Siç u theksua tashmë në seksionin e mëparshëm, çdo popullsi është, në parim, e aftë të rrisë në mënyrë eksponenciale madhësinë e saj, dhe kjo është arsyeja pse modeli eksponencial përdoret për të vlerësuar potencialin për rritjen e popullsisë. Megjithatë, në disa raste, modeli eksponencial rezulton i përshtatshëm për të përshkruar dhe procese të vëzhguara në të vërtetë. Natyrisht, kjo është e mundur kur, për një kohë mjaft të gjatë (në raport me kohëzgjatjen e një brezi), asgjë nuk kufizon rritjen e popullsisë dhe, në përputhje me rrethanat, treguesin e shkallës së saj specifike ( r) mban një vlerë pozitive konstante.
Për shembull, në vitin 1937, 2 meshkuj dhe 6 femra fazanë u sollën në ishullin e vogël Protekshi (në brigjet veriperëndimore të Shteteve të Bashkuara afër shtetit të Uashingtonit) (Phasanius colchicus torqualus), nuk është parë më parë në ishull. Në të njëjtin vit, fazanët filluan të shumohen dhe pas 6 vitesh popullsia, e cila u nis nga 8 shpendë, numëronte 1898 individë. Siç vijon nga Fig. 28 a, për të paktën 3-4 vitet e para, rritja e numrit të fazanëve u përshkrua mirë nga një marrëdhënie eksponenciale (vijë e drejtë me një shkallë logaritmike në ordinatë). Fatkeqësisht, më vonë, në lidhje me shpërthimin e armiqësive, trupat u vendosën në ishull, numërimet vjetore u ndaluan dhe vetë popullsia e fazanit u shfaros kryesisht.
Një rast tjetër i njohur i rritjes eksponenciale të popullsisë është rritja e popullsisë së pëllumbit me unazë (Streptopelia decaocto) në Ishujt Britanikë fundi i viteve 1950 - fillimi i viteve 1960 (Fig. 28, b). Kjo rritje ndaloi vetëm pas 8 vitesh, pasi u banuan të gjitha habitatet e përshtatshme.
Lista e shembujve të rritjes eksponenciale të popullsisë mund të vazhdohet. Në veçanti, disa herë rritje eksponenciale (ose të paktën afër eksponenciale) në numrin e drerëve (Rangifer tarandus) u vu re kur u fut në ishuj të ndryshëm. Pra, nga 25 individë (4 meshkuj dhe 21 femra), të prezantuara në 1911 në ishullin e Shën Palit (pjesë e arkipelagut të Ishujve Pribilov në Detin Bering), kishte një popullsi, numri i të cilave deri në vitin 1938. arriti në 2 mijë individë, por më pas pasoi një rënie e mprehtë, dhe deri në vitin 1950 vetëm 8 drerë mbetën në ishull. Një pamje e ngjashme u vu re në ishullin e Shën Mateut (gjithashtu i vendosur në Detin e Beringut): 29 individë (5 meshkuj dhe 24 femra), u prezantuan në ishull në 1944, dhanë një popullsi prej 1,350 individësh në 1957 dhe në 1963 - - rreth 6 mijë individë (sipërfaqja e këtij ishulli është 332 km 2, që është rreth tre herë më shumë zonë Ishulli Paul). Sidoqoftë, në vitet në vijim, pati një rënie katastrofike të numrit të drerëve - deri në vitin 1966 kishte vetëm 42 prej tyre. koha e dimrit ushqim i përbërë pothuajse ekskluzivisht nga likenet.
Në laborator, është e mundur të krijohen kushte për rritje eksponenciale duke i furnizuar organizmat e kultivuar me një tepricë burimesh që zakonisht kufizojnë zhvillimin e tyre, si dhe duke ruajtur vlerën e të gjithë parametrave fiziko-kimikë të mjedisit brenda intervalit të tolerancës së një specie të caktuar. Shpesh, për të ruajtur rritjen eksponenciale, është e nevojshme të hiqen produktet metabolike të organizmave (duke përdorur, për shembull, sistemet e rrjedhës gjatë kultivimit të kafshëve dhe bimëve të ndryshme ujore) ose të izolohen individët e sapolindur nga njëri-tjetri për të shmangur grumbullimin (kjo është e rëndësishme, për shembull, kur kultivoni shumë brejtës dhe kafshë të tjera me sjellje mjaft komplekse). Në praktikë, nuk është e vështirë të merret një kurbë e rritjes eksponenciale në një eksperiment vetëm për organizmat shumë të vegjël (kërpudhat e majave, protozoarët, algat njëqelizore, etj.). Kultivoni organizma të mëdhenj në sasi të mëdha vështirë për arsye thjesht teknike. Duhet gjithashtu një kohë e gjatë për ta bërë këtë.
Situatat në të cilat krijohen kushte të rritjes eksponenciale janë gjithashtu të mundshme në natyrë, dhe jo vetëm për popullatat e ishujve. Kështu, për shembull, në liqenet me gjerësi të butë në pranverë, pas shkrirjes së akullit, shtresat sipërfaqësore përmbajnë një sasi të madhe elementësh biogjenë (fosfor, azot, silikon) që zakonisht janë të mangët për algat plankton, dhe për këtë arsye nuk është për t'u habitur që menjëherë pas ngrohjes së ujit, një rritje e shpejtë (afër eksponenciale) e numrit të diatomeve ose algave jeshile. Ai ndalon vetëm kur të gjithë elementët e mangët janë të lidhur në qelizat e algave ose kur prodhimi i popullatave balancohet duke i ngrënë ato nga kafshë të ndryshme fitofage.
Ndërsa mund të citohen shembuj të tjerë të rritjeve eksponenciale të vëzhguara në të vërtetë në numra, ato nuk mund të thuhet se janë shumë të shumta. Natyrisht, një rritje në madhësinë e popullsisë sipas një ligji eksponencial, nëse ndodh, atëherë vetëm shumë një kohë të shkurtër, pastaj pasohet nga një rënie ose duke arritur një pllajë (= nivel i palëvizshëm). Në parim, disa opsione janë të mundshme për të ndaluar rritjen eksponenciale të popullsisë. Opsioni i parë është alternimi i periudhave të rritjes eksponenciale të numrave me periudha të rënies së mprehtë (katastrofike), deri në vlera shumë të ulëta. Një rregullim i tillë (dhe me rregullimin e numrit nënkuptojmë veprimin e çdo mekanizmi që çon në kufizimin e rritjes së popullsisë) ka shumë të ngjarë në organizmat me një cikli i jetes duke jetuar në vende me luhatje të theksuara në faktorët kryesorë kufizues, për shembull, në insektet që jetojnë në gjerësi të larta. Është gjithashtu e qartë se organizma të tillë duhet të kenë faza të fjetura për t'i mbijetuar stinëve të pafavorshme. Opsioni i dytë është një ndalesë e menjëhershme e rritjes eksponenciale dhe mbajtjes së popullsisë në një nivel konstant (= stacionar), rreth të cilit janë të mundshme luhatje të ndryshme. Opsioni i tretë është një dalje e qetë në pllajë. Rezultati S-formë kurba tregon se ndërsa popullsia rritet, ritmi i rritjes së saj nuk mbetet konstant, por zvogëlohet. Rritja e popullsisë në formë S vërehet shumë shpesh si në eksperimentet laboratorike ashtu edhe gjatë futjes së specieve në habitate të reja.
1. Klasat e regresioneve jolineare.
2. Forma parabolike e varësisë.
3. Forma hiperbolike e varësisë.
4. Forma eksponenciale e varësisë.
5. Forma e shkallës së varësisë.
Ekzistojnë marrëdhënie jolineare midis dukurive ekonomike, të cilat shprehen duke përdorur funksione jolineare.
Ekzistojnë dy klasa të regresioneve jolineare:
1. Regresionet që janë jolineare në lidhje me variablat shpjegues të përfshirë në analizë, por lineare në lidhje me parametrat e vlerësuar. Shembuj të regresioneve të tilla janë funksionet:
Polinome të shkallëve të ndryshme;
Hiperbola barabrinjës.
2. Regresionet jolineare sipas parametrave të vlerësuar përfshijnë funksionet e mëposhtme:
Diplomë;
Indikative;
Eksponenciale.
Regresioni jolinear për variablat e përfshirë përcaktohet, si në regresionin linear, me metodën e katrorëve më të vegjël (OLS), pasi këto funksione janë lineare në parametra.
1. Forma parabolike e varësisë.
Ekuacioni i regresionit për një parabolë të rendit të dytë është si më poshtë:
Ekuacionet normale të metodës së katrorëve më të vegjël për varësinë parabolike janë si më poshtë:
Duke zgjidhur këtë sistem ekuacionesh, marrim vlerat e parametrave a, b dhe c.
Parabola e shkallës së dytë në b > 0 dhe me< 0 është simetrike për pikën maksimale, e cila ndryshon drejtimin e lidhjes, përkatësisht, ngritje për rënie. Ky lloj funksioni mund të vërehet në ekonominë e punës kur studiohet varësia e pagave të punëtorëve fizikë nga mosha; me rritjen e moshës, pagat rriten për shkak të rritjes së njëkohshme të përvojës dhe kualifikimeve të punëtorit. Megjithatë, nga një moshë e caktuar, për shkak të plakjes së trupit dhe uljes së produktivitetit të punës, një rritje e mëtejshme e moshës mund të çojë në uljen e pagave të punonjësit.
Në b < 0 dhe c> 0, parabola e rendit të dytë është simetrike në lidhje me minimumin e funksionit në pikën që ndryshon drejtimin e lidhjes, përkatësisht, ulje për rritje.
2. Forma hiperbolike e varësisë.
Ekuacioni i regresionit të hiperbolës është si më poshtë:
Nga sistemi i ekuacioneve normale të metodës së katrorëve më të vegjël për hiperbolën:
përcaktohen vlerat e koeficientëve të ekuacionit të regresionit hiperbolik a dhe b.
Varësia hiperbolike mund të përdoret në nivelet mikro dhe makro - për shembull, për të karakterizuar marrëdhënien midis konsumit specifik të lëndëve të para, materialeve, karburantit dhe vëllimit të prodhimit, kohës së qarkullimit të mallrave në vlerën e qarkullimit. Një shembull klasik i kësaj është kurba Phillips, duke karakterizuar lidhjen midis shkallës së papunësisë dhe përqindjes së rritjes së pagave.
Konsideroni një regresion që është jolinear në parametrat e vlerësuar
3.Forma eksponenciale e varësisë.
Pamje e përgjithshme e ekuacionit të regresionit eksponencial:
Për të thjeshtuar algoritmin e përpunimit të mostrës, linearizimi i ekuacionit të regresionit eksponencial kryhet duke marrë logaritmin e ekuacionit të dytë të paraqitur.
Pas zëvendësimit ln y në z, doli qe ekuacioni linear lloj:
z= a+ bx.
përcaktoni parametrat e ekuacionit të regresionit a dhe b. Duke kryer zëvendësimin e kundërt, marrim vlerat empirike të veçorisë që rezulton.
4. Forma e varësisë pushtet-ligj.
Forma e përgjithshme ekuacioni i fuqisë regresioni:
Marrja e logaritmit të këtij ekuacioni e sjell atë në një formë lineare:
Vlerësimet e parametrave a dhe b ekuacionet mund të gjenden me katrorët më të vegjël. Sistemi i ekuacioneve normale ka formën:
Parametri b përcaktohet nga sistemi dhe parametri a- duke fuqizuar shprehjen lna.
Treguesi i ngushtësisë së korrelacionit jolinear është indeksi i korrelacionit i llogaritur me formulën:
,
ku janë vlerat individuale në nga ekuacioni i kufizimit.
Indeksi i korrelacionit është në intervalin: 0 < R < 1 dhe çfarë sa më afër njërës, sa më e ngushtë të jetë marrëdhënia e veçorive të konsideruara, aq më e besueshme është gjetur ekuacioni i regresionit.
Indeksi i përcaktimit R 2 përdoret për të testuar rëndësinë statistikore të ekuacionit të përgjithshëm jolinear të regresionit me anë të testit Fisher.
Varësia eksponenciale është një funksion matematikor që është i dobishëm për të përshkruar një proces ku numri i elementeve rritet ose zvogëlohet me shpejtësi. Ka shumë shembuj të përdorimit të kësaj varësie në biologji, fizikë, ekonomi, mjekësi dhe fusha të tjera. veprimtaria njerëzore.
Përcaktimi i varësisë eksponenciale
Për të kuptuar se çfarë nënkuptojnë fjalët "kjo sasi rritet në mënyrë eksponenciale" ose "ky proces karakterizohet nga një rënie eksponenciale", është e nevojshme të merret parasysh koncepti i vetë funksionit eksponencial. Për ta bërë këtë, merrni një numër pozitiv "a", i cili nuk është i barabartë me 1, dhe ngrijeni atë në fuqinë "x", ndërsa ndryshorja x mund të ketë vlera pozitive dhe negative, por nuk duhet të jetë e barabartë me zero. Marrim edhe një numër konstant k (konstante), i cili nuk është i barabartë me zero. Tani prezantojmë funksionin matematikor f (x) = k * a x. Ngritja në fuqinë "x" të një numri pozitiv "a" është një varësi eksponenciale dhe vetë funksioni f (x) quhet eksponencial. Në funksionin f (x), numri "a" quhet bazë, dhe "x" është ndryshorja e pavarur.
Vini re se baza e funksionit eksponencial "a" përdoret shpesh në matematikë, e cila është afërsisht e barabartë me 2.718. Ky numër shënohet me shkronjën latine "e" dhe quhet numri i Euler-it. Numri i shënuar luan një rol të rëndësishëm në teoria matematikore kufijtë, si dhe në shumë procese fizike në natyrë, për shembull, presioni i ajrit me lartësi në planetin tonë zvogëlohet në mënyrë eksponenciale, në të cilin baza është numri i Euler-it.
Komplot eksponencial
Konsideroni vetitë e funksionit eksponencial y = a x, për këtë i drejtohemi grafikut të paraqitur më sipër. Vetia e parë e rëndësishme është se pavarësisht nga baza "a" që përfaqësohet funksioni, ai gjithmonë do të kalojë nëpër pikën me koordinata (0,1), pasi a 0 = 1.
Nga grafiku i varësisë eksponenciale mund të shihet gjithashtu se funksioni a x për çdo vlerë të ndryshores "x" merr vetëm vlera pozitive. Për vlera të mëdha negative të "x", funksioni i afrohet shpejt boshtit të abshisës, domethënë priret në zero. Nga ana tjetër, tashmë në të vogla vlerat pozitive Funksioni "x" rritet ndjeshëm, ndërsa shkalla e rritjes së tij po rritet vazhdimisht sipas ligjit eksponencial, i cili mund të tregohet duke marrë derivatin e funksionit në shqyrtim ((ax) "= ln (a) * ax, ku ln (a) është logaritmi natyror ).
Kështu, varësia eksponenciale është një ndryshim i mprehtë në një vlerë të caktuar, si lart ashtu edhe poshtë.
Një shembull nga historia e shahut
Një demonstrim i mirë i rëndësisë së rritjes eksponenciale të objekteve është legjendë e lashtë lidhur me shpikjen e shahut. Sipas kësaj legjende, për argëtimin e një mbreti hindu, emri i të cilit ishte Belkib, miku i tij i ngushtë Brahman Sissa, 3000 para Krishtit, shpiku lojë tavoline shahu.
Mbreti u gëzua shumë lojë e re se i premtoi se do t'i jepte Cisës çfarë të dojë. Pastaj Brahman Sissa sugjeroi t'i jepte atij aq kokrra sa i përshtatej në 64 qeliza shahu, ndërsa në qelizën e parë ai vendosi 1 kokërr, në të dytën - 2 kokrra, në të tretën - 4 kokrra, e kështu me radhë, duke dyfishuar çdo numër kohor. Belkib nuk e kuptoi menjëherë se sa grurë do t'i duhej të jepte, kështu që pranoi ofertën e mikut të tij pa hezitim.
Numri i kokrrave që përshtaten në tabelën e shahut sipas parimit të përshkruar është 2 64 = 18 446 744 073 709 551 616 - gjigant numër!
Rritja globale e popullsisë
Një shembull tjetër i mrekullueshëm i proceseve që përshkruhen sipas varësisë eksponenciale është rritja e popullsisë së planetit. Pra, në vitin 1500, popullsia e botës ishte rreth 500 milionë, në vitin 1800, domethënë pas 300 vjetësh, ajo u dyfishua dhe u bë e barabartë me 1 miliard, kanë kaluar më pak se 50 vjet dhe popullsia e botës ka kaluar shifrën 2 miliardë, aktualisht numri i banorëve atje është 7.5 miliardë njerëz në planetin Tokë.
Rritja e popullsisë e përshkruar nga shembulli i njerëzimit është karakteristikë për çdo specie biologjike, qoftë gjitar apo bakter njëqelizor. Matematikisht, kjo rritje përshkruhet me formulën e mëposhtme: N t = N 0 * e k * t, ku N t dhe N 0 janë madhësia e popullsisë në kohët t dhe zero, përkatësisht, k është një koeficient pozitiv. Ky model matematikor i rritjes së popullsisë quhet varësi eksponenciale në ekologji.
Rritja eksponenciale popullsia e planetit më bëri të mendoj përsëri fillimi i XIX shekulli ekonomisti dhe demografi i famshëm anglez Thomas Robert Malthus. Një shkencëtar në një kohë parashikoi se në mesin e shekullit të 19-të, uria do të duhej të ndodhte në Tokë, pasi prodhimi i ushqimit rritet në mënyrë lineare, ndërsa numri i njerëzve në planet po rritet në mënyrë eksponenciale. Malthus besonte se e vetmja mënyrë për të arritur ekuilibrin në sistemin në shqyrtim është vdekshmëria masive e shkaktuar nga luftërat, epidemitë dhe kataklizmat e tjera.
Siç e dini, shkencëtari gaboi në parashikimet e tij të zymta, të paktën ai gaboi me datën e specifikuar.
Epoka e mbetjeve arkeologjike
Një shembull tjetër i mrekullueshëm i proceseve natyrore që ndodhin sipas një ligji eksponencial është prishja e elementeve radioaktive. Ky fenomen fizik, i cili konsiston në shndërrimin e bërthamave të elementeve të rënda në bërthama të atyre më të lehta, përshkruhet nga sa vijon formula matematikore: N t = N 0 * e -k * t, ku N t dhe N 0 janë përkatësisht numri i bërthamave të elementit më të rëndë në kohën t dhe në kohën fillestare. Nga kjo formulë shihet se është praktikisht e ngjashme me atë për rritjen e një popullate biologjike, i vetmi ndryshim është shenja minus në eksponent, që tregon humbjen e bërthamave të rënda.
Formula e shënuar përdoret për të përcaktuar moshën shkëmbinj dhe organizmat e fosilizuar. Në rastin e fundit, ata punojnë me izotopin e karbonit 14 C, pasi gjysma e jetës së tij (koha që duhet që numri fillestar i bërthamave të rënda të përgjysmohet) është relativisht i shkurtër (5700 vjet).
Procese të tjera që i binden një ligji eksponencial
Varësia eksponenciale përshkruan shumë procese në ekonomi, kimi dhe mjekësi. Për shembull, dozat e medikamenteve që kanë hyrë në trupin e njeriut ulen në mënyrë eksponenciale me kalimin e kohës. Në ekonomi, fitimi i investimit, bazuar në një kapital fillestar të caktuar, llogaritet gjithashtu në mënyrë eksponenciale.
Njerëzit nuk janë parashikues shumë të mirë të së ardhmes. Për pjesën më të madhe të historisë, përvoja jonë ka qenë "lokale dhe lineare": kemi përdorur të njëjtat mjete, kemi ngrënë të njëjtat ushqime dhe kemi jetuar në një vend të caktuar. Si rezultat, aftësitë tona parashikuese bazohen në intuitën dhe përvojën e kaluar. Duket si një shkallë: pasi bëjmë disa hapa lart, kuptojmë se cila do të jetë rruga e mbetur përgjatë kësaj shkalle. Ndërsa jetojmë jetën tonë, ne presim që çdo ditë e re të jetë e njëjtë me atë të mëparshme. Megjithatë, gjërat po ndryshojnë tani.
Shpikësi dhe futuristi i njohur amerikan Raymond Kurzweil, në librin e tij The Singularity Is Near, shkruan se kërcimi në teknologji që kemi parë në dekadat e fundit ka përshpejtuar përparimin në shumë fusha të ndryshme. Kjo ka çuar në ndryshime të papritura teknologjike dhe sociale që ndodhin jo vetëm midis brezave, por edhe brenda tyre. Tani qasja intuitive për të parashikuar të ardhmen nuk funksionon. E ardhmja nuk po shpaloset më në mënyrë lineare, por në mënyrë eksponenciale: është gjithnjë e më e vështirë të parashikohet se çfarë do të ndodhë më pas dhe kur do të ndodhë. Ritmi i përparimit teknologjik na befason vazhdimisht, dhe për të vazhduar me ta dhe për të mësuar të parashikoni të ardhmen, së pari duhet të mësoni të mendoni në mënyrë eksponenciale.
Çfarë është rritja eksponenciale?
Ndryshe nga rritja lineare, e cila është rezultat i shtimit të përsëritur të një konstante, rritja eksponenciale është shumëzim i shumëfishtë. Nëse rritja lineare është një vijë e drejtë që është e qëndrueshme me kalimin e kohës, atëherë një linjë rritjeje eksponenciale është e ngjashme me një ngritje. Sa më shumë vlerë të marrë vlera, aq më shpejt rritet më tej.
Imagjinoni që po ecni përgjatë rrugës dhe çdo hap që hidhni rezulton të jetë një metër i gjatë. Ju bëni gjashtë hapa dhe tani keni avancuar gjashtë metra. Pasi të bëni 24 hapa të tjerë, do të gjeni veten 30 metra nga ku e keni nisur. Kjo është një rritje lineare.
Tani imagjinoni (edhe pse trupi juaj nuk mund ta bëjë këtë, imagjinoni) që çdo herë hapi juaj të dyfishohet. Kjo do të thotë, së pari ju hapni një metër, pastaj dy, pastaj katër, pastaj tetë, e kështu me radhë. Në gjashtë hapa të tillë, ju do të përshkoni 32 metra - shumë më tepër se gjashtë hapa një metër në të njëjtën kohë. Është e vështirë të besohet, por nëse vazhdoni me të njëjtin ritëm, atëherë pas hapit të tridhjetë do ta gjeni veten në një distancë prej një miliard metrash nga pika e nisjes. Këto janë 26 udhëtime rreth Tokës. Dhe kjo është një rritje eksponenciale.
Është interesante se çdo hap i ri me një rritje të tillë është shuma e të gjithë hapave të mëparshëm. Kjo do të thotë, pas 29 hapash, ju keni përshkuar 500 milionë metra dhe e kapërceni të njëjtën sasi në një hap tjetër, të tridhjetën. Kjo do të thotë që ndonjë nga hapat tuaj të mëparshëm është pakrahasueshëm i vogël në raport me hapat e ardhshëm të rritjes shpërthyese, dhe shumica e tyre ndodh brenda një periudhe relativisht të shkurtër kohore. Nëse e mendoni këtë rritje si një lëvizje nga pika A në pikën B, përparimi më i madh në lëvizje do të bëhet në fazën e fundit.
Ne shpesh neglizhojmë tendencat treguese në fazat e hershme duke qenë se shkalla fillestare e rritjes eksponenciale është e ngadaltë dhe graduale, është e vështirë ta dallosh atë nga rritja lineare. Për më tepër, shpesh parashikimet e bazuara në supozimin se një fenomen do të zhvillohet në mënyrë eksponenciale mund të duken të pabesueshme dhe ne i hedhim poshtë.
“Kur filloi skanimi i gjenomit njerëzor në vitin 1990, kritikët vunë re se, duke pasur parasysh shpejtësinë me të cilën u krye fillimisht ky proces, gjenomi mund të skanohej vetëm në mijëra vjet. Sidoqoftë, projekti u përfundua tashmë në 2003 ",- jep shembullin e Raymond Kurzweil.
V kohët e fundit zhvillimi i teknologjisë është eksponencial: çdo dekadë, çdo vit ne mund të bëjmë pakrahasueshëm më shumë se më parë.
A mund të përfundojë ndonjëherë rritja eksponenciale?
Në praktikë, tendencat eksponenciale nuk zgjasin përgjithmonë. Megjithatë, disa prej tyre mund të vazhdojnë për periudha të gjata kohore nëse kushtet janë të përshtatshme për zhvillim shpërthyes.
Në mënyrë tipike, një prirje eksponenciale përbëhet nga një seri ciklesh të njëpasnjëshme të jetës teknologjike në formë S ose kurbash S. Çdo kurbë duket si shkronja "S" për shkak të tre fazave të rritjes që tregon: rritja fillestare e ngadaltë, rritja shpërthyese dhe rrafshimi ndërsa teknologjia maturohet. Këto kthesa S kryqëzohen dhe kur një teknologji ngadalësohet, një e re fillon të rritet. Me çdo kthesë të re të zhvillimit në formë S, sasia e kohës që kërkohet për të arritur më shumë nivele të larta produktiviteti bëhet më i vogël.
Për shembull, duke folur për përparimet teknologjike në shekullin e kaluar, Kurzweil rendit pesë paradigma llogaritëse: elektromekanike, reletë, tubat vakum, transistorët diskretë dhe qarqet e integruara. Kur një teknologji e shteroi potencialin e saj, tjetra filloi të përparonte dhe e bëri atë më shpejt se paraardhësit e saj.
Planifikimi për një të ardhme eksponenciale
Me zhvillimin eksponencial, është shumë e vështirë të parashikohet se çfarë do të sjellë e ardhmja. Ndërtoni një grafik bazuar në progresion gjeometrik- kjo është një gjë, por të vlerësosh se si do të ndryshojë jeta në dhjetë deri në njëzet vjet është krejt tjetër. Por mund të ndiqni një rregull të thjeshtë: prisni që jeta t'ju befasojë shumë dhe planifikoni bazuar në surprizat e pritura. Me fjalë të tjera, dikush mund të supozojë rezultatet më të pabesueshme dhe të përgatitet për to, sikur të kishte ndodhur.
“E ardhmja do të jetë shumë më e mahnitshme sesa e imagjinojnë shumica e njerëzve. Pak e kanë kuptuar me të vërtetë faktin se vetë shkalla e ndryshimit po përshpejtohet."- nga Raymond Kurzweil.
Si do të duket jeta jonë në pesë vitet e ardhshme? Një mënyrë për të parashikuar është të shikojmë pesë vitet e fundit dhe ta bartim atë përvojë në pesë vitet e ardhshme, por ky është të menduarit "linear", që ne kemi gjetur se nuk funksionon gjithmonë. Ritmi i ndryshimit po ndryshon, kështu që progresi që është bërë gjatë pesë viteve të fundit do të zgjasë më shumë në të ardhmen. Ka të ngjarë që ndryshimet që prisni në pesë vjet do të ndodhin në të vërtetë pas tre ose dy vjetësh. Me pak praktikë, ne do të mësojmë të parashikojmë më mirë zhvillimin e ardhshëm të jetës, të mësojmë të shohim perspektivat e rritjes eksponenciale dhe të jemi në gjendje të planifikojmë më mirë të ardhmen tonë.
Nuk është thjesht një koncept interesant. Mendimi ynë, i mprehur më shpesh për zhvillim linear, mund të na çojë në një rrugë pa krye. Është ky mendim linear që i bën disa biznesmenë dhe politikanë t'i rezistojnë ndryshimit, ata thjesht nuk e kuptojnë se zhvillimi po ndodh me një ritëm eksponencial dhe shqetësohen se po bëhet më e vështirë të kontrollosh të ardhmen. Por kjo është pikërisht fusha e konkurrencës. Për të vazhduar me këtë ndryshim, duhet të jeni gjithmonë një hap përpara dhe të mos bëni atë që është e rëndësishme tani, por atë që do të jetë e rëndësishme dhe e kërkuar në të ardhmen, merrni parasysh që zhvillimi nuk është linear, por eksponencial.
Mendimi eksponencial redukton streset shkatërruese që lindin nga frika jonë për të ardhmen dhe hap mundësi të reja. Nëse mund të planifikojmë më mirë të ardhmen tonë dhe mund të mendojmë në mënyrë eksponenciale, do të lehtësojmë kalimin nga një paradigmë në tjetrën dhe do ta përballojmë të ardhmen në paqe.
Përshëndetje! Sot do të përpiqemi të kuptojmë se çfarë është rritja eksponenciale. Rritja eksponenciale është një rritje eksponenciale e vlerës. Vlera rritet në një shkallë proporcionale me vlerën e saj. Kjo do të thotë se për çdo sasi në rritje eksponenciale, sa më shumë vlerë të marrë, aq më shpejt rritet. Le ta shohim këtë me një shembull. Ju mund të mbani mend nga biologjia se bakteret shumohen SHUMË shpejt. Rritja e popullsisë bakteriale është analoge me rritjen e interesit të ngarkuar vazhdimisht. Këtë do ta tregoj kur ta zgjidhim problemin. Pra, kjo është detyra jonë e rritjes eksponenciale. Këtu është kushti: në faza fillestare një koloni bakteriale përmban 100 qeliza dhe ajo fillon të rritet në proporcion me madhësinë e saj. Pas 1 ore, numri i qelizave rritet në 420. Së pari, duhet të gjejmë një shprehje që tregon numrin e baktereve në t orë. Le të zbresim në të. Numri i baktereve është, mund të thuhet, një funksion i kohës. Le ta quajmë b. Pra, le ta shkruajmë atë. Numri i baktereve në funksion të t mund të shkruhet si b (t). Do ta shkruaj këtu: b (t). Kështu, numri i baktereve në funksion të kohës është i barabartë me: numrin fillestar të baktereve, domethënë I është zero (nëse nxjerrim një analogji me interesin, atëherë ky është trupi i huasë). Në këtë rast, kjo është shuma me të cilën fillojmë. Më pas kemi një numër e në fuqinë kt, ku k është një lloj rritjeje eksponenciale. Kjo është I zero, me fjalë të tjera, shuma fillestare. t = 0, sepse në momentin fillestar të kohës, koha është e barabartë me zero, që do të thotë se e gjithë shkalla është e barabartë me zero, dhe e gjithë shprehja këtu është e barabartë me një. Është logjike, a?. b (0) duhet të jetë i barabartë me I zero. Prandaj, nëse e dini me cilën vlerë të filloni si dhe vlerën e dytë, atëherë mund të gjeni k. Pastaj ju zëvendësoni vlerën e gjetur në vend të k - dhe tani keni përfunduar pikën e parë të detyrës: gjeni një shprehje që tregon numrin e baktereve në t orë. Pra, pyetja ime është, çfarë jam i barabartë me zero? Ne e dimë këtë numër. Këtu është problemi: në fazën fillestare, një koloni bakteriale përmban 100 qeliza. Prandaj, ne e dimë se b (0) është e barabartë me 100. Më lejoni ta shkruaj në një mënyrë tjetër: b (0) = I zero * e deri në shkallën 0 = I zero. Prandaj, numri i baktereve në t = 0 është 100. Këtu kemi bërë disa përparime në zgjidhje. Tani mund të themi se b (t) = 100 * e në fuqinë e kt. Kështu, nëse do të kishim k, atëherë mund të përfundonim pjesën e parë të detyrës: të gjejmë një shprehje që tregon numrin e baktereve në t orë. Si e gjejmë k? Por këtu kemi vlerën e dytë të numrit të baktereve: pas 1 ore, numri i qelizave rritet në 420 copë. Çfarë na thotë kjo? Që b (1) d.m.th. popullsia pas 1 ore është 420 copë, ose është e barabartë me 100 * e me fuqinë kt. Çfarë është t? t = 1, pra, shumëzojeni me e në fuqinë e k. Kështu, 420 = 100 * e në fuqinë e k. Tani mund të gjejmë k. Le të fillojmë duke pjesëtuar të dyja anët e barazisë me 100. Pra, 4.2 ... ndoshta do t'i ndërroj anët e barazisë. Pra, e në fuqinë e k është 4.2. Tani, për të gjetur k, duhet të marrim logaritmet natyrore të të dy anëve. Kështu, k = ln (4,2). Si rezultat, do të marrim një numër. Do ta gjejmë më vonë me një kalkulator. Pra, së pari zëvendësuam vlerën 100 në këtë shprehje, zbuluam se çfarë barazohet me zero dhe me ndihmën e të dhënave shtesë gjetëm k: k = ln (4,2). Tani kemi një shprehje, pasi e njohim k dhe I si zero. Prandaj, këtu është përgjigja për pikën e parë të detyrës: funksioni b (t) është i barabartë me: sasinë fillestare, domethënë 100, shumëzuar me e në fuqinë kt, dhe meqenëse k = ln (4, 2), marrim e në fuqinë (ln (4 , 2)) * t. Kështu duket funksioni ynë. Tani le të vazhdojmë te pika e dytë e detyrës sonë. Këtu është pika e dytë: gjeni numrin e baktereve në 3 orë. Kjo është e lehtë dhe e thjeshtë për t'u bërë. Ne kemi një funksion dhe t = 3, kështu që mund të gjejmë numrin e baktereve në 3 orë. Pra, b (3) = 100 * e në fuqi (ln (4.2) * 3). Dhe ne mund të llogarisim vlerën e kësaj shprehje, nëse, sigurisht, keni një kalkulator. Cili është logaritmi natyror i 4.2? Në fakt, ne mund ta gjejmë vlerën në mënyrë analitike. Pra, kjo është njësoj si të shumëzojmë 100 me e me fuqinë e ln (4.2) dhe e gjithë kjo është në fuqinë e tretë, pasi nëse shumëzohen dy fuqi, atëherë kjo është e barabartë me ngritjen në një fuqi, që do të thotë se ne ngremë në fuqia e tretë... Dhe nëse thjeshtojmë këtu, atëherë gjithçka është e qartë. Dhe çfarë është e barabartë me e me fuqinë e ln (4.2)? Kjo është 4.2, apo jo? Logaritmi natyror na tregon se sa e duhet të rritet për të marrë 4.2. Shiko, unë mund të bëj edhe pa një kalkulator. Prandaj, 100 * (4,2) në shkallën e tretë. Dhe tani duhet të kuptojmë se sa (4.2) do të jetë në fuqinë e tretë. Do të jetë rreth 70. Le të merremi me këtë më vonë. Këtu është përgjigja për pikën e dytë të detyrës sonë. Dhe mund ta gjeni vlerën duke përdorur një kalkulator. Ju mund ta bëni vetë. Cila është pika e tretë? Tani duhet të gjejmë shkallën e rritjes pas 3 orësh. Çfarë duan nga ne në këtë moment? Ne duhet të gjejmë pjerrësinë e këtij funksioni. Me fjalë të tjera, ne duhet të gjejmë derivatin e këtij funksioni në t = 3. Më lejoni të fshij gjithçka këtu, pasi ne kemi përfunduar tashmë këto pika detyrash. Këtu ju vetëm duhet të mbështeteni në një kalkulator. Gati. Pra, le të kalojmë në pikën e tretë. Duhet të gjejmë normën e rritjes, domethënë derivatin e këtij funksioni. Pra, derivati i funksionit b ’(t) është i barabartë me ... Me çfarë është i barabartë? Le të përdorim rregullin e zinxhirit, d.m.th. parimi i diferencimit të një funksioni kompleks. Pra, duke qenë se 100 është një konstante, ne mund të shkruajmë 100 para funksionit. Dhe derivati i kësaj shprehje është i barabartë me ln (4,2) shumëzuar me derivatin e e në fuqinë e ln (4,2) * t. Ne e gjetëm normën e rritjes në t, dhe duhet të zbulojmë se me çfarë do të jetë e barabartë në t = 3. Prandaj, b '(3) = 100 * ln (4,2), dhe ne e shumëzojmë të gjithë këtë me e në fuqinë e ln (4,2) * t. Dhe ne kemi thënë tashmë se kjo shprehje është thjesht (4.2) në fuqinë e t. Pra, këtu po shumëzojmë me (4.2) në fuqinë e tretë. Siç mund ta shihni, ne prekëm temën e logaritmeve këtu. Epo, atëherë gjithçka është e lehtë dhe e thjeshtë: në vend të t, ne zëvendësuam vlerën 3. Shpresoj ta kuptoni. Epo, nëse jo, atëherë thjesht mund të përdorni një kalkulator. Por, për mendimin tim, ju duhet ta dini këtë: e në shkallën (ln x) = x. Në fund të fundit, çfarë është (ln x)? Kjo është shkalla në të cilën e duhet të rritet për të marrë x. Me fjalë të tjera, nëse e ngre e në fuqinë e x, marr x. Kjo është gjithçka që doja të thoja. Pra, e në fuqinë ((ln (4.2) në t) = (4.2) në fuqinë t. Siç mund ta shihni, unë mund ta rishkruaj shprehjen tonë origjinale si më poshtë: 100 * (4.2) në fuqinë t. Ne kemi Sapo e thjeshtova pergjigjen per artikullin e pare te problemit.Do te jete me mire.Kjo e ben me te lehte gjetjen e nje zgjidhjeje per artikullin e dyte.Por sa i perket pikes se trete eshte me mire te lihet ashtu sic eshte pasi derivati Kjo shprehje është shumë më e lehtë për t'u gjetur. Ne mund ta rishkruajmë këtë shprehje si: b '(t) = (100 * ln (4,2)) * (4,2) në fuqinë t. Kështu që unë sapo e ndryshova këtë shprehje në Kjo Më falni, unë jam këtu Dhe më në fund, arrijmë në pikën e fundit të detyrës sonë: të gjejmë kohën pas së cilës numri i baktereve do të arrijë në 10.000. Më lejoni të fshij ndoshta zgjidhjen në pikën e tretë. Pas çfarë kohe do të numri i baktereve arrin në 10.000? Shprehja është pak më e thjeshtë. Pra, b (t) = 100 * e në fuqinë e (ln (4,2) * t) Dhe kjo është e barabartë, siç thashë, 100 * ( 4.2) ^ t. Na pyesin se kur numri i baktereve do të arrijë në 10,000. Me fjalë të tjera, në çfarë vlere të t është funksioni b (t) i barabartë me 10.000. Pra, 10.000 = 100 * e në fuqinë e ln (4.2) * t. Le të shohim se çfarë kemi këtu. Mund t'i ndajmë të dyja anët e barazisë me 100. Prandaj, 100 = e me fuqinë (ln (4,2) * t). Tani mund t'i shkruajmë të dyja pjesët si logaritme natyrore. Çfarë mund të bëjmë këtu? Do të marr një ngjyrë tjetër, ln100 është e barabartë me ..., dhe nëse marrim logaritmin natyror të e deri në një shkallë, atëherë marrim vetëm logaritmin natyror të vlerës së kësaj shkalle. Me fjalë të tjera, na mbetet vetëm logaritmi i shprehjes, i cili është në fuqi. Pra, le ta shkruajmë këtë: ln100 = ln (4,2) * t. Dhe për të gjetur t, duhet të ndajmë të dyja anët e barazisë me ln (4,2). Prandaj, t = (ln100) / (ln (4,2)) Kështu gjejmë kohën pas së cilës numri i baktereve do të arrijë në 10.000. Mbetet vetëm për të marrë një kalkulator dhe për të gjetur vlerën e kësaj shprehjeje. Le të shqyrtojmë tani, për argëtim, një version të thjeshtuar të shprehjes sonë. Pra, çfarë do të merrnim: 100 * (4,2) në fuqinë t = 10.000. Ndani të dyja anët e barazisë me 100. Prandaj, (4.2) në fuqinë t = 100. Dhe për ta zgjidhur këtë, ne duhet ta çojmë logaritmin në bazën 4.2. Prandaj, t është e barabartë me bazën e logaritmit 4.2 nga 100. Ne do t'i kthehemi kësaj në videon mbi vetitë e logaritmit. Është shumë e rëndësishme të dini se si mund të llogaritni logaritmin në bazën e një numri. Meqenëse në një makinë llogaritëse mund të gjesh logaritmin vetëm në bazën e ose 10. Por si ta gjesh logaritmin në bazën e çdo numri tjetër? Përgjigja ime është shumë e thjeshtë: ju thjesht merrni logaritmin natyror prej 100 dhe ndani atë me logaritmin natyror të kësaj vlere. Ose ndryshe logaritmi dhjetor 100 dhe pjesëtojeni me logaritmin dhjetor 4.2. Kjo është e gjitha, me këtë ndoshta do të përfundojmë, në mënyrë që gjithçka në kokën tuaj të mos ngatërrohet. Pra, në këtë mësim ne shikuam rritjen eksponenciale. Mund të shkruajmë "shuma fillestare e kontributit është 100 dhe rritet në raport me madhësinë e saj" në vend të "një koloni bakteresh". Atëherë do të ishte interes i përbërë. Dhe këtu mund të themi se “pas 1 ore, shuma u rrit, le të themi, 4, 2 dollarë. Në atë rast, ne do të kërkojmë interes të vazhdueshëm. Në përgjithësi, është e njëjta gjë. Nuk ka rëndësi se çfarë saktësisht po shqyrtojmë. Në të ardhmen, unë do të tregoj disa shembuj të tjerë në lidhje me këtë temë, dhe ne do të shqyrtojmë gjithashtu problemin e zbërthimit eksponencial. Shihemi se shpejti!