Noteikums decimāldaļu dalīšanai ar naturāliem skaitļiem.
Četras identiskas rotaļlietas kopā maksāja 921 rubli 20 kapeikas. Cik maksā viena rotaļlieta (skat. 1. att.)?
Rīsi. 1. Problēmas ilustrācija
Risinājums
Lai noskaidrotu vienas rotaļlietas izmaksas, šī summa jāsadala ar četriem. Pārrēķināsim summu kapeikās:
Atbilde: vienas rotaļlietas izmaksas ir 23 030 kapeikas, tas ir, 230 rubļi 30 kapeikas jeb 230,3 rubļi.
Jūs varat atrisināt šo problēmu, nepārvēršot rubļus kapeikās, tas ir, dalot decimālzīme uz dabiskais skaitlis: .
Lai dalītu decimāldaļu ar naturālu skaitli, jums ir jādala daļskaitlis ar šo skaitli, jo naturālie skaitļi tiek dalīti, un jāievieto privātā komatā, kad visas daļas dalīšana ir beigusies.
Mēs sadalām kolonnā, kā dalām naturālos skaitļus. Pēc tam, kad esam nojaukuši skaitli 2 (desmito daļu skaits ir pirmais cipars aiz komata dividendes 921.20 ierakstā), koeficientā ievietojiet komatu un turpiniet dalīšanu:
Atbilde: 230,3 rubļi.
Mēs sadalām kolonnā, kā dalām naturālos skaitļus. Pēc tam, kad esam noņēmuši skaitli 6 (desmito daļu skaits ir skaitlis aiz komata dividendes ierakstā 437,6), ielieciet komatu koeficientā un turpiniet dalīšanu:
Ja dividende ir mazāka par dalītāju, tad koeficients sāksies no nulles.
1 nedalās ar 19, tāpēc koeficientā ieliekam nulli. Veselās daļas dalīšana ir beigusies, privātajā ieliekam komatu. Nojaucam 7. 17 nedalās ar 19, privāti rakstām nulli. Mēs nojaucam 6 un turpinām sadalīšanu:
Mēs dalām, kā dalām naturālos skaitļus. Komatā mēs ieliekam komatu, tiklīdz noņemam 8 - pirmo ciparu pēc komata dividendē 74,8. Turpināsim dalīšanu. Atņemot, iegūstam 8, bet dalīšana nav beigusies. Mēs zinām, ka nulles var pievienot decimāldaļskaitļa beigās — tas nemainīs daļskaitļa vērtību. Mēs piešķiram nulli un sadalām 80 ar 10. Iegūstam 8 - dalīšana ir beigusies.
Lai decimāldaļu dalītu ar 10, 100, 1000 utt., šajā daļā esošais komats jāpārvieto par tik cipariem pa kreisi, cik dalītājā ir nulles aiz viena.
Šajā nodarbībā mēs uzzinājām, kā decimāldaļdaļu dalīt ar naturālu skaitli. Mēs izskatījām variantu ar parastu naturālu skaitli, kā arī variantu, kurā notiek dalīšana ar bitu vienību (10, 100, 1000 utt.).
Atrisiniet vienādojumus:
Atrast nezināms dalītājs, ir nepieciešams dalīt dividendi ar koeficientu. Tas ir .
Mēs sadalām kolonnā. Pēc tam, kad esam nojaukuši skaitli 4 (desmito daļu skaits ir pirmais cipars aiz komata dividendes 134.4 ierakstā), koeficientā ielieciet komatu un turpiniet dalīšanu:
katra daļa.
Risinājums. Lai atrisinātu uzdevumu, izteiksim lentes garumu decimetros: 19,2 m = 192 dm. Bet 192: 8 = 24. Tādējādi katras daļas garums ir 24 dm,
tas ir, 2,4 m. Ja 2,4 reizinām ar 8, mēs iegūstam 19,2. Tātad 2,4 ir koeficients 19,2 dalīts ar 8.
Viņi raksta: 19,2: 8 = 2,4.
To pašu atbildi var iegūt, nepārvēršot skaitītājus uz decimetri. Lai to izdarītu, jums ir jādala 19,2 ar 8, ignorējot komatu, un jāliek komats koeficientā, kad beidzas visas daļas dalījums:
Dalīt decimāldaļu ar naturālu skaitli nozīmē atrast daļskaitli, kas, reizinot ar šo naturālo skaitli, dod dividendi.
Lai decimāldaļu dalītu ar naturālu skaitli, jums ir nepieciešams:
1) daliet daļu ar šo skaitli, ignorējot komatu;
2) ielikt komatu privātajā, kad beidzas visas daļas dalījums;
Ja veselā skaitļa daļa ir mazāka par dalītāju, tad koeficients sākas no nulles veseliem skaitļiem:
Sadaliet 96,1 ar 10. Ja jūs reizinat koeficientu ar 10, jums atkal vajadzētu iegūt 96,1.
Citiem vārdiem sakot, ar dalīšanas palīdzību parastā daļa tiek pārvērsta decimāldaļā.
Piemērs. Pārvērsim daļskaitli par decimāldaļu.
Risinājums. Daļa ir koeficients 3, dalīts ar 4. Dalot 3 ar 4, iegūstam decimāldaļskaitli 0,75. Tātad = 0,75.
Ko nozīmē dalīt decimāldaļu ar naturālu skaitli?
Kā dalīt decimāldaļu ar naturālu skaitli?
Kā decimāldaļu dalīt ar 10, 100, 1000?
Kā pārvērst parasto daļskaitli decimāldaļā?
1340. Veikt sadalīšanu:
a) 20,7: 9;
b) 243,2: 8;
c) 88,298: 7;
d) 772,8: 12;
e) 93,15: 23;
e) 0,644: 92;
g) 1:80;
h) 0,909: 45;
i) 3:32;
j) 0,01242: 69;
k) 1,016: 8;
m) 7,368: 24.
1341. Polārekspedīcijai lidmašīnā tika iekrauti 3 traktori, katrs sver 1,2 tonnas, un 7 sniega motocikli. Visu sniega motociklu masa ir par 2 tonnām lielāka nekā traktoru masa. Kāda ir vienas aerosola masa?
a) 4x - x = 8,7; c) a + a + 8,154 = 32;
b) Zu + bу = 9,6; d) 7k - 4k - 55,2 = 63,12.
1349. Divos grozos ir 16,8 kg tomātu. Vienā grozā ir divreiz vairāk tomātu nekā otrā. Cik kilogramu tomātu ir katrā grozā?
1350. Pirmā lauka laukums ir 5 reizes vairāk platības otrais. Kāda ir katra lauka platība, ja kvadrāts otrais 23,2 ha platībā mazāka platība pirmais?
1351. Kompota pagatavošanai maisījumu veidoja no 8 daļām (pēc svara) sausu ābolu, 4 daļām aprikožu un 3 daļām rozīņu. Cik kilogramu katra žāvētā augļa vajadzēja 2,7 kg šāda maisījuma?
1352. Divos maisos 1,28 centneri miltu. Pirmajā maisā ir par 0,12 centneriem vairāk miltu nekā otrajā. Cik centneru miltu ir katrā maisā?
1353. Divos grozos ir 18,6 kg ābolu. Pirmajā grozā ir par 2,4 kg mazāk ābolu nekā otrajā. Cik kilogramu ābolu ir katrā grozā?
1354. Izteikt kā decimālo daļu:
1355. Lai savāktu 100 g medus, bite nogādā stropā 16 000 kravu nektāra. Kas ir viena nektāra krava?
1356. Flakonā ir 30 g zāļu. Atrodiet viena zāļu piliena masu, ja flakonā ir 1500 pilieni.
1357. Pārvērtiet parasto daļskaitli par decimāldaļu un rīkojieties šādi:
1358. Atrisiniet vienādojumu:
a) (x - 5,46) -2 = 9;
b) (y + 0,5): 2 = 1,57.
1359. Atrodiet izteiksmes vērtību:
a) 91,8: (10,56 - 1,56) + 0,704; e) 15,3 -4:9 + 3,2;
b) (61,5–5,16): 30 + 5,05; f) (4,3 + 2,4: 8) 3;
c) 66,24–16,24: (3,7 + 4,3); g) 280,8: 12 - 0,3 24;
d) 28,6 + 11,4: (6,595 + 3,405); h) (17,6 13–41,6): 12.
1360. Rēķini mutiski:
a) 2,5 - 1,6; b) 1,8 + 2,5; c) 3,4 - 0,2; d) 5 + 0,35;
3,2 - 1,4; 2,7 + 1,6; 2,6 - 0,05; 3,7 + 0,24;
0,47 - 0,27; 0,63 + 0,17; 4,52 - 1,2; 0,46 + 1,8;
0,64-0,15; 0,38 + 0,29; 4-0,8; 0,57 + 3;
0,71 - 0,28; 0,55 + 0,45; 1 - 0,45; 1,64 + 0,36.
a) 0,3 2; d) 2,3 3; g) 3,7 10; i) 0,185;
b) 0,8 3; e) 0,214; h) 0,096; j) 0,87 0.
c) 1,2 2; e) 1,6 5;
1362. Uzminiet, kas ir vienādojuma saknes:
a) 2,9x = 2,9; c) 3,7x = 37; e) a 3 \u003d a;
b) 5,25x = 0; d) x 2 \u003d x e) m 2 \u003d m 3.
1363. Kā mainīsies izteiksmes 2.5a vērtība, ja a: palielina par 1? palielināt par 2? dubultot?
1364. Pastāstiet, kā atzīmēt skaitli koordinātu starā: 0,25; 0 5; 0,75. Padomājiet, kuri no dotajiem skaitļiem ir vienādi. Kura daļa ar saucēju 4 ir vienāda ar 0,5? Saskaitiet: 
1365. Padomājiet par likumu, pēc kura tiek sastādīta skaitļu sērija, un pierakstiet vēl divus šīs sērijas skaitļus:
a) 1,2; 1,8; 2,4; 3; ... c) 0,9; 1,8; 3,6; 7,2; ...
b) 9,6; 8,9; 8,2; 7,5; ... d) 1,2; 0,7; 2,2; 1,4; 3,2; 2,1; ...
1366. Veiciet šīs darbības:
a) (37,8 - 19,1) 4; c) (64,37 + 33,21 - 21,56) 14;
b) (14,23 + 13,97) 31; d) (33,56 - 18,29) (13,2 + 24,9 - 38,1).
a) 3,705; 62,8; 0,5 līdz 10 reizes;
b) 2,3578; 0,0068; 0,3 100 reizes.
1368. Noapaļojiet skaitli 82 719 364:
a) līdz vienībām; c) līdz desmitdaļām; e) līdz tūkstošiem.
b) līdz simtiem; d) līdz simtdaļām;
1369. Rīkojieties:
1370. Salīdziniet:
1371. Koļa, Petja, Žeņa un Seņa svērās uz svariem. Rezultāti bija: 37,7 kg; 42,5 kg; 39,2 kg; 40,8 kg. Atrodiet katra zēna masu, ja ir zināms, ka Koļa ir smagāka par Senju un vieglāka par Petju, bet Žeņa ir vieglāka par Senju.
1372. Vienkāršojiet izteiksmi un atrodiet tās vērtību:
a) 23,9 - 18,55 - mt, ja m = 1,64;
b) 16,4 + k + 3,8, ja k = 2,7.
1373. Atrisiniet vienādojumu:
a) 16,1 — (x — 3,8) = 11,3;
b) 25,34 — (2,7 + y) = 15,34.
1374. Atrodiet izteiksmes vērtību:
1) (1070 - 104 040: 2312) 74 + 6489;
2) (38 529 + 205 87) : 427 - 119.
1375. Veikt dalīšanu:
a) 53,5: 5; e) 0,7: 25; i) 9,607: 10;
b) 1,75: 7; e) 7,9: 316; j) 14,706: 1000;
c) 0,48: 6; g) 543,4: 143; k) 0,0142: 100;
d) 13,2: 24; h) 40,005: 127; m) 0,75: 10 000.
1376. Automašīna 3 stundas gāja pa šoseju ar ātrumu 65,8 km/h, pēc tam 5 stundas gāja pa zemes ceļu. Ar kādu ātrumu viņa gāja pa zemes ceļu, ja viss viņas ceļš ir 324,9 km?
1377. Noliktavā atradās 180,4 tonnas ogļu. Šīs ogles tika piegādātas skolu apkurei. Cik tonnu ogļu ir palikušas noliktavā?
1378. Uzarti lauki. Atrodiet šī lauka platību, ja būtu uzarti 32,5 hektāri.
1379. Atrisiniet vienādojumu:
a) 15x = 0,15; e) 8p - 2p - 14,21 = 75,19;
b) 3,08: y = 4; g) 295,1: (n - 3) = 13;
c) Za + 8a = 1,87; h) 34 (m + 1,2) = 61,2;
d) 7z - 3z = 5,12; i) 15 (k — 0,2) = 21.
e) 2t + 5t + 3,18 = 25,3;
1380. Atrodiet izteiksmes vērtību:
a) 0,24: 4 + 15,3: 5 + 12,4: 8 + 0,15: 30;
b) (1,24 + 3,56): 16;
c) 2,28 + 3,72: 12;
d) 3,6 4–2,4: (11,7–3,7).
1381. No trim pļavām savāktas 19,7 tonnas siena. No pirmās un otrās pļavas siens novākts vienādi, no trešās – par 1,1 tonnu vairāk nekā no katras no pirmajām divām. Cik siena tika novākts no katras pļavas?
1382. Veikals 3 dienās pārdeva 1240,8 kg cukura. Pirmajā dienā tika pārdoti 543 kg, otrajā - 2 reizes vairāk nekā trešajā. Cik kilogrami cukura tika pārdoti trešajā dienā?
1383. Automašīna pirmo celiņa posmu nobrauca 3 stundās, bet otro posmu - 2 stundās.Abu posmu garums kopā 267 km. Kāds bija automašīnas ātrums katrā posmā, ja ātrums otrajā posmā bija par 8,5 km/h lielāks nekā pirmajā?
1384. Pārvērst decimāldaļdaļās;
1385. Izveidojiet figūru, kas vienāda ar 151. attēlā parādīto skaitli.
1386. Velosipēdists no pilsētas izbrauca ar ātrumu 13,4 km/h. Pēc 2 stundām viņam sekoja cits velosipēdists, kura ātrums bija 17,4 km/h. Caur
cik stundas pēc viņa izbraukšanas otrais riteņbraucējs panāks pirmo?
1387. Laiva, virzoties pret straumi, 6 stundās nobrauca 177,6 km. Atrodiet savu laivas ātrumu, ja straumes ātrums ir 2,8 km/h.
1388. Krāns, kas padod 30 litrus ūdens minūtē, piepilda vannu 5 minūtēs. Tad aiztaisīja krānu un atvēra notekas atveri, pa kuru b minūšu laikā izlēja viss ūdens. Cik litru ūdens tika izliets 1 minūtē?
1389. Atrisiniet vienādojumu:
a) 26 (x + 427) = 15 756; c) 22 374: (k — 125) = 1243;
b) 101 (351 + y) = 65 549; d) 38 007: (4223 — t) = 9.
N.Ya. VIĻENKINS, V. I. ŽOHOVS, A. S. ČESNOKOVS, S. I. ŠVARTSBURDS, matemātikas 5. klase, Mācību grāmata izglītības iestādēm
matemātikas video lejupielāde, mājasdarbs palīdzēt skolotājiem un skolēniem
Jūs zināt, ka naturāla skaitļa a dalīšana ar naturālu skaitli b nozīmē naturāla skaitļa c atrašanu, kas, reizinot ar b, iegūst skaitli a. Šis apgalvojums paliek patiess, ja vismaz viens no skaitļiem a, b, c ir decimāldaļdaļa.
Apsveriet vairākus piemērus, kuros dalītājs ir naturāls skaitlis.
1,2: 4 \u003d 0,3, kopš 0,3 * 4 = 1,2;
2,5: 5 \u003d 0,5, kopš 0,5 * 5 = 2,5;
1 : 2 = 0,5 kopš 0,5 * 2 = 1.
Bet kā ir ar gadījumiem, kad sadalīšanu nevar veikt mutiski?
Piemēram, kā dalīt 43,52 ar 17?
Palielinot dividendi 43,52 100 reizes, iegūstam skaitli 4352. Tad izteiksmes 4352:17 vērtība ir 100 reizes lielāka par izteiksmes vērtību 43,52:17. Pēc sadalīšanas ar stūri varat viegli noteikt, ka 4352: 17 = 256. Šeit dividende tiek palielināta 100 reizes. Tātad, 43,52: 17 = 2,56. Ņemiet vērā, ka 2,56 * 17 = 43,52 , kas apstiprina, ka dalījums ir pareizs.
Koeficientu 2,56 var iegūt dažādi. Mēs sadalīsim 4352 ar 17 stūriem, ignorējot komatu. Šajā gadījumā komats privātajā ir jāievieto tieši pirms pirmā cipara aiz komata izmantošanas dividendē:
Ja dividende ir mazāka par dalītāju, tad koeficienta veselā daļa ir nulle. Piemēram:
Apskatīsim vēl vienu piemēru. Atradīsim koeficientu 3,1:5. Mums ir:
Mēs pārtraucām sadalīšanas procesu, jo beidzās dividendes cipari, un mēs nesaņēmām nulli atlikušajā daļā. Jūs zināt, ka decimāldaļa nemainās, ja pa labi no tā pievienojat jebkuru nulles skaitu. Tad kļūst skaidrs, ka dividendes skaitļi nevar beigties. Mums ir:
Tagad mēs varam atrast divu naturālu skaitļu daļu, ja dividende nav vienmērīgi dalāma ar dalītāju. Piemēram, atradīsim koeficientu 31:5. Acīmredzot skaitlis 31 nedalās ar 5:
Mēs pārtraucām sadalīšanas procesu, jo dividendes skaitļi ir beigušies. Tomēr, ja jūs pārstāvat dividendi kā decimāldaļskaitli, tad dalīšanu var turpināt.
Mums ir: 31:5 \u003d 31,0:5. Tālāk sadalīsim ar stūri:
Tāpēc 31: 5 = 6,2.
Iepriekšējā rindkopā mēs noskaidrojām, ka, ja komats tiek pārvietots pa labi par 1, 2, 3 utt. cipariem, tad daļa palielināsies attiecīgi 10, 100, 1000 utt reižu, un, ja komats tiek pārvietots pa kreisi par 1, 2, 3 utt cipariem, tad daļa samazināsies attiecīgi par 10, 100, 1000 utt. reizes.
Tāpēc gadījumos, kad dalītājs ir 10, 100, 1000 utt., tiek izmantots šāds noteikums.
Lai decimāldaļu dalītu ar 10, 100, 1000 utt., šajā daļdaļā decimālzīme ir jāpārvieto pa kreisi par 1, 2, 3 utt. cipariem..
Piemēram: 4,23: 10 = 0,423; 2: 100 = 0,02; 58,63 : 1000 = 0,05863 .
Tātad, mēs esam iemācījušies dalīt decimāldaļu ar naturālu skaitli.
Parādīsim, kā dalīšanu ar decimāldaļu var reducēt līdz dalīšanai ar naturālu skaitli.
$\frac(2)(5) km = 400 m$
,$\frac(20)(50) km = 400 m$
,$\frac(200)(500) km = 400 m$
.Mēs to saņemam
$\frac(2)(5) = \frac(20)(50) = \frac(200)(500)$
Tie. 2:5 = 20:50 = 200:500.
Šis piemērs ilustrē sekojošo: ja dividendi un dalītāju vienlaikus palielina par 10, 100, 1000 utt. reizes, tad koeficients nemainīsies .
Atradīsim koeficientu 43,52: 1,7.
Palielināsim gan dividendi, gan dalītāju 10 reizes. Mums ir:
43,52 : 1,7 = 435,2 : 17 .
Palielināsim gan dividendi, gan dalītāju 10 reizes. Mums ir: 43,52: 1,7 = 25,6.
Lai decimāldaļu dalītu ar decimāldaļu:
1) pārvietojiet komatus dividendē un dalītājā pa labi par tik cipariem, cik tie ir aiz komata dalītājā;
2) veic dalīšanu ar naturālu skaitli.
Piemērs 1 . Vaņa savāca 140 kg ābolu un bumbieru, no kuriem 0,24 bija bumbieri. Cik kilogramus bumbieru Vanja savāca?
Risinājums. Mums ir:
$0,24=\frac(24)(100)$
.1) 140 : 100 = 1,4 (kg) - ir
Āboli un bumbieri.
2) 1,4 * 24 = 33,6 (kg) - bumbieri tika novākti.
Atbilde: 33,6 kg.
Piemērs 2 . Brokastīs Vinnijs Pūks apēda 0,7 mucas medus. Cik kilogramu medus bija mucā, ja Vinnijs Pūks apēda 4,2 kg?
Risinājums. Mums ir:
$0,7=\frac(7)(10)$
.1) 4,2: 7 = 0,6 (kg) - ir
Vesels medus.
2) 0,6 * 10 = 6 (kg) - mucā bija medus.
Atbilde: 6 kg.
§ 107. Decimāldaļu saskaitīšana.Decimālskaitļu pievienošana tiek veikta tāpat kā veselu skaitļu pievienošana. Apskatīsim to ar piemēriem.
1) 0,132 + 2,354. Parakstīsim noteikumus vienu zem otra.
Šeit, saskaitot 2 tūkstošdaļas ar 4 tūkstošdaļām, tika iegūtas 6 tūkstošdaļas;
pievienojot 3 simtdaļas ar 5 simtdaļām, izrādījās 8 simtdaļas;
no 1 desmitdaļas pievienošanas ar 3 desmitdaļām -4 desmitdaļas un
no 0 veselu skaitļu pievienošanas ar 2 veseliem skaitļiem - 2 veseli skaitļi.
2) 5,065 + 7,83.
Otrajā termiņā tūkstošdaļas nav, tāpēc ir svarīgi nekļūdīties, parakstot noteikumus vienu zem otra.
3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.
Šeit, saskaitot tūkstošdaļas, iegūstam 21 tūkstošdaļu; zem tūkstošdaļām rakstījām 1, bet simtdaļām pievienojām 2, tātad simtajā vietā saņēmām šādus terminus: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; summā viņi dod 19 simtdaļas, mēs parakstījām 9 zem simtdaļām, un 1 tika skaitīts kā desmitdaļas utt.
Tātad, saskaitot decimāldaļskaitļus, jāievēro šāda secība: daļskaitļus paraksta vienu zem otra tā, lai visos terminos viens zem otra atrastos vieni un tie paši cipari un visi komats būtu vienā vertikālā ailē; pa labi no dažu terminu zīmēm aiz komata viņi vismaz garīgi piešķir tādu nulles skaitu, lai visiem terminiem pēc komata ir tas pats numurs cipariem. Pēc tam veiciet saskaitīšanu ar cipariem, sākot ar labā puse, un iegūtajā daudzumā ievietojiet komatu tajā pašā vertikālajā kolonnā, kurā tas ir šajos terminos.
§ 108. Decimāldaļu atņemšana.
Decimālskaitļu atņemšana tiek veikta tāpat kā veselo skaitļu atņemšana. Parādīsim to ar piemēriem.
1) 9,87 - 7,32. Parakstīsim apakšrindu zem minuend tā, lai viena un tā paša cipara vienības atrastos viena zem otras:
2) 16,29 - 4,75. Parakstīsim apakšrindu zem minuend, kā pirmajā piemērā:
Lai atņemtu desmitdaļas, no 6 bija jāņem viena vesela vienība un jāsadala desmitdaļās.
3) 14,0213-5,350712. Parakstīsim apakšrindu zem minuend:
Atņemšana tika veikta šādi: tā kā mēs nevaram atņemt 2 miljonās daļas no 0, mums vajadzētu atsaukties uz tuvāko ciparu pa kreisi, t.i., uz simttūkstošdaļām, bet simttūkstošdaļu vietā ir arī nulle, tāpēc mēs ņemam 1 desmittūkstošdaļu no 3 desmittūkstošdaļām un sadalām simttūkstošdaļās, iegūstam 10 simttūkstošdaļas, no kurām 9 simttūkstošdaļas paliek simttūkstošdaļu kategorijā, un 1 simttūkstošdaļa tiek sasmalcināta miljondaļās, mēs iegūstam 10 miljondaļas. Tādējādi pēdējos trīs ciparus saņēmām: miljondaļas 10, simttūkstošdaļas 9, desmittūkstošdaļas 2. Lielākai skaidrībai un ērtībai (lai neaizmirstu) šie skaitļi ir rakstīti virs atbilstošajiem reducētās daļskaitļiem. Tagad mēs varam sākt atņemt. No 10 miljonajām atņemam 2 miljondaļas, iegūstam 8 miljondaļas; no 9 simttūkstošdaļām atņemam 1 simttūkstošdaļu, iegūstam 8 simttūkstošdaļas utt.
Tātad, atņemot decimāldaļas, tiek ievērota šāda secība: atņemto paraksta zem reducētā tā, lai tie paši cipari būtu viens zem otra un visi komats būtu vienā vertikālā ailē; labajā pusē viņi vismaz mentāli samazina vai atņem tik daudz nulles, lai tiem būtu vienāds ciparu skaits, pēc tam atņem pa cipariem, sākot no labās puses, un iegūtajā starpībā ieliek komatu tā pati vertikālā kolonna, kurā tā ir samazināta un atņemta.
§ 109. Decimāldaļskaitļu reizināšana.
Apsveriet dažus decimāldaļskaitļu reizināšanas piemērus.
Lai atrastu šo skaitļu reizinājumu, varam spriest šādi: ja koeficientu palielina 10 reizes, tad abi faktori būs veseli skaitļi, un pēc tam varam tos reizināt saskaņā ar veselo skaitļu reizināšanas noteikumiem. Bet mēs zinām, ka, ja viens no faktoriem tiek palielināts vairākas reizes, produkts palielinās par tādu pašu summu. Tas nozīmē, ka skaitlis, kas iegūts, reizinot veselus skaitļus, tas ir, 28 ar 23, ir 10 reizes lielāks nekā patiesais produkts, un, lai iegūtu patieso preci, jums jāsamazina atrastais produkts 10 reizes. Tāpēc šeit vienreiz jāveic reizināšana ar 10 un vienreiz dalīšana ar 10, bet reizināšana un dalīšana ar 10 tiek veikta, pārvietojot komatu pa labi un pa kreisi par vienu zīmi. Tāpēc jums tas jādara: reizinātājā pārvietojiet komatu pa labi ar vienu zīmi, no tā tas būs vienāds ar 23, pēc tam jums jāreizina iegūtie veselie skaitļi:
Šis produkts ir 10 reizes lielāks par patieso. Tāpēc tas ir jāsamazina 10 reizes, par ko mēs pārvietojam komatu par vienu rakstzīmi pa kreisi. Tādējādi mēs iegūstam
28 2,3 = 64,4.
Pārbaudes nolūkos varat uzrakstīt decimāldaļu ar saucēju un veikt darbību saskaņā ar parasto daļskaitļu reizināšanas noteikumu, t.i.
2) 12,27 0,021.
Atšķirība starp šo piemēru un iepriekšējo ir tāda, ka šeit abi faktori tiek attēloti ar decimāldaļskaitļiem. Bet šeit, reizināšanas procesā, mēs nepievērsīsim uzmanību komatiem, tas ir, mēs īslaicīgi palielināsim reizinātāju 100 reizes, bet reizinātāju - 1000 reizes, kas palielinās reizinājumu par 100 000 reižu. Tādējādi, reizinot 1227 ar 21, mēs iegūstam:
1 227 21 = 25 767.
Ņemot vērā, ka iegūtais produkts ir 100 000 reižu lielāks par patieso, tagad mums tas jāsamazina par 100 000 reižu, pareizi ievietojot tajā komatu, tad mēs iegūstam:
32,27 0,021 = 0,25767.
Pārbaudīsim:
Tādējādi, lai reizinātu divas decimāldaļas, pietiek, nepievēršot uzmanību komatiem, reizināt tos kā veselus skaitļus un reizinājumā ar komatu labajā pusē atdalīt tik daudz zīmju aiz komata, cik bija reizinātājā un faktors kopā.
AT pēdējais piemērs reizinājums ar piecām zīmēm aiz komata. Ja šāda lielāka precizitāte nav nepieciešama, tad tiek veikta decimāldaļskaitļa noapaļošana. Noapaļojot, jums vajadzētu izmantot to pašu noteikumu, kas tika norādīts veseliem skaitļiem.
§ 110. Reizināšana, izmantojot tabulas.
Dažkārt var reizināt decimāldaļas, izmantojot tabulas. Šim nolūkam varat, piemēram, izmantot tās divciparu skaitļu reizināšanas tabulas, kuru apraksts tika sniegts iepriekš.
1) Reiziniet 53 ar 1,5.
Reizināsim 53 ar 15. Tabulā šis reizinājums ir vienāds ar 795. Mēs atradām reizinājumu 53 ar 15, bet mūsu otrais koeficients bija 10 reizes mazāks, kas nozīmē, ka reizinājums jāsamazina 10 reizes, t.i.
53 1,5 = 79,5.
2) Reiziniet 5,3 ar 4,7.
Vispirms tabulā atradīsim reizinājumu ar 53 ar 47, tas būs 2491. Bet, tā kā mēs palielinājām reizinātāju un reizinātāju kopā 100 reizes, tad iegūtais reizinājums ir 100 reizes lielāks nekā vajadzētu; tāpēc mums ir jāsamazina šis produkts par koeficientu 100:
5,3 4,7 = 24,91.
3) Reiziniet 0,53 ar 7,4.
Vispirms tabulā atrodam reizinājumu no 53 ar 74; tas būs 3 922. Bet, tā kā mēs esam palielinājuši reizinātāju 100 reizes, bet reizinātāju - 10 reizes, produkts ir palielinājies 1000 reizes; tāpēc mums tas tagad jāsamazina par 1000:
0,53 7,4 = 3,922.
§ 111. Decimāldaļu dalīšana.
Mēs apskatīsim decimāldaļu iedalījumu šādā secībā:
1. Decimāldaļa ar vesels skaitlis,
1. Decimāldaļas dalīšana ar veselu skaitli.
1) Sadaliet 2,46 ar 2.
Mēs dalījām ar 2 pirmajiem veseliem skaitļiem, tad desmitdaļām un visbeidzot simtdaļām.
2) Sadaliet 32,46 ar 3.
32,46: 3 = 10,82.
Mēs dalījām 3 desmitniekus ar 3, tad sākām dalīt 2 vienības ar 3; tā kā dividendes (2) vienību skaits ir mazāks par dalītāju (3), tad koeficientā bija jāieliek 0; tālāk, atlikušajai daļai nojaucam 4 desmitdaļas un 24 desmitdaļas sadalījām ar 3; saņēma privāti 8 desmitdaļas un beidzot sadalīja 6 simtdaļas.
3) Sadaliet 1,2345 ar 5.
1,2345: 5 = 0,2469.
Šeit, pirmkārt, koeficientā izrādījās nulle veseli skaitļi, jo viens vesels skaitlis nedalās ar 5.
4) Sadaliet 13,58 ar 4.
Šī piemēra īpatnība ir tāda, ka tad, kad privāti saņēmām 9 simtdaļas, tika atrasts atlikums, kas vienāds ar 2 simtdaļām, mēs šo atlikumu sadalījām tūkstošdaļās, saņēmām 20 tūkstošdaļas un dalījumu novedām līdz galam.
Noteikums. Decimāldaļas dalīšana ar veselu skaitli tiek veikta tāpat kā veselu skaitļu dalīšana, un iegūtie atlikumi tiek pārvērsti decimāldaļdaļās, kas ir arvien mazākas; dalīšana turpinās, līdz atlikums ir nulle.
2. Decimāldaļas dalīšana ar decimālo daļu.
1) Sadaliet 2,46 ar 0,2.
Mēs jau zinām, kā decimāldaļu dalīt ar veselu skaitli. Padomāsim, vai šo jauno sadalīšanas gadījumu var arī reducēt uz iepriekšējo? Savulaik mēs uzskatījām par ievērojamu koeficienta īpašību, kas sastāv no tā, ka tas paliek nemainīgs, vienlaikus palielinot vai samazinot dividendi un dalītāju tikpat reižu. Mēs viegli veiktu mums piedāvāto skaitļu dalīšanu, ja dalītājs būtu vesels skaitlis. Lai to izdarītu, pietiek ar to palielināt 10 reizes, un, lai iegūtu pareizo koeficientu, ir jāpalielina dividende tikpat reižu, tas ir, 10 reizes. Tad šo skaitļu dalījums tiks aizstāts ar šādu skaitļu dalījumu:
un nav nepieciešams veikt nekādus grozījumus privāti.
Veicam šo sadalījumu:
Tātad 2,46: 0,2 = 12,3.
2) dalīt 1,25 ar 1,6.
Palielinām dalītāju (1,6) 10 reizes; lai koeficients nemainītos, mēs palielinām dividendi 10 reizes; 12 veseli skaitļi nedalās ar 16, tāpēc rakstām koeficientā 0 un 125 desmitdaļas dalām ar 16, koeficientā iegūstam 7 desmitdaļas un atlikums ir 13. 13 desmitdaļas sadalām simtdaļās, piešķirot nulli un 130 simtdaļas dalām ar 16 utt. Pievērsiet uzmanību sekojošajam:
a) ja koeficientā nav iegūti veseli skaitļi, tad to vietā raksta nulle veselus skaitļus;
b) kad pēc dividendes cipara pārņemšanas uz atlikumu tiek iegūts skaitlis, kas nedalās ar dalītāju, tad koeficientā raksta nulle;
c) kad pēc dividendes pēdējā cipara noņemšanas dalīšana nebeidzas, tad, piešķirot atlikumiem nulles, dalīšana turpinās;
d) ja dividende ir vesels skaitlis, tad, dalot to ar decimāldaļu, tās palielināšana tiek veikta, piešķirot tai nulles.
Tādējādi, lai dalītu skaitli ar decimāldaļu, dalītājā ir jāatmet komats un pēc tam jāpalielina dividende tik reižu, cik dalītājs palielinājās, kad tajā tika izmests komats, un pēc tam jāveic dalīšana saskaņā ar likums par decimāldaļas dalīšanu ar veselu skaitli.
§ 112. Aptuvenais koeficients.
Iepriekšējā rindkopā mēs apskatījām decimālo daļu dalīšanu, un visos mūsu atrisinātajos piemēros dalījums tika novests līdz galam, t.i., tika iegūts precīzs koeficients. Tomēr vairumā gadījumu precīzu koeficientu nevar iegūt neatkarīgi no tā, cik tālu mēs paplašinātu dalījumu. Šeit ir viens šāds gadījums: sadaliet 53 ar 101.
Mēs jau esam saņēmuši piecus ciparus koeficientā, bet dalījums vēl nav beidzies un nav cerību, ka tas kādreiz beigsies, jo atlikumā sāk parādīties skaitļi, ar kuriem esam tikušies iepriekš. Cipari atkārtosies arī koeficientā: acīmredzot aiz skaitļa 7 parādīsies skaitlis 5, tad 2 un tā bez gala. Šādos gadījumos dalīšana tiek pārtraukta un tiek ierobežota līdz koeficienta pirmajiem cipariem. Šo privāto sauc aptuvens. Kā šajā gadījumā veikt sadalīšanu, mēs parādīsim ar piemēriem.
Lai 25 ir jādala ar 3. Ir skaidrs, ka ar šādu dalījumu nevar iegūt precīzu koeficientu, kas izteikts kā vesels skaitlis vai decimāldaļdaļa. Tāpēc mēs meklēsim aptuveno koeficientu:
25: 3 = 8 un atlikums 1
Aptuvenais koeficients ir 8; tas, protams, ir mazāks par precīzo koeficientu, jo ir atlikums 1. Lai iegūtu precīzu koeficientu, atrastajam aptuvenajam koeficientam, tas ir, 8, jāpievieno daļa, kas iegūta, dalot atlikumu , vienāds ar 1, reiz 3; tā būs daļa 1/3. Tātad tiek izteikts precīzs koeficients jaukts numurs 8 1/3. Tā kā 1/3 ir pareiza frakcija, t.i., daļa, mazāk par vienu, tad, atmetot to, mēs pieņemam kļūda, kas mazāk par vienu. Privātais 8 būs aptuvenais koeficients līdz vienam ar trūkumu. Ja ņemam 9, nevis 8, tad pieļaujam arī kļūdu, kas ir mazāka par vienu, jo mēs pievienosim nevis veselu vienību, bet gan 2/3. Tāda privāta griba aptuvenais koeficients līdz vienam ar pārpalikumu.
Ņemsim tagad citu piemēru. Lai 27 ir jādala ar 8. Tā kā šeit mēs neiegūsim precīzu koeficientu, kas izteikts kā vesels skaitlis, mēs meklēsim aptuveno koeficientu:
27: 8 = 3 un atlikums 3.
Šeit kļūda ir 3/8, tā ir mazāka par vienu, kas nozīmē, ka aptuvenais koeficients (3) tiek atrasts līdz vienam ar trūkumu. Turpinām dalījumu: atlikušo 3 sadalām desmitdaļās, iegūstam 30 desmitdaļas; Sadalīsim tos ar 8.
Saņēmām privāti uz vietas desmitdaļas 3 un atlikušajās b desmitdaļas. Ja mēs aprobežosimies ar skaitli 3,3 un atmetam atlikušo 6, tad mēs pieļaujam kļūdu, kas ir mazāka par vienu desmito daļu. Kāpēc? Jo precīzs koeficients tiktu iegūts, ja 3,3 pieskaitītu rezultātu, dalot 6 desmitdaļas ar 8; no šī dalījuma būtu 6/80, kas ir mazāk par vienu desmito daļu. (Pārbaudiet!) Tātad, ja mēs aprobežojamies ar desmitdaļām koeficientā, tad varam teikt, ka esam atraduši koeficientu precizitāte līdz vienai desmitajai daļai(ar trūkumu).
Turpināsim dalīšanu, lai atrastu vēl vienu zīmi aiz komata. Lai to izdarītu, mēs sadalām 6 desmitdaļas simtdaļās un iegūstam 60 simtdaļas; Sadalīsim tos ar 8.
Privātajā trešajā vietā izrādījās 7 un pārējā 4 simtdaļas; ja tās atmetam, tad pieļaujam kļūdu mazāku par simtdaļu, jo 4 simtdaļas dalītas ar 8 ir mazākas par simtdaļu. Šādos gadījumos tiek uzskatīts, ka koeficients ir atrasts. precizitāte līdz vienai simtdaļai(ar trūkumu).
Piemērā, kuru mēs tagad apsveram, varat iegūt precīzu koeficientu, kas izteikts kā decimāldaļdaļa. Lai to izdarītu, pietiek ar pēdējo atlikumu, 4 simtdaļām, sadalīt tūkstošdaļās un dalīt ar 8.
Tomēr vairumā gadījumu precīzu koeficientu iegūt nav iespējams, un ir jāaprobežojas ar tā aptuvenajām vērtībām. Tagad mēs apsvērsim šādu piemēru:
40: 7 = 5,71428571...
Punkti skaitļa beigās norāda, ka dalīšana nav pabeigta, tas ir, vienādība ir aptuvena. Parasti aptuveno vienlīdzību raksta šādi:
40: 7 = 5,71428571.
Mēs paņēmām koeficientu ar astoņām zīmēm aiz komata. Bet, ja nav nepieciešama tik liela precizitāte, var aprobežoties ar visu koeficienta daļu, t.i., skaitli 5 (precīzāk, 6); lielākai precizitātei varētu ņemt vērā desmitdaļas un pieņemt, ka koeficients ir vienāds ar 5,7; ja kāda iemesla dēļ šī precizitāte ir nepietiekama, tad varam apstāties pie simtdaļām un ņemt 5,71 utt. Izrakstīsim individuālos koeficientus un nosaucam tos.
Pirmais aptuvenais koeficients līdz vienam 6.
Otrais » » » līdz vienai desmitajai daļai 5.7.
Trešais » » » līdz vienai simtdaļai 5.71.
Ceturtā » » » līdz vienai tūkstošdaļai no 5.714.
Tādējādi, lai atrastu aptuvenu koeficientu līdz kādai, piemēram, 3. zīmei aiz komata (t.i., līdz vienai tūkstošdaļai), dalīšana tiek pārtraukta, tiklīdz tiek atrasta šī zīme. Šajā gadījumā ir jāatceras 40. § noteiktais noteikums.
§ 113. Procentu vienkāršākie uzdevumi.
Pēc decimāldaļskaitļu izpētes mēs atrisināsim vēl dažus procentuālos uzdevumus.
Šīs problēmas ir līdzīgas tām, kuras atrisinājām parasto frakciju nodaļā; bet tagad simtdaļas rakstīsim decimāldaļskaitļu veidā, tas ir, bez skaidri noteikta saucēja.
Pirmkārt, jums ir jāspēj viegli pārslēgties no kopējā frakcija līdz decimāldaļai ar saucēju 100. Lai to izdarītu, sadaliet skaitītāju ar saucēju:
Tālāk esošajā tabulā parādīts, kā skaitlis ar simbolu % (procenti) tiek aizstāts ar decimāldaļu ar saucēju 100:
Tagad apskatīsim dažas problēmas.
1. Procentu atrašana dotais numurs.
1. uzdevums. Vienā ciemā dzīvo tikai 1600 cilvēku. Bērnu skaits skolas vecums veido 25% no kopējā iedzīvotāju skaita. Cik skolas vecuma bērnu ir šajā ciematā?
Šajā uzdevumā jums jāatrod 25% jeb 0,25 no 1600. Problēma tiek atrisināta, reizinot:
1600 0,25 = 400 (bērni).
Tāpēc 25% no 1600 ir 400.
Lai skaidri izprastu šo uzdevumu, ir lietderīgi atgādināt, ka uz katriem simtiem iedzīvotāju ir 25 skolas vecuma bērni. Tāpēc, lai noskaidrotu visu skolas vecuma bērnu skaitu, vispirms var noskaidrot, cik simtu ir skaitlī 1600 (16), un pēc tam reizināt 25 ar simtu skaitu (25 x 16 = 400). Tādā veidā jūs varat pārbaudīt risinājuma derīgumu.
2. uzdevums. Krājbankas piešķir noguldītājiem 2% no ienākumiem gadā. Cik ienākumus gadā saņems noguldītājs, kurš ir noguldījis: a) 200 rubļus? b) 500 rubļu? c) 750 rubļi? d) 1000 rubļu?
Visos četros gadījumos problēmas risināšanai būs jāaprēķina 0,02 no norādītajām summām, t.i., katrs no šiem skaitļiem būs jāreizina ar 0,02. Darīsim to:
a) 200 0,02 = 4 (rubļi),
b) 500 0,02 = 10 (rubļi),
c) 750 0,02 = 15 (rubļi),
d) 1000 0,02 = 20 (rubļi).
Katru no šiem gadījumiem var pārbaudīt, ievērojot šādus apsvērumus. Krājbankas noguldītājiem piešķir 2% no ienākumiem, tas ir, 0,02 no uzkrājumos ieguldītās summas. Ja summa būtu 100 rubļi, tad 0,02 no tās būtu 2 rubļi. Tas nozīmē, ka katrs simts atnes noguldītājam 2 rubļus. ienākumiem. Tāpēc katrā no aplūkotajiem gadījumiem pietiek noskaidrot, cik simtu ir noteiktā skaitā, un reizināt 2 rubļus ar šo simtu skaitu. Piemērā a) simtiem no 2, tātad
2 2 \u003d 4 (rubļi).
Piemērā d) simti ir 10, kas nozīmē
2 10 \u003d 20 (rubļi).
2. Skaitļa atrašana pēc tā procentiem.
1. uzdevums. Pavasarī skolu absolvēja 54 skolēni, kas ir 6% no kopējā skolēnu skaita. Cik skolēnu skolā bija pagājušajā mācību gadā?
Vispirms noskaidrosim šīs problēmas nozīmi. Skolu absolvēja 54 skolēni, kas ir 6% no kopējā skolēnu skaita jeb, citiem vārdiem sakot, 6 simtdaļas (0,06) no visiem skolas audzēkņiem. Tas nozīmē, ka mēs zinām studentu daļu, kas izteikta ar skaitli (54) un daļskaitli (0,06), un no šīs daļskaitļa jāatrod veselais skaitlis. Tādējādi mūsu priekšā ir parasta problēma, kā atrast skaitli pēc daļskaitļa (§ 90, 6. lpp.). Šāda veida problēmas tiek atrisinātas, sadalot:
Tas nozīmē, ka skolā mācījās 900 skolēnu.
Šādas problēmas ir lietderīgi pārbaudīt, risinot apgriezto uzdevumu, t.i., pēc uzdevuma atrisināšanas vismaz savā prātā jāatrisina pirmā tipa uzdevums (noteikta skaitļa procentuālās daļas atrašana): ņem atrasto skaitli ( 900) kā norādīts un atrodiet no tā atrisinātajā uzdevumā norādīto procentuālo daļu, proti:
900 0,06 = 54.
2. uzdevums.Ģimene pārtikai mēneša laikā iztērē 780 rubļus, kas ir 65% no tēva ikmēneša ienākumiem. Nosakiet viņa ikmēneša ienākumus.
Šim uzdevumam ir tāda pati nozīme kā iepriekšējam. Tas parāda daļu no mēneša izpeļņas, kas izteikta rubļos (780 rubļi), un norāda, ka šī daļa ir 65% jeb 0,65 no kopējās peļņas. Un vēlamā ir visa peļņa:
780: 0,65 = 1 200.
Tāpēc vēlamā peļņa ir 1200 rubļu.
3. Skaitļu procentuālās daļas atrašana.
1. uzdevums. Skolas bibliotēkā kopumā ir 6000 grāmatu. To vidū ir 1200 grāmatas par matemātiku. Cik procentu matemātikas grāmatu veido no kopējā grāmatu skaita bibliotēkā?
Mēs jau esam apsvēruši (§97) šāda veida problēmu un nonācām pie secinājuma, ka, lai aprēķinātu divu skaitļu procentuālo attiecību, ir jāatrod šo skaitļu attiecība un jāreizina ar 100.
Mūsu uzdevumā mums jāatrod procentuālā daļa no skaitļiem 1200 un 6000.
Vispirms atrodam to attiecību un pēc tam reizinām to ar 100:
Tādējādi skaitļu 1200 un 6000 procentuālais daudzums ir 20. Citiem vārdiem sakot, matemātikas grāmatas veido 20% no visu grāmatu kopskaita.
Lai pārbaudītu, mēs atrisinām apgriezto problēmu: atrodiet 20% no 6000:
6 000 0,2 = 1 200.
2. uzdevums. Rūpnīcai vajadzētu saņemt 200 tonnas ogļu. Jau piegādātas 80 tonnas Cik procenti ogļu ir piegādātas rūpnīcai?
Šī problēma jautā, cik procentu viens skaitlis (80) ir no cita (200). Šo skaitļu attiecība būs 80/200. Sareizināsim to ar 100:
Tas nozīmē, ka 40% ogļu ir piegādāti.
Dalīšana ar decimāldaļu ir tāda pati kā dalīšana ar naturālu skaitli.
Noteikums skaitļa dalīšanai ar decimāldaļu
Lai dalītu skaitli ar decimāldaļskaitli, gan dividendē, gan dalītājā ir jāpārvieto komats pa labi tik daudz ciparu, cik ir dalītājam aiz komata. Pēc tam dala ar naturālu skaitli.
Piemēri.
Veiciet dalīšanu ar decimāldaļu:
Lai dalītu ar decimāldaļu, komats jāpārvieto pa labi gan dividendē, gan dalītājā, cik ir aiz komata dalītājā, tas ir, ar vienu zīmi. Mēs iegūstam: 35,1: 1,8 \u003d 351: 18. Tagad mēs veicam sadalīšanu ar stūri. Rezultātā mēs iegūstam: 35,1: 1,8 = 19,5.
2) 14,76: 3,6
Lai veiktu decimāldaļu dalīšanu gan dividendēs, gan dalītājā, pārvietojiet komatu pa labi par vienu zīmi: 14,76: 3,6 \u003d 147,6: 36. Tagad mēs veicam naturālu skaitli. Rezultāts: 14,76: 3,6 = 4,1.
Lai veiktu dalīšanu ar naturāla skaitļa decimāldaļu, gan dividendē, gan dalītājā ir jāpārvieto pa labi tik daudz rakstzīmju, cik ir dalītājam aiz komata. Tā kā šajā gadījumā dalītājā komats netiek ierakstīts, trūkstošo rakstzīmju skaitu aizpildām ar nullēm: 70: 1,75 \u003d 7000: 175. Iegūtos naturālos skaitļus sadalām ar stūri: 70: 1,75 \u003d 7000: 175 \u003d 40.
4) 0,1218: 0,058
Lai dalītu vienu decimāldaļskaitli citā, komatu pa labi gan dividendē, gan dalītājā pārvietojam par tik cipariem, cik ir dalītājā aiz komata, tas ir, ar trim cipariem. Tādējādi 0,1218: 0,058 \u003d 121,8: 58. Dalīšana ar decimāldaļu tika aizstāta ar dalīšanu ar naturālu skaitli. Mums ir viens stūris. Mums ir: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.
5) 0,0456: 3,8