Pirmās kārtas homogēnais vienādojums. Homogēni diferenciālvienādojumi

Gatavās atbildes uz piemēriem viendabīgai diferenciālvienādojumi Daudzi studenti meklē pirmo pasūtījumu (1. kārtas DE ir visizplatītākie apmācībā), tad jūs varat tos detalizēti analizēt. Bet pirms piemēru izskatīšanas mēs iesakām rūpīgi izlasīt īsu teorētisko materiālu.
Tiek saukti vienādojumi formā P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, kur funkcijas P(x,y) un Q(x,y) ir vienas kārtas viendabīgas funkcijas. homogēns diferenciālvienādojums(ODR).

Shēma homogēna diferenciālvienādojuma risināšanai

1. Vispirms jāpielieto aizstāšana y=z*x, kur z=z(x) ir jauna nezināma funkcija (tādējādi sākotnējais vienādojums tiek reducēts uz diferenciālvienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem).
2. Produkta atvasinājums ir y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z vai diferenciāļos dy=d(zx)=z*dx+x* dz.
3. Tālāk mēs aizstājam jauno funkciju y un tās atvasinājumu y "(vai dy) ar DE ar atdalāmiem mainīgajiem attiecībā pret x un z .
4. Atrisinot diferenciālvienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem, veiksim apgrieztu aizstāšanu y=z*x, tātad z= y/x, un iegūstam kopīgs lēmums diferenciālvienādojuma (vispārējais integrālis)..
5. Ja ir dots sākotnējais nosacījums y(x 0)=y 0, tad mēs atrodam konkrētu Košī problēmas risinājumu. Teorētiski viss izklausās vienkārši, taču praksē ne visiem ir tik jautri risināt diferenciālvienādojumus. Tāpēc, lai padziļinātu zināšanas, apsveriet izplatītus piemērus. Par viegliem uzdevumiem jums nav daudz ko mācīt, tāpēc mēs nekavējoties pāriesim pie sarežģītākiem.

Pirmās kārtas homogēno diferenciālvienādojumu aprēķini

1. piemērs

Risinājums: sadaliet labā puse vienādojumi mainīgajam, kas ir faktors tuvu atvasinājumam. Rezultātā mēs nonākam pie 0. kārtas viendabīgs diferenciālvienādojums

Un šeit daudziem kļuva interesanti, kā noteikt viendabīga vienādojuma funkcijas secību?
Jautājums ir pietiekami aktuāls, un atbilde uz to ir šāda:
labajā pusē funkcijas un argumenta vietā aizstājam vērtību t*x, t*y. Vienkāršojot, parametrs "t" tiek iegūts līdz noteiktai pakāpei k, un to sauc par vienādojuma secību. Mūsu gadījumā tiks samazināts "t", kas ir līdzvērtīgs 0. pakāpei vai homogēnā vienādojuma nulles kārta.
Tālāk labajā pusē varam pāriet uz jauno mainīgo y=zx; z=y/x .
Tajā pašā laikā neaizmirstiet izteikt "y" atvasinājumu, izmantojot jaunā mainīgā atvasinājumu. Pēc daļu noteikuma mēs atrodam

Vienādojumi diferenciāļos pieņems formu

Mēs samazinām savienojuma nosacījumus labajā un kreisajā pusē un pārejam uz diferenciālvienādojums ar atdalītiem mainīgajiem.

Integrēsim abas DE daļas

Turpmāko pārveidojumu ērtībai mēs nekavējoties ievadām konstanti zem logaritma

Pēc logaritmu īpašībām iegūtais logaritmiskais vienādojums ir līdzvērtīgs tālāk norādītajam

Šis ieraksts vēl nav risinājums (atbilde), jāatgriežas pie veiktās mainīgo maiņas

Tā viņi atrod diferenciālvienādojumu vispārējs risinājums. Ja rūpīgi izlasījāt iepriekšējās nodarbības, tad teicām, ka vienādojumu aprēķināšanas shēmu ar atdalītiem mainīgajiem vajadzētu pielietot brīvi un šādi vienādojumi būs jāaprēķina sarežģītākiem tālvadības pults veidiem.

2. piemērs Atrodiet diferenciālvienādojuma integrāli

Risinājums: Homogēno un kopsavilkuma DE aprēķināšanas shēma tagad jums ir pazīstama. Mēs pārnesam mainīgo uz vienādojuma labo pusi, un arī skaitītājā un saucējā mēs izņemam x 2 kā kopējo faktoru

Tādējādi mēs iegūstam viendabīgu nulles kārtas DE.
Nākamais solis ir ieviest mainīgo z=y/x, y=z*x , ko mēs pastāvīgi atgādināsim iegaumēt

Pēc tam mēs ierakstām DE diferenciāļos

Tālāk mēs pārveidojam atkarību uz diferenciālvienādojums ar atdalītiem mainīgajiem

un atrisināt to integrējot.

Integrāļi ir vienkārši, pārējās transformācijas ir balstītas uz logaritma īpašībām. Pēdējā darbība ietver logaritma atklāšanu. Visbeidzot, mēs atgriežamies pie sākotnējās nomaiņas un rakstām veidlapā

Konstante "C" iegūst jebkuru vērtību. Visiem, kas mācās neklātienē, ir problēmas eksāmenos ar šāda veida vienādojumiem, tāpēc, lūdzu, rūpīgi apskatiet un atcerieties aprēķina shēmu.

3. piemērs Atrisiniet diferenciālvienādojumu

Risinājums: kā izriet no iepriekš minētās metodes, šāda veida diferenciālvienādojumi tiek atrisināti ieviešot jaunu mainīgo. Pārrakstīsim atkarību tā, lai atvasinājums būtu bez mainīgā

Turklāt, analizējot labo pusi, mēs redzam, ka daļa -ee ir visur un tiek apzīmēta ar jauno nezināmo
z=y/x, y=z*x .
y atvasinājuma atrašana

Ņemot vērā aizstāšanu, formā pārrakstām sākotnējo DE

Vienkāršojiet tos pašus noteikumus un samaziniet visus saņemtos nosacījumus uz DE ar atdalītiem mainīgajiem

Integrējot abas vienlīdzības puses

mēs nonākam pie risinājuma logaritmu veidā

Atklājot atrastās atkarības diferenciālvienādojuma vispārējs risinājums

kas pēc sākotnējās mainīgo maiņas aizvietošanas tajā iegūst formu

Šeit C ir konstante, ko var paplašināt no Košī nosacījuma. Ja Košī problēma netiek dota, tā kļūst par patvaļīgu reālo vērtību.
Tā ir visa gudrība homogēnu diferenciālvienādojumu aprēķināšanā.

Es domāju, ka mums vajadzētu sākt ar tāda krāšņa matemātiskā instrumenta kā diferenciālvienādojumi vēsturi. Tāpat kā visus diferenciālos un integrālos aprēķinus, arī šos vienādojumus 17. gadsimta beigās izgudroja Ņūtons. Šo pašu atklājumu viņš uzskatīja par tik svarīgu, ka pat šifrēja vēstījumu, ko mūsdienās var tulkot apmēram šādi: "Visus dabas likumus apraksta diferenciālvienādojumi." Tas var šķist pārspīlēts, bet tā ir. Jebkuru fizikas, ķīmijas, bioloģijas likumu var aprakstīt ar šiem vienādojumiem.

Milzīgu ieguldījumu diferenciālvienādojumu teorijas izstrādē un izveidē sniedza matemātiķi Eilers un Lagranžs. Jau 18. gadsimtā viņi atklāja un attīstīja to, ko tagad studē augstskolu vecākajos kursos.

Pateicoties Anrī Puankaram, sākās jauns pavērsiens diferenciālvienādojumu izpētē. Viņš radīja "diferenciālvienādojumu kvalitatīvu teoriju", kas apvienojumā ar kompleksa mainīgā funkciju teoriju sniedza būtisku ieguldījumu topoloģijas - zinātnes par telpu un tās īpašībām - pamatu veidošanā.

Kas ir diferenciālvienādojumi?

Daudzi cilvēki baidās no vienas frāzes, tomēr šajā rakstā mēs detalizēti aprakstīsim šī ļoti noderīgā matemātiskā aparāta būtību, kas patiesībā nav tik sarežģīta, kā šķiet pēc nosaukuma. Lai sāktu runāt par pirmās kārtas diferenciālvienādojumiem, vispirms vajadzētu iepazīties ar pamatjēdzieniem, kas pēc būtības ir saistīti ar šo definīciju. Sāksim ar diferenciāli.

Diferenciāls

Daudzi cilvēki šo jēdzienu zina no skolas laikiem. Tomēr apskatīsim to tuvāk. Iedomājieties funkcijas grafiku. Mēs varam to palielināt līdz tādam līmenim, ka jebkurš no tā segmentiem būs taisnas līnijas forma. Uz tā mēs ņemam divus punktus, kas atrodas bezgalīgi tuvu viens otram. Atšķirība starp to koordinātām (x vai y) būs bezgalīgi maza vērtība. To sauc par diferenciāli un apzīmē ar zīmēm dy (diferenciālis no y) un dx (diferenciāls no x). Ir ļoti svarīgi saprast, ka diferenciālis nav ierobežota vērtība, un tā ir tā nozīme un galvenā funkcija.

Un tagad ir jāņem vērā šāds elements, kas mums noderēs, izskaidrojot diferenciālvienādojuma jēdzienu. Šis ir atvasinājums.

Atvasinājums

Mēs visi droši vien dzirdējām šo jēdzienu skolā. Tiek uzskatīts, ka atvasinājums ir funkcijas pieauguma vai samazināšanās ātrums. Tomēr liela daļa no šīs definīcijas kļūst nesaprotama. Mēģināsim izskaidrot atvasinājumu diferenciāļu izteiksmē. Atgriezīsimies pie bezgalīgi maza funkcijas segmenta ar diviem punktiem, kas atrodas minimālā attālumā viens no otra. Bet pat šim attālumam funkcijai izdodas par kādu summu mainīties. Un, lai aprakstītu šīs izmaiņas, viņi nāca klajā ar atvasinājumu, ko citādi var uzrakstīt kā diferenciāļu attiecību: f (x) "=df / dx.

Tagad ir vērts apsvērt atvasinājuma pamatīpašības. Ir tikai trīs no tiem:

1. Summas vai starpības atvasinājumu var attēlot kā atvasinājumu summu vai starpību: (a+b)"=a"+b" un (a-b)"=a"-b".
2. Otrais īpašums ir saistīts ar reizināšanu. Produkta atvasinājums ir vienas funkcijas reizinājumu summa un citas funkcijas atvasinājums: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Starpības atvasinājumu var uzrakstīt kā šādu vienādību: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Visas šīs īpašības mums noderēs, lai atrastu risinājumus pirmās kārtas diferenciālvienādojumiem.

Ir arī daļēji atvasinājumi. Pieņemsim, ka mums ir funkcija z, kas ir atkarīga no mainīgajiem x un y. Lai aprēķinātu šīs funkcijas daļējo atvasinājumu, piemēram, attiecībā uz x, mums ir jāņem mainīgais y kā konstante un vienkārši jādiferencē.

Integrāls

Cits svarīgs jēdziens- neatņemama. Faktiski tas ir tiešs pretstats atvasinājumam. Ir vairāki integrāļu veidi, bet, lai atrisinātu vienkāršākos diferenciālvienādojumus, mums ir nepieciešams vistriviālais

Tātad, pieņemsim, ka mums ir zināma f atkarība no x. Mēs ņemam no tā integrāli un iegūstam funkciju F (x) (bieži saukta par antiatvasinājumu), kuras atvasinājums ir vienāds ar sākotnējo funkciju. Tādējādi F(x)"=f(x). No tā arī izriet, ka atvasinājuma integrālis ir vienāds ar sākotnējo funkciju.

Risinot diferenciālvienādojumus, ir ļoti svarīgi saprast integrāļa nozīmi un funkciju, jo, lai atrastu risinājumu, tie būs jāizmanto ļoti bieži.

Vienādojumi atšķiras atkarībā no to rakstura. Nākamajā sadaļā mēs apskatīsim pirmās kārtas diferenciālvienādojumu veidus, un pēc tam uzzināsim, kā tos atrisināt.

Diferenciālvienādojumu klases

"Diffura" tiek sadalīti atbilstoši tajos iesaistīto atvasinājumu secībai. Tādējādi ir pirmā, otrā, trešā un vairāk kārtība. Tos var arī iedalīt vairākās klasēs: parastie un daļējie atvasinājumi.

Šajā rakstā mēs aplūkosim parastos pirmās kārtas diferenciālvienādojumus. Mēs arī apspriedīsim piemērus un veidus, kā tos atrisināt nākamajās sadaļās. Mēs apsvērsim tikai ODE, jo tie ir visizplatītākie vienādojumu veidi. Parastās tiek iedalītas apakšsugās: ar atdalāmiem mainīgajiem, viendabīgās un neviendabīgās. Tālāk jūs uzzināsit, kā tie atšķiras viens no otra, un uzzināsit, kā tos atrisināt.

Turklāt šos vienādojumus var apvienot, lai pēc tam iegūtu pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmu. Mēs arī apsvērsim šādas sistēmas un uzzināsim, kā tās atrisināt.

Kāpēc mēs apsveram tikai pirmo pasūtījumu? Jo jāsāk ar vienkāršu, un visu, kas saistīts ar diferenciālvienādojumiem, vienā rakstā vienkārši nav iespējams aprakstīt.

Atdalāmi mainīgo vienādojumi

Šie, iespējams, ir vienkāršākie pirmās kārtas diferenciālvienādojumi. Tie ietver piemērus, kurus var uzrakstīt šādi: y "=f (x) * f (y). Lai atrisinātu šo vienādojumu, mums ir nepieciešama formula atvasinājuma attēlošanai kā diferenciāļu attiecība: y" = dy / dx. Izmantojot to, mēs iegūstam šādu vienādojumu: dy/dx=f(x)*f(y). Tagad varam pievērsties standarta piemēru risināšanas metodei: sadalīsim mainīgos daļās, t.i., visu ar y mainīgo pārnesim uz daļu, kurā atrodas dy, un darīsim to pašu ar mainīgo x. Iegūstam vienādojumu formā: dy/f(y)=f(x)dx, kuru atrisina, ņemot abu daļu integrāļus. Neaizmirstiet par konstanti, kas jāiestata pēc integrāļa uzņemšanas.

Jebkuras "differences" atrisinājums ir funkcija no x atkarības no y (mūsu gadījumā) vai, ja ir skaitlisks nosacījums, tad atbilde ir skaitļa formā. Apskatīsim konkrēts piemērs viss risinājuma gaita:

Mēs pārsūtām mainīgos dažādos virzienos:

Tagad mēs ņemam integrāļus. Tos visus var atrast īpašā integrāļu tabulā. Un mēs iegūstam:

log(y) = -2*cos(x) + C

Ja nepieciešams, mēs varam izteikt "y" kā funkciju no "x". Tagad mēs varam teikt, ka mūsu diferenciālvienādojums ir atrisināts, ja nav dots neviens nosacījums. Nosacījumu var dot, piemēram, y(n/2)=e. Tad mēs vienkārši aizstājam šo mainīgo vērtību risinājumā un atrodam konstantes vērtību. Mūsu piemērā tas ir vienāds ar 1.

Pirmās kārtas homogēnie diferenciālvienādojumi

Tagad pāriesim pie grūtākās daļas. Var ierakstīt pirmās kārtas homogēnos diferenciālvienādojumus vispārējs skats tātad: y"=z(x,y). Jāņem vērā, ka divu mainīgo labā funkcija ir viendabīga, un to nevar sadalīt divās atkarībās: z no x un z no y. Pārbaudot, vai vienādojums ir viendabīgs vai nav pavisam vienkārši: veicam aizstāšanu x=k*x un y=k*y.Tagad atceļam visus k.Ja visi šie burti ir samazināti, tad vienādojums ir viendabīgs un var droši ķerties pie tā risināšanas. uz priekšu, teiksim: arī šo piemēru risināšanas princips ir ļoti vienkāršs .

Mums ir jāveic aizstāšana: y=t(x)*x, kur t ir kāda funkcija, kas arī ir atkarīga no x. Tad varam izteikt atvasinājumu: y"=t"(x)*x+t. Aizvietojot to visu mūsu sākotnējā vienādojumā un vienkāršojot to, mēs iegūstam piemēru ar atdalāmiem mainīgajiem t un x. Mēs to atrisinām un iegūstam atkarību t(x). Kad mēs to ieguvām, mēs vienkārši aizstājam y=t(x)*x ar mūsu iepriekšējo aizstāšanu. Tad iegūstam y atkarību no x.

Lai padarītu to skaidrāku, apskatīsim piemēru: x*y"=y-x*e y/x .

Pārbaudot ar nomaiņu, viss tiek samazināts. Tātad vienādojums patiešām ir viendabīgs. Tagad mēs veicam vēl vienu aizstāšanu, par kuru mēs runājām: y=t(x)*x un y"=t"(x)*x+t(x). Pēc vienkāršošanas mēs iegūstam šādu vienādojumu: t "(x) * x \u003d -et. Mēs atrisinām iegūto piemēru ar atdalītiem mainīgajiem un iegūstam: e -t \u003d ln (C * x). Mums tikai jāaizstāj t ar y / x (jo, ja y \u003d t * x, tad t \u003d y / x), un mēs saņemam atbildi: e -y / x \u003d ln (x * C).

Pirmās kārtas lineārie diferenciālvienādojumi

Ir pienācis laiks apsvērt citu plašu tēmu. Mēs analizēsim pirmās kārtas nehomogēnus diferenciālvienādojumus. Kā viņi atšķiras no iepriekšējiem diviem? Izdomāsim. Pirmās kārtas lineāros diferenciālvienādojumus vispārīgā formā var uzrakstīt šādi: y " + g (x) * y \u003d z (x). Ir vērts precizēt, ka z (x) un g (x) var būt nemainīgas vērtības .

Un tagad piemērs: y" - y*x=x 2 .

Ir divi risināšanas veidi, un mēs abus analizēsim secībā. Pirmā ir patvaļīgu konstantu variācijas metode.

Lai vienādojumu atrisinātu šādā veidā, vispirms labā puse ir jāpielīdzina nullei un jāatrisina iegūtais vienādojums, kas pēc detaļu pārvietošanas iegūs šādu formu:

ln|y|=x 2/2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C = C 1 * e x2 / 2.

Tagad mums ir jāaizstāj konstante C 1 ar funkciju v(x), kas mums jāatrod.

Mainīsim atvasinājumu:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Aizstāsim šīs izteiksmes sākotnējā vienādojumā:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Redzams, ka kreisajā pusē ir atcelti divi termini. Ja kādā piemērā tas nenotika, tad jūs kaut ko izdarījāt nepareizi. Turpināsim:

v"*e x2/2 = x 2 .

Tagad mēs atrisinām parasto vienādojumu, kurā mums ir jāatdala mainīgie:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Lai iegūtu integrāli, šeit ir jāpiemēro integrācija pa daļām. Tomēr šī nav mūsu raksta tēma. Ja jūs interesē, varat uzzināt, kā šādas darbības veikt pats. Tas nav grūti, un ar pietiekamu prasmi un rūpību tas neaizņem daudz laika.

Pievērsīsimies otrai nehomogēnu vienādojumu risināšanas metodei: Bernulli metodei. Kura pieeja ir ātrāka un vienkāršāka, ir atkarīgs no jums.

Tātad, risinot vienādojumu ar šo metodi, mums ir jāveic aizstāšana: y=k*n. Šeit k un n ir dažas no x atkarīgas funkcijas. Tad atvasinājums izskatīsies šādi: y"=k"*n+k*n. Mēs aizvietojam abus aizvietojumus vienādojumā:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Grupēšana:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Tagad mums ir jāpielīdzina nullei tas, kas ir iekavās. Tagad, ja mēs apvienojam divus iegūtos vienādojumus, mēs iegūstam pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmu, kas ir jāatrisina:

Pirmo vienādojumu atrisinām kā parastu vienādojumu. Lai to izdarītu, jums ir jāatdala mainīgie:

Mēs ņemam integrāli un iegūstam: ln(n)=x 2 /2. Tad, ja mēs izsakām n:

Tagad iegūto vienādību aizstājam ar sistēmas otro vienādojumu:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

Un pārveidojot, mēs iegūstam tādu pašu vienlīdzību kā pirmajā metodē:

dk=x 2 /e x2/2 .

Mēs arī neanalizēsim turpmākās darbības. Ir vērts teikt, ka sākotnēji pirmās kārtas diferenciālvienādojumu atrisināšana rada ievērojamas grūtības. Tomēr, dziļāk iedziļinoties tēmā, tas sāk kļūt labāks un labāks.

Kur tiek izmantoti diferenciālvienādojumi?

Diferenciālvienādojumi tiek ļoti aktīvi izmantoti fizikā, jo gandrīz visi pamatlikumi ir rakstīti diferenciālā formā, un formulas, kuras mēs redzam, ir šo vienādojumu risinājums. Ķīmijā tos izmanto tā paša iemesla dēļ: no tiem izriet pamatlikumi. Bioloģijā diferenciālvienādojumus izmanto, lai modelētu sistēmu uzvedību, piemēram, plēsoņu un laupījumu. Tos var izmantot arī, lai izveidotu, piemēram, mikroorganismu kolonijas reprodukcijas modeļus.

Kā diferenciālvienādojumi palīdzēs dzīvē?

Atbilde uz šo jautājumu ir vienkārša: nekādā gadījumā. Ja jūs neesat zinātnieks vai inženieris, tad diez vai tie jums būs noderīgi. Tomēr par vispārējā attīstība Nav slikti zināt, kas ir diferenciālvienādojums un kā tas tiek atrisināts. Un tad jautājums par dēlu vai meitu "kas ir diferenciālvienādojums?" jūs nemulsinās. Nu, ja esat zinātnieks vai inženieris, tad jūs pats saprotat šīs tēmas nozīmi jebkurā zinātnē. Bet vissvarīgākais ir tas, ka tagad jautājums "kā atrisināt pirmās kārtas diferenciālvienādojumu?" jūs vienmēr varat atbildēt. Piekrītu, vienmēr ir patīkami, kad saproti to, ko cilvēki pat baidās saprast.

Galvenās problēmas mācībās

Galvenā problēma šīs tēmas izpratnē ir vājās prasmes integrēt un diferencēt funkcijas. Ja jūs slikti lietojat atvasinājumus un integrāļus, tad jums, meistar, vajadzētu uzzināt vairāk dažādas metodes integrāciju un diferenciāciju, un tikai pēc tam pārejiet uz rakstā aprakstītā materiāla izpēti.

Daži cilvēki ir pārsteigti, uzzinot, ka dx var pārnest, jo agrāk (skolā) tika teikts, ka daļa dy / dx ir nedalāma. Šeit jums ir jāizlasa literatūra par atvasinājumu un jāsaprot, ka tā ir bezgalīgi mazu lielumu attiecība, ar kuru var manipulēt, risinot vienādojumus.

Daudzi uzreiz neapzinās, ka pirmās kārtas diferenciālvienādojumu risinājums bieži vien ir funkcija vai integrālis, ko nevar ņemt, un šī maldīšanās viņiem sagādā daudz nepatikšanas.

Ko vēl var izpētīt, lai labāk saprastu?

Vislabāk ir sākt tālāku iedziļināšanos diferenciālrēķinu pasaulē ar specializētām mācību grāmatām, piemēram, matemātiskā analīze nematemātisko specialitāšu studentiem. Pēc tam jūs varat pāriet uz specializētāku literatūru.

Ir vērts teikt, ka papildus diferenciālvienādojumiem ir arī integrālvienādojumi, tāpēc jums vienmēr būs, uz ko tiekties un ko pētīt.

Secinājums

Mēs ceram, ka pēc šī raksta izlasīšanas jums ir priekšstats par to, kas ir diferenciālvienādojumi un kā tos pareizi atrisināt.

Katrā ziņā matemātika mums dzīvē kaut kā noder. Tas attīsta loģiku un uzmanību, bez kā katrs cilvēks ir kā bez rokām.

Dažās fizikas problēmās nevar noteikt tiešu saikni starp procesu aprakstošiem lielumiem. Taču ir iespēja iegūt vienādojumu, kas satur pētāmo funkciju atvasinājumus. Tādā veidā rodas diferenciālvienādojumi un nepieciešamība tos atrisināt, lai atrastu nezināmu funkciju.

Šis raksts ir paredzēts tiem, kas saskaras ar diferenciālvienādojuma risināšanas problēmu, kurā nezināmā funkcija ir viena mainīgā funkcija. Teorija ir veidota tā, lai ar nulles izpratni par diferenciālvienādojumiem jūs varētu veikt savu darbu.

Katrs diferenciālvienādojumu veids ir saistīts ar risināšanas metodi ar detalizētiem skaidrojumiem un tipisku piemēru un problēmu risinājumiem. Jums vienkārši ir jānosaka savas problēmas diferenciālvienādojuma veids, jāatrod līdzīgs analizēts piemērs un jāveic līdzīgas darbības.

Lai veiksmīgi atrisinātu diferenciālvienādojumus no jūsu puses, jums būs nepieciešama arī iespēja atrast antiatvasinājumu kopas ( nenoteiktie integrāļi) dažādas funkcijas. Ja nepieciešams, iesakām skatīt sadaļu.

Pirmkārt, mēs aplūkojam parasto pirmās kārtas diferenciālvienādojumu veidus, kurus var atrisināt attiecībā uz atvasinājumu, pēc tam mēs pārejam pie otrās kārtas ODE, tad pakavējamies pie augstākās kārtas vienādojumiem un beidzam ar diferenciālvienādojumu sistēmām.

Atcerieties, ka, ja y ir argumenta x funkcija.

Pirmās kārtas diferenciālvienādojumi.

Vienkāršākie formas pirmās kārtas diferenciālvienādojumi .

Pierakstīsim vairākus šādu DE piemērus .

Diferenciālvienādojumi var atrisināt attiecībā pret atvasinājumu, dalot abas vienādības puses ar f(x) . Šajā gadījumā mēs nonākam pie vienādojuma , kas būs ekvivalents sākotnējam f(x) ≠ 0 . Šādu ODE piemēri ir .

Ja ir argumenta x vērtības, kurām vienlaikus izzūd funkcijas f(x) un g(x), tad parādās papildu risinājumi. Vienādojuma papildu risinājumi dotais x ir jebkuras funkcijas, kas definētas šīm argumentu vērtībām. Šādu diferenciālvienādojumu piemēri ir .

Otrās kārtas diferenciālvienādojumi.

Otrās kārtas lineāri homogēni diferenciālvienādojumi ar nemainīgiem koeficientiem.

LODE ar nemainīgiem koeficientiem ir ļoti izplatīts diferenciālvienādojumu veids. Viņu risinājums nav īpaši grūts. Pirmkārt, tiek atrastas raksturīgā vienādojuma saknes . Dažādiem p un q ir iespējami trīs gadījumi: raksturīgā vienādojuma saknes var būt reālas un dažādas, reālas un sakrītošas vai komplekss konjugāts. Atkarībā no raksturīgā vienādojuma sakņu vērtībām diferenciālvienādojuma vispārējais risinājums tiek uzrakstīts kā , vai , vai attiecīgi.

Piemēram, apsveriet otrās kārtas lineāru homogēnu diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem. Viņa raksturīgā vienādojuma saknes ir k 1 = -3 un k 2 = 0. Saknes ir reālas un dažādas, tāpēc LDE vispārējais risinājums ar nemainīgiem koeficientiem ir


Lineāri nehomogēni otrās kārtas diferenciālvienādojumi ar nemainīgiem koeficientiem.

Otrās kārtas LIDE vispārējais risinājums ar nemainīgiem koeficientiem y tiek meklēts kā atbilstošās LODE vispārējā atrisinājuma summa. un īpašs sākotnējā nehomogēnā vienādojuma risinājums, tas ir, . Iepriekšējā rindkopa ir veltīta vispārīga risinājuma atrašanai homogēnam diferenciālvienādojumam ar nemainīgiem koeficientiem. Un konkrēts risinājums tiek noteikts vai nu ar nenoteikto koeficientu metodi pie noteikta forma funkcija f(x) , kas atrodas sākotnējā vienādojuma labajā pusē, vai ar patvaļīgu konstantu variācijas metodi.

Mēs piedāvājam kā piemērus otrās kārtas LIDE ar nemainīgiem koeficientiem


Lai izprastu teoriju un iepazītos ar detalizētiem piemēru risinājumiem, lapā piedāvājam lineārus nehomogēnus otrās kārtas diferenciālvienādojumus ar nemainīgiem koeficientiem.

Lineārie homogēnie diferenciālvienādojumi (LODE) un otrās kārtas lineāri nehomogēni diferenciālvienādojumi (LNDE).

Īpašs šāda veida diferenciālvienādojumu gadījums ir LODE un LODE ar nemainīgiem koeficientiem.

LODE vispārīgo atrisinājumu noteiktā intervālā attēlo divu lineāri neatkarīgu šī vienādojuma konkrētu risinājumu y 1 un y 2 lineāra kombinācija, tas ir, .

Galvenās grūtības ir tieši atrast lineāri neatkarīgus daļējus risinājumus šāda veida diferenciālvienādojumam. Parasti konkrētus risinājumus izvēlas no šādām lineāri neatkarīgu funkciju sistēmām:


Tomēr konkrēti risinājumi ne vienmēr tiek piedāvāti šādā formā.

LODU piemērs ir .

LIDE vispārējais risinājums tiek meklēts formā , kur ir atbilstošās LODE vispārīgais risinājums, un tas ir sākotnējā diferenciālvienādojuma konkrētais risinājums. Mēs tikko runājām par atrašanu, bet to var noteikt, izmantojot patvaļīgu konstantu variācijas metodi.

LNDE piemērs ir .

Augstākas kārtas diferenciālvienādojumi.

Diferenciālvienādojumi, kas pieļauj secības samazināšanu.

Diferenciālvienādojuma secība , kas nesatur vēlamo funkciju un tās atvasinājumus līdz k-1 secībai, var samazināt līdz n-k, aizstājot .

Šajā gadījumā sākotnējais diferenciālvienādojums samazinās līdz . Pēc tā atrisinājuma p(x) atrašanas atliek atgriezties pie aizstāšanas un noteikt nezināmo funkciju y .

Piemēram, diferenciālvienādojums pēc tam, kad aizstāšana kļūst par atdalāmu vienādojumu , un tā secība tiek samazināta no trešās uz pirmo.

Piemēram, funkcija
ir pirmās dimensijas viendabīga funkcija, jo

ir trešās dimensijas viendabīga funkcija, jo

ir homogēna nulles dimensijas funkcija, jo

, t.i.
.

2. definīcija. Pirmās kārtas diferenciālvienādojums y" = f(x, y) sauc par viendabīgu, ja funkcija f(x, y) ir viendabīga nulles dimensijas funkcija attiecībā pret x Un y vai, kā saka, f(x, y) ir viendabīga nulles pakāpes funkcija.

To var attēlot kā

kas ļauj definēt homogēnu vienādojumu kā diferenciālvienādojumu, ko var pārveidot formā (3.3).

Aizstāšana
samazina viendabīgu vienādojumu par vienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem. Patiešām, pēc aizstāšanas y=xz mēs saņemam
,
Atdalot mainīgos un integrējot, mēs atrodam:

,

Piemērs 1. Atrisiniet vienādojumu.

Δ Mēs pieņemam y=zx,
Mēs aizstājam šos izteicienus y Un dyšajā vienādojumā:
vai
Mainīgo atdalīšana:
un integrēt:
,

Nomaiņa z uz , saņemam
.

2. piemērs Atrodiet vienādojuma vispārējo risinājumu.

Δ Šajā vienādojumā P (x,y) =x 2 -2y 2 ,J(x,y) =2xy ir homogēnas otrās dimensijas funkcijas, tāpēc šis vienādojums ir viendabīgs. To var attēlot kā
un atrisiniet tāpat kā iepriekš. Bet mēs izmantojam citu apzīmējumu. Liekam y = zx, kur dy = zdx + xdz. Aizstājot šīs izteiksmes sākotnējā vienādojumā, mēs to izdarīsim

dx+2 zxdz = 0 .

Mēs atdalām mainīgos, skaitot

.

Mēs integrējam šo vienādojumu pa vārdam

, kur

t.i
. Atgriežoties pie vecās funkcijas
atrast vispārēju risinājumu


3. piemērs . Atrodiet vispārīgu vienādojuma risinājumu
.

Δ Pārveidojumu ķēde: ,y = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

8. lekcija

4. Pirmās kārtas lineārie diferenciālvienādojumi Pirmās kārtas lineārajam diferenciālvienādojumam ir forma

Šeit ir brīvais termins, ko sauc arī par vienādojuma labo pusi. Šajā formā mēs turpmāk aplūkosim lineāro vienādojumu.

Ja
0, tad vienādojumu (4.1a) sauc par lineāri nehomogēnu. Ja
0, tad vienādojums iegūst formu

un to sauc par lineāri viendabīgu.

Vienādojuma (4.1a) nosaukums ir izskaidrojams ar to, ka nezināmā funkcija y un tā atvasinājums ievadiet to lineāri, t.i. pirmajā pakāpē.

Lineārā viendabīgā vienādojumā mainīgie ir atdalīti. Pārrakstot to formā
kur
un integrējot, mēs iegūstam:
, tie.

Kad dala ar mēs zaudējam lēmumu
. Taču to var iekļaut atrastajā risinājumu saimē (4.3), ja pieņemam, ka tā NO var ņemt arī vērtību 0.

Vienādojuma (4.1a) atrisināšanai ir vairākas metodes. Saskaņā ar Bernulli metode, risinājums tiek meklēts kā divu funkciju produkts X:

Vienu no šīm funkcijām var izvēlēties patvaļīgi, jo tikai produkts UV jāatbilst sākotnējam vienādojumam, otru nosaka, pamatojoties uz vienādojumu (4.1a).

Diferencējot abas vienlīdzības puses (4.4), mēs atklājam
.

Rezultātā iegūtās atvasinātās izteiksmes aizstāšana , kā arī vērtību plkst vienādojumā (4.1a), iegūstam
, vai

tie. kā funkcija vņem homogēnā lineārā vienādojuma (4.6.) risinājumu:

(Šeit C obligāti jāraksta, citādi iegūsi nevis vispārīgu, bet konkrētu risinājumu).

Tādējādi redzam, ka izmantotās aizstāšanas (4.4) rezultātā vienādojums (4.1a) reducējas līdz diviem vienādojumiem ar atdalāmiem mainīgajiem (4.6) un (4.7).

Aizstāšana
Un v(x) formulā (4.4), mēs beidzot iegūstam

,

.

1. piemērs Atrodiet vispārīgu vienādojuma risinājumu

 Liekam
, tad
. Izteicienu aizstāšana Un sākotnējā vienādojumā, mēs iegūstam
vai
(*)

Mēs pielīdzinām nullei koeficientu pie :

Atdalot mainīgos lielumus iegūtajā vienādojumā, mēs iegūstam


(patvaļīga konstante C neraksti), tātad v= x. Atrasta vērtība v aizstāt vienādojumu (*):

,
,
.

Sekojoši,
sākotnējā vienādojuma vispārējs atrisinājums.

Ņemiet vērā, ka vienādojumu (*) var uzrakstīt līdzvērtīgā formā:

.

Nejauši izvēloties funkciju u, bet ne v, mēs varētu pieņemt
. Šis risināšanas veids atšķiras no aplūkotā tikai ar aizstāšanu v uz u(un tāpēc u uz v), lai gala vērtība plkst izrādās tas pats.

Pamatojoties uz iepriekš minēto, mēs iegūstam algoritmu pirmās kārtas lineāra diferenciālvienādojuma risināšanai.

Turklāt ņemiet vērā, ka dažreiz pirmās kārtas vienādojums kļūst lineārs, ja plkst jāuzskata par neatkarīgu mainīgo, un x- atkarīgi, t.i. mainīt lomas x Un y. To var izdarīt ar nosacījumu, ka x Un dx ievadiet vienādojumu lineāri.

2. piemērs . atrisināt vienādojumu
.

Pēc izskata šis vienādojums nav lineārs attiecībā uz funkciju plkst.

Tomēr, ja mēs uzskatām x kā funkcija no plkst, tad, ņemot vērā to
, to var novest līdz formai

(4.1 b)

Nomaiņa uz , saņemam
vai
. Pēdējā vienādojuma abas puses dalot ar reizinājumu ydy, novietojiet to formā

, vai
. (**)

Šeit P(y)=,
. Šis ir lineārs vienādojums attiecībā pret x. Mēs ticam
,
. Aizstājot šīs izteiksmes ar (**), mēs iegūstam

vai
.

Izvēlamies v tā, ka
,
, kur
;
. Tad mums ir
,
,
.

Jo
, tad mēs nonākam pie šī vienādojuma vispārējā atrisinājuma formā

.

Ņemiet vērā, ka vienādojumā (4.1a) P(x) Un J (x) var rasties ne tikai kā funkcijas x, bet arī konstantes: P= a,J= b. Lineārais vienādojums

var atrisināt arī, izmantojot aizstāšanu y= UV un mainīgo lielumu atdalīšana:

;
.

No šejienes
;
;
; kur
. Atbrīvojoties no logaritma, iegūstam vienādojuma vispārējo atrisinājumu

(šeit
).

Plkst b= 0 mēs nonākam pie vienādojuma atrisinājuma

(skatiet eksponenciālā pieauguma vienādojumu (2.4).
).

Pirmkārt, mēs integrējam atbilstošo homogēno vienādojumu (4.2). Kā norādīts iepriekš, tā šķīdumam ir forma (4.3.). Mēs apsvērsim faktoru NO punktā (4.3) pēc funkcijas X, t.i. būtībā mainot mainīgo

kur, integrējot, mēs atrodam

Ņemiet vērā, ka saskaņā ar (4.14) (sk. arī (4.9)) nehomogēnā lineārā vienādojuma vispārējais atrisinājums ir vienāds ar atbilstošā homogēnā vienādojuma (4.3) vispārējā atrisinājuma un noteiktā nehomogēnā vienādojuma konkrētā risinājuma summu. ar otro terminu (4.14) (un (4.9)).

Risinot konkrētus vienādojumus, ir jāatkārto iepriekš minētie aprēķini, nevis jāizmanto apgrūtinošā formula (4.14.).

Mēs izmantojam Lagranža metodi aplūkotajam vienādojumam piemērs 1 :

.

Mēs integrējam atbilstošo viendabīgo vienādojumu
.

Atdalot mainīgos, mēs iegūstam
un tālāk
. Izteiksmes atrisināšana pēc formulas y = Cx. Sākotnējā vienādojuma atrisinājums tiek meklēts formā y = C(x)x. Aizvietojot šo izteiksmi dotajā vienādojumā, mēs iegūstam
;
;
,
. Sākotnējā vienādojuma vispārīgajam risinājumam ir forma

.

Noslēgumā mēs atzīmējam, ka Bernulli vienādojums ir reducēts uz lineāru vienādojumu

, ( )

ko var uzrakstīt kā

.

nomaiņa
to reducē līdz lineāram vienādojumam:

,
,
.

Bernulli vienādojumus risina arī ar iepriekš aprakstītajām metodēm.

3. piemērs . Atrodiet vispārīgu vienādojuma risinājumu
.

 Pārveidojumu ķēde:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,


Tiek izsaukta funkcija f(x,y). viendabīga funkcija to dimensijas argumenti n ja identitāte f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

Piemēram, funkcija f(x,y)=x^2+y^2-xy ir homogēna otrās dimensijas funkcija, jo

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

Ja n=0 mums ir nulles dimensijas funkcija. Piemēram, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2) ir homogēna nulles dimensijas funkcija, jo

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^) 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

Formas diferenciālvienādojums \frac(dy)(dx)=f(x,y) tiek uzskatīts par viendabīgu attiecībā pret x un y, ja f(x,y) ir tā nulles dimensijas argumentu viendabīga funkcija. Viendabīgu vienādojumu vienmēr var attēlot kā

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right).

Ieviešot jaunu vēlamo funkciju u=\frac(y)(x) , vienādojumu (1) var reducēt uz vienādojumu ar atdalošiem mainīgajiem:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

Ja u=u_0 ir vienādojuma \varphi(u)-u=0 sakne, tad viendabīgā vienādojuma atrisinājums būs u=u_0 vai y=u_0x (taisne, kas iet caur sākuma punktu).

komentēt. Risinot viendabīgus vienādojumus, nav nepieciešams tos reducēt līdz formai (1). Jūs varat nekavējoties veikt aizstāšanu y=ux .

1. piemērs Atrisiniet homogēnu vienādojumu xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

Risinājums. Mēs ierakstām vienādojumu formā y"=\sqrt(1-(\left(\frac(y)(x)\right)\^2}+\frac{y}{x} !} tātad dotais vienādojums izrādās viendabīgs attiecībā pret x un y. Ieliksim u=\frac(y)(x) vai y=ux . Pēc tam y"=xu"+u . Aizstājot vienādojumā izteiksmes y un y", mēs iegūstam x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Mainīgo atdalīšana: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). No šejienes, integrējot, mēs atrodam

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), vai \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

Tā kā C_1|x|=\pm(C_1x) , kas apzīmē \pm(C_1)=C , mēs iegūstam \arcsin(u)=\ln(Cx), kur |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2) vai e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). Aizstājot u ar \frac(y)(x) , mēs iegūsim vispārējo integrāli \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

Tādējādi vispārīgais risinājums: y=x\sin\ln(Cx) .

Atdalot mainīgos, mēs sadalījām abas vienādojuma puses ar reizinājumu x\sqrt(1-u^2) , tādējādi mēs varam zaudēt risinājumu, kas šo reizinājumu pārvērš par nulli.

Tagad ievietosim x=0 un \sqrt(1-u^2)=0. Bet x\ne0 aizstāšanas dēļ u=\frac(y)(x) , un no attiecības \sqrt(1-u^2)=0 mēs to iegūstam 1-\frac(y^2)(x^2)=0, no kurienes y=\pm(x) . Tiešā pārbaudē mēs esam pārliecināti, ka funkcijas y=-x un y=x ir arī šī vienādojuma risinājumi.

2. piemērs Aplūkosim viendabīgā vienādojuma integrāllīkņu saimi C_\alpha y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). Parādiet, ka šī homogēnā diferenciālvienādojuma noteikto līkņu atbilstošajos punktos pieskares ir paralēlas viena otrai.

Piezīme: Mēs piezvanīsim atbilstošs tie punkti uz C_\alpha līknēm, kas atrodas uz viena stara, sākot no sākuma.

Risinājums. Pēc atbilstošo punktu definīcijas mums ir \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), tā ka, pamatojoties uz pašu vienādojumu, y"=y"_1, kur y" un y"_1 ir integrāllīkņu C_\alpha un C_(\alpha_1) pieskares slīpumi punktos M un M_1, attiecīgi (12. att.).

Vienādojumi, kas reducēti uz homogēniem

BET. Apsveriet formas diferenciālvienādojumu

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\right).

kur a,b,c,a_1,b_1,c_1 ir konstantes un f(u) ir nepārtraukta funkcija savu argumentu u .

Ja c=c_1=0 , tad vienādojums (3) ir viendabīgs un integrējas kā iepriekš.

Ja vismaz viens no skaitļiem c,c_1 atšķiras no nulles, tad jānošķir divi gadījumi.

1) Noteicējs \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. Ieviešot jaunus mainīgos \xi un \eta pēc formulām x=\xi+h,~y=\eta+k , kur h un k joprojām ir nedefinētas konstantes, vienādojumu (3) ievietojam formā

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\taisnība).

Izvēloties h un k kā sistēmas risinājumu lineārie vienādojumi

\begin(cases)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(cases)~(\Delta\ne0),

iegūstam homogēnu vienādojumu \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\right). Atrodot tā vispārējo integrāli un aizstājot tajā \xi ar x-h un \eta ar y-k , iegūstam (3) vienādojuma vispārējo integrāli.

2) Noteicējs \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. Sistēmai (4) vispārīgā gadījumā nav risinājumu, un iepriekš minētā metode nav piemērojama; šajā gadījumā \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, un tāpēc vienādojumam (3) ir forma \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\right). Aizstāšana z=ax+by noved to pie atdalāma mainīgā vienādojuma.

3. piemērs atrisināt vienādojumu (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

Risinājums. Apsveriet lineāro sistēmu algebriskie vienādojumi \begin(cases)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(cases)

Šīs sistēmas noteicējs \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

Sistēmai ir vienīgais lēmums x_0=-1, ~y_0=3 . Veicam nomaiņu x=\xi-1,~y=\eta+3 . Tad vienādojums (5) iegūst formu

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

Šis vienādojums ir viendabīgs vienādojums. Iestatījums \eta=u\xi , mēs iegūstam

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, kur (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

Mainīgo atdalīšana \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

Integrējot, mēs atrodam \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C) vai \xi^2(1+2u-u^2)=C .

Atgriežoties pie mainīgajiem x,~y:

(x+1)^2\left=C_1 vai x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

4. piemērs atrisināt vienādojumu (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

Risinājums. Lineāro algebrisko vienādojumu sistēma \begin(cases)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(cases) nesaderīgi. Šajā gadījumā iepriekšējā piemērā izmantotā metode nav piemērota. Lai integrētu vienādojumu, mēs izmantojam aizstāšanu x+y=z , dy=dz-dx . Vienādojums iegūs formu

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

Atdalot mainīgos, mēs iegūstam

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0 tātad x-2z-3\ln|z-2|=C.

Atgriežoties pie mainīgajiem x,~y , iegūstam šī vienādojuma vispārējo integrāli

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

B. Dažreiz vienādojumu var reducēt līdz viendabīgam, mainot mainīgo y=z^\alpha . Šis ir gadījums, kad visiem vienādojuma terminiem ir viena dimensija, ja mainīgajam x ir piešķirta dimensija 1, mainīgajam y tiek piešķirta dimensija \alpha un atvasinājumam \frac(dy)(dx) ir dota dimensija \alpha-1 .

5. piemērs atrisināt vienādojumu (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

Risinājums. Aizstāšanas veikšana y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, kur \alpha pagaidām ir patvaļīgs skaitlis, kuru mēs izvēlēsimies vēlāk. Aizstājot vienādojumā izteiksmes y un dy, mēs iegūstam

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0 vai \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

Ņemiet vērā, ka x^2z^(3\alpha-1) ir dimensija 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^(\alpha-1) ir dimensija \alpha-1 , xz^(3\alpha) ir 1+3\alpha . Iegūtais vienādojums būs viendabīgs, ja visu terminu mērījumi būs vienādi, t.i. ja nosacījums ir izpildīts 3\alpha+1=\alpha-1, vai \alpha-1 .

Ieliksim y=\frac(1)(z) ; sākotnējais vienādojums iegūst formu

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0 vai (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

Liekam tagad z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. Tad šis vienādojums iegūs formu (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, kur u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

Mainīgo atdalīšana šajā vienādojumā \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Integrējot, mēs atrodam

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C) vai \frac(x(u^2+1))(u)=C.

Aizstājot u ar \frac(1)(xy) , mēs iegūstam šī vienādojuma vispārējo integrāli 1+x^2y^2=Cy.

Vienādojumam ir vēl viens acīmredzams risinājums y=0 , kas iegūts no kopējais integrālis C\to\infty , ja integrālis ir uzrakstīts kā y=\frac(1+x^2y^2)(C), un pēc tam pārejiet uz ierobežojumu pie C\to\infty . Tādējādi funkcija y=0 ir īpašs sākotnējā vienādojuma risinājums.

Javascript jūsu pārlūkprogrammā ir atspējots.
Lai veiktu aprēķinus, ir jāiespējo ActiveX vadīklas!