Rakstā mēs parādīsim kā atrisināt daļskaitļus ar vienkāršiem skaidriem piemēriem. Sapratīsim, kas ir daļa, un apsvērsim daļskaitļu atrisināšana!

koncepcija frakcijas tiek ieviests matemātikas kursā, sākot no vidusskolas 6. klases.

Daļskaitļi izskatās šādi: ±X / Y, kur Y ir saucējs, tas norāda, cik daļās tika sadalīts veselums, un X ir skaitītājs, tas norāda, cik šādas daļas tika ņemtas. Skaidrības labad ņemsim piemēru ar kūku:

Pirmajā gadījumā kūku sagrieza vienādi un paņēma vienu pusi, t.i. 1/2. Otrajā gadījumā kūka tika sagriezta 7 daļās, no kurām tika ņemtas 4 daļas, t.i. 4/7.

Ja viena skaitļa dalīšanas daļa ar citu nav vesels skaitlis, to raksta kā daļskaitli.

Piemēram, izteiksme 4:2 \u003d 2 dod veselu skaitli, bet 4:7 nav pilnībā dalāms, tāpēc šī izteiksme tiek rakstīta kā daļa 4/7.

Citiem vārdiem sakot frakcija ir izteiksme, kas apzīmē divu skaitļu vai izteiksmju dalījumu un kas ir rakstīta ar slīpsvītru.

Ja skaitītājs ir mazāks par saucēju, daļa ir pareiza, ja otrādi, tā ir nepareiza. Daļa var saturēt veselu skaitli.

Piemēram, 5 veseli 3/4.

Šis ieraksts nozīmē, ka, lai iegūtu visu 6, nepietiek ar vienu daļu no četrām.

Ja vēlaties atcerēties kā risināt daļskaitļus 6. klasei jums tas ir jāsaprot daļskaitļu atrisināšana būtībā ir jāsaprot dažas vienkāršas lietas.

• Daļskaitlis būtībā ir daļskaitļa izteiksme. Tas ir skaitliskā izteiksme kāda ir daļa dotā vērtība no viena veseluma. Piemēram, daļa 3/5 izsaka to, ka, ja mēs sadalām kaut ko veselu 5 daļās un šī veseluma daļu vai daļu skaits ir trīs.
• Daļa var būt mazāka par 1, piemēram, 1/2 (vai būtībā puse), tad tā ir pareiza. Ja daļa ir lielāka par 1, piemēram, 3/2 (trīs pusītes vai pusotra), tad tas ir nepareizi un, lai vienkāršotu risinājumu, labāk izvēlēties visu daļu 3/2= 1 vesels 1 /2.
• Daļskaitļi ir tādi paši skaitļi kā 1, 3, 10 un pat 100, tikai skaitļi nav veseli, bet daļskaitļi. Ar tiem jūs varat veikt visas tās pašas darbības kā ar cipariem. Daļskaitļu skaitīšana nav grūtāka, un tālāk konkrēti piemēri mēs to parādīsim.

Kā atrisināt daļskaitļus. Piemēri.

Daļskaitļiem ir piemērojamas dažādas aritmētiskās darbības.

Daļas apvienošana līdz kopsaucējam

Piemēram, jums ir jāsalīdzina daļskaitļi 3/4 un 4/5.

Lai atrisinātu problēmu, vispirms atrodam mazāko kopsaucēju, t.i. mazākais skaitlis, kas bez atlikuma dalās ar katru no daļskaitļu saucējiem

Mazākais kopsaucējs(4.5) = 20

Tad abu daļu saucējs tiek samazināts līdz mazākajam kopsaucējs

Atbilde: 15/20

Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana

Ja nepieciešams aprēķināt divu daļskaitļu summu, tās vispirms saliek līdz kopsaucējam, tad saskaita skaitītājus, saucējam paliekot nemainīgam. Tiek ņemta vērā frakciju atšķirība Tāpat, vienīgā atšķirība ir tā, ka skaitītāji tiek atņemti.

Piemēram, jums jāatrod daļskaitļu 1/2 un 1/3 summa

Tagad atrodiet atšķirību starp daļām 1/2 un 1/4

Daļskaitļu reizināšana un dalīšana

Šeit frakciju risinājums ir vienkāršs, šeit viss ir pavisam vienkāršs:

• Reizināšana - daļskaitļu skaitītāji un saucēji tiek reizināti savā starpā;
• Dalījums - vispirms mēs iegūstam daļskaitli, otrās daļas apgriezto vērtību, t.i. samainām tā skaitītāju un saucēju, pēc tam reizinām iegūtās daļas.

Piemēram:

Par šo par kā atrisināt daļskaitļus, viss. Ja jums ir kādi jautājumi par daļskaitļu atrisināšana, kaut kas nav skaidrs, tad rakstiet komentāros un mēs jums atbildēsim.

Ja esat skolotājs, ir iespējams lejupielādēt prezentāciju priekš pamatskola(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) noderēs.

Runājot par matemātiku, nevar neatcerēties daļskaitļus. Viņu pētījumam tiek veltīta liela uzmanība un laiks. Atcerieties, cik daudz piemēru jums bija jāatrisina, lai uzzinātu noteiktus noteikumus darbam ar daļskaitļiem, kā iegaumējāt un pielietojāt daļskaitļa galveno īpašību. Cik daudz nervu tika tērēts, lai atrastu kopsaucēju, it īpaši, ja piemēros bija vairāk nekā divi termini!

Atcerēsimies, kas tas ir, un nedaudz atsvaidzināsim atmiņu par pamatinformāciju un noteikumiem darbam ar daļskaitļiem.

Daļskaitļu definīcija

Sāksim ar pašu svarīgāko – definīcijām. Daļa ir skaitlis, kas sastāv no vienas vai vairākām vienības daļām. Daļskaitli raksta kā divus skaitļus, kas atdalīti ar horizontālu vai slīpsvītru. Šajā gadījumā augšējo (vai pirmo) sauc par skaitītāju, bet apakšējo (otro) sauc par saucēju.

Ir vērts atzīmēt, ka saucējs parāda, cik daļās vienība ir sadalīta, un skaitītājs parāda paņemto akciju vai daļu skaitu. Bieži vien daļskaitļi, ja tie ir pareizi, ir mazāki par vienu.

Tagad apskatīsim šo skaitļu īpašības un pamatnoteikumus, kas tiek izmantoti, strādājot ar tiem. Bet pirms mēs analizējam tādu jēdzienu kā "racionālas frakcijas galvenā īpašība", parunāsim par frakciju veidiem un to iezīmēm.

Kas ir frakcijas

Ir vairāki šādu skaitļu veidi. Pirmkārt, tās ir parastās un decimāldaļas. Pirmie ir ieraksta veids, ko mēs jau esam norādījuši, izmantojot horizontālu vai slīpsvītru. Otrā veida daļskaitļi tiek norādīti, izmantojot tā saukto pozicionālo apzīmējumu, kad vispirms tiek norādīta skaitļa veselā daļa, bet pēc tam pēc komata tiek norādīta daļskaitļa daļa.

Šeit ir vērts atzīmēt, ka matemātikā vienlīdz tiek izmantotas gan decimāldaļas, gan parastās daļas. Daļas galvenā īpašība ir derīga tikai otrajam variantam. Turklāt parastajās daļās izšķir pareizos un nepareizos skaitļus. Pirmajam skaitītājs vienmēr ir mazāks par saucēju. Ņemiet vērā arī to, ka šāda daļa ir mazāka par vienību. Gluži pretēji, nepareizā daļskaitlī skaitītājs ir lielāks par saucēju, un tas pats ir lielāks par vienu. Šajā gadījumā no tā var iegūt veselu skaitli. Šajā rakstā mēs aplūkosim tikai parastās frakcijas.

Frakciju īpašības

Jebkurai parādībai, ķīmiskai, fizikālai vai matemātiskai, ir savas īpašības un īpašības. Daļskaitļi nav izņēmums. Viņiem ir viena svarīga īpašība, ar kuras palīdzību ar tiem iespējams veikt noteiktas darbības. Kāda ir frakcijas galvenā īpašība? Noteikums saka, ka, ja tā skaitītāju un saucēju reizina vai dala ar vienu un to pašu racionālo skaitli, mēs iegūsim jaunu daļskaitli, kuras vērtība būs vienāda ar sākotnējo vērtību. Tas ir, reizinot abas daļskaitļa 3/6 daļas ar 2, mēs iegūstam jaunu daļu 6/12, kamēr tās būs vienādas.

Pamatojoties uz šo īpašību, varat samazināt daļskaitļus, kā arī atlasīt kopsaucējus konkrētam skaitļu pārim.

Operācijas

Lai gan daļskaitļi mums šķiet sarežģītāki, ar tiem var veikt arī pamata matemātiskas darbības, piemēram, saskaitīšanu un atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu. Turklāt ir tāda specifiska darbība kā frakciju samazināšana. Protams, katra no šīm darbībām tiek veikta saskaņā ar noteiktiem noteikumiem. Zinot šos likumus, ir vieglāk strādāt ar daļskaitļiem, padarot to vieglāku un interesantāku. Tāpēc turpmāk mēs apsvērsim pamatnoteikumus un darbību algoritmu, strādājot ar šādiem skaitļiem.

Bet pirms mēs runājam par tādām matemātiskām darbībām kā saskaitīšana un atņemšana, mēs analizēsim tādu darbību kā samazināšana līdz kopsaucējam. Šeit noderēs zināšanas par to, kāda daļskaitļa pamatīpašība pastāv.

Kopsaucējs

Lai reducētu skaitli līdz kopsaucējam, vispirms jāatrod abu saucēju mazākais kopīgais daudzkārtnis. Tas ir, mazākais skaitlis, kas vienlaikus dalās ar abiem saucējiem bez atlikuma. Vienkāršākais veids, kā atrast LCM (vismazāko kopskaitu), ir ierakstīt rindā vienam saucējam, pēc tam otrajam un atrast starp tiem atbilstošu skaitli. Gadījumā, ja LCM netiek atrasts, tas ir, šiem skaitļiem nav kopēja reizinājuma, tie ir jāreizina un iegūtā vērtība jāuzskata par LCM.

Tātad, mēs esam atraduši LCM, tagad mums ir jāatrod papildu reizinātājs. Lai to izdarītu, LCM ir pārmaiņus jāsadala frakciju saucējos un katrā no tiem jāpieraksta iegūtais skaitlis. Pēc tam reiziniet skaitītāju un saucēju ar iegūto papildu koeficientu un ierakstiet rezultātus kā jaunu daļskaitli. Ja šaubāties, ka saņemtais skaitlis ir vienāds ar iepriekšējo, atcerieties daļskaitļa galveno īpašību.

Papildinājums

Tagad pāriesim tieši uz matemātiskām darbībām ar daļskaitļiem. Sāksim ar vienkāršāko. Ir vairākas frakciju pievienošanas iespējas. Pirmajā gadījumā abiem skaitļiem ir vienāds saucējs. Šajā gadījumā atliek tikai saskaitīt skaitītājus. Bet saucējs nemainās. Piemēram, 1/5 + 3/5 = 4/5.

Ja frakcijas dažādi saucēji, jums vajadzētu tos samazināt līdz kopējam un tikai pēc tam veikt pievienošanu. Kā to izdarīt, mēs ar jums apspriedām nedaudz augstāk. Šajā situācijā noderēs galvenā frakcijas īpašība. Noteikums ļaus jums apvienot skaitļus līdz kopsaucējam. Vērtība nekādā veidā nemainīsies.

Alternatīvi var gadīties, ka frakcija tiek sajaukta. Tad vispirms jāsaskaita veselās daļas un pēc tam daļējās daļas.

Reizināšana

Tam nav nepieciešami nekādi triki, un, lai veiktu šo darbību, nav jāzina daļskaitļa pamatīpašība. Pietiek vispirms skaitītājus un saucējus reizināt kopā. Šajā gadījumā skaitītāju reizinājums kļūs par jauno skaitītāju, un saucēju reizinājums kļūs par jauno saucēju. Kā redzat, nekas sarežģīts.

Vienīgais, kas no jums tiek prasīts, ir zināšanas par reizināšanas tabulu, kā arī uzmanīgums. Turklāt pēc rezultāta saņemšanas noteikti jāpārbauda, ​​vai šo skaitli var vai nevar samazināt. Par to, kā samazināt frakcijas, mēs runāsim nedaudz vēlāk.

Atņemšana

Veicot izpildi, jāvadās pēc tiem pašiem noteikumiem kā pievienojot. Tātad skaitļos ar vienādu saucēju pietiek atņemt apakšrindas skaitītāju no minuenda skaitītāja. Ja daļām ir dažādi saucēji, tie jāsamazina līdz kopējam un pēc tam jāveic šī darbība. Tāpat kā analogā pievienošanas gadījumā, jums būs jāizmanto galvenais rekvizīts algebriskā daļa, kā arī prasmes atrast NOC un kopīgie dalītāji frakcijām.

Divīzija

Un pēdējā, interesantākā darbība, strādājot ar šādiem skaitļiem, ir dalīšana. Tas ir diezgan vienkārši un nesagādā īpašas grūtības pat tiem, kuri neprot strādāt ar daļskaitļiem, it īpaši veikt saskaitīšanas un atņemšanas darbības. Dalot, šāds noteikums tiek piemērots kā reizināšana ar apgriezto daļskaitli. Daļas galvenā īpašība, tāpat kā reizināšanas gadījumā, šai darbībai netiks izmantota. Apskatīsim tuvāk.

Dalot skaitļus, dividende paliek nemainīga. Dalītājs ir apgriezts, t.i., skaitītājs un saucējs ir apgriezti. Pēc tam skaitļi tiek reizināti viens ar otru.

Samazinājums

Tātad, mēs jau esam izpētījuši daļskaitļu definīciju un struktūru, to veidus, darbību noteikumus ar dotajiem skaitļiem un noskaidrojām algebriskās daļas galveno īpašību. Tagad parunāsim par tādu darbību kā samazināšana. Daļas samazināšana ir tās pārvēršanas process – skaitītāja un saucēja dalīšana ar to pašu skaitli. Tādējādi frakcija tiek samazināta, nemainot tās īpašības.

Parasti gatavojot matemātiskā darbība jums rūpīgi jāaplūko beigās iegūtais rezultāts un jānoskaidro, vai ir iespējams samazināt iegūto daļu vai nē. Atcerieties, ka gala rezultāts vienmēr tiek rakstīts kā daļskaitlis, kas nav jāsamazina.

Citas operācijas

Visbeidzot, mēs atzīmējam, ka mēs esam uzskaitījuši ne visas darbības ar daļskaitļiem, minot tikai slavenākās un nepieciešamākās. Daļskaitļus var arī salīdzināt, pārvērst decimāldaļās un otrādi. Bet šajā rakstā mēs šīs darbības neapskatījām, jo ​​matemātikā tās tiek veiktas daudz retāk nekā tās, kuras mēs esam snieguši iepriekš.

secinājumus

Mēs esam runājuši par daļskaitļi un darījumi ar tiem. Mēs arī analizējām galveno īpašumu, taču atzīmējam, ka visus šos jautājumus mēs izskatījām garāmejot. Esam devuši tikai zināmākos un lietotākos noteikumus, esam devuši svarīgākos, mūsuprāt, padomus.

Šis raksts ir paredzēts, lai atsvaidzinātu informāciju, kuru esat aizmirsis par daļskaitļiem, nevis sniegt jaunu informāciju un "piepildīt" galvu ar nebeidzamiem noteikumiem un formulām, kas, visticamāk, jums nebūs noderīgas.

Mēs ceram, ka rakstā sniegtais materiāls vienkārši un kodolīgi ir kļuvis jums noderīgs.

Mēs dzīvē sastopamies ar frakcijām daudz agrāk, nekā viņi sāk mācīties skolā. Ja jūs sagriežat veselu ābolu uz pusēm, mēs iegūstam augļu gabalu - ½. Izgrieziet to vēlreiz - tas būs ¼. Šīs ir frakcijas. Un viss, šķiet, ir vienkārši. Pieaugušam cilvēkam. Bērnam (un šo tēmu sāk pētīt pamatskolas beigās), abstrakts matemātiskie jēdzieni joprojām ir biedējoši nesaprotami, un skolotājam pieejamā veidā jāpaskaidro, kas ir pareiza un nepareiza daļdaļa, parastā un decimāldaļa, kādas darbības ar tām var veikt un, galvenais, kāpēc tas viss ir vajadzīgs.

Kas ir frakcijas

Iepazans ar jauna tēma skolā sākas ar parastajām daļskaitļiem. Tos ir viegli atpazīt pēc horizontālās līnijas, kas atdala divus ciparus — augšā un apakšā. Augšējo daļu sauc par skaitītāju, apakšējo par saucēju. Pastāv arī nepareizu un pareizu parasto daļskaitļu mazo burtu pareizrakstība — ar slīpsvītru, piemēram: ½, 4/9, 384/183. Šī opcija tiek izmantota, ja rindas augstums ir ierobežots un nav iespējams piemērot ieraksta "divstāvu" formu. Kāpēc? Jā, jo tā ir ērtāk. Nedaudz vēlāk mēs to pārbaudīsim.

Papildus parastajām ir arī decimāldaļskaitļi. Atšķirt tos ir ļoti vienkārši: ja vienā gadījumā tiek izmantota horizontāla vai slīpsvītra, tad otrā - komats, kas atdala skaitļu virknes. Apskatīsim piemēru: 2.9; 163,34; 1.953. Mēs apzināti izmantojām semikolu kā atdalītāju, lai norobežotu skaitļus. Pirmais no tiem tiks lasīts šādi: "divas veselas, deviņas desmitdaļas".

Jauni jēdzieni

Atgriezīsimies pie parastajām daļskaitļiem. Tie ir divu veidu.

Pareizas daļskaitļa definīcija ir šāda: tā ir tāda daļa, kuras skaitītājs ir mazāks par saucēju. Kāpēc tas ir svarīgi? Tagad redzēsim!

Jums ir vairāki āboli, kas sagriezti uz pusēm. Kopā - 5 daļas. Kā jūs sakāt: jums ir "divarpus" vai "piecas sekundes" āboli? Protams, pirmā iespēja izklausās dabiskāk, un, runājot ar draugiem, mēs to izmantosim. Bet, ja jārēķina, cik katrs dabūs augļus, ja uzņēmumā ir pieci cilvēki, pierakstīsim skaitli 5/2 un sadalīsim ar 5 - no matemātikas viedokļa tas būs skaidrāk.

Tātad, lai nosauktu pareizo un nepareizās frakcijas noteikums ir šāds: ja vesela skaitļa daļu var atšķirt daļdaļā (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), tad tas ir nepareizi. Ja to nevar izdarīt, piemēram, ½, 13/16, 9/10 gadījumā, tas būs pareizi.

Daļas pamatīpašība

Ja daļskaitļa skaitītāju un saucēju vienlaikus reizina vai dala ar vienu un to pašu skaitli, tā vērtība nemainīsies. Iedomājieties: kūka tika sagriezta 4 vienādās daļās, un viņi jums iedeva vienu. To pašu kūku sagrieza astoņos gabalos un iedeva jums divus. Vai tas viss nav vienāds? Galu galā ¼ un 2/8 ir viens un tas pats!

Samazinājums

Problēmu un piemēru autori matemātikas mācību grāmatās bieži mēģina mulsināt skolēnus, piedāvājot daļskaitļus, kuru rakstīšana ir apgrūtinoša un kuras faktiski var samazināt. Šeit ir pareizas daļskaitļa piemērs: 167/334, kas, šķiet, izskatās ļoti "biedējoši". Bet patiesībā mēs to varam rakstīt kā ½. Skaitlis 334 dalās ar 167 bez atlikuma - veicot šo darbību, mēs iegūstam 2.

jaukti skaitļi

Nepareizu daļskaitli var attēlot kā jauktu skaitli. Tas ir tad, kad visa daļa tiek pacelta uz priekšu un uzrakstīta horizontālās līnijas līmenī. Faktiski izteiksme izpaužas kā summa: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 un tā tālāk.

Lai izņemtu visu daļu, skaitītājs jāsadala ar saucēju. Ierakstiet dalījuma atlikumu virs līnijas un visu daļu pirms izteiksmes. Tādējādi mēs iegūstam divas strukturālās daļas: veselas vienības + pareiza daļa.

Varat arī veikt apgriezto darbību - šim nolūkam veselā skaitļa daļa jāreizina ar saucēju un iegūtā vērtība jāpievieno skaitītājam. Nekas sarežģīts.

Reizināšana un dalīšana

Savādi, bet daļskaitļu reizināšana ir vienkāršāka nekā to pievienošana. Viss, kas nepieciešams, ir pagarināt horizontālo līniju: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Ar dalīšanu viss ir arī vienkāršs: jums ir jāreizina daļskaitļi šķērsām: (7/8) / (14/15) \u003d 7 * 15 / 8 * 14 \u003d 15/16.

Frakciju pievienošana

Ko darīt, ja nepieciešams veikt saskaitīšanu vai un to saucējā dažādi skaitļi? Tas nedarbosies tāpat kā ar reizināšanu - šeit vajadzētu saprast pareizas daļskaitļa definīciju un tās būtību. Ir nepieciešams apvienot terminus līdz kopsaucējam, tas ir, vieniem un tiem pašiem skaitļiem jāparādās abu daļskaitļu apakšā.

Lai to izdarītu, jums vajadzētu izmantot daļskaitļa pamatīpašību: reiziniet abas daļas ar vienu un to pašu skaitli. Piemēram, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Kā izvēlēties, uz kuru saucēju pārnest terminus? Tam ir jābūt abu saucēju mazākajam daudzkārtnim: 1/3 un 1/9 tas būs 9; par ½ un 1/7 - 14, jo nav mazākas vērtības, kas dalās ar 2 un 7 bez atlikuma.

Lietošana

Kam domātas nepareizās frakcijas? Galu galā ir daudz ērtāk uzreiz atlasīt visu daļu, iegūt jauktu numuru - un viss! Izrādās, ja nepieciešams reizināt vai dalīt divas daļas, izdevīgāk ir izmantot nepareizās.

Ņemsim šādu piemēru: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Šķiet, ka vispār nav ko griezt. Bet ko darīt, ja pievienošanas rezultātu ierakstīsim pirmajās iekavās kā nepareizu daļskaitli? Skatieties: (37/17) / (37/68)

Tagad viss nostājas savās vietās! Rakstīsim piemēru tā, lai viss kļūtu acīmredzams: (37 * 68) / (17 * 37).

Samazināsim 37 skaitītājā un saucējā un visbeidzot sadalīsim augšējo un apakšējo daļu ar 17. Vai atceraties pamatnoteikumu pareizajām un nepareizajām daļskaitļiem? Mēs varam tos reizināt un dalīt ar jebkuru skaitli, ja vien mēs to darām vienlaikus ar skaitītāju un saucēju.

Tātad, mēs saņemam atbildi: 4. Piemērs izskatījās sarežģīts, un atbildē ir tikai viens cipars. Tas bieži notiek matemātikā. Galvenais ir nebaidīties un ievērot vienkāršus noteikumus.

Biežākās kļūdas

Vingrojot skolēns var viegli pieļaut kādu no populārām kļūdām. Parasti tie rodas neuzmanības dēļ, un dažreiz tāpēc, ka pētītais materiāls vēl nav pareizi nogulsnēts galvā.

Bieži vien skaitļu summa skaitītājā izraisa vēlmi samazināt tā atsevišķās sastāvdaļas. Pieņemsim, ka piemērā: (13 + 2) / 13, rakstīts bez iekavām (ar horizontālu līniju), daudzi skolēni pieredzes trūkuma dēļ izsvītro 13 no augšas un apakšas. Bet nekādā gadījumā to nevajadzētu darīt, jo tā ir kļūda! Ja saskaitīšanas vietā būtu reizināšanas zīme, atbildē iegūtu skaitli 2. Bet saskaitot nav pieļaujamas nekādas darbības ar vienu no vārdiem, tikai ar visu summu.

Bērni bieži pieļauj kļūdas, dalot daļskaitļus. Ņemsim divas regulāras nereducējamās daļskaitļus un dalīsim vienu ar otru: (5/6) / (25/33). Students var sajaukt un ierakstīt iegūto izteiksmi kā (5*25) / (6*33). Bet tas būtu noticis ar reizināšanu, un mūsu gadījumā viss būs nedaudz savādāk: (5 * 33) / (6 * 25). Samazinām iespējamo, un atbildē redzēsim 11/10. Iegūto nepareizo daļu rakstām kā decimāldaļu - 1.1.

Iekavas

Atcerieties, ka jebkurā matemātiskā izteiksmē darbību secību nosaka darbības zīmju prioritāte un iekavu klātbūtne. Ja citas lietas ir vienādas, darbību secība tiek skaitīta no kreisās puses uz labo. Tas attiecas arī uz daļskaitļiem - izteiksme skaitītājā vai saucējā tiek aprēķināta stingri saskaņā ar šo noteikumu.

Tas ir rezultāts, dalot vienu skaitli ar citu. Ja tie nesadalās pilnībā, izrādās daļa - tas arī viss.

Kā datorā uzrakstīt daļskaitli

Tā kā standarta rīki ne vienmēr ļauj izveidot daļu, kas sastāv no diviem "līmeņiem", studenti dažreiz ķeras pie dažādiem trikiem. Piemēram, viņi kopē skaitītājus un saucējus Paint redaktorā un salīmē tos kopā, novelkot horizontālu līniju starp tiem. Protams, ir arī vienkāršāka iespēja, kas, starp citu, nodrošina arī daudz papildu iespēju, kas tev noderēs nākotnē.

Atveriet Microsoft Word. Viens no paneļiem ekrāna augšdaļā tiek saukts par "Ievietot" — noklikšķiniet uz tā. Labajā pusē, tajā pusē, kur atrodas loga aizvēršanas un minimizēšanas ikonas, ir poga Formula. Tas ir tieši tas, kas mums vajadzīgs!

Ja izmantosit šo funkciju, ekrānā parādīsies taisnstūrveida laukums, kurā varēsiet izmantot jebkurus matemātiskos simbolus, kas nav pieejami uz tastatūras, kā arī rakstīt daļskaitļus klasiskā forma. Tas ir, atdalot skaitītāju un saucēju ar horizontālu līniju. Jūs pat varat būt pārsteigts, ka tik pareizu daļskaitli ir tik viegli pierakstīt.

Uzziniet matemātiku

Ja mācies 5.-6.klasē, tad drīzumā matemātikas zināšanas (tai skaitā prasme strādāt ar daļskaitļiem!) būs nepieciešamas daudzos skolas priekšmetos. Gandrīz jebkurā fizikas problēmā, mērot vielu masu ķīmijā, ģeometrijā un trigonometrijā, nevar iztikt bez frakcijām. Drīz jūs iemācīsities visu aprēķināt savā prātā, pat nerakstot izteicienus uz papīra, bet arvien vairāk sarežģīti piemēri. Tāpēc uzziniet, kas ir pareizā daļa un kā ar to strādāt, sekojiet līdzi mācību programmai, izpildiet mājasdarbus laikā, un tad jums veiksies.

Frakcijas

Uzmanību!
Ir papildu
materiāls speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas izteikti "ne ļoti..."
Un tiem, kas "ļoti...")

Frakcijas vidusskolā nav īpaši kaitinošas. Pagaidām. Līdz brīdim, kad jūs saskaraties ar eksponentiem ar racionāliem eksponentiem un logaritmiem. Un tur…. Jūs nospiežat, jūs nospiežat kalkulatoru, un tas parāda visu dažu skaitļu rezultātu tablo. Jādomā ar galvu, kā trešajā klasē.

Beidzot tiksim galā ar daļskaitļiem! Nu cik tajos var apjukt!? Turklāt tas viss ir vienkārši un loģiski. Tātad, kas ir frakcijas?

Frakciju veidi. Pārvērtības.

Frakcijas notiek trīs veidi.

1. Kopējās frakcijas , piemēram:

Dažreiz horizontālas līnijas vietā viņi ieliek slīpsvītru: 1/2, 3/4, 19/5, labi utt. Šeit mēs bieži izmantosim šo pareizrakstību. Tiek izsaukts augšējais numurs skaitītājs, zemāks - saucējs. Ja jūs pastāvīgi sajaucat šos vārdus (tas notiek ...), pasakiet sev frāzi ar izteicienu: " Zzzzz atceries! Zzzzz saucējs - ārā zzzz u!" Skaties, viss paliks atmiņā.)

Svītra, kas ir horizontāla, kas ir slīpa, nozīmē nodaļa augšējais skaitlis (skaitītājs) līdz apakšējam skaitlim (saucējs). Un tas arī viss! Domuzīmes vietā ir pilnīgi iespējams ievietot dalījuma zīmi - divus punktus.

Kad sadalīšana ir pilnībā iespējama, tas ir jādara. Tātad daļskaitļa "32/8" vietā daudz patīkamāk ir rakstīt skaitli "4". Tie. 32 vienkārši dala ar 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Es nerunāju par daļskaitli "4/1". Kas arī ir tikai "4". Un, ja tas pilnībā nesadalās, mēs to atstājam kā daļu. Dažreiz jums ir jādara otrādi. Izveidojiet daļu no vesela skaitļa. Bet vairāk par to vēlāk.

2. Decimālzīmes , piemēram:

Tieši šādā formā būs nepieciešams pierakstīt atbildes uz uzdevumiem "B".

3. jaukti skaitļi , piemēram:

Jauktos skaitļus vidusskolā praktiski neizmanto. Lai ar tiem strādātu, tie jebkādā veidā jāpārvērš parastajās daļās. Bet jums noteikti ir jāzina, kā to izdarīt! Un tad šāds cipars sastapsies mīklā un pakārsies... No nulles. Bet mēs atceramies šo procedūru! Nedaudz zemāk.

Vispusīgākā parastās frakcijas. Sāksim ar viņiem. Starp citu, ja daļskaitlī ir visādi logaritmi, sinusi un citi burti, tas neko nemaina. Tādā ziņā, ka viss darbības ar daļskaitļu izteiksmēm neatšķiras no darbībām ar parastajām daļām!

Daļas pamatīpašība.

Tā nu ejam! Pirmkārt, es jūs pārsteigšu. Visu frakciju pārveidojumu daudzveidību nodrošina viens īpašums! Tā to sauc daļdaļas pamatīpašība. Atcerieties: Ja daļskaitļa skaitītāju un saucēju reizina (dala) ar vienu un to pašu skaitli, daļa nemainīsies. Tie:

Skaidrs, ka var rakstīt tālāk, līdz zils sejā. Neļaujiet sinusiem un logaritmiem jūs sajaukt, mēs ar tiem tiksim galā tālāk. Galvenais ir saprast, ka visi šie dažādie izteicieni ir tā pati frakcija . 2/3.

Un mums tas ir vajadzīgs, visas šīs pārvērtības? Un kā! Tagad jūs redzēsiet paši. Vispirms izmantosim daļskaitļa pamatīpašību for frakciju saīsinājumi. Šķiet, ka lieta ir elementāra. Sadalām skaitītāju un saucēju ar vienu un to pašu skaitli un viss! Nav iespējams kļūdīties! Bet... cilvēks ir radoša būtne. Kļūdīties var visur! It īpaši, ja jāsamazina nevis daļskaitlis kā 5/10, bet daļskaitļa izteiksme ar visādiem burtiem.

Kā pareizi un ātri samazināt frakcijas, neveicot liekus darbus, var uzzināt speciālajā 555. sadaļā.

Normāls skolēns netraucē dalīt skaitītāju un saucēju ar vienu un to pašu skaitli (vai izteiksmi)! Viņš vienkārši izsvītro visu to pašu no augšas un apakšas! Šeit tas slēpjas tipiska kļūda, blooper, ja vēlaties.

Piemēram, jums ir jāvienkāršo izteiksme:

Nav ko domāt, izsvītrojam burtu "a" no augšas un divci no apakšas! Mēs iegūstam:

Viss ir pareizi. Bet tiešām jūs dalījāties viss skaitītājs un viss saucējs "a". Ja esat pieradis vienkārši izsvītrot, tad steigā varat izsvītrot "a".

un saņemt vēlreiz

Kas būtu kategoriski nepareizi. Jo šeit viss skaitītājs jau uz "a". nav koplietots! Šo daļu nevar samazināt. Starp citu, šāds saīsinājums ir, hm, nopietns izaicinājums skolotājam. Tas nav piedots! Atceries? Samazinot, ir nepieciešams sadalīt viss skaitītājs un viss saucējs!

Frakciju samazināšana padara dzīvi daudz vieglāku. Jūs kaut kur iegūsit daļu, piemēram, 375/1000. Un kā ar viņu tagad strādāt? Bez kalkulatora? Reiziniet, sakiet, saskaitiet, kvadrātā!? Un, ja neesat pārāk slinks, bet uzmanīgi samaziniet par pieciem un pat par pieciem un pat ... kamēr tas tiek samazināts, īsi sakot. Mēs saņemam 3/8! Daudz jaukāk, vai ne?

Daļskaitļa pamatīpašība ļauj pārvērst parastās daļskaitļus decimāldaļās un otrādi bez kalkulatora! Tas ir svarīgi eksāmenam, vai ne?

Kā pārvērst frakcijas no vienas formas uz citu.

Ar decimāldaļām tas ir vienkārši. Kā dzirdēts, tā rakstīts! Teiksim 0,25. Tas ir nulle punkts, divdesmit piecas simtdaļas. Tātad mēs rakstām: 25/100. Samazinām (skaitītāju un saucēju sadalām ar 25), iegūstam parasto daļskaitli: 1/4. Viss. Tas notiek, un nekas netiek samazināts. Tāpat kā 0,3. Tas ir trīs desmitdaļas, t.i. 3/10.

Ko darīt, ja veseli skaitļi nav nulle? Ir labi. Pierakstiet visu daļu bez komatiem skaitītājā un saucējā - dzirdētais. Piemēram: 3.17. Tās ir veselas trīs, septiņpadsmit simtdaļas. Skaitītājā ierakstām 317, saucējā 100. Iegūstam 317/100. Nekas netiek samazināts, tas nozīmē visu. Šī ir atbilde. Elementārais Vatsons! No visa iepriekš minētā noderīgs secinājums: jebkuru decimāldaļu var pārvērst parastā daļskaitlī .

Bet apgrieztā konvertēšana, parastā uz decimāldaļu, daži nevar iztikt bez kalkulatora. Bet vajag! Kā eksāmenā pierakstīsi atbildi!? Mēs rūpīgi izlasām un apgūstam šo procesu.

Kas ir decimāldaļdaļa? Viņa ir saucējā vienmēr ir 10 vai 100, 1000 vai 10 000 un tā tālāk. Ja jūsu parastajai daļai ir šāds saucējs, nav problēmu. Piemēram, 4/10 = 0,4. Vai 7/100 = 0,07. Vai 12/10 = 1,2. Un ja atbildē uz sadaļas "B" uzdevumu izrādījās 1/2? Ko rakstīsim atbildē? Decimāldaļas ir obligātas...

Mēs atceramies daļdaļas pamatīpašība ! Matemātika labvēlīgi ļauj reizināt skaitītāju un saucēju ar to pašu skaitli. Starp citu, jebkuram! Protams, izņemot nulli. Izmantosim šo funkciju savā labā! Ar ko var reizināt saucēju, t.i. 2, lai tas kļūtu par 10, vai 100, vai 1000 (mazāks, jo labāk, protams...)? 5, protams. Jūtieties brīvi reizināt saucēju (tas ir mums nepieciešams) ar 5. Bet, tad arī skaitītājs jāreizina ar 5. Tas jau ir matemātika prasības! Mēs iegūstam 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Tas ir viss.

Tomēr visādi saucēji sanāk. Piemēram, daļa 3/16 samazināsies. Izmēģiniet to, izdomājiet, ar ko reizināt 16, lai iegūtu 100 vai 1000... Neder? Tad jūs varat vienkārši dalīt 3 ar 16. Ja nav kalkulatora, jums būs jādala stūrī, uz papīra, kā viņi mācīja pamatklasēs. Mēs iegūstam 0,1875.

Un ir daži ļoti slikti saucēji. Piemēram, daļu 1/3 nevar pārvērst labā decimāldaļā. Gan uz kalkulatora, gan uz papīra mēs iegūstam 0,3333333 ... Tas nozīmē, ka 1/3 precīzā decimāldaļdaļā netulko. Tāpat kā 1/7, 5/6 un tā tālāk. Daudzi no tiem nav tulkojami. Līdz ar to vēl viens noderīgs secinājums. Ne katrs parastais daļskaitlis pārvēršas par decimāldaļu. !

Starp citu, šis noderīga informācija pašpārbaudei. Atbildot sadaļā "B", jums jāpieraksta decimāldaļdaļa. Un jūs saņēmāt, piemēram, 4/3. Šī daļa netiek pārveidota par decimāldaļu. Tas nozīmē, ka kaut kur pa ceļam jūs pieļāvāt kļūdu! Atgriezieties, pārbaudiet risinājumu.

Tātad, ar sakārtotām parastajām un decimāldaļām. Atliek tikt galā ar jauktiem skaitļiem. Lai strādātu ar tiem, tie visi ir jāpārvērš parastajās daļās. Kā to izdarīt? Jūs varat noķert sestās klases skolēnu un pajautāt viņam. Bet ne vienmēr sestās klases skolnieks būs pa rokai... Tas būs jādara pašiem. Tas nav grūti. Daļējās daļas saucēju reiziniet ar veselo skaitļu daļu un pievienojiet daļdaļas skaitītāju. Šis būs skaitītājs parastā frakcija. Kā ar saucēju? Saucējs paliks nemainīgs. Tas izklausās sarežģīti, bet patiesībā tas ir diezgan vienkārši. Apskatīsim piemēru.

Ierakstiet problēmu, kuru redzējāt ar šausmām, numuru:

Mierīgi, bez panikas, mēs saprotam. Visa daļa ir 1. Viens. Daļējā daļa ir 3/7. Tāpēc daļdaļas saucējs ir 7. Šis saucējs būs parastās daļas saucējs. Mēs saskaitām skaitītāju. Mēs reizinām 7 ar 1 (veselā skaitļa daļa) un pievienojam 3 (daļdaļas skaitītājs). Mēs iegūstam 10. Tas būs parastās daļskaitļa skaitītājs. Tas ir viss. Tas izskatās vēl vieglāk matemātiskais apzīmējums:

Skaidrs? Tad nodrošiniet savus panākumus! Konvertēt parastās daļskaitļos. Jums vajadzētu saņemt 10/7, 7/2, 23/10 un 21/4.

Apgrieztā darbība - nepareizas daļskaitļa pārvēršana jauktā skaitlī - vidusskolā ir reti nepieciešama. Nu, ja... Un ja tu - ne vidusskolā - vari ieskatīties speciālajā 555.pantā. Tajā pašā vietā, starp citu, jūs uzzināsit par nepareizajām daļām.

Nu, gandrīz viss. Jūs atcerējāties daļskaitļu veidus un sapratāt kā pārvērst tos no viena veida uz citu. Jautājums paliek: kāpēc dari to? Kur un kad tās piemērot dziļas zināšanas?

ES atbildu. Jebkurš piemērs pats par sevi liecina par nepieciešamajām darbībām. Ja piemērā parastās daļskaitļi, decimālskaitļi un pat jaukti skaitļi ir sajaukti kopā, mēs visu pārvēršam parastajās daļās. To vienmēr var izdarīt. Nu, ja ir rakstīts kaut kas līdzīgs 0,8 + 0,3, tad mēs tā domājam, bez jebkāda tulkojuma. Kāpēc mums vajadzīgs papildu darbs? Izvēlamies ērtāko risinājumu mums !

Ja uzdevums ir pilns ar decimāldaļām, bet hm ... kaut kādi ļaunie, dodieties uz parastajiem, izmēģiniet to! Skaties, viss būs labi. Piemēram, jums ir jāliek kvadrātā skaitlis 0,125. Nav tik vienkārši, ja neesi zaudējis kalkulatora ieradumu! Ne tikai jāreizina skaitļi kolonnā, bet arī jādomā, kur ievietot komatu! Manā prātā tas noteikti nedarbojas! Un ja jūs dodaties uz parasto frakciju?

0,125 = 125/1000. Mēs samazinām par 5 (tas ir iesācējiem). Mēs iegūstam 25/200. Vēlreiz uz 5. Mēs iegūstam 5/40. Ak, tas sarūk! Atpakaļ uz 5! Mēs iegūstam 1/8. Viegli kvadrātā (savā prātā!) un iegūstiet 1/64. Viss!

Apkoposim šo nodarbību.

1. Ir trīs veidu frakcijas. Parastie, decimālskaitļi un jaukti skaitļi.

2. Decimāldaļas un jaukti skaitļi vienmēr var pārvērst parastās daļskaitļos. Reversais tulkojums ne vienmēr pieejams.

3. Daļskaitļu veida izvēle darbam ar uzdevumu ir atkarīga tieši no šī uzdevuma. Klātbūtnē dažādi veidi daļskaitļi vienā uzdevumā, visuzticamākā lieta ir pāriet uz parastajām daļām.

Tagad jūs varat praktizēt. Vispirms pārveidojiet šīs decimāldaļas par parastajām:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Jums vajadzētu saņemt šādas atbildes (nekārtībā!):

Ar to mēs pabeigsim. Šajā nodarbībā mēs atsvaidzinājām savu atmiņu galvenie punkti pa daļām. Gadās taču, ka nav ko īpaši atsvaidzināt...) Ja kāds ir pavisam aizmirsis, vai vēl nav apguvis... Tie var doties uz speciālo 555. nodaļu. Tur ir sīki aprakstīti visi pamati. Daudzi pēkšņi visu saprast sākas. Un viņi lidojumā atrisina frakcijas).

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Vienības daļu vai vairākas tās daļas sauc par vienkāršo vai parasto daļskaitli. Vienādu daļu skaitu, kurās vienība ir sadalīta, sauc par saucēju, un ņemto daļu skaitu sauc par skaitītāju. Daļa tiek uzrakstīta šādi:

Šajā gadījumā a ir skaitītājs, b ir saucējs.

Ja skaitītājs ir mazāks par saucēju, tad daļa ir mazāka par 1 un tiek izsaukta pareiza frakcija. Ja skaitītājs ir lielāks par saucēju, tad daļa ir lielāka par 1, tad daļu sauc par nepareizo daļskaitli.

Ja daļskaitļa skaitītājs un saucējs ir vienādi, tad daļa ir vienāda.

1. Ja skaitītāju var dalīt ar saucēju, tad šī daļa ir vienāda ar dalīšanas koeficientu:

Ja dalīšana tiek veikta ar atlikumu, tad šo nepareizo daļu var attēlot ar jauktu skaitli, piemēram:

Tad 9 ir nepilnīgs koeficients (jauktā skaitļa vesela daļa),
1 - atlikums (daļdaļas skaitītājs),
5 ir saucējs.

Lai jauktu skaitli pārvērstu par daļskaitli, jauktā skaitļa veselo skaitļu daļu reiziniet ar saucēju un pievienojiet daļskaitļa skaitītāju.

Iegūtais rezultāts būs parastās daļskaitļa skaitītājs, un saucējs paliks nemainīgs.

Darbības ar daļskaitļiem

Frakciju paplašināšana. Daļas vērtība nemainās, ja tās skaitītāju un saucēju reizina ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle.
Piemēram:

Frakciju samazināšana. Daļas vērtība nemainās, ja tās skaitītāju un saucēju dala ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle.
Piemēram:

Frakciju salīdzinājums. No divām daļām ar vienādu skaitītāju lielākā ir tā, kuras saucējs ir mazāks:

No divām daļām ar vienādiem saucējiem tā, kurai ir lielāks skaitītājs, ir lielāka:

Lai salīdzinātu daļskaitļus, kuriem ir dažādi skaitītāji un saucēji, tie ir jāpaplašina, tas ir, jāsavieno līdz kopsaucējam. Apsveriet, piemēram, šādas frakcijas:

Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana. Ja daļskaitļu saucēji ir vienādi, tad, lai saskaitītu daļskaitļus, ir jāsaskaita to skaitītāji, bet, lai atņemtu daļskaitļus, ir jāatņem to skaitītāji. Rezultātā iegūtā summa vai starpība būs rezultāta skaitītājs, bet saucējs paliks nemainīgs. Ja daļskaitļu saucēji ir atšķirīgi, vispirms jāsamazina daļas līdz kopsaucējam. Kad pievieno jaukti skaitļi to veselās un daļējās daļas tiek pievienotas atsevišķi. Atņemot jauktus skaitļus, tie vispirms ir jāpārvērš nepareizo daļskaitļu formā, pēc tam jāatņem viens no otra un pēc tam, ja nepieciešams, atkal jāsamazina rezultāts jaukta skaitļa formā.

Daļskaitļu reizināšana. Lai reizinātu daļskaitļus, to skaitītāji un saucēji jāreizina atsevišķi un pirmais reizinājums jāsadala ar otro.

Frakciju dalīšana. Lai dalītu skaitli ar daļskaitli, šis skaitlis jāreizina ar tā apgriezto skaitli.

Decimālzīme ir rezultāts, dalot vienu ar desmit, simtu, tūkstoti utt. daļas. Vispirms tiek uzrakstīta skaitļa veselā skaitļa daļa, pēc tam labajā pusē tiek likts komata. Pirmais cipars aiz komata apzīmē desmitdaļu skaitu, otrais - simtdaļu skaitu, trešais - tūkstošdaļu skaitu utt. Skaitļus aiz komata sauc par decimālzīmēm.

Piemēram:

Decimāldaļas īpašības

Īpašības:

• Decimāldaļdaļa nemainās, ja labajā pusē pievieno nulles: 4,5 = 4,5000.
• Decimāldaļa nemainās, ja noņemat nulles, kas atrodas beigās decimāldaļdaļa: 0,0560000 = 0,056.
• Decimāldaļa palielinās pie 10, 100, 1000 utt. reizes, ja pārvietojat decimālzīmi uz vienu, diviem, trīs utt. pozīcijas pa labi: 4,5 45 (daļa ir palielinājusies 10 reizes).
• Decimāldaļa tiek samazināta par 10, 100, 1000 utt. reizes, ja pārvietojat decimālzīmi uz vienu, diviem, trīs utt. pozīcijas pa kreisi: 4,5 0,45 (frakcija samazinājusies 10 reizes).

Periodiskā decimāldaļa satur bezgalīgi atkārtojošu ciparu grupu, ko sauc par punktu: 0,321321321321…=0, (321)

Darbības ar decimāldaļām

Decimālskaitļu pievienošana un atņemšana tiek veikta tāpat kā veselu skaitļu pievienošana un atņemšana, jums tikai jāraksta atbilstošās decimāldaļas viena zem otras.
Piemēram:

Decimāldaļu reizināšana tiek veikta vairākos posmos:

• Mēs reizinām decimāldaļas kā veselus skaitļus, neņemot vērā decimālzīmi.
• Ir spēkā noteikums: decimālzīmju skaits reizinājumā ir vienāds ar visu faktoru decimālzīmju summu.

Piemēram:

Koeficientu decimālzīmju skaitļu summa ir: 2+1=3. Tagad jums jāskaita 3 cipari no iegūtā skaitļa beigām un jāievieto komata zīme: 0,675.

Decimāldaļu dalījums. Decimāldaļas dalīšana ar veselu skaitli: ja dividende ir mazāka par dalītāju, tad koeficienta veselā skaitļa daļā jāieraksta nulle un aiz komata jāliek komata. Pēc tam, neņemot vērā dividendes decimālzīmi, pievienojiet tās veselajai daļai nākamo daļdaļas ciparu un vēlreiz salīdziniet iegūto dividendes veselo skaitļu daļu ar dalītāju. Ja jaunais skaitlis atkal ir mazāks par dalītāju, darbība jāatkārto. Šo procesu atkārto, līdz iegūtā dividende ir lielāka par dalītāju. Pēc tam dalīšana tiek veikta tāpat kā veseliem skaitļiem. Ja dividende ir lielāka vai vienāda ar dalītāju, vispirms sadalām tās veselo skaitļu daļu, dalīšanas rezultātu ierakstām koeficientā un ieliekam komatu. Pēc tam dalīšana turpinās, tāpat kā veselu skaitļu gadījumā.

Vienas decimāldaļdaļas sadalīšana citā: pirmkārt, decimāldaļas dividendē un dalītājā tiek pārnestas ar decimāldaļu skaitu dalītājā, tas ir, dalītāju veidojam par veselu skaitli, un tiek veiktas iepriekš aprakstītās darbības.

Lai decimāldaļdaļu pārvērstu par parastu, par skaitītāju jāņem skaitlis aiz komata, bet par saucēju jāņem k-tā pakāpe no desmit (k ir decimāldaļu skaits). Kopējā daļā tiek saglabāta vesela skaitļa daļa, kas nav nulle; nulles veselā skaitļa daļa ir izlaista.
Piemēram:

Lai parasto daļskaitli pārvērstu par decimāldaļu, saskaņā ar dalīšanas noteikumiem skaitītājs jādala ar saucēju.

Procenti ir vienības simtdaļa, piemēram: 5% nozīmē 0,05. Attiecība ir viena skaitļa dalīšanas ar citu koeficients. Proporcija ir divu attiecību vienādība.

Piemēram:

Proporcijas galvenā īpašība: proporcijas galējo locekļu reizinājums ir vienāds ar tā vidējo locekļu reizinājumu, tas ir, 5x30 = 6x25. Divus savstarpēji atkarīgus lielumus sauc par proporcionāliem, ja to lielumu attiecība paliek nemainīga (proporcionalitātes koeficients).

Tādējādi tiek atklātas šādas aritmētiskās darbības.
Piemēram:

Racionālo skaitļu kopa ietver pozitīvus un negatīvus skaitļus (veselus un daļskaitļus) un nulli. Vairāk precīza definīcija racionālie skaitļi, kas pieņemti matemātikā, ir šādi: skaitli sauc par racionālu, ja to var attēlot kā parastu formas nereducējamu daļskaitli, kur a un b ir veseli skaitļi.

Priekš negatīvs skaitlis absolūtā vērtība(modulis) ir pozitīvs skaitlis, kas iegūts, mainot tā zīmi no "-" uz "+"; pozitīvam skaitlim un nullei — pats skaitlis. Lai apzīmētu skaitļa moduli, tiek izmantotas divas taisnes, kurās ieraksta šo skaitli, piemēram: |–5|=5.

Absolūtās vērtības īpašības

Ir dots skaitļa modulis , kuriem ir derīgi īpašumi:

Monomāls ir divu vai vairāku faktoru reizinājums, no kuriem katrs ir vai nu cipars, vai burts, vai burta pakāpe: 3 x a x b. Koeficients visbiežāk tiek saukts tikai par skaitlisku faktoru. Monomiālus sauc par līdzīgiem, ja tie ir vienādi vai atšķiras tikai pēc koeficientiem. Monoma pakāpe ir visu tā burtu eksponentu summa. Ja starp monomu summām ir līdzīgi, tad summu var samazināt līdz vairāk skaidrs skats: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Šo darbību sauc par līdzīgu terminu vai iekavu piespiešanu.

Polinoms ir monomu algebriskā summa. Polinoma pakāpe ir lielākā no dotajā polinomā iekļauto monomu pakāpēm.

Ir šādas saīsinātas reizināšanas formulas:

Faktoringa metodes:

Algebriskā daļa ir formas izteiksme, kur A un B var būt skaitlis, monoms, polinoms.

Ja divas izteiksmes (ciparu un alfabēta) ir savienotas ar zīmi "=", tad tiek uzskatīts, ka tās veido vienādību. Jebkuru patiesu vienlīdzību, kas attiecas uz visām tajā iekļauto burtu pieļaujamām skaitliskām vērtībām, sauc par identitāti.

Vienādojums ir burtisks vienādojums, kas ir spēkā noteiktām tā veidojošo burtu vērtībām. Šos burtus sauc par nezināmajiem (mainīgajiem), un to vērtības, pie kurām dotais vienādojums kļūst par identitāti, sauc par vienādojuma saknēm.

Atrisināt vienādojumu nozīmē atrast visas tā saknes. Tiek uzskatīts, ka divi vai vairāki vienādojumi ir līdzvērtīgi, ja tiem ir vienādas saknes.

• nulle bija vienādojuma sakne;
• Vienādojumam ir tikai ierobežots sakņu skaits.

Galvenie algebrisko vienādojumu veidi:

Lineārajā vienādojumā ax + b = 0:

• ja a x 0, ir viena sakne x = -b/a;
• ja a = 0, b ≠ 0, nav sakņu;
• ja a = 0, b = 0, sakne ir jebkurš reāls skaitlis.

Vienādojums xn = a, n N:

• ja n ir nepāra skaitlis, reālā sakne ir vienāda ar a/n jebkuram a;
• ja n ir pāra skaitlis, tad 0, tad tam ir divas saknes.

Pamata identiskas transformācijas: vienas izteiksmes aizstāšana ar citu, identiski tai vienādu; vienādojuma nosacījumu pārnešana no vienas puses uz otru ar pretējām zīmēm; vienādojuma abu daļu reizināšana vai dalīšana ar vienu un to pašu izteiksmi (skaitli), kas nav nulle.

Lineārs vienādojums ar vienu nezināmo ir vienādojums šādā formā: ax+b=0, kur a un b ir zināmi skaitļi, un x ir nezināma vērtība.

Divu sistēmas lineārie vienādojumi ar diviem nezināmajiem ir šāda forma:

Kur a, b, c, d, e, f ir doti skaitļi; x, y nav zināmi.

Skaitļi a, b, c, d - nezināmo koeficienti; e, f - bezmaksas dalībnieki. Šīs vienādojumu sistēmas risinājumu var atrast ar divām galvenajām metodēm: aizstāšanas metodi: no viena vienādojuma mēs izsakām vienu no nezināmajiem caur koeficientiem un otru nezināmo, un tad mēs to aizstājam ar otro vienādojumu, atrisinot pēdējo vienādojumu. , vispirms atrodam vienu nezināmo, pēc tam aizvietojam atrasto vērtību pirmajā vienādojumā un atrodam otro nezināmo; metode viena vienādojuma pievienošanai vai atņemšanai no cita.

Darbības ar saknēm:

Aritmētika n-tās saknes pakāpe no nenegatīva skaitļa a tiek izsaukta nenegatīvs skaitlis, n-tā pakāpe kas ir vienāds ar a. algebriskā sakne n-tā pakāpe no dotais numurs tiek izsaukta visu sakņu kopa no šī skaitļa.

Iracionālos skaitļus, atšķirībā no racionālajiem skaitļiem, nevar attēlot kā parastu nereducējamu daļu no formas m/n, kur m un n ir veseli skaitļi. Tie ir jauna veida skaitļi, kurus var aprēķināt ar jebkādu precizitāti, bet nevar aizstāt racionāls skaitlis. Tie var parādīties ģeometrisku mērījumu rezultātā, piemēram: kvadrāta diagonāles garuma attiecība pret tā malas garumu ir vienāda.

Ir kvadrātvienādojums algebriskais vienādojums otrās pakāpes ax2+bx+c=0, kur a, b, c - dotie skaitliskie vai alfabētiskie koeficienti, x - nezināmi. Ja visus šī vienādojuma nosacījumus sadalām ar a, rezultātā iegūstam x2+px+q=0 - reducēto vienādojumu p=b/a, q=c/a. Tās saknes atrodamas pēc formulas:

Ja b2-4ac>0, tad ir divas atšķirīgas saknes, b2-4ac=0, tad ir divas vienādas saknes; b2-4ac Vienādojumi, kas satur moduļus

Galvenie vienādojumu veidi, kas satur moduļus:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, kur f(x), g(x), fk(x), gk(x) ir dotas funkcijas.