Ndër të gjithë shumëllojshmërinë e pabarazive logaritmike, pabarazitë me një bazë të ndryshueshme studiohen veçmas. Ato zgjidhen sipas një formule të veçantë, e cila për disa arsye mësohet rrallë në shkollë:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
Në vend të një xhakete "∨", mund të vendosni çdo shenjë pabarazie: pak a shumë. Gjëja kryesore është se në të dyja pabarazitë shenjat janë të njëjta.
Pra, ne heqim qafe logaritmet dhe e reduktojmë problemin në një pabarazi racionale. Kjo e fundit është shumë më e lehtë për t'u zgjidhur, por kur hidhni logaritmet, mund të shfaqen rrënjë shtesë. Për t'i prerë, mjafton të gjesh zonën vlerat e lejuara. Nëse e keni harruar ODZ-në e logaritmit, unë rekomandoj fuqimisht ta përsërisni atë - shihni "Çfarë është një logaritëm".
Çdo gjë që lidhet me gamën e vlerave të pranueshme duhet të shkruhet dhe zgjidhet veçmas:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Këto katër pabarazi përbëjnë një sistem dhe duhet të përmbushen njëkohësisht. Kur të gjendet diapazoni i vlerave të pranueshme, mbetet ta kalojmë atë me zgjidhjen pabarazia racionale- dhe përgjigja është gati.
Detyrë. Zgjidh pabarazinë:
Së pari, le të shkruajmë ODZ-në e logaritmit:
Dy pabarazitë e para kryhen automatikisht dhe e fundit do të duhet të shkruhet. Që nga katrori i numrit zero nëse dhe vetëm nëse vetë numri është i barabartë me zero, kemi:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Rezulton se ODZ e logaritmit janë të gjithë numrat përveç zeros: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Tani zgjidhim pabarazinë kryesore:
Duke bërë kalimin nga pabarazia logaritmike te racionalja. Pabarazia origjinale ka një shenjë "më pak se", që do të thotë se pabarazia që rezulton duhet të ketë gjithashtu një shenjë "më pak se". Ne kemi:
(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.
Zerot e kësaj shprehjeje: x = 3; x = -3; x = 0. Për më tepër, x = 0 është rrënja e shumëzimit të dytë, që do të thotë se kur kalon nëpër të, shenja e funksionit nuk ndryshon. Ne kemi:
Marrim x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ky grup është plotësisht i përfshirë në ODZ të logaritmit, që do të thotë se kjo është përgjigja.
Shndërrimi i pabarazive logaritmike
Shpesh pabarazia origjinale ndryshon nga ajo e mësipërme. Kjo është e lehtë për t'u rregulluar sipas rregullave standarde për të punuar me logaritme - shihni "Vetitë themelore të logaritmeve". Gjegjësisht:
- Çdo numër mund të paraqitet si një logaritëm me një bazë të caktuar;
- Shuma dhe diferenca e logaritmeve me të njëjtën bazë mund të zëvendësohet me një logaritëm të vetëm.
Më vete, dua t'ju kujtoj për gamën e vlerave të pranueshme. Meqenëse mund të ketë disa logaritme në pabarazinë origjinale, kërkohet të gjendet DPV e secilit prej tyre. Në këtë mënyrë, skema e përgjithshme Zgjidhja e pabarazive logaritmike është si më poshtë:
- Gjeni ODZ-në e çdo logaritmi të përfshirë në pabarazi;
- Zvogëloni pabarazinë në atë standarde duke përdorur formulat për mbledhjen dhe zbritjen e logaritmeve;
- Zgjidheni pabarazinë që rezulton sipas skemës së mësipërme.
Detyrë. Zgjidh pabarazinë:
Gjeni domenin e përkufizimit (ODZ) të logaritmit të parë:
Ne zgjidhim me metodën e intervalit. Gjetja e zerave të numëruesit:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Pastaj - zerot e emëruesit:
x − 1 = 0;
x = 1.
Ne shënojmë zero dhe shenja në shigjetën e koordinatave:
Marrim x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Logaritmi i dytë i ODZ do të jetë i njëjtë. Nëse nuk më besoni, mund të kontrolloni. Tani e transformojmë logaritmin e dytë në mënyrë që baza të jetë dy:
Siç mund ta shihni, trefishat në bazë dhe para logaritmit janë tkurrur. Ne morëm dy logaritme nga të njëjtën bazë. Le t'i bashkojmë ato:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Ne kemi marrë pabarazinë logaritmike standarde. Ne i heqim qafe logaritmet me formulë. Meqenëse ka një shenjë më të vogël se në pabarazinë origjinale, shprehja racionale që rezulton duhet gjithashtu të jetë më e vogël se zero. Ne kemi:
(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Ne morëm dy grupe:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Përgjigjuni kandidatit: x ∈ (−1; 3).
Mbetet të kalojmë këto grupe - marrim përgjigjen e vërtetë:
Ne jemi të interesuar për kryqëzimin e grupeve, kështu që zgjedhim intervalet e hijezuara në të dy shigjetat. Marrim x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - të gjitha pikat janë shpuar.
Pabarazitë logaritmike
Në mësimet e mëparshme, ne u njohëm me ekuacionet logaritmike dhe tani e dimë se cilat janë ato dhe si t'i zgjidhim ato. Dhe mësimi i sotëm do t'i kushtohet studimit të pabarazive logaritmike. Cilat janë këto pabarazi dhe cili është ndryshimi midis zgjidhjes së një ekuacioni logaritmik dhe pabarazive?
Pabarazitë logaritmike janë pabarazi që kanë një ndryshore nën shenjën e logaritmit ose në bazën e tij.
Ose, mund të thuhet gjithashtu se një pabarazi logaritmike është një pabarazi e tillë në të cilën vlera e panjohur e saj, si në ekuacionin logaritmik, do të jetë nën shenjën e logaritmit.
Pabarazitë më të thjeshta logaritmike duken kështu:
ku f(x) dhe g(x) janë disa shprehje që varen nga x.
Le ta shohim këtë duke përdorur shembullin e mëposhtëm: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Zgjidhja e mosbarazimeve logaritmike
Para zgjidhjes së pabarazive logaritmike, vlen të theksohet se kur ato zgjidhen, ato janë të ngjashme me pabarazitë eksponenciale, domethënë:
Së pari, kur kalojmë nga logaritmet në shprehje nën shenjën e logaritmit, duhet të krahasojmë edhe bazën e logaritmit me një;
Së dyti, kur zgjidhim një pabarazi logaritmike duke përdorur një ndryshim të ndryshoreve, ne duhet të zgjidhim pabarazitë në lidhje me ndryshimin derisa të marrim pabarazinë më të thjeshtë.
Por ishim ne që morëm parasysh momentet e ngjashme të zgjidhjes së pabarazive logaritmike. Tani le të shohim një ndryshim mjaft domethënës. Ju dhe unë e dimë se funksioni logaritmik ka një fushë të kufizuar përkufizimi, kështu që kur kaloni nga logaritmet në shprehjet nën shenjën e logaritmit, duhet të merrni parasysh gamën e vlerave të pranueshme (ODV).
Domethënë duhet pasur parasysh se ekuacioni logaritmik fillimisht mund të gjejmë rrënjët e ekuacionit dhe më pas të kontrollojmë këtë zgjidhje. Por zgjidhja e pabarazisë logaritmike nuk do të funksionojë në këtë mënyrë, pasi kalimi nga logaritmet në shprehje nën shenjën e logaritmit, do të jetë e nevojshme të shkruhet ODZ e pabarazisë.
Përveç kësaj, vlen të kujtohet se teoria e pabarazive përbëhet nga numra realë, të cilat janë pozitive dhe numrat negativë, si dhe numrin 0.
Për shembull, kur numri "a" është pozitiv, atëherë duhet të përdoret shënimi i mëposhtëm: a > 0. Në këtë rast, si shuma ashtu edhe produkti i këtyre numrave do të jenë gjithashtu pozitive.
Parimi themelor i zgjidhjes së një pabarazie është zëvendësimi i tij me një pabarazi më të thjeshtë, por kryesorja është që ajo të jetë ekuivalente me atë të dhënë. Më tej, ne morëm edhe një pabarazi dhe përsëri e zëvendësuam me një që ka një formë më të thjeshtë, e kështu me radhë.
Duke zgjidhur pabarazitë me një ndryshore, duhet të gjeni të gjitha zgjidhjet e saj. Nëse dy pabarazi kanë të njëjtën ndryshore x, atëherë pabarazitë e tilla janë ekuivalente, me kusht që zgjidhjet e tyre të jenë të njëjta.
Gjatë kryerjes së detyrave për zgjidhjen e pabarazive logaritmike, është e nevojshme të mbani mend se kur a > 1, atëherë funksioni logaritmik rritet, dhe kur 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Mënyrat për të zgjidhur pabarazitë logaritmike
Tani le të shohim disa nga metodat që ndodhin gjatë zgjidhjes së pabarazive logaritmike. Për një kuptim dhe asimilim më të mirë, ne do të përpiqemi t'i kuptojmë ato duke përdorur shembuj specifikë.
Ne e dimë se pabarazia më e thjeshtë logaritmike ka formën e mëposhtme:
Në këtë pabarazi, V - është një nga shenjat e tilla të pabarazisë si:<,>, ≤ ose ≥.
Kur baza e këtij logaritmi është më e madhe se një (a>1), duke bërë kalimin nga logaritmet në shprehje nën shenjën e logaritmit, atëherë në këtë version ruhet shenja e pabarazisë dhe pabarazia do të duket kështu:
e cila është e barabartë me sistemin e mëposhtëm:
Në rastin kur baza e logaritmit është më e madhe se zero dhe më e vogël se një (0 Kjo është e barabartë me këtë sistem: Le të shohim më shumë shembuj të zgjidhjes së pabarazive logaritmike më të thjeshta të paraqitura në foton më poshtë: Ushtrimi. Le të përpiqemi të zgjidhim këtë pabarazi: Vendimi i zonës së vlerave të pranueshme. Tani le të përpiqemi të shumëzojmë anën e djathtë me: Le të shohim se çfarë mund të bëjmë: Tani, le të kalojmë në transformimin e shprehjeve nënlogaritmike. Meqenëse baza e logaritmit është 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; Dhe nga kjo rezulton se intervali që kemi marrë i përket tërësisht ODZ dhe është një zgjidhje për një pabarazi të tillë. Këtu është përgjigja që morëm: Tani le të përpiqemi të analizojmë se çfarë na nevojitet për të zgjidhur me sukses pabarazitë logaritmike? Së pari, përqendroni të gjithë vëmendjen tuaj dhe përpiquni të mos bëni gabime kur kryeni transformimet që jepen në këtë pabarazi. Gjithashtu, duhet mbajtur mend se gjatë zgjidhjes së pabarazive të tilla, është e nevojshme të parandalohen zgjerimet dhe ngushtimet e pabarazisë ODZ, të cilat mund të çojnë në humbjen ose marrjen e zgjidhjeve të jashtme. Së dyti, kur zgjidhni pabarazitë logaritmike, duhet të mësoni të mendoni logjikisht dhe të kuptoni ndryshimin midis koncepteve të tilla si një sistem pabarazish dhe një grup pabarazish, në mënyrë që të zgjidhni lehtësisht zgjidhjet për një pabarazi, duke u udhëhequr nga DHS e tij. Së treti, për të zgjidhur me sukses pabarazi të tilla, secili prej jush duhet të dijë mirë të gjitha vetitë e funksioneve elementare dhe të kuptojë qartë kuptimin e tyre. Funksione të tilla përfshijnë jo vetëm logaritmike, por edhe racionale, fuqi, trigonometrike, etj., Me një fjalë, të gjitha ato që keni studiuar gjatë gjithë kohës. shkollimin algjebër. Siç mund ta shihni, pasi keni studiuar temën e pabarazive logaritmike, nuk ka asgjë të vështirë në zgjidhjen e këtyre pabarazive, me kusht që të jeni të vëmendshëm dhe këmbëngulës në arritjen e qëllimeve tuaja. Për të shmangur ndonjë problem në zgjidhjen e pabarazive, duhet të stërviteni sa më shumë që të jetë e mundur, duke zgjidhur detyra të ndryshme dhe në të njëjtën kohë të mësoni përmendësh mënyrat kryesore të zgjidhjes së pabarazive të tilla dhe sistemet e tyre. Me zgjidhjet e pasuksesshme të pabarazive logaritmike, duhet të analizoni me kujdes gabimet tuaja në mënyrë që të mos ktheheni më tek ato në të ardhmen. Për një asimilim më të mirë të temës dhe konsolidimin e materialit të trajtuar, zgjidhni pabarazitë e mëposhtme: Privatësia juaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi lexoni politikën tonë të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje. Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar një person specifik ose për ta kontaktuar atë. Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni. Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion. Çfarë informacioni personal mbledhim: Si i përdorim të dhënat tuaja personale: Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta. Përjashtimet: Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe nga aksesi, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar. Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne u komunikojmë punonjësve tanë praktikat e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë. Një pabarazi quhet logaritmike nëse përmban një funksion logaritmik. Metodat për zgjidhjen e pabarazive logaritmike nuk ndryshojnë nga vetëm dy gjëra. Së pari, kur kalohet nga pabarazia logaritmike në pabarazinë nën funksionet logaritmike duhet ndiqni shenjën e pabarazisë që rezulton. Ai i bindet rregullit të mëposhtëm. Nëse baza e funksionit logaritmik është më e madhe se $1$, atëherë kur kalohet nga pabarazia logaritmike në inekuacionin e funksioneve nënlogaritmike, ruhet shenja e pabarazisë, e nëse është më e vogël se $1$, atëherë ajo kthehet mbrapsht. Së dyti, zgjidhja e çdo pabarazie është një interval, dhe, për rrjedhojë, në fund të zgjidhjes së pabarazisë së funksioneve nënloggaritmike, është e nevojshme të përpilohet një sistem prej dy pabarazish: pabarazia e parë e këtij sistemi do të jetë pabarazia e funksionet nënloggaritmike, dhe e dyta do të jetë intervali i fushës së përcaktimit të funksioneve logaritmike të përfshira në pabarazinë logaritmike. Le të zgjidhim pabarazitë: 1.
$\log_(2)((x+3)) \geq 3.$ $D(y): \x+3>0.$ $x \in (-3;+\infty)$ Baza e logaritmit është $2>1$, kështu që shenja nuk ndryshon. Duke përdorur përkufizimin e logaritmit, marrim: $x+3 \geq 2^(3),$ $x \in )
Zgjidhja e shembujve
3x > 24;
x > 8. 
Çfarë nevojitet për të zgjidhur pabarazitë logaritmike?
Detyre shtepie
Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal
Zbulimi ndaj palëve të treta
Mbrojtja e informacionit personal
Ruajtja e privatësisë suaj në nivel kompanie
Praktikoni.