"Teorema de senos y cosenos" - 1) Escribe el teorema del seno para este triángulo: Encuentra el ángulo B. Escribe la fórmula para calcular: El teorema del seno: Encuentra la longitud del lado BC. Teoremas de senos y cosenos. Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. 2) Escribe el teorema del coseno para calcular el lado del MK: Trabajo independiente:
"Solución de desigualdades trigonométricas" - Todos los valores de y en el intervalo MN. 1. Construimos gráficas de funciones: Otros intervalos. La línea recta y=-1/2 interseca a la sinusoide en un número infinito de puntos, y al círculo trigonométrico en el punto A. un número infinito de espacios. Y en la sinusoide, el intervalo de valores x más cercano al origen de coordenadas, en el que senx > -1/2,
"Fórmulas trigonométricas": fórmulas para convertir la suma de funciones trigonométricas en un producto. Fórmulas para convertir el producto de funciones trigonométricas en una suma. Fórmulas de adición. ¿Por funciones trigonométricas de ángulo?. Fórmulas de doble ángulo. Sumando las igualdades (3) y (4) término por término, obtenemos: Derivamos fórmulas auxiliares que nos permitan encontrar.
"Solución de las desigualdades trigonométricas más simples" - cos x. Métodos para resolver desigualdades trigonométricas. sinx. Desigualdades trigonométricas llamadas desigualdades que contienen una variable en el argumento de la función trigonométrica. Solución de las desigualdades trigonométricas más simples.
"Sen and cos" - ¿Es cierto que el coseno de 6,5 es mayor que cero? El seno de 60° es igual a?? ¿Es cierto que cos? x - sorbo? x=1? Una sección de matemáticas que estudia las propiedades del seno, coseno... Una lección de álgebra y los inicios del análisis en el grado 10. Solución ecuaciones trigonométricas y desigualdades. Abscisa de un punto del círculo unitario. La razón de coseno a seno...
"Teorema del coseno para un triángulo" - Trabajo oral. elementos desconocidos. Triángulo. El cuadrado del lado de un triángulo. Formule el teorema del coseno. Teorema. Teorema del coseno. Resolución de problemas en papel celular. esquinas y lados. Formule el teorema del coseno. Tareas según dibujos confeccionados. Los datos que se muestran en la figura.
En total hay 21 presentaciones en el tema
Un gráfico de seno onda por onda
La abscisa se escapa.De una canción estudiantil.
METAS Y OBJETIVOS DE LA LECCIÓN:
- EDUCATIVO: derivación de fórmulas para la relación entre seno, coseno y tangente del mismo ángulo (número); aprender a utilizar estas fórmulas para calcular los valores del seno, coseno, tangente de un número dado el valor de uno de ellos.
- DESARROLLO: para aprender a analizar, comparar, construir analogías, generalizar y sistematizar, probar y refutar, definir y explicar conceptos..
- EDUCATIVO: educación de una actitud consciente hacia el trabajo y una actitud positiva hacia el conocimiento.
AHORRO DE SALUD: creando un clima psicológico confortable en el aula, un ambiente de cooperación: alumno - profesor.
EQUIPO METODOLÓGICO DE LA LECCIÓN:
BASE MATERIAL Y TÉCNICA: Gabinete de matemáticas.
APOYO DIDÁCTICO DE LA LECCIÓN: libro de texto, cuaderno, carteles sobre el tema de la lección, mesas, computadora, discos, pantalla, proyector.
MÉTODOS DE ACTIVIDAD: trabajo grupal e individual en el escritorio y en la pizarra.
TIPO DE LECCIÓN: una lección para dominar nuevos conocimientos.
DURANTE LAS CLASES
1. Momento organizativo: saludar, verificar la asistencia de los estudiantes, llenar el diario.
2. Verificar la preparación de los estudiantes para la lección: poner a los estudiantes a trabajar, presentarles el plan de la lección.
3. Análisis de errores de tarea. En la pantalla: una imagen con una tarea completada correctamente. Cada estudiante verifica con una explicación frontal detallada y anota la corrección de la implementación en la tarjeta de trabajo de la lección.
TARJETA DE LECCIÓN DE TRABAJO.
C / o - autoestima.
O / t - evaluación de un amigo.
4. Actualización de conocimientos, preparación para la percepción de nuevos materiales.
La siguiente etapa de nuestra lección es el dictado. Anotamos las respuestas brevemente: el dibujo está en nuestra diapositiva.
Dictado (repetición oral de la información necesaria):
1. Definir:
- el seno de un ángulo agudo A de un triángulo rectángulo;
- coseno de un ángulo agudo B de un triángulo rectángulo;
- tangente de un ángulo agudo A de un triángulo rectángulo;
- cotangente de un ángulo agudo B de un triángulo rectángulo;
- ¿Qué restricciones imponemos al seno y al coseno al determinar la tangente y la cotangente de un ángulo agudo? triángulo rectángulo.
2. Definir:
- seno del ángulo a a.
- coseno del ángulo a a través de la coordenada (qué) del punto obtenido al girar el punto (1; 0) alrededor del origen en un ángulo a.
- tangente de un ángulo a.
- cotangente de un angulo a.
3. Escriba los signos del seno, coseno, tangente, cotangente para los ángulos obtenidos al girar el punto P (1; 0) por el ángulo
4. Para todos estos ángulos, indica los cuartos del plano de coordenadas.
Los muchachos revisan el dictado en la diapositiva junto con el maestro, explican cada declaración y se califican a sí mismos en la hoja de trabajo de la lección.
5. De la historia de la trigonometría. La forma moderna de trigonometría fue dada por el matemático más grande del siglo XVIII. leonard euler- Suizo de nacimiento largos años quien trabajó en Rusia y fue miembro de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Introdujo definiciones bien conocidas de funciones trigonométricas, formuló y probó fórmulas de reducción que usted aún tiene que conocer, y distinguió clases de funciones pares e impares.
6. Introducción de nuevo material:
Lo principal no es solo informar a los estudiantes de las conclusiones finales, sino hacer que los estudiantes, por así decirlo, participen en una búsqueda científica: haciéndoles una pregunta, para que ellos, habiendo despertado su curiosidad, sean incluidos en el estudio. , lo que contribuye al logro de un mayor nivel de desarrollo mental de los estudiantes.
Por lo tanto, al introducir material nuevo, creo una situación problema: cómo es más fácil y racional establecer la relación entre el seno y el coseno del mismo ángulo, a través de la ecuación del círculo unitario o mediante el teorema de Pitágoras.
La clase se divide en opciones para la primera y la segunda opción: en la pantalla hay una diapositiva con una condición y dibujos, aún no hay solución.
La opción 1 establece la relación entre seno y coseno a través de la ecuación de una circunferencia con centro en el origen y radio igual a 1x 2 +y 2 =1; sen 2 + cos 2 = 1.
La opción 2 establece la relación entre seno y coseno a través del teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: OB 2 + AB 2 \u003d OA 2 - y obtenemos sen 2 + cos 2 \u003d 1.
Comparan los resultados, sacan conclusiones: ¿lo principal es que se cumple la igualdad para cualquier valor de las letras incluidas en él? Los estudiantes deben responder que esto es lo mismo
(la diapositiva muestra la solución correcta tanto para la primera como para la segunda opción).
Hemos obtenido una igualdad que es válida para cualquier valor de las letras incluidas en ella. ¿Cómo se llaman estas igualdades? Así es - identidades.
Recuerde, qué otras identidades conocemos en álgebra, las fórmulas para la multiplicación abreviada:
a 2 -b 2 \u003d (a-b) (a + b),
(a-b) 2 \u003d a 2 -2ab + b 2 ,
(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 2 ,
(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 3 -b 3 ,
a 3 -b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2),
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2).
El siguiente problema: ¿por qué derivamos la identidad trigonométrica principal? sen 2 + cos 2 = 1.
Así es, para encontrar un valor conocido del seno, coseno o tangente, los valores de todas las demás funciones.
Ahora siempre podemos usar la identidad trigonométrica básica, pero lo principal es para el mismo argumento.
Aplicación de los conocimientos adquiridos:
OPCIÓN 1 - Expresar el seno en función del coseno del ángulo.
Opción 2 - Expresar el coseno en términos del seno del ángulo. La respuesta correcta está en la diapositiva.
Pregunta del maestro: ¿nadie se olvidó de poner los signos + y -? ¿Cuál podría ser el ángulo? - alguien.
En estas fórmulas, ¿de qué depende el signo delante de la raíz? en qué cuartel se encuentra el ángulo (argumento) de la función trigonométrica que estamos definiendo.
Actuamos en la pizarra 2 estudiantes No. 457. - 1ra opción - 1, 2da opción - 2.
La diapositiva muestra la respuesta correcta.
Trabajo independiente sobre el reconocimiento de la identidad trigonométrica básica.
1. encuentre el valor de la expresión:
2. expresar el número 1 a través del ángulo a, si
Hay una verificación mutua, según la diapositiva terminada y la evaluación del trabajo, tanto por autoevaluación como por la evaluación de un amigo.
6. Consolidación de nuevo material (según la tecnología de G.E. Khazankin - tecnología de tareas de apoyo).
PROBLEMA 1. Calcular ……….. si ………………………………………………………………….
1 estudiante en la pizarra por su cuenta - luego deslice con la solución correcta.
TAREA 2. Calcular………………., si……………………………………………………………………..
Segundo estudiante en la pizarra, luego deslice con la solución correcta.
7. Minuto de educación física. Sé que ya son adultos y creo que no están nada cansados, especialmente ahora, cuando la lección es tan activa que el tiempo para nosotros parece alargarse, según la teoría de la relatividad de A. Einstein. , pero hagamos gimnasia para vasos cerebrales:
- girando e inclinando la cabeza hacia la derecha - hacia la izquierda, hacia arriba - hacia abajo
- masaje de la cintura escapular y el cuero cabelludo - manos de la mano, la cara y la parte posterior de la cabeza - de arriba a abajo.
- levante los hombros hacia arriba y relájese hacia abajo. ¡Realizamos cada ejercicio 5-6 veces!
Veamos ahora la relación entre la tangente y la cotangente………………………………………………………………………………………………………… ………
Hay un nuevo estudio sobre el tema: ¿cuál puede ser el ángulo en la segunda identidad trigonométrica?
LO PRINCIPAL ES RECLAMAR EL CONJUNTO EN EL QUE SE REALIZAN ESTAS IGUALDADES. MARCA EN LA IMAGEN LOS PUNTOS DONDE NO EXISTEN LA TANGENTE Y LA COTENGENCIA DEL ÁNGULO.
3er alumno en la pizarra. Las igualdades son válidas para ……………………….
TAREA3. Calcula………… si………………………….
TAREA 4. Calcular……………….. si …………………………………………………………………
El resto de los alumnos trabajan en sus cuadernos.
1 APOYO…………………………………………………………………………………………………………
2 APOYO………………………………………………………………………………………………………………
3 APOYO. Aplicación de la identidad trigonométrica básica a la resolución de problemas.
8. Crucigrama. Anatole France dijo una vez: "Aprender debe ser divertido... Para digerir el conocimiento, debes absorberlo con apetito".
Para poner a prueba sus conocimientos sobre este tema, se le ofrece un crucigrama.
- Rama de las matemáticas que estudia las propiedades del seno, coseno, tangente...
- Abscisa de un punto del círculo unitario.
- La razón de coseno a seno.
- El seno es ... .. puntos en un círculo unitario.
- Una igualdad que no requiere demostración y es verdadera para cualquier valor de las letras incluidas en ella. Se llama……
Después de revisar el crucigrama, los chicos se califican a sí mismos en la tarjeta de trabajo de la lección. El profesor califica a aquellos estudiantes que son especialmente activos en la lección. Salir - GPA para el trabajo en clase.
9. Instruir al maestro para que haga la tarea.
10. Resumen de la lección por parte del profesor.
11. Tarea: párrafo 25 (antes del problema 5), #459 (par), 460 (par), 463*(4). Libro de texto Sh.A Alimov "Álgebra y el comienzo del análisis", 10-11, "Ilustración", M., 2005.
Tema: fórmulas trigonométricas(25 horas)
Lección 6 - 7: Relación entre seno, coseno y tangente del mismo ángulo.
Objetivo: estudiar la relación entre el seno, el coseno y la tangente de un mismo ángulo. Para lograr este objetivo es necesario:
- Saber:
- formulaciones de definiciones de las principales funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente); signos de funciones trigonométricas en cuartos; conjunto de valores de funciones trigonométricas; fórmulas básicas de trigonometría.
- Entender:
- que la identidad trigonométrica básica solo puede usarse para un mismo argumento; algoritmo para calcular una función trigonométrica a través de otra.
- Aplicar:
- la capacidad de elegir la fórmula correcta para resolver una tarea específica; habilidad para trabajar con fracciones simples; la capacidad de realizar la transformación de expresiones trigonométricas.
- Análisis:
- analizar errores en la lógica del razonamiento.
- Síntesis:
- ofrecer su propia forma de resolver ejemplos; Haz un crucigrama con los conocimientos adquiridos.
- Calificación:
- conocimientos y habilidades sobre este tema para su uso en otras secciones de álgebra.
- Organizando el tiempo.
- Actualización de conocimientos y habilidades.
- ¿En qué cuarto está un ángulo de 1 radián y a qué es aproximadamente igual?
- ¿Qué palabra falta en la definición de la función seno?
- ¿Qué palabra falta en la definición de la función coseno?
- ¿Qué valores puede tomar un seno?
() - Explicación del nuevo material.
Dibujemos un círculo unitario con centro en el punto O. Sea el radio OB obtenido girando el radio OA, igual a R, en el ángulo (Fig. 5). Entonces por definición 
donde 
- abscisa del punto B, 
es su ordenada. De ello se deduce que el punto B pertenece a la circunferencia. Por lo tanto, sus coordenadas satisfacen la ecuación 
Usando lo que obtenemos 
(1).
Hemos obtenido una igualdad que es válida para cualquier valor de las letras incluidas en ella. ¿Cómo se llaman estas igualdades? Así es - identidades. La igualdad (1) se llama identidad trigonométrica básica. En la igualdad (1) puede tomar cualquier valor. Complete la grabación usted mismo: 1.
Comprueba si tu entrada es correcta. Ponte puntos en la tarjeta de la lección para Tareas número 2. Continuamos. Hemos derivado la identidad trigonométrica básica, pero ¿por qué la necesitamos? Así es, para encontrar el valor del coseno a partir de un valor conocido del seno y viceversa. Ahora siempre podemos usar la identidad trigonométrica básica, pero lo principal es para el mismo argumento. Se invita a los estudiantes en el cuaderno a expresar de forma independiente a partir de la identidad trigonométrica básica el seno por el coseno y el coseno por el seno. Dos estudiantes son llamados a la pizarra para verificar. Uno está invitado a expresar el seno a través del coseno, el segundo, el coseno a través del seno. La respuesta correcta se muestra en la pantalla:
Los estudiantes revisan sus respuestas y califican en la tarjeta de la lección para Tareas número 3.
En estas fórmulas, ¿de qué depende el signo delante de la raíz? (En qué cuadrante se encuentra el ángulo de la función trigonométrica que estamos definiendo). Ejemplo 1 . Calcular
si 
Determine el cuarto en el que se encuentra el ángulo. 
. Trimestre - III. Recuerde que el seno en el tercer cuarto es negativo, es decir, en la fórmula (2) debe colocar el signo "-" antes de la raíz: Ejemplo 2
Calcular 
si 
Determinamos el cuarto en el que se encuentra el ángulo . Trimestre - IV, el coseno en el cuarto trimestre es positivo. Por lo tanto, en la fórmula (3), se necesita un signo "+" antes de la raíz: Encuéntralo ahora relación entre tangente y cotangente. Por definición de tangente y cotangente
Multiplicando estas igualdades, obtenemos:
De la igualdad (4) podemos expresar
al otro lado de 
y viceversa: 
Las igualdades (4) - (6) son verdaderas para todos los valores para los que
tiene sentido, es decir, cuando 
Ahora derivamos fórmulas que expresan la relación entre la tangente y el coseno, así como la cotangente y el seno del mismo argumento. Dividiendo ambos lados de la igualdad (1) por 
, obtenemos: 
esos. 
Si ambas partes de la igualdad (1) se dividen por
, entonces tendremos: 
esos. 
Considere ejemplos del uso de fórmulas derivadas para encontrar los valores de las funciones trigonométricas a partir del valor conocido de una de ellas.
Ejemplo 1 Averigua si sabemos que
Solución: 
- Para hallar la cotangente del ángulo conviene utilizar la fórmula (6):
Responder: Ejemplo2. Se sabe que
. Encuentra todas las demás funciones trigonométricas. Solución: - Usemos la fórmula (7).
Tenemos:
, 
. Según la condición del problema, el ángulo es el ángulo de 1 cuarto, por lo que su coseno es positivo. Medio 
Responder:
Relaciones establecidas entre funciones trigonométricas del mismo argumento nos permiten simplificar expresiones trigonométricas. Ejemplo 3 Simplifiquemos la expresión:
Solución: Usemos las fórmulas: 
. Obtenemos: - Consolidación.
Y ahora en la pantalla hay rúbricas de autoevaluación sobre este tema. Marca qué nivel te gustaría alcanzar hoy.
Entendí el tema y puedo resolver ejemplos de acuerdo con el algoritmo, mirando el cuaderno, pero con la ayuda de preguntas capciosas (tarjeta - instrucciones).
Entiendo el tema y puedo resolver los ejemplos usando el algoritmo, mirando el cuaderno, siguiendo las instrucciones del profesor.
Entendí el tema y puedo resolver ejemplos usando el algoritmo, mirando el cuaderno, sin preguntas capciosas ni instrucciones.
Entendí el tema y puedo resolver ejemplos usando el algoritmo sin mirar el cuaderno.
Cualquiera que sea el nivel que elija, primero revise cuidadosamente todas las tareas que le di y luego complete la tarea correspondiente al nivel que ha elegido (hay tareas de cuatro opciones frente a usted, el número de opción corresponde a los niveles de auto- evaluación.)
1 opción
Instrucción:
4 opción
Ahora chicos, vamos a comprobar las respuestas. Las respuestas correctas se muestran en la pantalla y los estudiantes revisan su trabajo y ponen puntos en la tarjeta de la lección para Tareas número 4. Evalúate a ti mismo en el mapa de la lección. Calcula tus puntuaciones y ponlas en la tarjeta.
- Tarea.
- Anota todas las fórmulas derivadas en el libro de referencia. Según el libro de texto No. 459 (3, 5), No. 460 (1)
Tratemos de encontrar la relación entre las principales funciones trigonométricas del mismo ángulo.
Relación entre coseno y seno del mismo ángulo
La siguiente figura muestra el sistema de coordenadas Oxy con la parte del semicírculo unitario ACB representada en él, centrada en el punto O. Esta parte es el arco del círculo unitario. El círculo unitario está descrito por la ecuación
- x2+y2=1.
Como ya se sabe, la ordenada y y la abscisa x se pueden representar como el seno y el coseno del ángulo usando las siguientes fórmulas:
- sen(a) = y,
- cos(a) = x.
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones del círculo unitario, tenemos la siguiente igualdad
- (sen(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,
Esta igualdad es válida para cualquier valor del ángulo a. Se llama la identidad trigonométrica básica.
A partir de la identidad trigonométrica básica, una función se puede expresar en términos de otra.
- sen(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
- cos(a) = ±√(1-(sen(a)) 2).
El signo del lado derecho de esta fórmula está determinado por el signo de la expresión del lado izquierdo de esta fórmula.
Por ejemplo.
Calcular sen(a) si cos(a)=-3/5 y pi Usemos la fórmula anterior: Desde pi Ahora, tratemos de encontrar la relación entre la tangente y las cotangentes. Por definición, tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a). Multiplicando estas igualdades, obtenemos tg(a)*ctg(a) =1. A partir de esta igualdad, una función puede expresarse en términos de otra. Obtenemos: Debe entenderse que estas igualdades son válidas solo cuando existen tg y ctg, es decir, para cualquier a, excepto a = k * pi / 2, para cualquier entero k. Ahora intentemos usar la identidad trigonométrica básica para encontrar la relación entre la tangente y el coseno. Divide la identidad trigonométrica básica, por (cos(a)) 2 . (cos(a) no es igual a cero, de lo contrario la tangente no existiría. Obtenemos la siguiente igualdad ((sin(a)) 2 + (cos(a)) 2)/ (cos(a)) 2 =1/(cos(a)) 2 . Dividiendo término por término obtenemos: Como se señaló anteriormente, esta fórmula es verdadera si cos(a) no es igual a cero, es decir, para todos los ángulos a, excepto a=pi/2 + pi*k, para cualquier número entero k.La razón entre la tangente y la cotangente del mismo ángulo