Pirámide. Pirámide truncada
Pirámide se llama poliedro, una de cuyas caras es un polígono ( base ), y todas las demás caras son triángulos con un vértice común ( caras laterales ) (Figura 15). La piramide se llama correcto , si su base es un polígono regular y la parte superior de la pirámide se proyecta en el centro de la base (Fig. 16). Una pirámide triangular en la que todas las aristas son iguales se llama tetraedro .
costilla lateral se llama piramide al lado de la cara lateral que no pertenece a la base Altura pirámide es la distancia desde su parte superior hasta el plano de la base. Todo costillas laterales pirámide correcta son iguales entre sí, todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. La altura de la cara lateral de una pirámide regular trazada desde el vértice se llama apotema . sección diagonal Se llama sección de una pirámide a un plano que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara.
Superficie lateral Se llama pirámide a la suma de las áreas de todas las caras laterales. superficie completa es la suma de las áreas de todas las caras laterales y la base.
teoremas
1. Si en una pirámide todos los bordes laterales están igualmente inclinados con respecto al plano de la base, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito cerca de la base.
2. Si en la pirámide todos los bordes laterales tienen la misma longitud, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito cerca de la base.
3. Si en la pirámide todas las caras están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base.
Para calcular el volumen de una pirámide arbitraria, la fórmula es correcta:
donde V- volumen;
S principal- área de la base;
H es la altura de la pirámide.
Para una pirámide regular, las siguientes fórmulas son verdaderas:
donde pags- el perímetro de la base;
ha- apotema;
H- altura;
S lleno
lado S
S principal- área de la base;
V es el volumen de una pirámide regular.
pirámide truncada llamado la parte de la pirámide encerrada entre la base y el plano de corte paralelo a la base de la pirámide (Fig. 17). Pirámide truncada correcta Llamada parte de una pirámide regular, encerrada entre la base y un plano cortante paralelo a la base de la pirámide.
Cimientos pirámide truncada - polígonos similares. Caras laterales - trapezoide. Altura Se llama pirámide truncada a la distancia entre sus bases. Diagonal Una pirámide truncada es un segmento que conecta sus vértices que no se encuentran en la misma cara. sección diagonal Se llama plano a la sección de una pirámide truncada que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara.
Para una pirámide truncada, las fórmulas son válidas:
(4)
donde S 1 , S 2 - áreas de las bases superior e inferior;
S lleno es la superficie total;
lado S es el área de la superficie lateral;
H- altura;
V es el volumen de la pirámide truncada.
Para una pirámide truncada regular, la siguiente fórmula es verdadera:
donde pags 1 , pags 2 - perímetros de base;
ha- la apotema de una pirámide truncada regular.
Ejemplo 1 En una pirámide triangular regular, el ángulo diedro en la base es de 60º. Encuentre la tangente del ángulo de inclinación del borde lateral al plano de la base.
Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 18).
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La pirámide es regular, lo que significa que la base es un triángulo equilátero y todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. El ángulo diedro en la base es el ángulo de inclinación de la cara lateral de la pirámide con respecto al plano de la base. El ángulo lineal será el ángulo a entre dos perpendiculares: i.e. La parte superior de la pirámide se proyecta en el centro del triángulo (el centro del círculo circunscrito y el círculo inscrito en el triángulo A B C). El ángulo de inclinación de la nervadura lateral (por ejemplo SB) es el ángulo entre el propio borde y su proyección sobre el plano base. para costilla SB este ángulo será el ángulo SBD. Para encontrar la tangente necesitas saber los catetos ENTONCES Y transmisión exterior. Sea la longitud del segmento BD es 3 pero. punto SOBRE sección BD se divide en partes: y De encontramos ENTONCES: 
De encontramos: 
Responder:
Ejemplo 2 Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular truncada regular si las diagonales de sus bases son cm y cm y la altura es de 4 cm.
Solución. Para encontrar el volumen de una pirámide truncada, usamos la fórmula (4). Para encontrar las áreas de las bases, necesitas encontrar los lados de los cuadrados de la base, conociendo sus diagonales. Los lados de las bases miden 2 cm y 8 cm respectivamente, esto significa las áreas de las bases y Sustituyendo todos los datos en la fórmula, calculamos el volumen de la pirámide truncada:
Responder: 112 cm3.
Ejemplo 3 Halla el área de la cara lateral de una pirámide troncocónica triangular regular, cuyos lados de la base miden 10 cm y 4 cm, y la altura de la pirámide es de 2 cm.
Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 19).
La cara lateral de esta pirámide es un trapecio isósceles. Para calcular el área de un trapezoide, necesitas saber las bases y la altura. Las bases están dadas por condición, solo se desconoce la altura. Encuéntralo de donde PERO 1 mi perpendicular desde un punto PERO 1 en el plano de la base inferior, A 1 D- perpendicular desde PERO 1 en C.A.. PERO 1 mi\u003d 2 cm, ya que esta es la altura de la pirámide. Para encontrar Delaware haremos un dibujo adicional, en el que representaremos una vista superior (Fig. 20). Punto SOBRE- proyección de los centros de las bases superior e inferior. ya que (ver Fig. 20) y Por otro lado OK es el radio de la circunferencia inscrita y 
OM es el radio de la circunferencia inscrita:
MK=ES.
De acuerdo con el teorema de Pitágoras de
Área de la cara lateral: 
Responder:
Ejemplo 4 En la base de la pirámide se encuentra un trapezoide isósceles, cuyas bases pero Y B (a> B). Cada cara lateral forma un ángulo igual al plano de la base de la pirámide. j. Encuentra el área total de la superficie de la pirámide.
Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 21). Superficie total de la pirámide SABCD es igual a la suma de las areas y el area del trapezoide A B C D.
Usemos el enunciado de que si todas las caras de la pirámide están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces el vértice se proyecta en el centro del círculo inscrito en la base. Punto SOBRE- proyección de vértice S en la base de la pirámide. Triángulo CÉSPED es la proyección ortogonal del triángulo CDS al plano base. Según el teorema sobre el área de la proyección ortogonal de una figura plana, obtenemos:
Del mismo modo, significa 
Así, el problema se redujo a encontrar el área del trapezoide A B C D. dibujar un trapezoide A B C D por separado (Fig. 22). Punto SOBRE es el centro de una circunferencia inscrita en un trapezoide.
Dado que un círculo se puede inscribir en un trapezoide, entonces o Por el teorema de Pitágoras tenemos
Aquí se recopila información básica sobre las pirámides y las fórmulas y conceptos relacionados. Todos ellos se estudian con un tutor en matemáticas como preparación para el examen.
Considere un plano, un polígono 
acostado en él y un punto S que no está acostado en él. Conecte S a todos los vértices del polígono. El poliedro resultante se llama pirámide. Los segmentos se llaman bordes laterales. El polígono se llama base y el punto S se llama vértice de la pirámide. Dependiendo del número n, la pirámide se llama triangular (n=3), cuadrangular (n=4), pentagonal (n=5) y así sucesivamente. Nombre alternativo para la pirámide triangular - tetraedro. La altura de una pirámide es la perpendicular trazada desde su vértice hasta el plano base. 
Una pirámide se dice correcta si un polígono regular, y la base de la altura de la pirámide (la base de la perpendicular) es su centro.
comentario del tutor:
No confunda el concepto de "pirámide regular" y "tetraedro regular". En una pirámide regular, las aristas laterales no son necesariamente iguales a las aristas de la base, pero en un tetraedro regular, las 6 aristas de las aristas son iguales. Esta es su definición. Es fácil probar que la igualdad implica que el centro P del polígono con una base de altura, por lo que un tetraedro regular es una pirámide regular.
¿Qué es un apotema?
La apotema de una pirámide es la altura de su cara lateral. Si la pirámide es regular, entonces todas sus apotemas son iguales. Lo opuesto no es verdad. 
Tutor de matemáticas sobre su terminología: el trabajo con pirámides se construye en un 80% a través de dos tipos de triángulos:
1) Conteniendo apotema SK y altura SP
2) Que contiene el borde lateral SA y su proyección PA 
Para simplificar las referencias a estos triángulos, es más conveniente que un tutor de matemáticas nombre el primero de ellos apotémico, y segundo costal. Desafortunadamente, no encontrará esta terminología en ninguno de los libros de texto, y el profesor tiene que introducirla unilateralmente.
Fórmula de volumen piramidal:
1) 
, donde es el área de la base de la pirámide, y es la altura de la pirámide
2), donde es el radio de la esfera inscrita, y es la superficie total de la pirámide.
3) 
, donde MN es la distancia de dos aristas que se cruzan, y es el área del paralelogramo formado por los puntos medios de las cuatro aristas restantes.
Propiedad base de la altura de la pirámide:
El punto P (ver figura) coincide con el centro de la circunferencia inscrita en la base de la pirámide si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
1) Todas las apotemas son iguales
2) Todas las caras laterales están igualmente inclinadas hacia la base
3) Todas las apotemas están igualmente inclinadas a la altura de la pirámide.
4) La altura de la pirámide está igualmente inclinada hacia todas las caras laterales.
comentario del tutor de matematicas: tenga en cuenta que todos los elementos están unidos por uno propiedad comun: de una forma u otra, las caras laterales participan en todas partes (las apotemas son sus elementos). Por lo tanto, el tutor puede ofrecer una formulación menos precisa, pero más conveniente para la memorización: el punto P coincide con el centro del círculo inscrito, la base de la pirámide, si hay alguna información igual sobre sus caras laterales. Para probarlo, basta mostrar que todos los triángulos apotémicos son iguales.
El punto P coincide con el centro del círculo circunscrito cerca de la base de la pirámide, si se cumple una de las tres condiciones:
1) Todos los bordes laterales son iguales
2) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas hacia la base
3) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas a la altura.
Definición. Cara lateral- este es un triángulo en el que un ángulo se encuentra en la parte superior de la pirámide, y el lado opuesto coincide con el lado de la base (polígono).
Definición. costillas laterales son los lados comunes de las caras laterales. Una pirámide tiene tantas aristas como esquinas tiene un polígono.
Definición. altura de la pirámide es una perpendicular caída desde la parte superior a la base de la pirámide.
Definición. Apotema- esta es la perpendicular de la cara lateral de la pirámide, bajada desde la parte superior de la pirámide hasta el lado de la base.
Definición. Sección diagonal- esta es una sección de la pirámide por un plano que pasa por la parte superior de la pirámide y la diagonal de la base.
Definición. Pirámide correcta- Esta es una pirámide en la que la base es un polígono regular, y la altura desciende hasta el centro de la base.
Volumen y superficie de la pirámide
Fórmula. volumen piramidal a través del área de la base y la altura:
propiedades de la pirámide
Si todos los bordes laterales son iguales, entonces se puede circunscribir un círculo alrededor de la base de la pirámide y el centro de la base coincide con el centro del círculo. Además, la perpendicular caída desde la parte superior pasa por el centro de la base (círculo).
Si todos los bordes laterales son iguales, entonces están inclinados al plano de la base debajo los mismos ángulos.
Las nervaduras laterales son iguales cuando forman ángulos iguales con el plano base, o si se puede describir un círculo alrededor de la base de la pirámide.
Si las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en un ángulo, entonces se puede inscribir un círculo en la base de la pirámide y la parte superior de la pirámide se proyecta en su centro.
Si las caras laterales están inclinadas con respecto al plano base en un ángulo, entonces las apotemas de las caras laterales son iguales.
Propiedades de una pirámide regular
1. La parte superior de la pirámide es equidistante de todas las esquinas de la base.
2. Todos los bordes laterales son iguales.
3. Todas las nervaduras laterales están inclinadas en los mismos ángulos con respecto a la base.
4. Las apotemas de todas las caras laterales son iguales.
5. Las áreas de todas las caras laterales son iguales.
6. Todas las caras tienen los mismos ángulos diedros (planos).
7. Se puede describir una esfera alrededor de la pirámide. El centro de la esfera descrita será el punto de intersección de las perpendiculares que pasan por el medio de las aristas.
8. Una esfera se puede inscribir en una pirámide. El centro de la esfera inscrita será el punto de intersección de las bisectrices que emanan del ángulo entre la arista y la base.
9. Si el centro de la esfera inscrita coincide con el centro de la esfera circunscrita, entonces la suma de los ángulos planos en el vértice es igual a π o viceversa, un ángulo es igual a π/n, donde n es el número de ángulos en la base de la pirámide.
La conexión de la pirámide con la esfera.
Se puede describir una esfera alrededor de la pirámide cuando en la base de la pirámide se encuentra un poliedro alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan perpendicularmente por los puntos medios de las aristas laterales de la pirámide.
Una esfera siempre se puede describir alrededor de cualquier pirámide triangular o regular.
Una esfera se puede inscribir en una pirámide si los planos bisectores de los ángulos diedros internos de la pirámide se cortan en un punto (condición necesaria y suficiente). Este punto será el centro de la esfera.
La conexión de la pirámide con el cono.
Un cono se dice inscrito en una pirámide si sus vértices coinciden y la base del cono está inscrita en la base de la pirámide.
Se puede inscribir un cono en una pirámide si las apotemas de la pirámide son iguales.
Se dice que un cono está circunscrito a una pirámide si sus vértices coinciden y la base del cono está circunscrita a la base de la pirámide.
Se puede describir un cono alrededor de una pirámide si todos los lados de la pirámide son iguales entre sí.
Conexión de una pirámide con un cilindro.
Se dice que una pirámide está inscrita en un cilindro si la parte superior de la pirámide se encuentra en una base del cilindro y la base de la pirámide está inscrita en otra base del cilindro.
Un cilindro se puede circunscribir alrededor de una pirámide si un círculo se puede circunscribir alrededor de la base de la pirámide.
Un tetraedro tiene cuatro caras y cuatro vértices y seis aristas, donde dos aristas cualesquiera no tienen vértices comunes pero no se tocan.
Cada vértice consta de tres caras y aristas que forman ángulo triédrico.
El segmento que une el vértice del tetraedro con el centro de la cara opuesta se llama mediana del tetraedro(GM).
bimediano Se llama segmento a un segmento que une los puntos medios de aristas opuestas que no se tocan (KL).
Todas las bimedianas y medianas de un tetraedro se cortan en un punto (S). En este caso, las bimedianas se dividen por la mitad, y las medianas en una proporción de 3:1 comenzando desde arriba.
Definición. Pirámide de ángulo agudo es una pirámide en la que la apotema mide más de la mitad de la longitud del lado de la base.
Definición. pirámide obtusa es una pirámide en la que la apotema mide menos de la mitad de la longitud del lado de la base.
Definición. tetraedro regular Un tetraedro cuyas cuatro caras son triángulos equiláteros. Es uno de los cinco polígonos regulares. En un tetraedro regular, todos los ángulos diédricos (entre caras) y triédricos (en un vértice) son iguales.
Definición. tetraedro rectangular Se llama tetraedro al que tiene un ángulo recto entre tres aristas en el vértice (las aristas son perpendiculares). Se forman tres caras ángulo triédrico rectangular y las caras son triángulos rectángulos, y la base es un triángulo arbitrario. La apotema de cualquier cara es igual a la mitad del lado de la base sobre la que cae la apotema.
Definición. tetraedro isoédrico Se llama tetraedro en el que las caras laterales son iguales entre sí, y la base es un triángulo regular. Las caras de tal tetraedro son triángulos isósceles.
Definición. tetraedro ortocéntrico se llama tetraedro en el que todas las alturas (perpendiculares) que se bajan desde la parte superior hasta la cara opuesta se cortan en un punto.
Definición. pirámide estrella Un poliedro cuya base es una estrella se llama.
Introducción
Cuando comenzamos a estudiar figuras estereométricas, tocamos el tema "Pirámide". Nos gustó este tema porque la pirámide se usa mucho en arquitectura. Y desde nuestro profesión en el futuro arquitecta, inspirada en esta figura, pensamos que ella podrá impulsarnos a grandes proyectos.
La solidez de las estructuras arquitectónicas, su cualidad más importante. Asociando la resistencia, en primer lugar, a los materiales de los que están hechos y, en segundo lugar, a las características soluciones constructivas, resulta que la fuerza de la estructura está directamente relacionada con la forma geométrica que es básica para ella.
En otras palabras, estamos hablando de la figura geométrica que puede ser considerada como modelo de la forma arquitectónica correspondiente. Resulta que forma geometrica también determina la resistencia de la estructura arquitectónica.
Las pirámides egipcias se han considerado durante mucho tiempo la estructura arquitectónica más duradera. Como sabes, tienen la forma de pirámides cuadrangulares regulares.
Es esta forma geométrica la que proporciona la mayor estabilidad debido a área grande jardines. Por otro lado, la forma de la pirámide hace que la masa disminuya a medida que aumenta la altura sobre el suelo. Son estas dos propiedades las que hacen que la pirámide sea estable y, por lo tanto, fuerte en las condiciones de gravedad.
Objetivo del proyecto: aprende algo nuevo sobre las pirámides, profundiza en el conocimiento y encuentra aplicaciones prácticas.
Para lograr este objetivo, fue necesario resolver las siguientes tareas:
Aprende información histórica sobre la pirámide.
Considere la pirámide figura geometrica
Encuentra aplicación en la vida y la arquitectura.
Encuentra similitudes y diferencias entre pirámides ubicadas en diferentes partes del mundo.
parte teórica
Información histórica
El comienzo de la geometría de la pirámide se estableció en el antiguo Egipto y Babilonia, pero se desarrolló activamente en Antigua Grecia. El primero en establecer a qué es igual el volumen de la pirámide fue Demócrito, y Eudoxo de Cnido lo demostró. Matemático griego antiguo Euclides sistematizó el conocimiento sobre la pirámide en el volumen XII de sus "Inicios", y también sacó la primera definición de la pirámide: una figura corpórea delimitada por planos que convergen de un plano en un punto.
Las tumbas de los faraones egipcios. La más grande de ellas: las pirámides de Keops, Khafre y Mikerin en El Giza en la antigüedad fueron consideradas una de las Siete Maravillas del Mundo. La erección de la pirámide, en la que griegos y romanos ya veían un monumento al orgullo y la crueldad sin precedentes de los reyes, que condenó a todo el pueblo de Egipto a una construcción sin sentido, fue el acto de culto más importante y se suponía que expresaba, aparentemente, la identidad mística del país y su gobernante. La población del país trabajaba en la construcción de la tumba en la parte del año libre de trabajo agrícola. Varios textos dan testimonio de la atención y el cuidado que los mismos reyes (aunque de una época posterior) pusieron en la construcción de su tumba y sus constructores. También se sabe sobre los honores de culto especiales que resultaron ser la pirámide misma.
Conceptos básicos
Pirámide Se llama poliedro, cuya base es un polígono, y las caras restantes son triángulos que tienen un vértice común.
Apotema- la altura de la cara lateral de una pirámide regular, dibujada desde su parte superior;
Caras laterales- triángulos convergentes en la parte superior;
costillas laterales- lados comunes de las caras laterales;
cima de la piramide- un punto que conecta los bordes laterales y que no se encuentra en el plano de la base;
Altura- un segmento de una perpendicular trazada desde la parte superior de la pirámide hasta el plano de su base (los extremos de este segmento son la parte superior de la pirámide y la base de la perpendicular);
Sección diagonal de una pirámide- sección de la pirámide que pasa por la parte superior y la diagonal de la base;
Base- un polígono que no pertenece a la parte superior de la pirámide.
Las principales propiedades de la pirámide correcta.
Las aristas laterales, las caras laterales y las apotemas son iguales, respectivamente.
Los ángulos diedros en la base son iguales.
Los ángulos diedros en los bordes laterales son iguales.
Cada punto de altura es equidistante de todos los vértices de la base.
Cada punto de altura es equidistante de todas las caras laterales.
Fórmulas piramidales básicas
El área de la superficie lateral y completa de la pirámide.
El área de la superficie lateral de la pirámide (completa y truncada) es la suma de las áreas de todas sus caras laterales, el área de la superficie total es la suma de las áreas de todas sus caras.
Teorema: El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base y la apotema de la pirámide.
pags- perímetro de la base;
h- apotema.
El área de las superficies laterales y completas de una pirámide truncada.
p1, pags 2 - perímetros de base;
h- apotema.
R- área de superficie total de una pirámide truncada regular;
lado S- área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular;
S1 + S2- área de la base
Volumen de la pirámide
Formulario La escala de volumen se utiliza para pirámides de cualquier tipo.
H es la altura de la pirámide.
ángulos de la pirámide
Los ángulos que forman la cara lateral y la base de la pirámide se llaman ángulos diédricos en la base de la pirámide.
Un ángulo diedro está formado por dos perpendiculares.
Para determinar este ángulo, a menudo necesitas usar el teorema de las tres perpendiculares.
Los ángulos que forman una arista lateral y su proyección sobre el plano de la base se denominan ángulos entre el borde lateral y el plano de la base.
El ángulo formado por dos caras laterales se llama ángulo diedro en el borde lateral de la pirámide.
El ángulo formado por dos aristas laterales de una cara de la pirámide se llama esquina en la parte superior de la pirámide.
Secciones de la pirámide
La superficie de una pirámide es la superficie de un poliedro. Cada una de sus caras es un plano, por lo que la sección de la pirámide dada por el plano secante es una línea quebrada que consiste en líneas rectas separadas.
Sección diagonal
La sección de una pirámide por un plano que pasa por dos aristas laterales que no están en la misma cara se llama sección diagonal pirámides.
Secciones paralelas
Teorema:
Si la pirámide es atravesada por un plano paralelo a la base, entonces los bordes laterales y las alturas de la pirámide se dividen por este plano en partes proporcionales;
La sección de este plano es un polígono similar a la base;
Las áreas de la sección y la base están relacionadas entre sí como los cuadrados de sus distancias desde la parte superior.
Tipos de pirámide
Pirámide correcta- una pirámide, cuya base es un polígono regular, y la parte superior de la pirámide se proyecta en el centro de la base.
En la pirámide correcta:
1. las costillas laterales son iguales
2. caras laterales son iguales
3. las apotemas son iguales
4. los ángulos diedros en la base son iguales
5. los ángulos diedros en los bordes laterales son iguales
6. cada punto de altura es equidistante de todos los vértices de la base
7. cada punto de altura es equidistante de todas las caras laterales
Pirámide truncada- la parte de la pirámide encerrada entre su base y un plano cortante paralelo a la base.
La base y la sección correspondiente de una pirámide truncada se llaman bases de una piramide truncada.
Una perpendicular trazada desde cualquier punto de una base al plano de otra se llama la altura de la pirámide truncada.
Tareas
n° 1 En una pirámide cuadrangular regular, el punto O es el centro de la base, SO=8 cm, BD=30 cm Encuentra la arista lateral SA.
resolución de problemas
n° 1 En una pirámide regular, todas las caras y aristas son iguales.
Consideremos OSB: OSB-rectángulo rectangular, porque.
SB 2 \u003d SO 2 + OB 2
SB2=64+225=289
Pirámide en arquitectura
Pirámide - una estructura monumental en forma de una pirámide geométrica regular ordinaria, en la que los lados convergen en un punto. Por propósito funcional Las pirámides en la antigüedad eran lugares de enterramiento o culto. La base de una pirámide puede ser triangular, cuadrangular o poligonal con un número arbitrario de vértices, pero la versión más común es la base cuadrangular.
Se conocen un número considerable de pirámides construidas por diferentes culturas. mundo antiguo principalmente como templos o monumentos. Las pirámides más grandes son las pirámides de Egipto.
Por toda la Tierra se pueden ver estructuras arquitectónicas en forma de pirámides. Los edificios de las pirámides recuerdan la antigüedad y se ven muy hermosos.
Pirámides de Egipto mayor monumentos arquitectonicos antiguo Egipto, entre las que una de las "Siete Maravillas del Mundo" es la pirámide de Keops. Desde el pie hasta la cima alcanza los 137,3 m, y antes de perder la cima su altura era de 146,7 m.
El edificio de la estación de radio en la capital de Eslovaquia, que se asemeja a una pirámide invertida, fue construido en 1983. Además de las oficinas y los locales de servicio, hay una sala de conciertos bastante espaciosa dentro del volumen, que tiene uno de los órganos más grandes de Eslovaquia. .
El Louvre, que "es tan silencioso y majestuoso como una pirámide", ha sufrido muchos cambios a lo largo de los siglos antes de convertirse en el museo más grande del mundo. Nació como fortaleza, erigida por Felipe Augusto en 1190, que pronto se convirtió en residencia real. En 1793 el palacio se convirtió en museo. Las colecciones se enriquecen mediante legados o compras.
Este video tutorial ayudará a los usuarios a tener una idea sobre el tema Pyramid. Pirámide correcta. En esta lección, nos familiarizaremos con el concepto de pirámide, le daremos una definición. Considere qué es una pirámide regular y qué propiedades tiene. Luego demostramos el teorema en la superficie lateral de una pirámide regular.
En esta lección, nos familiarizaremos con el concepto de pirámide, le daremos una definición.
Considere un polígono Un 1 Un 2...Un, que está en el plano α, y un punto PAGS, que no se encuentra en el plano α (Fig. 1). Conectemos el punto PAGS con picos Un 1, Un 2, Un 3, … Un. Obtener norte triangulos: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R etc
Definición. Poliedro RA 1 A 2 ... A n, compuestos de norte-gon Un 1 Un 2...Un Y norte triangulos RA 1 A 2, AR 2 A 3 …RA n A n-1 , llamado norte- Pirámide de carbón. Arroz. una.
Arroz. una
Considere una pirámide cuadrangular PABCD(Figura 2).
R- la parte superior de la pirámide.
A B C D- la base de la pirámide.
REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES- costilla lateral.
AB- borde base.
desde un punto R dejar caer la perpendicular enfermero en el plano de tierra A B C D. La perpendicular dibujada es la altura de la pirámide.
Arroz. 2
Superficie completa La pirámide consta de una superficie lateral, es decir, el área de todas las caras laterales, y el área de la base:
S completo \u003d S lateral + S principal
Una pirámide se dice correcta si:
- su base es un polígono regular;
- el segmento que conecta la parte superior de la pirámide con el centro de la base es su altura.
Explicación sobre el ejemplo de una pirámide cuadrangular regular
Considere una pirámide cuadrangular regular PABCD(Fig. 3).
R- la parte superior de la pirámide. base de la piramide A B C D- un cuadrilátero regular, es decir, un cuadrado. Punto SOBRE, el punto de intersección de las diagonales, es el centro del cuadrado. Medio, RO es la altura de la pirámide.
Arroz. 3
Explicación: en lo correcto norte-gon, el centro de la circunferencia inscrita y el centro de la circunferencia circunscrita coinciden. Este centro se llama el centro del polígono. A veces dicen que la parte superior se proyecta hacia el centro.
La altura de la cara lateral de una pirámide regular, dibujada desde su vértice, se llama apotema y denotado ha.
1. todas las aristas laterales de una pirámide regular son iguales;
2. las caras laterales son triángulos isósceles iguales.
Probemos estas propiedades usando el ejemplo de una pirámide cuadrangular regular.
Dado: RABCD- pirámide cuadrangular regular,
A B C D- cuadrado,
RO es la altura de la pirámide.
Probar:
1. RA = PB = PC = PD
2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Ver Fig. 4.
Arroz. 4
Prueba.
RO es la altura de la pirámide. es decir, recto RO perpendicular al plano A B C, y por lo tanto directa AO, VO, SO Y HACER acostado en él. Entonces los triángulos ROA, ROV, ROS, BARRA- rectangular.
Considere un cuadrado A B C D. De las propiedades de un cuadrado se sigue que AO = BO = CO = HACER.
Entonces los triángulos rectángulos ROA, ROV, ROS, BARRA pierna RO- general y piernas AO, VO, SO Y HACER iguales, entonces estos triángulos son iguales en dos catetos. De la igualdad de los triángulos se sigue la igualdad de los segmentos, RA = PB = PC = PD. El punto 1 está probado.
Segmentos AB Y sol son iguales porque son lados del mismo cuadrado, RA = RV = PC. Entonces los triángulos AVR Y videograbadora - isósceles e iguales en tres lados.
De manera similar, obtenemos que los triángulos PAA, BCP, CDP, PAD son isósceles e iguales, lo cual se exigió probar en el punto 2.
El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base y la apotema:
Para la demostración, elegimos una pirámide triangular regular.
Dado: RAVS es una pirámide triangular regular.
AB = BC = CA.
RO- altura.
Probar: 
. Véase la figura. cinco.
Arroz. cinco
Prueba.
RAVS es una pirámide triangular regular. Es decir AB= CA = BC. Permitir SOBRE- el centro del triangulo A B C, luego RO es la altura de la pirámide. La base de la pirámide es un triángulo equilátero. A B C. Darse cuenta de 
.
triangulos RAV, RVS, RSA- triángulos isósceles iguales (por propiedad). Una pirámide triangular tiene tres caras laterales: RAV, RVS, RSA. Entonces, el área de la superficie lateral de la pirámide es:
Lado S = 3S RAB
El teorema ha sido probado.
El radio de un círculo inscrito en la base de una pirámide cuadrangular regular es de 3 m, la altura de la pirámide es de 4 m, encuentra el área de la superficie lateral de la pirámide.
Dado: pirámide cuadrangular regular A B C D,
A B C D- cuadrado,
r= 3m,
RO- la altura de la pirámide,
RO= 4 metros
Encontrar: lado S. Véase la figura. 6.
Arroz. 6
Solución.
De acuerdo con el teorema probado, .
Encuentra primero el lado de la base AB. Sabemos que el radio de un círculo inscrito en la base de una pirámide cuadrangular regular es de 3 m.
Entonces, m.
Halla el perímetro del cuadrado A B C D de 6 m de lado:
Considere un triángulo BCD. Permitir METRO- lado medio corriente continua. Porque SOBRE- medio BD, luego 
(metro).
Triángulo DPC- isósceles. METRO- medio corriente continua. Es decir, RM- la mediana, y por lo tanto la altura en el triángulo DPC. Luego RM- apotema de la pirámide.
RO es la altura de la pirámide. Entonces, directamente RO perpendicular al plano A B C, y por lo tanto la directa OM acostado en él. Encontremos una apotema RM desde triángulo rectángulo ROM.
Ahora podemos encontrar superficie lateral pirámides:
Responder: 60 m2.
El radio de un círculo circunscrito cerca de la base de una pirámide triangular regular es m. El área de la superficie lateral es de 18 m 2. Encuentra la longitud de la apotema.
Dado: ABCP- pirámide triangular regular,
AB = BC = SA,
R= m,
Lado S = 18 m 2.
Encontrar: . Véase la figura. 7.
Arroz. 7
Solución.
en un triangulo rectangulo A B C dado el radio de la circunferencia circunscrita. Busquemos un lado AB este triángulo usando el teorema del seno.
Conociendo el lado de un triángulo regular (m), encontramos su perímetro.
Según el teorema del área de la superficie lateral de una pirámide regular, donde ha- apotema de la pirámide. Luego:
Responder: 4 metros
Entonces, examinamos qué es una pirámide, qué es una pirámide regular, demostramos el teorema en la superficie lateral de una pirámide regular. En la próxima lección, nos familiarizaremos con la pirámide truncada.
Bibliografía
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- Portal de Internet "Festival de Ideas Pedagógicas "Primero de Septiembre" ()
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Tarea
- ¿Puede un polígono regular ser la base de una pirámide irregular?
- Demostrar que las aristas que no se cortan de una pirámide regular son perpendiculares.
- Encuentre el valor del ángulo diedro en el lado de la base de una pirámide cuadrangular regular si la apotema de la pirámide es igual al lado de su base.
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