Merrni parasysh ekuacionet e mëposhtme:
1. 2*x + 3*y = 15;
2. x2 + y2 = 4;
4. 5*x 3 + y 2 = 8.
Secili nga ekuacionet e mësipërme është një ekuacion me dy ndryshore. Bashkësia e pikave në planin koordinativ, koordinatat e të cilave e kthejnë ekuacionin në një barazi të vërtetë numerike quhet grafiku i një ekuacioni në dy të panjohura.
Grafiku i një ekuacioni me dy ndryshore
Ekuacionet me dy ndryshore kanë një larmi të gjerë grafikësh. Për shembull, për ekuacionin 2*x + 3*y = 15, grafiku do të jetë një vijë e drejtë, për ekuacionin x 2 + y 2 = 4, grafiku do të jetë një rreth me rreze 2, grafiku i ekuacioni y*x = 1 do të jetë hiperbolë, etj.
Ekuacionet me numra të plotë me dy ndryshore kanë gjithashtu një gjë të tillë si një shkallë. Kjo shkallë përcaktohet në të njëjtën mënyrë si për të gjithë ekuacionin me një ndryshore. Për ta bërë këtë, ekuacioni sillet në formën kur ana e majtë është një polinom pamje standarde, ndërsa e djathta është zero. Kjo bëhet përmes transformimeve ekuivalente.
Mënyra grafike për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve
Le të kuptojmë se si të zgjidhim sistemet e ekuacioneve që do të përbëhen nga dy ekuacione me dy ndryshore. Konsideroni një mënyrë grafike për të zgjidhur sisteme të tilla.
Shembulli 1. Zgjidheni sistemin e ekuacioneve:
( x 2 + y 2 = 25
(y = -x 2 + 2*x + 5.
Le të vizatojmë grafikët e ekuacionit të parë dhe të dytë në të njëjtin sistem koordinativ. Grafiku i ekuacionit të parë do të jetë një rreth me qendër në origjinë dhe rreze 5. Grafiku i ekuacionit të dytë do të jetë një parabolë me degë poshtë.
Të gjitha pikat e grafikëve do të plotësojnë secila ekuacionin e vet. Duhet të gjejmë pika të tilla që do të kënaqin si ekuacionin e parë ashtu edhe atë të dytë. Natyrisht, këto do të jenë pikat ku kryqëzohen këta dy grafikë.
Duke përdorur vizatimin tonë, gjejmë vlerat e përafërta të koordinatave në të cilat kryqëzohen këto pika. Ne marrim rezultatet e mëposhtme:
A(-2.2;-4.5), B(0;5), C(2.2;4.5), D(4,-3).
Pra, sistemi ynë i ekuacioneve ka katër zgjidhje.
x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;
x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;
x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;
x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.
Nëse i zëvendësojmë këto vlera në ekuacionet e sistemit tonë, mund të shohim se zgjidhja e parë dhe e tretë janë të përafërta, dhe e dyta dhe e katërta janë të sakta. Metoda grafike përdoret shpesh për të vlerësuar numrin e rrënjëve dhe kufijtë e tyre të përafërt. Zgjidhjet janë më shpesh të përafërta sesa të sakta.
Në këtë mësim, ne do të shqyrtojmë zgjidhjen e sistemeve të dy ekuacioneve me dy ndryshore. Le të shqyrtojmë së pari zgjidhjen grafike të sistemit të dy ekuacionet lineare, specifikat e tërësisë së grafikëve të tyre. Më pas, ne zgjidhim disa sisteme duke përdorur një metodë grafike.
Tema: Sistemet e ekuacioneve
Mësimi: Metoda grafike për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh
Konsideroni sistemin
Një çift numrash që njëkohësisht është zgjidhje për të dy ekuacionet e para dhe të dyta të sistemit quhet zgjidhje e sistemit të ekuacioneve.
Të zgjidhësh një sistem ekuacionesh do të thotë të gjesh të gjitha zgjidhjet e tij, ose të vërtetosh se nuk ka zgjidhje. Kemi shqyrtuar grafikët e ekuacioneve bazë, le të kalojmë në shqyrtimin e sistemeve.
Shembulli 1. Zgjidheni sistemin 
Zgjidhja:
Këto janë ekuacione lineare, grafiku i secilit prej tyre është një vijë e drejtë. Grafiku i ekuacionit të parë kalon nëpër pikat (0; 1) dhe (-1; 0). Grafiku i ekuacionit të dytë kalon nëpër pikat (0; -1) dhe (-1; 0). Linjat kryqëzohen në pikën (-1; 0), kjo është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve ( Oriz. 1).
Zgjidhja e sistemit është një çift numrash.Duke zëvendësuar këtë çift numrash në secilin ekuacion, fitojmë barazinë e saktë.
Ne kemi vetëm vendim sistemi linear.
Kujtoni që kur zgjidhni një sistem linear, rastet e mëposhtme janë të mundshme:
sistemi ka një zgjidhje unike - linjat kryqëzohen,
sistemi nuk ka zgjidhje - linjat janë paralele,
sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh - linjat përkojnë.
Kemi shqyrtuar një rast të veçantë të sistemit, kur p(x; y) dhe q(x; y) janë shprehje lineare të x dhe y.
Shembulli 2. Zgjidh një sistem ekuacionesh 
Zgjidhja:
Grafiku i ekuacionit të parë është një vijë e drejtë, grafiku i ekuacionit të dytë është një rreth. Le të ndërtojmë grafikun e parë sipas pikave (Fig. 2).
Qendra e rrethit është në pikën O(0; 0), rrezja është 1.
Grafikët kryqëzohen në pikën A(0; 1) dhe pikën B(-1; 0).
Shembulli 3. Zgjidheni sistemin grafikisht
Zgjidhje: Le të ndërtojmë një grafik të ekuacionit të parë - ky është një rreth me qendër në pikën O (0; 0) dhe një rreze prej 2. Grafiku i ekuacionit të dytë është një parabolë. Zhvendoset në lidhje me origjinën me 2 lart, d.m.th. maja e saj është pika (0; 2) (Fig. 3).
Grafikët kanë një pikë të përbashkët - t.A (0; 2). Është zgjidhja e sistemit. Zëvendësoni disa numra në ekuacion për të kontrolluar korrektësinë.
Shembulli 4. Zgjidheni sistemin
Zgjidhje: Le të ndërtojmë një grafik të ekuacionit të parë - ky është një rreth me qendër në pikën O (0; 0) dhe një rreze prej 1 (Fig. 4).
Le të ndërtojmë një grafik të funksionit Kjo është një vijë e thyer (Fig. 5).
Tani le ta lëvizim poshtë me 1 përgjatë boshtit oy. Ky do të jetë grafiku i funksionit
Le t'i vendosim të dy grafikët në të njëjtin sistem koordinativ (Fig. 6).
Marrim tre pika kryqëzimi - pika A (1; 0), pika B (-1; 0), pika C (0; -1).
Ne kemi shqyrtuar metodë grafike zgjidhje sistemesh. Nëse është e mundur të grafikoni çdo ekuacion dhe të gjeni koordinatat e pikave të kryqëzimit, atëherë kjo metodë është mjaft e mjaftueshme.
Por shpesh metoda grafike bën të mundur gjetjen e vetëm një zgjidhjeje të përafërt të sistemit ose përgjigjen në pyetjen për numrin e zgjidhjeve. Prandaj nevojiten metoda të tjera, më të sakta, me to do të merremi në mësimet e ardhshme.
1. Mordkovich A.G. dhe të tjera.Algjebra klasa e 9-të: Proc. Për arsimin e përgjithshëm Institucionet - Ed. 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 f.: ill.
2. Mordkovich A.G. et al. Algjebra Klasa 9: Libër detyrash për studentët e institucioneve arsimore / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - botimi i 4-të. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 f.: ill.
3. Yu. N. Makarychev, Algjebra. Klasa 9: tekst shkollor. për studentët e arsimit të përgjithshëm. institucionet / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - Botimi i 7-të, Rev. dhe shtesë - M .: Mnemosyne, 2008.
4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algjebër. Klasa 9 botimi i 16-të. - M., 2011. - 287 f.
5. Mordkovich A. G. Algjebra. Klasa 9 Në orën 14:00 Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve arsimore / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Botimi i 12-të, i fshirë. - M.: 2010. - 224 f.: i sëmurë.
6. Algjebra. Klasa 9 Në 2 orë Pjesa 2. Libër detyrash për studentët e institucioneve arsimore / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina dhe të tjerë; Ed. A. G. Mordkovich. - Botimi i 12-të, Rev. - M.: 2010.-223 f.: i sëmurë.
1. Seksioni College.ru për matematikën ().
2. Projekti në internet "Detyrat" ().
3. Portali arsimor"DO TË ZGJIDHJË PËRDORIMIN" ().
1. Mordkovich A.G. et al. Algjebra Klasa 9: Libër detyrash për studentët e institucioneve arsimore / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - botimi i 4-të. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 f.: ill. Nr. 105, 107, 114, 115.
Më e besueshme se metoda grafike e diskutuar në paragrafin e mëparshëm.
Metoda e Zëvendësimit
Këtë metodë e përdorëm në klasën e 7-të për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare. Algoritmi që u zhvillua në klasën e 7-të është mjaft i përshtatshëm për zgjidhjen e sistemeve të çdo dy ekuacionesh (jo domosdoshmërisht lineare) me dy ndryshore x dhe y (natyrisht, variablat mund të shënohen me shkronja të tjera, gjë që nuk ka rëndësi). Në fakt, ne e përdorëm këtë algoritëm në paragrafin e mëparshëm, kur problemi i një numri dyshifror çoi në një model matematikor, i cili është një sistem ekuacionesh. Ne e zgjidhëm këtë sistem ekuacionesh më sipër me metodën e zëvendësimit (shih shembullin 1 nga § 4).
Algoritmi për përdorimin e metodës së zëvendësimit gjatë zgjidhjes së një sistemi me dy ekuacione me dy ndryshore x, y.
1. Shprehni y në terma x nga një ekuacion i sistemit.
2. Zëvendësoni shprehjen që rezulton në vend të y në një ekuacion tjetër të sistemit.
3. Zgjidheni ekuacionin që rezulton për x.
4. Zëvendësoni me radhë secilën prej rrënjëve të ekuacionit të gjetur në hapin e tretë në vend të x në shprehjen y përmes x të marrë në hapin e parë.
5. Shkruani përgjigjen në formën e çifteve të vlerave (x; y), të cilat u gjetën, përkatësisht, në hapin e tretë dhe të katërt.
4) Zëvendësoni me radhë secilën nga vlerat e gjetura të y në formulën x \u003d 5 - Zy. Nese atehere 
5) Çiftet (2; 1) dhe zgjidhjet e një sistemi të caktuar ekuacionesh.
Përgjigje: (2; 1);
Metoda e mbledhjes algjebrike
Kjo metodë, si metoda e zëvendësimit, është e njohur për ju nga kursi i algjebrës së klasës së 7-të, ku u përdor për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Ne kujtojmë thelbin e metodës në shembullin e mëposhtëm.
Shembulli 2 Zgjidh një sistem ekuacionesh
Ne i shumëzojmë të gjitha termat e ekuacionit të parë të sistemit me 3 dhe e lëmë ekuacionin e dytë të pandryshuar: 
Zbrisni ekuacionin e dytë të sistemit nga ekuacioni i parë i tij:
Si rezultat i mbledhjes algjebrike të dy ekuacioneve të sistemit origjinal, u mor një ekuacion që është më i thjeshtë se ekuacioni i parë dhe i dytë i sistemit të caktuar. Me këtë ekuacion më të thjeshtë, ne kemi të drejtë të zëvendësojmë çdo ekuacion të një sistemi të caktuar, për shembull, të dytin. Atëherë sistemi i dhënë i ekuacioneve do të zëvendësohet nga një sistem më i thjeshtë:
Ky sistem mund të zgjidhet me metodën e zëvendësimit. Nga ekuacioni i dytë gjejmë Duke zëvendësuar këtë shprehje në vend të y në ekuacionin e parë të sistemit, marrim
Mbetet për të zëvendësuar vlerat e gjetura të x në formulë
Nëse x = 2 atëherë
Kështu, ne kemi gjetur dy zgjidhje për sistemin: 
Metoda për futjen e variablave të rinj
Ju jeni njohur me metodën e prezantimit të një ndryshoreje të re gjatë zgjidhjes së ekuacioneve racionale me një ndryshore në lëndën e algjebrës së klasës së 8-të. Thelbi i kësaj metode për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve është i njëjtë, por nga pikëpamja teknike ka disa veçori që do t'i diskutojmë në shembujt e mëposhtëm.
Shembulli 3 Zgjidh një sistem ekuacionesh
Le të prezantojmë një ndryshore të re Pastaj ekuacioni i parë i sistemit mund të rishkruhet në më shumë forme e thjeshte: Le të zgjidhim këtë ekuacion për ndryshoren t:
Të dyja këto vlera plotësojnë kushtin, prandaj janë rrënjë ekuacioni racional me ndryshore t. Por kjo do të thotë ose nga ku gjejmë se x = 2y, ose
Kështu, duke përdorur metodën e futjes së një ndryshoreje të re, arritëm, si të thuash, të "shtresojmë" ekuacionin e parë të sistemit, i cili është mjaft kompleks në dukje, në dy ekuacione më të thjeshta:
x = 2 y; y - 2x.
Ç'pritet më tej? Dhe pastaj secili nga të dy mori ekuacione të thjeshtaështë e nevojshme të merret parasysh nga ana tjetër në sistem me ekuacionin x 2 - y 2 \u003d 3, të cilin ende nuk e kemi kujtuar. Me fjalë të tjera, problemi reduktohet në zgjidhjen e dy sistemeve të ekuacioneve:
Është e nevojshme të gjenden zgjidhje për sistemin e parë, sistemin e dytë dhe të përfshihen të gjitha çiftet e vlerave që rezultojnë në përgjigje. Le të zgjidhim sistemin e parë të ekuacioneve:
Le të përdorim metodën e zëvendësimit, veçanërisht pasi këtu gjithçka është gati për të: ne e zëvendësojmë shprehjen 2y në vend të x në ekuacionin e dytë të sistemit. Marr
Meqenëse x \u003d 2y, gjejmë përkatësisht x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Kështu, për sistemin e dhënë fitohen dy zgjidhje: (2; 1) dhe (-2; -1). Le të zgjidhim sistemin e dytë të ekuacioneve:
Le të përdorim përsëri metodën e zëvendësimit: në ekuacionin e dytë të sistemit zëvendësojmë shprehjen 2x në vend të y. Marr
Ky ekuacion nuk ka rrënjë, që do të thotë se sistemi i ekuacioneve nuk ka zgjidhje. Kështu, vetëm zgjidhjet e sistemit të parë duhet të përfshihen në përgjigje.
Përgjigje: (2; 1); (-2;-1).
Metoda e futjes së ndryshoreve të reja në zgjidhjen e sistemeve të dy ekuacioneve me dy variabla përdoret në dy versione. Opsioni i parë: një ndryshore e re futet dhe përdoret vetëm në një ekuacion të sistemit. Kjo është pikërisht ajo që ndodhi në shembullin 3. Opsioni i dytë: dy ndryshore të reja futen dhe përdoren njëkohësisht në të dy ekuacionet e sistemit. Ky do të jetë rasti në shembullin 4.
Shembulli 4 Zgjidh një sistem ekuacionesh
Le të prezantojmë dy variabla të rinj:
Ne e mësojmë atë atëherë
Kjo do të na lejojë të rishkruajmë sistemin e dhënë në një formë shumë më të thjeshtë, por në lidhje me variablat e rinj a dhe b:
Meqenëse a \u003d 1, atëherë nga ekuacioni a + 6 \u003d 2 gjejmë: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Kështu, për variablat a dhe b, kemi marrë një zgjidhje:
Duke u kthyer te ndryshoret x dhe y, marrim sistemin e ekuacioneve
Për të zgjidhur këtë sistem, ne aplikojmë metodën shtimi algjebrik:
Që atëherë nga ekuacioni 2x + y = 3 gjejmë:
Kështu, për variablat x dhe y, kemi marrë një zgjidhje:
Le ta mbyllim këtë pjesë me një diskutim të shkurtër por mjaft serioz teorik. A keni fituar tashmë një përvojë në zgjidhje ekuacione të ndryshme: linear, katror, racional, irracional. Ju e dini që ideja kryesore e zgjidhjes së një ekuacioni është kalimi gradualisht nga një ekuacion në tjetrin, më i thjeshtë por i barabartë me atë të dhënë. Në pjesën e mëparshme, ne prezantuam nocionin e ekuivalencës për ekuacionet me dy ndryshore. Ky koncept përdoret gjithashtu për sistemet e ekuacioneve.
Përkufizimi.
Dy sisteme ekuacionesh me ndryshore x dhe y quhen ekuivalente nëse kanë zgjidhje të njëjta ose nëse të dy sistemet nuk kanë zgjidhje.
Të tre metodat (zëvendësimi, mbledhja algjebrike dhe futja e ndryshoreve të reja) që kemi diskutuar në këtë pjesë janë absolutisht të sakta nga pikëpamja e ekuivalencës. Me fjalë të tjera, duke përdorur këto metoda, ne zëvendësojmë një sistem ekuacionesh me një tjetër, më të thjeshtë, por ekuivalent me sistemin origjinal.
Metoda grafike për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve
Ne kemi mësuar tashmë se si të zgjidhim sistemet e ekuacioneve në mënyra të tilla të zakonshme dhe të besueshme si metoda e zëvendësimit, shtimi algjebrik dhe futja e ndryshoreve të reja. Dhe tani le të kujtojmë metodën që keni studiuar tashmë në mësimin e mëparshëm. Kjo do të thotë, le të përsërisim atë që dini për metodën e zgjidhjes grafike.
Metoda e zgjidhjes grafike të sistemeve të ekuacioneve është ndërtimi i një grafiku për secilin nga ekuacionet specifike që përfshihen në këtë sistem dhe janë në të njëjtin plan koordinativ, si dhe ku kërkohet gjetja e kryqëzimit të pikave të këtyre grafikëve. . Për të zgjidhur këtë sistem ekuacionesh janë koordinatat e kësaj pike (x; y).
Duhet mbajtur mend se për sistemi grafik ekuacionet priren të kenë ose një zgjidhje të vetme të saktë, ose një numër të pafund zgjidhjesh, ose nuk kanë fare zgjidhje.
Tani le të hedhim një vështrim më të afërt në secilën prej këtyre zgjidhjeve. Dhe kështu, sistemi i ekuacioneve mund të ketë një zgjidhje unike nëse linjat, të cilat janë grafikët e ekuacioneve të sistemit, kryqëzohen. Nëse këto drejtëza janë paralele, atëherë një sistem i tillë ekuacionesh nuk ka absolutisht zgjidhje. Në rastin e koincidencës së grafikëve të drejtpërdrejtë të ekuacioneve të sistemit, atëherë një sistem i tillë ju lejon të gjeni shumë zgjidhje.
Epo, tani le të hedhim një vështrim në algoritmin për zgjidhjen e një sistemi prej dy ekuacionesh me 2 të panjohura duke përdorur një metodë grafike:
Së pari, në fillim ndërtojmë një grafik të ekuacionit të 1-rë;
Hapi i dytë do të jetë vizatimi i një grafiku që lidhet me ekuacionin e dytë;
Së treti, ne duhet të gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve.
Dhe si rezultat, marrim koordinatat e secilës pikë kryqëzimi, e cila do të jetë zgjidhja e sistemit të ekuacioneve.
Le ta shohim këtë metodë në më shumë detaje me një shembull. Na jepet një sistem ekuacionesh për t'u zgjidhur:
Zgjidhja e ekuacioneve
1. Së pari, do të ndërtojmë një grafik të këtij ekuacioni: x2+y2=9.
Por duhet theksuar se ky grafik ekuacionesh do të jetë një rreth me qendër në origjinë, dhe rrezja e tij do të jetë e barabartë me tre.
2. Hapi ynë i ardhshëm do të jetë të vizatojmë një ekuacion të tillë si: y = x - 3.
Në këtë rast, duhet të ndërtojmë një vijë dhe të gjejmë pikat (0;−3) dhe (3;0).
3. Le të shohim se çfarë kemi marrë. Shohim që drejtëza e pret rrethin në dy nga pikat e saj A dhe B.
Tani po kërkojmë koordinatat e këtyre pikave. Shohim që koordinatat (3;0) i korrespondojnë pikës A, dhe koordinatat (0;−3) korrespondojnë me pikën B.
Dhe çfarë marrim si rezultat?
Numrat (3;0) dhe (0;−3) të fituar në kryqëzimin e një drejtëze me një rreth janë pikërisht zgjidhjet e të dy ekuacioneve të sistemit. Dhe nga kjo del se edhe këta numra janë zgjidhje të këtij sistemi ekuacionesh.
Domethënë, përgjigja e kësaj zgjidhjeje janë numrat: (3;0) dhe (0;−3).
Video tutorial « Mënyra grafike zgjidhjet e sistemeve të ekuacioneve” paraqet material edukativ për të eksploruar këtë temë. Materiali përmban koncept i përgjithshëm për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh, si dhe një shpjegim të detajuar duke përdorur një shembull se si zgjidhet grafikisht një sistem ekuacionesh.
Ndihma vizuale përdor animacion për ekzekutim më të përshtatshëm dhe të kuptueshëm të konstruksioneve, si dhe menyra te ndryshme alokimi koncepte të rëndësishme dhe detaje për një kuptim të thellë të materialit, memorizimin më të mirë të tij.
Video tutoriali fillon duke prezantuar temën. Nxënësve u kujtohet se çfarë është një sistem ekuacionesh dhe me cilat sisteme ekuacionesh duhej të njiheshin tashmë në klasën e 7-të. Më parë, nxënësit duhej të zgjidhnin sisteme ekuacionesh të formës ax+by=c. Duke thelluar konceptin e zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve dhe për të formuar aftësinë për t'i zgjidhur ato, ky video tutorial diskuton zgjidhjen e një sistemi të përbërë nga dy ekuacione të shkallës së dytë, si dhe një ekuacion të shkallës së dytë dhe të dytë. - të shkallës së parë. Ju kujton se çfarë është zgjidhja e një sistemi ekuacionesh. Përkufizimi i zgjidhjes së sistemit si një palë vlerash të variablave që përmbysin ekuacionet e tij kur zëvendësohen në barazinë e saktë shfaqet në ekran. Në përputhje me përcaktimin e zgjidhjes së sistemit, specifikohet detyra. Shfaqet në ekran për të kujtuar se të zgjidhësh sistemin - do të thotë të gjesh zgjidhje të përshtatshme ose vërtetojnë mungesën e tyre.
Propozohet të zotërohet metoda grafike e zgjidhjes së një sistemi të caktuar ekuacionesh. Aplikacion këtë metodë konsiderohet në shembullin e zgjidhjes së një sistemi të përbërë nga ekuacionet x 2 + y 2 \u003d 16 dhe y \u003d - x 2 + 2x + 4. Zgjidhja grafike e sistemit fillon me vizatimin e secilit prej këtyre ekuacioneve. Natyrisht, grafiku i ekuacionit x 2 + y 2 \u003d 16 do të jetë një rreth. Pikat që i përkasin këtij rrethi janë zgjidhja e ekuacionit. Pranë ekuacionit, një rreth me rreze 4 është ndërtuar në planin koordinativ me qendër O në origjinë. Grafiku i ekuacionit të dytë është një parabolë, degët e së cilës janë ulur poshtë. Kjo parabolë është ndërtuar në rrafshin koordinativ, që i përgjigjet grafikut të ekuacionit. Çdo pikë që i përket parabolës është një zgjidhje e ekuacionit y \u003d -x 2 + 2x + 4. Shpjegohet se zgjidhja e një sistemi ekuacionesh janë pikat në grafikët që i përkasin njëkohësisht grafikëve të të dy ekuacioneve. Kjo do të thotë se pikat e kryqëzimit të grafikëve të ndërtuar do të jenë zgjidhje për sistemin e ekuacioneve.
Vihet re se metoda grafike konsiston në gjetjen e vlerës së përafërt të koordinatave të pikave të vendosura në kryqëzimin e dy grafikëve, të cilët pasqyrojnë grupin e zgjidhjeve për çdo ekuacion të sistemit. Figura shënon koordinatat e pikave të kryqëzimit të gjetura të dy grafikëve: A, B, C, D[-2;-3.5]. Këto pika janë zgjidhje të sistemit të ekuacioneve të gjetura grafikisht. Ju mund të kontrolloni korrektësinë e tyre duke i zëvendësuar ato në ekuacion dhe duke marrë një barazi të drejtë. Pas zëvendësimit të pikave në ekuacion, mund të shihet se disa nga pikat japin vlerën e saktë të zgjidhjes, dhe disa paraqesin vlerën e përafërt të zgjidhjes me ekuacionin: x 1 =0, y 1 =4; x 2 \u003d 2, y 2 ≈3,5; x 3 ≈3,5, y 3 \u003d -2; x 4 \u003d -2, y 4 ≈ -3,5.
Video tutorial shpjegon në detaje thelbin dhe zbatimin e metodës grafike për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh. Kjo bën të mundur përdorimin e tij si një video ndihmë në një mësim algjebër në shkollë kur studioni këtë temë. Gjithashtu, materiali do të jetë i dobishëm për vete studim nxënësve dhe mund të ndihmojë në shpjegimin e temës në mësimin në distancë.
Një mënyrë për të zgjidhur ekuacionet është një metodë grafike. Ai bazohet në vizatimin e funksioneve dhe përcaktimin e pikave të kryqëzimit të tyre. Shqyrtoni një mënyrë grafike për zgjidhjen e ekuacionit kuadratik a*x^2+b*x+c=0.
Mënyra e parë për të zgjidhur
Le ta transformojmë ekuacionin a*x^2+b*x+c=0 në formën a*x^2 =-b*x-c. Ndërtojmë grafikë të dy funksioneve y= a*x^2 (parabolë) dhe y=-b*x-c (drejtë). Në kërkim të pikave të kryqëzimit. Abshisat e pikave të kryqëzimit do të jenë zgjidhja e ekuacionit.
Le të tregojmë me një shembull: zgjidhni ekuacionin x^2-2*x-3=0.
Le ta transformojmë në x^2 =2*x+3. Ndërtojmë grafikët e funksioneve y= x^2 dhe y=2*x+3 në një sistem koordinativ.
Grafikët kryqëzohen në dy pika. Abshisat e tyre do të jenë rrënjët e ekuacionit tonë.
Zgjidhja e formulës
Për të qenë bindës, ne e kontrollojmë këtë zgjidhje në mënyrë analitike. Ne do të vendosim ekuacioni kuadratik sipas formulës:
D = 4-4*1*(-3) = 16.
X1= (2+4)/2*1 = 3.
X2 = (2-4)/2*1 = -1.
Do të thotë, zgjidhjet përputhen.
Metoda grafike e zgjidhjes së ekuacioneve gjithashtu ka të metën e saj, me ndihmën e saj nuk është gjithmonë e mundur të merret një zgjidhje e saktë e ekuacionit. Le të përpiqemi të zgjidhim ekuacionin x^2=3+x.
Le të ndërtojmë një parabolë y=x^2 dhe një drejtëz y=3+x në të njëjtin sistem koordinativ.
Përsëri mori një pamje të ngjashme. Një vijë dhe një parabolë kryqëzohen në dy pika. Por nuk mund të themi vlerat e sakta të abshisave të këtyre pikave, vetëm ato të përafërta: x≈-1.3 x≈2.3.
Nëse jemi të kënaqur me përgjigjet e një saktësie të tillë, atëherë mund ta përdorim këtë metodë, por kjo ndodh rrallë. Zakonisht nevojiten zgjidhje të sakta. Prandaj, metoda grafike përdoret rrallë, dhe kryesisht për të kontrolluar zgjidhjet ekzistuese.
Keni nevojë për ndihmë me studimet tuaja?
Tema e mëparshme: