Introducción
Educación matemática recibida en escuela de educacion general, es el componente más importante educación general Y cultura común hombre moderno. Casi todo lo que rodea a una persona moderna está conectado de una forma u otra con las matemáticas. Y los recientes avances en física, tecnología y tecnologías de la información No dejes ninguna duda de que las cosas seguirán igual en el futuro. Por lo tanto, la solución de muchos problemas prácticos se reduce a resolver varios tipos ecuaciones para aprender a resolver.
En matemáticas elementales, se distinguen dos tipos de ecuaciones: algebraicas y trascendentales.Las ecuaciones algebraicas incluyen:
lineal;
cuadrado; cúbico; bicuadra; ecuación de cuarto grado de forma general; binomial algebraica enésima ecuación grados; potencia algebraica; - retorno (algebraico); – ecuación algebraica del grado th de una forma general; 10. ecuaciones algebraicas fraccionarias, es decir ecuaciones que contienen polinomios y fracciones algebraicas(fracciones de la forma
, donde y son polinomios);11. ecuaciones irracionales, es decir ecuaciones que contienen radicales bajo los cuales se ubican polinomios y fracciones algebraicas;
12. ecuaciones que contienen un módulo, bajo cuyo módulo están contenidos polinomios y fracciones algebraicas.
Ecuaciones que contienen funciones trascendentales como logarítmicas, exponenciales o Funcion trigonometrica se llaman trascendentales. En nuestro trabajo, consideramos las ecuaciones algebraicas con más detalle.
En la literatura educativa y metódica, tradicionalmente se consideran métodos especiales para resolver ecuaciones. Mientras tanto, los detalles de resolver las ecuaciones de cada sección son un asunto secundario. Básicamente, hay cuatro métodos principales:
Reemplazando la ecuación h (f(x))=h (g(x)) con la ecuación f(x)=g(x);
Método de reemplazo de variables;
método de factoraje;
Método funcional-gráfico y sus diversas modificaciones.
El más común de ellos es el método de sustitución de variables.
En base a esto, formulamos el objetivo de nuestro trabajo: estudiar las posibilidades del método de reemplazar la incógnita al resolver ecuaciones algebraicas y demostrar su aplicación en situaciones estándar y no estándar. Para lograr este objetivo, es necesario resolver las siguientes tareas:
1. Ampliar el contenido de los principales conceptos y enunciados relacionados con la teoría de resolución de ecuaciones: resolución de una ecuación, equivalencia y consecuencia, métodos generales de resolución de ecuaciones.
2. Identificar las posibilidades de utilizar el método de sustitución de incógnitas en la resolución de ecuaciones algebraicas en situaciones estándar y no estándar.
3. Realizar la tipificación de métodos para introducir nuevas incógnitas en la resolución de ecuaciones algebraicas e identificar criterios para su aplicabilidad
4. Compile un conjunto de problemas típicos que se reduzcan al uso del método de reemplazo para resolver ecuaciones y demuestre su solución.
1. Conceptos básicos y enunciados relacionados con la teoría de resolución de ecuaciones
En el primer capítulo de nuestro trabajo, revelaremos el contenido de los principales conceptos y enunciados relacionados con la teoría de resolución de ecuaciones.
Nos familiarizamos con el concepto de "ecuación" en las lecciones de matemáticas ya en escuela primaria, y el problema "resuelve la ecuación" es probablemente el problema más común. Todavía dar definición precisa del concepto de "ecuación", para definir exactamente lo que significa "resolver una ecuación", sin ir más allá del alcance del curso matemáticas elementales, no podemos. Para ello, es necesario involucrar categorías lógicas e incluso filosóficas muy serias. Es suficiente para nosotros familiarizarnos con estos conceptos al nivel del "sentido común".
Considere dos ecuaciones A y B con la misma incógnita. Diremos que la ecuación B es consecuencia ecuación A, si cualquier raíz de la ecuación A es una raíz de la ecuación B.
Las ecuaciones se llaman equivalente si alguna raíz de uno de ellos es raíz del otro y viceversa. Así, las ecuaciones son equivalentes si cada una de ellas es consecuencia de la otra.
De estas definiciones se sigue, por ejemplo, que dos ecuaciones que no tienen solución son equivalentes. Si A no tiene soluciones, entonces B es consecuencia A, cualquiera que sea la ecuación B.
Definamos el concepto de "resolver una ecuación". resuelve la ecuación- significa encontrar todos esos valores de las incógnitas incluidas en él, que convierten la ecuación en una identidad. Estos valores se llaman raíces de la ecuación.
El proceso de resolución de ecuaciones consiste principalmente en sustituir una ecuación dada por otra equivalente.
Como se mencionó anteriormente, hay cuatro más método común utilizado en la resolución de ecuaciones de cualquier tipo. Echemos un vistazo más de cerca a cada método.
El método de reemplazar la ecuación h (f(x))=h (g(x)) por la ecuación f(x)=g(x) solo se puede usar cuando
es una función monótona que toma cada uno de sus valores una vez. Si esta función no es monótona, entonces no se puede aplicar el método especificado, ya que es posible la pérdida de raíces.La esencia del método de factorización es la siguiente: la ecuación
puede ser reemplazado: Habiendo resuelto las ecuaciones de este conjunto, debe tomar aquellas raíces que pertenecen al dominio de definición de la ecuación original y descartar el resto como extraño. método gráfico solución de la ecuación
es el siguiente: necesitas construir gráficas de funciones y encontrar sus puntos de intersección. Las raíces de la ecuación son las abscisas de estos puntos. Este método le permite determinar el número de raíces de la ecuación, adivinar el valor de la raíz, encontrar valores aproximados y, a veces, exactos de las raíces. En algunos casos, la construcción de gráficos de funciones puede ser reemplazada por una referencia a algunas propiedades de las funciones (es por eso que no estamos hablando de un método gráfico, sino de un gráfico funcional para resolver ecuaciones). Si, por ejemplo, una de las funciones
crece y la otra decrece, entonces la ecuación no tiene raíces o tiene una. Mencionemos otra variedad bastante hermosa del método funcional-gráfico: si en el intervalo el valor más grande de una de las funciones es igual y el valor más pequeño de la otra función también es igual, entonces la ecuación es equivalente en el intervalo a un sistema de ecuaciones. Revelemos la esencia del método de cambio de variable: si la ecuación
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Lección y presentación sobre el tema: "Método de sustitución de variables. Ejemplos"
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Este método es bastante común a la hora de resolver ecuaciones, y lo hemos utilizado más de una vez, se puede utilizar en los siguientes casos:
- Si la ecuación original $f(x)=0$ tiene vista compleja, pero logramos convertirlo en una ecuación de la forma $h(g(x))=0$.
- Es necesario hacer un cambio de variable $u=g(x)$.
- Resuelve la ecuación $h(u)=0$, encuentra las raíces $u_1$, $u_2$, … $u_n$.
- Introduce la sustitución inversa $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$.
- Resuelve cada una de las ecuaciones $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$. Las raíces de cada una de las ecuaciones serán las soluciones de la ecuación original.
Ejemplo.
Resuelve la ecuación: $8x^6+7x^3-1=0$.
Solución.
Presentemos el reemplazo $y=x^3$. Entonces nuestra ecuación se reduce a una ecuación cuadrática:
$8y^2+7y-1=0$,
$(8y-1)(y+1)=0$,
$y_1=\frac(1)(8)$ y $y_2=-1$.
Sobre el este escenario al resolver mas ecuaciones complejas las raíces deben ser revisadas.
Introduzcamos la sustitución inversa: $x^3=\frac(1)(8)$ y $x^3=-1$.
Las raíces de estas ecuaciones son fáciles de encontrar: $x_1=\frac(1)(2)$ y $x_2=-1$.
Respuesta: $x=0.5$ y $x=-1$.
Ejemplo.
Resuelve la ecuación: $\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))+4\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=4$.
Solución.
Realicemos transformaciones equivalentes:
$\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=(\frac(2x-1)(2x+3))^(\frac(1)(2))=(\frac(2x+ 3 )(2x-1))^(-\frac(1)(2))=((\frac(2x+3)(2x-1))^(\frac(1)(2)))^( - 1)=\frac(1)(\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1)))$.
Introducimos el reemplazo: $u=\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))$, luego nuestra ecuación se reduce a $u+\frac(4)(u)=4$. $u^2-4u+4=0$, de donde $u=2$.
Introduzcamos la sustitución inversa: $\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))=2$.
$2x+3=4(2x-1)$ al decidir ecuación lineal$x=1\frac(1)(6)$.
Ejemplo.
Resuelve la ecuación: $2^x+2^(1-x)=3$.
Solución.
Nuestra ecuación se reduce a una ecuación equivalente: $2^x+\frac(2)(2^x)=3$.
Introducimos un reemplazo: $t=2^x$.
$t+\frac(2)(t)=3$,
$t^2-3t+2=0$,
$(t-2)(t-1)=0$,
$t_1=2$ y $t_2=1$.
Introduzcamos la sustitución inversa: $2^x=2$ y $2^x=1$. De: $x=1$ y $x=0$.
Respuesta: $x=1$ y $x=0$.
Ejemplo.
Resuelve la ecuación: $lg^2(x^2)+lg(10x)-6=0$.
Solución.
Cambiemos nuestra ecuación.
$largo^2(x^2)=(largo(x^2))^2=(2largo(x))^2=4largo^2x$.
$lg(10x)=lg10+lgx=1+lgx$.
La ecuación original es equivalente a la ecuación: $4lg^2x+lgx-5=0$.
Introducimos un reemplazo: $u=lg(x)$.
$4u^2+u-5=0$,
$(4u+5)(u-1)=0$.
Introduzcamos la sustitución inversa: $lgx=-1.25$ y $lgx=1$.
Respuesta: $x=10^(-\frac(5)(4))$ y $x=10$.
Ejemplo.
Resuelve la ecuación: $sin(x)cos(x)-6sin(x)+6cos(x)+6=0$.
Solución.
Introduzcamos un reemplazo: $cos(x)-sin(x)=y$.
Entonces: $(cos(x)-sin(x))^2=1-2sin(x)cos(x)$.
$sen(x)cos(x)=\frac(1-y^2)(2)$.
La ecuación original es equivalente a:
$\frac(1-y^2)(2)+6y+6=0$,
$1-y^2+12y+12=0$,
$y^2-12y-13=0$,
$(y-13)(y+1)=0$.
Introduzcamos una sustitución inversa: $cos(x)-sin(x)=13$ - es obvio que no hay soluciones, ya que el coseno y el seno están limitados en valor absoluto a uno.
$cos(x)-sin(x)=-1$ - multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\frac(\sqrt(2))(2)cos(x)-\frac(\sqrt(2))(2)sin(x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$sen(\frac(π)(4)-x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\begin (casos) \frac(π)(4)-x=-\frac(π)(4)+2πn, \\ \frac(π)(4)-x=-\frac(3π)(4 )+2πn. \end(casos)$
$\begin (casos) x=\frac(π)(2)+2πn, \\ x=π+2πn. \end(casos)$
Respuesta: $x=\frac(π)(2)+2πn$ y $π+2πn$.
Tareas para solución independiente
Resuelve las siguientes ecuaciones:1. $x^8+3x^4-4=0$.
2. $\sqrt(\frac(5x-1)(x+3))+5\sqrt(\frac(x+3)(5x-1))=6$.
3. $5^x+5^(2x+1)=-4$.
4. $2cos^2(x)-7cos-4=0$.
5. $5sen(2x)-11sen(x)=11cos(x)-7$.
Resolución de ecuaciones por cambio de variable
La mayoría de las tareas de la vida
se resuelven como ecuaciones algebraicas:
reduciéndolos a su forma más simple.
LN Tolstoi.
El propósito de la lección: organizar Actividades de aprendizaje estudiantes en su dominio de los métodos para resolver ecuaciones enteras de grados superiores mediante el método de cambiar una variable; introducir a los estudiantes a los conceptos, métodos de resolución de ecuaciones recíprocas y simétricas.
Tareas:educativo: continuar desarrollando la capacidad de aplicar el método de reemplazo
variable al resolver ecuaciones; la formación de la capacidad de ver el mismo método de resolución de ecuaciones en Diferentes situaciones; formarse una idea de los métodos y formas de resolver tareas no estándar y ecuaciones algebraicas a un nivel superior al nivel de los estándares educativos estatales;
desarrollando: desarrollo del pensamiento de los estudiantes; desarrollo de la memoria; desarrollo
pensamiento lógico la capacidad de articular claramente sus pensamientos; desarrollo de la imaginación de los estudiantes; desarrollo del habla oral.
educativo: educación de la observación; educación de precisión
al tomar notas en la pizarra y en un cuaderno; educación de la independencia en el desempeño del trabajo práctico.
durante las clases
Organizando el tiempo.
Actualización y sistematización del conocimiento.
Tarea número 1. Resuelve el curcigrama. Escriba sus respuestas únicamente en caso nominativo.
Horizontalmente:4. ¿Cuál es la expresión de una ecuación cuadrática? (discriminante)
6. El valor de la variable en el que la ecuación se convierte en una verdadera igualdad. (raíz)
8. Ecuación de la forma 
, donde 
. (bi-cuadrado)
9. Matemático francés relacionado con las ecuaciones cuadráticas. (vietnamita)
10. Una ecuación en la que las partes izquierda y derecha son expresiones enteras. (entero)
11. Ecuaciones con una variable que tiene el mismo conjunto de raíces. (equivalente)
Verticalmente:
1. El conjunto de raíces de la ecuación. (solución)
2. Solución de la ecuación 
. (cero)
3.Igualdad que contiene una variable. (la ecuacion)
5. Una ecuación cuadrática en la que uno de los coeficientes b o c es igual a 0. (incompleto)
7. Una ecuación cuadrática en la que el primer coeficiente igual a uno. (reducido)
¿A qué dedicaremos nuestra lección de hoy? ( Resolución de ecuaciones )
Tarea número 2. ¿Cómo resolverías las ecuaciones de cada grupo?
RESPUESTAS: Los ejemplos del grupo 1) se resuelven mejor factorizando sacando el factor común entre paréntesis o usando fórmulas de multiplicación abreviadas.
Los ejemplos del grupo 2) se resuelven mejor agrupando y factorizando.
Los ejemplos del grupo 3) se resuelven mejor introduciendo una nueva variable y pasando a una ecuación cuadrática.
1 ¿Qué multiplicador sacarías entre paréntesis en los ejemplos del grupo 1?
RESPUESTAS:
¿Cómo agruparías los términos en los ejemplos del grupo 2?
RESPUESTAS:
¿Qué denotarías por una nueva variable en los ejemplos del grupo 3?
RESPUESTAS:
¿Cómo se puede factorizar un polinomio? 
?
RESPUESTAS: .
Hoy, en la lección, mostrará su conocimiento sobre el tema "Resolver ecuaciones cambiando la variable"
Escriba el tema de la lección en sus cuadernos.
Hoy en la lección consideraremos una de las formas de resolver ecuaciones de grados superiores: el método de cambiar una variable; nos familiarizaremos con los conceptos, métodos para resolver ecuaciones recíprocas y simétricas.
El arte de sustituir variables consiste en ver qué sustitución es más racional y es más probable que conduzca al éxito.
Tarea número 3.
Resuelve la ecuación.(La tarea en la pizarra es resuelta simultáneamente por 2 estudiantes).
pero) (El primer estudiante decide en la pizarra con una explicación.)
B) (El segundo estudiante resuelve la ecuación en silencio, luego explica la solución, la clase escucha y hace preguntas si algo no está claro).
1 estudiante Reemplazo: 
.
2 estudiante Reemplazo: 
.
(Adicional para los que ya han tratado con las ecuaciones anteriores).
. .
3 estudiante
(Los estudiantes comentan sobre el progreso de la decisión desde el lugar).
SOLUCIÓN: Sacar el factor común: ,
donde 
o 
, es decir. 
Responder: 
Profundizar y ampliar el conocimiento.
Seguimos trabajando. Ves la ecuación en la diapositiva: x 4 -5x 3 +6x 2 -5x + 1 = 0.
¿Cómo propondrías solucionarlo? ¿Cómo podemos ser?
¿Es posible resolverlo en el marco de los programas escolares de matemáticas? Puedes responder que no. Después de todo, los métodos estándar para resolver ecuaciones en la escuela permiten resolver ecuaciones que no superan el segundo grado. Pero puede recordarse que las ecuaciones individuales son más grados altos todavía decidido en la escuela. Es cierto que los métodos de su solución son la aplicación creativa de métodos conocidos, su reducción a la solución de una o varias ecuaciones de grado no superior al segundo.
Mira muy de cerca esta ecuación? que notaste ?(en esta ecuación, los coeficientes equidistantes de los extremos son iguales)
Amigos, una ecuación de este tipo, cuando los coeficientes equidistantes de los extremos son iguales, se llama retornable. Esta ecuación se reduce a una cuadrática usando sustitución.
Te ofrezco el siguiente algoritmo para resolverlos:
Algoritmo para resolver ecuaciones recíprocas.
1. Divide ambos lados de la ecuación por x 2.
2. Agrupa los términos (el primero con el último, el segundo con el cuarto).
Llevar la ecuación a la forma pero
+ c = 0
3.Introducir una nueva variable t = , entonces t 2 = , es decir \u003d t 2 - 2.
4. Realiza la sustitución y resuelve la ecuación cuadrática.
5. Regrese al reemplazo y resuelva las ecuaciones resultantes.
6. Escriba la respuesta.
Los chicos están aprendiendo el algoritmo.
El estudiante en la pizarra de acuerdo con el algoritmo y con la ayuda del maestro resuelve la ecuación, el resto escribe en cuadernos.
6x 4 – 5x 3 – 38x 2 – 5x + 6 = 0.
Solución.
6x 2 - 5x - 38 - 5 / x + 6 / x 2 \u003d 0.
6 (x 2 + 1 / x 2) - 5 (x + 1 / x) - 38 \u003d 0.
Introduzca t: sustitución (x + 1/x) = t. Reemplazo: (x 2 + 1 / x 2) \u003d t 2 - 2, tenemos:
6t 2 – 5t – 50 = 0.
t = -5/2 o t = 10/3.
Volvamos a x. Después de la sustitución inversa, resolvemos las dos ecuaciones resultantes:
1) x + 1/x = -5/2;
x 2 + 5/2 x + 1 = 0;
x = -2 o x = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
x 2 - 10/3 x + 1 = 0;
x = 3 o x = 1/3.
Respuesta: -2; -1/2; 1/3; 3.
Los matemáticos italianos del siglo XVI N. Tartaglia, A. Fiore, D. Cardano y otros hicieron una gran contribución al problema de las ecuaciones de los grados 3 y 4. En 1535, se produjo un duelo científico entre A. Fiore y N. Tartaglia, en la que ganó este último. En 2 horas, resolvió 30 problemas propuestos por Fiore, y el mismo Fiore no pudo resolver ni uno solo que le dio Tartaglia.
Chicos, y quiero ofrecerles una ecuación más hoy, la tomé de la colección de tareas para prepararme para el OGE.
. ((x + 1)(x + 4))((x + 2)(x + 3)) = 24,
(x2 + 5x + 4) (x2 + 5x + 6) = 24.
Haciendo el cambio x 2 + 5x + 4 = t, tenemos la ecuación
t(t + 2) = 24, es cuadrado:
t2 + 2t - 24 = 0.
t = -6 o t = 4.
Después de realizar la sustitución inversa, podemos encontrar fácilmente las raíces de la ecuación original.
Respuesta: -5; 0.
Transferencia creativa de conocimientos y habilidades a nuevas condiciones.
Al comienzo de la lección, hablamos sobre el hecho de que si hay elementos repetidos en la ecuación, entonces se puede usar el método de reemplazo de variables. Todavía no sabemos cómo resolver ecuaciones trigonométricas e irracionales. A ver si les podemos aplicar este método si sabemos resolver las ecuaciones trigonométricas e irracionales más sencillas.
Ejercicio 1: Nombra el cambio de variable en las siguientes ecuaciones.
Tarea 2: Escribe varias ecuaciones basadas en el método de cambio de variable.
Resumiendo.
Entonces, muchachos, nuestra lección ha llegado a su fin. Resumamos nuestra lección.
¿Qué metas nos propusimos al comienzo de la lección?
¿Se han logrado nuestros objetivos?
¿Qué cosas nuevas aprendimos en la lección?
Tarea.
4x 4 - 8x 3 + 3x 2 - 8x + 4 = 0
(x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 40
. (una ecuación de matemáticos italianos)
Y quiero terminar la lección con las palabras del gran científico Einstein A.:
“Tengo que dividir mi tiempo entre la política y las ecuaciones. Sin embargo, la ecuación, en mi opinión, es mucho más importante, porque la política existe solo para este momento, y la ecuación existirá para siempre.
¡Gracias por la leccion! ¡Adiós!
Las matemáticas son un pozo a través del cual la mente lógica puede espiar el mundo ideal.
Víctor Krotov
En la escuela, el lugar principal en el curso de álgebra lo ocupan las ecuaciones racionales. Se dedica más tiempo a su estudio que a cualquier otro tema. Esto se debe principalmente al hecho de que las ecuaciones no solo son de gran importancia teórica, sino que también sirven para muchos propósitos prácticos. Gran cantidad de tareas mundo real reduce a resolver varias ecuaciones, y solo después de que domines los métodos para resolverlas, encontrarás respuestas a varias preguntas de ciencia y tecnología.
Para la formación de la capacidad de resolver ecuaciones racionales, el trabajo independiente del estudiante es de gran importancia. Sin embargo, antes de pasar al trabajo independiente, es necesario conocer claramente y poder poner en práctica todos los métodos posibles para resolver ecuaciones racionales.
Veamos ejemplos en detalle. método de cambio de variable para resolver ecuaciones racionales.
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación (2x 2 - 3x + 1) 2 = 22x 2 - 33x + 1.
Solución.
Reescribimos la ecuación en la forma
(2x 2 - 3x + 1) 2 = 11(2x 2 - 3x) + 1. Hagamos un cambio. Sea 2x 2 - 3x \u003d t, entonces la ecuación tomará la forma:
(t + 1) 2 = 11t + 1.
Ahora abrimos los paréntesis y damos similares, obtenemos:
t2 + 2t + 1 = 11t + 1;
En el resultado incompleto ecuación cuadrática sacamos el factor común entre paréntesis, tendremos:
t = 0 o t = 9.
Ahora necesitas hacer un reemplazo inverso y resolver cada una de las ecuaciones resultantes:
2x 2 - 3x = 0 o 2x 2 - 3x = 9
x(2x - 3) = 0 2x 2 - 3x - 9 = 0
x = 0 o x = 3/2 x = 3 o x = -3/2
Respuesta: -1.5; 0; 1,5; 3.
Ejemplo 2
Resuelve la ecuación (x 2 - 6x) 2 - 2(x - 3) 2 = 81.
Solución.
Apliquemos la fórmula del cuadrado de la diferencia (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 . Escribimos la ecuación original en la forma
(x 2 - 6x) 2 - 2(x 2 - 6x + 9) = 81. Ahora puedes hacer un reemplazo.
Sea x 2 - 6x \u003d t, entonces la ecuación se verá así:
t 2 - 2 (t + 9) \u003d 81.
t2 - 2t - 18 - 81 = 0;
t2 - 2t - 99 = 0.
Según el teorema de Vieta, las raíces de la ecuación resultante serán los números -9 y 11.
Hagamos la sustitución inversa:
x 2 - 6x = -9 o x 2 - 6x = 11
x 2 - 6x + 9 = 0 x 2 - 6x - 11 = 0
(x - 3) 2 = 0 D = 80
x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 \u003d 3 - 2√5.
Respuesta: 3 - 2√5; 3; 3 + 2√5.
Ejemplo 3
Resuelve la ecuación (x - 1)(x - 3)(x + 5)(x + 7) = 297 y encuentra el producto de sus raíces.
Solución.
Busquemos una forma "rentable" de agrupar los factores y abrir los pares de corchetes:
((x - 1)(x + 5))((x - 3)(x + 7)) = 297;
(x 2 + 5x - x - 5) (x 2 + 7x - 3x - 21) = 297;
(x 2 + 4x - 5) (x 2 + 4x - 21) = 297.
Hagamos el cambio x 2 + 4x = t, luego la ecuación se verá así:
(t - 5)(t - 21) = 297.
Abramos los paréntesis, demos términos semejantes:
t2 - 21t - 5t + 105 = 297;
t2 - 26t - 192 = 0.
Según el teorema de Vieta, determinamos que las raíces de la ecuación resultante serán los números -6 y 32.
Después de la sustitución inversa tendremos:
x 2 + 4x = -6 o x 2 + 4x = 32
x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x - 32 = 0
re = 16 - 24< 0 D = 16 + 128 > 0
Sin raíces x 1 = -8; ×2 = 4
Encontremos el producto de las raíces: -8 4 = -32.
Respuesta: -32.
Ejemplo 4
Encuentra la suma de las raíces de la ecuación (x 2 - 2x + 2) 2 + 3x(x 2 - 2x + 2) = 10x 2.
Solución.
Sea x 2 - 2x + 2 \u003d t, entonces la ecuación tomará la forma:
t 2 + 3xt - 10x 2 \u003d 0.
Considere la ecuación resultante como cuadrática con respecto a t.
D \u003d (3x) 2 - 4 (-10x 2) \u003d 9x 2 + 40x 2 \u003d 49x 2; ≥≤
t1 = (-3x - 7x) / 2 y t2 = (-3x + 7x) / 2;
t1 = -5x yt2 = 2x.
Como t \u003d x 2 - 2x + 2, entonces
x 2 - 2x + 2 = -5x o x 2 - 2x + 2 = 2x. Resolvamos cada una de las ecuaciones obtenidas.
x 2 + 3x + 2 = 0 o x 2 - 4x + 2 = 0.
Ambas ecuaciones tienen raíces, porque D > 0.
Usando el teorema de Vieta, podemos concluir que la suma de las raíces de la primera ecuación es -3 y la segunda ecuación es 4. Obtenemos que la suma de las raíces de la ecuación original es -3 + 4 = 1
Respuesta 1.
Ejemplo 5
Encuentra la raíz de la ecuación (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32, perteneciente al intervalo [-5; 10].
Solución.
Sea x = t - 3, luego x + 1 = t - 2; x + 5 = t + 2 y la ecuación original se convierte en:
(t - 2) 4 + (t + 2) 4 \u003d 32. Para elevar las expresiones a la cuarta potencia, puede usar el triángulo de Pascal (Fig. 1); 
(t – 2) 4 = t 4 – 4t 3 2 + 6t 2 2 2 – 4t 2 3 + 2 4 ;
(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 2 + 6t 2 2 2 + 4t 2 3 + 2 4 .
Después de reducir los términos semejantes, obtenemos:
2t 4 – 2 6t 2 2 2 + 2 2 4 = 32;
t 4 + 6t 2 2 2 + 2 4 = 16;
t4 + 24t2 + 16 = 16;
t4 + 24t2 = 0;
t2 (t2 + 24) = 0;
t \u003d 0 o t 2 \u003d -24.
La segunda ecuación no tiene raíces, lo que significa que t = 0 y después de la sustitución inversa
x \u003d t - 3 \u003d 0 - 3 \u003d -3. La raíz de la ecuación -3 pertenece al intervalo [-5; 10].
Respuesta: -3.
Como puede ver, al resolver ecuaciones racionales, necesita conocer las fórmulas anteriores y poder contar correctamente. Los errores ocurren con mayor frecuencia al elegir un reemplazo y al volver a sustituir. Para evitar esto, debe describir en detalle cada acción, luego no habrá errores en sus decisiones.
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