Ndër të gjithë shumëllojshmërinë e pabarazive logaritmike, pabarazitë me një bazë të ndryshueshme studiohen veçmas. Ato zgjidhen duke përdorur një formulë të veçantë, e cila për disa arsye mësohet rrallë në shkollë:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
Në vend të kutisë së kontrollit "∨", mund të vendosni çdo shenjë pabarazie: pak a shumë. Gjëja kryesore është se në të dyja pabarazitë shenjat janë të njëjta.
Në këtë mënyrë shpëtojmë nga logaritmet dhe e reduktojmë problemin në një pabarazi racionale. Kjo e fundit është shumë më e lehtë për t'u zgjidhur, por kur hidhni logaritmet, mund të shfaqen rrënjë shtesë. Për t'i prerë, mjafton të gjesh zonën vlerat e pranueshme. Nëse e keni harruar ODZ-në e një logaritmi, unë rekomandoj fuqimisht ta përsërisni atë - shihni "Çfarë është një logaritëm".
Çdo gjë që lidhet me gamën e vlerave të pranueshme duhet të shkruhet dhe zgjidhet veçmas:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Këto katër pabarazi përbëjnë një sistem dhe duhet të plotësohen njëkohësisht. Kur gjendet diapazoni i vlerave të pranueshme, mbetet vetëm ta kryqëzoni atë me zgjidhjen pabarazia racionale- dhe përgjigja është gati.
Detyrë. Zgjidh pabarazinë:
Së pari, le të shkruajmë ODZ-në e logaritmit:
Dy pabarazitë e para plotësohen automatikisht, por e fundit do të duhet të fshihet. Meqenëse katrori i një numri është zero nëse dhe vetëm nëse vetë numri është zero, kemi:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Rezulton se ODZ e logaritmit janë të gjithë numrat përveç zeros: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Tani zgjidhim pabarazinë kryesore:
Ne bëjmë kalimin nga pabarazia logaritmike në atë racionale. Pabarazia origjinale ka një shenjë "më pak se", që do të thotë se pabarazia që rezulton duhet të ketë gjithashtu një shenjë "më pak se". Ne kemi:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.
Zerot e kësaj shprehjeje janë: x = 3; x = −3; x = 0. Për më tepër, x = 0 është një rrënjë e shumëzimit të dytë, që do të thotë se kur kaloni nëpër të, shenja e funksionit nuk ndryshon. Ne kemi:
Marrim x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ky grup përfshihet plotësisht në ODZ të logaritmit, që do të thotë se kjo është përgjigja.
Shndërrimi i pabarazive logaritmike
Shpesh pabarazia origjinale është e ndryshme nga ajo e mësipërme. Kjo mund të korrigjohet lehtësisht duke përdorur rregullat standarde për të punuar me logaritme - shih "Vetitë themelore të logaritmeve". Gjegjësisht:
- Çdo numër mund të paraqitet si një logaritëm me një bazë të caktuar;
- Shuma dhe diferenca e logaritmeve me baza të njëjta mund të zëvendësohen me një logaritëm.
Më vete, do të doja t'ju kujtoja për gamën e vlerave të pranueshme. Meqenëse mund të ketë disa logaritme në pabarazinë origjinale, kërkohet të gjendet VA e secilit prej tyre. Kështu, skema e përgjithshme Zgjidhjet e pabarazive logaritmike janë si më poshtë:
- Gjeni VA të çdo logaritmi të përfshirë në pabarazi;
- Zvogëloni pabarazinë në një standard duke përdorur formulat për mbledhjen dhe zbritjen e logaritmeve;
- Zgjidheni pabarazinë që rezulton duke përdorur skemën e dhënë më sipër.
Detyrë. Zgjidh pabarazinë:
Le të gjejmë domenin e përkufizimit (DO) të logaritmit të parë:
Ne zgjidhim duke përdorur metodën e intervalit. Gjetja e zerave të numëruesit:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Pastaj - zerot e emëruesit:
x − 1 = 0;
x = 1.
Ne shënojmë zero dhe shenja në shigjetën e koordinatave:
Marrim x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Logaritmi i dytë do të ketë të njëjtën VA. Nëse nuk e besoni, mund ta kontrolloni. Tani e transformojmë logaritmin e dytë në mënyrë që baza të jetë dy:
Siç mund ta shihni, treshe në bazë dhe përpara logaritmit janë zvogëluar. Ne morëm dy logaritme me të njëjtën bazë. Le t'i mbledhim ato:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Ne morëm pabarazinë logaritmike standarde. Ne heqim qafe logaritmet duke përdorur formulën. Meqenëse pabarazia origjinale përmban një shenjë "më pak se", shprehja racionale që rezulton duhet gjithashtu të jetë më e vogël se zero. Ne kemi:
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Ne morëm dy grupe:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Përgjigjja e kandidatit: x ∈ (−1; 3).
Mbetet të kryqëzojmë këto grupe - marrim përgjigjen e vërtetë:
Ne jemi të interesuar për kryqëzimin e grupeve, kështu që ne zgjedhim intervale që janë të hijezuara në të dy shigjetat. Marrim x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - të gjitha pikat janë shpuar.
Mendoni se ka ende kohë deri në Provimin e Bashkuar të Shtetit dhe do të keni kohë për t'u përgatitur? Ndoshta kjo është kështu. Por sido që të jetë, sa më herët që një student të fillojë përgatitjet, aq më me sukses i kalon provimet. Sot vendosëm t'i kushtojmë një artikull pabarazive logaritmike. Kjo është një nga detyrat, që do të thotë një mundësi për të marrë kredi shtesë.
A e dini tashmë se çfarë është logaritmi? Ne vërtet shpresojmë kështu. Por edhe nëse nuk keni një përgjigje për këtë pyetje, nuk është problem. Të kuptosh se çfarë është një logaritëm është shumë e thjeshtë.
Pse 4? Ju duhet të ngrini numrin 3 në këtë fuqi për të marrë 81. Pasi të kuptoni parimin, mund të vazhdoni me llogaritjet më komplekse.
Ju keni kaluar nëpër pabarazi disa vite më parë. Dhe që atëherë i keni hasur vazhdimisht në matematikë. Nëse keni probleme me zgjidhjen e pabarazive, shikoni seksionin përkatës.
Tani që jemi njohur me konceptet individualisht, le të kalojmë në shqyrtimin e tyre në përgjithësi.
Pabarazia më e thjeshtë logaritmike.
Pabarazitë logaritmike më të thjeshta nuk kufizohen në këtë shembull, ka edhe tre të tjera, vetëm me shenja të ndryshme. Pse është e nevojshme kjo? Për të kuptuar më mirë se si zgjidhen pabarazitë me logaritme. Tani le të japim një shembull më të zbatueshëm, ende mjaft të thjeshtë, ne do t'i lëmë pabarazitë logaritmike komplekse për më vonë.
Si ta zgjidhim këtë? Gjithçka fillon me ODZ. Vlen të dini më shumë për të nëse dëshironi të zgjidhni gjithmonë lehtësisht çdo pabarazi.
Çfarë është ODZ? ODZ për pabarazitë logaritmike
Shkurtesa qëndron për gamën e vlerave të pranueshme. Ky formulim del shpesh në detyrat për Provimin e Unifikuar të Shtetit. ODZ do të jetë i dobishëm për ju jo vetëm në rastin e pabarazive logaritmike.
Shikoni përsëri shembullin e mësipërm. Ne do ta konsiderojmë ODZ-në bazuar në të, në mënyrë që të kuptoni parimin, dhe zgjidhja e pabarazive logaritmike nuk ngre pyetje. Nga përkufizimi i një logaritmi del se 2x+4 duhet të jetë më i madh se zero. Në rastin tonë kjo do të thotë si vijon.
Ky numër, sipas definicionit, duhet të jetë pozitiv. Zgjidheni pabarazinë e paraqitur më sipër. Kjo mund të bëhet edhe gojarisht këtu është e qartë se X nuk mund të jetë më e vogël se 2. Zgjidhja e pabarazisë do të jetë përcaktimi i diapazonit të vlerave të pranueshme.
Tani le të kalojmë në zgjidhjen e pabarazisë më të thjeshtë logaritmike.
Ne i hedhim vetë logaritmet nga të dy anët e pabarazisë. Çfarë na mbetet si rezultat? Pabarazi e thjeshtë.
Nuk është e vështirë të zgjidhet. X duhet të jetë më i madh se -0.5. Tani kombinojmë dy vlerat e marra në një sistem. Kështu,
Ky do të jetë diapazoni i vlerave të pranueshme për pabarazinë logaritmike në shqyrtim.
Pse na duhet ODZ fare? Kjo është një mundësi për të hequr përgjigjet e pasakta dhe të pamundura. Nëse përgjigja nuk është brenda intervalit të vlerave të pranueshme, atëherë përgjigjja thjesht nuk ka kuptim. Kjo ia vlen të mbahet mend për një kohë të gjatë, pasi në Provimin e Unifikuar të Shtetit shpesh ekziston nevoja për të kërkuar ODZ, dhe kjo ka të bëjë jo vetëm me pabarazitë logaritmike.
Algoritmi për zgjidhjen e pabarazisë logaritmike
Zgjidhja përbëhet nga disa faza. Së pari, ju duhet të gjeni gamën e vlerave të pranueshme. Do të ketë dy kuptime në ODZ, ne e diskutuam këtë më lart. Tjetra, ju duhet të zgjidhni vetë pabarazinë. Metodat e zgjidhjes janë si më poshtë:
- metoda e zëvendësimit të shumëzuesit;
- dekompozim;
- metoda e racionalizimit.
Në varësi të situatës, ia vlen të përdorni një nga metodat e mësipërme. Le të kalojmë drejtpërdrejt te zgjidhja. Le të zbulojmë metodën më të njohur, e cila është e përshtatshme për zgjidhjen e detyrave të Provimit të Unifikuar të Shtetit në pothuajse të gjitha rastet. Më pas do të shikojmë metodën e dekompozimit. Mund të ndihmojë nëse hasni në një pabarazi veçanërisht të ndërlikuar. Pra, një algoritëm për zgjidhjen e pabarazisë logaritmike.
Shembuj zgjidhjesh :
Jo më kot morëm pikërisht këtë pabarazi! Kushtojini vëmendje bazës. Mbani mend: nëse është më i madh se një, shenja mbetet e njëjtë kur gjen diapazonin e vlerave të pranueshme; përndryshe, ju duhet të ndryshoni shenjën e pabarazisë.
Si rezultat, marrim pabarazinë:
Tani e sjellim anën e majtë në formën e një ekuacioni, e barabartë me zero. Në vend të shenjës "më pak se" vendosim "barabartë" dhe zgjidhim ekuacionin. Kështu, ne do të gjejmë ODZ. Shpresojmë që me një zgjidhje për këtë ekuacion i thjeshtë nuk do keni asnje problem. Përgjigjet janë -4 dhe -2. Kjo nuk është e gjitha. Ju duhet t'i shfaqni këto pika në grafik, duke vendosur "+" dhe "-". Çfarë duhet bërë për këtë? Zëvendësoni numrat nga intervalet në shprehje. Aty ku vlerat janë pozitive, vendosim "+".
Përgjigju: x nuk mund të jetë më i madh se -4 dhe më i vogël se -2.
Ne kemi gjetur gamën e vlerave të pranueshme vetëm për anën e majtë, tani duhet të gjejmë gamën e vlerave të pranueshme për anën e djathtë. Kjo është shumë më e lehtë. Përgjigje: -2. Ne kryqëzojmë të dy zonat që rezultojnë.
Dhe vetëm tani po fillojmë të trajtojmë vetë pabarazinë.
Le ta thjeshtojmë sa më shumë që të jetë e mundur për ta bërë më të lehtë zgjidhjen.
Ne përsëri përdorim metodën e intervalit në zgjidhje. Le të anashkalojmë llogaritjet me të tashmë gjithçka është e qartë nga shembulli i mëparshëm. Përgjigju.
Por kjo metodë është e përshtatshme nëse pabarazia logaritmike ka të njëjtat baza.
Zgjidhje ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë me për arsye të ndryshme presupozon një reduktim fillestar në një bazë. Tjetra, përdorni metodën e përshkruar më sipër. Por ka më shumë rast i vështirë. Le të shqyrtojmë një nga më lloje komplekse pabarazitë logaritmike.
Mosbarazimet logaritmike me bazë të ndryshueshme
Si të zgjidhen pabarazitë me karakteristika të tilla? Po, dhe njerëz të tillë mund të gjenden në Provimin e Unifikuar të Shtetit. Zgjidhja e pabarazive në mënyrën e mëposhtme do të ketë gjithashtu një efekt të dobishëm në procesin tuaj arsimor. Le ta kuptojmë çështjen hollësisht. Le të hedhim poshtë teorinë dhe të shkojmë direkt në praktikë. Për të zgjidhur pabarazitë logaritmike, mjafton të njiheni me shembullin një herë.
Për të zgjidhur një pabarazi logaritmike të formës së paraqitur, është e nevojshme të reduktohet ana e djathtë në një logaritëm me të njëjtën bazë. Parimi i ngjan tranzicioneve ekuivalente. Si rezultat, pabarazia do të duket kështu.
Në fakt, gjithçka që mbetet është të krijohet një sistem pabarazish pa logaritme. Duke përdorur metodën e racionalizimit, kalojmë në një sistem ekuivalent pabarazish. Do ta kuptoni vetë rregullin kur të zëvendësoni vlerat e duhura dhe të gjurmoni ndryshimet e tyre. Sistemi do të ketë pabarazitë e mëposhtme.
Kur përdorni metodën e racionalizimit kur zgjidhni pabarazitë, duhet të mbani mend sa vijon: një duhet të zbritet nga baza, x, sipas përcaktimit të logaritmit, zbritet nga të dy anët e pabarazisë (djathtas nga e majta), dy shprehje shumëzohen dhe vendoset nën shenjën origjinale në lidhje me zero.
Zgjidhja e mëtejshme kryhet duke përdorur metodën e intervalit, gjithçka është e thjeshtë këtu. Është e rëndësishme që ju të kuptoni ndryshimet në metodat e zgjidhjes, atëherë gjithçka do të fillojë të funksionojë lehtësisht.
NË pabarazitë logaritmike shumë nuanca. Më të thjeshtat prej tyre janë mjaft të lehta për t'u zgjidhur. Si mund ta zgjidhni secilën prej tyre pa probleme? Ju tashmë i keni marrë të gjitha përgjigjet në këtë artikull. Tani keni një praktikë të gjatë përpara jush. Praktikoni vazhdimisht zgjidhjen e një sërë problemesh në provim dhe do të mund të merrni rezultatin më të lartë. Ju uroj fat në detyrën tuaj të vështirë!
Shpesh, kur zgjidhen pabarazitë logaritmike, ka probleme me një bazë logaritme të ndryshueshme. Kështu, një pabarazi e formës
është një pabarazi standarde shkollore. Si rregull, për ta zgjidhur atë, përdoret një kalim në një grup ekuivalent sistemesh:
Disavantazhi këtë metodëështë nevoja për të zgjidhur shtatë pabarazi, pa llogaritur dy sisteme dhe një agregat. Tashmë me këto funksione kuadratike, zgjidhja e popullatës mund të marrë shumë kohë.
Është e mundur të propozohet një mënyrë alternative, më pak kohë për të zgjidhur këtë pabarazi standarde. Për ta bërë këtë, marrim parasysh teoremën e mëposhtme.
Teorema 1. Le të ketë një funksion në rritje të vazhdueshme në një bashkësi X. Atëherë në këtë bashkësi shenja e rritjes së funksionit do të përkojë me shenjën e rritjes së argumentit, d.m.th. , Ku 
.
Shënim: nëse një funksion në rënie të vazhdueshme në një grup X, atëherë .
Le të kthehemi te pabarazia. Le të kalojmë te logaritmi dhjetor (mund të kalojmë në cilindo me bazë konstante më të madhe se një).
Tani mund të përdorni teoremën, duke vënë re rritjen e funksioneve në numërues 
dhe në emërues. Pra është e vërtetë
Si rezultat, numri i llogaritjeve që çojnë në përgjigje zvogëlohet përafërsisht përgjysmë, gjë që kursen jo vetëm kohë, por gjithashtu ju lejon të bëni më pak gabime aritmetike dhe të pakujdesshme.
Shembulli 1.
Duke krahasuar me (1) gjejmë 
, 
, .
Duke kaluar te (2) do të kemi:
Shembulli 2.
Duke krahasuar me (1) gjejmë , , .
Duke kaluar te (2) do të kemi:
Shembulli 3.
Meqenëse ana e majtë e pabarazisë është një funksion në rritje si dhe 
, atëherë përgjigja do të jetë shumë.
Shembujt e shumtë në të cilët mund të zbatohet Tema 1 mund të zgjerohen lehtësisht duke marrë parasysh Temën 2.
Lëreni në set X përcaktohen funksionet , , , dhe në këtë bashkësi shenjat dhe përkojnë, d.m.th. , atëherë do të jetë e drejtë.
Shembulli 4.
Shembulli 5.
Me qasjen standarde, shembulli zgjidhet sipas skemës së mëposhtme: produkti është më i vogël se zero kur faktorët janë të shenjave të ndryshme. ato. merret parasysh një grup prej dy sistemesh pabarazish, në të cilat, siç tregohet në fillim, çdo pabarazi ndahet në shtatë të tjera.
Nëse marrim parasysh teoremën 2, atëherë secili nga faktorët, duke marrë parasysh (2), mund të zëvendësohet me një funksion tjetër që ka të njëjtën shenjë në këtë shembull O.D.Z.
Metoda e zëvendësimit të rritjes së një funksioni me një rritje të argumentit, duke marrë parasysh teoremën 2, rezulton të jetë shumë e përshtatshme kur zgjidhen problemet standarde të Provimit të Unifikuar të Shtetit C3.
Shembulli 6.
Shembulli 7.
. Le të shënojmë. marrim
. Vini re se zëvendësimi nënkupton: . Duke u kthyer në ekuacion, marrim
.
Shembulli 8.
Në teoremat që përdorim nuk ka kufizime për klasat e funksioneve. Në këtë artikull, si shembull, teoremat u aplikuan për zgjidhjen e pabarazive logaritmike. Disa shembuj në vijim do të demonstrojnë premtimin e metodës për zgjidhjen e llojeve të tjera të pabarazive.