Derivada y antiderivada de una función exponencial

Hoy hablaremos sobre el estudio de funciones. Es importante notar que las matemáticas están ordenadas de la misma manera que casa ordinaria: primero se colocan los cimientos y luego se colocan los ladrillos capa por capa. El papel de fundamento en matemáticas lo desempeña una función (correspondencia entre dos conjuntos). Después de introducir el concepto de función, comienzan a estudiarla como un objeto de la misma manera que se hizo con los números.

De hecho, en la vida también a menudo usamos no solo objetos, sino también correspondencias entre ellos, relaciones entre objetos. Un ejemplo son los libros sobre el amor (el amor es una relación entre personas).

Después del estudio de funciones en matemáticas, uno comienza a estudiar conjuntos de funciones, luego espacios de funciones, y así sucesivamente. Pero hoy hablaremos del análisis primario de la función.

¿Qué es una función? Una función es una correspondencia entre conjuntos. En esta lección hablaremos de funciones numéricas, es decir, de correspondencias entre conjuntos numéricos. También hablaremos sobre la propiedad local de la función (el comportamiento de la función en este punto en particular) y la propiedad global (la propiedad asociada con todo el alcance de la función). La derivada es una descripción de las propiedades locales de las funciones, y la integral es una descripción de las globales.

Por ejemplo, hay dos funciones diferentes, pero en un punto sus gráficas coinciden (ver Fig. 1). Pero, ¿cuál es la diferencia entre el comportamiento de las funciones en la vecindad de este punto? Esto será discutido.

Arroz. 1. Intersección de gráficas de dos funciones diferentes

A partir de la gráfica de una función, puede determinar fácilmente sus propiedades: monotonicidad (función creciente o decreciente), paridad (impar) y periodicidad (ver Fig. 2).

Arroz. 2. Especificaciones de características

Todas estas características son matemáticas. Pero el derivado se usa a menudo en la vida. La mayoría de las veces, cuando describimos un proceso usando un gráfico, estamos interesados en la dinámica de este proceso, es decir, no en el valor de la función en un punto particular, sino en cómo se comportará la función en el futuro (aumentará o disminuirá). ¿disminución?). Por ejemplo, cuando queremos analizar el crecimiento de precios o comparar precios en diferentes períodos de tiempo (los valores absolutos pueden cambiar, pero la dinámica sigue siendo la misma) (ver Fig. 3).

Arroz. 3. Dinámica de los precios del oro

La derivada ayuda a determinar cómo se comportará la función en la vecindad de un punto dado.

Vale aclarar que en la escuela, la mayoría de las veces, se busca la derivada de una función sobre todo el dominio de definición. Esto se debe a que las características que se investigan son "buenas", es decir, su comportamiento es predecible en todo el eje. Pero en general la derivada es una característica local de una función.

Por ejemplo, al ver fotos con diferentes velocidades de obturación, puede haber varias opciones:

los autos están parados y las personas están cada una en su lugar (ver Fig. 4);
una imagen borrosa, puede ver quién va a dónde (ver Fig. 5).

Arroz. 4. Foto con exposición a

Arroz. 5. Foto con exposición a

La segunda opción es ilustración visual derivada (borrando la imagen).

En este punto, la función toma un valor específico, y es prácticamente imposible sacar de ella conclusiones sobre su comportamiento. Y si consideramos la vecindad de este punto, entonces ya podemos decir qué lado es más pequeño (cuál es más grande) y concluir si crece o decrece. Es decir, cuando la velocidad de obturación es corta, vemos el valor de la función en un punto, y cuando consideramos el retardo de cuadro, ya podemos analizar el comportamiento de la función (ver Fig. 6).

Arroz. 6. Analogía entre derivada y fotografía

EN La vida cotidiana a menudo analizamos una situación como el análisis de funciones en matemáticas. Por ejemplo, cuando decimos que hace más calor (más frío) afuera, no indicamos la temperatura específica en ese momento, sino que queremos decir que la temperatura pronto subirá (disminuirá). Esto es similar a calcular la derivada (ver Fig. 7).

Arroz. 7. Análisis de cambio de temperatura

vamos a presentar definición precisa derivado.

función derivadaen el punto el límite se llama la relación entre el incremento de la función en este punto y el incremento del argumento (siempre que exista este límite):

Dado que queremos introducir un concepto como la tasa de cambio de una función (la palabra principal es velocidad), entonces podemos trazar un paralelo con la física. Velocidad instantánea - vector cantidad física, igual a la relación entre el movimiento y el intervalo de tiempo durante el cual ocurrió este movimiento, si el intervalo de tiempo tiende a cero:

Velocidad instantánea, m/s; - desplazamiento del cuerpo, m (en ); - intervalo de tiempo con tendencia a cero, s.

Pero es importante aclarar que cuando hablamos de temperatura, indicamos solo las características cualitativas del proceso, pero no hablamos de la tasa de cambio de temperatura. La derivada tiene en cuenta la tasa de cambio de la función. Las características pueden crecer de diferentes maneras. Por ejemplo, la parábola () crece más rápido que el logaritmo () (ver Fig. 8).

Arroz. 8. La tasa de aumento de las gráficas de funciones y

Es para comparar la tasa de aumento (decremento) de la función que introducimos una característica específica de la función: la derivada. Trazando una analogía entre la derivada y la velocidad de movimiento de un objeto (la velocidad es la razón de la distancia recorrida en el tiempo, o el cambio de coordenadas por unidad de tiempo), podemos decir que en el límite, la derivada es la razón de el cambio en la función (es decir, la trayectoria que ha recorrido el punto, si se movió a lo largo de la gráfica de la función) al incremento del argumento (el tiempo durante el cual se realizó el movimiento) (ver Fig. 9). Este es el significado mecánico (físico) de la derivada.

Arroz. 9. Analogía entre velocidad y derivada

La derivada es una propiedad local de una función. Es importante distinguir entre el cálculo de la derivada en todo el dominio de definición y en un área específica, porque la función en un intervalo podría ser cuadrática, en el otro, lineal, etc. Pero todo esto es una función, y en diferentes puntos tal función tendrá diferentes significados derivado.

Para la mayoría de las funciones dadas analíticamente (por una fórmula específica), tenemos una tabla de derivadas (ver Fig. 10). Este es un análogo de la tabla de multiplicar, es decir, hay funciones básicas para las cuales ya se han calculado las derivadas (se puede demostrar que tienen exactamente esta forma), y luego hay algunas reglas (ver Fig. 11) ( análogos de multiplicación o división en una columna), con los que se puede utilizar para calcular derivadas funciones complejas, obras derivadas, etc. Así, para casi todas las funciones expresadas en términos de funciones que conocemos, podemos describir el comportamiento de la función en todo el dominio de definición.

Arroz. 10. Tabla de derivadas

Arroz. 11. Reglas de diferenciación

Pero aún así, la definición de la derivada, que dimos antes, es puntual. Para generalizar la derivada en un punto a todo el dominio de la función, es necesario demostrar que en cada punto el valor de la derivada coincidirá con los valores de la misma función.

Si imaginamos una función que no se escribe analíticamente, entonces en la vecindad de cada punto podemos representarla como una función lineal. La derivada de una función lineal en la vecindad de algún punto es fácil de calcular. Si representamos una función linealmente, entonces coincide con su tangente (ver Fig. 12).

Arroz. 12. Representación de la función en cada punto como una función lineal

Desde triángulo rectángulo sabemos que la tangente es igual a la razón del cateto opuesto al contiguo. Por lo tanto, el significado geométrico de la derivada es que la derivada es la tangente de la pendiente de la tangente en este punto (ver Fig. 13).

Arroz. 13. El significado geométrico de la derivada

Hablando de la derivada como de la velocidad, podemos decir que si la función es decreciente, entonces su derivada es negativa, y viceversa, si la función es creciente, entonces su derivada es positiva. Por otro lado, hemos definido la derivada como la tangente de la pendiente de la tangente. Esto también es fácil de explicar. Si la función es creciente, entonces la tangente forma un ángulo agudo y la tangente del ángulo agudo es positiva. Por lo tanto, la derivada es positiva. Como puedes ver, el significado físico y geométrico de la derivada coincidieron.

La aceleración es la tasa de cambio de la velocidad (es decir, la derivada de la velocidad). Por otro lado, la velocidad es la derivada del desplazamiento. Resulta que la aceleración es la segunda derivada (derivada de la derivada) del desplazamiento (ver Fig. 14).

Arroz. 14. Aplicación de la derivada en física

Una derivada es un medio para estudiar las propiedades de una función.

La derivada se utiliza para resolver problemas de optimización. Hay una explicación para esto. Dado que la derivada muestra el crecimiento de la función, se puede usar para encontrar los máximos y mínimos locales de la función. Sabiendo que la función aumentó en una sección y luego comenzó a disminuir, suponemos que hay un máximo local en algún punto. De manera similar, si la función fue decreciendo y luego comenzó a aumentar, en algún punto hay mínimo local(ver figura 15).

Arroz. 15. Mínimos y máximos locales de una función

En la práctica, esto se puede usar para encontrar, por ejemplo, la ganancia máxima bajo condiciones dadas. Para hacer esto, necesita encontrar un punto en el que haya un máximo local. Si tenemos que definir costos mínimos, entonces, en consecuencia, es necesario determinar el punto en el que se encuentra el mínimo local (ver Fig. 16).

Arroz. 16. Hallar el máximo beneficio y el mínimo coste

La escuela resuelve muchos problemas de optimización. Consideremos uno de ellos.

¿Cómo debería ser una cerca rectangular de longitud fija para que encierre el área máxima (ver Fig. 17)?

Arroz. 17. Problema de optimización

Resulta que la cerca debe ser cuadrada.

Hay muchas tareas de este tipo, cuando un parámetro es fijo y el segundo debe optimizarse. El parámetro que se fija son los datos de nuestra tarea (por ejemplo, el material para la valla). Y hay un parámetro del que queremos obtener el mínimo o el máximo (por ejemplo, el área máxima, el tamaño mínimo). Es decir, se forma un par de "recurso - efecto". Hay algún recurso que se establece inicialmente y algún efecto que queremos obtener.

Ahora pasemos a las propiedades globales de la función. Considere el caso más simple de una integral. Tomemos una serie de números: . Una serie es también una función (de un argumento natural), cada número tiene su propio número de serie y significado .

Escribamos la fórmula para encontrar la suma de esta serie:

La suma de algún valor específico será el valor de la integral.

Por ejemplo, para:

Es decir, la integral es en realidad la suma (en este caso, la suma de los valores de la función).

La mayoría de los estudiantes asocian la integral con el área. Intentemos conectar el ejemplo con la suma de la serie y el área. Reescribamos esta serie como una función lineal: .

Entonces la suma de esta serie será la suma de las áreas de las partes debajo del gráfico (en este caso, trapezoides) (ver Fig. 18).

Arroz. 18. Área bajo la gráfica de una función

La suma de las áreas es igual al área de la suma (si las partes en las que se divide la figura no se cortan). Entonces la integral es el área bajo la gráfica de la función. Así, habiendo encontrado la integral, podemos encontrar el área de alguna parte del plano. Por ejemplo, puedes encontrar el área debajo del gráfico.

Si queremos introducir estrictamente la definición de integral en términos del área de la figura bajo la función, entonces necesitamos dividir la figura en partes muy pequeñas. No siempre es tan conveniente calcular el área como en el caso de una función lineal. Tomemos una función por ejemplo. Si aproximamos linealmente la función (como propusimos hacer en el caso de la derivada), entonces, al igual que en el ejemplo anterior, obtendremos una partición del área completa en la suma de las áreas de los trapecios (ver Fig. 19).

Entonces, en el límite, esta es la integral, es decir, el área bajo la gráfica de la función.

Arroz. 19. Área bajo la gráfica de una función

Pero, ¿cómo calcular esta área (integral)? Para funciones conocidas, existe una tabla de integrales (similar a una tabla de derivadas). Pero en el caso general, aproximamos la función por segmentos y calculamos la suma de las áreas de los trapecios debajo de estos segmentos. Reduciendo los segmentos, en el límite obtenemos el valor de la integral.

A diferencia de la derivada, cuando para una función "buena" siempre se obtiene una "buena" derivada, no ocurre lo mismo en el caso de una integral. Por ejemplo, para una función tan simple como la que no podemos calcular la integral y presentarla en forma de funciones analíticas (ver Fig. 20).

Calcular la integral no es tarea fácil, y por ello la existencia de una fórmula de Newton-Leibniz tan sencilla (ver Fig. 20), que nos permite calcular rápidamente el valor de la integral, si conocemos su forma, facilita mucho los cálculos. . De lo contrario, sería difícil calcular el área límite cada vez.

Arroz. 20. Fórmula de Newton-Leibniz para calcular integrales

Por lo tanto, los principales métodos de cálculo son:

tabla de integrales para aquellas funciones que podemos calcular (ver Fig. 21);
propiedades integrales que le permiten calcular diferentes combinaciones de funciones de tabla (ver Fig. 22);
Fórmula de Newton-Leibniz (si calculamos el valor en el punto extremo derecho y restamos el valor en el punto extremo izquierdo, obtenemos el área) (ver Fig. 20).

Arroz. 21. Tabla de integrales

Arroz. 22. Propiedades de una integral definida

En la escuela, la fórmula de Newton-Leibniz no se deriva, aunque esto no es difícil de hacer si defines la integral como el área debajo del gráfico.

Más sobre la derivación de la fórmula de Newton-Leibniz:

Para comprender mejor la diferencia entre las propiedades locales y globales de una función, considere el ejemplo del tiro al blanco. Si haces varios tiros (ninguno en el centro) y calculas el promedio, obtienes prácticamente (ver Fig. 23). Aunque, de hecho, el tirador podría acertar todo el tiempo por encima o por debajo del objetivo, el promedio seguiría estando cerca de .

Arroz. 23. Tiro al blanco

Podemos dar un ejemplo de la física: el centro de gravedad. La misma masa con el mismo centro de gravedad se puede distribuir de formas completamente diferentes (ver Fig. 24).

Arroz. 24. Variantes de distribución de masas con el mismo centro de gravedad

Como otro ejemplo, uno puede temperatura media por hospital Si alguien tiene temperatura y alguien la tiene, en promedio resulta que los pacientes no están tan enfermos.

Si hablamos de la conexión entre la derivada (característica local) y la integral (característica global), es intuitivamente claro que estos son conceptos mutuamente inversos. De hecho, lo es. Si tomamos la derivada de la integral o la integral de la derivada, obtenemos la función original. Para explicar esto, considere el movimiento de un cuerpo. Ya sabemos que la velocidad es la derivada del desplazamiento. Intentemos realizar la operación inversa. Para ello, expresamos el movimiento en términos de velocidad y tiempo:

Y si miramos la gráfica (la velocidad cambia linealmente), veremos que la trayectoria es el producto de la velocidad por el tiempo. Por otro lado, es el área bajo el gráfico (ver Fig. 25).

Arroz. 25. Relación entre derivada e integral

Si calculas la integral de la velocidad, obtienes el valor de la trayectoria. Y la velocidad es la derivada de la distancia.

Por lo tanto, la derivada y la integral son funciones mutuamente inversas. Hay fuerte evidencia de esto.

Arroz. 26. Relación entre derivada e integral

Pero para analizar, comprender lo que está en juego y trabajar con las operaciones de diferenciación (calcular la derivada) e integración (calcular la integral), bastará con lo dicho en esta lección y los materiales de las lecciones principales.

Cuando necesitamos encontrar una casa en st. Neva, y salimos al frente de la casa, luego vamos a la izquierda oa la derecha de esta casa para entender cómo va la numeración.

$\DeclareMathOperator(\tg)(tg)$$\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)$$\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)$$\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) $

Contenido

Elementos de contenido

Derivada, tangente, antiderivada, gráficas de funciones y derivadas.

Derivado Sea definida la función $f(x)$ en alguna vecindad del punto $x_0$.

La derivada de la función $f$ en el punto $x_0$ llamado el límite

$f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),$

si este límite existe.

La derivada de una función en un punto caracteriza la tasa de cambio de esta función en un punto dado.

tabla de derivadas

Función	Derivado
$const$	$0$
$X$	$1$
$x^n$	$n\cdot x^(n-1)$
$\dfrac(1)(x)$	$-\dfrac(1)(x^2)$
$\raíz cuadrada(x)$	$\dfrac(1)(2\sqrt(x))$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x\cdot \ln(a)$
$\ln(x)$	$\dfrac(1)(x)$
$\log_a(x)$	$\dfrac(1)(x\ln(a))$
$\sen x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sen x$
$\tgx$	$\dfrac(1)(\cos^2x)$
$\ctg x$	$-\dfrac(1)(\sin^2x)$

Reglas de diferenciación$f$ y $g$ son funciones dependientes de la variable $x$; $c$ es un número.

2) $(c\cdot f)"=c\cdot f"$

3) $(f+g)"= f"+g"$

4) $(f\cdot g)"=f"g+g"f$

5) $\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)$

6) $\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)$ - derivada de función compleja

El significado geométrico de la derivada. Ecuación de una recta- el eje no paralelo $Oy$ se puede escribir como $y=kx+b$. El coeficiente $k$ en esta ecuación se llama pendiente de una recta. es igual a la tangente ángulo de inclinación esta línea recta.

Ángulo recto- el ángulo entre la dirección positiva del eje $Ox$ y la recta dada, medida en la dirección de los ángulos positivos (es decir, en la dirección de menor rotación desde el eje $Ox$ al \ (Oy\) eje).

La derivada de la función $f(x)$ en el punto $x_0$ es igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en el punto dado: $f"(x_0)=\tg \alfa.$

Si $f"(x_0)=0$, entonces la tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto $x_0$ es paralela al eje $Ox$.

Ecuación tangente

La ecuación de la tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto $x_0$:

$y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)$

monotonicidad de la función Si la derivada de una función es positiva en todos los puntos de un intervalo, entonces la función es creciente en ese intervalo.

Si la derivada de una función es negativa en todos los puntos de un intervalo, entonces la función es decreciente en ese intervalo.

Mínimos, máximos y puntos de inflexión positivo sobre el negativo en este punto, entonces $x_0$ es el punto máximo de la función $f$.

Si la función $f$ es continua en el punto $x_0$, y el valor de la derivada de esta función $f"$ cambia de negativo sobre el positivo en este punto, entonces $x_0$ es el punto mínimo de la función $f$.

Los puntos en los que la derivada $f"$ es igual a cero o no existe se llaman puntos críticos funciones $f$.

Puntos internos del área de definición de la función $f(x)$, donde $f"(x)=0$ pueden ser mínimos, máximos o puntos de inflexión.

El significado físico de la derivada. Si un punto material se mueve en línea recta y su coordenada cambia dependiendo del tiempo según la ley $x=x(t)$, entonces la velocidad de este punto es igual a la derivada temporal de la coordenada:

La aceleración de un punto material es igual a la derivada de la velocidad de este punto con respecto al tiempo:

$a(t)=v"(t).$

Esta lección es la primera de una serie de videos sobre integración. En él, analizaremos qué es la antiderivada de una función y también estudiaremos los métodos elementales para calcular estas mismas antiderivadas.

De hecho, no hay nada complicado aquí: en esencia, todo se reduce al concepto de un derivado, con el que ya deberías estar familiarizado. :)

Observo de inmediato que, dado que esta es la primera lección de nuestra nuevo tema, hoy no habrá cálculos y fórmulas complejos, pero lo que estudiaremos hoy formará la base de cálculos y estructuras mucho más complejos al calcular integrales y áreas complejas.

Además, al comenzar a estudiar integración e integrales en particular, implícitamente asumimos que el estudiante ya está al menos familiarizado con los conceptos de la derivada y tiene al menos habilidades elementales para calcularlos. Sin una comprensión clara de esto, no hay absolutamente nada que hacer en la integración.

Sin embargo, aquí radica uno de los problemas más frecuentes e insidiosos. El caso es que, al empezar a calcular sus primeras antiderivadas, muchos alumnos las confunden con derivadas. Como resultado, se cometen errores estúpidos y ofensivos en los exámenes y el trabajo independiente.

Por lo tanto, ahora no daré una definición clara de antiderivada. Y a cambio, le sugiero que mire cómo se considera en un ejemplo concreto simple.

Qué es primitivo y cómo se considera

Conocemos esta fórmula:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Esta derivada se considera elemental:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Miremos de cerca la expresión resultante y expresemos $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Pero también podemos escribirlo así, según la definición de derivada:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

Y ahora atención: lo que acabamos de escribir es la definición de antiderivada. Pero para escribirlo correctamente, necesitas escribir lo siguiente:

Escribamos la siguiente expresión de la misma manera:

Si generalizamos esta regla, podemos derivar la siguiente fórmula:

\[((x)^(n))\a \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Ahora podemos formular una definición clara.

Una antiderivada de una función es una función cuya derivada es igual a la función original.

Preguntas sobre la función antiderivada

Parecería que una definición bastante simple y comprensible. Sin embargo, al escucharlo, el estudiante atento inmediatamente tendrá varias preguntas:

Digamos, bueno, esta fórmula es correcta. Sin embargo, en este caso, cuando $n=1$, tenemos problemas: aparece “cero” en el denominador, y es imposible dividir por “cero”.
La fórmula solo se limita a las potencias. Cómo calcular la antiderivada, por ejemplo, seno, coseno y cualquier otra trigonometría, así como constantes.
Una pregunta existencial: ¿siempre es posible encontrar una antiderivada? Si es así, ¿qué pasa con la suma de antiderivadas, la diferencia, el producto, etc.?

Voy a responder a la última pregunta de inmediato. Desafortunadamente, la antiderivada, a diferencia de la derivada, no siempre se considera. No hay tal fórmula universal, según el cual de cualquier construcción inicial obtendremos una función que será igual a esta construcción similar. En cuanto a potencias y constantes, hablaremos de eso ahora.

Resolver problemas con funciones de potencia

\[((x)^(-1))\a \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Como puede ver, esta fórmula para $((x)^(-1))$ no funciona. Surge la pregunta: ¿qué funciona entonces? ¿No podemos contar $((x)^(-1))$? Por supuesto que podemos. Comencemos con esto:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Ahora pensemos: la derivada de cuya función es igual a $\frac(1)(x)$. Obviamente, cualquier estudiante que haya estado al menos un poco involucrado en este tema recordará que esta expresión es igual a la derivada del logaritmo natural:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Por lo tanto, podemos escribir con confianza lo siguiente:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Esta fórmula debe conocerse, al igual que la derivada de una función de potencia.

Entonces, lo que sabemos hasta ahora:

Para una función de potencia — $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
Para una constante - $=const\to \cdot x$
Un caso especial de una función de potencia - $\frac(1)(x)\to \ln x$

Y si empezamos a multiplicar y dividir las funciones más simples, cómo entonces calcular la antiderivada de un producto o un cociente. Desafortunadamente, las analogías con la derivada de un producto o un cociente no funcionan aquí. No existe una fórmula estándar. Para algunos casos, existen fórmulas especiales engañosas; las conoceremos en futuros tutoriales en video.

Sin embargo, recuerda: formula general, no existe una fórmula similar para calcular la derivada de un cociente y un producto.

Resolviendo problemas reales

Tarea 1

vamos cada uno funciones de potencia contar por separado:

\[((x)^(2))\a \frac(((x)^(3)))(3)\]

Volviendo a nuestra expresión, escribimos la construcción general:

Tarea 2

Como ya he dicho, no se consideran las obras primitivas y los "vacíos" privados. Sin embargo, aquí puedes hacer lo siguiente:

Hemos descompuesto la fracción en la suma de dos fracciones.

Calculemos:

La buena noticia es que una vez que conoces las fórmulas para calcular antiderivadas, ya puedes calcular más estructuras complejas. Sin embargo, sigamos adelante y ampliemos un poco más nuestro conocimiento. El caso es que muchas construcciones y expresiones que, a simple vista, no tienen nada que ver con $((x)^(n))$, pueden representarse como un grado con exponente racional, a saber:

\[\raíz cuadrada(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\raíz cuadrada[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Todas estas técnicas pueden y deben combinarse. Expresiones de poder lata

multiplicar (se suman las potencias);
dividir (los grados se restan);
multiplicar por una constante;
etc

Resolver expresiones de grado con exponente racional

Ejemplo 1

Contemos cada raíz por separado:

\[\raíz cuadrada(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

En total, toda nuestra construcción se puede escribir de la siguiente manera:

Ejemplo #2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \derecha))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Por tanto, obtendremos:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

En total, reuniendo todo en una sola expresión, podemos escribir:

Ejemplo #3

Primero, tenga en cuenta que ya hemos calculado $\sqrt(x)$:

\[\raíz cuadrada(x)\a \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Reescribamos:

Espero no sorprender a nadie si digo que lo que acabamos de estudiar son solo los cálculos más simples de antiderivadas, las construcciones más elementales. Veamos ahora un poco más ejemplos complejos, en el que, además de las antiderivadas tabulares, aún debe recordar el plan de estudios escolar, es decir, las fórmulas para la multiplicación abreviada.

Resolver ejemplos más complejos

Tarea 1

Recuerda la fórmula para el cuadrado de la diferencia:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Reescribamos nuestra función:

Ahora tenemos que encontrar la antiderivada de tal función:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\a \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Recogemos todo en un diseño común:

Tarea 2

En este caso, necesitamos abrir el cubo de diferencias. Recordemos:

\[((\left(ab \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Dado este hecho, se puede escribir de la siguiente manera:

Modifiquemos un poco nuestra función:

Consideramos, como siempre, para cada término por separado:

\[((x)^(-3))\a \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\a \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\a \ln x\]

Escribamos la construcción resultante:

Tarea #3

Encima tenemos el cuadrado de la suma, vamos a abrirlo:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Escribamos la solución final:

Y ahora atención! Muy cosa importante, al que se asocia la mayor parte de los errores y malentendidos. El hecho es que hasta ahora, contando antiderivadas con la ayuda de derivadas, dando transformaciones, no pensamos en a qué es igual la derivada de una constante. Pero la derivada de una constante es igual a "cero". Y esto significa que puedes escribir las siguientes opciones:

$((x)^(2))\a\frac(((x)^(3)))(3)$
$((x)^(2))\a\frac(((x)^(3)))(3)+1$
$((x)^(2))\a\frac(((x)^(3)))(3)+C$

Esto es muy importante de entender: si la derivada de una función es siempre la misma, entonces la misma función tiene un número infinito de antiderivadas. Simplemente podemos agregar cualquier número constante a nuestras primitivas y obtener otras nuevas.

No es casualidad que en la explicación de las tareas que acabamos de resolver estuviera escrito “Escribe forma general primitivos". Esos. ya se supone de antemano que no hay uno, sino toda una multitud de ellos. Pero, de hecho, difieren solo en la constante $C$ al final. Por eso, en nuestras tareas, corregiremos lo que no hayamos completado.

Una vez más, reescribimos nuestras construcciones:

En tales casos, se debe agregar que $C$ es una constante — $C=const$.

En nuestra segunda función, obtenemos la siguiente construcción:

Y el último:

Y ahora realmente obtuvimos lo que se requería de nosotros en la condición inicial del problema.

Resolución de problemas de búsqueda de antiderivadas con un punto dado

Ahora, cuando conocemos las constantes y las peculiaridades de escribir antiderivadas, surge lógicamente siguiente tipo problemas, cuando del conjunto de todas las antiderivadas se requiere encontrar una y sólo tal que pase por un punto dado. ¿Qué es esta tarea?

El hecho es que todas las antiderivadas de una función dada difieren solo en que están desplazadas verticalmente por algún número. Y esto significa que no importa qué punto en el plano de coordenadas tomemos, definitivamente pasará una antiderivada y, además, solo una.

Así pues, las tareas que ahora resolveremos se formulan de la siguiente manera: no es fácil encontrar la antiderivada, conociendo la fórmula de la función original, sino elegir exactamente una de ellas que pase por un punto dado, cuyas coordenadas serán ser dado en la condición del problema.

Ejemplo 1

Primero, calculemos cada término:

\[((x)^(4))\a \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\a \frac(((x)^(4)))(4)\]

Ahora sustituimos estas expresiones en nuestra construcción:

Esta función debe pasar por el punto $M\left(-1;4 \right)$. ¿Qué significa que pasa por un punto? Esto significa que si en lugar de $x$ ponemos $-1$ en todas partes, y en lugar de $F\left(x \right)$ - $-4$, entonces deberíamos obtener la igualdad numérica correcta. Hagámoslo:

Vemos que tenemos una ecuación para $C$, así que intentemos resolverla:

Escribamos la solución que estábamos buscando:

Ejemplo #2

En primer lugar, es necesario abrir el cuadrado de la diferencia utilizando la fórmula de multiplicación abreviada:

\[((x)^(2))\a \frac(((x)^(3)))(3)\]

La estructura original se escribirá de la siguiente manera:

Ahora encontremos $C$: sustituimos las coordenadas del punto $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Expresamos $C$:

Resta mostrar la expresión final:

Resolver problemas trigonométricos

Como acorde final a lo que acabamos de analizar, propongo considerar dos tareas desafiantes que contiene trigonometría. En ellas, de la misma manera, será necesario encontrar las antiderivadas para todas las funciones, luego elegir de este conjunto la única que pase por el punto $M$ en el plano de coordenadas.

De cara al futuro, me gustaría señalar que la técnica que usaremos ahora para encontrar antiderivadas de funciones trigonométricas, de hecho, es una técnica universal para la autoevaluación.

Tarea 1

Recordemos la siguiente fórmula:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

En base a esto, podemos escribir:

Sustituyamos las coordenadas del punto $M$ en nuestra expresión:

\[-1=\texto(tg)\frac(\texto( )\!\!\pi\!\!\texto( ))(\texto(4))+C\]

Reescribamos la expresión con este hecho en mente:

Tarea 2

Aquí será un poco más difícil. Ahora verás por qué.

Recordemos esta fórmula:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Para deshacerse del "menos", debe hacer lo siguiente:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Aquí está nuestro diseño

Sustituye las coordenadas del punto $M$:

Escribamos la construcción final:

Eso es todo lo que quería decirte hoy. Estudiamos el mismo término antiderivadas, cómo contarlas a partir de funciones elementales y también cómo encontrar una antiderivada que pase por un punto específico en el plano de coordenadas.

Espero que esta lección te ayude un poco a entender esto. tema dificil. En todo caso, es sobre las antiderivadas que indefinidas y Integrales indefinidas, por lo que es absolutamente necesario contarlos. Eso es todo para mí. ¡Nos vemos pronto!

La recta y=3x+2 es tangente a la gráfica de la función y=-12x^2+bx-10. Encuentre b, dado que la abscisa del punto de contacto es menor que cero.

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Solución

Sea x_0 la abscisa del punto de la gráfica de la función y=-12x^2+bx-10 por donde pasa la tangente a esta gráfica.

El valor de la derivada en el punto x_0 es igual a la pendiente de la tangente, es decir, y"(x_0)=-24x_0+b=3. Por otro lado, el punto tangente pertenece tanto a la gráfica de la función como a la tangente, es decir -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Obtenemos un sistema de ecuaciones \begin(casos) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(casos)

Resolviendo este sistema, obtenemos x_0^2=1, lo que significa que x_0=-1 o x_0=1. Según la condición de la abscisa, los puntos de contacto son menores que cero, por lo tanto x_0=-1, luego b=3+24x_0=-21.

Responder

Condición

La figura muestra una gráfica de la función y=f(x) (que es una línea quebrada formada por tres segmentos de línea recta). Usando la figura, calcule F(9)-F(5), donde F(x) es una de las antiderivadas de f(x).

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Solución

Según la fórmula de Newton-Leibniz, la diferencia F(9)-F(5), donde F(x) es una de las antiderivadas de la función f(x), es igual al área del trapezoide curvilíneo acotado por la gráfica de la función y=f(x), rectas y=0 , x=9 y x=5. De acuerdo con la gráfica, determinamos que el trapezoide curvilíneo especificado es un trapezoide con bases iguales a 4 y 3 y una altura de 3.

Su área es igual a \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Responder

Fuente: "Matemáticas. Preparación para el examen-2017. Nivel de perfil". ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condición

La figura muestra un gráfico de y \u003d f "(x) - la derivada de la función f (x), definida en el intervalo (-4; 10). Encuentra los intervalos de función decreciente f (x). En tu respuesta , indica la longitud del mayor de ellos.

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Solución

Como saben, la función f (x) decrece en esos intervalos, en cada punto de los cuales la derivada f "(x) es menor que cero. Teniendo en cuenta que es necesario encontrar la longitud del mayor de ellos, tres de esos intervalos se distinguen naturalmente de la figura: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).

La longitud del mayor de ellos - (5; 9) es igual a 4.

Responder

Fuente: "Matemáticas. Preparación para el examen-2017. nivel de perfil. ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condición

La figura muestra un gráfico de y \u003d f "(x) - la derivada de la función f (x), definida en el intervalo (-8; 7). Encuentre el número de puntos máximos de la función f (x) que pertenecen al intervalo [-6; -2].

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Solución

El gráfico muestra que la derivada f "(x) de la función f (x) cambia de signo de más a menos (habrá un máximo en tales puntos) exactamente en un punto (entre -5 y -4) del intervalo [ -6; -2 Por lo tanto, hay exactamente un punto máximo en el intervalo [-6;-2].

Responder

Fuente: "Matemáticas. Preparación para el examen-2017. nivel de perfil. ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condición

La figura muestra una gráfica de la función y=f(x) definida en el intervalo (-2; 8). Determina el número de puntos donde la derivada de la función f(x) es igual a 0 .

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Solución

Si la derivada en un punto es igual a cero, entonces la tangente a la gráfica de la función trazada en ese punto es paralela al eje Ox. Por lo tanto, encontramos puntos en los que la tangente a la función gráfica es paralela al eje Ox. En este gráfico, dichos puntos son puntos extremos (puntos máximos o mínimos). Como puede ver, hay 5 puntos extremos.

Responder

Fuente: "Matemáticas. Preparación para el examen-2017. nivel de perfil. ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condición

La recta y=-3x+4 es paralela a la tangente a la gráfica de la función y=-x^2+5x-7. Encuentre la abscisa del punto de contacto.

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Solución

La pendiente de la recta a la gráfica de la función y=-x^2+5x-7 en un punto arbitrario x_0 es y"(x_0). Pero y"=-2x+5, entonces y"(x_0)=- 2x_0+5.Angular el coeficiente de la recta y=-3x+4 especificado en la condición es -3.Las rectas paralelas tienen los mismos coeficientes de pendiente.Por lo tanto, encontramos tal valor x_0 que =-2x_0 +5=-3.

Obtenemos: x_0 = 4.

Responder

Fuente: "Matemáticas. Preparación para el examen-2017. nivel de perfil. ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condición

La figura muestra un gráfico de la función y=f(x) y los puntos marcados -6, -1, 1, 4 en el eje x. ¿En cuál de estos puntos el valor de la derivada es menor? Indique este punto en su respuesta.

Archivo para la lección 29.

Derivado. Aplicación de derivados. Primitivo.

La pendiente de la tangente a la gráfica de la función en el punto con la abscisa x 0 igual a la derivada de la función en el punto x 0. .

Esos. la derivada de la función en el punto x 0 es igual a la tangente de la pendiente de la tangente dibujada en la gráfica de la función en el punto (x 0; f (x 0)).

La tarea 1. La figura muestra un gráfico de la función y \u003d f (x) y una tangente a este gráfico, dibujada en un punto con una abscisa. X X 0 .

Respuesta: 0.25

La tarea 2. La figura muestra un gráfico de la función y \u003d f (x) y una tangente a este gráfico, dibujada en un punto con una abscisa. X 0 Encuentra el valor de la derivada de la función f(x) en el punto X 0 Respuesta: 0.6

La tarea 3. La figura muestra un gráfico de la función y \u003d f (x) y una tangente a este gráfico, dibujada en un punto con una abscisa. X 0 Encuentra el valor de la derivada de la función f(x) en el punto X 0 Respuesta: -0.25

La tarea 4. La figura muestra un gráfico de la función y \u003d f (x) y una tangente a este gráfico, dibujada en un punto con una abscisa. X 0 Encuentra el valor de la derivada de la función f(x) en el punto X 0 Respuesta: -0.2.

sentido mecanico derivado.

v ( t 0 ) = x' ( t 0 )

la velocidad es la derivada de la coordenada en hora. Igualmente, la aceleracion es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo :

a = v' ( t ).

La tarea 5 . punto material se mueve en forma rectilínea de acuerdo a la ley x(t)=12 t 2 +4 t+27, donde x es la distancia desde el punto de referencia en metros, t es el tiempo en segundos medido desde el momento en que comenzó el movimiento. Encuentre su velocidad (en metros por segundo) en el tiempo t=2 s. Respuesta: 52

Tarea 6. El punto material se mueve en línea recta de acuerdo con la leyx (t) \u003d 16 t 3 + t 2 - 8 t + 180, donde X- distancia desde el punto de referencia en metros,t- tiempo en segundos, medido desde el inicio del movimiento. ¿En qué momento (en segundos) su velocidad fue igual a 42 m/s? Respuesta 1

Signo suficiente de función creciente (decreciente)

1. Si f `(x ) en cada punto del intervalo (, entonces la función aumenta en (.

2. Si f `(x ) en cada punto del intervalo (, entonces la función decrece en (.

Condición necesaria extremo

Si el punto x 0 es el punto extremo de la función y en este punto hay una derivada, entonces F `( X 0 )=0

Condición extrema suficiente

Si F `( X 0 X 0 el valor de la derivada cambia de signo de "+" a "-", entonces X 0 es el punto máximo de la función.

Si F `( X 0 ) = 0 y al pasar por el punto X 0 el valor de la derivada cambia de signo de "-" a "+", entonces X 0 es el punto mínimo de la función.

Tarea 7. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x), definido en el intervalo (−7; 10). Encuentra el número de puntos mínimos de una función. f(x) en el segmento [−3; 8].

Solución. Los puntos mínimos corresponden a los puntos donde el signo de la derivada cambia de menos a más. En el segmento [−3; 8] la función tiene un punto mínimo X= 4. Por lo tanto, tal punto es 1. Respuesta: 1.

Tarea 8. La figura muestra una gráfica de una función diferenciable y=f(x) y marcó siete puntos en el eje x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x 7. ¿En cuántos de estos puntos la derivada de la función f(x) es negativa? Respuesta: 3

Tarea 9. La figura muestra la gráfica de una función derivable y=f(x) definida en el intervalo (− 11 ; − 1). Encuentre un punto del segmento [− 7 ; − 2], en la que la derivada de la función f(x) es igual a 0. Respuesta: -4

Tarea 10. La figura muestra un gráfico de la función y=f′(x) - la derivada de la función f(x), definida en el intervalo (2 ; 13). Encuentra el punto máximo de la función f(x). Respuesta: 9

Tarea 11. La figura muestra la gráfica y=f′(x) de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo (− 3; 8). ¿En qué punto del segmento [− 2; 3] la función f(x) toma el valor más pequeño? Respuesta: -2

Tarea 12. La figura muestra una gráfica de y=f "(x) - la derivada de la función f(x) definida en el intervalo (− 2 ; 11). Encuentra la abscisa del punto en el que la tangente a la gráfica de la función y=f(x) es paralela al eje de abscisas o coincide con ella Respuesta: 3

Tarea 13. La figura muestra una gráfica de y=f "(x) - la derivada de la función f(x), definida en el intervalo (− 4 ; 6). Encuentra la abscisa del punto en el que la tangente a la gráfica de la la función y=f(x) es paralela a la línea y=3x o la iguala. Respuesta: 5

Tarea 14. La figura muestra una gráfica de y=f "(x) - la derivada de la función f(x) definida en el intervalo (− 4 ; 13). Encuentra el número de puntos donde la tangente a la gráfica de la función y= f(x) es paralela a la recta y=− 2x−10 o igual a ella Respuesta: 5

Tarea 15. La recta y =5x -8 es tangente a la gráfica de la función 4x 2 -15x +c . Encontrar C. O respuesta: 17.

antiderivada

función antiderivada F(x) para la función f(x) se llama función derivado que es igual a la función original. F " ( X )= F ( X ).

Tarea 16. La figura muestra un gráfico y = F (X) una de las antiderivadas de alguna función F(X) definido en el intervalo (1;13). Usando la figura, determine el número de soluciones a la ecuación F (X)=0 en el segmento . Respuesta: 4

Tarea 17. La figura muestra una gráfica y=F(x) de una de las antiderivadas de alguna función f(x) definida en el intervalo (− 7; 8). Usando la figura, determine el número de soluciones de la ecuación f(x)=0 en el intervalo . Respuesta 1

Tarea 18. La figura muestra una gráfica y=F(x) de una de las antiderivadas de alguna función f(x) y ocho puntos están marcados en el eje x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. ¿En cuántos de estos puntos la función f(x) es negativa? Respuesta: 3

Tarea 19. La figura muestra una gráfica de alguna función y=f(x). La función F(x)=12x 3 −3x 2 +152x−92 es una de las antiderivadas de la función f(x). Encuentra el área de la figura sombreada. Respuesta: 592

Algoritmo para encontrar puntos extremos

Encuentre el alcance de la función.

Encontrar la derivada de una función F "( X)

Encuentre los puntos donde F "( X) = 0.

Marca en la línea real el dominio de la función y todos los ceros de la derivada.

Definir signo derivadopara cada intervalo. (Para esto sustituimos el valor "conveniente" X de este intervalo a F "( X)).

Determinar por los signos de la derivada las áreas de aumento y disminución de la función y sacar conclusiones sobre la presencia o ausencia de un extremo y su naturaleza ( máximo omin ) en cada uno de estos puntos.

Tarea 20. Encuentra el punto máximo de la función y=(2x−1)cosx−2senx+5, perteneciente al intervalo(0 ; π/2). Respuesta: 0.5

Tarea 21.Encuentre el punto máximo de la función.y=. Respuesta: 6

Algoritmo de búsqueda el valor mayor y menor de la función en el segmento

Tarea 22. Encuentra el valor más pequeño de la función y =x −6x +1 en el segmento . Respuesta: -31

Tarea 23. Encuentre el valor más pequeño de la función y=8cosx+30x/π+19 en el intervalo [− 2π/3; 0]. Respuesta: -5

Adicionalmente. una. Encuentra el punto máximo de la función y=(x−11) 2 ⋅e x − 7 .

2. Encuentra el mayor valor de la función y=x 5 -5x 3 -20x en el segmento [− 9 ; una]. Respuesta: 48

Función	Derivado
\(const\)	\(0\)
\(X\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\raíz cuadrada(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\sen x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sen x\)
\(\tgx\)	\(\dfrac(1)(\cos^2x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)