- Vienādību ar mainīgo sauc par vienādojumu.
- Atrisināt vienādojumu nozīmē atrast tā daudzās saknes. Vienādojumam var būt viena, divas, vairākas, daudzas saknes vai vispār nav.
- Katru mainīgā lieluma vērtību, pie kuras dotais vienādojums pārvēršas par patiesu vienādību, sauc par vienādojuma sakni.
- Vienādojumus, kuriem ir vienādas saknes, sauc par līdzvērtīgiem vienādojumiem.
- Jebkuru vienādojuma terminu var pārnest no vienas vienādības daļas uz citu, vienlaikus mainot vārda zīmi uz pretējo.
- Ja abas vienādojuma puses tiek reizinātas vai dalītas ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle, jūs iegūstat vienādojumu, kas līdzvērtīgs dotajam vienādojumam.
Piemēri. Atrisiniet vienādojumu.
1. 1,5x+4 = 0,3x-2.
1,5x-0,3x = -2-4. Mēs apkopojām terminus, kas satur mainīgo vienādības kreisajā pusē un brīvos nosacījumus vienādības labajā pusē. Šajā gadījumā tika izmantots šāds rekvizīts:
1,2x = -6. Līdzīgi termini tika doti saskaņā ar noteikumu:
x = -6 : 1.2. Abas vienādības puses tika dalītas ar mainīgā koeficientu, kopš
x = -5. Sadalīts saskaņā ar likumu decimāldaļas dalīšanai ar decimālzīme:
Lai dalītu skaitli ar daļskaitli aiz komata, komats ir jāpārvieto dividendēs un jādala pa labi tik daudz ciparu, cik ir aiz komata dalītājā, un pēc tam dala ar naturālu skaitli:
6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.
Atbilde: 5.
2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).
6x-27 = 4x-16. Mēs atvērām iekavas, izmantojot sadales likumu reizināšanai attiecībā pret atņemšanu: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.
6x-4x = -16+27. Mēs apkopojām terminus, kas satur mainīgo vienādības kreisajā pusē un brīvos nosacījumus vienādības labajā pusē. Šajā gadījumā tika izmantots šāds rekvizīts: jebkuru vienādojuma vārdu var pārnest no vienas vienādības daļas uz citu, tādējādi mainot vārda zīmi uz pretējo.
2x = 11. Līdzīgi termini tika doti saskaņā ar noteikumu: lai iegūtu līdzīgus terminus, jāsaskaita to koeficienti un iegūtais rezultāts jāreizina ar to kopējā burta daļu (t.i., iegūtajam rezultātam jāpievieno to kopējā burta daļa).
x = 11 : 2. Abas vienādības puses tika dalītas ar mainīgā koeficientu, kopš Ja abas vienādojuma puses tiek reizinātas vai dalītas ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle, jūs iegūstat vienādojumu, kas līdzvērtīgs dotajam vienādojumam.
Atbilde: 5,5.
3. 7x- (3+2x)=x-9.
7x-3-2x = x-9. Mēs atvērām iekavas saskaņā ar iekavu atvēršanas noteikumu, pirms kura ir “-” zīme: ja iekavās ir zīme “-”, tad noņemiet iekavas, zīmi “-” un ierakstiet terminus iekavās ar pretējām zīmēm.
7x-2x-x = -9+3. Mēs apkopojām terminus, kas satur mainīgo vienādības kreisajā pusē un brīvos nosacījumus vienādības labajā pusē. Šajā gadījumā tika izmantots šāds rekvizīts: jebkuru vienādojuma vārdu var pārnest no vienas vienādības daļas uz citu, tādējādi mainot vārda zīmi uz pretējo.
4x = -6. Līdzīgi termini tika doti saskaņā ar noteikumu: lai iegūtu līdzīgus terminus, jāsaskaita to koeficienti un iegūtais rezultāts jāreizina ar to kopējā burta daļu (t.i., iegūtajam rezultātam jāpievieno to kopējā burta daļa).
x = -6 : 4. Abas vienādības puses tika dalītas ar mainīgā koeficientu, kopš Ja abas vienādojuma puses tiek reizinātas vai dalītas ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle, jūs iegūstat vienādojumu, kas līdzvērtīgs dotajam vienādojumam.
Atbilde: -1,5.
3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Reiziniet abas vienādojuma puses ar 12 - mazāko kopsaucējsšo daļskaitļu saucējiem.
3x-15 = 84-8x+44. Mēs atvērām iekavas, izmantojot sadales likumu reizināšanai attiecībā pret atņemšanu: Lai divu skaitļu starpību reizinātu ar trešo skaitli, var atsevišķi reizināt minuend un atsevišķi atņemt ar trešo, un pēc tam atņemt otro rezultātu no pirmā rezultāta, t.i.(a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.
3x+8x = 84+44+15. Mēs apkopojām terminus, kas satur mainīgo vienādības kreisajā pusē un brīvos nosacījumus vienādības labajā pusē. Šajā gadījumā tika izmantots šāds rekvizīts: jebkuru vienādojuma vārdu var pārnest no vienas vienādības daļas uz citu, tādējādi mainot vārda zīmi uz pretējo.
Utt, ir loģiski iepazīties ar cita veida vienādojumiem. Nākamie rindā ir lineārie vienādojumi, kuras mērķtiecīga apguve sākas algebras stundās 7. klasē.
Ir skaidrs, ka vispirms mums ir jāpaskaidro, kas ir lineārais vienādojums, jāsniedz lineārā vienādojuma definīcija, tā koeficienti un jāparāda tā vispārējā forma. Tad jūs varat izdomāt, cik atrisinājumu ir lineāram vienādojumam atkarībā no koeficientu vērtībām un kā tiek atrastas saknes. Tas ļaus jums pāriet uz piemēru risināšanu un tādējādi nostiprināt apgūto teoriju. Šajā rakstā mēs to darīsim: mēs detalizēti apskatīsim visus teorētiskos un praktiskos punktus, kas ar to saistīti lineārie vienādojumi un viņu lēmumiem.
Teiksim uzreiz, ka šeit aplūkosim tikai lineāros vienādojumus ar vienu mainīgo, un atsevišķā rakstā pētīsim risināšanas principus. lineāri vienādojumi ar diviem mainīgajiem.
Lapas navigācija.
Kas ir lineārais vienādojums?
Lineārā vienādojuma definīciju nosaka tā rakstīšanas veids. Turklāt dažādās matemātikas un algebras mācību grāmatās lineāro vienādojumu definīciju formulējumos ir dažas atšķirības, kas neietekmē jautājuma būtību.
Piemēram, Yu. N. Makarychev et al. algebras mācību grāmatā 7. klasei lineārais vienādojums ir definēts šādi:
Definīcija.
Formas vienādojums a x=b, kur x ir mainīgais, a un b ir daži skaitļi, tiek izsaukts lineārs vienādojums ar vienu mainīgo.
Sniegsim lineāro vienādojumu piemērus, kas atbilst norādītajai definīcijai. Piemēram, 5 x = 10 ir lineārs vienādojums ar vienu mainīgo x, šeit koeficients a ir 5 un skaitlis b ir 10. Cits piemērs: −2.3·y=0 arī ir lineārs vienādojums, bet ar mainīgo y, kurā a=−2.3 un b=0. Un lineārajos vienādojumos x=-2 un -x=3,33 a nav skaidri sastopami un ir attiecīgi vienādi ar 1 un -1, savukārt pirmajā vienādojumā b=-2, bet otrajā - b=3,33.
Un gadu iepriekš N. Ya. Viļenkina matemātikas mācību grāmatā lineārie vienādojumi ar vienu nezināmu, papildus vienādojumiem formā a x = b, tika uzskatīti arī par vienādojumiem, kurus var nogādāt šajā formā, pārnesot terminus. no vienas vienādojuma daļas uz otru ar pretēja zīme, kā arī samazinot līdzīgus terminus. Saskaņā ar šo definīciju vienādojumi formā 5 x = 2 x + 6 utt. arī lineāri.
Savukārt A. G. Mordkoviča algebras mācību grāmatā 7. klasei ir dota šāda definīcija:
Definīcija.
Lineārs vienādojums ar vienu mainīgo x ir vienādojums formā a·x+b=0, kur a un b ir daži skaitļi, ko sauc par lineārā vienādojuma koeficientiem.
Piemēram, šāda veida lineārie vienādojumi ir 2 x−12=0, šeit koeficients a ir 2, un b ir vienāds ar −12, un 0,2 y+4,6=0 ar koeficientiem a=0,2 un b =4,6. Bet tajā pašā laikā ir lineāru vienādojumu piemēri, kuru forma ir nevis a·x+b=0, bet a·x=b, piemēram, 3·x=12.
Lai turpmāk nebūtu nekādu neatbilstību, ar lineāru vienādojumu ar vienu mainīgo x un koeficientiem a un b domāsim vienādojumu formā a x + b = 0. Šķiet, ka šāda veida lineārie vienādojumi ir visattaisnotākie, jo lineārie vienādojumi tādi ir algebriskie vienādojumi pirmā pakāpe. Un visus pārējos iepriekš norādītos vienādojumus, kā arī vienādojumus, kas, izmantojot ekvivalentas transformācijas, tiek reducēti līdz formai a x + b = 0, mēs izsauksim vienādojumi, kas reducējas uz lineāriem vienādojumiem. Izmantojot šo pieeju, vienādojums 2 x+6=0 ir lineārs vienādojums, un 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 utt. - Tie ir vienādojumi, kas reducējas uz lineāriem.
Kā atrisināt lineāros vienādojumus?
Tagad ir pienācis laiks noskaidrot, kā tiek atrisināti lineārie vienādojumi a·x+b=0. Citiem vārdiem sakot, ir pienācis laiks noskaidrot, vai lineāram vienādojumam ir saknes, un, ja jā, cik no tām un kā tās atrast.
Lineārā vienādojuma sakņu klātbūtne ir atkarīga no koeficientu a un b vērtībām. Šajā gadījumā ir lineārais vienādojums a x+b=0
- vienīgā sakne a≠0,
- nav sakņu a=0 un b≠0,
- ir bezgalīgi daudz sakņu a=0 un b=0, tādā gadījumā jebkurš skaitlis ir lineāra vienādojuma sakne.
Paskaidrosim, kā šie rezultāti tika iegūti.
Mēs zinām, ka, lai atrisinātu vienādojumus, mēs varam pāriet no sākotnējā vienādojuma uz līdzvērtīgiem vienādojumiem, tas ir, uz vienādojumiem ar vienādām saknēm vai, tāpat kā sākotnējam, bez saknēm. Lai to izdarītu, varat izmantot šādas līdzvērtīgas transformācijas:
- termina pārnešana no vienādojuma vienas puses uz otru ar pretēju zīmi,
- kā arī vienādojuma abu pušu reizināšana vai dalīšana ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle.
Tātad, lineārā vienādojumā ar vienu mainīgo formu a·x+b=0, mēs varam pārvietot terminu b no kreisās puses uz labo pusi ar pretēju zīmi. Šajā gadījumā vienādojums būs a·x=−b.
Un tad rodas jautājums par abas vienādojuma puses dalīt ar skaitli a. Bet ir viena lieta: skaitlis a var būt vienāds ar nulli, un tādā gadījumā šāds dalījums nav iespējams. Lai risinātu šo problēmu, vispirms pieņemsim, ka skaitlis a nav nulle, un gadījumu, kad būtne ir vienāda ar nulli, aplūkosim atsevišķi nedaudz vēlāk.
Tātad, ja a nav vienāds ar nulli, tad vienādojuma a·x=−b abas puses varam dalīt ar a, pēc kā tas tiks pārveidots formā x=(−b):a, šis rezultāts var būt rakstīts, izmantojot slīpsvītru kā.
Tādējādi a≠0 lineārais vienādojums a·x+b=0 ir ekvivalents vienādojumam, no kura ir redzama tā sakne.
Ir viegli parādīt, ka šī sakne ir unikāla, tas ir, lineārajam vienādojumam nav citu sakņu. Tas ļauj veikt pretēju metodi.
Apzīmēsim sakni kā x 1. Pieņemsim, ka ir vēl viena lineārā vienādojuma sakne, kuru apzīmējam kā x 2 un x 2 ≠x 1, kas, pateicoties vienādu skaitļu noteikšana caur starpību ir ekvivalents nosacījumam x 1 −x 2 ≠0. Tā kā x 1 un x 2 ir lineārā vienādojuma a·x+b=0 saknes, tad ir spēkā skaitliskās vienādības a·x 1 +b=0 un a·x 2 +b=0. Šo vienādību atbilstošās daļas varam atņemt, ko ļauj izdarīt skaitlisko vienādību īpašības, mums ir a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, no kura a·(x 1 −x 2)+(b−b)=0 un tad a·(x 1 −x 2)=0 . Taču šī vienlīdzība nav iespējama, jo gan a≠0, gan x 1 − x 2 ≠0. Tātad mēs nonācām pie pretrunas, kas pierāda lineārā vienādojuma a·x+b=0 saknes unikalitāti a≠0.
Tātad mēs atrisinājām lineāro vienādojumu a·x+b=0, ja a≠0. Pirmais rezultāts, kas norādīts šīs rindkopas sākumā, ir pamatots. Ir palikuši vēl divi, kas atbilst nosacījumam a=0.
Ja a=0, lineārais vienādojums a·x+b=0 iegūst formu 0·x+b=0. No šī vienādojuma un skaitļu reizināšanas ar nulli īpašības izriet, ka neatkarīgi no tā, kādu skaitli ņemtu par x, to aizvietojot vienādojumā 0 x + b=0, tiks iegūta skaitliskā vienādība b=0. Šī vienādība ir patiesa, ja b=0, un citos gadījumos, kad b≠0 šī vienādība ir nepatiesa.
Līdz ar to ar a=0 un b=0 jebkurš skaitlis ir lineārā vienādojuma a·x+b=0 sakne, jo šādos apstākļos jebkura skaitļa aizstāšana ar x dod pareizo skaitlisko vienādību 0=0. Un, kad a=0 un b≠0, lineārajam vienādojumam a·x+b=0 nav sakņu, jo šādos apstākļos jebkura skaitļa aizstāšana x vietā noved pie nepareizas skaitliskās vienādības b=0.
Dotie pamatojumi ļauj formulēt darbību secību, kas ļauj atrisināt jebkuru lineāro vienādojumu. Tātad, algoritms lineārā vienādojuma risināšanai ir:
- Pirmkārt, rakstot lineāro vienādojumu, mēs atrodam koeficientu a un b vērtības.
- Ja a=0 un b=0, tad šim vienādojumam ir bezgala daudz sakņu, proti, jebkurš skaitlis ir šī lineārā vienādojuma sakne.
- Ja a nav nulle, tad
- koeficientu b pārnes uz labo pusi ar pretēju zīmi, un lineāro vienādojumu pārveido formā a·x=−b,
- pēc tam abas iegūtā vienādojuma puses tiek dalītas ar skaitli a, kas nav nulle, kas dod vēlamo sākotnējā lineārā vienādojuma sakni.
Rakstītais algoritms ir izsmeļoša atbilde uz jautājumu, kā atrisināt lineāros vienādojumus.
Noslēgumā ir vērts teikt, ka līdzīgs algoritms tiek izmantots, lai atrisinātu vienādojumus formā a·x=b. Tā atšķirība ir tāda, ka, ja a≠0, abas vienādojuma puses tiek uzreiz dalītas ar šo skaitli; šeit b jau atrodas vajadzīgajā vienādojuma daļā un nav nepieciešams to pārnest.
Lai atrisinātu vienādojumus formā a x = b, tiek izmantots šāds algoritms:
- Ja a=0 un b=0, tad vienādojumam ir bezgalīgi daudz sakņu, kas ir jebkuri skaitļi.
- Ja a=0 un b≠0, tad sākotnējam vienādojumam nav sakņu.
- Ja a nav nulle, tad abas vienādojuma puses tiek dalītas ar skaitli, kas nav nulle, no kura tiek atrasta vienīgā vienādojuma sakne, kas vienāda ar b/a.
Lineāro vienādojumu risināšanas piemēri
Pāriesim pie prakses. Apskatīsim, kā tiek izmantots lineāro vienādojumu risināšanas algoritms. Sniegsim risinājumus tipiskiem piemēriem, kas atbilst dažādas nozīmes lineāro vienādojumu koeficienti.
Piemērs.
Atrisiniet lineāro vienādojumu 0·x−0=0.
Risinājums.
Šajā lineārajā vienādojumā a=0 un b=−0 , kas ir tāds pats kā b=0 . Tāpēc šim vienādojumam ir bezgalīgi daudz sakņu; jebkurš skaitlis ir šī vienādojuma sakne.
Atbilde:
x – jebkurš skaitlis.
Piemērs.
Vai lineārajam vienādojumam 0 x + 2,7 = 0 ir risinājumi?
Risinājums.
Šajā gadījumā koeficients a vienāds ar nulli, un šī lineārā vienādojuma koeficients b ir vienāds ar 2,7, tas ir, atšķiras no nulles. Tāpēc lineāram vienādojumam nav sakņu.
Vienlīdzība ar mainīgo f(x) = g(x) sauc par vienādojumu ar vienu mainīgo x. Jebkura mainīgā lieluma vērtība, pie kuras f(x) un g(x) iegūst vienādas skaitliskās vērtības, tiek saukta par šāda vienādojuma sakni. Tāpēc vienādojuma risināšana nozīmē atrast visas vienādojuma saknes vai pierādīt, ka tās neeksistē.
Vienādojumam x 2 + 1 = 0 nav reālu sakņu, bet ir iedomātas saknes: šajā gadījumā tās ir saknes x 1 = i, x 2 = -i. Tālāk mūs interesēs tikai vienādojuma patiesās saknes.
Ja vienādojumos ir identiskas saknes, tad tos sauc par līdzvērtīgiem. Tie vienādojumi, kuriem nav sakņu, tiek uzskatīti par līdzvērtīgiem.
Noskaidrosim, vai vienādojumi ir līdzvērtīgi:
a) x + 2 = 5 un x + 5 = 8
1. Atrisināsim pirmo vienādojumu
2. Atrisiniet otro vienādojumu
Vienādojumu saknes ir vienādas, tāpēc x + 2 = 5 un x + 5 = 8 ir līdzvērtīgi.
b) x 2 + 1 = 0 un 2x 2 + 5 = 0
Abiem šiem vienādojumiem nav reālu sakņu, tāpēc tie ir līdzvērtīgi.
c) x – 5 = 1 un x 2 = 36
1. Atrodiet pirmā vienādojuma saknes
2. Atrodiet otrā vienādojuma saknes
x 1 = 6, x 2 = -6
Vienādojumu saknes nesakrīt, tāpēc x – 5 = 1 un x 2 = 36 nav līdzvērtīgi.
Atrisinot vienādojumu, viņi cenšas to aizstāt ar ekvivalentu, bet vairāk vienkāršs vienādojums. Tāpēc ir svarīgi zināt, kādu transformāciju rezultātā šis vienādojums pārvēršas par tam līdzvērtīgu vienādojumu.
1. teorēma. Pārvietojot jebkuru vienādojuma terminu no vienas daļas uz otru, mainot zīmi, iegūsit vienādojumu, kas līdzvērtīgs dotajam.
Piemēram, vienādojums x 2 + 2 = 3x ir līdzvērtīgs vienādojumam x 2 + 2 – 3x = 0.
Teorēma 2. Ja vienādojuma abas puses reizina vai dala ar vienu un to pašu skaitli (nav vienāds ar nulli), tad tiks iegūts vienādojums, kas līdzvērtīgs dotajam.
Piemēram, vienādojums (x 2 – 1)/3 = 2x ir līdzvērtīgs vienādojumam x 2 – 1 = 6x. Mēs reizinām abas pirmā vienādojuma puses ar 3.
Lineārs vienādojums ar vienu mainīgo ir vienādojums ar formu ax = b, kur a un b ir reāli skaitļi, un a sauc par mainīgā koeficientu, bet b ir brīvais termins.
Apskatīsim trīs gadījumus lineārajam vienādojumam ax = b.
1. a ≠ 0. Šajā gadījumā x = b/a (jo a atšķiras no nulles).
2. a = 0, b = 0. Vienādojums būs šāds: 0 ∙ x = 0. Šis vienādojums ir patiess jebkuram x, t.i. Vienādojuma sakne ir jebkurš reāls skaitlis.
3. a = 0, b ≠ 0. Šajā gadījumā vienādojumam nebūs sakņu, jo dalīšana ar nulli ir aizliegta (0 ∙ x = b).
Pārveidojumu rezultātā daudzi vienādojumi tiek reducēti uz lineāriem.
Atrisināsim vienādojumus
a) (1/5) x + 2/15 = 0
1. Pārvietosim komponentu 2/15 no vienādojuma kreisās puses uz labo pusi ar pretēju zīmi. Šo transformāciju regulē 1. teorēma. Tātad vienādojums būs šāds: (1/5)x = -2/15.
2. Lai atbrīvotos no saucēja, abas vienādojuma puses reizinām ar 15. To ļauj izdarīt 2. teorēma. Tātad vienādojums iegūs šādu formu:
(1/5) x ∙ 15 = – 2/15 ∙ 15
Tādējādi vienādojuma sakne ir -2/3.
b) 2/3 + x/4 + (1 – x)/6 = 5x/12 – 1
1. Lai atbrīvotos no saucēja, reiziniet abas vienādojuma puses 
ia ar 12 (pēc 2. teorēmas). Vienādojumam būs šāda forma:
12 (2/3 + x/4 + (1 – x)/6) = 12 (5x/12 – 1)
8 + 3x + 2 - 2x = 5x - 12
10 + x = 5x – 12
2. Izmantojot 1. teorēmu, mēs “savācam” visus skaitļus labajā pusē un komponentus ar x kreisajā pusē. Vienādojumam būs šāda forma:
10 +12 = 5x – x
Tādējādi vienādojuma sakne ir 5,5.
blog.site, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.
Ņemsim divas izteiksmes ar mainīgo: 4x un 5x + 2. Savienojot tās ar vienādības zīmi, iegūstam teikumu 4x = 5x + 2. Tas satur mainīgo un, aizstājot mainīgā vērtības, pārvēršas par paziņojums, apgalvojums.
Piemēram, ja x = -2, teikums 4x = 5x + 2 pārvēršas par patiesu skaitlisko vienādību 4-(-2) = 5-(-2) + 2, un ja x = 1 - par nepatiesu 4-1 = 5- 1+2. Tāpēc teikums 4x = 5x + 2 ir izteiksmīga forma. Viņi viņu sauc vienādojums ar vienu mainīgo.
IN vispārējs skats Vienādojumu ar vienu mainīgo var definēt šādi:
Definīcija.Lai f(x) un q(x) ir divas izteiksmes ar mainīgo x un definīcijas X apgabalu. Tad formas f(x) izteiksmīga forma. =q(x) sauc par vienādojumu ar vienu mainīgo.
Mainīga vērtība X no daudziem X, pie kura vienādojums pārvēršas par patiesu skaitlisko vienādību sauc vienādojuma sakne (vai viņa lēmums). Atrisināt vienādojumu nozīmē atrast tā daudzās saknes. .
Tādējādi vienādojuma sakne 4x = 5x + 2, ja mēs to ņemam vērā kopā R reāli skaitļi, ir skaitlis -2. Šim vienādojumam nav citu sakņu. Tas nozīmē, ka tā sakņu kopa ir (-2).
Uz reālo skaitļu kopas ir dots vienādojums (x-1)(x+2)=0. Tam ir divas saknes - skaitļi 1 un -2. Tāpēc šī vienādojuma sakņu kopa ir: (-2,- 1).
Vienādojums (3x + 1) × 2 = 6x + 2, kas dots uz reālo skaitļu kopas, pārvēršas par patiesu skaitlisko vienādību visām mainīgā x reālajām vērtībām: ja mēs atveram iekavas kreisajā pusē, mēs iegūstiet 6x + 2 = 6 X+ 2. Šajā gadījumā mēs sakām, ka tā sakne ir jebkurš reāls skaitlis, un sakņu kopa ir visu reālo skaitļu kopa.
Vienādojums (3x + 1)-2 = 6x + 1, kas dots uz reālo skaitļu kopas, nepārvēršas par patiesu skaitlisko vienādību nevienai reālajai x vērtībai: pēc iekavu atvēršanas kreisajā pusē iegūstam, ka 6x + 2 = 6x + 1, kas nav iespējams nevienam x. Šajā gadījumā mēs sakām, ka dotajam vienādojumam nav sakņu un ka tā sakņu kopa ir tukša.
Lai atrisinātu jebkuru vienādojumu, tas vispirms tiek pārveidots, aizstājot to ar citu, vienkāršāku; iegūtais vienādojums atkal tiek pārveidots, aizstājot to ar vienkāršāku utt. Šo procesu turpina, līdz tiek iegūts vienādojums, kura saknes var atrast zināmā veidā. Bet, lai šīs saknes būtu dotā vienādojuma saknes, transformācijas procesā ir jārada vienādojumi, kuru sakņu kopas sakrīt. Tādus vienādojumus sauc ekvivalents.
Definīcija.Divi vienādojumi f 1 (x) =q 1 (x) un f 2 (x) =q 2 (x) sauc par ekvivalentiem, ja to sakņu kopas sakrīt.
Piemēram, vienādojumi x 2 - 9 = 0 un (2x + 6) (x - 3) = 0 ir līdzvērtīgi, jo abu saknes ir skaitļos 3 un -3. Vienādojumi (3x + 1)-2 = 6x + 1 un x 2 + 1 arī ir līdzvērtīgi = 0, tā kā abiem nav sakņu, t.i. to sakņu kopas sakrīt.
Definīcija. Vienādojuma aizstāšanu ar līdzvērtīgu vienādojumu sauc par ekvivalentu transformāciju.
Tagad noskaidrosim, kādas transformācijas ļauj iegūt līdzvērtīgus vienādojumus.
1. teorēma. Vienādojums f(x) = q(x) ir definēts kopā un h(x) ir izteiksme, kas definēta tajā pašā kopā. Tad vienādojums f(x) = q(x) (1) un f(x) + h(x) = q(x) + h(x) (2) ir līdzvērtīgi.
Pierādījums. Apzīmēsim ar T 1 (1) vienādojuma risinājumu kopu un ar T 2 (2) vienādojuma risinājumu kopu. Tad vienādojumi (1) un (2) būs līdzvērtīgi, ja T 1 = T 2. Lai to pārbaudītu, ir jāparāda, ka jebkura T 1 sakne ir (2) vienādojuma sakne un, otrādi, jebkura T 2 sakne ir (1) vienādojuma sakne.
Lai skaitlis a ir vienādojuma (1) sakne. Tad a О Т 1, un, aizstājot vienādojumu (1), pārvērš to par patiesu skaitlisko vienādību f(a) = q(a), un pārvērš izteiksmi h(x) par skaitliskā izteiksme h(a), kam ir nozīme kopā X. Pieskaitīsim abām patiesās vienādības f(a) = q(a) pusēm skaitlisko izteiksmi h(a). Atbilstoši patieso skaitlisko vienādību īpašībām iegūstam patieso skaitlisko vienādību f(a) + h(a) = q(a) + h(a), kas norāda, ka skaitlis a ir (2) vienādojuma sakne. .
Tātad, ir pierādīts, ka katra (1) vienādojuma sakne ir arī (2) vienādojuma sakne, t.i. Т 1 М Т 2.
Tagad a ir vienādojuma (2) sakne. Tad a О Т 2 un, aizvietojot vienādojumā (2), pārvērš to par patiesu skaitlisko vienādību f(a) + h(a) = q(a) + h(a). Pievienosim abām šī vienādības pusēm skaitlisko izteiksmi - h(a). Iegūstam patieso skaitlisko vienādību f(a) = q(a), ka skaitlis a ir (1) vienādojuma sakne.
Tātad, ir pierādīts, ka katra (2) vienādojuma sakne ir arī (1) vienādojuma sakne, t.i. Т 2 М Т 1 .
Tā kā T 1 Ì T 2 un T 2 Ì T 1, tad pēc vienādu kopu definīcijas T 1 = T 2, kas nozīmē, ka (1) un (2) vienādojumi ir līdzvērtīgi.
Šo 1. teorēmu var formulēt dažādi: Ja abām vienādojuma pusēm ar definīcijas apgabalu X pievieno vienu un to pašu izteiksmi ar mainīgo, kas definēts vienā un tajā pašā kopā, mēs iegūstam jaunu vienādojumu, kas ir ekvivalents dotajam.
No šīs teorēmas izriet sekas, kas tiek izmantotas, risinot vienādojumus:
1. Ja abām vienādojuma pusēm pievienojam vienu un to pašu skaitli, mēs iegūstam vienādojumu, kas līdzvērtīgs dotajam.
2. Ja jebkuru terminu (skaitlisku izteiksmi vai izteiksmi ar mainīgo) pārnes no vienas vienādojuma daļas uz citu, mainot vārda zīmi uz pretējo, tad iegūstam vienādojumu, kas līdzvērtīgs dotajam.
2. teorēma.Lai vienādojums f(x) = q(x) ir definēts kopā X un lai h(x) ir izteiksme, kas ir definēta tajā pašā kopā un nepazūd nevienai x vērtībai no kopas X. Tad vienādojumi f(x) = q(x) un f(x) × h(x) = q(x) × h(x) ir līdzvērtīgi.
Šīs teorēmas pierādījums ir līdzīgs 1. teorēmas pierādījumam.
2. teorēmu var formulēt dažādi: Ja abas vienādojuma puses ar definīcijas X apgabalu reizina ar vienu un to pašu izteiksmi, kas definēta vienā un tajā pašā kopā un tajā nepazūd, tad iegūstam jaunu vienādojumu, kas ir ekvivalents dotajam.
No šīs teorēmas izriet secinājums: Ja abas vienādojuma puses reizina (vai dala) ar tādu pašu skaitli, kas nav nulle, mēs iegūstam vienādojumu, kas līdzvērtīgs dotajam.
Atrisināsim vienādojumu , x О R un pamatosim visas transformācijas, kuras veiksim atrisināšanas procesā.
Vienādojums ir vienādība, kurā ir viens vai vairāki mainīgie.
Mēs apsvērsim gadījumu, kad vienādojumam ir viens mainīgais, tas ir, viens nezināms numurs. Būtībā vienādojums ir matemātiskā modeļa veids. Tāpēc, pirmkārt, mums ir nepieciešami vienādojumi, lai atrisinātu problēmas.
Atcerēsimies, kā tiek sastādīts matemātiskais modelis, lai atrisinātu problēmu.
Piemēram, jaunajā mācību gadā 5.skolā skolēnu skaits ir dubultojies. Pēc 20 skolēnu pārcelšanās uz citu skolu 5.skolā kopumā sāka mācīties 720 skolēni. Cik skolēnu bija pagājušajā gadā?
Mums nosacījumā teiktais ir jāizsaka matemātiskā valodā. Lai skolēnu skaits pagājušajā gadā ir X. Tad atbilstoši problēmas nosacījumiem
2X – 20 = 720. Mums ir matemātiskais modelis, kas attēlo vienādojums ar vienu mainīgo. Precīzāk, tas ir pirmās pakāpes vienādojums ar vienu mainīgo. Atliek tikai atrast tās sakni.
Kāda ir vienādojuma sakne?
Mainīgā lieluma vērtību, pie kuras mūsu vienādojums pārvēršas par patiesu vienādību, sauc par vienādojuma sakni. Ir vienādojumi, kuriem ir daudz sakņu. Piemēram, vienādojumā 2*X = (5-3)*X jebkura X vērtība ir sakne. Un vienādojumam X = X +5 vispār nav sakņu, jo neatkarīgi no tā, ar kādu vērtību mēs aizstātu X, mēs neiegūsim pareizo vienādību. Atrisināt vienādojumu nozīmē atrast visas tā saknes vai noteikt, ka tam nav sakņu. Tātad, lai atbildētu uz mūsu jautājumu, mums jāatrisina vienādojums 2X – 20 = 720.
Kā atrisināt vienādojumus ar vienu mainīgo?
Pirmkārt, pierakstīsim pamata definīcijas. Katram vienādojumam ir labā un kreisā puse. Mūsu gadījumā (2X – 20) ir vienādojuma kreisā puse (tā atrodas pa kreisi no vienādības zīmes), un 720 ir vienādojuma labā puse. Terminus vienādojuma labajā un kreisajā pusē sauc par vienādojuma noteikumiem. Mūsu vienādojuma nosacījumi ir 2X, -20 un 720.
Tūlīt parunāsim par 2 vienādojumu īpašībām:
- Jebkuru vienādojuma terminu var pārnest no vienādojuma labās puses uz kreiso un otrādi. Šajā gadījumā ir jāmaina šī vienādojuma vārda zīme uz pretējo. Tas ir, ieraksti formā 2X – 20 = 720, 2X – 20 – 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 – 2X ir līdzvērtīgi.
- Abas vienādojuma puses var reizināt vai dalīt ar vienu un to pašu skaitli. Šis skaitlis nedrīkst būt nulle. Tas ir, ieraksti formā 2X – 20 = 720, 5*(2X – 20) = 720*5, (2X – 20):2 = 720:2 ir arī līdzvērtīgi.
Pārvietosim -20 uz labo pusi ar pretējo zīmi. Mēs iegūstam:
2X = 720 + 20. Pievienosim to, kas mums ir labajā pusē. Mēs iegūstam, ka 2X = 740.
Tagad sadaliet vienādojuma kreiso un labo pusi ar 2.
2X:2 = 740:2 vai X = 370. Mēs atradām sava vienādojuma sakni un tajā pašā laikā atradām atbildi uz mūsu problēmas jautājumu. Pērn 5.skolā mācījās 370 skolēnu.
Pārbaudīsim, vai mūsu sakne patiešām pārvērš vienādojumu par patiesu vienādību. Aizstāsim skaitli 370, nevis X vienādojumā 2X – 20 = 720.
2*370-20 = 720.
Pareizi.
Tātad, lai atrisinātu vienādojumu ar vienu mainīgo, tas ir jāreducē uz tā saukto lineāro vienādojumu formā ax = b, kur a un b ir daži skaitļi. Pēc tam sadaliet kreiso un labo pusi ar skaitli a. Mēs iegūstam, ka x = b:a.
Ko nozīmē reducēt vienādojumu uz lineāru vienādojumu?
Apsveriet šo vienādojumu:
5X - 2X + 10 = 59 - 7X +3X.
Šis ir arī vienādojums ar vienu nezināmu mainīgo X. Mūsu uzdevums ir reducēt šo vienādojumu līdz formai ax = b.
Lai to izdarītu, vispirms tiek apkopoti visi termini, kuriem vienādojuma kreisajā pusē ir X kā faktors, bet labajā pusē – atlikušie termini. Terminus, kuriem ir tāds pats burts kā faktoram, sauc par līdzīgiem terminiem.
5X – 2X + 7X – 3X = 59 – 10.
Saskaņā ar sadales īpašums Reizinot, mēs varam izlikt to pašu koeficientu iekavās un pievienot koeficientus (reizinātājus mainīgajam x). Šo procesu sauc arī par līdzīgu terminu samazināšanu.
X(5-2+7-3) = 49.
7X = 49. Mēs esam reducējuši vienādojumu līdz formai ax = b, kur a = 7, b = 49.
Un, kā mēs rakstījām iepriekš, vienādojuma sakne formā ax = b ir x = b:a.
Tas ir, X = 49:7 = 7.
Algoritms vienādojuma sakņu atrašanai ar vienu mainīgo.
- Savāc līdzīgus vārdus vienādojuma kreisajā pusē un pārējos vārdus vienādojuma labajā pusē.
- Sniedziet līdzīgus terminus.
- Reducējiet vienādojumu līdz formai ax = b.
- Atrodiet saknes, izmantojot formulu x = b:a.