi v 1 = 12 km/h. Më pas, për gjysmën e kohës së mbetur, ai eci me shpejtësi v 2 = 10 km/h, dhe pjesën tjetër të rrugës e eci me shpejtësi v 3 = 6 km/h. Përcaktoni Shpejtësia mesatare lëvizjet studentore
Zgjidhje
. A-parësore 
Ku S - mënyrë, dhe t- koha e lëvizjes. Është e qartë se t=t 1 +t 2 +t 3. Këtu 
- koha e udhëtimit gjatë gjysmës së parë të udhëtimit, t 2 – koha e udhëtimit në seksionin e dytë të itinerarit dhe t 3 - në të tretën. Sipas kushteve të problemit t 2 =t 3. Përveç kësaj, S/2 =v 2 t 2 + v 3 t 3 = (v 2 +v 3) t 2. Kjo nënkupton:
Zëvendësimi t 1 dhe t 2 +t 3 = 2t 2 në shprehjen për shpejtësinë mesatare, marrim:
4.
Treni përshkoi distancën midis dy stacioneve në atë kohë t 1 = 30 min. Nxitimi dhe frenimi zgjati t 2 = 8 minuta, dhe pjesën tjetër të kohës treni lëvizte në mënyrë uniforme me një shpejtësi v = 90 km/h. Përcaktoni shpejtësinë mesatare të trenit
R
Detyrat dhe ushtrimet
1.1.
Topi ra nga një lartësi h 1 = 4 m, u hodh nga dyshemeja dhe u kap lart h 2 = 1 m Sa është distanca? S dhe sasinë e lëvizjes 
?
1.2. Pika materiale ka lëvizur në rrafsh nga pika me koordinata x 1 = 1 cm dhe y 1 = 4 cm në pikën me koordinatat x 2 = 5 cm dhe y 2 = 1 cm Ndërtoni një vektor zhvendosjeje dhe, duke përdorur një vizore, përcaktoni modulin e vektorit të zhvendosjes dhe projeksionin e vektorit të zhvendosjes në bosht. x Dhe y. Gjeni të njëjtat vlera në mënyrë analitike dhe krahasoni rezultatet.
1.3.
Për gjysmën e parë të udhëtimit, treni udhëtoi me një shpejtësi prej n= 1.5 herë më e gjatë se gjysma e dytë e shtegut. Shpejtësia mesatare e trenit gjatë gjithë udhëtimit
1.4. Çiklisti udhëtoi gjysmën e parë të kohës së tij me një shpejtësi v 1 = 18 km/h, dhe gjysmën e dytë të kohës me një shpejtësi v 2 = 12 km/h. Përcaktoni shpejtësinë mesatare të çiklistit.
1.5.
Lëvizja e dy makinave përshkruhet nga ekuacionet 
Dhe 
, ku të gjitha sasitë maten në sistemin SI. Shkruani ligjin e ndryshimit të distancës 
mes makinave nga koha dhe gjeni 
pas një kohe 
Me. pas fillimit të lëvizjes.
Shume e thjeshte! Është e nevojshme të ndahet e gjithë shtegu në kohën kur objekti i lëvizjes ishte në rrugë. E shprehur ndryshe, shpejtësia mesatare mund të përkufizohet si mesatarja aritmetike e të gjitha shpejtësive të një objekti. Por ka disa nuanca kur zgjidhen problemet në këtë fushë.
Për shembull, për të llogaritur shpejtësinë mesatare, jepet versioni i mëposhtëm i problemit: udhëtari fillimisht eci me një shpejtësi prej 4 km në orë për një orë. Më pas një makinë që kalonte e “mori” atë dhe ai e përshkoi pjesën tjetër të rrugës për 15 minuta. Për më tepër, makina lëvizte me një shpejtësi prej 60 km në orë. Si të përcaktohet shpejtësia mesatare e një udhëtari?
Nuk duhet thjesht të shtoni 4 km dhe 60 dhe t'i ndani përgjysmë, kjo do të jetë zgjidhja e gabuar! Në fund të fundit, rrugët që përshkohen në këmbë dhe me makinë janë të panjohura për ne. Kjo do të thotë që së pari duhet të llogarisim të gjithë shtegun.
Pjesa e parë e shtegut është e lehtë për tu gjetur: 4 km në orë X 1 orë = 4 km
Ka probleme të vogla me pjesën e dytë të udhëtimit: shpejtësia shprehet në orë dhe koha e udhëtimit shprehet në minuta. Kjo nuancë shpesh e bën të vështirë gjetjen e përgjigjes së saktë kur bëhen pyetje se si të gjesh shpejtësinë, rrugën ose kohën mesatare.
Le të shprehim 15 minuta në orë. Për këtë, 15 minuta: 60 minuta = 0,25 orë. Tani le të llogarisim se sa larg e mori udhëtari udhëtimin?
60 km/h X 0,25h = 15 km
Tani gjetja e të gjithë shtegut të mbuluar nga udhëtari nuk do të jetë e vështirë: 15 km + 4 km = 19 km.
Koha e udhëtimit është gjithashtu mjaft e lehtë për t'u llogaritur. Kjo është 1 orë + 0,25 orë = 1,25 orë.
Dhe tani është e qartë se si të gjeni shpejtësinë mesatare: duhet të ndani të gjithë shtegun me kohën që iu desh udhëtarit për ta kapërcyer atë. Domethënë 19 km: 1.25 orë = 15.2 km/h.
Ka një shaka për këtë temë. Një burrë me nxitim pyet pronarin e fushës: “A mund të shkoj në stacion përmes faqes tuaj? Jam pak vonë dhe do të doja të shkurtoja rrugën time duke shkuar direkt. Atëherë do të jem patjetër në kohë për trenin, i cili niset në orën 16:45!” - “Sigurisht që mund ta shkurtosh rrugën duke kaluar nëpër livadhin tim! Dhe nëse demi im ju vëren atje, atëherë do të kapni edhe trenin që niset në orën 16:15.
Kjo situatë komike ndërkaq lidhet drejtpërdrejt me këtë koncepti matematik, si shpejtësia mesatare. Në fund të fundit, një pasagjer i mundshëm po përpiqet të shkurtojë udhëtimin e tij për arsyen e thjeshtë se ai e di shpejtësinë mesatare të lëvizjes së tij, për shembull, 5 km në orë. Dhe këmbësori, duke e ditur se devijimi përgjatë rrugës së asfaltuar është 7.5 km, pasi ka bërë llogaritje të thjeshta mendore, kupton se do t'i duhet një orë e gjysmë për të udhëtuar këtë rrugë (7.5 km: 5 km/h = 1.5 orë).
Duke u larguar shumë vonë nga shtëpia, ai është i kufizuar në kohë, ndaj vendos të shkurtojë rrugën e tij.
Dhe këtu përballemi me rregullin e parë, i cili na dikton se si të gjejmë shpejtësinë mesatare të lëvizjes: duke pasur parasysh distancën e drejtpërdrejtë midis pikat ekstreme rruga ose pikërisht duke llogaritur Nga sa më sipër, është e qartë për të gjithë: llogaritja duhet të kryhet duke marrë parasysh trajektoren e shtegut.
Duke shkurtuar shtegun, por pa ndryshuar shpejtësinë mesatare, objekti në personin e këmbësorit fiton kohë. Fermeri, duke supozuar shpejtësinë mesatare të një “sprinteri” që ikën nga një dem i zemëruar, bën gjithashtu llogaritje të thjeshta dhe jep rezultatin e tij.
Shoferët shpesh përdorin një rregull të dytë, të rëndësishëm për llogaritjen e shpejtësisë mesatare, që ka të bëjë me kohën e udhëtimit. Kjo ka të bëjë me pyetjen se si të gjesh shpejtësinë mesatare nëse objekti ndalet gjatë rrugës.
Në këtë opsion, zakonisht, nëse nuk ka sqarime shtesë, ato marrin për llogaritje kohë e plotë duke përfshirë ndalesat. Prandaj, një shofer makine mund të thotë se shpejtësia mesatare e tij në mëngjes në një rrugë të lirë është shumë më e lartë se shpejtësia mesatare në orën e pikut, megjithëse shpejtësia tregon të njëjtën shifër në të dy versionet.
Duke ditur këto shifra, një shofer me përvojë nuk do të vonojë kurrë askund, pasi të ketë marrë me mend paraprakisht se cila do të jetë shpejtësia mesatare e tij në qytet. kohë të ndryshme ditë.
Ky artikull flet se si të gjeni shpejtësinë mesatare. Është dhënë një përkufizim i këtij koncepti dhe janë shqyrtuar edhe dy raste të rëndësishme të veçanta të gjetjes së shpejtësisë mesatare. paraqitur analiza e detajuar probleme për të gjetur shpejtësinë mesatare të një trupi nga një mësues në matematikë dhe fizikë.
Përcaktimi i shpejtësisë mesatare
Shpejtësi mesatare Lëvizja e një trupi quhet raporti i distancës së përshkuar nga trupi me kohën gjatë së cilës trupi ka lëvizur:
Le të mësojmë se si ta gjejmë atë duke përdorur problemin e mëposhtëm si shembull:
Ju lutemi vini re se në këtë rast kjo vlerë nuk përkon me mesataren aritmetike të shpejtësive dhe , e cila është e barabartë me:
Znj.
Raste të veçanta të gjetjes së shpejtësisë mesatare
1. Dy seksione identike të shtegut. Lëreni trupin të lëvizë me shpejtësi për gjysmën e parë të shtegut dhe me shpejtësi për gjysmën e dytë të shtegut. Ju duhet të gjeni shpejtësinë mesatare të trupit.
2. Dy intervale të njëjta lëvizjeje. Lëreni një trup të lëvizë me shpejtësi për një periudhë të caktuar kohe dhe më pas filloni të lëvizë me shpejtësi për të njëjtën periudhë kohore. Ju duhet të gjeni shpejtësinë mesatare të trupit.
Këtu morëm rastin e vetëm kur shpejtësia mesatare përkoi me mesataren aritmetike të shpejtësisë në dy seksione të rrugës.
Le ta zgjidhim përfundimisht problemin nga Olimpiada Gjith-Ruse nxënësit e fizikës vitin e kaluar, e cila lidhet me temën e mësimit tonë sot.
| Trupi lëvizte dhe shpejtësia mesatare e lëvizjes ishte 4 m/s. Dihet se gjatë periudhës së fundit të lëvizjes shpejtësia mesatare e të njëjtit trup ishte 10 m/s. Përcaktoni shpejtësinë mesatare të trupit gjatë s-ve të para të lëvizjes. |
Distanca e përshkuar nga trupi është: 
m. Mund të gjeni edhe shtegun që ka përshkuar trupi në të fundit që nga lëvizja e tij: m rruga ishte: 
Znj.
Problemet për të gjetur shpejtësinë mesatare të lëvizjes janë shumë të njohura në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit në fizikë, provimet pranuese dhe olimpiada. Çdo student duhet të mësojë t'i zgjidhë këto probleme nëse planifikon të vazhdojë studimet në universitet. Një shok i ditur mund t'ju ndihmojë të përballoni këtë detyrë, mësues shkolle ose mësues në matematikë dhe fizikë. Fat i mirë me studimet tuaja të fizikës!
Sergej Valerieviç
Ka vlera mesatare, përkufizimi i gabuar i të cilave është bërë shaka ose shëmbëlltyrë. Çdo llogaritje e gabuar komentohet me një referencë të zakonshme, përgjithësisht të kuptuar për një rezultat kaq absurd. Për shembull, shprehja "temperatura mesatare në spital" do t'i bëjë të gjithë të buzëqeshin me mirëkuptim sarkastik. Sidoqoftë, të njëjtët ekspertë shpesh, pa u menduar, shtojnë shpejtësitë në seksione individuale të rrugës dhe ndajnë shumën e llogaritur me numrin e këtyre seksioneve në mënyrë që të marrin një përgjigje po aq të pakuptimtë. Le të kujtojmë nga kursi i mekanikës së shkollës së mesme se si të gjejmë shpejtësinë mesatare në mënyrën e duhur, jo absurde.
Analog i "temperaturës mesatare" në mekanikë
Në cilat raste kushtet e ndërlikuara të një problemi na shtyjnë drejt një përgjigjeje të nxituar dhe të pamenduar? Nëse ata flasin për "pjesë" të shtegut, por nuk tregojnë gjatësinë e tyre, kjo alarmon edhe një person që ka pak përvojë në zgjidhjen e shembujve të tillë. Por nëse problemi tregon drejtpërdrejt intervale të barabarta, për shembull, "për gjysmën e parë të shtegut treni ndoqi me një shpejtësi...", ose "këmbësori eci të tretën e parë të shtegut me një shpejtësi...", dhe më pas përshkruan në detaje se si objekti lëvizi në zonat e mbetura të barabarta, domethënë raporti është i njohur S 1 = S 2 = ... = S n dhe vlerat e sakta të shpejtësisë v 1, v 2, ... v n, mendimet tona shpesh dështojnë në mënyrë të pafalshme. Konsiderohet mesatarja aritmetike e shpejtësive, domethënë të gjitha vlerat e njohura v mblidhni dhe ndajeni në n. Si rezultat, përgjigja rezulton të jetë e pasaktë.
“Formula” të thjeshta për llogaritjen e sasive gjatë lëvizjes uniforme
Si për të gjithë distancën e përshkuar ashtu edhe për seksionet e saj individuale në rastin e mesatares së shpejtësisë, relacionet e shkruara për lëvizje uniforme janë të vlefshme:
- S = vt(1), rruga "formula";
- t=S/v(2), "formula" për llogaritjen e kohës së lëvizjes ;
- v=S/t(3), "formula" për përcaktimin e shpejtësisë mesatare në një seksion të pista S e përshkuar në kohë t.
Kjo është, për të gjetur sasinë e dëshiruar v duke përdorur relacionin (3), duhet t'i njohim saktësisht dy të tjerët. Pikërisht kur zgjidhim pyetjen se si të gjejmë shpejtësinë mesatare të lëvizjes, para së gjithash duhet të përcaktojmë se sa është e gjithë distanca e përshkuar. S dhe sa është e gjithë koha e lëvizjes? t.
Zbulimi matematikor i gabimit të fshehur
Në shembullin që po zgjidhim, distanca e përshkuar nga trupi (treni ose këmbësori) do të jetë e barabartë me produktin nS n(meqenëse ne n pasi të mbledhim seksione të barabarta të shtegut, në shembujt e dhënë - gjysmat, n=2, ose të tretat, n=3). Ne nuk dimë asgjë për kohën totale të lëvizjes. Si të përcaktohet shpejtësia mesatare nëse emëruesi i thyesës (3) nuk është specifikuar në mënyrë eksplicite? Le të përdorim relacionin (2), për çdo seksion të shtegut që përcaktojmë t n = S n: v n. Shuma Intervalet kohore të llogaritura në këtë mënyrë do t'i shkruajmë nën vijën e thyesës (3). Është e qartë se për të hequr qafe shenjat "+", duhet të sillni gjithçka S n: v n për të emërues i përbashkët. Rezultati është një "fraksion dykatëshe". Më pas, ne përdorim rregullin: emëruesi i emëruesit shkon në numërues. Si rezultat, për problemin e trenit pas reduktimit me S n ne kemi v av = nv 1 v 2: v 1 + v 2, n = 2 (4) . Për rastin e një këmbësori, çështja se si të gjendet shpejtësia mesatare është edhe më e vështirë për t'u zgjidhur: v av = nv 1 v 2 v 3: v 1v2 + v 2 v 3 + v 3 v 1,n=3(5).
Konfirmim i qartë i gabimit "në numra"
Për të konfirmuar me gishta se përcaktimi i mesatares aritmetike është mënyra e gabuar për të bërë llogaritjet ve mërkurë, le ta bëjmë shembullin më konkret duke zëvendësuar shkronjat abstrakte me numra. Për trenin, le të marrim shpejtësitë 40 km/h Dhe 60 km/h(përgjigje të gabuar - 50 km/h). Për një këmbësor - 5 , 6 Dhe 4 km/h(mesatare - 5 km/h). Është e lehtë të verifikohet duke zëvendësuar vlerat në relacionet (4) dhe (5) që përgjigjet e sakta janë për lokomotivë. 48 km/h dhe për një person - 4.(864) km/h(periodike dhjetore, rezultati nuk është shumë i bukur matematikisht).
Kur mesatarja aritmetike nuk dështon
Nëse problemi formulohet si më poshtë: “Për intervale të barabarta kohore, trupi së pari lëvizte me shpejtësi v 1, pastaj v 2, v 3 e kështu me radhë", një përgjigje e shpejtë në pyetjen se si të gjendet shpejtësia mesatare mund të gjendet në mënyrë të gabuar. Këtë do ta lëmë lexuesin ta shohë vetë duke përmbledhur intervale të barabarta kohore në emërues dhe duke përdorur në numërues. v mesatare relacioni (1). Ky është ndoshta i vetmi rast kur një metodë e gabuar çon në një rezultat të saktë. Por për llogaritjet e garantuara të sakta ju duhet të përdorni vetëm algoritmin e duhur, duke iu referuar pa ndryshim thyesës v av = S: t.
Algoritmi për të gjitha rastet
Për të shmangur përfundimisht gabimet, kur vendosni se si të gjeni shpejtësinë mesatare, mjafton të mbani mend dhe të ndiqni një sekuencë të thjeshtë veprimesh:
- përcaktoni të gjithë shtegun duke përmbledhur gjatësitë e seksioneve të tij individuale;
- caktoni të gjithë kohën e udhëtimit;
- ndani rezultatin e parë me të dytin, sasitë e panjohura që nuk janë specifikuar në problem (në varësi të formulimit të saktë të kushteve) zvogëlohen.
Artikulli diskuton rastet më të thjeshta kur të dhënat fillestare jepen për pjesë të barabarta të kohës ose seksione të barabarta të shtegut. Në rastin e përgjithshëm, raporti i intervaleve kronologjike ose distancave të përshkuara nga një trup mund të jetë shumë arbitrar (por në të njëjtën kohë i përcaktuar matematikisht, i shprehur si një numër i plotë ose fraksion specifik). Rregulla për referimin e raportit v av = S: t absolutisht universale dhe nuk dështon kurrë, pavarësisht se sa komplekse duhet të kryhen transformime algjebrike në shikim të parë.
Së fundi, vërejmë: për lexuesit vëzhgues nuk kaloi pa u vënë re rëndësi praktike duke përdorur algoritmin e duhur. Shpejtësia mesatare e llogaritur saktë në shembujt e dhënë doli të jetë pak më e ulët " temperature mesatare"Në autostradë. Prandaj, do të thotë një algoritëm i rremë për sistemet që regjistrojnë shpejtësinë numër më i madh vendime të gabuara të policisë rrugore të dërguara me “shkronja zinxhir” drejtuesve të mjeteve.
Mos harroni se shpejtësia jepet si nga një vlerë numerike ashtu edhe nga një drejtim. Shpejtësia përshkruan se sa shpejt ndryshon pozicioni i një trupi, si dhe drejtimi në të cilin lëviz ai trup. Për shembull, 100 m/s (në jug).
Gjeni zhvendosjen totale, d.m.th., distancën dhe drejtimin midis pikave të fillimit dhe të mbarimit të shtegut. Si shembull, merrni parasysh një trup që lëviz me të shpejtësi konstante në një drejtim.
- Për shembull, një raketë u lëshua në drejtim të veriut dhe lëvizi për 5 minuta me një shpejtësi konstante prej 120 metrash në minutë. Për të llogaritur zhvendosjen totale, përdorni formulën s = vt: (5 minuta) (120 m/min) = 600 m (në veri).
- Nëse problemit i jepet një nxitim konstant, përdorni formulën s = vt + ½at 2 (seksioni tjetër përshkruan një mënyrë të thjeshtuar për të punuar me nxitim konstant).
Gjeni kohën totale të udhëtimit. Në shembullin tonë, raketa udhëton për 5 minuta. Shpejtësia mesatare mund të shprehet në çdo njësi matjeje, por në Sistemin Ndërkombëtar të Njësive, shpejtësia matet në metra për sekondë (m/s). Shndërroni minutat në sekonda: (5 minuta) x (60 sekonda/minutë) = 300 sekonda.
- Edhe nëse në një problem shkencor koha jepet në orë ose njësi të tjera matëse, është më mirë që fillimisht të llogaritet shpejtësia dhe më pas të shndërrohet në m/s.
Llogaritni shpejtësinë mesatare. Nëse e dini vlerën e zhvendosjes dhe kohën totale të udhëtimit, mund të llogarisni shpejtësinë mesatare duke përdorur formulën v av = Δs/Δt. Në shembullin tonë, shpejtësia mesatare e raketës është 600 m (në veri) / (300 sekonda) = 2 m/s (në veri).
- Sigurohuni që të tregoni drejtimin e udhëtimit (për shembull, "përpara" ose "veri").
- Në formulë v av = Δs/Δt simboli "delta" (Δ) do të thotë "ndryshim në madhësi", domethënë Δs/Δt do të thotë "ndryshim në pozicion për të ndryshuar në kohë".
- Shpejtësia mesatare mund të shkruhet si v av ose si v me një shirit horizontal sipër.
Zgjidhje më shumë detyra komplekse, për shembull, nëse trupi rrotullohet ose nxitimi nuk është konstant. Në këto raste, shpejtësia mesatare llogaritet ende si raport i zhvendosjes totale ndaj kohës totale. Nuk ka rëndësi se çfarë ndodh me trupin midis pikës fillestare dhe mbarimit të shtegut. Këtu janë disa shembuj të problemeve me të njëjtën zhvendosje totale dhe kohë totale (dhe për rrjedhojë të njëjtën shpejtësi mesatare).
- Anna ecën në perëndim me shpejtësi 1 m/s për 2 sekonda, më pas përshpejton menjëherë në 3 m/s dhe vazhdon të ecë në perëndim për 2 sekonda. Zhvendosja totale e tij është (1 m/s)(2 s) + (3 m/s) (2 s) = 8 m (në perëndim). Koha totale në rrugë: 2 s + 2 s = 4 s. Shpejtësia mesatare e saj: 8 m / 4 s = 2 m/s (në perëndim).
- Boris ecën në perëndim me 5 m/s për 3 sekonda, më pas kthehet dhe ecën në lindje me 7 m/s për 1 sekondë. Lëvizjen në lindje mund ta konsiderojmë si një "lëvizje negative" në perëndim, pra lëvizja totale është (5 m/s)(3 s) + (-7 m/s)(1 s) = 8 metra. Koha totale është 4 s. Shpejtësia mesatare është 8 m (perëndim) / 4 s = 2 m/s (në perëndim).
- Julia ecën 1 metër në veri, pastaj ecën 8 metra në perëndim dhe më pas ecën 1 metër në jug. Koha totale e udhëtimit është 4 sekonda. Vizatoni një diagram të kësaj lëvizjeje në letër dhe do të shihni se ajo përfundon 8 metra në perëndim të pikës së nisjes, pra lëvizja totale është 8 m Koha totale e udhëtimit ishte 4 sekonda. Shpejtësia mesatare është 8 m (perëndim) / 4 s = 2 m/s (në perëndim).