Piemēram, trinomālam \(3x^2+2x-7\) diskriminants būs \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Un trinomālam \(x^2-5x+11\) tas būs vienāds ar \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminants tiek apzīmēts ar burtu \(D\) un bieži tiek izmantots, risinot. Arī pēc diskriminanta vērtības jūs varat saprast, kā izskatās grafiks (skatīt zemāk).

Diskriminantu un vienādojumu saknes

Diskriminanta vērtība parāda kvadrātvienādojuma lielumu:
- ja \(D\) ir pozitīvs, vienādojumam būs divas saknes;
- ja \(D\) ir vienāds ar nulli - tikai viena sakne;
- ja \(D\) ir negatīvs, saknes nav.

Tas nav jāiemācās, ir viegli nonākt pie šāda secinājuma, vienkārši zinot, ka no diskriminanta (tas ir, \(\sqrt(D)\)) ir iekļauts vienādojuma sakņu aprēķināšanas formulā: \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) un \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D)) )(2a)\) Apskatīsim katru gadījumu sīkāk .

Ja diskriminants ir pozitīvs

Šajā gadījumā tā sakne ir kāds pozitīvs skaitlis, kas nozīmē, ka \(x_(1)\) un \(x_(2)\) atšķirsies pēc vērtības, jo pirmajā formulā \(\sqrt(D) \) tiek pievienots , bet otrajā - tiek atņemts. Un mums ir divas dažādas saknes.

Piemērs : atrodiet vienādojuma \(x^2+2x-3=0\) saknes.
Risinājums :

Atbilde : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Ja diskriminants ir nulle

Un cik saknes būs, ja diskriminants nulle? Padomāsim.

Saknes formulas izskatās šādi: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) un \(x_(2)=\)\(\frac(-) b- \sqrt(D))(2a)\) . Un, ja diskriminants ir nulle, tad arī tā sakne ir nulle. Tad izrādās:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Tas ir, vienādojuma sakņu vērtības sakritīs, jo nulles pievienošana vai atņemšana neko nemaina.

Piemērs : atrodiet vienādojuma \(x^2-4x+4=0\) saknes.
Risinājums :

\(x^2-4x+4=0\)		Mēs izrakstām koeficientus:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Aprēķiniet diskriminantu, izmantojot formulu \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Vienādojuma sakņu atrašana
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		ieguva divus identiskas saknes, tāpēc nav jēgas tos rakstīt atsevišķi - mēs tos pierakstām kā vienu.

Atbilde : \(x=2\)

Ar šo matemātikas programmu jūs varat atrisināt kvadrātvienādojumu.

Programma ne tikai sniedz atbildi uz problēmu, bet arī parāda risinājuma procesu divos veidos:
- izmantojot diskriminantu
- izmantojot Vieta teorēmu (ja iespējams).

Turklāt atbilde tiek parādīta precīza, nevis aptuvena.
Piemēram, vienādojumam \(81x^2-16x-1=0\) atbilde tiek parādīta šādā formā:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ šī: \(x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Šī programma var būt noderīga vidusskolēniem vispārizglītojošās skolas gatavojoties kontroles darbs un eksāmenos, pārbaudot zināšanas pirms eksāmena, vecākiem kontrolēt daudzu matemātikas un algebras uzdevumu risināšanu. Vai varbūt jums ir pārāk dārgi algot pasniedzēju vai iegādāties jaunas mācību grāmatas? Vai arī jūs vienkārši vēlaties to paveikt pēc iespējas ātrāk? mājasdarbs matemātika vai algebra? Šajā gadījumā varat izmantot arī mūsu programmas ar detalizētu risinājumu.

Tādā veidā jūs varat vadīt savu un/vai jaunāko brāļu vai māsu apmācību, vienlaikus paaugstinot izglītības līmeni risināmo uzdevumu jomā.

Ja neesat pazīstams ar kvadrātveida polinoma ievadīšanas noteikumiem, iesakām iepazīties ar tiem.

Kvadrātveida polinoma ievadīšanas noteikumi

Jebkurš latīņu burts var darboties kā mainīgais.
Piemēram: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) utt.

Skaitļus var ievadīt kā veselus skaitļus vai daļskaitļus.
Turklāt, daļskaitļi var ievadīt ne tikai kā decimāldaļu, bet arī kā parasto daļskaitli.

Decimāldaļskaitļu ievadīšanas noteikumi.
Decimāldaļās daļskaitļu daļu no vesela skaitļa var atdalīt ar punktu vai komatu.
Piemēram, varat ievadīt decimāldaļas tātad: 2,5x - 3,5x^2

Parasto daļskaitļu ievadīšanas noteikumi.
Tikai vesels skaitlis var darboties kā frakcijas skaitītājs, saucējs un vesels skaitlis.

Saucējs nevar būt negatīvs.

Ievadot skaitlisko daļu, skaitītājs tiek atdalīts no saucēja ar dalījuma zīmi: /
Veselo skaitļu daļu no daļskaitļa atdala ar & zīmi: &
Ievade: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultāts: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Ievadot izteiksmi varat izmantot iekavas. Šajā gadījumā, risinot kvadrātvienādojumu, vispirms tiek vienkāršota ieviestā izteiksme.
Piemēram: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Izlemiet

Tika konstatēts, ka daži šī uzdevuma risināšanai nepieciešamie skripti netika ielādēti, un programma var nedarboties.
Iespējams, jums ir iespējots AdBlock.
Šādā gadījumā atspējojiet to un atsvaidziniet lapu.

Jūsu pārlūkprogrammā ir atspējots JavaScript.
Lai risinājums tiktu parādīts, ir jāiespējo JavaScript.
Šeit ir sniegti norādījumi par to, kā pārlūkprogrammā iespējot JavaScript.

Jo Ir daudz cilvēku, kas vēlas atrisināt problēmu, jūsu pieprasījums ir ierindots rindā.
Pēc dažām sekundēm zemāk parādīsies risinājums.
Lūdzu uzgaidiet sek...

Ja jūs pamanīja kļūdu risinājumā, tad par to varat rakstīt Atsauksmju veidlapā .
Neaizmirsti norādiet, kurš uzdevums tu izlem ko ievadiet laukos.

Mūsu spēles, puzles, emulatori:

Mazliet teorijas.

Kvadrātvienādojums un tā saknes. Nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Katrs no vienādojumiem
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ir forma
\(ax^2+bx+c=0, \)
kur x ir mainīgais, a, b un c ir skaitļi.
Pirmajā vienādojumā a = -1, b = 6 un c = 1,4, otrajā a = 8, b = -7 un c = 0, trešajā a = 1, b = 0 un c = 4/9. Tādus vienādojumus sauc kvadrātvienādojumi.

Definīcija.
kvadrātvienādojums tiek izsaukts vienādojums formā ax 2 +bx+c=0, kur x ir mainīgais, a, b un c ir daži skaitļi un \(a \neq 0 \).

Skaitļi a, b un c ir kvadrātvienādojuma koeficienti. Skaitlis a tiek saukts par pirmo koeficientu, skaitlis b ir otrais koeficients un skaitlis c ir krustpunkts.

Katrā vienādojumā ar formu ax 2 +bx+c=0, kur \(a \neq 0 \), mainīgā x lielākā pakāpe ir kvadrāts. Līdz ar to nosaukums: kvadrātvienādojums.

Ņemiet vērā, ka kvadrātvienādojumu sauc arī par otrās pakāpes vienādojumu, jo tā kreisā puse ir otrās pakāpes polinoms.

Tiek izsaukts kvadrātvienādojums, kurā koeficients pie x 2 ir 1 reducēts kvadrātvienādojums. Piemēram, dotie kvadrātvienādojumi ir vienādojumi
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ja kvadrātvienādojumā ax 2 +bx+c=0 vismaz viens no koeficientiem b vai c ir vienāds ar nulli, tad šādu vienādojumu sauc nepilnīgs kvadrātvienādojums. Tātad vienādojumi -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ir nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Pirmajā no tām b=0, otrajā c=0, trešajā b=0 un c=0.

Nepilnīgie kvadrātvienādojumi ir trīs veidu:
1) ax 2 +c=0, kur \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kur \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Apsveriet katra šāda veida vienādojumu risinājumu.

Lai atrisinātu nepilnīgu kvadrātvienādojumu formā ax 2 +c=0 priekš \(c \neq 0 \), tā brīvais termins tiek pārnests uz labo pusi un abas vienādojuma daļas tiek dalītas ar a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Labā bultiņa x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Kopš \(c \neq 0 \), tad \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ja \(-\frac(c)(a)>0 \), tad vienādojumam ir divas saknes.

Ja \(-\frac(c)(a) Lai atrisinātu nepilnīgu kvadrātvienādojumu formā ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \), faktorizējiet tā kreiso pusi un iegūstiet vienādojumu
\(x(ax+b)=0 \Labā bultiņa \left\( \begin(masīvs)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(masīvs) \right. \Rightarrow \left\( \begin (masīvs)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(masīvs) \pa labi. \)

Tādējādi nepilnīgam kvadrātvienādojumam formā ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \) vienmēr ir divas saknes.

Nepilnīgs kvadrātvienādojums formā ax 2 \u003d 0 ir līdzvērtīgs vienādojumam x 2 \u003d 0, un tāpēc tam ir viena sakne 0.

Kvadrātvienādojuma sakņu formula

Tagad apskatīsim, kā tiek atrisināti kvadrātvienādojumi, kuros gan nezināmo, gan brīvā termina koeficienti nav nulle.

Mēs atrisinām kvadrātvienādojumu vispārējs skats un rezultātā iegūstam sakņu formulu. Tad šo formulu var izmantot, lai atrisinātu jebkuru kvadrātvienādojumu.

Atrisiniet kvadrātvienādojumu ax 2 +bx+c=0

Sadalot abas tā daļas ar a, iegūstam ekvivalentu reducētu kvadrātvienādojumu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Mēs pārveidojam šo vienādojumu, izceļot binoma kvadrātu:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \labā bultiņa \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2. — \frac(c)(a) \labā bultiņa \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) — \frac( c)(a) \Labā bultiņa \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightbult \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Labā bultiņa x = -\frac(b)(2a) + \frac(\pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Labā bultiņa \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Saknes izteiksmi sauc kvadrātvienādojuma diskriminants ax 2 +bx+c=0 (“diskriminants” latīņu valodā - atšķirtājs). To apzīmē ar burtu D, t.i.
\(D = b^2-4ac\)

Tagad, izmantojot diskriminanta apzīmējumu, mēs pārrakstām kvadrātvienādojuma sakņu formulu:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kur \(D= b^2-4ac \)

Ir skaidrs, ka:
1) Ja D>0, tad kvadrātvienādojumam ir divas saknes.
2) Ja D=0, tad kvadrātvienādojumam ir viena sakne \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ja D Tātad, atkarībā no diskriminanta vērtības kvadrātvienādojumam var būt divas saknes (ja D > 0), viena sakne (ja D = 0) vai nav sakņu (ja D Atrisinot kvadrātvienādojumu, izmantojot šo formulu , ieteicams rīkoties šādi:
1) aprēķināt diskriminantu un salīdzināt to ar nulli;
2) ja diskriminants ir pozitīvs vai vienāds ar nulli, tad izmantojiet saknes formulu, ja diskriminants ir negatīvs, tad pierakstiet, ka nav sakņu.

Vietas teorēma

Dotajam kvadrātvienādojumam ax 2 -7x+10=0 ir saknes 2 un 5. Sakņu summa ir 7, un reizinājums ir 10. Redzam, ka sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu, kas ņemts no pretējā zīme, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu. Jebkuram samazinātam kvadrātvienādojumam, kuram ir saknes, ir šī īpašība.

Dotā kvadrātvienādojuma sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu.

Tie. Vietas teorēma nosaka, ka reducētā kvadrātvienādojuma x 2 +px+q=0 saknēm x 1 un x 2 ir īpašība:
\(\left\( \begin(masīvs)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(masīvs) \right. \)

Sākotnēji šī tēma var šķist sarežģīta daudzu iemeslu dēļ vienkāršas formulas. Pašos kvadrātvienādojumos ir ne tikai gari ieraksti, bet arī saknes tiek atrastas, izmantojot diskriminantu. Pavisam ir trīs jaunas formulas. Nav ļoti viegli atcerēties. Tas darbojas tikai pēc tam biežs risinājums tādi vienādojumi. Tad visas formulas pašas atcerēsies.

Kvadrātvienādojuma vispārīgs skats

Šeit tiek piedāvāts to skaidrais apzīmējums, kad vispirms tiek uzrakstīts lielākais grāds un pēc tam dilstošā secībā. Bieži vien ir situācijas, kad termini atšķiras. Tad labāk ir pārrakstīt vienādojumu mainīgā lieluma pakāpes dilstošā secībā.

Ieviesīsim notāciju. Tie ir parādīti zemāk esošajā tabulā.

Ja mēs pieņemam šos apzīmējumus, visi kvadrātvienādojumi tiek reducēti uz šādu apzīmējumu.

Turklāt koeficients a ≠ 0. Apzīmēsim šo formulu ar skaitli viens.

Kad vienādojums ir dots, nav skaidrs, cik sakņu būs atbildē. Jo vienmēr ir iespējama viena no trim iespējām:

• šķīdumam būs divas saknes;
• atbilde būs viens skaitlis;
• Vienādojumam vispār nav sakņu.

Un, lai gan lēmums netiek pieņemts līdz galam, ir grūti saprast, kura no iespējām konkrētajā gadījumā izkritīs.

Kvadrātvienādojumu ierakstu veidi

Uzdevumiem var būt dažādi ieraksti. Tie ne vienmēr izskatīsies pēc kvadrātvienādojuma vispārējās formulas. Dažreiz tai pietrūks daži termini. Tas, kas tika rakstīts iepriekš, ir pilnīgs vienādojums. Ja noņemat tajā otro vai trešo terminu, jūs iegūstat kaut ko citu. Šos ierakstus sauc arī par kvadrātvienādojumiem, tikai nepilnīgiem.

Turklāt var pazust tikai tie termini, kuriem koeficienti "b" un "c". Skaitlis "a" nekādā gadījumā nevar būt vienāds ar nulli. Jo šajā gadījumā formula kļūst lineārais vienādojums. Formulas vienādojumu nepilnīgai formai būs šādas:

Tātad ir tikai divi veidi, papildus pilnīgajiem, ir arī nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Lai pirmā formula ir skaitlis divi, bet otrais skaitlis trīs.

Diskriminants un sakņu skaita atkarība no tā vērtības

Šim skaitlim ir jābūt zināmam, lai aprēķinātu vienādojuma saknes. To vienmēr var aprēķināt neatkarīgi no kvadrātvienādojuma formulas. Lai aprēķinātu diskriminantu, jāizmanto zemāk uzrakstītā vienādība, kurai būs cipars četri.

Pēc koeficientu vērtību aizstāšanas šajā formulā jūs varat iegūt skaitļus ar dažādas zīmes. Ja atbilde ir jā, tad vienādojuma atbilde būs divas dažādas saknes. Ja skaitlis ir negatīvs, kvadrātvienādojuma saknes nebūs. Ja tas ir vienāds ar nulli, atbilde būs viens.

Kā tiek atrisināts pilns kvadrātvienādojums?

Faktiski šī jautājuma izskatīšana jau ir sākusies. Jo vispirms ir jāatrod diskriminants. Pēc tam, kad ir noskaidrots, ka kvadrātvienādojumam ir saknes un to skaits ir zināms, jums ir jāizmanto mainīgo lielumu formulas. Ja ir divas saknes, tad jums ir jāpiemēro šāda formula.

Tā kā tajā ir zīme “±”, būs divas vērtības. Parakstīta izteiksme kvadrātsakne ir diskriminants. Tāpēc formulu var pārrakstīt citā veidā.

Piektā formula. No tā paša ieraksta var redzēt, ka, ja diskriminants ir nulle, tad abām saknēm būs vienādas vērtības.

Ja risinājums kvadrātvienādojumi vēl nav izstrādāts, labāk ir pierakstīt visu koeficientu vērtības pirms diskriminējošās un mainīgās formulas piemērošanas. Vēlāk šis brīdis nesagādās grūtības. Taču pašā sākumā ir apjukums.

Kā tiek atrisināts nepilnīgs kvadrātvienādojums?

Šeit viss ir daudz vienkāršāk. Pat papildu formulas nav vajadzīgas. Un nevajadzēs tos, kas jau ir rakstīti diskriminējošajam un nezināmajam.

Pirmkārt, apsveriet nepilnīgo vienādojumu numur divi. Šajā vienādībā ir paredzēts izņemt nezināmo vērtību no iekavas un atrisināt lineāro vienādojumu, kas paliks iekavās. Atbildei būs divas saknes. Pirmais obligāti ir vienāds ar nulli, jo ir faktors, kas sastāv no paša mainīgā lieluma. Otro iegūst, atrisinot lineāru vienādojumu.

Nepabeigtais vienādojums ar numuru trīs tiek atrisināts, pārnesot skaitli no vienādojuma kreisās puses uz labo. Tad jums ir jādala ar koeficientu nezināmā priekšā. Atliek tikai izvilkt kvadrātsakni un neaizmirstiet to divreiz pierakstīt ar pretējām zīmēm.

Tālāk ir norādītas dažas darbības, kas palīdzēs jums uzzināt, kā atrisināt problēmu visu veidu vienādības, kas pārvēršas kvadrātvienādojumos. Tie palīdzēs skolēnam izvairīties no kļūdām neuzmanības dēļ. Šie trūkumi ir iemesls sliktas atzīmes pētot apjomīgo tēmu "Kvadrātvienādojumi (8. klase)". Pēc tam šīs darbības nebūs pastāvīgi jāveic. Jo būs stabils ieradums.

• Vispirms jums ir jāuzraksta vienādojums standarta formā. Tas ir, vispirms termins ar lielāko mainīgā pakāpi, un pēc tam - bez pakāpes un pēdējais - tikai skaitlis.

• Ja pirms koeficienta "a" parādās mīnuss, iesācējam tas var sarežģīt kvadrātvienādojumu pētīšanas darbu. Labāk no tā atbrīvoties. Šim nolūkam visa vienlīdzība jāreizina ar "-1". Tas nozīmē, ka visi termini mainīs zīmi uz pretējo.

• Tādā pašā veidā ieteicams atbrīvoties no frakcijām. Vienkārši reiziniet vienādojumu ar atbilstošo koeficientu, lai saucēji tiktu izslēgti.

Piemēri

Ir nepieciešams atrisināt šādus kvadrātvienādojumus:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Pirmais vienādojums: x 2 - 7x \u003d 0. Tas ir nepilnīgs, tāpēc tas ir atrisināts, kā aprakstīts formulai numur divi.

Pēc iekavēšanas izrādās: x (x - 7) \u003d 0.

Pirmā sakne iegūst vērtību: x 1 \u003d 0. Otrā tiks atrasta no lineārā vienādojuma: x - 7 \u003d 0. Ir viegli redzēt, ka x 2 \u003d 7.

Otrais vienādojums: 5x2 + 30 = 0. Atkal nepilnīgs. Tikai tas tiek atrisināts, kā aprakstīts trešajā formulā.

Pēc 30 pārsūtīšanas uz vienādojuma labo pusi: 5x 2 = 30. Tagad jādala ar 5. Izrādās: x 2 = 6. Atbildes būs skaitļi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Trešais vienādojums: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Šeit un zemāk kvadrātvienādojumu atrisināšana sāksies, tos pārrakstot standarta skats: - x 2 - 2x + 15 = 0. Tagad ir pienācis laiks izmantot otro noderīgs padoms un reiziniet visu ar mīnus viens. Izrādās x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Saskaņā ar ceturto formulu jums jāaprēķina diskriminants: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Tas ir pozitīvs skaitlis. No iepriekš teiktā izrādās, ka vienādojumam ir divas saknes. Tie jāaprēķina pēc piektās formulas. Saskaņā ar to izrādās, ka x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Tad x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Ceturtais vienādojums x 2 + 8 + 3x \u003d 0 tiek pārveidots par šādu: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Tā diskriminants ir vienāds ar šo vērtību: -23. Tā kā šis skaitlis ir negatīvs, atbilde uz šo uzdevumu būs šāds ieraksts: "Nav sakņu."

Piektais vienādojums 12x + x 2 + 36 = 0 jāpārraksta šādi: x 2 + 12x + 36 = 0. Pēc diskriminanta formulas piemērošanas iegūst skaitli nulle. Tas nozīmē, ka tam būs viena sakne, proti: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Sestais vienādojums (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) prasa transformācijas, kas sastāv no tā, ka pirms iekavu atvēršanas ir jāienes līdzīgi termini. Pirmā vietā būs šāda izteiksme: x 2 + 2x + 1. Pēc vienādības parādīsies šāds ieraksts: x 2 + 3x + 2. Pēc līdzīgu vārdu saskaitīšanas vienādojums būs šādā formā: x 2 - x \u003d 0. Tas ir kļuvis nepilnīgs . Līdzīgs tam jau ir uzskatīts par nedaudz augstāku. Tā saknes būs skaitļi 0 un 1.

Mēs turpinām pētīt tēmu vienādojumu risinājums". Mēs jau esam iepazinušies ar lineārajiem vienādojumiem un tagad iepazīsimies kvadrātvienādojumi.

Pirmkārt, mēs apspriedīsim, kas ir kvadrātvienādojums, kā tas tiek uzrakstīts vispārīgā formā, un sniegsim saistītās definīcijas. Pēc tam, izmantojot piemērus, mēs detalizēti analizēsim, kā tiek atrisināti nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Tālāk pāriesim pie pilnu vienādojumu risināšanas, iegūsim sakņu formulu, iepazīsimies ar kvadrātvienādojuma diskriminantu un izskatīsim tipisku piemēru risinājumus. Visbeidzot, mēs izsekojam savienojumus starp saknēm un koeficientiem.

Lapas navigācija.

Kas ir kvadrātvienādojums? Viņu veidi

Vispirms jums ir skaidri jāsaprot, kas ir kvadrātvienādojums. Tāpēc ir loģiski sākt runāt par kvadrātvienādojumiem ar kvadrātvienādojuma definīciju, kā arī ar to saistītām definīcijām. Pēc tam jūs varat apsvērt galvenos kvadrātvienādojumu veidus: reducētos un nereducētos, kā arī pilnīgus un nepilnīgus vienādojumus.

Kvadrātvienādojumu definīcija un piemēri

Definīcija.

Kvadrātvienādojums ir formas vienādojums a x 2 +b x+c=0, kur x ir mainīgais, a , b un c ir daži skaitļi, un a atšķiras no nulles.

Teiksim uzreiz, ka kvadrātvienādojumus bieži sauc par otrās pakāpes vienādojumiem. Tas ir tāpēc, ka kvadrātvienādojums ir algebriskais vienādojums otrā pakāpe.

Skanīgā definīcija ļauj sniegt kvadrātvienādojumu piemērus. Tātad 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 utt. ir kvadrātvienādojumi.

Definīcija.

Skaitļi tiek saukti a, b un c kvadrātvienādojuma koeficienti a x 2 + b x + c \u003d 0, un koeficientu a sauc par pirmo jeb vecāko, vai koeficientu pie x 2, b ir otrais koeficients vai koeficients pie x, un c ir brīvais loceklis.

Piemēram, pieņemsim kvadrātvienādojumu formā 5 x 2 −2 x−3=0, šeit vadošais koeficients ir 5, otrais koeficients ir −2 un brīvais loceklis ir −3. Ņemiet vērā: ja koeficienti b un/vai c ir negatīvi, kā tikko dotajā piemērā, tad īsā forma uzrakstot kvadrātvienādojumu formā 5 x 2 −2 x−3=0 , nevis 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 .

Ir vērts atzīmēt, ka, ja koeficienti a un / vai b ir vienādi ar 1 vai -1, tie parasti nav skaidri norādīti kvadrātvienādojuma apzīmējumā, kas ir saistīts ar šāda apzīmējuma īpatnībām. Piemēram, kvadrātvienādojumā y 2 −y+3=0 vadošais koeficients ir viens, un koeficients pie y ir −1.

Reducēti un nereducēti kvadrātvienādojumi

Atkarībā no vadošā koeficienta vērtības izšķir reducētus un nereducētus kvadrātvienādojumus. Sniegsim atbilstošās definīcijas.

Definīcija.

Tiek izsaukts kvadrātvienādojums, kurā vadošais koeficients ir 1 reducēts kvadrātvienādojums. Pretējā gadījumā kvadrātvienādojums ir nesamazināts.

Saskaņā ar šī definīcija, kvadrātvienādojumi x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 utt. - samazināts, katrā no tiem pirmais koeficients vienāds ar vienu. Un 5 x 2 −x−1=0 utt. - nereducēti kvadrātvienādojumi, to vadošie koeficienti atšķiras no 1 .

No jebkura nereducēta kvadrātvienādojuma, dalot abas tā daļas ar vadošo koeficientu, var pāriet uz reducēto. Šī darbība ir līdzvērtīga transformācija, tas ir, šādā veidā iegūtajam reducētajam kvadrātvienādojumam ir tādas pašas saknes kā sākotnējam nereducētajam kvadrātvienādojumam vai, tāpat kā tam, nav sakņu.

Ņemsim piemēru, kā tiek veikta pāreja no nereducēta kvadrātvienādojuma uz reducētu.

Piemērs.

No vienādojuma 3 x 2 +12 x−7=0 pārejiet uz atbilstošo reducēto kvadrātvienādojumu.

Risinājums.

Mums pietiek veikt abu sākotnējā vienādojuma daļu dalīšanu ar vadošo koeficientu 3, tas nav nulle, lai mēs varētu veikt šo darbību. Mums ir (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, kas ir tāds pats kā (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 un tā tālāk (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , no kurienes . Tātad mēs saņēmām samazināto kvadrātvienādojumu, kas ir līdzvērtīgs sākotnējam.

Atbilde:

Pilnīgi un nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Kvadrātvienādojuma definīcijā ir nosacījums a≠0. Šis nosacījums ir nepieciešams, lai vienādojums a x 2 +b x+c=0 būtu tieši kvadrāts, jo ar a=0 tas faktiski kļūst par lineāru vienādojumu formā b x+c=0 .

Kas attiecas uz koeficientiem b un c, tie var būt vienādi ar nulli gan atsevišķi, gan kopā. Šajos gadījumos kvadrātvienādojumu sauc par nepilnīgu.

Definīcija.

Tiek izsaukts kvadrātvienādojums a x 2 +b x+c=0 nepilnīgs, ja vismaz viens no koeficientiem b , c ir vienāds ar nulli.

Savukārt

Definīcija.

Pilnīgs kvadrātvienādojums ir vienādojums, kurā visi koeficienti atšķiras no nulles.

Šie vārdi nav doti nejauši. Tas kļūs skaidrs no turpmākās diskusijas.

Ja koeficients b ir vienāds ar nulli, tad kvadrātvienādojums ir a x 2 +0 x+c=0, un tas ir ekvivalents vienādojumam a x 2 +c=0 . Ja c=0, tas ir, kvadrātvienādojuma forma ir a x 2 +b x+0=0, tad to var pārrakstīt kā x 2 +b x=0 . Un ar b=0 un c=0 iegūstam kvadrātvienādojumu a·x 2 =0. Iegūtie vienādojumi atšķiras no pilnā kvadrātvienādojuma ar to, ka to kreisajā pusē nav ne termina ar mainīgo x, ne brīvo vārdu, vai abus. Līdz ar to viņu nosaukums - nepilnīgi kvadrātvienādojumi.

Tātad vienādojumi x 2 +x+1=0 un −2 x 2 −5 x+0,2=0 ir pilnīgu kvadrātvienādojumu piemēri, un x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 ir nepilnīgi kvadrātvienādojumi.

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana

No iepriekšējās rindkopas informācijas izriet, ka ir trīs veidu nepilnīgi kvadrātvienādojumi:

• a x 2 =0 , tam atbilst koeficienti b=0 un c=0;
• a x 2 +c=0, kad b=0;
• un a x 2 +b x=0, kad c=0 .

Analizēsim secībā, kā tiek atrisināti katra no šiem tipiem nepilnīgie kvadrātvienādojumi.

a x 2 \u003d 0

Sāksim ar nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanu, kuros koeficienti b un c ir vienādi ar nulli, tas ir, ar vienādojumiem formā a x 2 =0. Vienādojums a·x 2 =0 ir ekvivalents vienādojumam x 2 =0, ko iegūst no oriģināla, dalot abas tā daļas ar skaitli, kas nav nulle a. Acīmredzot vienādojuma x 2 \u003d 0 sakne ir nulle, jo 0 2 \u003d 0. Šim vienādojumam nav citu sakņu, kas ir izskaidrojams, patiesi, jebkuram skaitlim p, kas nav nulle, notiek nevienādība p 2 >0, kas nozīmē, ka p≠0 vienādība p 2 =0 nekad netiek sasniegta.

Tātad nepilnīgajam kvadrātvienādojumam a x 2 \u003d 0 ir viena sakne x \u003d 0.

Kā piemēru dodam nepilna kvadrātvienādojuma atrisinājumu −4·x 2 =0. Tas ir līdzvērtīgs vienādojumam x 2 \u003d 0, tā vienīgā sakne ir x \u003d 0, tāpēc sākotnējam vienādojumam ir viena saknes nulle.

Īsu risinājumu šajā gadījumā var izdot šādi:
−4 x 2 = 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 + c=0

Tagad apsveriet, kā tiek atrisināti nepilnīgi kvadrātvienādojumi, kuros koeficients b ir vienāds ar nulli, un c≠0, tas ir, vienādojumi formā a x 2 +c=0. Mēs zinām, ka vārda pārnešana no vienādojuma vienas puses uz otru ar pretēju zīmi, kā arī vienādojuma abu pušu dalīšana ar skaitli, kas nav nulle, dod līdzvērtīgu vienādojumu. Tāpēc nepilnīgajam kvadrātvienādojumam a x 2 +c=0 var veikt šādas ekvivalentas transformācijas:

• pārvietojiet c uz labo pusi, kas dod vienādojumu a x 2 =-c,
• un sadalot abas tā daļas ar a , iegūstam .

Iegūtais vienādojums ļauj izdarīt secinājumus par tā saknēm. Atkarībā no a un c vērtībām izteiksmes vērtība var būt negatīva (piemēram, ja a=1 un c=2 , tad ) vai pozitīva (piemēram, ja a=−2 un c=6 , tad ), tas nav vienāds ar nulli , jo pēc nosacījuma c≠0 . Mēs atsevišķi analizēsim gadījumus un .

Ja , tad vienādojumam nav sakņu. Šis apgalvojums izriet no fakta, ka jebkura skaitļa kvadrāts ir nenegatīvs skaitlis. No tā izriet, ka kad , tad jebkuram skaitlim p vienādība nevar būt patiesa.

Ja , tad situācija ar vienādojuma saknēm ir atšķirīga. Šajā gadījumā, ja atceramies par, tad vienādojuma sakne uzreiz kļūst acīmredzama, tas ir skaitlis, kopš. Ir viegli uzminēt, ka skaitlis ir arī vienādojuma sakne, patiešām, . Šim vienādojumam nav citu sakņu, ko var parādīt, piemēram, ar pretrunu. Darīsim to.

Tikko izrunātās vienādojuma saknes apzīmēsim kā x 1 un −x 1 . Pieņemsim, ka vienādojumam ir cita sakne x 2, kas atšķiras no norādītajām saknēm x 1 un −x 1 . Ir zināms, ka aizstāšana vienādojumā tā sakņu x vietā pārvērš vienādojumu par patiesu skaitlisko vienādību. Attiecībā uz x 1 un −x 1 mums ir , un attiecībā uz x 2 mums ir . Skaitlisko vienādību īpašības ļauj veikt patieso skaitlisko vienādību atņemšanu pa termiņam, tāpēc, atņemot atbilstošās vienādību daļas, iegūst x 1 2 − x 2 2 =0. Darbību ar skaitļiem īpašības ļauj iegūto vienādību pārrakstīt kā (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Mēs zinām, ka divu skaitļu reizinājums ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja vismaz viens no tiem ir vienāds ar nulli. Tāpēc no iegūtās vienādības izriet, ka x 1 −x 2 =0 un/vai x 1 +x 2 =0 , kas ir vienāda, x 2 =x 1 un/vai x 2 = −x 1 . Tātad esam nonākuši pie pretrunas, jo sākumā teicām, ka vienādojuma x 2 sakne atšķiras no x 1 un −x 1 . Tas pierāda, ka vienādojumam nav citu sakņu kā un .

Apkoposim informāciju šajā punktā. Nepabeigtais kvadrātvienādojums a x 2 +c=0 ir līdzvērtīgs vienādojumam , kas

• nav sakņu, ja
• ir divas saknes un ja .

Apsveriet piemērus nepilnu kvadrātvienādojumu risināšanai formā a·x 2 +c=0 .

Sāksim ar kvadrātvienādojumu 9 x 2 +7=0 . Pēc brīvā vārda pārcelšanas uz vienādojuma labo pusi tas iegūs formu 9·x 2 =−7. Sadalot abas iegūtā vienādojuma puses ar 9 , mēs nonākam pie . Tā kā labajā pusē tiek iegūts negatīvs skaitlis, šim vienādojumam nav sakņu, tāpēc sākotnējam nepilnīgajam kvadrātvienādojumam 9 x 2 +7=0 nav sakņu.

Atrisināsim vēl vienu nepilnīgu kvadrātvienādojumu −x 2 +9=0. Mēs pārnesam deviņus uz labo pusi: -x 2 \u003d -9. Tagad abas daļas sadalām ar −1, iegūstam x 2 =9. Labajā pusē ir pozitīvs skaitlis, no kura mēs secinām, ka vai . Pēc galīgās atbildes pierakstīšanas: nepilnīgajam kvadrātvienādojumam −x 2 +9=0 ir divas saknes x=3 vai x=−3.

a x 2 +b x=0

Atliek izskatīt lēmumu pēdējais veids nepilnīgi kvadrātvienādojumi c=0 . Nepilnīgi kvadrātvienādojumi formā a x 2 +b x=0 ļauj atrisināt faktorizācijas metode. Acīmredzot mēs varam, kas atrodas vienādojuma kreisajā pusē, kam pietiek ar kopējo koeficientu x izņemt no iekavām. Tas ļauj pāriet no sākotnējā nepilnīgā kvadrātvienādojuma uz līdzvērtīgu vienādojumu formā x·(a·x+b)=0 . Un šis vienādojums ir līdzvērtīgs divu vienādojumu kopai x=0 un a x+b=0 , no kuriem pēdējais ir lineārs un kura sakne ir x=-b/a .

Tātad nepilnīgajam kvadrātvienādojumam a x 2 +b x=0 ir divas saknes x=0 un x=−b/a.

Lai konsolidētu materiālu, mēs analizēsim konkrēta piemēra risinājumu.

Piemērs.

Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums.

Mēs izņemam x no iekavām, tas dod vienādojumu. Tas ir līdzvērtīgs diviem vienādojumiem x=0 un . Atrisinām iegūto lineāro vienādojumu: , un pēc dalīšanas jaukts numurs ieslēgts kopējā frakcija, mēs atradām . Tāpēc sākotnējā vienādojuma saknes ir x=0 un .

Pēc nepieciešamās prakses iegūšanas šādu vienādojumu risinājumus var īsi uzrakstīt:

Atbilde:

x=0 , .

Diskriminants, kvadrātvienādojuma sakņu formula

Lai atrisinātu kvadrātvienādojumus, ir saknes formula. Pierakstīsim kvadrātvienādojuma sakņu formula: , Kur D=b 2 −4 a c- ts kvadrātvienādojuma diskriminants. Apzīmējums būtībā nozīmē, ka .

Ir noderīgi zināt, kā iegūta saknes formula un kā tā tiek izmantota kvadrātvienādojumu sakņu atrašanā. Tiksim ar šo galā.

Kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana

Atrisināsim kvadrātvienādojumu a·x 2 +b·x+c=0 . Veiksim dažas līdzvērtīgas transformācijas:

• Abas šī vienādojuma daļas varam dalīt ar skaitli a, kas nav nulle, kā rezultātā iegūstam reducēto kvadrātvienādojumu.
• Tagad izcelt pilns kvadrāts tās kreisajā pusē: . Pēc tam vienādojums iegūst formu .
• Šajā posmā ir iespējams veikt pēdējo divu terminu pārnešanu uz labo pusi ar pretējo zīmi, mums ir .
• Un pārveidosim arī izteiksmi labajā pusē: .

Rezultātā mēs nonākam pie vienādojuma , kas ir ekvivalents sākotnējam kvadrātvienādojumam a·x 2 +b·x+c=0 .

Mēs jau esam atrisinājuši vienādojumus, kas pēc formas ir līdzīgi iepriekšējās rindkopās, kad analizējām . Tas ļauj izdarīt šādus secinājumus par vienādojuma saknēm:

• ja , tad vienādojumam nav reālu atrisinājumu;
• ja , tad vienādojumam ir forma , tāpēc, , no kura ir redzama tā vienīgā sakne;
• ja , Tad vai , kas ir tāds pats kā vai , Tas ir, vienādojumam ir divas saknes.

Tādējādi vienādojuma sakņu un līdz ar to sākotnējā kvadrātvienādojuma esamība vai neesamība ir atkarīga no izteiksmes zīmes labajā pusē. Savukārt šīs izteiksmes zīmi nosaka skaitītāja zīme, jo saucējs 4 a 2 vienmēr ir pozitīvs, tas ir, izteiksmes b 2 −4 a c zīme. Šo izteiksmi b 2 −4 a c sauc kvadrātvienādojuma diskriminants un atzīmēts ar burtu D. No šejienes ir skaidra diskriminanta būtība - pēc tā vērtības un zīmes tiek secināts, vai kvadrātvienādojumam ir reālas saknes, un, ja ir, tad kāds ir to skaits - viens vai divi.

Atgriežamies pie vienādojuma , pārrakstām to, izmantojot diskriminanta apzīmējumu: . Un mēs secinām:

• ja D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ja D=0, tad šim vienādojumam ir viena sakne;
• visbeidzot, ja D>0, tad vienādojumam ir divas saknes vai , ko var pārrakstīt formā vai , un pēc daļskaitļu paplašināšanas un samazināšanas līdz kopsaucējs mēs saņemam.

Tātad mēs atvasinājām kvadrātvienādojuma sakņu formulas, tās izskatās kā , kur diskriminantu D aprēķina pēc formulas D=b 2 −4 a c .

Ar to palīdzību ar pozitīvo diskriminantu jūs varat aprēķināt abas kvadrātvienādojuma reālās saknes. Ja diskriminants ir vienāds ar nulli, abas formulas dod vienu un to pašu saknes vērtību, kas atbilst vienīgais risinājums kvadrātvienādojums. Un ar negatīvu diskriminantu, mēģinot izmantot kvadrātvienādojuma sakņu formulu, mēs saskaramies ar kvadrātsaknes izņemšanu no negatīvs skaitlis, kas mūs izved ārpus ietvara un skolas mācību programmas. Ar negatīvu diskriminantu kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu, bet tam ir pāris komplekss konjugāts saknes, kuras var atrast, izmantojot tās pašas sakņu formulas, kuras mēs ieguvām.

Algoritms kvadrātvienādojumu risināšanai, izmantojot saknes formulas

Praksē, risinot kvadrātvienādojumu, uzreiz var izmantot saknes formulu, ar kuras palīdzību aprēķināt to vērtības. Bet tas vairāk attiecas uz sarežģītu sakņu atrašanu.

Tomēr skolas algebras kursā mēs parasti runājam nevis par sarežģītām, bet gan par reālām kvadrātvienādojuma saknēm. Šādā gadījumā pirms kvadrātvienādojuma sakņu formulu izmantošanas ieteicams vispirms atrast diskriminantu, pārliecināties, ka tas nav negatīvs (pretējā gadījumā varam secināt, ka vienādojumam nav reālu sakņu), un pēc tam aprēķināt sakņu vērtības.

Iepriekš minētais pamatojums ļauj mums rakstīt Kvadrātvienādojuma risināšanas algoritms. Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu a x 2 + b x + c \u003d 0, jums ir nepieciešams:

• izmantojot diskriminanta formulu D=b 2 −4 a c aprēķina tā vērtību;
• secināt, ka kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu, ja diskriminants ir negatīvs;
• aprēķina vienīgo vienādojuma sakni, izmantojot formulu, ja D=0 ;
• atrast divas kvadrātvienādojuma reālās saknes, izmantojot saknes formulu, ja diskriminants ir pozitīvs.

Šeit mēs tikai atzīmējam, ka, ja diskriminants ir vienāds ar nulli, var izmantot arī formulu, tā dos tādu pašu vērtību kā .

Varat pāriet uz kvadrātvienādojumu risināšanas algoritma pielietošanas piemēriem.

Kvadrātvienādojumu risināšanas piemēri

Apsveriet trīs kvadrātvienādojumu risinājumus ar pozitīvu, negatīvu un nulles diskriminantu. Izskatot to risinājumu, pēc analoģijas būs iespējams atrisināt jebkuru citu kvadrātvienādojumu. Sāksim.

Piemērs.

Atrodiet vienādojuma saknes x 2 +2 x−6=0 .

Risinājums.

Šajā gadījumā mums ir šādi kvadrātvienādojuma koeficienti: a=1 , b=2 un c=−6 . Saskaņā ar algoritmu vispirms ir jāaprēķina diskriminants, šim nolūkam mēs aizstājam norādītos a, b un c diskriminanta formulā, mums ir D=b 2 -4 a c = 2 2 -4 1 (-6) = 4+24 = 28. Tā kā 28>0, tas ir, diskriminants ir lielāks par nulli, kvadrātvienādojumam ir divas reālas saknes. Atradīsim tos pēc formulas saknes , mēs iegūstam , šeit mēs varam vienkāršot izteiksmes, kas iegūtas, veicot ņem vērā saknes zīmi kam seko frakciju samazināšana:

Atbilde:

Pāriesim pie nākamā tipiskā piemēra.

Piemērs.

Atrisiniet kvadrātvienādojumu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Risinājums.

Mēs sākam, meklējot diskriminantu: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Tāpēc šim kvadrātvienādojumam ir viena sakne, ko mēs atrodam kā , tas ir,

Atbilde:

x=3,5 .

Atliek apsvērt kvadrātvienādojumu risinājumu ar negatīvu diskriminantu.

Piemērs.

Atrisiniet vienādojumu 5 y 2 +6 y+2=0 .

Risinājums.

Šeit ir kvadrātvienādojuma koeficienti: a=5 , b=6 un c=2 . Aizstājot šīs vērtības diskriminējošā formulā, mums ir D=b 2-4 a c=6 2-4 5 2=36-40=-4. Diskriminants ir negatīvs, tāpēc šim kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu.

Ja jums ir jānorāda sarežģītas saknes, mēs izmantojam labi zināmo kvadrātvienādojuma sakņu formulu un veicam operācijas ar kompleksajiem skaitļiem:

Atbilde:

īstu sakņu nav, sarežģītās saknes ir: .

Vēlreiz atzīmējam, ka, ja kvadrātvienādojuma diskriminants ir negatīvs, tad skola parasti uzreiz pieraksta atbildi, kurā norāda, ka īstu sakņu nav un sarežģītas saknes neatrod.

Saknes formula pat otrajam koeficientam

Formula kvadrātvienādojuma saknēm, kur D=b 2 −4 a c ļauj iegūt kompaktāku formulu, kas ļauj atrisināt kvadrātvienādojumus ar vienmērīgu koeficientu pie x (vai vienkārši ar koeficientu, kas izskatās kā 2 n , piemēram, vai 14 ln5=2 7 ln5). Izvedīsim viņu ārā.

Pieņemsim, ka jāatrisina kvadrātvienādojums formā a x 2 +2 n x + c=0 . Atradīsim tās saknes, izmantojot mums zināmo formulu. Lai to izdarītu, mēs aprēķinām diskriminantu D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), un tad mēs izmantojam saknes formulu:

Apzīmējiet izteiksmi n 2 −a c kā D 1 (dažreiz to apzīmē ar D "). Tad aplūkotā kvadrātvienādojuma sakņu formula ar otro koeficientu 2 n iegūst formu , kur D 1 =n 2 −a c .

Ir viegli redzēt, ka D=4·D 1 vai D 1 =D/4 . Citiem vārdiem sakot, D 1 ir diskriminanta ceturtā daļa. Ir skaidrs, ka D 1 zīme ir tāda pati kā D zīme. Tas ir, zīme D 1 ir arī kvadrātvienādojuma sakņu esamības vai neesamības rādītājs.

Tātad, lai atrisinātu kvadrātvienādojumu ar otro koeficientu 2 n, jums ir nepieciešams

• Aprēķināt D 1 =n 2 −a·c ;
• Ja D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ja D 1 =0, tad aprēķina vienīgo vienādojuma sakni, izmantojot formulu;
• Ja D 1 >0, tad, izmantojot formulu, atrodiet divas reālas saknes.

Apsveriet piemēra risinājumu, izmantojot šajā punktā iegūto saknes formulu.

Piemērs.

Atrisiniet kvadrātvienādojumu 5 x 2 −6 x−32=0 .

Risinājums.

Šī vienādojuma otro koeficientu var attēlot kā 2·(−3) . Tas ir, jūs varat pārrakstīt sākotnējo kvadrātvienādojumu formā 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, šeit a=5, n=−3 un c=−32, un aprēķināt ceturto daļu diskriminējošais: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Tā kā tā vērtība ir pozitīva, vienādojumam ir divas reālas saknes. Mēs tos atrodam, izmantojot atbilstošo saknes formulu:

Ņemiet vērā, ka kvadrātvienādojuma saknēm bija iespējams izmantot parasto formulu, taču šajā gadījumā būtu jāveic vairāk skaitļošanas darba.

Atbilde:

Kvadrātvienādojumu formas vienkāršošana

Dažreiz, pirms ķerties pie kvadrātvienādojuma sakņu aprēķināšanas, izmantojot formulas, nenāk par ļaunu uzdot jautājumu: “Vai ir iespējams vienkāršot šī vienādojuma formu”? Piekrītiet, ka aprēķinu ziņā kvadrātvienādojumu 11 x 2 −4 x −6=0 būs vieglāk atrisināt nekā 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Parasti kvadrātvienādojuma formas vienkāršošanu panāk, reizinot vai dalot abas tā puses ar kādu skaitli. Piemēram, iepriekšējā rindkopā mums izdevās panākt vienādojuma 1100 x 2 −400 x −600=0 vienkāršošanu, abas puses dalot ar 100 .

Līdzīga transformācija tiek veikta ar kvadrātvienādojumiem, kuru koeficienti nav . Parasti abas vienādojuma puses dala ar absolūtās vērtības tā koeficienti. Piemēram, ņemsim kvadrātvienādojumu 12 x 2 −42 x+48=0. tā koeficientu absolūtās vērtības: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6. Sadalot abas sākotnējā kvadrātvienādojuma daļas ar 6 , iegūstam ekvivalento kvadrātvienādojumu 2 x 2 −7 x+8=0 .

Un kvadrātvienādojuma abu daļu reizināšana parasti tiek veikta, lai atbrīvotos no daļskaitļa koeficientiem. Šajā gadījumā reizināšanu veic ar tā koeficientu saucējiem. Piemēram, ja abas kvadrātvienādojuma daļas tiek reizinātas ar LCM(6, 3, 1)=6 , tad tam būs vienkāršāka forma x 2 +4 x−18=0 .

Noslēdzot šo punktu, mēs atzīmējam, ka gandrīz vienmēr atbrīvojieties no mīnusa kvadrātvienādojuma vadošajā koeficientā, mainot visu terminu zīmes, kas atbilst abu daļu reizināšanai (vai dalīšanai) ar −1. Piemēram, parasti no kvadrātvienādojuma −2·x 2 −3·x+7=0 pāriet uz risinājumu 2·x 2 +3·x−7=0 .

Kvadrātvienādojuma sakņu un koeficientu saistība

Kvadrātvienādojuma sakņu formula izsaka vienādojuma saknes tā koeficientu izteiksmē. Pamatojoties uz sakņu formulu, jūs varat iegūt citas attiecības starp saknēm un koeficientiem.

Vispazīstamākās un pielietojamākās formulas no Vietas teorēmas formas un . Konkrēti, dotajam kvadrātvienādojumam sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir brīvais termins. Piemēram, pēc kvadrātvienādojuma formas 3 x 2 −7 x+22=0 uzreiz varam teikt, ka tā sakņu summa ir 7/3, bet sakņu reizinājums ir 22/3.

Izmantojot jau uzrakstītās formulas, jūs varat iegūt vairākas citas attiecības starp kvadrātvienādojuma saknēm un koeficientiem. Piemēram, kvadrātvienādojuma sakņu kvadrātu summu var izteikt ar tā koeficientiem: .

Bibliogrāfija.

• Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M. : Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičs A.G. Algebra. 8. klase. Plkst.14 1. daļa. Mācību grāmata izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs. - 11. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Diskriminants ir neskaidrs termins. Šajā rakstā galvenā uzmanība tiks pievērsta polinoma diskriminantam, kas ļauj noteikt, vai konkrētajam polinomam ir reāli risinājumi. Kvadrātveida polinoma formula ir atrodama skolas algebras un analīzes kursā. Kā atrast diskriminantu? Kas nepieciešams, lai atrisinātu vienādojumu?

Tiek saukts kvadrātiskais polinoms vai otrās pakāpes vienādojums i * w ^ 2 + j * w + k ir vienāds ar 0, kur "i" un "j" ir attiecīgi pirmais un otrais koeficients, "k" ir konstante, ko dažreiz sauc par "pārtveršanu", un "w" ir mainīgs lielums. Tās saknes būs visas mainīgā lieluma vērtības, pie kurām tas pārvēršas par identitāti. Šādu vienādību var pārrakstīt kā i, (w - w1) un (w - w2) reizinājumu, kas vienāds ar 0. Šajā gadījumā ir skaidrs, ka, ja koeficients "i" nepazūd, tad funkcija uz kreisā puse kļūs par nulli tikai tad, ja x ņem vērtību w1 vai w2. Šīs vērtības ir polinoma iestatīšanas uz nulli rezultāts.

Lai atrastu mainīgā lieluma vērtību, kurā kvadrātiskais polinoms pazūd, tiek izmantota palīgkonstrukcija, kas balstīta uz tā koeficientiem un tiek saukta par diskriminantu. Šo konstrukciju aprēķina pēc formulas D ir vienāds ar j * j - 4 * i * k. Kāpēc tas tiek izmantots?

1. Viņa saka, ja ir derīgi rezultāti.
2. Viņa palīdz tos aprēķināt.

Kā šī vērtība parāda īstu sakņu klātbūtni:

• Ja tas ir pozitīvs, tad reģionā varam atrast divas saknes reāli skaitļi.
• Ja diskriminants ir nulle, tad abi risinājumi ir vienādi. Mēs varam teikt, ka ir tikai viens risinājums, un tas ir no reālo skaitļu jomas.
• Ja diskriminants ir mazāks par nulli, tad polinomam nav reālu sakņu.

Aprēķinu iespējas materiāla nostiprināšanai

Ja summa (7 * w^2; 3 * w; 1) ir vienāda ar 0 mēs aprēķinām D pēc formulas 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 mēs iegūstam -19. Diskriminējošā vērtība zem nulles norāda, ka reālajā līnijā nav rezultātu.

Ja mēs uzskatām, ka 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 ir ekvivalents 0, tad D aprēķina kā (-3) kvadrātā mīnus skaitļu (4; 2; 1) reizinājumu un ir vienāds ar 9–8, tas ir, 1. Pozitīva vērtība runā par diviem rezultātiem reālajā līnijā.

Ja mēs ņemam summu (w^2; 2 * w; 1) un pielīdzinām 0, D aprēķina kā divus kvadrātus, no kuriem atņem skaitļu reizinājumu (4; 1; 1). Šī izteiksme tiks vienkāršota līdz 4–4 un pārvērsta par nulli. Izrādās, ka rezultāti ir vienādi. Ja paskatās uzmanīgi uz šo formulu, kļūs skaidrs, ka tas ir “pilns kvadrāts”. Tas nozīmē, ka vienādību var pārrakstīt formā (w + 1) ^ 2 = 0. Kļuva skaidrs, ka rezultāts šajā uzdevumā ir “-1”. Situācijā, kad D ir vienāds ar 0, vienādības kreiso pusi vienmēr var sakļaut pēc formulas “summas kvadrāts”.

Diskriminanta izmantošana sakņu aprēķināšanai

Šī palīgkonstrukcija ne tikai parāda reālo risinājumu skaitu, bet arī palīdz tos atrast. Vispārējā formula otrās pakāpes vienādojuma aprēķins ir šāds:

w = (-j +/- d) / (2 * i), kur d ir diskriminants pakāpē 1/2.

Pieņemsim, ka diskriminants ir zem nulles, tad d ir iedomāts un rezultāti ir iedomāti.

D ir nulle, tad d, kas vienāds ar D ar pakāpju 1/2, arī ir nulle. Risinājums: -j / (2 * i). Atkal apsverot 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, mēs atrodam rezultātus, kas līdzvērtīgi -2 / (2 * 1) = -1.

Pieņemsim, ka D > 0, tātad d ir reāls skaitlis, un atbilde šeit sadalās divās daļās: w1 = (-j + d) / (2 * i) un w2 = (-j - d) / (2 * i) . Abi rezultāti būs derīgi. Apskatīsim 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Šeit diskriminants un d ir viens. Tātad w1 ir (3 + 1) dalīts ar (2 * 2) vai 1, un w2 ir (3 - 1) dalīts ar 2 * 2 vai 1/2.

Kvadrātveida izteiksmes pielīdzināšanas nullei rezultātu aprēķina pēc algoritma:

1. Derīgo risinājumu skaita noteikšana.
2. Aprēķins d = D^(1/2).
3. Rezultāta atrašana pēc formulas (-j +/- d) / (2 * i).
4. Saņemtā rezultāta sākotnējā vienlīdzībā aizstāšana ar pārbaudi.

Daži īpaši gadījumi

Atkarībā no koeficientiem risinājumu var nedaudz vienkāršot. Acīmredzot, ja koeficients mainīgā priekšā otrajai pakāpei ir nulle, tad tiek iegūta lineāra vienādība. Ja koeficients mainīgā priekšā ir nulle līdz pirmajai pakāpei, ir iespējamas divas iespējas:

1. polinoms izplešas kvadrātu starpībā ar negatīvu brīvo terminu;
2. pozitīvai konstantei reālus risinājumus nevar atrast.

Ja brīvais termins ir nulle, tad saknes būs (0; -j)

Taču ir arī citi īpaši gadījumi, kas vienkāršo risinājuma atrašanu.

Samazināts otrās pakāpes vienādojums

Dotais tiek saukts tādi kvadrātveida trinomāls, kur koeficients vadošā vārda priekšā ir viens. Šai situācijai ir piemērojama Vieta teorēma, kas saka, ka sakņu summa ir vienāda ar mainīgā koeficientu pirmajai pakāpei, kas reizināts ar -1, un reizinājums atbilst konstantei "k".

Tāpēc w1 + w2 ir vienāds ar -j un w1 * w2 ir vienāds ar k, ja pirmais koeficients ir viens. Lai pārbaudītu šāda attēlojuma pareizību, mēs varam izteikt w2 = -j - w1 no pirmās formulas un aizstāt to ar otro vienādību w1 * (-j - w1) = k. Rezultāts ir sākotnējā vienādība w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Ir svarīgi atzīmēt ka i * w ^ 2 + j * w + k = 0 var samazināt, dalot ar "i". Rezultāts būs šāds: w^2 + j1 * w + k1 = 0 kur j1 ir vienāds ar j/i un k1 ir vienāds ar k/i.

Apskatīsim jau atrisināto 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 ar rezultātiem w1 = 1 un w2 = 1/2. Nepieciešams to sadalīt uz pusēm, kā rezultātā w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Pārbaudīsim, vai teorēmas nosacījumi ir patiesi atrastajiem rezultātiem: 1 + 1/2 = 3/2 un 1 * 1/2 = 1/2.

Pat otrs faktors

Ja mainīgā koeficients pirmajai pakāpei (j) dalās ar 2, tad būs iespējams vienkāršot formulu un meklēt risinājumu, izmantojot ceturtdaļu no diskriminanta D / 4 \u003d (j / 2) ^ 2 - i * k. izrādās w = (-j +/- d/2) / i, kur d/2 = D/4 pakāpē 1/2.

Ja i = 1 un koeficients j ir pāra, tad risinājums ir reizinājums ar -1 un pusi no koeficienta mainīgajā w, plus/mīnus šīs puses kvadrāta sakne, atskaitot konstanti "k". Formula: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.

Augstākas kārtas diskriminants

Iepriekš aplūkotais otrās pakāpes diskriminants ir visbiežāk izmantotais īpašais gadījums. Vispārīgā gadījumā polinoma diskriminants ir šī polinoma sakņu starpību reizinātie kvadrāti. Tāpēc diskriminants, kas vienāds ar nulli, norāda uz vismaz divu vairāku risinājumu klātbūtni.

Apsveriet i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Pieņemsim, ka diskriminants ir lielāks par nulli. Tas nozīmē, ka reālo skaitļu reģionā ir trīs saknes. Pie nulles ir vairāki risinājumi. Ja D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Mūsu video detalizēti pastāstīs par diskriminanta aprēķinu.

Vai nesaņēmāt atbildi uz savu jautājumu? Iesakiet tēmu autoriem.