Definición de la fórmula de Newton Leibniz. Cálculo de una integral definida. Fórmula de Newton-Leibniz

integral definida de una función continua F(X) en el intervalo finito [ a, B] (donde ) es el incremento de algunas de sus antiderivadas en este segmento. (En general, la comprensión será notablemente más fácil si repite el tema de la integral indefinida) En este caso, la notación

Como se puede ver en los gráficos a continuación (el incremento de la función antiderivada se indica mediante ), La integral definida puede ser positiva o numero negativo (Se calcula como la diferencia entre el valor de la antiderivada en el límite superior y su valor en el límite inferior, es decir, como F(B) - F(a)).

Números a y B se denominan límites inferior y superior de integración, respectivamente, y el intervalo [ a, B] es el segmento de integración.

Así, si F(X) es alguna función antiderivada para F(X), entonces, según la definición,

(38)

La igualdad (38) se llama Fórmula de Newton-Leibniz . Diferencia F(B) – F(a) se escribe brevemente así:

Por lo tanto, la fórmula de Newton-Leibniz se escribirá de la siguiente manera:

(39)

Probemos que la integral definida no depende de qué antiderivada del integrando se tome al calcularla. Dejar F(X) y F( X) son antiderivadas arbitrarias del integrando. Como son antiderivadas de la misma función, difieren en un término constante: Ф( X) = F(X) + C. Entonces

Así, se establece que en el segmento [ a, B] incrementos de todos funciones antiderivadas F(X) emparejar.

Por lo tanto, para calcular la integral definida, es necesario encontrar cualquier antiderivada del integrando, es decir, Primero necesitas encontrar la integral indefinida. Constante CON excluidos de los cálculos posteriores. Luego se aplica la fórmula de Newton-Leibniz: el valor del límite superior se sustituye en la función antiderivada B , más - el valor del límite inferior a y calcula la diferencia F(b) - F(a) . El número resultante será una integral definida..

En a = B aceptado por definición

Ejemplo 1

Solución. Encontremos primero la integral indefinida:

Aplicando la fórmula de Newton-Leibniz a la antiderivada

(en CON= 0), obtenemos

Sin embargo, al calcular una integral definida, es mejor no encontrar la antiderivada por separado, sino escribir inmediatamente la integral en la forma (39).

Ejemplo 2 Calcular una integral definida

Solución. Usando la fórmula

Propiedades de la integral definida

Teorema 2.El valor de la integral definida no depende de la designación de la variable de integración, es decir.

(40)

Dejar F(X) es la antiderivada de F(X). Para F(t) la antiderivada es la misma función F(t), en el que la variable independiente se denota de manera diferente. Por eso,

Con base en la fórmula (39), la última igualdad significa la igualdad de las integrales

Teorema 3.El factor constante se puede sacar del signo de una integral definida, es decir.

(41)

Teorema 4.Integral definida de la suma algebraica de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica de integrales definidas de estas funciones, es decir.

(42)

Teorema 5.Si el segmento de integración se divide en partes, entonces la integral definida sobre todo el segmento es igual a la suma de las integrales definidas sobre sus partes, es decir. Si

(43)

Teorema 6.Al reordenar los límites de la integración valor absoluto de una integral definida no cambia, solo cambia su signo, es decir.

(44)

Teorema 7(teorema del valor medio). La integral definida es igual al producto de la longitud del segmento de integración y el valor del integrando en algún punto dentro de él., es decir.

(45)

Teorema 8.Si el límite de integración superior es mayor que el inferior y el integrando es no negativo (positivo), entonces la integral definida también es no negativa (positiva), es decir Si

Teorema 9.Si el límite superior de integración es mayor que el límite inferior y las funciones y son continuas, entonces la desigualdad

se puede integrar término a término, es decir.

(46)

Las propiedades de la integral definida nos permiten simplificar el cálculo directo de integrales.

Ejemplo 5 Calcular una integral definida

Usando los Teoremas 4 y 3, y al encontrar antiderivadas - integrales tabulares (7) y (6), obtenemos

Integral definida con límite superior variable

Dejar F(X) es continua en el intervalo [ a, B] función, y F(X) es su prototipo. Considere la integral definida

(47)

y mediante t marcado variable de integración no debe confundirse con el límite superior. cuando cambia X la integral definida (47) también cambia, es decir, es una función del límite superior de integración X, que denotamos por F(X), es decir.

(48)

Probemos que la función F(X) es la antiderivada de F(X) = F(t). En efecto, diferenciando F(X), obtenemos

porque F(X) es la antiderivada de F(X), a F(a) es un valor constante.

Función F(X) es uno del conjunto infinito de antiderivadas para F(X), es decir, el que X = a va a cero. Este enunciado se obtiene si en la igualdad (48) ponemos X = a y utilice el Teorema 1 de la sección anterior.

Cálculo de integrales definidas por el método de integración por partes y el método de cambio de variable

donde, por definición, F(X) es la antiderivada de F(X). Si en el integrando hacemos el cambio de variable

entonces, de acuerdo con la fórmula (16), podemos escribir

En esta expresión

función antiderivada para

En efecto, su derivada, según la regla de diferenciación de una función compleja, es igual a

Sean α y β los valores de la variable t, para lo cual la función

toma respectivamente los valores a y B, es decir.

Pero, según la fórmula de Newton-Leibniz, la diferencia F(B) – F(a) hay

Newton Leibniz es un filósofo alemán que nació el 1 de julio de 1646. Además de la filosofía, le fascinaba Ciencias Exactas. Se distinguió en lógica, matemáticas, mecánica, física, historia, diplomacia y mecánica. Newton también es considerado un inventor, así como un lingüista. Fue el fundador y el primero en poder dirigir la Academia de Ciencias de Berlín. Leibniz ocupó un lugar de honor en la Academia de Ciencias de Francia como miembro extranjero.
Se consideran los logros científicos más importantes de Leibniz:
Creación Análisis matemático. El cálculo es diferencial e integral, que se basó en infinitesimales.
Con su ayuda, se sentaron las bases de la lógica matemática.
La ciencia de la combinatoria.
Sistema numérico binario con números 0 y 1. Ahora toda la tecnología moderna se basa en ellos.
Para la psicología hubo un aporte muy importante, como el concepto de pequeñas percepciones inconscientes. Además, apareció la doctrina de la vida mental inconsciente.
Reveló la ley de conservación de la energía e introdujo el concepto de mano de obra.

Newton es considerado el finalista de la filosofía del siglo XVII. Se convirtió en el progenitor nuevo sistema y le dio un nombre - monadología. Además de los logros en filosofía, pudo identificar la doctrina de la síntesis y el análisis. Leibniz la formuló como la ley de la razón suficiente. Como señaló, todo esto no partía sólo del pensamiento y la lógica, sino también del ser y la ontología. Al filósofo se le puede asignar la autoría. redacción moderna la ley de la identidad. Fue él quien trajo al mundo la comprensión del término "modelo".
En sus escritos, Leibniz escribió sobre la diversidad de posibilidades de simulación mecánica en el cerebro humano. Al final resultó que, tiene una gran cantidad de funciones. Fue este científico quien primero expuso al mundo la idea de que algunos tipos de energía pueden transferirse a otros. Estos estudios han hecho una gran contribución a la física. Por supuesto, la obra más importante y famosa de su vida fue la fórmula. Lo llamaron la fórmula de Newton-Leibniz.
Fórmula de Newton Leibniz

Sea algún segmento del eje x dado algún función continua F. Suponemos que esta función no cambia de signo en todo el intervalo.
Si f es una función continua y no negativa en un segmento determinado, y F es algunas de sus antiderivadas en este segmento, entonces el área del trapezoide curvilíneo S es igual al incremento de la antiderivada en este segmento.
Este teorema se puede escribir en la siguiente fórmula:
S = F(b) – F(a)
La integral de la función f(x) de a a b será igual a S. Aquí y más abajo, para denotar la integral definida de alguna función f(x), con límites de integración de a a b, usaremos la siguiente notación (a;b)∫f(x). A continuación se muestra un ejemplo de cómo se vería.

Entonces podemos igualar estos dos resultados. Obtenemos: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), siempre que F sea una antiderivada de la función f en . Esta fórmula se llama fórmula de Newton-Leibniz. Será cierto para cualquier función continua f en el intervalo.
La fórmula de Newton-Leibniz se utiliza para calcular integrales. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1: calcular la integral. Encontramos la antiderivada para el integrando x2. Una de las antiderivadas será la función (x3)/3.
Ahora usamos la fórmula de Newton-Leibniz:
(-1;2)∫x2dx = (23)/3 – ((-1)3)/3 = 3
Respuesta: (-1;2)∫x2dx = 3.
Ejemplo 2: calcular la integral (0;pi)∫sin(x)dx.
Encuentra la antiderivada del integrando sen(x). Una de las antiderivadas será la función –cos(x). Usemos la fórmula de Newton-Leibniz:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Respuesta: (0;pi)∫sen(x)dx=2
A veces, por simplicidad y conveniencia de la notación, el incremento de la función F en el segmento (F(b)-F(a)) se escribe de la siguiente manera:

Usando esta notación para el incremento, la fórmula de Newton-Leibniz se puede reescribir de la siguiente manera:

Como se indicó anteriormente, esto es solo una abreviatura de facilidad de grabación, nada más se ve afectado por esta grabación. Esta notación y la fórmula (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) serán equivalentes.

Esta fórmula todavía es utilizada por un gran número de científicos y calculadores. Con su ayuda, Leibniz trajo desarrollo a muchas ciencias.

La solución de problemas aplicados se reduce al cálculo de la integral, pero no siempre es posible hacerlo con precisión. A veces es necesario conocer el valor de una integral definida con cierto grado de precisión, por ejemplo, a una milésima.

Hay tareas en las que sería necesario encontrar el valor aproximado de cierta integral con la precisión requerida, entonces se utiliza la integración numérica como el método Simposn, trapezoides, rectángulos. No todos los casos nos permiten calcularlo con cierta precisión.

Este artículo considera la aplicación de la fórmula de Newton-Leibniz. Esto es necesario para el cálculo exacto de la integral definida. Será dado ejemplos detallados, consideramos el cambio de variable en la integral definida y encontramos los valores de la integral definida al integrar por partes.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Fórmula de Newton-Leibniz

Definición 1

Cuando la función y = y (x) es continua desde el segmento [ a ; b], y F(x) es una de las antiderivadas de la función de este segmento, entonces Fórmula de Newton-Leibniz considerado justo. Escribámoslo así ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Esta fórmula se considera la fórmula básica del cálculo integral.

Para probar esta fórmula, es necesario utilizar el concepto de integral con el límite superior variable disponible.

Cuando la función y = f (x) es continua desde el segmento [ a ; b ] , entonces el valor del argumento x ∈ a ; b , y la integral tiene la forma ∫ a x f (t) d t y se considera una función del límite superior. Es necesario aceptar que la notación de la función tomará la forma ∫ axf (t) dt = Φ (x) , es continua, y la desigualdad de la forma ∫ axf (t) dt " = Φ " (x) = f(x) es válida para ello.

Fijamos que el incremento de la función Φ (x) corresponde al incremento del argumento ∆ x , es necesario usar la quinta propiedad principal de una integral definida y obtener

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ ax + ∆ xf (t) dt - ∫ axf (t) dt = = ∫ ax + ∆ xf (t) dt = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x

donde valor c ∈ x ; x + ∆x .

Fijamos la igualdad en la forma Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Por definición de la derivada de una función, es necesario pasar al límite como ∆ x → 0, entonces obtenemos una fórmula de la forma ubicada en [ a ; b ] De lo contrario, la expresión se puede escribir

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , donde el valor de C es constante.

Calculemos F (a) usando la primera propiedad de la integral definida. Entonces obtenemos eso

F (a) = Φ (a) + C = ∫ una una F (t) re t + C = 0 + C = C , por lo tanto, C = F (a) . El resultado es aplicable al calcular F(b) y obtenemos:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ abf (t) dt + C = ∫ abf (t) dt + F (a), en otras palabras, F (b) = ∫ abf (t) dt + F (a) . La igualdad prueba la fórmula de Newton-Leibniz ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

El incremento de la función se toma como F x a b = F (b) - F (a) . Con la ayuda de la notación, la fórmula de Newton-Leibniz se convierte en ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Para aplicar la fórmula, es necesario conocer una de las antiderivadas y = F (x) del integrando y = f (x) del segmento [ a ; b ] , calcule el incremento de la antiderivada de este segmento. Considere algunos ejemplos de cálculos utilizando la fórmula de Newton-Leibniz.

Ejemplo 1

Calcula la integral definida ∫ 1 3 x 2 d x usando la fórmula de Newton-Leibniz.

Solución

Considere que el integrando de la forma y = x 2 es continuo desde el intervalo [ 1 ; 3 ] , entonces y es integrable en este segmento. De acuerdo con la tabla de integrales indefinidas, vemos que la función y \u003d x 2 tiene un conjunto de antiderivadas para todos los valores reales de x, lo que significa que x ∈ 1; 3 se escribirá como F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Es necesario tomar la antiderivada con C \u003d 0, luego obtenemos que F (x) \u003d x 3 3.

Usemos la fórmula de Newton-Leibniz y obtengamos que el cálculo de la integral definida tomará la forma ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

Respuesta:∫ 1 3 x 2 re x = 26 3

Ejemplo 2

Calcula la integral definida ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x usando la fórmula de Newton-Leibniz.

Solución

La función dada es continua desde el segmento [ - 1 ; 2], lo que significa que es integrable en él. Es necesario encontrar el valor de la integral indefinida ∫ x ex 2 + 1 dx usando el método de suma bajo el signo diferencial, luego obtenemos ∫ x ex 2 + 1 dx = 1 2 ∫ ex 2 + 1 d (x 2 + 1) = 1 2 ex 2+1+C.

Por tanto tenemos un conjunto de antiderivadas de la función y = x · e x 2 + 1 , que son válidas para todo x , x ∈ - 1 ; 2.

Es necesario tomar la antiderivada en C = 0 y aplicar la fórmula de Newton-Leibniz. Entonces obtenemos una expresión de la forma

∫ - 1 2 x ex 2 + 1 dx = 1 2 ex 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Respuesta:∫ - 1 2 X mi X 2 + 1 re X = 1 2 mi 2 (mi 3 - 1)

Ejemplo 3

Calcula las integrales ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x y ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Solución

Segmento - 4; - 1 2 dice que la función bajo el signo integral es continua, lo que significa que es integrable. A partir de aquí encontramos el conjunto de antiderivadas de la función y = 4 x 3 + 2 x 2 . eso lo conseguimos

∫ 4 x 3 + 2 x 2 re x = 4 ∫ x re x + 2 ∫ x - 2 re x = 2 x 2 - 2 x + C

Es necesario tomar la antiderivada F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, luego, aplicando la fórmula de Newton-Leibniz, obtenemos la integral, que calculamos:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 dx = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Hacemos la transición al cálculo de la segunda integral.

Desde el segmento [-1; 1 ] tenemos que el integrando se considera ilimitado, porque lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , entonces se sigue que condición necesaria integrabilidad de un segmento. Entonces F (x) = 2 x 2 - 2 x no es una antiderivada para y = 4 x 3 + 2 x 2 del intervalo [ - 1 ; 1 ] , ya que el punto O pertenece al segmento, pero no está incluido en el dominio de definición. Esto significa que existe una integral definida de Riemann y Newton-Leibniz para la función y = 4 x 3 + 2 x 2 del intervalo [ - 1 ; una ] .

Respuesta: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, existe una integral definida de Riemann y Newton-Leibniz para la función y = 4 x 3 + 2 x 2 del intervalo [ - 1 ; una ] .

Antes de usar la fórmula de Newton-Leibniz, necesita saber exactamente sobre la existencia de una integral definida.

Cambio de variable en una integral definida

Cuando la función y = f (x) es definida y continua del segmento [ a ; b ] , entonces el conjunto existente [ a ; b ] se considera el rango de la función x = g (z) definida en el intervalo α ; β con la derivada continua existente, donde g (α) = a y g β = b , por lo tanto obtenemos que ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .

Esta fórmula se utiliza cuando es necesario calcular la integral ∫ a b f (x) d x , donde la integral indefinida tiene la forma ∫ f (x) d x , calculamos por el método de sustitución.

Ejemplo 4

Calcula una integral definida de la forma ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Solución

El integrando se considera continuo en el intervalo de integración, lo que significa que existe la integral definida. Démosle la notación que 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . El valor x \u003d 9 significa que z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, y para x \u003d 18 obtenemos que z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 3, luego g α \ u003d gramo (3) \u003d 9 , gramo β = gramo 3 3 = 18 . Sustituyendo los valores obtenidos en la fórmula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z, obtenemos que

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 dx = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "dz = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z zdz = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 dz

Según la tabla de integrales indefinidas, tenemos que una de las antiderivadas de la función 2 z 2 + 9 toma el valor 2 3 a r c t g z 3 . Entonces, aplicando la fórmula de Newton-Leibniz, obtenemos que

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 re z = 2 3 una r c t gramo z 3 3 3 3 = 2 3 una r c t gramo 3 3 3 - 2 3 una r c t gramo 3 3 = 2 3 una r c t gramo 3 - una r c t gramo 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

El hallazgo podría hacerse sin utilizar la fórmula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .

Si el método de reemplazo usa una integral de la forma ∫ 1 x 2 x - 9 d x , entonces podemos llegar al resultado ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

A partir de aquí realizaremos cálculos utilizando la fórmula de Newton-Leibniz y calcularemos la integral definida. eso lo conseguimos

∫ 9 18 2 z 2 + 9 dz = 2 3 arctgz 3 9 18 = = 2 3 arctg 2 18 - 9 3 - arctg 2 9 - 9 3 = = 2 3 arctg 3 - arctg 1 = 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18

Los resultados coincidieron.

Respuesta: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integración por partes en el cálculo de una integral definida

Si en el segmento [ a ; b ] las funciones u (x) y v (x) son definidas y continuas, entonces sus derivadas de primer orden v " (x) u (x) son integrables, por lo que a partir de este intervalo para la función integrable u " (x) v ( x) la igualdad ∫ abv " (x) u (x) dx = (u (x) v (x)) ab - ∫ abu " (x) v (x) dx es verdadera.

Se puede usar la fórmula entonces, hay que calcular la integral ∫ a b f (x) d x , y ∫ f (x) d x hay que encontrarla por integración por partes.

Ejemplo 5

Calcula la integral definida ∫ - π 2 3 π 2 x · sen x 3 + π 6 d x .

Solución

La función x sin x 3 + π 6 es integrable en el segmento - π 2; 3 π 2 , por lo que es continua.

Sea u (x) \u003d x, luego d (v (x)) \u003d v "(x) dx \u003d sin x 3 + π 6 dx, y d (u (x)) \u003d u "(x) dx \u003d dx, y v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . De la fórmula ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u" (x) v (x) d x obtenemos que

∫ - π 2 3 π 2 x sen x 3 + π 6 dx = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 dx \u003d \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sen x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sen π 2 + π 6 - sen - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

La solución del ejemplo se puede hacer de otra forma.

Encuentra el conjunto de antiderivadas de la función x sen x 3 + π 6 usando integración por partes usando la fórmula de Newton-Leibniz:

∫ x sen xx 3 + π 6 dx = u = x, dv = sen x 3 + π 6 dx ⇒ du = dx, v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 dx = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sen x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sen x 3 + π 6 dx = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Respuesta: ∫ x sen x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter

Sea dada alguna función continua f en algún segmento del eje Ox. Suponemos que esta función no cambia de signo en todo el intervalo.

Si f es una función continua y no negativa en un segmento determinado, y F es algunas de sus antiderivadas en este segmento, entonces el área del trapezoide curvilíneo S es igual al incremento de la antiderivada en este segmento.

Este teorema se puede escribir en la siguiente fórmula:

S = F(b) - F(a)

La integral de la función f(x) de a a b será igual a S. Aquí y más abajo, para denotar la integral definida de alguna función f(x), con límites de integración de a a b, usaremos la siguiente notación (a;b)∫f(x). A continuación se muestra un ejemplo de cómo se vería.

Fórmula de Newton-Leibniz

Entonces podemos igualar estos dos resultados. Obtenemos: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), siempre que F sea una antiderivada de la función f en . Esta fórmula se llama Fórmulas de Newton-Leibniz. Será cierto para cualquier función continua f en el intervalo.

La fórmula de Newton-Leibniz se utiliza para calcular integrales. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: calcular la integral. Encuentra la antiderivada del integrando x 2 . Una de las antiderivadas será la función (x 3)/3.

Ahora usamos la fórmula de Newton-Leibniz:

(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3

Respuesta: (-1;2)∫x 2 dx = 3.

Ejemplo 2: calcular la integral (0;pi)∫sin(x)dx.

Encuentra la antiderivada del integrando sen(x). Una de las antiderivadas será la función -cos(x). Usemos la fórmula de Newton-Leibniz:

(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.

Respuesta: (0;pi)∫sen(x)dx=2

A veces, por simplicidad y conveniencia de la notación, el incremento de la función F en el segmento (F(b)-F(a)) se escribe de la siguiente manera:

Usando esta notación para el incremento, la fórmula de Newton-Leibniz se puede reescribir de la siguiente manera:

Avance:

Para usar la vista previa de las presentaciones, cree una cuenta de Google (cuenta) e inicie sesión: https://accounts.google.com

Subtítulos de las diapositivas:

Integral. Fórmula de Newton-Leibniz. compilador: profesor de matemáticas GOUNPO PU No. 27 p.Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilievna

El propósito de la lección: Introducir el concepto de integral y su cálculo usando la fórmula de Newton-Leibniz, usando el conocimiento de la antiderivada y las reglas para su cálculo; Ilustrar la aplicación práctica de la integral con ejemplos de cómo encontrar el área de un trapezoide curvilíneo; Refuerza lo aprendido a través de los ejercicios.

Definición: Sea dada una función positiva f(x), definida sobre un segmento finito [ a;b ] . La integral de una función f(x) sobre [a;b] es el área de su trapezoide curvilíneo. y=f(x) b a 0 x y

Designación:  “integral de a a b ef de x de x”

Referencia histórica: La designación de la integral de Leibniz deriva de la primera letra de la palabra "Summa" (Summa). Newton no ofreció un simbolismo alternativo de la integral en sus obras, aunque intentó varias opciones. El término integral fue acuñado por Jacob Bernoulli. S uma Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz Jacob Bernoulli

Designacion integral indefinida introducido por Euler. Jean Baptiste Joseph Fourier Leonhard Euler Fourier inventó la formulación de una integral definida en la forma a la que estamos acostumbrados.

Fórmula de Newton-Leibniz

Ejemplo 1. Calcular la integral definida: = Solución:

Ejemplo 2. Calcula integrales definidas: 5 9 1

Ejemplo 3 . S y x Calcula el área de la figura delimitada por rectas y eje x. Primero, busquemos los puntos de intersección del eje x con la gráfica de la función. Para ello resolveremos la ecuación. = Solución: S =

y x S A B D C Ejemplo 4 . Calcula el área de la figura delimitada por rectas y Encuentra los puntos de intersección (abscisas) de estas rectas resolviendo la ecuación S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 - 4.5 = 4.5

REGLAS DE SINQWINE 1 línea - el tema de syncwine 1 palabra 2 líneas - 2 adjetivos que describen las características y propiedades del tema 3 líneas - 3 verbos que describen la naturaleza de la acción 4 líneas - oferta corta de 4 palabras, mostrando su actitud personal hacia el tema 5 líneas - 1 palabra, un sinónimo o su asociación con el tema del tema.

Integral 2. Definida, positiva Contar, sumar, multiplicar 4. Calcular con la fórmula de Newton-Leibniz 5. Área

Lista de literatura usada: libro de texto Kolmagorov A.N. y otros Álgebra y el comienzo del análisis 10 - 11 celdas.

¡Gracias por su atención! "TALENTO es 99% trabajo y 1% habilidad" sabiduría popular

Ejemplo 1. Calcular la integral definida: = Solución: ejemplo 4

Avance:

Materia: matemáticas (álgebra y el comienzo del análisis), grado: 11° grado.

Tema de la lección: "Integral. Fórmula de Newton-Leibniz.

Tipo de lección: Aprendiendo material nuevo.

Duración de la lección: 45 minutos.

Objetivos de la lección: introducir el concepto de integral y su cálculo mediante la fórmula de Newton-Leibniz, utilizando el conocimiento de la antiderivada y las reglas para su cálculo; ilustrar la aplicación práctica de la integral en ejemplos de cómo encontrar el área de un trapezoide curvilíneo; reforzar lo aprendido durante los ejercicios.

Objetivos de la lección:

Educativo:

formar el concepto de integral;
formación de habilidades para calcular una cierta integral;
formación de habilidades aplicación práctica Integral para hallar el área de un trapezoide curvilíneo.

Desarrollando:

desarrollo del interés cognitivo de los estudiantes, desarrollar el habla matemática, la capacidad de observar, comparar, sacar conclusiones;
Desarrollar el interés por el tema con la ayuda de las TIC.

Educativo:

intensificar el interés en la obtención de nuevos conocimientos, la formación de precisión y precisión en el cálculo de la integral y la ejecución de dibujos.

Equipo: ORDENADOR PERSONAL, sistema operativo Microsoft Windows 2000/XP, MS Office 2007: Power Point, Microsoft Word; proyector multimedia, pantalla.

Literatura: libro de texto Kolmagorova A.N. y otros Álgebra y el comienzo del análisis 10-11 celdas.

Tecnologías: TIC, entrenamiento individual.

DURANTE LAS CLASES

etapa de la lección	Actividad del profesor	actividades estudiantiles	Hora
Introducción
organizando el tiempo	Saluda, verifica la preparación de los estudiantes para la lección, organiza la atención. Da un resumen.	Escucha, anota la fecha.	3 minutos
Informar sobre el tema y los objetivos de la lección.	Actualización de conocimientos básicos y experiencia subjetiva con acceso a los objetivos de la lección.	Escucha, escribe el tema de la lección en un cuaderno.Participa activamente en la actividad mental. Analizar, comparar, sacar conclusiones con acceso a los objetivos de la lección.	Presentación TIC 3 minutos
Parte principal de la lección. Una presentación de material nuevo con una prueba de aprobación de conocimiento de temas anteriores.
Definición de la integral (diapositiva 3)	Da una definición. TIC ¿Qué es un trapezoide curvilíneo?	Una figura limitada por un gráfico de una función, un segmento y líneas rectas x=a y x=b.	10 minutos
Notación integral (diapositiva 4)	Introduce la notación para la integral y cómo se lee.	Escucha escribe.
Historia de la integral (diapositivas 5 y 6)	Cuenta la historia del término "integral".	Escucha, toma notas.
Fórmula de Newton-Leibniz (diapositiva 7)	Da la fórmula de Newton-Leibniz. ¿Qué significa F en la fórmula?	Escuche, tome notas, responda preguntas del maestro. Primitivo.
La parte final de la lección.
Fijación del material. Resolución de ejemplos utilizando el material estudiado.
Ejemplo 1 (diapositiva 8)	Analiza la solución del ejemplo, haciendo preguntas sobre cómo encontrar antiderivadas para integrandos.	Escuchar, anotar, demostrar conocimiento de la tabla de antiderivadas.	20 minutos
Ejemplo 2 (diapositiva 9). Ejemplos de solución independiente estudiantes.	Controla la solución de ejemplos.	Realice la tarea por turno, comentando (tecnología de aprendizaje individual), escucharse unos a otros, escribir, mostrar conocimiento de temas pasados.
Ejemplo 3 (diapositiva 10)	Analiza la solución del ejemplo. ¿Cómo encontrar los puntos de intersección del eje de abscisas con la gráfica de una función?	Escuche, responda preguntas, muestre conocimiento de temas pasados, escriba. Iguale el integrando a 0 y resuelva la ecuación.
Ejemplo 4 (diapositiva 11)	Analiza la solución del ejemplo. ¿Cómo encontrar los puntos de intersección (abscisas) de los gráficos de funciones? Determine el tipo de triángulo ABC. ¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo?	Escucha, responde preguntas. Igualar las funciones entre sí y resolver la ecuación resultante. Rectangular. donde a y b son los catetos de un triángulo rectángulo.
Resumen de la lección (diapositivas 12 y 13)	Organiza el trabajo de compilación de syncwine.	Participa en la compilación de syncwine. Analizar, comparar, sacar conclusiones sobre el tema.	5 minutos.
Tarea por nivel de dificultad.	Da tarea y explica.	Escucha escribe.	1 minuto.
Evaluación del trabajo de los estudiantes en la lección.	Evalúa el trabajo de los estudiantes en la lección, analiza.	Escucha.	1 minuto

Avance:

Resumen de referencia sobre el tema “Integral. Fórmula de Newton-Leibniz.

	Definición: Sea dada una función positiva f(x) , definido en un segmento finito .La integral de la función f(x) enes el área de su trapezoide curvilíneo.
	Designacion: Lee: "integral de a a b ef de x de x"
	Fórmula de Newton-Leibniz
	Ejemplo 1 Calcular la integral definida: Solución:
	Ejemplo 3. y el eje x. Solución:
	Ejemplo 3 Calcular el área de una figura delimitada por rectas y .