Mēs esam uzskatījuši vairākus fiziski perfektus dažādas sistēmas, un pārliecinājās, ka kustības vienādojumi tiek reducēti līdz tādai pašai formai
Atšķirības starp fiziskajām sistēmām parādās tikai atšķirīga definīcija daudzumus un citā mainīgā fiziskā nozīmē x: tā var būt koordināte, leņķis, lādiņš, strāva utt. Ņemiet vērā, ka šajā gadījumā, kā izriet no vienādojuma (1.18) pašas struktūras, daudzumam vienmēr ir apgrieztā laika dimensija.
Vienādojums (1.18) apraksta t.s harmoniskas vibrācijas.
Harmonisko svārstību vienādojums (1.18) ir lineārs diferenciālvienādojums otrās kārtas (jo tas satur mainīgā otro atvasinājumu x). Vienādojuma linearitāte nozīmē to
ja ir kāda funkcija x(t) ir šī vienādojuma risinājums, tad funkcija Cx(t) arī būs viņa risinājums ( C ir patvaļīga konstante);
ja funkcijas x 1 (t) Un x 2 (t) ir šī vienādojuma risinājumi, tad to summa x 1 (t) + x 2 (t) būs arī tā paša vienādojuma risinājums.
Ir pierādīta arī matemātiskā teorēma, saskaņā ar kuru otrās kārtas vienādojumam ir divi neatkarīgi atrisinājumi. Visus pārējos risinājumus atbilstoši linearitātes īpašībām var iegūt kā to lineārās kombinācijas. Ar tiešu diferenciāciju ir viegli pārbaudīt, vai neatkarīgās funkcijas darbojas un atbilst vienādojumam (1.18). nozīmē, kopīgs lēmumsšim vienādojumam ir šāda forma:
Kur C1,C2 ir patvaļīgas konstantes. Šo risinājumu var iesniegt arī citā formā. Iepazīstinām ar daudzumu
|
|
un definējiet leņķi kā:
|
|
Tad vispārīgo risinājumu (1.19) raksta kā
Saskaņā ar trigonometrijas formulām izteiksme iekavās ir
Beidzot nonākam pie harmonisko svārstību vienādojuma vispārējs risinājums kā:
Nenegatīva vērtība A sauca svārstību amplitūda, - svārstību sākuma fāze. Tiek izsaukts viss kosinusa arguments - kombinācija svārstību fāze.
Izteiksmes (1.19) un (1.23) ir pilnīgi līdzvērtīgas, tāpēc vienkāršības labad varam izmantot jebkuru no tām. Abi risinājumi ir periodiskas laika funkcijas. Patiešām, sinuss un kosinuss ir periodiski ar punktu . Tāpēc dažādi štati sistēma, kas veic harmoniskas svārstības, tiek atkārtotas pēc noteikta laika t*, kurai svārstību fāze saņem pieaugumu, kas ir daudzkārtējs :
No tā izriet, ka
Vismazāk no šīm reizēm
sauca svārstību periods (1.8. att.), a - viņa apļveida (ciklisks) biežums.
Rīsi. 1.8.
Viņi arī izmanto biežums vilcināšanās
|
|
Attiecīgi apļveida frekvence ir vienāda ar svārstību skaitu uz sekundes.
Tātad, ja sistēma laikā t ko raksturo mainīgā vērtība x(t), tad tāda pati vērtība mainīgajam būs pēc noteikta laika perioda (1.9. att.), tas ir
Tāda pati vērtība, protams, tiks atkārtota pēc kāda laika. 2T, ZT utt.
Rīsi. 1.9. Svārstību periods
Vispārējais risinājums ietver divas patvaļīgas konstantes ( C 1 , C 2 vai A, a), kuru vērtības jānosaka ar diviem sākotnējie nosacījumi. Parasti (lai gan ne obligāti) to lomu spēlē mainīgā sākotnējās vērtības x(0) un tā atvasinājums.
Ņemsim piemēru. Ļaujiet harmonisko svārstību vienādojuma atrisinājumam (1.19) aprakstīt atsperes svārsta kustību. Patvaļīgu konstantu vērtības ir atkarīgas no tā, kādā veidā mēs izvedām svārstu no līdzsvara. Piemēram, mēs izvilkām atsperi uz attālumu un atlaida bumbu bez sākuma ātruma. Šajā gadījumā
Aizstāšana t = 0 punktā (1.19), mēs atrodam konstantes vērtību No 2
Tādējādi risinājums izskatās šādi:
Slodzes ātrumu nosaka diferencējot attiecībā pret laiku
Aizvietojot šeit t = 0, atrodiet konstanti No 1:
Beidzot
Salīdzinot ar (1.23), mēs to atklājam ir svārstību amplitūda, un tās sākuma fāze ir vienāda ar nulli: .
Tagad mēs izvedam svārstu no līdzsvara citā veidā. Sasitīsim slodzi, lai tā pieaug sākotnējais ātrums, bet trieciena laikā praktiski nepārvietojas. Tad mums ir citi sākotnējie nosacījumi:
mūsu risinājums izskatās
Kravas ātrums mainīsies saskaņā ar likumu:
Ieliksim to šeit:
Līdzās ķermeņu translācijas un rotācijas kustībām mehānikā lielu interesi rada arī svārstības. Mehāniskās vibrācijas sauc par ķermeņu kustībām, kas atkārtojas precīzi (vai aptuveni) ar regulāriem intervāliem. Svārstoša ķermeņa kustības likumu nosaka kāda periodiska laika funkcija x = f (t). Grafiskais attēlsŠī funkcija sniedz vizuālu oscilācijas procesa gaitas attēlojumu laikā.
Vienkāršu svārstību sistēmu piemēri ir slodze uz atsperi vai matemātiskais svārsts (2.1.1. att.).
Mehāniskās svārstības, tāpat kā jebkura cita fiziska rakstura svārstību procesi, var būt bezmaksas Un piespiedu kārtā. Brīvas vibrācijas tiek veikti reibumā iekšējie spēki sistēma pēc tam, kad sistēma ir izvedusi no līdzsvara. Svara svārstības uz atsperes vai svārsta svārstības ir brīvas svārstības. vibrācijas darbības laikā ārējā tiek saukti periodiski mainīgie spēki piespiedu kārtā .
Vienkāršākais svārstību procesa veids ir vienkāršs harmoniskas vibrācijas , kuras apraksta ar vienādojumu
|
x = x m cos (ω t + φ 0). |
Šeit x- ķermeņa pārvietošana no līdzsvara stāvokļa, x m - svārstību amplitūda, t.i., maksimālā nobīde no līdzsvara stāvokļa, ω - cikliska vai apļveida frekvence vilcināšanās, t- laiks. Vērtība zem kosinusa zīmes φ = ω t Tiek izsaukts + φ 0 fāze harmonisks process. Plkst t= 0 φ = φ 0, tāpēc φ 0 sauc sākuma fāze. Tiek saukts minimālais laika intervāls, pēc kura atkārtojas ķermeņa kustība svārstību periods T. Fiziskais daudzums, tiek saukts svārstību perioda reciproks svārstību frekvence:
Svārstību frekvence f parāda, cik vibrācijas tiek veiktas 1 s. Frekvences mērvienība - hercu(Hz). Svārstību frekvence f ir saistīta ar ciklisko frekvenci ω un svārstību periodu T attiecības:
Uz att. 2.1.2 parāda ķermeņa pozīcijas ar regulāriem intervāliem ar harmoniskām vibrācijām. Šādu attēlu var iegūt eksperimentāli, apgaismojot svārstīgo ķermeni ar īsiem periodiskiem gaismas uzplaiksnījumiem ( stroboskopiskais apgaismojums). Bultiņas attēlo ķermeņa ātruma vektorus dažādos laika punktos.
Rīsi. 2.1.3. ilustrē izmaiņas, kas notiek harmoniskā procesa grafikā, ja mainās vai nu svārstību amplitūda x m , vai punkts T(vai biežums f), vai sākuma fāze φ 0 .
Plkst svārstību kustībaķermeņi pa taisnu līniju (ass VĒRSIS) ātruma vektors vienmēr ir vērsts pa šo taisni. Ātrums υ = υ xķermeņa kustību nosaka izteiksme
Matemātikā procedūra attiecības robežas atrašanai pie Δ t→ 0 sauc par funkcijas atvasinājuma aprēķinu x (t) pēc laika t un apzīmēts kā vai kā x"(t) vai visbeidzot kā . Harmoniskajam kustības likumam atvasinājuma aprēķins dod šādu rezultātu:
Termina + π / 2 parādīšanās kosinusa argumentā nozīmē izmaiņas sākotnējā fāzē. Maksimālās ātruma moduļu vērtības υ = ω x m tiek sasniegti tajos laika momentos, kad ķermenis iziet cauri līdzsvara pozīcijām ( x = 0). Tāpat tiek noteikts paātrinājums a = axķermeņi ar harmoniskām vibrācijām:
līdz ar to paātrinājums a ir vienāds ar funkcijas υ ( t) pēc laika t, vai otrais funkcijas atvasinājums x (t). Aprēķini sniedz:
Mīnusa zīme šajā izteiksmē nozīmē, ka paātrinājums a (t) vienmēr ir zīme, pretējā zīme aizspriedums x (t), un tāpēc saskaņā ar otro Ņūtona likumu spēks, kas liek ķermenim veikt harmoniskas svārstības, vienmēr ir vērsts uz līdzsvara stāvokli ( x = 0).
Laika izmaiņas saskaņā ar sinusoidālo likumu:
Kur X- mainīgā daudzuma vērtība laika brīdī t, A- amplitūda, ω - apļveida frekvence, φ ir svārstību sākuma fāze, ( φt + φ ) ir svārstību kopējā fāze. Tajā pašā laikā vērtības A, ω Un φ - pastāvīgs.
Mehāniskām vibrācijām ar svārstīgu vērtību X jo īpaši ir pārvietojums un ātrums, elektriskām svārstībām - spriegums un strāvas stiprums.
Harmoniskās vibrācijas ieņem īpašu vietu starp visiem svārstību veidiem, jo tas ir vienīgais svārstību veids, kura forma netiek izkropļota, ejot cauri jebkurai viendabīgai videi, t.i., harmoniski būs arī viļņi, kas izplatās no harmonisko svārstību avota. Jebkuru neharmonisku vibrāciju var attēlot kā dažādu harmonisko vibrāciju summu (integrāli) (harmonisko vibrāciju spektra formā).
Enerģijas pārvērtības harmonisko vibrāciju laikā.
Svārstību procesā notiek potenciālās enerģijas pāreja Wp kinētikā W k un otrādi. Maksimālās novirzes pozīcijā no līdzsvara stāvokļa potenciālā enerģija ir maksimālā, kinētiskā enerģija ir nulle. Atgriežoties līdzsvara stāvoklī, palielinās svārstīgā ķermeņa ātrums, un līdz ar to palielinās arī kinētiskā enerģija, līdzsvara stāvoklī sasniedzot maksimumu. Pēc tam potenciālā enerģija samazinās līdz nullei. Tālāka kakla kustība notiek ar ātruma samazināšanos, kas samazinās līdz nullei, kad novirze sasniedz otro maksimumu. Potenciālā enerģija šeit palielinās līdz sākotnējai (maksimālajai) vērtībai (ja nav berzes). Tādējādi kinētiskās un potenciālās enerģijas svārstības notiek ar dubultu (salīdzinot ar paša svārsta svārstībām) frekvenci un atrodas pretfāzē (t.i., starp tām notiek fāzes nobīde, kas vienāda ar π ). Kopējā vibrācijas enerģija W paliek nemainīgs. Ķermenim, kas svārstās elastīga spēka ietekmē, tas ir vienāds ar:
Kur v m- ķermeņa maksimālais ātrums (līdzsvara stāvoklī), x m = A- amplitūda.
Berzes un vides pretestības dēļ brīvās svārstības slāpē: to enerģija un amplitūda ar laiku samazinās. Tāpēc praksē biežāk tiek izmantotas nevis brīvās, bet gan piespiedu svārstības.
Daudzuma izmaiņas tiek aprakstītas, izmantojot sinusa vai kosinusa likumus, tad šādas svārstības sauc par harmoniskām. Apsveriet ķēdi, kas izgatavota no kondensatora (kas tika uzlādēts pirms iekļaušanas ķēdē) un induktora (1. att.).
1. attēls.
Harmonisko svārstību vienādojumu var uzrakstīt šādi:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
kur $t$-laiks; $q$ maksa, $q_0$-- maksimālā maksas novirze no tās vidējās (nulles) vērtības izmaiņu laikā; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- svārstību fāze; $(\alpha )_0$ - sākuma fāze; $(\omega )_0$ - cikliskā frekvence. Perioda laikā fāze mainās par $2\pi $.
Tipa vienādojums:
harmonisko svārstību vienādojums diferenciālā formā svārstību ķēdei, kas nesaturēs aktīvo pretestību.
Jebkura veida periodiskas svārstības var precīzi attēlot kā harmonisko svārstību summu, tā saukto harmonisko virkni.
Ķēdes, kas sastāv no spoles un kondensatora, svārstību periodam mēs iegūstam Tomsona formulu:
Ja mēs diferencējam izteiksmi (1) attiecībā pret laiku, mēs varam iegūt formulas funkcijai $I(t)$:
Spriegumu pāri kondensatoram var atrast šādi:
No formulas (5) un (6) izriet, ka strāvas stiprums pārsniedz kondensatora spriegumu par $\frac(\pi )(2).$
Harmoniskās svārstības var attēlot gan vienādojumu, gan funkciju, gan vektoru diagrammu veidā.
Vienādojums (1) attēlo brīvas neslāpētas svārstības.
Slāpēto svārstību vienādojums
Uzlādes izmaiņas ($q$) uz kondensatora plāksnēm ķēdē, ņemot vērā pretestību (2. att.), tiks aprakstītas ar formas diferenciālvienādojumu:
2. attēls.
Ja pretestība, kas ir daļa no ķēdes $R \
kur $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ ir ciklisko svārstību frekvence. $\beta =\frac(R)(2L)-$vājinājuma koeficients. Slāpēto svārstību amplitūdu izsaka šādi:
Gadījumā, ja pie $t=0$ kondensatora lādiņš ir vienāds ar $q=q_0$, ķēdē nav strāvas, tad par $A_0$ varam rakstīt:
Svārstību fāze sākotnējā laika momentā ($(\alpha )_0$) ir vienāda ar:
$R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ lādiņa izmaiņas nav svārstības, kondensatora izlādi sauc par periodisku.
1. piemērs
Vingrinājums: Maksimālā maksas vērtība ir $q_0=10\ C$. Tas harmoniski mainās ar periodu $T= 5 c$. Nosakiet maksimālo iespējamo strāvu.
Risinājums:
Kā pamatu problēmas risināšanai mēs izmantojam:
Lai atrastu strāvas stiprumu, izteiksme (1.1) ir jādiferencē attiecībā pret laiku:
kur strāvas stipruma maksimālā (amplitūdas vērtība) ir izteiksme:
No uzdevuma nosacījumiem mēs zinām lādiņa amplitūdas vērtību ($q_0=10\ Kl$). Jums vajadzētu atrast svārstību dabisko frekvenci. Izteiksim to šādi:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1,4\right).\]
Šajā gadījumā vēlamā vērtība tiks atrasta, izmantojot vienādojumus (1.3) un (1.2) kā:
Tā kā visi daudzumi problēmas apstākļos ir uzrādīti SI sistēmā, mēs veiksim aprēķinus:
Atbilde:$I_0=12,56\ A.$
2. piemērs
Vingrinājums: Kāds ir svārstību periods ķēdē, kurā ir induktors $L=1$H un kondensators, ja strāva ķēdē mainās atbilstoši likumam: $I\left(t\right)=-0.1sin20\pi t \ \left(A \right)?$ Kāda ir kondensatora kapacitāte?
Risinājums:
No strāvas svārstību vienādojuma, kas dots uzdevuma apstākļos:
mēs redzam, ka $(\omega )_0=20\pi $, tāpēc mēs varam aprēķināt svārstību periodu, izmantojot formulu:
\ \
Saskaņā ar Tomsona formulu ķēdei, kurā ir induktors un kondensators, mums ir:
Aprēķināsim jaudu:
Atbilde:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$
(lat. amplitūda- lielums) - šī ir lielākā svārstīgā ķermeņa novirze no līdzsvara stāvokļa.
Svārsta gadījumā tas ir maksimālais attālums, kādā bumbiņa pārvietojas no līdzsvara stāvokļa (attēls zemāk). Svārstībām ar mazām amplitūdām šo attālumu var uzskatīt par loka garumu 01 vai 02, kā arī šo segmentu garumus.
Svārstību amplitūdu mēra garuma vienībās – metros, centimetros utt. Svārstību grafikā amplitūda ir definēta kā sinusoidālās līknes maksimālā (modulo) ordināta (skat. attēlu zemāk).
Svārstību periods.
Svārstību periods- tas ir mazākais laika periods, pēc kura sistēma, izdarot svārstības, atkal atgriežas tajā pašā stāvoklī, kādā tā bija patvaļīgi izvēlētā sākotnējā laika momentā.
Citiem vārdiem sakot, svārstību periods ( T) ir laiks, kurā notiek viena pilnīga svārstība. Piemēram, attēlā zemāk tas ir laiks, kas nepieciešams, lai svārsta svars pārvietotos no galējā labā punkta caur līdzsvara punktu PAR līdz galējam kreisajam punktam un atpakaļ caur punktu PAR atkal pa labi.
Tāpēc pilnu svārstību periodu ķermenis iet pa četrām amplitūdām vienādu ceļu. Svārstību periodu mēra laika vienībās – sekundēs, minūtēs utt. Svārstību periodu var noteikt pēc labi zināmā svārstību grafika (skat. attēlu zemāk).
Svārstību perioda jēdziens, stingri runājot, ir spēkā tikai tad, ja svārstību lieluma vērtības tiek precīzi atkārtotas pēc noteikta laika perioda, tas ir, harmoniskām svārstībām. Tomēr šis jēdziens attiecas arī uz gadījumiem, kad lielumi aptuveni atkārtojas, piemēram, par slāpētās svārstības.
Svārstību frekvence.
Svārstību frekvence ir svārstību skaits laika vienībā, piemēram, 1 s.
SI frekvences vienība ir nosaukta hercu(Hz) par godu vācu fiziķim G. Hercam (1857-1894). Ja svārstību frekvence ( v) ir vienāds ar 1 Hz, tad tas nozīmē, ka par katru sekundi tiek veikta viena svārstība. Svārstību biežums un periods ir saistīti ar attiecībām:
Svārstību teorijā tiek izmantots arī jēdziens ciklisks, vai apļveida frekvence ω . Tas ir saistīts ar parasto frekvenci v un svārstību periods T attiecības:
.
Cikliskā frekvence ir svārstību skaits uz 2π sekundes.