87.§ Daļskaitļu saskaitīšana.
Daļskaitļu pievienošanai ir daudz līdzību ar veselu skaitļu pievienošanu. Daļskaitļu saskaitīšana ir darbība, kas sastāv no tā, ka vairāki dotie skaitļi (vārdi) tiek apvienoti vienā ciparā (summā), kas satur visas terminu vienību vienības un daļas.
Mēs pēc kārtas izskatīsim trīs gadījumus:
1. Daļskaitļu saskaitīšana ar vienādiem saucējiem.
2. Frakciju pievienošana ar dažādi saucēji.
3. Jauktu skaitļu pievienošana.
1. Daļskaitļu saskaitīšana ar vienādiem saucējiem.
Apsveriet piemēru: 1/5 + 2/5.
Ņem segmentu AB (17. att.), ņem to kā vienību un sadali 5 vienādās daļās, tad šī segmenta daļa AC būs vienāda ar 1/5 no segmenta AB, bet tā paša segmenta CD daļa. būs vienāds ar 2/5 AB.
No zīmējuma redzams, ka, ja ņemam segmentu AD, tad tas būs vienāds ar 3/5 AB; bet segments AD ir tieši segmentu AC un CD summa. Tātad, mēs varam rakstīt:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Ņemot vērā šos terminus un iegūto summu, redzam, ka summas skaitītājs iegūts, saskaitot terminu skaitītājus, un saucējs palika nemainīgs.
No tā mēs iegūstam šādu noteikumu: Lai pievienotu daļskaitļus ar vienādiem saucējiem, ir jāpievieno to skaitītāji un jāatstāj viens un tas pats saucējs.
Apsveriet piemēru:
2. Daļskaitļu saskaitīšana ar dažādiem saucējiem.
Saskaitīsim daļskaitļus: 3/4 + 3/8 Vispirms tie jāsamazina līdz mazākajam kopsaucējs:
Starpsaiti 6/8 + 3/8 nevarēja uzrakstīt; mēs to esam uzrakstījuši šeit lielākas skaidrības labad.
Tādējādi, lai pievienotu daļskaitļus ar dažādiem saucējiem, vispirms tie jāsavieno līdz mazākajam kopsaucējam, jāpievieno to skaitītāji un jāparaksta kopsaucējs.
Apsveriet piemēru (virs attiecīgajām daļdaļām rakstīsim papildu faktorus):
3. Jauktu skaitļu pievienošana.
Saskaitīsim skaitļus: 2 3/8 + 3 5/6.
Vispirms apvienosim mūsu skaitļu daļējās daļas pie kopsaucēja un pārrakstīsim tās vēlreiz:
Tagad secībā pievienojiet veselo skaitļu un daļskaitļu daļas:
88.§ Daļskaitļu atņemšana.
Daļskaitļu atņemšana tiek definēta tāpat kā veselo skaitļu atņemšana. Šī ir darbība, ar kuru, ņemot vērā divu terminu un viena no tiem summu, tiek atrasts cits termins. Apskatīsim trīs gadījumus pēc kārtas:
1. Daļskaitļu ar vienādiem saucējiem atņemšana.
2. Daļskaitļu ar dažādiem saucējiem atņemšana.
3. Jaukto skaitļu atņemšana.
1. Daļskaitļu ar vienādiem saucējiem atņemšana.
Apsveriet piemēru:
13 / 15 - 4 / 15
Ņemsim nogriezni AB (18. att.), ņemsim to par vienību un sadalīsim 15 vienādās daļās; tad šī segmenta maiņstrāvas daļa būs 1/15 no AB, un tā paša segmenta AD daļa atbildīs 13/15 no AB. Atcelsim vēl vienu segmentu ED, kas vienāds ar 4/15 AB.
Mums ir jāatņem 4/15 no 13/15. Zīmējumā tas nozīmē, ka segments ED ir jāatņem no segmenta AD. Rezultātā paliks segments AE, kas ir 9/15 no segmenta AB. Tātad mēs varam rakstīt:
Mūsu izveidotajā piemērā redzams, ka starpības skaitītājs tika iegūts, atņemot skaitītājus, un saucējs palika nemainīgs.
Tāpēc, lai atņemtu daļskaitļus ar vienādiem saucējiem, jums ir jāatņem apakšdaļas skaitītājs no mazā skaitļa skaitītāja un jāatstāj tas pats saucējs.
2. Daļskaitļu ar dažādiem saucējiem atņemšana.
Piemērs. 3/4 - 5/8
Vispirms samazināsim šīs daļas līdz mazākajam kopsaucējam:
Skaidrības labad šeit ir rakstīta starpsaite 6 / 8 - 5 / 8, bet turpmāk to var izlaist.
Tādējādi, lai no daļskaitļa atņemtu daļskaitli, vispirms tie ir jāsaved līdz mazākajam kopsaucējam, pēc tam no mazā skaitītāja jāatņem apakšdaļas skaitītājs un kopsaucējs jāparaksta zem to starpības.
Apsveriet piemēru:
3. Jaukto skaitļu atņemšana.
Piemērs. 10 3/4 - 7 2/3.
Novedīsim daļdaļas no minuend un apakšdaļas līdz mazākajam kopsaucējam:
Mēs atņēmām veselu no veseluma un daļu no daļdaļas. Bet ir gadījumi, kad apakšrindas daļēja daļa ir lielāka par mazā daļa. Šādos gadījumos jums ir jāņem viena vienība no reducētā veselā skaitļa daļas, jāsadala tajās daļās, kurās tiek izteikta daļēja daļa, un jāpievieno reducētā daļēja daļa. Un tad atņemšana tiks veikta tāpat kā iepriekšējā piemērā:
89.§ Daļskaitļu reizināšana.
Pētot daļskaitļu reizināšanu, mēs apsvērsim šādus jautājumus:
1. Daļas reizināšana ar veselu skaitli.
2. Dotā skaitļa daļas atrašana.
3. Vesela skaitļa reizināšana ar daļskaitli.
4. Daļdaļas reizināšana ar daļskaitli.
5. Jauktu skaitļu reizināšana.
6. Interešu jēdziens.
7. Dotā skaitļa procentuālo attiecību atrašana. Apskatīsim tos secīgi.
1. Daļas reizināšana ar veselu skaitli.
Daļas reizināšanai ar veselu skaitli ir tāda pati nozīme kā vesela skaitļa reizināšanai ar veselu skaitli. Daļas (reizinātāja) reizināšana ar veselu skaitli (reizinātāju) nozīmē identisku vārdu summas sastādīšanu, kurā katrs vārds ir vienāds ar reizinātāju, bet vārdu skaits ir vienāds ar reizinātāju.
Tātad, ja jums ir jāreizina 1/9 ar 7, to var izdarīt šādi:
Mēs viegli ieguvām rezultātu, jo darbība tika samazināta līdz daļskaitļu pievienošanai ar vienādiem saucējiem. Tāpēc
Šīs darbības izskatīšana parāda, ka daļdaļas reizināšana ar veselu skaitli ir līdzvērtīga šīs daļdaļas palielināšanai tik reižu, cik veselā skaitļā ir vienības. Un tā kā frakcijas pieaugums tiek panākts vai nu palielinot tā skaitītāju
vai samazinot tā saucēju 
, tad varam vai nu reizināt skaitītāju ar veselu skaitli, vai dalīt ar to saucēju, ja šāds dalījums ir iespējams.
No šejienes mēs iegūstam noteikumu:
Lai daļdaļu reizinātu ar veselu skaitli, skaitītājs jāreizina ar šo veselo skaitli un saucējs jāatstāj tāds pats vai, ja iespējams, saucējs jādala ar šo skaitli, skaitītāju atstājot nemainīgu.
Reizinot, ir iespējami saīsinājumi, piemēram:
2. Dotā skaitļa daļas atrašana. Ir daudzas problēmas, kurās jums ir jāatrod vai jāaprēķina daļa no dotā skaitļa. Atšķirība starp šiem uzdevumiem un citiem ir tāda, ka tie dod dažu objektu vai mērvienību skaitu, un jums ir jāatrod šī skaitļa daļa, kas arī šeit ir norādīta ar noteiktu daļskaitli. Lai atvieglotu izpratni, vispirms sniegsim šādu problēmu piemērus un pēc tam iepazīstināsim ar to risināšanas metodi.
1. uzdevums. Man bija 60 rubļi; 1/3 no šīs naudas es iztērēju grāmatu iegādei. Cik maksāja grāmatas?
2. uzdevums. Vilcienam jāveic attālums starp pilsētām A un B, kas vienāds ar 300 km. Viņš jau ir veicis 2/3 no šīs distances. Cik kilometru tas ir?
3. uzdevums. Ciematā ir 400 māju, 3/4 no tām ir ķieģeļu, pārējās koka. Cik ķieģeļu māju ir?
Šeit ir dažas no daudzajām problēmām, kas mums jārisina, lai atrastu daļu no noteiktā skaitļa. Tos parasti sauc par problēmām, lai atrastu dotā skaitļa daļu.
1. uzdevuma risinājums. No 60 rubļiem. 1/3 iztērēju grāmatām; Tātad, lai uzzinātu grāmatu izmaksas, skaitlis 60 jādala ar 3:
2. uzdevuma risinājums. Problēmas nozīme ir tāda, ka jums jāatrod 2/3 no 300 km. Aprēķināt pirmo 1/3 no 300; to panāk, dalot 300 km ar 3:
300: 3 = 100 (tā ir 1/3 no 300).
Lai atrastu divas trešdaļas no 300, iegūtais koeficients ir jādubulto, tas ir, jāreizina ar 2:
100 x 2 = 200 (tas ir 2/3 no 300).
3. uzdevuma risinājums.Šeit jums jānosaka ķieģeļu māju skaits, kas ir 3/4 no 400. Vispirms atradīsim 1/4 no 400,
400: 4 = 100 (tā ir 1/4 no 400).
Lai aprēķinātu trīs ceturtdaļas no 400, iegūtais koeficients ir trīskāršots, tas ir, jāreizina ar 3:
100 x 3 = 300 (tas ir 3/4 no 400).
Pamatojoties uz šo problēmu risinājumu, mēs varam iegūt šādu noteikumu:
Lai atrastu dotā skaitļa daļas vērtību, šis skaitlis jādala ar daļas saucēju un iegūtais koeficients jāreizina ar tā skaitītāju.
3. Vesela skaitļa reizināšana ar daļskaitli.
Iepriekš (26. §) tika noteikts, ka ar veselu skaitļu reizināšanu jāsaprot identisku terminu saskaitīšana (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Šajā punktā (1. punkts) tika noteikts, ka daļskaitļa reizināšana ar veselu skaitli nozīmē atrast identisku vārdu summu, kas ir vienāda ar šo daļu.
Abos gadījumos reizināšana ietvēra identisku terminu summas atrašanu.
Tagad mēs pārejam pie vesela skaitļa reizināšanas ar daļu. Šeit mēs tiksimies ar tādu, piemēram, reizināšanu: 9 2/3. Ir pilnīgi skaidrs, ka iepriekšējā reizināšanas definīcija uz šo gadījumu neattiecas. Tas ir skaidrs no tā, ka mēs nevaram aizstāt šādu reizināšanu ar vienādu skaitļu saskaitīšanu.
Sakarā ar to mums būs jāsniedz jauna reizināšanas definīcija, t.i., citiem vārdiem sakot, jāatbild uz jautājumu, kas jāsaprot ar reizināšanu ar daļskaitli, kā jāsaprot šī darbība.
Vesela skaitļa reizināšanas ar daļskaitli nozīme ir skaidra no šādas definīcijas: reizināt veselu skaitli (reizinātāju) ar daļu (reizinātāju) nozīmē atrast šo reizinātāja daļu.
Proti, reizināt 9 ar 2/3 nozīmē atrast 2/3 no deviņām vienībām. Iepriekšējā rindkopā šādas problēmas tika atrisinātas; tāpēc ir viegli saprast, ka mēs nonākam pie 6.
Bet tagad ir interesants un svarīgs jautājums: kāpēc tāda no pirmā acu uzmetiena dažādas aktivitātes, kā vienādu skaitļu summas atrašanu un skaitļa daļas atrašanu aritmētikā sauc par vienu un to pašu vārdu "reizināšana"?
Tas notiek tāpēc, ka iepriekšējā darbība (vairākas reizes skaitļa atkārtošana ar vārdiem) un jaunā darbība (skaitļa daļas atrašana) sniedz atbildi uz viendabīgiem jautājumiem. Tas nozīmē, ka šeit mēs izejam no apsvērumiem, ka viendabīgus jautājumus vai uzdevumus risina viena un tā pati darbība.
Lai to saprastu, apsveriet šādu problēmu: “1 m auduma maksā 50 rubļus. Cik maksās 4 m šāda auduma?
Šī problēma tiek atrisināta, reizinot rubļu skaitu (50) ar metru skaitu (4), t.i., 50 x 4 = 200 (rubļi).
Ņemsim to pašu problēmu, bet tajā auduma daudzums tiks izteikts kā daļskaitlis: “1 m auduma maksā 50 rubļus. Cik maksās 3/4 m šāda auduma?
Arī šī problēma ir jāatrisina, reizinot rubļu skaitu (50) ar metru skaitu (3/4).
Varat arī vairākas reizes mainīt tajā esošos skaitļus, nemainot uzdevuma nozīmi, piemēram, ņemt 9/10 m vai 2 3/10 m utt.
Tā kā šīm problēmām ir vienāds saturs un tās atšķiras tikai skaitļos, to risināšanā izmantotās darbības saucam ar vienu un to pašu vārdu - reizināšana.
Kā vesels skaitlis tiek reizināts ar daļskaitli?
Ņemsim skaitļus, kas radušies pēdējā uzdevumā:
Saskaņā ar definīciju mums jāatrod 3/4 no 50. Vispirms atrodam 1/4 no 50, un tad 3/4.
1/4 no 50 ir 50/4;
3/4 no 50 ir .
Līdz ar to.
Apsveriet citu piemēru: 12 5/8 = ?
1/8 no 12 ir 12/8,
5/8 no skaitļa 12 ir .
Tāpēc
No šejienes mēs iegūstam noteikumu:
Lai reizinātu veselu skaitli ar daļskaitli, jums ir jāreizina vesels skaitlis ar daļskaitļa skaitītāju un jāpadara šis reizinājums par skaitītāju un kā saucējs jāparaksta dotās daļas saucējs.
Mēs rakstām šo noteikumu, izmantojot burtus:
Lai šis noteikums būtu pilnīgi skaidrs, jāatceras, ka daļskaitli var uzskatīt par koeficientu. Tāpēc ir lietderīgi atrasto noteikumu salīdzināt ar noteikumu skaitļa reizināšanai ar koeficientu, kas tika noteikts 38. §.
Jāatceras, ka pirms reizināšanas jāveic (ja iespējams) izcirtņi, Piemēram:
4. Daļdaļas reizināšana ar daļskaitli. Daļas reizināšanai ar daļskaitli ir tāda pati nozīme kā vesela skaitļa reizināšanai ar daļskaitli, tas ir, reizinot daļu ar daļskaitli, reizinātājā ir jāatrod daļa no pirmās daļas (reizinātāja).
Proti, reizināt 3/4 ar 1/2 (puse) nozīmē atrast pusi no 3/4.
Kā reizināt daļu ar daļu?
Ņemsim piemēru: 3/4 reizes 5/7. Tas nozīmē, ka jums jāatrod 5/7 no 3/4. Vispirms atrodiet 1/7 no 3/4 un pēc tam 5/7
1/7 no 3/4 būtu izteikti šādi:
5/7 skaitļi 3/4 tiks izteikti šādi:
Tādējādi
Cits piemērs: 5/8 reiz 4/9.
1/9 no 5/8 ir ,
4/9 skaitļi 5/8 ir .
Tādējādi 
No šiem piemēriem var izsecināt šādu noteikumu:
Lai reizinātu daļu ar daļskaitli, jums jāreizina skaitītājs ar skaitītāju un saucējs ar saucēju un jāpadara pirmais reizinājums par skaitītāju un otrais reizinājums par reizinājuma saucēju.
Šis ir noteikums iekšā vispārējs skats var uzrakstīt šādi:
Reizinot, ir nepieciešams veikt (ja iespējams) samazinājumus. Apsveriet piemērus:
5. Jauktu skaitļu reizināšana. Tā kā jauktos skaitļus var viegli aizstāt ar nepareizām daļskaitļiem, šis apstāklis parasti tiek izmantots, reizinot jauktos skaitļus. Tas nozīmē, ka gadījumos, kad reizinātājs vai reizinātājs, vai abi faktori tiek izteikti kā jaukti skaitļi, tie tiek aizstāti ar nepareizām daļskaitļiem. Reiziniet, piemēram, jauktos skaitļus: 2 1/2 un 3 1/5. Mēs katru no tiem pārvēršam par nepareizu daļskaitli, un pēc tam mēs reizinim iegūtās daļas saskaņā ar likumu, kas reizināts ar daļu:
Noteikums. Lai reizinātu jauktos skaitļus, vispirms tie jāpārvērš nepareizās daļskaitļos un pēc tam jāreizina saskaņā ar likumu, kas reizināts ar daļskaitli.
Piezīme. Ja viens no faktoriem ir vesels skaitlis, tad reizināšanu var veikt, pamatojoties uz sadalījuma likumu:
6. Interešu jēdziens. Risinot uzdevumus un veicot dažādus praktiskus aprēķinus, izmantojam visa veida daļskaitļus. Taču jāpatur prātā, ka daudzi daudzumi pieļauj nevis jebkādus, bet dabiskus iedalījumus. Piemēram, jūs varat paņemt vienu simtdaļu (1/100) no rubļa, tas būs santīms, divas simtdaļas ir 2 kapeikas, trīs simtdaļas ir 3 kapeikas. Var paņemt 1/10 rubļa, tas būs "10 kapeikas, vai santīms. Var paņemt rubļa ceturtdaļu, t.i., 25 kapeikas, pusrubli, t.i., 50 kapeikas (piecdesmit kapeikas). Bet viņi praktiski nedod Neņemiet, piemēram, 2/7 rubļus, jo rublis nav sadalīts septītajās daļās.
Svara mērvienība, t.i., kilograms, galvenokārt pieļauj decimāldaļas, piemēram, 1/10 kg vai 100 g. Un tādas kilograma daļas kā 1/6, 1/11, 1/13 ir retāk sastopamas.
Parasti mūsu (metriskie) mēri ir decimāldaļas un pieļauj decimāldaļas.
Tomēr jāņem vērā, ka ļoti lietderīgi un ērti visdažādākajos gadījumos ir izmantot vienu un to pašu (vienotu) daudzumu sadalīšanas metodi. Daudzu gadu pieredze liecina, ka šāds labi pamatots dalījums ir "simtdaļu" dalījums. Apskatīsim dažus piemērus, kas saistīti ar visdažādākajām cilvēku prakses jomām.
1. Grāmatu cena ir samazinājusies par 12/100 no iepriekšējās cenas.
Piemērs. Iepriekšējā grāmatas cena ir 10 rubļi. Viņa samazinājās par 1 rubli. 20 kop.
2. Krājbankas gada laikā izmaksā noguldītājiem 2/100 no summas, kas tiek ieguldīta uzkrājumos.
Piemērs. Kasē tiek ielikti 500 rubļi, ienākumi no šīs summas gadā ir 10 rubļi.
3. Vienas skolas absolventu skaits bija 5/100 no kopējā skolēnu skaita.
PIEMĒRS Skolā mācījās tikai 1200 audzēkņu, no kuriem skolu absolvēja 60.
Skaitļa simtdaļu sauc par procentiem..
Vārds "procenti" ir aizgūts no latīņu valoda un tā sakne "cents" nozīmē simts. Kopā ar prievārdu (pro centum) šis vārds nozīmē "par simtu". Šī izteiciena nozīme izriet no tā, ka sākotnēji in senā Roma procenti bija nauda, ko parādnieks samaksāja aizdevējam "par katriem simtiem". Vārds "cents" ir dzirdams tik pazīstamos vārdos: centner (simts kilogrami), centimetrs (viņi saka centimetrs).
Piemēram, tā vietā, lai teiktu, ka rūpnīca saražoja 1/100 no visas pēdējā mēneša laikā saražotās produkcijas, teiksim tā: rūpnīca pēdējā mēneša laikā saražoja vienu procentu no atkritumiem. Tā vietā, lai teiktu: rūpnīca saražoja par 4/100 vairāk produktu nekā noteikts plānā, mēs teiksim: rūpnīca plānu pārsniedza par 4 procentiem.
Iepriekš minētos piemērus var izteikt dažādi:
1. Grāmatu cena ir samazinājusies par 12 procentiem no iepriekšējās cenas.
2. Krājbankas maksā noguldītājiem 2 procentus gadā no uzkrājumos ieguldītās summas.
3. Vienas skolas absolventu skaits bija 5 procenti no visu skolas skolēnu skaita.
Lai burtu saīsinātu, vārda "procenti" vietā ierasts rakstīt % zīmi.
Taču jāatceras, ka % zīmi aprēķinos parasti neraksta, to var ierakstīt uzdevuma formulējumā un gala rezultātā. Veicot aprēķinus, ar šo ikonu vesela skaitļa vietā jāieraksta daļskaitlis ar saucēju 100.
Jums ir jāspēj aizstāt vesels skaitlis ar norādīto ikonu ar daļskaitli ar saucēju 100:
Un otrādi, jums ir jāpierod rakstīt veselu skaitli ar norādīto ikonu, nevis daļskaitli ar saucēju 100:
7. Dotā skaitļa procentuālo attiecību atrašana.
1. uzdevums. Skola saņēma 200 kubikmetru. m malkas, kur bērza malka sastāda 30%. Cik daudz tur bija bērza koksnes?
Šīs problēmas nozīme ir tāda, ka bērza malka bija tikai daļa no malkas, kas tika piegādāta skolai, un šī daļa ir izteikta kā daļa no 30 / 100. Tātad, mēs saskaramies ar uzdevumu atrast skaitļa daļu. Lai to atrisinātu, mums jāreizina 200 ar 30 / 100 (uzdevumi, lai atrastu skaitļa daļu, tiek atrisināti, reizinot skaitli ar daļu.).
Tātad 30% no 200 ir vienādi ar 60.
Šajā problēmā sastapto daļu 30/100 var samazināt par 10. Šo samazināšanu būtu iespējams veikt jau no paša sākuma; problēmas risinājums nemainītos.
2. uzdevums. Nometnē bija 300 dažāda vecuma bērni. Bērni vecumā no 11 gadiem bija 21%, bērni vecumā no 12 gadiem bija 61% un visbeidzot 13 gadus veci bērni bija 18%. Cik bērnu katrā vecumā bija nometnē?
Šajā uzdevumā jums ir jāveic trīs aprēķini, tas ir, secīgi jāatrod bērnu skaits, kas ir 11 gadus vecs, pēc tam 12 gadus vecs un visbeidzot 13 gadus vecs.
Tātad, šeit būs trīs reizes jāatrod skaitļa daļa. Darīsim to:
1) Cik bērnu bija 11 gadus veci?
2) Cik bērnu bija 12 gadus veci?
3) Cik bērnu bija 13 gadus veci?
Pēc uzdevuma atrisināšanas ir lietderīgi pievienot atrastos skaitļus; to summai jābūt 300:
63 + 183 + 54 = 300
Tāpat jāpievērš uzmanība tam, ka problēmas nosacījumā norādīto procentu summa ir 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Tas liecina, ka kopējais bērnu skaits nometnē tika pieņemts 100%.
3 un da cha 3. Strādnieks saņēma 1200 rubļu mēnesī. No tiem viņš iztērēja 65% pārtikai, 6% dzīvoklim un apkurei, 4% gāzei, elektrībai un radio, 10% kultūras vajadzībām un 15% ietaupīja. Cik naudas tika iztērēts uzdevumā norādītajām vajadzībām?
Lai atrisinātu šo uzdevumu, 5 reizes jāatrod daļa no skaitļa 1200. Darīsim to.
1) Cik daudz naudas tiek tērēts pārtikai? Uzdevumā teikts, ka šie izdevumi ir 65% no visiem ienākumiem, t.i., 65/100 no skaitļa 1200. Veiksim aprēķinu:
2) Cik naudas tika samaksāts par dzīvokli ar apkuri? Strīdoties tāpat kā iepriekšējā, mēs nonākam pie šāda aprēķina:
3) Cik naudas jūs maksājāt par gāzi, elektrību un radio?
4) Cik daudz naudas tiek tērēts kultūras vajadzībām?
5) Cik naudas strādnieks ietaupīja?
Lai pārbaudītu, ir lietderīgi pievienot skaitļus, kas atrodami šajos 5 jautājumos. Summai jābūt 1200 rubļiem. Visi ienākumi tiek uzskatīti par 100%, ko ir viegli pārbaudīt, saskaitot problēmas izklāstā norādītos procentus.
Mēs esam atrisinājuši trīs problēmas. Neskatoties uz to, ka šie uzdevumi bija par dažādām lietām (malkas piegāde skolai, dažāda vecuma bērnu skaits, strādnieka izdevumi), tie tika risināti vienādi. Tas notika tāpēc, ka visos uzdevumos bija jāatrod daži procenti no dotajiem skaitļiem.
90.§ Daļskaitļu dalīšana.
Pētot frakciju dalījumu, mēs apsvērsim šādus jautājumus:
1. Sadaliet veselu skaitli ar veselu skaitli.
2. Daļas dalīšana ar veselu skaitli
3. Vesela skaitļa dalīšana ar daļskaitli.
4. Daļdaļas dalīšana ar daļskaitli.
5. Jaukto skaitļu dalījums.
6. Skaitļa atrašana, ņemot vērā tā daļu.
7. Skaitļa atrašana pēc tā procentiem.
Apskatīsim tos secīgi.
1. Sadaliet veselu skaitli ar veselu skaitli.
Kā norādīts veselo skaitļu sadaļā, dalīšana ir darbība, kas sastāv no tā, ka, reizinot divus faktorus (dividende) un vienu no šiem faktoriem (dalītāju), tiek atrasts cits faktors.
Vesela skaitļa dalīšana ar veselu skaitli, ko mēs aplūkojām veselu skaitļu nodaļā. Mēs tur satikām divus dalīšanas gadījumus: sadalīšanu bez atlikuma vai "pilnībā" (150: 10 = 15) un sadalīšanu ar atlikumu (100: 9 = 11 un 1 atlikumā). Tāpēc mēs varam teikt, ka veselu skaitļu jomā precīza dalīšana ne vienmēr ir iespējama, jo dividende ne vienmēr ir dalītāja un vesela skaitļa reizinājums. Pēc reizināšanas ar daļskaitli ieviešanas mēs varam uzskatīt par iespējamu jebkuru veselu skaitļu dalīšanas gadījumu (tikai dalīšana ar nulli ir izslēgta).
Piemēram, dalot 7 ar 12, tiek atrasts skaitlis, kura reizinājuma reizinājums 12 būtu 7. Šis skaitlis ir daļskaitlis 7/12, jo 7/12 12 = 7. Vēl viens piemērs: 14: 25 = 14/25, jo 14/25 25 = 14.
Tādējādi, lai dalītu veselu skaitli ar veselu skaitli, jums ir jāizveido daļskaitlis, kura skaitītājs ir vienāds ar dividendi, bet saucējs ir dalītājs.
2. Daļas dalīšana ar veselu skaitli.
Daļu 6/7 dala ar 3. Saskaņā ar iepriekš sniegto dalījuma definīciju šeit ir reizinājums (6/7) un viens no faktoriem (3); ir jāatrod tāds otrs koeficients, kas, reizinot ar 3, dotu reizinājumu 6/7. Acīmredzot tam vajadzētu būt trīs reizes mazākam par šo produktu. Tas nozīmē, ka mums izvirzītais uzdevums bija samazināt daļu 6/7 3 reizes.
Mēs jau zinām, ka daļu var samazināt, vai nu samazinot tās skaitītāju, vai palielinot saucēju. Tāpēc jūs varat rakstīt:
Šajā gadījumā skaitītājs 6 dalās ar 3, tāpēc skaitītājs jāsamazina 3 reizes.
Ņemsim vēl vienu piemēru: 5/8 dalīts ar 2. Šeit skaitītājs 5 nedalās ar 2, kas nozīmē, ka saucējs būs jāreizina ar šo skaitli:
Pamatojoties uz to, mēs varam noteikt noteikumu: Lai dalītu daļu ar veselu skaitli, dalījuma skaitītājs ir jādala ar šo veselo skaitli(ja iespējams), atstājot to pašu saucēju, vai reiziniet daļskaitļa saucēju ar šo skaitli, atstājot to pašu skaitītāju.
3. Vesela skaitļa dalīšana ar daļskaitli.
Jādala 5 ar 1/2, t.i., jāatrod skaitlis, kas pēc reizināšanas ar 1/2 dos reizinājumu 5. Acīmredzot šim skaitlim ir jābūt lielākam par 5, jo 1/2 ir pareiza daļa, un, reizinot skaitli ar pareizu daļskaitli, reizinājumam jābūt mazākam par reizinātāju. Lai padarītu to skaidrāku, rakstīsim savas darbības šādi: 5: 1 / 2 = X , tātad x 1/2 \u003d 5.
Mums ir jāatrod šāds skaitlis X , kas, reizinot ar 1/2, iegūtu 5. Tā kā noteikta skaitļa reizināšana ar 1/2 nozīmē atrast 1/2 no šī skaitļa, tad 1/2 nezināms datums X ir 5 un veselais skaitlis X divreiz vairāk, t.i., 5 2 \u003d 10.
Tātad 5: 1/2 = 5 2 = 10
Pārbaudīsim: 
Apskatīsim vēl vienu piemēru. Jādala 6 ar 2/3. Vispirms mēģināsim atrast vēlamo rezultātu, izmantojot zīmējumu (19. att.).
19. att
Uzzīmējiet segmentu AB, kas vienāds ar 6 no dažām vienībām, un sadaliet katru vienību 3 vienādās daļās. Katrā vienībā trīs trešdaļas (3/3) visā segmentā AB ir 6 reizes lielākas, t.i. e. 18/3. Mēs savienojam ar mazo kronšteinu palīdzību 18 iegūtos segmentus pa 2; Būs tikai 9 segmenti. Tas nozīmē, ka daļa 2/3 ir ietverta b vienībās 9 reizes vai, citiem vārdiem sakot, daļa 2/3 ir 9 reizes mazāka par 6 veselu skaitļu vienībām. Tāpēc
Kā iegūt šo rezultātu bez zīmējuma, izmantojot tikai aprēķinus? Mēs strīdēsimies šādi: ir jādala 6 ar 2/3, t.i., ir jāatbild uz jautājumu, cik reizes 2/3 ir ietverts 6. Vispirms noskaidrosim: cik reizes ir 1/3 ietverts 6? Veselā vienībā - 3 trešdaļas, bet 6 vienībās - 6 reizes vairāk, t.i., 18 trešdaļas; lai atrastu šo skaitli, mums jāreizina 6 ar 3. Tādējādi 1/3 ir ietverta b vienībās 18 reizes, bet 2/3 ir ietverta b vienībās nevis 18 reizes, bet uz pusi mazāk reižu, t.i., 18: 2 = 9 Tāpēc, dalot 6 ar 2/3, mēs rīkojāmies šādi:
No šejienes mēs iegūstam noteikumu vesela skaitļa dalīšanai ar daļu. Lai veselu skaitli dalītu ar daļskaitli, šis veselais skaitlis jāreizina ar dotās daļdaļas saucēju un, padarot šo reizinājumu par skaitītāju, jādala ar dotās daļas skaitītāju.
Mēs rakstām noteikumu, izmantojot burtus:
Lai šis noteikums būtu pilnīgi skaidrs, jāatceras, ka daļskaitli var uzskatīt par koeficientu. Tāpēc ir lietderīgi atrasto noteikumu salīdzināt ar noteikumu par skaitļa dalīšanu ar koeficientu, kas bija noteikts 38.§. Ņemiet vērā, ka tur tika iegūta tāda pati formula.
Sadalot, ir iespējami saīsinājumi, piemēram:
4. Daļdaļas dalīšana ar daļskaitli.
Lai 3/4 ir jādala ar 3/8. Kas apzīmēs skaitli, kas tiks iegūts dalīšanas rezultātā? Tas atbildēs uz jautājumu, cik reižu daļa 3/8 ir ietverta daļā 3/4. Lai saprastu šo jautājumu, izveidosim zīmējumu (20. att.).
Paņemiet segmentu AB, ņemiet to kā vienību, sadaliet to 4 vienādās daļās un atzīmējiet 3 šādas daļas. Segments AC būs vienāds ar 3/4 segmenta AB. Tagad sadalīsim katru no četriem sākotnējiem segmentiem uz pusēm, tad segments AB tiks sadalīts 8 vienādās daļās un katra šāda daļa būs vienāda ar 1/8 no segmenta AB. Mēs savienojam 3 šādus segmentus ar lokiem, tad katrs no segmentiem AD un DC būs vienāds ar 3/8 no segmenta AB. Zīmējums parāda, ka segments, kas vienāds ar 3/8, ir ietverts segmentā, kas vienāds ar 3/4 tieši 2 reizes; Tātad dalīšanas rezultātu var uzrakstīt šādi:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Apskatīsim vēl vienu piemēru. Lai 15/16 ir jādala ar 3/32:
Mēs varam spriest šādi: mums jāatrod skaitlis, kas pēc reizināšanas ar 3/32 dos reizinājumu, kas vienāds ar 15/16. Rakstīsim aprēķinus šādi:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 nezināms numurs X grims 15/16
1/32 nezināms numurs X ir ,
32/32 cipari X meikaps .
Tāpēc
Tādējādi, lai dalītu daļu ar daļskaitli, jums jāreizina pirmās daļas skaitītājs ar otrās daļas saucēju un jāreizina pirmās daļas saucējs ar otrās daļas skaitītāju un jāpadara pirmais reizinājums par skaitītāju un otrais saucējs.
Rakstīsim noteikumu, izmantojot burtus:
Sadalot, ir iespējami saīsinājumi, piemēram:
5. Jaukto skaitļu dalījums.
Sadalot jauktus skaitļus, tie vispirms ir jāpārvērš par nepareizas frakcijas, pēc tam sadaliet iegūtās daļas saskaņā ar daļskaitļu dalīšanas noteikumiem. Apsveriet piemēru:
Konvertējiet jauktos skaitļus nepareizās daļskaitļos:
Tagad sadalīsim:
Tādējādi, lai sadalītu jauktos skaitļus, tie jāpārvērš nepareizās daļskaitļos un pēc tam jādala saskaņā ar daļskaitļu dalīšanas noteikumu.
6. Skaitļa atrašana, ņemot vērā tā daļu.
Starp dažādiem uzdevumiem par daļskaitļiem dažreiz ir tādi, kuros ir norādīta kāda nezināma skaitļa daļa, un tas ir jāatrod. Šāda veida problēma būs apgriezta problēmai atrast dotā skaitļa daļu; tur tika dots skaitlis un vajadzēja atrast kādu daļu no šī skaitļa, šeit ir dota skaitļa daļa un ir jāatrod pats šis skaitlis. Šī doma kļūs vēl skaidrāka, ja pievērsīsimies šāda veida problēmu risinājumam.
1. uzdevums. Pirmajā dienā stiklinieki iestikloja 50 logus, kas ir 1/3 no visiem uzbūvētās mājas logiem. Cik logu ir šai mājai?
Risinājums. Problēma saka, ka 50 stiklotie logi sastāda 1/3 no visiem mājas logiem, kas nozīmē, ka kopumā ir 3 reizes vairāk logu, t.i.
Mājai bija 150 logi.
2. uzdevums. Veikalā tika pārdoti 1500 kg miltu, kas ir 3/8 no kopējiem miltu krājumiem veikalā. Kāds bija veikala sākotnējais miltu piedāvājums?
Risinājums. No problēmas stāvokļa redzams, ka pārdotie 1500 kg miltu veido 3/8 no kopējā krājuma; tas nozīmē, ka 1/8 daļa no šī krājuma būs 3 reizes mazāka, t.i., lai to aprēķinātu, jums ir jāsamazina 1500 3 reizes:
1500: 3 = 500 (tā ir 1/8 no krājuma).
Acīmredzot viss krājums būs 8 reizes lielāks. Tāpēc
500 8 \u003d 4000 (kg).
Sākotnējais miltu krājums veikalā bija 4000 kg.
Apsverot šo problēmu, var secināt šādu noteikumu.
Lai atrastu skaitli ar noteiktu tā daļskaitļa vērtību, pietiek ar to, ka šo vērtību dala ar daļskaitļa skaitītāju un rezultātu reizina ar daļdaļas saucēju.
Mēs atrisinājām divas problēmas, meklējot skaitli, ņemot vērā tā daļu. Šādas problēmas, kā īpaši labi redzams no pēdējās, tiek atrisinātas ar divām darbībām: dalīšanu (kad tiek atrasta viena daļa) un reizināšanu (kad tiek atrasts veselais skaitlis).
Tomēr pēc tam, kad esam izpētījuši daļskaitļu dalīšanu, iepriekš minētās problēmas var atrisināt vienā darbībā, proti: dalīšana ar daļskaitli.
Piemēram, pēdējo uzdevumu var atrisināt ar vienu darbību, piemēram:
Nākotnē skaitļa atrašanas problēmu pēc tā daļas atrisināsim vienā darbībā - dalījumā.
7. Skaitļa atrašana pēc tā procentiem.
Šajos uzdevumos jums būs jāatrod skaitlis, zinot dažus procentus no šī skaitļa.
1. uzdevums. Vispirms Šis gads No krājkases saņēmu 60 rubļus. ienākumi no summas, ko pirms gada ieliku uzkrājumos. Cik naudas es ieliku krājkasē? (Kases nodrošina noguldītājiem 2% no ienākumiem gadā.)
Problēmas nozīme ir tāda, ka noteiktu naudas summu es ieliku krājkasē un nogulēju tur gadu. Pēc gada es no viņas saņēmu 60 rubļus. ienākumiem, kas ir 2/100 no manas ieliktās naudas. Cik daudz naudas es noguldīju?
Tāpēc, zinot šīs naudas daļu, kas izteikta divos veidos (rubļos un daļās), jāatrod visa, pagaidām nezināmā summa. Šī ir parasta skaitļa atrašanas problēma, ņemot vērā tā daļu. Sadalot tiek atrisināti šādi uzdevumi:
Tātad krājkasē tika ielikti 3000 rubļu.
2. uzdevums. Divu nedēļu laikā makšķernieki mēneša plānu izpildījuši par 64%, sagatavojot 512 tonnas zivju. Kāds bija viņu plāns?
No problēmas stāvokļa zināms, ka makšķernieki pabeidza daļu no plāna. Šī daļa ir vienāda ar 512 tonnām, kas ir 64% no plāna. Cik tonnas zivju jāsavāc pēc plāna, mēs nezinām. Problēmas risinājums būs šī skaitļa atrašana.
Šādi uzdevumi tiek atrisināti, dalot:
Tātad, saskaņā ar plānu, jums ir jāsagatavo 800 tonnas zivju.
3. uzdevums. Vilciens devās no Rīgas uz Maskavu. Kad viņš pabrauca garām 276. kilometram, viens no pasažieriem jautāja garāmbraucošajam konduktors, cik lielu ceļa daļu viņi jau ir nobraukuši. Uz to konduktors atbildēja: "Mēs jau esam veikuši 30% no visa brauciena." Kāds ir attālums no Rīgas līdz Maskavai?
No problēmas stāvokļa var redzēt, ka 30% no Rīgas līdz Maskavai braucienam ir 276 km. Mums jāatrod viss attālums starp šīm pilsētām, t.i., šai daļai jāatrod viss:
§ 91. Savstarpēji skaitļi. Dalīšanas aizstāšana ar reizināšanu.
Ņem daļskaitli 2/3 un pārkārto skaitītāju uz saucēja vietu, iegūstam 3/2. Mēs saņēmām daļskaitli, šīs vērtības apgriezienu.
Lai iegūtu dotā daļskaitļa apgriezto vērtību, saucēja vietā jāievieto tā skaitītājs, bet skaitītāja vietā - saucējs. Tādā veidā mēs varam iegūt daļskaitli, kas ir jebkuras daļskaitļa apgrieztā vērtība. Piemēram:
3/4, reverss 4/3; 5/6, otrādi 6/5
Tiek sauktas divas daļas, kurām ir īpašība, ka pirmās skaitītājs ir otrās saucējs un pirmās saucējs ir otrās skaitītājs. savstarpēji apgriezti.
Tagad padomāsim par to, kāda daļa būs 1/2 apgrieztā vērtība. Acīmredzot tas būs 2/1 vai tikai 2. Meklējot šī apgriezto vērtību, mēs saņēmām veselu skaitli. Un šis gadījums nav izolēts; gluži pretēji, visām daļām, kuru skaitītājs ir 1 (viens), apgrieztās vērtības būs veseli skaitļi, piemēram:
1/3, apgriezts 3; 1/5, reverss 5
Tā kā, atrodot reciprokus, mēs tikāmies arī ar veseliem skaitļiem, turpmāk mēs nerunāsim par reciprokāliem, bet gan par reciprokāliem.
Izdomāsim, kā uzrakstīt vesela skaitļa apgriezto vērtību. Daļskaitļiem tas tiek atrisināts vienkārši: skaitītāja vietā jāievieto saucējs. Tādā pašā veidā jūs varat iegūt vesela skaitļa apgriezto vērtību, jo jebkura vesela skaitļa saucējs var būt 1. Tāpēc apgrieztais skaitlis 7 būs 1/7, jo 7 \u003d 7 / 1; skaitlim 10 apgrieztā vērtība ir 1/10, jo 10 = 10/1
Šo ideju var izteikt citā veidā: dotā skaitļa apgriezto vērtību iegūst, dalot vienu ar dotais numurs . Šis apgalvojums attiecas ne tikai uz veseliem skaitļiem, bet arī uz daļdaļām. Patiešām, ja vēlaties uzrakstīt numuru, apgrieztā daļa 5/9, tad varam ņemt 1 un dalīt ar 5/9, t.i.
Tagad norādīsim vienu īpašums savstarpēji abpusēji skaitļi, kas mums noderēs: savstarpēji apgrieztu skaitļu reizinājums ir vienāds ar vienu. Patiešām:
Izmantojot šo īpašību, mēs varam atrast reciprokus šādā veidā. Atradīsim 8 apgriezto vērtību.
Apzīmēsim to ar burtu X , tad 8 X = 1, tātad X = 1/8. Atradīsim citu skaitli, apgrieztu 7/12, apzīmēsim to ar burtu X , tad 7/12 X = 1, tātad X = 1:7 / 12 vai X = 12 / 7 .
Šeit mēs ieviesām savstarpējo skaitļu jēdzienu, lai nedaudz papildinātu informāciju par daļskaitļu dalījumu.
Kad mēs dalām skaitli 6 ar 3/5, mēs rīkojamies šādi:
Maksājiet Īpaša uzmanība uz izteiksmi un salīdziniet to ar doto: .
Ja ņemam izteiksmi atsevišķi, bez saiknes ar iepriekšējo, tad nav iespējams atrisināt jautājumu, no kurienes tā radusies: dalot 6 ar 3/5 vai reizinot 6 ar 5/3. Abos gadījumos rezultāts ir vienāds. Tātad mēs varam teikt ka viena skaitļa dalīšanu ar citu var aizstāt, reizinot dividendi ar dalītāja apgriezto skaitli.
Tālāk sniegtie piemēri pilnībā apstiprina šo secinājumu.
Daļskaitļu ar dažādiem saucējiem atņemšanas jautājuma izpēte ir atrodama skolas priekšmetā Algebra astotajā klasē un bērniem tas dažkārt rada izpratnes grūtības. Lai atņemtu daļas ar dažādiem saucējiem, izmantojiet šādu formulu:
Daļskaitļu atņemšanas procedūra ir līdzīga saskaitīšanai, jo tā pilnībā kopē darbības principu.
Pirmkārt, mēs aprēķinām mazāko skaitli, kas ir gan viena, gan otra saucēja reizinājums.
Otrkārt, mēs reizinām katras frakcijas skaitītāju un saucēju ar noteiktu skaitli, kas ļaus mums novest saucēju uz doto minimālo kopsaucēju.
Treškārt, notiek pati atņemšanas procedūra, kad tā rezultātā saucējs tiek dublēts un otrās daļdaļas skaitītājs tiek atņemts no pirmās.
Piemērs: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 vesels skaitlis 1/6
Vispirms tie jāsavieno ar vienu un to pašu saucēju un pēc tam jāatņem. Piemēram, 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. Vai, grūtāk, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. Vai jums ir jāpaskaidro, kā daļskaitļi tiek reducēti līdz kopsaucējam?
Tādās darbībās kā parasto daļskaitļu ar dažādiem saucējiem saskaitīšana vai atņemšana ir spēkā vienkāršs noteikums - šo daļskaitļu saucēji tiek samazināti līdz vienam skaitlim, un pati darbība tiek veikta ar skaitļiem skaitītājā. Tas ir, daļskaitļi iegūst kopsaucēju un šķiet, ka tiek apvienoti vienā. Lai atrastu kopsaucēju patvaļīgām daļskaitļiem, parasti katrai daļai vienkārši jāreizina ar otras daļas saucēju. Bet vienkāršākos gadījumos jūs varat uzreiz atrast faktorus, kas daļskaitļu saucējus salīdzinās ar to pašu skaitli.
Daļskaitļu atņemšanas piemērs: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21
Daudzi pieaugušie jau ir aizmirsuši kā atņemt daļskaitļus ar dažādiem saucējiem, bet šī darbība pieder elementārajai matemātikai.
Lai atņemtu daļas ar dažādiem saucējiem, jums tie jāsavieno līdz kopsaucējam, tas ir, jāatrod saucēju mazākais kopīgais daudzkārtnis, pēc tam jāreizina skaitītāji ar papildu koeficientiem, kas vienādi ar mazākā kopsaucēja un saucēja attiecību.
Frakciju zīmes ir saglabātas. Kad daļām ir vienādi saucēji, varat atņemt un, ja iespējams, samazināt daļu.
Jeļena, vai jūs nolēmāt atkārtot skolas matemātikas kursu?)))
Lai atņemtu daļas ar dažādiem saucējiem, tās vispirms jāsamazina līdz vienam un tam pašam saucējam un pēc tam jāatņem. Vienkāršākais variants: pirmās daļdaļas skaitītāju un saucēju reiziniet ar otrās daļdaļas saucēju, bet otrās daļdaļas skaitītāju un saucēju reiziniet ar pirmās daļdaļas saucēju. Iegūstiet divas daļas ar vienādiem saucējiem. Tagad mēs atņemam otrās daļas skaitītāju no pirmās daļas skaitītāja, un tiem ir vienāds saucējs.
Piemēram, trīs piektdaļas atņem divas septītdaļas, ir vienāds ar divdesmit vienu trīsdesmit piektdaļu, kas atņemtas desmit trīsdesmit piektdaļās, un tas ir vienāds ar vienpadsmit trīsdesmit piektdaļām.
Ja saucēji ir lieli skaitļi, tad var atrast to mazāko kopīgo daudzkārtni, t.i. skaitlis, kas dalīsies gan ar vienu, gan otru saucēju. Un apvienojiet abas daļskaitļus līdz kopsaucējam (mazākais kopīgais reizinātājs)
Kā atņemt daļskaitļus ar dažādiem saucējiem, uzdevums ir ļoti vienkāršs - mēs apvienojam daļskaitļus līdz kopsaucējam un pēc tam veicam atņemšanu skaitītājā.
Daudzi cilvēki saskaras ar grūtībām, ja šo daļskaitļu tuvumā ir veseli skaitļi, tāpēc es gribēju parādīt, kā to izdarīt, izmantojot šādu piemēru:
daļu ar veselu skaitļu daļu un ar dažādiem saucējiem atņemšana
vispirms atņemam veselās daļas 8-5 = 3 (trīskāršais paliek pie pirmās daļas);
daļskaitļus novietojam līdz kopsaucējam 6 (ja pirmās daļdaļas skaitītājs ir lielāks par otro, atņemam un rakstām pie veselās skaitļa daļas, mūsu gadījumā ejam tālāk);
veselo skaitļu daļu 3 sadalām 2 un 1;
1 ir rakstīts kā daļskaitlis 6/6;
6/6+3/6-4/6 ierakstām zem kopsaucēja 6 un veicam darbības skaitītājā;
pierakstiet atrasto rezultātu 2 5/6.
Ir svarīgi atcerēties, ka daļdaļas tiek atņemtas, ja tām ir vienāds saucējs. Tāpēc, ja starpībā ir daļskaitļi ar dažādiem saucējiem, tie vienkārši jāsaved pie kopsaucēja, ko nav grūti izdarīt. Mums vienkārši jāaprēķina katras daļas skaitītājs un jāaprēķina mazākais kopīgais reizinājums, kas nedrīkst būt nulle. Neaizmirstiet arī reizināt skaitītājus ar iegūtajiem papildu faktoriem, taču šeit ir piemērs ērtībai:
Ja vēlaties atņemt daļskaitļus ar dažādiem saucējiem, tad vispirms ir jāatrod kopsaucējs šīm divām daļām. Un pēc tam no pirmās daļdaļas skaitītāja atņemiet otro. Izrādās jauna frakcija ar jaunu vērtību.
Cik atceros no 3. klases matemātikas kursa, lai atņemtu daļskaitļus ar dažādiem saucējiem, vispirms ir jāsarēķina kopsaucējs un jāatved līdz tam, un tad skaitītājus vienkārši atņem vienu no otra un saucējs paliek tāds kopsaucējs.
Lai atņemtu daļskaitļus ar dažādiem saucējiem, vispirms ir jāatrod šo daļu mazākais kopsaucējs.
Apskatīsim piemēru:
Sadaliet vairāk 25 līdz mazāk nekā 20. Nedalās. Tātad saucēju 25 reizinām ar tādu skaitli, lai iegūto summu varētu dalīt ar 20. Šis skaitlis būs 4. 25x4 \u003d 100. 100:20=5. Tādējādi mēs atradām mazāko kopsaucēju - 100.
Tagad mums ir jāatrod papildu faktors katrai frakcijai. Lai to izdarītu, mēs sadalām jauno saucēju ar veco.
Reiziniet 9 ar 4 = 36. Reiziniet 7 ar 5 = 35.
Ja ir kopsaucējs, mēs atņemam, kā parādīts piemērā, un iegūstam rezultātu.
Rakstā mēs parādīsim kā atrisināt daļskaitļus ar vienkāršiem skaidriem piemēriem. Sapratīsim, kas ir daļa, un apsvērsim daļskaitļu atrisināšana!
koncepcija frakcijas tiek ieviests matemātikas kursā, sākot no vidusskolas 6. klases.
Daļskaitļi izskatās šādi: ±X / Y, kur Y ir saucējs, tas norāda, cik daļās tika sadalīts veselums, un X ir skaitītājs, tas norāda, cik šādas daļas tika ņemtas. Skaidrības labad ņemsim piemēru ar kūku:
Pirmajā gadījumā kūku sagrieza vienādi un paņēma vienu pusi, t.i. 1/2. Otrajā gadījumā kūka tika sagriezta 7 daļās, no kurām tika ņemtas 4 daļas, t.i. 4/7.
Ja viena skaitļa dalīšanas daļa ar citu nav vesels skaitlis, to raksta kā daļskaitli.
Piemēram, izteiksme 4:2 \u003d 2 dod veselu skaitli, bet 4:7 nav pilnībā dalāms, tāpēc šī izteiksme tiek rakstīta kā daļa 4/7.
Citiem vārdiem sakot frakcija ir izteiksme, kas apzīmē divu skaitļu vai izteiksmju dalījumu un kas ir rakstīta ar slīpsvītru.
Ja skaitītājs ir mazāks par saucēju, daļa ir pareiza, ja otrādi, tā ir nepareiza. Daļa var saturēt veselu skaitli.
Piemēram, 5 veseli 3/4.
Šis ieraksts nozīmē, ka, lai iegūtu visu 6, nepietiek ar vienu daļu no četrām.
Ja vēlaties atcerēties kā risināt daļskaitļus 6. klasei jums tas ir jāsaprot daļskaitļu atrisināšana būtībā ir jāsaprot dažas vienkāršas lietas.
- Daļskaitlis būtībā ir daļskaitļa izteiksme. Tas ir skaitliskā izteiksme cik liela daļa dotās vērtības ir no viena veseluma. Piemēram, daļa 3/5 izsaka to, ka, ja mēs sadalām kaut ko veselu 5 daļās un šī veseluma daļu vai daļu skaits ir trīs.
- Daļa var būt mazāka par 1, piemēram, 1/2 (vai būtībā puse), tad tā ir pareiza. Ja daļa ir lielāka par 1, piemēram, 3/2 (trīs pusītes vai pusotra), tad tas ir nepareizi un, lai vienkāršotu risinājumu, labāk izvēlēties visu daļu 3/2= 1 vesels 1 /2.
- Daļskaitļi ir tādi paši skaitļi kā 1, 3, 10 un pat 100, tikai skaitļi nav veseli, bet daļskaitļi. Ar tiem jūs varat veikt visas tās pašas darbības kā ar cipariem. Daļskaitļu skaitīšana nav grūtāka, un tālāk mēs to parādīsim ar konkrētiem piemēriem.
Kā atrisināt daļskaitļus. Piemēri.
Daļskaitļiem ir piemērojamas dažādas aritmētiskās darbības.
Daļas apvienošana līdz kopsaucējam
Piemēram, jums ir jāsalīdzina daļskaitļi 3/4 un 4/5.
Lai atrisinātu problēmu, vispirms atrodam mazāko kopsaucēju, t.i. mazākais skaitlis, kas bez atlikuma dalās ar katru no daļskaitļu saucējiem
Mazākais kopsaucējs(4.5) = 20
Tad abu daļu saucējs tiek samazināts līdz mazākajam kopsaucējam
Atbilde: 15/20
Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana
Ja nepieciešams aprēķināt divu daļskaitļu summu, tās vispirms saliek līdz kopsaucējam, tad saskaita skaitītājus, saucējam paliekot nemainīgam. Tiek ņemta vērā frakciju atšķirība Tāpat, vienīgā atšķirība ir tā, ka skaitītāji tiek atņemti.
Piemēram, jums jāatrod daļskaitļu 1/2 un 1/3 summa
Tagad atrodiet atšķirību starp daļām 1/2 un 1/4
Daļskaitļu reizināšana un dalīšana
Šeit frakciju risinājums ir vienkāršs, šeit viss ir pavisam vienkāršs:
- Reizināšana - daļskaitļu skaitītāji un saucēji tiek reizināti savā starpā;
- Dalījums - vispirms mēs iegūstam daļskaitli, otrās daļas apgriezto vērtību, t.i. samainām tā skaitītāju un saucēju, pēc tam reizinām iegūtās daļas.
Piemēram:
Par šo par kā atrisināt daļskaitļus, Viss. Ja jums ir kādi jautājumi par daļskaitļu atrisināšana, kaut kas nav skaidrs, tad rakstiet komentāros un mēs jums atbildēsim.
Ja esat skolotājs, ir iespējams lejupielādēt prezentāciju priekš pamatskola(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) noderēs.
Skaitītājs un tas, ar kuru tas tiek dalīts, ir saucējs.
Lai uzrakstītu daļskaitli, vispirms ierakstiet tās skaitītāju, pēc tam zem šī skaitļa novelciet horizontālu līniju un zem rindas ierakstiet saucēju. Horizontālo līniju, kas atdala skaitītāju un saucēju, sauc par daļskaitļu joslu. Dažreiz tas tiek attēlots kā slīps "/" vai "∕". Šajā gadījumā skaitītājs tiek rakstīts pa kreisi no rindas, bet saucējs - pa labi. Tātad, piemēram, daļa "divas trešdaļas" tiks uzrakstīta kā 2/3. Skaidrības labad skaitītāju parasti raksta rindas augšpusē, bet saucēju - apakšā, tas ir, 2/3 vietā var atrast: ⅔.
Lai aprēķinātu daļu reizinājumu, vispirms reiziniet skaitītāju ar vienu frakcijas uz citu skaitītāju. Ierakstiet rezultātu jaunā skaitītājā frakcijas. Pēc tam reiziniet arī saucējus. Norādiet galīgo vērtību jaunajā frakcijas. Piemēram, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Lai dalītu vienu daļu ar citu, vispirms reiziniet pirmās daļas skaitītāju ar otrās saucēju. Dariet to pašu ar otro daļu (dalītāju). Vai arī pirms visu darbību veikšanas vispirms “apgrieziet” dalītāju, ja tas jums ir ērtāk: saucējam ir jābūt skaitītāja vietā. Pēc tam reiziniet dividendes saucēju ar jauno dalītāja saucēju un reiziniet skaitītājus. Piemēram, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).
Avoti:
- Pamatuzdevumi frakcijām
Daļskaitļi ļauj izteikties atšķirīga forma precīza daudzuma vērtība. To pašu var izdarīt ar frakcijām. matemātiskās operācijas, tāpat kā ar veseliem skaitļiem: atņemšana, saskaitīšana, reizināšana un dalīšana. Lai iemācītos pieņemt lēmumu frakcijas, ir jāatceras dažas to funkcijas. Tie ir atkarīgi no veida frakcijas, veselas skaitļa daļas klātbūtne, kopsaucējs. Dažām aritmētiskajām darbībām pēc izpildes ir jāsamazina rezultāta daļēja daļa.
Jums būs nepieciešams
- - kalkulators
Instrukcija
Uzmanīgi apskatiet skaitļus. Ja starp daļskaitļiem ir decimāldaļas un neregulāras, dažreiz ir ērtāk vispirms veikt darbības ar decimāldaļām un pēc tam pārvērst tās nepareizā formā. Vai vari iztulkot frakcijasšajā formā sākotnēji skaitītājā ierakstot vērtību aiz komata un saucējā ieliekot 10. Ja nepieciešams, samaziniet daļu, dalot skaitļus virs un zemāk ar vienu dalītāju. Daļskaitļi, kuros izceļas visa daļa, noved pie nepareizas formas, reizinot to ar saucēju un rezultātam pievienojot skaitītāju. Dotās vērtības kļūs par jauno skaitītāju frakcijas. Lai izvilktu visu daļu no sākotnēji nepareizās frakcijas, daliet skaitītāju ar saucēju. Uzrakstiet visu rezultātu no frakcijas. Un atlikusī dalījuma daļa kļūst par jauno skaitītāju, saucēju frakcijas kamēr nemainās. Daļdaļām ar veselu skaitļu daļu ir iespējams veikt darbības atsevišķi, vispirms ar veselu skaitli un pēc tam ar daļskaitļu daļām. Piemēram, var aprēķināt summu 1 2/3 un 2 ¾:
- Daļskaitļu pārvēršana nepareizā formā:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- terminu veselu skaitļu un daļēju daļu summēšana atsevišķi:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Pārrakstiet tos, izmantojot atdalītāju ":" un turpiniet parasto dalīšanu.
Lai iegūtu gala rezultātu, samaziniet iegūto daļu, dalot skaitītāju un saucēju ar vienu veselu skaitli, kas šajā gadījumā ir lielākais iespējamais. Šajā gadījumā virs un zem līnijas ir jābūt veseliem skaitļiem.
Piezīme
Neveiciet aritmētiku ar daļskaitļiem, kuriem ir dažādi saucēji. Izvēlieties tādu skaitli, lai, reizinot ar to katras daļas skaitītāju un saucēju, abu daļu saucēji būtu vienādi.
Rakstot daļskaitļus, dividende tiek rakstīta virs līnijas. Šo daudzumu sauc par daļdaļas skaitītāju. Zem rindas tiek uzrakstīts daļskaitļa dalītājs vai saucējs. Piemēram, pusotru kilogramu rīsu frakcijas veidā rakstīs šādi: 1 ½ kg rīsu. Ja daļskaitļa saucējs ir 10, to sauc par decimālo daļu. Šajā gadījumā skaitītāju (dividende) raksta pa labi no visas daļas, atdalot to ar komatu: 1,5 kg rīsu. Aprēķinu ērtībai šādu daļu vienmēr var uzrakstīt nepareizā formā: 1 2/10 kg kartupeļu. Lai vienkāršotu, varat samazināt skaitītāja un saucēja vērtības, dalot tās ar vienu veselu skaitli. IN šis piemērs iespējams dalīt ar 2. Rezultāts būs 1 1/5 kg kartupeļu. Pārliecinieties, vai skaitļi, ar kuriem plānojat veikt aritmētiku, ir tādā pašā formā.
Kā jūs zināt no matemātikas, daļskaitlis sastāv no skaitītāja un saucēja. Skaitītājs atrodas augšpusē un saucējs apakšā.
Ir diezgan vienkārši veikt matemātiskas darbības, saskaitot vai atņemot daļskaitļus ar vienu un to pašu saucēju. Jums tikai jāspēj saskaitīt vai atņemt skaitļus skaitītājā (augšējā), un tas pats apakšējais skaitlis paliek nemainīgs.
Piemēram, ņemsim daļskaitli 7/9, šeit:
- cipars "septiņi" augšpusē ir skaitītājs;
- zemāk esošais skaitlis "deviņi" ir saucējs.
1. piemērs. Papildinājums:
5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.
2. piemērs. Atņemšana:
6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.
Vienkāršu daļskaitļu vērtību atņemšana, kurām ir atšķirīgs saucējs
Lai veiktu matemātisko darbību, lai atņemtu vērtības, kurām ir atšķirīgs saucējs, vispirms tās ir jāsavieno līdz kopsaucējam. Veicot šo uzdevumu, ir jāievēro noteikums, ka šim kopsaucējam ir jābūt mazākajam no visiem iespējas.
3. piemērs
Doti divi vienkārši lielumi ar dažādiem saucējiem (mazākiem skaitļiem): 7/8 un 2/9.
Atņemiet otro no pirmās vērtības.
Risinājums sastāv no vairākiem posmiem:
1. Atrodiet kopējo zemāko skaitli, t.i. to, kas dalās gan ar pirmās, gan otrās daļas mazāko vērtību. Tas būs cipars 72, jo tas ir skaitļu "astoņi" un "deviņi" reizinājums.
2. Katras frakcijas apakšējais cipars ir palielinājies:
- skaitlis "astoņi" daļā 7/8 palielināts deviņas reizes - 8*9=72;
- skaitlis "deviņi" daļdaļā 2/9 palielinājies astoņas reizes - 9*8=72.
3. Ja ir mainījies saucējs (apakšējais skaitlis), tad jāmaina arī skaitītājs (augšējais skaitlis). Saskaņā ar esošo matemātisko likumu augšējais skaitlis ir jāpalielina tieši par tādu pašu summu kā apakšējais. Tas ir:
- skaitītāju "septiņi" pirmajā daļdaļā (7/8) reizina ar skaitli "deviņi" - 7*9=63;
- skaitītāju "divi" otrajā daļdaļā (2/9) reizina ar skaitli "astoņi" - 2*8=16.
4. Darbību rezultātā ieguvām divas jaunas vērtības, kas tomēr ir identiskas sākotnējām.
- pirmais: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
- otrā: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.
5. Tagad ir atļauts atņemt vienu daļskaitlis no cita:
7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?
6. Veicot šo darbību, mēs atgriežamies pie tēmas par daļskaitļu atņemšanu ar tādiem pašiem mazākiem skaitļiem (saucējiem). Un tas nozīmē, ka atņemšanas darbība tiks veikta no augšas, skaitītājā, un zemākais skaitlis tiek pārsūtīts bez izmaiņām.
63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.
7/8−2/9 = 47/72.
4. piemērs
Sarežģīsim problēmu, risināšanai paņemot vairākas daļskaitļus ar dažādiem, bet vairākiem cipariem apakšā.
Dotās vērtības: 5/6; 1/3; 1/12; 24.07.
Tie ir jāatņem viens no otra šādā secībā.
1. Iepriekš norādītajā veidā mēs apvienojam daļskaitļus līdz kopsaucējam, kas būs skaitlis "24":
- 5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
- 1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
- 1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.
7/24 - mēs atstājam šo pēdējo vērtību nemainīgu, jo saucējs ir kopējais skaitlis "24".
2. Atņemiet visas vērtības:
20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.
3. Tā kā iegūtās daļas skaitītājs un saucējs dalās ar vienu skaitli, tos var samazināt, dalot ar skaitli "trīs":
3:3 / 24:3 = 1/8.
4. Mēs rakstām atbildi šādi:
5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.
5. piemērs
Dotas trīs daļskaitļi ar nedaudzkārtējiem saucējiem: 3/4; 2/7; 1/13.
Jums ir jāatrod atšķirība.
1. Mēs apvienojam pirmos divus skaitļus līdz kopsaucējam, tas būs skaitlis "28":
- ¾ \u003d 3 * 7 / 4 * 7 \u003d 21/28;
- 2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.
2. Atņemiet pirmās divas daļskaitļus savā starpā:
¾−2/7 = 21/28−8/28 = (21−8) / 28 = 13/28.
3. No iegūtās vērtības atņemiet trešo doto daļu:
4. Savedam skaitļus līdz kopsaucējam. Ja nav iespējams atrast vienu un to pašu saucēju vairāk nekā vieglākais veids, tad jums vienkārši jāveic darbības, secīgi reizinot visus saucējus vienu ar otru, neaizmirstot palielināt skaitītāja vērtību par to pašu skaitli. Šajā piemērā mēs rīkojamies šādi:
- 13/28 \u003d 13 * 13 / 28 * 13 \u003d 169/364, kur 13 ir apakšējais cipars no 5/13;
- 5/13 \u003d 5 * 28 / 13 * 28 \u003d 140/364, kur 28 ir apakšējais cipars no 13/28.
5. Atņemiet iegūtās daļas:
13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.
Atbilde: ¾-2/7-5/13 = 29/364.
Jaukti daļskaitļi
Iepriekš apskatītajos piemēros tika izmantotas tikai pareizās frakcijas.
Kā piemērs:
- 8/9 ir pareiza daļa;
- 9/8 ir nepareizi.
Nepareizu frakciju nav iespējams pārvērst par pareizu, bet ir iespējams sajaukts. Kāpēc augšējais skaitlis (skaitītājs) tiek dalīts ar apakšējo skaitli (saucējs), lai iegūtu skaitli ar atlikumu. Dalīšanas rezultātā iegūtais veselais skaitlis tiek ierakstīts šādā veidā, atlikums tiek ierakstīts skaitītājā augšpusē, un saucējs, kas atrodas apakšā, paliek nemainīgs. Lai padarītu to skaidrāku, apsveriet konkrēts piemērs:
6. piemērs
Mēs pārvēršam nepareizo daļu 9/8 pareizajā.
Lai to izdarītu, skaitlis "deviņi" tiek dalīts ar "astoņiem", mēs iegūstam rezultātu jauktā frakcija ar veselu skaitli un atlikumu:
9: 8 = 1 un 1/8 (citā veidā to var uzrakstīt kā 1 + 1/8), kur:
- skaitlis 1 ir dalīšanas rezultātā iegūts vesels skaitlis;
- cits cipars 1 - atlikums;
- cipars 8 ir saucējs, kas palicis nemainīgs.
Veselu skaitli sauc arī par naturālu skaitli.
Atlikums un saucējs ir jauna, bet jau pareiza daļa.
Rakstot skaitli 1, to raksta pirms pareizās daļskaitļa 1/8.
Jauktu skaitļu atņemšana ar dažādiem saucējiem
No iepriekš minētā mēs sniedzam jaukta daļskaitļa definīciju: "Jaukts numurs ir vērtība, kas ir vienāda ar vesela skaitļa un pareizā skaitļa summu kopējā frakcija. Šajā gadījumā tiek saukta visa daļa dabiskais skaitlis , un atlikušajā daļā esošais skaitlis ir tā daļēja daļa».
7. piemērs
Dots: divi jaukti daļskaitļi, kas sastāv no vesela skaitļa un pareizas daļskaitļa:
- pirmā vērtība ir 9 un 4/7, tas ir, (9 + 4/7);
- otrā vērtība ir 3 un 5/21, t.i., (3+5/21).
Ir jāatrod atšķirība starp šīm vērtībām.
1. Lai no 9+4/7 atņemtu 3+5/21, vispirms viena no otras ir jāatņem veselu skaitļu vērtības:
4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.
3. Divu jauktu skaitļu starpības rezultāts sastāvēs no naturāla (vesela) skaitļa 6 un pareizas daļskaitļa 7/21 = 1/3:
(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.
Visu valstu matemātiķi ir vienojušies, ka “+” zīmi, rakstot jauktos lielumus, var izlaist un atstāt tikai veselo skaitli daļskaitļa priekšā bez zīmes.