Teorema e Vietës
Le të shënojmë dhe shënojmë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar
(1)
.
Atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin në të marrë me shenjën e kundërt. Produkti i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë:
;
.
Një shënim për rrënjët e shumta
Nëse diskriminuesi i ekuacionit (1) është zero, atëherë ky ekuacion ka një rrënjë. Por, për të shmangur formulimet e rënda, përgjithësisht pranohet se në këtë rast, ekuacioni (1) ka dy rrënjë të shumëfishta ose të barabarta:
.
Prova një
Le të gjejmë rrënjët e ekuacionit (1). Për ta bërë këtë, aplikoni formulën për rrënjët e ekuacionit kuadratik:
;
;
.
Gjetja e shumës së rrënjëve:
.
Për të gjetur produktin, ne aplikojmë formulën:
.
Pastaj
.
Teorema është vërtetuar.
Prova dy
Nëse numrat dhe janë rrënjët e ekuacionit kuadratik (1), atëherë
.
Hapim kllapat.
.
Kështu, ekuacioni (1) do të marrë formën:
.
Duke krahasuar me (1) gjejmë:
;
.
Teorema është vërtetuar.
Teorema e anasjelltë Vieta
Le të ketë numra arbitrar. Pastaj dhe janë rrënjët e ekuacionit kuadratik
,
Ku
(2)
;
(3)
.
Vërtetimi i teoremës së kundërt të Vietës
Merrni parasysh ekuacionin kuadratik
(1)
.
Ne duhet të vërtetojmë se nëse dhe , atëherë dhe janë rrënjët e ekuacionit (1).
Zëvendësoni (2) dhe (3) në (1):
.
Ne grupojmë termat e anës së majtë të ekuacionit:
;
;
(4)
.
Zëvendësimi në (4):
;
.
Zëvendësimi në (4):
;
.
Ekuacioni është përmbushur. Kjo do të thotë, numri është rrënja e ekuacionit (1).
Teorema është vërtetuar.
Teorema e Vietës për ekuacionin e plotë kuadratik
Tani merrni parasysh ekuacionin e plotë kuadratik
(5)
,
ku , dhe janë disa numra. Dhe .
Ne e ndajmë ekuacionin (5) me:
.
Kjo do të thotë, ne kemi marrë ekuacionin e mësipërm
,
Ku; .
Atëherë teorema Vieta për ekuacionin e plotë kuadratik ka formën e mëposhtme.
Le të shënojmë dhe shënojmë rrënjët e ekuacionit të plotë kuadratik
.
Pastaj shuma dhe produkti i rrënjëve përcaktohen nga formula:
;
.
Teorema e Vietës për një ekuacion kub
Në te njejtën mënyrë ne mund të vendosim lidhje midis rrënjëve të një ekuacioni kub. Merrni parasysh ekuacionin kub
(6)
,
ku , , , janë disa numra. Dhe .
Le ta ndajmë këtë ekuacion me:
(7)
,
Ku , , .
Le të jenë , , rrënjët e ekuacionit (7) (dhe ekuacionit (6)). Pastaj
.
Duke krahasuar me ekuacionin (7) gjejmë:
;
;
.
Teorema e Vietës për një ekuacion të shkallës së n-të
Në të njëjtën mënyrë, mund të gjenden lidhje midis rrënjëve , , ... , , për ekuacionin shkalla e nëntë
.
Teorema e Vieta-s për një ekuacion të shkallës së n-të ka formën e mëposhtme:
;
;
;
.
Për të marrë këto formula, ne shkruajmë ekuacionin në formën e mëposhtme:
.
Pastaj barazojmë koeficientët në , , , ... dhe krahasojmë termin e lirë.
Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i Matematikës për Inxhinierë dhe Studentë të Institucioneve të Arsimit të Lartë, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algjebra: një libër shkollor për klasën e 8-të të institucioneve arsimore, Moskë, Arsimi, 2006.
Në ekuacionet kuadratike, ekziston linjë e tërë raportet. Ato kryesore janë marrëdhëniet midis rrënjëve dhe koeficientëve. Gjithashtu, një numër marrëdhëniesh funksionojnë në ekuacionet kuadratike, të cilat jepen nga teorema Vieta.
Në këtë temë, ne paraqesim vetë teoremën e Vietës dhe vërtetimin e saj për një ekuacion kuadratik, një teoremë që bie ndesh me teoremën e Vietës dhe analizojmë një sërë shembujsh të zgjidhjes së problemeve. Vëmendje e veçantë në materialin që do t'i kushtojmë shqyrtimit të formulave Vieta, të cilat përcaktojnë marrëdhënien midis rrënjëve reale ekuacioni algjebrik shkallë n dhe koeficientët e tij.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Deklaratë dhe vërtetim i teoremës së Vietës
Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik a x 2 + b x + c = 0 të formës x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a, ku D = b 2 − 4 a c, përcakton raportin x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a. Kjo vërtetohet nga teorema e Vietës.
Teorema 1
Në një ekuacion kuadratik a x 2 + b x + c = 0, Ku x 1 Dhe x2- rrënjët, shuma e rrënjëve do të jetë e barabartë me raportin e koeficientëve b Dhe a, e cila është marrë nga shenjë e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve do të jetë i barabartë me raportin e koeficientëve c Dhe a, d.m.th. x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a.
Prova 1
Ne ju ofrojmë skemën e mëposhtme për kryerjen e vërtetimit: marrim formulën e rrënjëve, hartojmë shumën dhe prodhimin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik dhe më pas transformojmë shprehjet që rezultojnë në mënyrë që të sigurohemi që ato janë të barabarta. -b a Dhe c a përkatësisht.
Përpiloni shumën e rrënjëve x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a. I sjellim thyesat në emërues i përbashkët- b + D 2 a + - b - D 2 a \u003d - b + D + - b - D 2 a. Le të hapim kllapat në numëruesin e thyesës që rezulton dhe të japim terma të ngjashëm: - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a . Zvogëloni thyesën me: 2 - b a \u003d - b a.
Pra, ne kemi vërtetuar relacionin e parë të teoremës së Vietës, e cila i referohet shumës së rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.
Tani le të kalojmë te relacioni i dytë.
Për ta bërë këtë, ne duhet të përpilojmë produktin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik: x 1 x 2 \u003d - b + D 2 a - b - D 2 a.
Kujtoni rregullin e shumëzimit të thyesave dhe shkruajeni prodhimin e fundit si më poshtë: - b + D · - b - D 4 · a 2 .
Ne do të kryejmë shumëzimin e kllapës me kllapa në numëruesin e thyesës, ose do të përdorim formulën e diferencës së katrorëve për të transformuar më shpejt këtë produkt: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .
Le të përdorim përkufizimin rrenja katrore për të bërë kalimin e mëposhtëm: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Formula D = b 2 − 4 a c korrespondon me diskriminuesin e ekuacionit kuadratik, pra, në një fraksion në vend të D mund të zëvendësohet b 2 − 4 a c:
b 2 - D 4 a 2 \u003d b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2
Le të hapim kllapat, të japim terma të ngjashëm dhe të marrim: 4 · a · c 4 · a 2 . Nëse e shkurtojmë në 4 a, pastaj c a mbetet. Pra, ne kemi vërtetuar relacionin e dytë të teoremës Vieta për prodhimin e rrënjëve.
Regjistrimi i vërtetimit të teoremës së Vietës mund të jetë shumë vështrim konciz, nëse i lini shpjegimet:
x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a \u003d - b + D + - b - D 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a, x 1 x 2 = - b + D 2 a - b - D 2 a = - b + D - b - D 4 a 2 = - b 2 - D 2 4 a 2 = b 2 - D 4 a 2 = = D = b 2 - 4 a c = b 2 - b 2 - 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .
Me diskriminuesin e ekuacionit kuadratik zero Ekuacioni do të ketë vetëm një rrënjë. Për të qenë në gjendje të zbatojmë teoremën Vieta në një ekuacion të tillë, mund të supozojmë se ekuacioni me një diskriminues të barabartë me zero ka dy rrënjë të njëjta. Në të vërtetë, në D=0 rrënja e ekuacionit kuadratik është: - b 2 a, pastaj x 1 + x 2 \u003d - b 2 a + - b 2 a \u003d - b + (- b) 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a dhe x 1 x 2 \u003d - b 2 a - b 2 a \u003d - b - b 4 a 2 \u003d b 2 4 a 2, dhe meqenëse D \u003d 0, domethënë b 2 - 4 a c = 0, prej nga b 2 = 4 a c, pastaj b 2 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .
Më shpesh në praktikë, teorema Vieta zbatohet në lidhje me ekuacionin kuadratik të reduktuar të formës x 2 + p x + q = 0, ku koeficienti kryesor a është i barabartë me 1 . Në këtë drejtim, teorema e Vietës është formuluar pikërisht për ekuacione të këtij lloji. Kjo nuk e kufizon përgjithësinë për faktin se çdo ekuacion kuadratik mund të zëvendësohet nga një ekuacion ekuivalent. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të ndani të dy pjesët e tij me numrin a, i cili është i ndryshëm nga zero.
Le të japim një formulim më shumë të teoremës së Vietës.
Teorema 2
Shuma e rrënjëve në ekuacionin e dhënë kuadratik x 2 + p x + q = 0 do të jetë i barabartë me koeficientin në x, i cili merret me shenjën e kundërt, prodhimi i rrënjëve do të jetë i barabartë me termin e lirë, d.m.th. x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q.
Teorema e kundërt me teoremën e Vietës
Nëse shikoni nga afër formulimin e dytë të teoremës së Vietës, mund ta shihni atë për rrënjët x 1 Dhe x2 ekuacioni kuadratik i reduktuar x 2 + p x + q = 0 relacionet x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q do të jenë të vlefshme. Nga këto marrëdhënie x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, rrjedh se x 1 Dhe x2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik x 2 + p x + q = 0. Kështu arrijmë në një pohim që është anasjellta e teoremës së Vietës.
Tani ne propozojmë ta zyrtarizojmë këtë pohim si teoremë dhe të bëjmë vërtetimin e tij.
Teorema 3
Nëse numrat x 1 Dhe x2 janë të tilla që x 1 + x 2 = − p Dhe x 1 x 2 = q, Kjo x 1 Dhe x2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 + p x + q = 0.
Prova 2
Ndryshimi i koeficientëve fq Dhe q për shprehjen e tyre nëpërmjet x 1 Dhe x2 ju lejon të transformoni ekuacionin x 2 + p x + q = 0 në një ekuivalent .
Nëse e zëvendësojmë numrin në ekuacionin që rezulton x 1 në vend të x, atëherë marrim barazinë x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Kjo barazi për çdo x 1 Dhe x2 kthehet në një barazi të vërtetë numerike 0 = 0 , sepse x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Do të thotë se x 1- rrënja e ekuacionit x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Edhe çfarë x 1është edhe rrënja e ekuacionit ekuivalent x 2 + p x + q = 0.
Zëvendësimi i ekuacionit x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 numrat x2 në vend të x ju lejon të merrni barazi x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Kjo barazi mund të konsiderohet e vërtetë, pasi x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Rezulton se x2është rrënja e ekuacionit x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, dhe si rrjedhim ekuacionet x 2 + p x + q = 0.
Vërtetohet teorema e kundërt me teoremën e Vietës.
Shembuj të përdorimit të teoremës së Vietës
Le të vazhdojmë tani me analizën e shembujve më tipikë mbi këtë temë. Le të fillojmë me analizën e problemeve që kërkojnë zbatimin e teoremës, teorema e bashkëbisedimit Vieta. Mund të përdoret për të kontrolluar numrat e marrë gjatë llogaritjeve, nëse ato janë rrënjët e një ekuacioni të caktuar kuadratik. Për ta bërë këtë, duhet të llogarisni shumën dhe diferencën e tyre, dhe më pas të kontrolloni vlefshmërinë e raporteve x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c.
Përmbushja e të dy marrëdhënieve tregon se numrat e marrë gjatë llogaritjeve janë rrënjët e ekuacionit. Nëse shohim që të paktën një nga kushtet nuk plotësohet, atëherë këta numra nuk mund të jenë rrënjët e ekuacionit kuadratik të dhënë në kushtin e problemit.
Shembulli 1
Cili nga çiftet e numrave 1) x 1 = - 5, x 2 = 3, ose 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, ose 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 është një çift rrënjësh të ekuacionit kuadratik 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?
Zgjidhje
Gjeni koeficientët e ekuacionit kuadratik 4 x 2 − 16 x + 9 = 0 . Kjo është a = 4 , b = − 16 , c = 9 . Në përputhje me teoremën Vieta, shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik duhet të jetë e barabartë me -b a, kjo eshte, 16 4 = 4 , dhe produkti i rrënjëve duhet të jetë i barabartë me c a, kjo eshte, 9 4 .
Le t'i kontrollojmë numrat e fituar duke llogaritur shumën dhe prodhimin e numrave nga tre çifte të dhëna dhe duke i krahasuar me vlerat e fituara.
Në rastin e parë x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. Kjo vlerë është e ndryshme nga 4, kështu që nuk keni nevojë të vazhdoni të kontrolloni. Sipas teoremës, anasjellta e teoremës së Vietës, mund të konkludojmë menjëherë se çifti i parë i numrave nuk janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.
Në rastin e dytë x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Shohim që kushti i parë plotësohet. Por kushti i dytë nuk është: x 1 x 2 \u003d 1 - 3 3 + 3 \u003d 3 + 3 - 3 3 - 3 \u003d - 2 3. Vlera që kemi marrë është e ndryshme nga 9 4 . Kjo do të thotë se çifti i dytë i numrave nuk janë rrënjët e ekuacionit kuadratik.
Le të kalojmë në çiftin e tretë. Këtu x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 dhe x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . Të dyja kushtet janë të plotësuara, që do të thotë se x 1 Dhe x2 janë rrënjët e ekuacionit të dhënë kuadratik.
Përgjigje: x 1 \u003d 2 + 7 2, x 2 \u003d 2 - 7 2
Ne gjithashtu mund të përdorim inversin e teoremës së Vietës për të gjetur rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Mënyra më e thjeshtë është të zgjidhni rrënjët e numrave të plotë të reduktuar ekuacionet kuadratike me koeficientë të plotë. Mund të merren parasysh edhe opsione të tjera. Por kjo mund të komplikojë ndjeshëm llogaritjet.
Për të zgjedhur rrënjët, përdorim faktin se nëse shuma e dy numrave është e barabartë me koeficientin e dytë të ekuacionit kuadratik, marrë me shenjën minus, dhe prodhimi i këtyre numrave është i barabartë me termin e lirë, atëherë këta numra janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.
Shembulli 2
Si shembull, ne përdorim ekuacionin kuadratik x 2 − 5 x + 6 = 0. Numrat x 1 Dhe x2 mund të jenë rrënjët e këtij ekuacioni nëse plotësohen dy barazitë x1 + x2 = 5 Dhe x 1 x 2 = 6. Le të zgjedhim ato numra. Këta janë numrat 2 dhe 3 sepse 2 + 3 = 5 Dhe 2 3 = 6. Rezulton se 2 dhe 3 janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.
Anasjellta e teoremës së Vietës mund të përdoret për të gjetur rrënjën e dytë kur e para është e njohur ose e dukshme. Për këtë mund të përdorim raportet x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .
Shembulli 3
Merrni parasysh ekuacionin kuadratik 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. Ne duhet të gjejmë rrënjët e këtij ekuacioni.
Zgjidhje
Rrënja e parë e ekuacionit është 1 sepse shuma e koeficientëve të këtij ekuacioni kuadratik është zero. Rezulton se x 1 = 1.
Tani le të gjejmë rrënjën e dytë. Për ta bërë këtë, mund të përdorni raportin x 1 x 2 = c a. Rezulton se 1 x 2 = − 3 512, ku x 2 \u003d - 3 512.
Përgjigje: rrënjët e ekuacionit kuadratik të specifikuara në kushtin e problemit 1 Dhe - 3 512 .
Është e mundur të zgjidhen rrënjët duke përdorur teoremën e kundërt me teoremën e Vietës vetëm në raste të thjeshta. Në raste të tjera, është më mirë të kërkoni duke përdorur formulën e rrënjëve të ekuacionit kuadratik përmes diskriminuesit.
Falë teoremës së kundërt të Vieta, ne gjithashtu mund të formojmë ekuacione kuadratike duke pasur parasysh rrënjët x 1 Dhe x2. Për ta bërë këtë, ne duhet të llogarisim shumën e rrënjëve, e cila jep koeficientin në x me shenjën e kundërt të ekuacionit kuadratik të reduktuar, dhe produktin e rrënjëve, që jep termin e lirë.
Shembulli 4
Shkruani një ekuacion kuadratik, rrënjët e të cilit janë numra − 11 Dhe 23 .
Zgjidhje
Le ta pranojmë atë x 1 = − 11 Dhe x2 = 23. Shuma dhe prodhimi i këtyre numrave do të jetë i barabartë me: x1 + x2 = 12 Dhe x 1 x 2 = − 253. Kjo do të thotë se koeficienti i dytë është 12, termi i lirë − 253.
Ne bëjmë një ekuacion: x 2 - 12 x - 253 = 0.
Përgjigju: x 2 - 12 x - 253 = 0 .
Mund të përdorim teoremën Vieta për të zgjidhur probleme që lidhen me shenjat e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike. Lidhja ndërmjet teoremës së Vietës lidhet me shenjat e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 + p x + q = 0 në mënyrën e mëposhtme:
- nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale dhe nëse termi i lirë qështë një numër pozitiv, atëherë këto rrënjë do të kenë të njëjtën shenjë "+" ose "-";
- nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë dhe nëse termi i lirë qështë një numër negativ, atëherë njëra rrënjë do të jetë "+" dhe e dyta "-".
Të dyja këto pohime janë pasojë e formulës x 1 x 2 = q dhe rregullat për shumëzimin pozitiv dhe numrat negativë, si dhe numra me shenja të ndryshme.
Shembulli 5
Janë rrënjët e një ekuacioni kuadratik x 2 - 64 x - 21 = 0 pozitive?
Zgjidhje
Sipas teoremës së Vietës, rrënjët e këtij ekuacioni nuk mund të jenë të dyja pozitive, pasi ato duhet të plotësojnë barazinë x 1 x 2 = − 21. Kjo nuk është e mundur me pozitive x 1 Dhe x2.
Përgjigje: Nr
Shembulli 6
Në cilat vlera të parametrit r ekuacioni kuadratik x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 do të ketë dy rrënjë reale me shenja të ndryshme.
Zgjidhje
Le të fillojmë duke gjetur vlerat e çfarë r, për të cilin ekuacioni ka dy rrënjë. Le të gjejmë diskriminuesin dhe të shohim për çfarë r ai do të pranojë vlerat pozitive. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Vlera e shprehjes r2 + 8 pozitive për çdo të vërtetë r, pra, diskriminuesi do të jetë më i madh se zero për çdo real r. Kjo do të thotë që ekuacioni kuadratik origjinal do të ketë dy rrënjë për çdo vlerë reale të parametrit r.
Tani le të shohim se kur do të kenë rrënjët shenja të ndryshme. Kjo është e mundur nëse produkti i tyre është negativ. Sipas teoremës Vieta, prodhimi i rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar është i barabartë me termin e lirë. Do të thotë, vendim të drejtë do të ketë ato vlera r, për të cilin termi i lirë r − 1 është negativ. Ne do të vendosim pabarazia lineare r − 1< 0 , получаем r < 1 .
Përgjigje: në r< 1 .
Formulat Vieta
Ekzistojnë një numër formulash që janë të zbatueshme për kryerjen e operacioneve me rrënjë dhe koeficientë jo vetëm katrorë, por edhe kub dhe lloje të tjera ekuacionesh. Ato quhen formula Vieta.
Për një ekuacion algjebrik të shkallës n të formës a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 ekuacioni konsiderohet të ketë n rrënjë të vërteta x 1 , x 2 , … , x n, e cila mund të përfshijë sa vijon:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +. . . + x n - 1 x n = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + . . . + x n - 2 x n - 1 x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 x 2 x 3 . . . x n = (- 1) n a n a 0
Përkufizimi 1
Merrni formulat Vieta që na ndihmojnë:
- teorema e zbërthimit të polinomit faktorët linearë;
- përcaktimi i polinomeve të barabarta përmes barazisë së të gjithë koeficientëve të tyre përkatës.
Pra, polinomi a 0 x n + a 1 x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n dhe zgjerimi i tij në faktorë linearë të formës a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) janë të barabarta.
Nëse hapim kllapat në produktin e fundit dhe barazojmë koeficientët përkatës, atëherë marrim formulat Vieta. Duke marrë n \u003d 2, mund të marrim formulën Vieta për ekuacionin kuadratik: x 1 + x 2 \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 \u003d a 2 a 0.
Përkufizimi 2
Formula e Vieta për një ekuacion kub:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0
Ana e majtë e formulave Vieta përmban të ashtuquajturat polinome elementare simetrike.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Para se të vazhdojmë me teoremën e Vietës, ne prezantojmë një përkufizim. Ekuacioni kuadratik i formës x² + px + q= 0 quhet e reduktuar. Në këtë ekuacion, koeficienti kryesor e barabartë me një. Për shembull, ekuacioni x² - 3 x- 4 = 0 zvogëlohet. Çdo ekuacion kuadratik i formës sëpatë² + b x + c= 0 mund të zvogëlohet, për këtë ne ndajmë të dyja anët e ekuacionit me A≠ 0. Për shembull, ekuacioni 4 x² + 4 x- 3 \u003d 0 pjesëtuar me 4 reduktohet në formën: x² + x- 3/4 = 0. Ne nxjerrim formulën për rrënjët e ekuacionit kuadratik të dhënë, për këtë përdorim formulën për rrënjët e ekuacionit kuadratik. pamje e përgjithshme: sëpatë² + bx + c = 0
Ekuacioni i reduktuar x² + px + q= 0 përkon me një ekuacion të përgjithshëm në të cilin A = 1, b = fq, c = q. Prandaj, për ekuacionin e dhënë kuadratik, formula merr formën: 
shprehja e fundit quhet formula e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar, është veçanërisht e përshtatshme të përdoret kjo formulë kur R- numër çift. Për shembull, le të zgjidhim ekuacionin x² - 14 x — 15 = 0
Si përgjigje, ne shkruajmë se ekuacioni ka dy rrënjë.
Për një ekuacion kuadratik të reduktuar me pozitiv, vlen teorema e mëposhtme.
Teorema e Vietës
Nëse x 1 dhe x 2 - rrënjët e ekuacionit x² + px + q= 0, atëherë formulat janë të vlefshme:
x 1 + x 2 = — R
x 1 * x 2 \u003d q, domethënë, shuma e rrënjëve të ekuacionit të dhënë kuadratik është e barabartë me koeficientin e dytë, marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë.
Bazuar në formulën e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të mësipërm, kemi:
Duke shtuar këto barazi, marrim: x 1 + x 2 = —R.
Duke shumëzuar këto barazi, duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve, marrim:
Vini re se teorema Vieta është gjithashtu e vlefshme kur diskriminuesi është zero, nëse supozojmë se në këtë rast ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë identike: x 1 = x 2 = — R/2.
Jo zgjidhjen e ekuacioneve x² - 13 x+ 30 = 0 gjeni shumën dhe prodhimin e rrënjëve të saj x 1 dhe x 2. këtë ekuacion D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, kështu që mund të aplikoni teoremën Vieta: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Shqyrtoni disa shembuj të tjerë. Një nga rrënjët e ekuacionit x² — px- 12 = 0 është x 1 = 4. Gjeni koeficientin R dhe rrënja e dytë x 2 të këtij ekuacioni. Sipas teoremës së Vietës x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. Sepse x 1 = 4 pastaj 4 x 2 = - 12, prej nga x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. Si përgjigje, ne shkruajmë rrënjën e dytë x 2 = - 3, koeficienti p = - 1.
Jo zgjidhjen e ekuacioneve x² + 2 x- 4 = 0 gjeni shumën e katrorëve të rrënjëve të saj. Le x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit. Sipas teoremës së Vietës x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Sepse x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2, atëherë x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.
Gjeni shumën dhe prodhimin e rrënjëve të ekuacionit 3 x² + 4 x- 5 \u003d 0. Ky ekuacion ka dy rrënjë të ndryshme, që nga diskriminuesi D= 16 + 4*3*5 > 0. Për të zgjidhur ekuacionin, përdorim teoremën Vieta. Kjo teoremë është vërtetuar për ekuacionin kuadratik të reduktuar. Pra, le ta ndajmë këtë ekuacion me 3.
Prandaj, shuma e rrënjëve është -4/3, dhe prodhimi i tyre është -5/3.
Në përgjithësi, rrënjët e ekuacionit sëpatë² + b x + c= 0 lidhen me barazitë e mëposhtme: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Për të marrë këto formula, mjafton të ndahen të dyja anët e këtij ekuacioni kuadratik me A ≠ 0 dhe zbatoni teoremën e Vietës në ekuacionin kuadratik të reduktuar që rezulton. Konsideroni një shembull, ju duhet të hartoni një ekuacion të caktuar kuadratik, rrënjët e të cilit x 1 = 3, x 2 = 4. Sepse x 1 = 3, x 2 = 4 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik x² + px + q= 0, pastaj nga teorema Vieta R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Si përgjigje, ne shkruajmë x² - 7 x+ 12 = 0. Teorema e mëposhtme përdoret në zgjidhjen e disa problemave.
Teorema e kundërt me teoremën e Vietës
Nëse numrat R, q, x 1 , x 2 janë të tilla që x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, Kjo x 1 Dhe x2 janë rrënjët e ekuacionit x² + px + q= 0. Zëvendësues në anën e majtë x² + px + q në vend të R shprehje - ( x 1 + x 2), por në vend të kësaj q- punë x 1 * x 2 . Ne marrim: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2). Kështu, nëse numrat R, q, x 1 dhe x 2 janë të lidhura nga këto marrëdhënie, pastaj për të gjithë X barazisë x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), nga e cila rrjedh se x 1 dhe x 2 - rrënjët e ekuacionit x² + px + q= 0. Duke përdorur teoremën e kundërt me teoremën e Vietës, ndonjëherë është e mundur të gjenden rrënjët e një ekuacioni kuadratik me përzgjedhje. Konsideroni një shembull, x² - 5 x+ 6 = 0. Këtu R = — 5, q= 6. Zgjidh dy numra x 1 dhe x 2 në mënyrë që x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Duke vënë në dukje se 6 = 2 * 3, dhe 2 + 3 = 5, nga teorema e kundërt me teoremën e Vietës, marrim se x 1 = 2, x 2 = 3 - rrënjët e ekuacionit x² - 5 x + 6 = 0.
I. Teorema e Vietës për ekuacionin kuadratik të reduktuar.
Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +px+q=0është e barabartë me koeficientin e dytë, marrë me shenjën e kundërt, dhe produkti i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë:
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Gjeni rrënjët e ekuacionit të dhënë kuadratik duke përdorur teoremën e Vietës.
Shembulli 1) x 2 -x-30=0. Ky është ekuacioni kuadratik i reduktuar ( x 2 +px+q=0), koeficienti i dytë p=-1, dhe afati i lirë q=-30. Së pari, sigurohuni që ekuacioni i dhënë ka rrënjë dhe se rrënjët (nëse ka) do të shprehen si numra të plotë. Për këtë mjafton që diskriminuesi të jetë katror i plotë numër i plotë.
Gjetja e diskriminuesit D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
Tani, sipas teoremës Vieta, shuma e rrënjëve duhet të jetë e barabartë me koeficientin e dytë, marrë me shenjën e kundërt, d.m.th. ( -fq), dhe produkti është i barabartë me termin e lirë, d.m.th. ( q). Pastaj:
x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Duhet të zgjedhim dy numra të tillë që prodhimi i tyre të jetë i barabartë me -30 , dhe shuma është njësi. Këto janë numrat -5 Dhe 6 . Përgjigje: -5; 6.
Shembulli 2) x 2 +6x+8=0. Ekuacionin kuadratik të reduktuar e kemi me koeficientin e dytë p=6 dhe anëtar i lirë q=8. Sigurohuni që të ketë rrënjë të plota. Le të gjejmë diskriminuesin D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminuesi D 1 është katrori i përsosur i numrit 1 , pra rrënjët e këtij ekuacioni janë numra të plotë. Ne i zgjedhim rrënjët sipas teoremës së Vieta: shuma e rrënjëve është e barabartë me –p=-6, dhe produkti i rrënjëve është q=8. Këto janë numrat -4 Dhe -2 .
Në fakt: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Përgjigje: -4; -2.
Shembulli 3) x 2 +2x-4=0. Në këtë ekuacion kuadratik të reduktuar, koeficienti i dytë p=2, dhe afati i lirë q=-4. Le të gjejmë diskriminuesin D1, pasi koeficienti i dytë është numër çift. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminuesi nuk është një katror i përsosur i një numri, kështu që ne bëjmë përfundimi: rrënjët e këtij ekuacioni nuk janë numra të plotë dhe nuk mund të gjenden duke përdorur teoremën e Vietës. Pra, ne e zgjidhim këtë ekuacion, si zakonisht, sipas formulave (në këtë rast, sipas formulave). Ne marrim:
Shembulli 4). Shkruani një ekuacion kuadratik duke përdorur rrënjët e tij nëse x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.
Zgjidhje. Ekuacioni i dëshiruar do të shkruhet në formën: x 2 +px+q=0, për më tepër, bazuar në teoremën Vieta –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Atëherë ekuacioni do të marrë formën: x2 +3x-28=0.
Shembulli 5). Shkruani një ekuacion kuadratik duke përdorur rrënjët e tij nëse:
II. Teorema e Vietës për ekuacionin e plotë kuadratik ax2+bx+c=0.
Shuma e rrënjëve është minus b i ndarë nga A, prodhimi i rrënjëve është Me i ndarë nga A:
x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.