Pētnieciskā nodarbība par tēmu "Kvadrātā reducēti vienādojumi"
“Jums ir jānovērtē cilvēki atbilstoši viņu izvirzītajiem mērķiem”
N.N. Mikluho-Maklejs.
Mērķi:
Izglītojoši: ienesiet sistēmā studentu zināšanas par noteiktu tēmu (atkārtojiet teoriju, attīstiet spēju noteikt vienādojuma veidu un izvēlēties racionāls veidsšī vienādojuma risinājumi);
Attīstīt: intensīva un radoša domāšana, vēlme rast risinājumu;
Izglītojoši: intereses radīšana par mutvārdu darbu, materiāla apzinātas asimilācijas iemaņu veicināšana.
parādīt veidu, kā atrisināt vienādojumus, ieviešot jaunu mainīgo.
Nodarbību laikā
Šodien nodarbībā vēlos jūs aicināt dziļāk ieskatīties brīnišķīgajā matemātikas pasaulē – vienādojumu pasaulē, meklējumu pasaulē, pētniecības pasaulē.
Lai mācītu matemātiku,
Tev viņa vispirms jāmīl.
Paskatīsimies, kā mēs patiesībā stāvam šajā ziņā saistībā ar visiem pētītajiem vienādojumiem.
Bet vispirms pārbaudīsim mājasdarbs
Interaktīvā tāfele. Risinājuma slaids (nomainīt piezīmjdatorus)
Sekundārā iedziļināšanās tēmā
Lai saprastu matemātiku
Jums tas jāzina sīkāk.
Cik detalizēti zinām tēmu, tad kursā mēģināsim to izdomāt nākamais darbs:
Slaids Un atcerieties, kas ir vienādojums? ("Aizkars" atklāj pareizo atbildi)
(Vienlīdzība, kas satur nezināmo).
Ko nozīmē atrisināt vienādojumu?
(Tas nozīmē atrast visas tās saknes vai pierādīt, ka tās neeksistē).
Kāda ir vienādojuma sakne?
(Mainīgā vērtība, pie kuras vienādojums kļūst par pareizo vienādību).
Kādus vienādojumus jūs zināt un varat atrisināt? (Lineāra, kvadrātveida, daļēja racionāla, bikvadrātiska).
Visas jums zināmās vienādojumu risināšanas metodes var tēlaini attēlot "atslēgu" formā. Nodarbības simbols - atslēgu ķekars -
"Lineārie vienādojumi", "Kvadrātvienādojumi", "Daļskaitļu racionālie vienādojumi", "Uz kvadrātvienādojumi reducējami vienādojumi". "Bikvadrātvienādojumi"
(atslēgas pakarinām uz tāfeles)
Slaids (slaids) un vienādojumu veidi
atrast vienādojumu saknes.
Lēmums valdē
x 4 - 10 x 2 + 9 = 0, vienādojums ir bikvadrātisks
(x-10) 2-3 (x-10) -4 = 0
Apkoposim savu pētniecisko darbu.
Izvade: Tātad, mēs atrisinājām divus dažādas formas vienādojumus ar vienu un to pašu metodi - jauna mainīgā ievadīšanas metodi, kur sākotnējais vienādojums tiek reducēts uz kvadrātisko.
Tagad mēģināsim sastādīt risinājuma algoritmu
Un mūsu uzdevums ir mēģināt "noslīpēt" šo atslēgu, iemācīties ar šādu atslēgu atklāt vienādojumu noslēpumu.
Pati radošā daļa
Lai aizrauj ar matemātiku,
Viņai ir jāpievērš uzmanība.
Mēģināsim pārliecināties, cik daudz uzmanības varam iegūt.
Apsveriet augstākas pakāpes vienādojumu risinājumu, izmantojot
faktorizēšana.
Atbilde: -1; -0,5; 1.
Draudzēties ar matemātiku,
Visā ir jābūt loģiskam.
Nav šaubu, ka vienādojumus, kas tiek piedāvāti bez loģikas, ir gandrīz neiespējami apgūt. Tagad mēs par to pārliecināsimies.
Kāda veida aizstāšanu var veikt katrā vienādojumā.
Tagad mēģiniet samazināt šo vienādojumu līdz kvadrātiskajam, mēs jau esam definējuši aizstāšanu (izvēlieties sev jebkuru vēlamo vienādojumu) un pārbaudiet to.
Apkopojot.
Atspulgs
Šodien nodarbībā ar jums tikko mēģinājām nedaudz "noslīpēt" mūsu "atslēgu", jums vēl ir daudz jāstrādā, lai šī atslēga darbotos nevainojami.
Mājās: kolekcija GIA-2010 151.lpp.Nr.128,129, Nr.130,131. Paldies par nodarbību. Man bija interesanti ar jums strādāt. Novēlu veiksmi, jaunus meklējumus un atklājumus.
4. Nodarbības rezumēšana.
Ko jaunu jūs uzzinājāt nodarbībā?
Kādi uzdevumi bija grūti? Ko tu atceries?
Kā klase strādāja stundā?
Kurš paveica vislabāko darbu?
Novērtējiet skolēnu atbildes pie tāfeles.
Atzīmējiet nodarbību, pamatojot savu uzdevumu.
Vienādojumi reducēti uz kvadrātu.
Bikvadrātiskie vienādojumi
Iepriekšēja sagatavošanās nodarbībai:
skolēniem jāprot atrisināt bikvadrātiskus un kvadrātvienādojumus, ieviešot jaunu mainīgo;
skolēni jau iepriekš sagatavo ziņojumus par izcilajiem itāļu matemātiķiem.
Nodarbības mērķi:
1) izglītojošs: tādu vienādojumu risināšanas metožu apsvēršana, kurus var reducēt uz kvadrātvienādojumiem;
2) izglītojošs: grupu darba iemaņu, skolēnu apzinātas darbības veicināšana;
3) izstrādājot: skolēnu garīgās aktivitātes attīstība, skolēnu savstarpējās mijiedarbības prasmes, spēja vispārināt pētāmos faktus.
Aprīkojums: krustvārdu mīklu režģis uz kartītēm, kartītēm, plakāts - ceļojuma plāns, piezīmes uz tāfeles, pozitīvs kods, kopiju kopija.
Nodarbības veids: stunda-ceļojums pa valsti "Matemātika".
Nodarbību laikā
es... Laika organizēšana
Slaidā tiek parādīts ceļojuma plāns, kurā norādīti staciju nosaukumi.
Šodien dosimies ceļojumā pa valsti "Matemātika". Apstāsimies trešās un ceturtās pakāpes vienādojuma pilsētā, turpināsim iepazīšanos ar bikvadrātiskajiem vienādojumiem, dzirdēsim reportāžas par itāļu matemātiķiem.
II... Ceļošana pa valsti "Matemātika"
1. Stacija krustvārdu mīklas cienītājiem.
Režģis ar atbildēm ir iepriekš ierakstīts uz pozitīva koda vai ieslēgts aizmugurējā puse dēļi.
Katram no jums ir kartītes ar krustvārdu mīklu režģi un jautājumiem. Zem kartītes novietojiet tukšu papīra lapu un kopiju. Pierakstiet atbildes tikai nominatīvajā gadījumā. Atrisiniet krustvārdu mīklu, nododiet kartītes un veiciet pašpārbaudi uz lapas.
Horizontāli:
4 kas ir izteiksme b 4 – 4ac kvadrātvienādojumam ar koeficientiem a, b, c? (Diskriminējoša.)
6. Mainīgā lieluma vērtība, pie kuras vienādojums pārvēršas patiesā vienādībā. (Sakne.)
8. Formas vienādojums cirvis 4 + bx 2 + c = 0, kur a ≠ 0. (Bikvadrātiski.)
9.Franču matemātiķis. (Viet.)
10. Vienādojums, kurā kreisā un labā puse ir veselas izteiksmes. (Vesels.)
11. Vienādojums ar vienu mainīgo, kam ir vienāda sakņu kopa. (Ekvivalents.)
Vertikāli:
1. Vienādojuma sakņu kopa. (Risinājums.)
2. Vienādojuma atrisinājums Ak 2 = 0. (Nulle.)
3. Vienādība, kas satur mainīgo. (Vienādojums.)
5. Kvadrātvienādojums, kurā viens no koeficientiem b vai c ir vienāds ar 0. (Nepilnīgs.)
7. Kvadrātvienādojums, kurā pirmais koeficients ir vienāds ar vienu. (Dots.)
2. Stacija "Vēsturiskā".
Mājas darbu pārbaude.
Mēs esam ar jums Istoricheskaya stacijā. Mēs drīz dzirdēsim ziņojumus no studentiem par izcilajiem itāļu matemātiķiem. Klausīties uzmanīgi. Interesantam papildinājumam var iegūt arī "5".
Vēsturiska atsauce
Students... 16. gadsimta itāļu matemātiķi sniedza lielu ieguldījumu trešās un ceturtās pakāpes vienādojumu risināšanā. N. Tartaglia, A. Fiore, D. Cardano, L. Ferrari un citi. 1535. gadā notika zinātnisks duelis starp A. Fiore un N. Tartaglia, kurā pēdējais izcīnīja spožu uzvaru. 2 stundu laikā viņš atrisināja 30 A. Fiores piedāvātos uzdevumus, un pats A. Fiore nevarēja atrisināt nevienu no N. Tartaglijas viņam uzdotajām problēmām.
Skolotājs. Vai ir kādi papildinājumi? Kurš vēl sagatavoja ziņojumus par itāļu matemātiķiem?
Tiek uzklausīti skolēnu sagatavoti ziņojumi. Katrai ziņai tiek dotas 2-3 minūtes.
Skolotājs... Tātad N. Tartaglija 2 stundu laikā atrisināja 30 uzdevumus. Cik vienādojumus jūs varat atrisināt? Kādus risinājumus izvēlēsies?
3. Vienādojumu pilsēta (mutiski)
Tā nav tikai vienādojumu pilsēta, bet trešās un ceturtās pakāpes vienādojumu pilsēta. Jums ir jāatbild uz visiem jautājumiem. Tikai atbildot uz tiem, jūs varēsiet doties tālāk.
1. vingrinājums. Kā jūs atrisinātu vienādojumus katrai grupai?
1) NS 3 – NS = 0, NS 3 + 9NS = 0, NS 4 – 4NS 2 = 0, plkst 4 – 16 = 0.
2) 9plkst 3 - 18plkst 2 – y + 2 = 0, x 3 – 5NS 2 + 16NS – 80 = 0, 6plkst 4 – 3plkst 3 + 12plkst 2 – 6plkst = 0.
3) (plkst 2 – plkst + 1)(plkst 2 – plkst – 7) = 65, (NS 2 + 2NS) 2 – 2(NS 2 + 2NS) – 3 = 0,
(NS 2 + NS – 1)(NS 2 + NS + 2) = 40.
Atbildes:
1) grupas piemērus vislabāk var atrisināt ar faktorizācijas metodi, izmantojot kopējo koeficientu ārpus iekavām vai izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas.
2. grupas) piemērus vislabāk var atrisināt ar grupēšanu un faktoringu.
3) grupas piemērus vislabāk var atrisināt, ieviešot jaunu mainīgo un pārejot uz kvadrātvienādojumu.
2. uzdevums. Kādu faktoru jūs ievietotu ārpus iekavām 1. uzdevuma 1) grupas piemēros?
Atbildes: NS(NS 2 – 1) = 0,
NS(NS 2 + 9) = 0,
NS 2 (NS 2 – 4) = 0.
3. uzdevums. Kā jūs sagrupētu terminus 1. uzdevuma 2) grupas piemēros?
Atbildes: (9plkst 3 – 18plkst 2) – (plkst – 2) = 0,
(NS 3 – 5NS 2) + (16NS – 80) = 0,
(6plkst 4 – 3plkst 3) + (12plkst 2 – 6plkst) = 0.
4. uzdevums. Ko jūs norādītu kā jaunu mainīgo 1. uzdevuma 3) grupas piemēros?
Atbildes: plkst 2 – plkst = t,
x 2 + 2x = t,
x 2 + x = t.
5. uzdevums. Kā var faktorizēt polinomu plkst 4 – 16 = 0?
Atbilde: (plkst 2 – 4)(plkst 2 + 4) = (plkst – 2)(plkst + 2)(plkst 2 + 4) = 0.
4. Vienādojumu pilsēta. Praktiskā daļa.
Jūs esat pabeidzis mutvārdu darbu Vienādojumu pilsētā, un mēs dosimies tālāk pa šo interesanto pilsētu un turpināsim iepazīšanos ar interesantiem vienādojumiem.
6. uzdevums.
Uzdevumus pie tāfeles vienlaikus veic 2 skolēni.
a) Pirmais skolēns risina pie tāfeles ar skaidrojumu.
9NS 3 – 18NS 2 - x + 2 = 0.
b) Otrs skolēns klusi atrisina vienādojumu, pēc tam skaidro risinājumu, klase klausās un uzdod jautājumus, ja kaut kas nav skaidrs.
NS 3 + NS 2 – 4(NS + 1) 2 = 0.
7. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu (skatiet pielikumu).
Uzdevums tiek veikts neatkarīgi atbilstoši iespējām. Iepriekš kopā ar skolotāju viņi apsver iespējamos aizstāšanas veidus jauna mainīgā lieluma ieviešanai. Pārbaudīts mutiski.
Opcijaes.
(NS 2 + 2NS) 2 – 2(NS 2 + 2NS) – 3 = 0.
NS 2 + 2NS = t.
OpcijaII.
(NS 2 – NS + 1)(NS 2 – NS – 7) = 0.
Aizstāšana, lai ieviestu jaunu mainīgo NS 2 - NS = t.
8. uzdevums.
Papildu uzdevums tiem, kuri var agrāk apstrādāt iepriekšējos vienādojumus.
(2NS 2 + NS – 1)(2NS 2 + NS – 4) + 2 = 0.
Aizstāšana, lai ieviestu jaunu mainīgo 2 NS 2 + NS = t.
9. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu.
Studenti komentē risinājumu no vietas.
NS 4 (NS + 1) – 6NS 2 (NS + 1) + 5(NS + 1) = 0.
Risinājums. Izņemsim kopējo faktoru:
(NS+ 1)(NS 4 – 6NS 2 + 5) = 0, no kurienes NS+ 1 = 0 vai NS 4 – 6NS 2 + 5 = 0, t.i. vai NS= -1 vai
NS 4 – 6NS 2 + 5 = 0. Pēdējais vienādojums ir bikvadrātisks:
NS 2 = t,
t 2 - 6 t + 5 = 0.
Pēc teorēmas, apgrieztā teorēma Vieta t 1 + t 2 = 6, t 1 · t 2 = 5. Tātad t 1 =1, t 2 = 5. Tādējādi NS 2 = 1 vai NS 2 = 5, no kurienes NS 1,2 = ± 1, NS 3,4 = ±.
Atbilde:- 1, 1, -, .
10. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu.
Pirms tam skolotājs pārrunā risinājumu ar klasi. Pēc tam skolēns daļu piemēra atrisina pie tāfeles.
(NS + 1)(NS + 2)(NS + 3)(NS + 4) = 360.
Risinājums. Vispirms sagrupēsim faktorus:
((NS + 1)(NS+ 4)) (( NS + 2)(NS + 3)) = 360,
(NS 2 + 5NS + 4)(NS 2 + 5NS + 6) = 360,
Ļaujiet būt NS 2 + 5NS= t, tad ( t + 4) ( t + 6) = 360.
t 2 + 10t + 24 – 360 = 0,
t + 10t – 336 = 0,
D= 100 + 4336 = 1444 = 38 2.
Kur t 1 = = 14, t 2 = = - 24.
nozīmē, NS 2 + 5NS= 14 vai NS 2 + 5NS= -24, t.i. NS 2 + 5NS- 14 = 0 vai NS 2 + 5NS + 24 = 0.
Otrajā gadījumā D= 25 - 424 = -71
Pirmajā gadījumā ir divas saknes NS 1 = -7, NS 2 = 2.
Atbilde: - 7; 2.
11. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu. (Skatīt pielikumu.)
Ikviens, kurš 10 minūtēs pareizi atrisinās vairāk bikvadrātisku vienādojumu, saņems "5". Studenti strādā patstāvīgi ar sekojošu savstarpēju pārbaudi.
a) NS 4 – 5NS 2 – 36 = 0,
b) plkst 4 – 6plkst 2 + 8 = 0,
plkst.4 NS 4 – 5NS 2 + 1 = 0,
G) NS 4 – 25NS 2 + 144 = 0,
e) 5 plkst 4 – 5plkst 2 + 2 = 0,
e) t 4 – 2t 2 – 3 = 0.
12. uzdevums. Par kādām vērtībām a vienādojums t 2 + plkst+ 9 = 0, nav sakņu? (Skatīt pielikumu.)
Šis piemērs atkārtošanai.
5. Stacija "Domašņaja"
Jūs esat ieradies Domashnyaya stacijā. Saņemiet mājasdarbu.
13. uzdevums. Atrisiniet itāļu matemātiķu vienādojumu:
(3NS 2 + NS – 4) 2 + 3NS 2 + NS= 4. (skat. pielikumu.)
14. uzdevums. Atrodiet un atrisiniet 3-4 vienādojumus, ko piedāvā A. Fiore un N. Tartaglia.
III... Apkopojot stundu.
Mūsu ceļojums ir beidzies. Tātad, saskaitiet, cik vienādojumus katrs atrisināja.
2 nodarbībās visa klase risināja ... vienādojumus. Nodarbību atzīmes...
Pieteikums
Risinājumi
6. uzdevums.
a) Risinājums.
9NS 2 (NS – 2) – (NS – 2) = 0,
(NS – 2)(9NS 2 – 1) = 0,
NS- 2 = 0 vai 9 NS 2 – 1 = 0,
NS= 2 vai NS 2 =, t.i. NS 1,2 = ±.
Atbilde: - ; ; 2.
b) Risinājums.
NS 2 (NS + 1) – 4(NS + 1) 2 = 0,
(NS + 1)(NS 2 – 4NS – 4) = 0,
NS+ 1 = 0 vai NS 2 – 4NS – 4 = 0,
NS= - 1 vai NS 1,2 = = 2 .
Atbilde: - 1; 2 - 2; 2 + 2.
7. uzdevums.
Opcijaes.
Risinājums. Aizstāšana NS 2 + 2NS = t, tad:
t 2 – 2t – 3 = (t + 1)(t – 3) = 0.
NS 2 + 2NS= - 1 vai NS 2 + 2NS= 3,
NS 2 + 2NS+ 1 = 0 vai NS 2 + 2NS – 3 = 0,
(NS+ 1) 2 = 0 vai ( NS + 3)(NS– 1) = 0.
Atbilde: - 3; - 1, 1.
OpcijaII.
Risinājums... Aizstāšana
Šajā rakstā es jums parādīšu septiņu veidu racionālu vienādojumu risināšanas algoritmi, kas tiek reducēti kvadrātā, mainot mainīgos. Vairumā gadījumu pārvērtības, kas noved pie nomaiņas, ir ļoti nenozīmīgas, un ir diezgan grūti par tām uzminēt pašam.
Katram vienādojuma veidam es paskaidrošu, kā tajā mainīt mainīgo, un pēc tam es parādīšu detalizētu risinājumu attiecīgajā video pamācībā.
Jums ir iespēja pašam turpināt risināt vienādojumus un pēc tam pārbaudīt risinājumu, salīdzinot ar video pamācību.
Tātad, sāksim.
1 ... (x-1) (x-7) (x-4) (x + 2) = 40
Ņemiet vērā, ka vienādojuma kreisajā pusē ir reizinājums no četrām iekavām un labajā pusē ir skaitlis.
1. Sagrupēsim iekavas pa diviem, lai brīvo terminu summa būtu vienāda.
2. Sareizināsim tos.
3. Mēs ieviešam mainīgā lieluma maiņu.
Savā vienādojumā mēs grupējam pirmo iekava ar trešo un otro ar ceturto, jo (-1) + (- 4) = (- 7) +2:
Šajā brīdī mainīgā aizstāšana kļūst acīmredzama:
Mēs iegūstam vienādojumu 
Atbilde: 
2 .
Šāda veida vienādojums ir līdzīgs iepriekšējam ar vienu atšķirību: vienādojuma labajā pusē ir skaitļa reizinājums ar. Un tas tiek atrisināts pavisam citā veidā:
1. Mēs sagrupējam iekavas pa divām, lai brīvo terminu reizinājums būtu vienāds.
2. Reiziniet katru iekavu pāri.
3. No katra faktora izņemam x no iekavas.
4. Sadaliet abas vienādojuma puses ar.
5. Ieviest mainīgo aizstāšanu.
Šajā vienādojumā mēs grupējam pirmo iekava ar ceturto un otro ar trešo, jo:
Ņemiet vērā, ka katrā iekavā koeficients pie un brīvais termins ir vienādi. No katras iekavas izņemiet faktoru:
Tā kā x = 0 nav sākotnējā vienādojuma sakne, mēs sadalām abas vienādojuma puses ar. Mēs iegūstam:
Mēs iegūstam vienādojumu: 
Atbilde: 
3
. 
Ņemiet vērā, ka abu daļu saucēji satur kvadrātveida trinomiāli, kurā vadošais koeficients un brīvais termiņš ir vienādi. Izņemsim, tāpat kā otrā tipa vienādojumā, x ārpus iekavām. Mēs iegūstam:
Sadaliet katras daļas skaitītāju un saucēju ar x:
Tagad mēs varam ieviest mainīgo aizstāšanu:
Mēs iegūstam mainīgā t vienādojumu:
4 .
Ņemiet vērā, ka vienādojuma koeficienti ir simetriski attiecībā pret centrālo. Tādu vienādojumu sauc atgriežams .
Lai to atrisinātu,
1. Sadaliet abas vienādojuma puses ar (to varam izdarīt, jo x = 0 nav vienādojuma sakne.) Iegūstam:
2. Sagrupēsim terminus šādi:
3. Katrā grupā no iekavas izņemiet kopējo faktoru:
4. Ieviesīsim aizstājēju:
5. Izteiksim izteiksmi t izteiksmē:
No šejienes 
Mēs iegūstam t vienādojumu:
Atbilde:
5. Homogēni vienādojumi.
Vienādojumus, kuriem ir viendabīga struktūra, var sastapt, risinot eksponenciālos, logaritmiskos un trigonometriskie vienādojumi tāpēc jums ir jāspēj to atpazīt.
Homogēniem vienādojumiem ir šāda struktūra:
Šajā vienādībā A, B un C ir skaitļi, un tās pašas izteiksmes tiek apzīmētas ar kvadrātu un apli. Tas ir, viendabīgā vienādojuma kreisajā pusē ir vienādas pakāpes monomu summa (šajā gadījumā monomu pakāpe ir 2), un nav brīva termina.
Atrisināt viendabīgs vienādojums, mēs sadalām abas daļas
Uzmanību! Sadalot vienādojuma labo un kreiso pusi ar izteiksmi, kas satur nezināmo, jūs varat zaudēt saknes. Tāpēc ir jāpārbauda, vai izteiksmes saknes, ar kurām mēs sadalām abas vienādojuma puses, nav sākotnējā vienādojuma saknes.
Ejam pa pirmo ceļu. Mēs iegūstam vienādojumu:
Tagad mēs ieviešam mainīgo aizstāšanu:
Vienkāršosim izteiksmi un iegūsim bi kvadrātvienādojums attiecībā uz t:
Atbilde: vai
7
. 
Šim vienādojumam ir šāda struktūra:
Lai to atrisinātu, vienādojuma kreisajā pusē ir jāizvēlas pilns kvadrāts.
Lai atlasītu pilnu kvadrātu, jums jāpievieno vai jāatņem apmierinošs darbs. Tad mēs iegūstam summas vai starpības kvadrātu. Tas ir ļoti svarīgi veiksmīgai mainīgo nomaiņai.
Sāksim ar dubultā produkta atrašanu. Tas būs galvenais mainīgā lieluma aizstāšanai. Mūsu vienādojumā dubultotais produkts ir
Tagad novērtēsim, kas mums ir ērtāk - summas kvadrāts vai starpība. Vispirms apsveriet izteiksmju summu:
labi! šī izteiksme ir tieši vienāda ar divkāršu reizinājumu. Pēc tam, lai iekavās iegūtu summas kvadrātu, jums jāsaskaita un jāatņem dubultotais reizinājums:
Ir vairākas vienādojumu klases, kuras tiek atrisinātas, reducējot tos līdz kvadrātvienādojumiem. Viens no šādiem vienādojumiem ir bikvadrātiskie vienādojumi.
Bikvadrātiskie vienādojumi
Bikvadrātiskie vienādojumi ir formas vienādojumi a * x ^ 4 + b * x ^ 2 + c = 0, kur a nav vienāds ar 0.
Bikvadrātiskie vienādojumi tiek atrisināti, izmantojot aizstāšanu x ^ 2 = t. Pēc šādas aizstāšanas mēs iegūstam kvadrātvienādojumu t. a * t ^ 2 + b * t + c = 0. Mēs atrisinām iegūto vienādojumu, vispārīgā gadījumā mums ir t1 un t2. Ja šajā posmā tiek iegūta negatīva sakne, to var izslēgt no risinājuma, jo mēs paņēmām t = x ^ 2, un jebkura skaitļa kvadrāts ir pozitīvs skaitlis.
Atgriežoties pie sākotnējiem mainīgajiem, mums ir x ^ 2 = t1, x ^ 2 = t2.
x1,2 = ± √ (t1), x3,4 = ± √ (t2).
Apskatīsim nelielu piemēru:
9 * x ^ 4 + 5 * x ^ 2 - 4 = 0.
Mēs ieviešam aizstāšanu t = x ^ 2. Tad sākotnējam vienādojumam būs šāda forma:
Mēs atrisinām šo kvadrātvienādojumu jebkurā no zināmajiem veidiem, mēs atrodam:
Sakne -1 nedarbojas, jo vienādojumam x ^ 2 = -1 nav jēgas.
Tas atstāj otro sakni 4/9. Pārejot uz sākotnējiem mainīgajiem, mums ir šāds vienādojums:
x1 = -2/3, x2 = 2/3.
Tas būs vienādojuma risinājums.
Atbilde: x1 = -2/3, x2 = 2/3.
Cits vienādojumu veids, ko var reducēt uz kvadrātiskiem, ir daļēji racionālie vienādojumi. Racionālie vienādojumi ir vienādojumi, kuros kreisā un labā puse ir racionālas izteiksmes. Ja racionālā vienādojumā kreisā vai labā puse ir daļveida izteiksmes, tad tādas racionāls vienādojums sauc par frakcionētu.
Shēma daļēja racionāla vienādojuma atrisināšanai
1. Atrast kopsaucējs no visām vienādojumā iekļautajām daļām.
2. Reiziniet abas vienādojuma puses ar kopsaucēju.
3. Atrisiniet iegūto visu vienādojumu.
4. Pārbaudiet saknes un izslēdziet no tām tās, kurām pazūd kopsaucējs.
Apskatīsim piemēru:
Atrisiniet daļējo racionālo vienādojumu: (x-3) / (x-5) + 1 / x = (x + 5) / (x * (x-5)).
Turēsimies pie vispārējā shēma... Vispirms atradīsim visu daļskaitļu kopsaucēju.
Mēs iegūstam x * (x-5).
Reiziniet katru daļu ar kopsaucēju un uzrakstiet iegūto visu vienādojumu.
x * (x + 3) + (x-5) = (x + 5);
Vienkāršosim iegūto vienādojumu. Mēs saņemam
x ^ 2 + 3 * x + x-5 - x - 5 = 0;
Saņēmu vienkāršs reducēts kvadrātvienādojums. Mēs to atrisinām jebkurā no zināmajiem veidiem, iegūstam saknes x = -2 un x = 5. Tagad mēs pārbaudām iegūtos risinājumus. Kopsaucējā aizstājiet skaitļus -2 un 5.
Ja x = -2, kopsaucējs x * (x-5) nepazūd, -2 * (- 2-5) = 14. Tādējādi skaitlis -2 būs sākotnējā daļējā racionālā vienādojuma sakne.
Nodarbības tēma: Atrisiniet vienādojumus, kas reducējas uz kvadrātu.
Nodarbības mērķi:
izglītojošs: Iepazīstiniet studentus ar bikvadrātisku vienādojumu, pamatojoties uz studentu iepriekšējo pieredzi kvadrātvienādojumu risināšanā, lai nostiprinātu spēju atrisināt vienādojumus, kas samazina līdz kvadrātveida veidā aizstāšanu un noteikt, kura aizstāšana ir racionālāka.
izstrādājot: veicina uzmanības attīstību, loģiskā domāšana, spēja analizēt, salīdzināt un izdarīt secinājumus.
izglītot: attīstīt spēju plānot darbu, meklēt racionālus tā īstenošanas veidus, spēju pamatoti aizstāvēt savu viedokli
Nodarbību laikā.
1. Organizatoriskais moments.
Sveiki puiši.
Starp zinātnēm visu svarīgāko
Vissvarīgākais ir tikai viens.
Mācieties algebru, viņa ir zinātnes vadītāja,
Visam mūžam tiešām vajag
Kad jūs sasniedzat zinātņu virsotnes,
Jūs uzzināsiet savu zināšanu vērtību,
Jūs sapratīsit, ka skaistuma algebra,
Tie nebūs slikts dārgums uz mūžu.
2. Motivācija nodarbībai.
Mūsu nodarbības epigrāfs ir Galileo Galileja vārdi “Bez spītības garīgais darbs neviens nevar tikt tālu matemātikā. Taču pūles netaupīs ikviens, kuram ir pazīstams mācīšanās prieks, kurš redzējis matemātikas skaistumu. ” D Lai veiksmīgi atrisinātu vienādojumus, kas reducējas uz kvadrātvienādojumu, jums labi jāzina šo pašu kvadrātvienādojumu risināšanas teorija. Tāpēc turpmāk mēs atkārtojam nepieciešamos jēdzienus un formulas. IP Pavlovs “Apgūsti zinātnes pamatus pirms kāpšanas tās augstumos. Nekad neuzņemieties nākamo, ja neesat apguvis iepriekšējo.
3. Zināšanu papildināšana. Frontālā aptauja, mutisks darbs ar klasi.
Ieskaite "Turpināt frāzi" (pēc tam pašpārbaude un zināšanu novērtēšana).
Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar formu ...
Kvadrātvienādojuma saknes atrod pēc formulas ...
Kvadrātvienādojuma sakņu skaits ir atkarīgs no ...
Reducētais kvadrātvienādojums ir vienādojums ar formu ...
Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes: ...
Kādus vienādojumus sauc par daļēju racionālu?
Algoritms frakcionētu racionālu vienādojumu risināšanai.
Galvenā proporcijas īpašība.
Kad daļa ir 0?
Atrisiniet vienādojumu x-8x -9 = 0, izmantojot zināmās metodes.
4. Jauna materiāla apgūšana.
Bikvadrātiskie vienādojumi
| Bikvadrātiskais vienādojums: cirvis 4 + bx 2 + c = 0 |
||
| Risināšanas algoritms |
||
| Veikt mainīgo aizstāšanu: | x 2 = t |
|
| Izrādīsies: | plkst 2 + bt + c = 0 |
|
| Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes: | t 1,2
= |
|
| Apgrieztā aizstāšana: | ||
| Ja tk | Nav sakņu |
|
| Tādējādi bikvadrātiskajam vienādojumam var būt no 0 līdz 4 risinājumiem. |
||
| Jautājumi: Rādīt vispārējā forma bikvadrātiskais vienādojums. Dodiet algoritmu bikvadrātiskā vienādojuma risināšanai. Cik sakņu var būt bikvadrātiskajam vienādojumam? |
||
Apsveriet apmācības piemēru risinājumu.
lēmums Nr.733 (1, 2, 4)
Jauna mainīgā ieviešanas metode
Iesakiet veidus, kā atrisināt šādu vienādojumu:
Algoritma sastādīšana vienādojumu risināšanai, kas reducējas uz kvadrātiskiem.
Risinājuma algoritms:
Ieviest mainīgo aizstāšanu
Uzrakstiet kvadrātvienādojumu ar jaunu mainīgo
Atrisiniet jaunu kvadrātvienādojumu