Orari funksioni eksponencialështë një kurbë vijë e lëmuar pa kthesa, në të cilat në çdo pikë nëpër të cilën kalon, është e mundur të vizatohet një tangjente. Është logjike të supozohet se nëse është e mundur të vizatohet një tangjente, atëherë funksioni do të jetë i diferencueshëm në çdo pikë të domenit të tij të përkufizimit.
Le të shfaqim në të njëjtat boshte koordinative disa grafikë të funksionit y \u003d x a, Për a \u003d 2; a = 2,3; a = 3; a = 3.4.
Në pikën me koordinata (0;1). Këndet e pjerrësisë së këtyre tangjentave do të jenë përkatësisht afërsisht 35, 40, 48 dhe 51 gradë. Është logjike të supozohet se në intervalin nga 2 në 3 ekziston një numër në të cilin këndi i prirjes së tangjentes do të jetë 45 gradë.
Le të japim formulimin e saktë të këtij pohimi: ekziston një numër i tillë më i madh se 2 dhe më i vogël se 3, i shënuar me shkronjën e, që funksioni eksponencial y = e x në pikën 0 ka një derivat të barabartë me 1. Kjo është: (e ∆x -1) / ∆x priret në 1 ndërsa ∆x tenton në zero.
Numri i dhënë eështë irracionale dhe shkruhet si thyesë dhjetore e pafundme jo periodike:
e = 2,7182818284…
Meqenëse numri e është pozitiv dhe jo zero, ekziston një logaritëm në bazën e. Ky logaritëm quhet logaritmi natyror. Shënohet ln(x) = log e (x).
Derivat i funksionit eksponencial
Teorema: Funksioni e x është i diferencueshëm në çdo pikë të domenit të tij, dhe (e x)' = e x.
Funksioni eksponencial a x është i diferencueshëm në çdo pikë të domenit të tij të përkufizimit, dhe për më tepër (a x)' = (a x)*ln(a).
Një pasojë e kësaj teoreme është fakti që funksioni eksponencial është i vazhdueshëm në çdo pikë në domenin e tij të përkufizimit.
Shembull: gjeni derivatin e funksionit y = 2 x .
Sipas formulës për derivatin e funksionit eksponencial, marrim:
(2x)' = (2x)*ln(2).
Përgjigje: (2x)*ln(2).
Antiderivativ i funksionit eksponencial
Për një funksion eksponencial a x të dhënë në bashkësinë e numrave realë, antiderivati do të jetë funksioni (a x)/(ln(a)).
ln(a) është pak konstante, atëherë (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x për çdo x. Ne e kemi vërtetuar këtë teoremë.
Shqyrtoni një shembull të gjetjes së një funksioni eksponencial antiderivativ.
Shembull: gjeni antiderivativin e funksionit f(x) = 5 x . Le të përdorim formulën e mësipërme dhe rregullat për gjetjen e antiderivativëve. Marrim: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.
Ky mësim është i pari në një seri videosh mbi integrimin. Në të, ne do të analizojmë se çfarë është antiderivati i një funksioni, dhe gjithashtu do të studiojmë metodat elementare për llogaritjen e këtyre antiderivativëve.
Në fakt, nuk ka asgjë të komplikuar këtu: në thelb, gjithçka zbret në konceptin e një derivati, me të cilin tashmë duhet të jeni njohur. :)
E vërej menjëherë këtë, pasi ky është mësimi i parë në tonë temë e re, sot nuk do të ketë llogaritje dhe formula komplekse, por ajo që do të studiojmë sot do të formojë bazën e llogaritjeve dhe strukturave shumë më komplekse gjatë llogaritjes së integraleve dhe zonave komplekse.
Për më tepër, kur fillojmë të studiojmë integrimin dhe integralet në veçanti, supozojmë në mënyrë implicite se studenti tashmë të paktën është i njohur me konceptet e derivatit dhe ka të paktën aftësi elementare në llogaritjen e tyre. Pa një kuptim të qartë të kësaj, nuk ka absolutisht asgjë për të bërë në integrim.
Megjithatë, këtu qëndron një nga problemet më të shpeshta dhe tinëzare. Fakti është se, duke filluar të llogaritin antiderivativët e tyre të parë, shumë studentë i ngatërrojnë ato me derivatet. Si rezultat, bëhen gabime të trashë dhe fyese në provime dhe punë të pavarur.
Prandaj, tani nuk do të jap një përkufizim të qartë të antiderivativit. Dhe në këmbim, ju sugjeroj të shikoni se si konsiderohet në një shembull të thjeshtë konkret.
Çfarë është primitive dhe si konsiderohet
Ne e dimë këtë formulë:
\[((\majtas(((x)^(n)) \djathtas))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Ky derivat konsiderohet elementar:
\[(f)"\left(x \djathtas)=((\majtas(((x)^(3)) \djathtas))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
Le të shohim nga afër shprehjen që rezulton dhe të shprehim $((x)^(2))$:
\[((x)^(2))=\frac(((\majtas(((x)^(3)) \djathtas))^(\prime )))(3)\]
Por mund ta shkruajmë edhe në këtë mënyrë, sipas përkufizimit të derivatit:
\[((x)^(2))=((\majtas(\frac(((x)^(3)))(3) \djathtas))^(\prime ))\]
Dhe tani vëmendje: ajo që sapo shkruam është përkufizimi i antiderivativit. Por për ta shkruar saktë, duhet të shkruani sa vijon:
Le të shkruajmë shprehjen e mëposhtme në të njëjtën mënyrë:
Nëse e përgjithësojmë këtë rregull, mund të nxjerrim formulën e mëposhtme:
\[((x)^(n))\në \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Tani mund të formulojmë një përkufizim të qartë.
Një antiderivativ i një funksioni është një funksion derivati i të cilit është i barabartë me funksionin origjinal.
Pyetje rreth funksionit antiderivativ
Duket se një përkufizim mjaft i thjeshtë dhe i kuptueshëm. Sidoqoftë, pasi ta dëgjojë atë, studenti i vëmendshëm do të ketë menjëherë disa pyetje:
- Le të themi, mirë, kjo formulë është e saktë. Megjithatë, në këtë rast, kur $n=1$, kemi probleme: "zero" shfaqet në emërues dhe është e pamundur të pjesëtohet me "zero".
- Formula është e kufizuar vetëm në fuqi. Si të llogaritet antiderivati, për shembull, sinusi, kosinusi dhe çdo trigonometri tjetër, si dhe konstantet.
- Një pyetje ekzistenciale: a është gjithmonë e mundur të gjendet një antiderivativ fare? Nëse po, çfarë ndodh me shumën antiderivative, diferencën, produktin, etj.?
Pyetjes së fundit do t'i përgjigjem menjëherë. Fatkeqësisht, antiderivati, ndryshe nga derivati, nuk merret gjithmonë parasysh. Nuk ka të tillë formula universale, sipas të cilit nga çdo ndërtim fillestar do të fitojmë një funksion që do të jetë i barabartë me këtë ndërtim të ngjashëm. Sa për fuqitë dhe konstantet, ne do të flasim për këtë tani.
Zgjidhja e problemeve me funksionet e fuqisë
\[((x)^(-1))\në \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
Siç mund ta shihni, kjo formulë për $((x)^(-1))$ nuk funksionon. Shtrohet pyetja: çfarë funksionon atëherë? Nuk mund të numërojmë $((x)^(-1))$? Sigurisht që mundemi. Le të fillojmë vetëm me këtë:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
Tani le të mendojmë: derivati i cilit funksion është i barabartë me $\frac(1)(x)$. Natyrisht, çdo student që ka qenë të paktën pak i angazhuar në këtë temë do të kujtojë se kjo shprehje është e barabartë me derivatin e logaritmit natyror:
\[((\majtas(\ln x \djathtas))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
Prandaj, mund të shkruajmë me besim sa vijon:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\në \ln x\]
Kjo formulë duhet të njihet, ashtu si derivati i një funksioni fuqie.
Pra, ajo që dimë deri tani:
- Për një funksion fuqie — $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- Për një konstante - $=const\to \cdot x$
- Një rast i veçantë i një funksioni fuqie - $\frac(1)(x)\to \ln x$
Dhe nëse fillojmë të shumëzojmë dhe pjesëtojmë funksionet më të thjeshta, atëherë si të llogarisim antiderivativin e një produkti ose një herësi. Fatkeqësisht, analogjitë me derivatin e një produkti ose një koeficienti nuk funksionojnë këtu. Nuk ka asnjë formulë standarde. Për disa raste, ka formula speciale të ndërlikuara - ne do t'i njohim ato në mësimet e ardhshme video.
Sidoqoftë, mbani mend: nuk ka një formulë të përgjithshme të ngjashme me formulën për llogaritjen e derivatit të një herësi dhe një produkti.
Zgjidhja e problemeve reale
Detyra numër 1
Le të secilit funksionet e fuqisë numëroni veçmas:
\[((x)^(2))\në \frac(((x)^(3)))(3)\]
Duke u kthyer në shprehjen tonë, ne shkruajmë ndërtimin e përgjithshëm:
Detyra numër 2
Siç e kam thënë tashmë, veprat primitive dhe "blank through" private nuk merren parasysh. Sidoqoftë, këtu mund të bëni sa më poshtë:
Thyesin e kemi ndarë në shumën e dy thyesave.
Le të llogarisim:
Lajmi i mirë është se pasi të njihni formulat për llogaritjen e antiderivativëve, tashmë jeni në gjendje të llogaritni më shumë struktura komplekse. Megjithatë, le të shkojmë përpara dhe të zgjerojmë njohuritë tona pak më shumë. Fakti është se shumë ndërtime dhe shprehje që, në shikim të parë, nuk kanë asnjë lidhje me $((x)^(n))$, mund të përfaqësohen si një shkallë me një eksponent racional, përkatësisht:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
Të gjitha këto teknika mund dhe duhet të kombinohen. Shprehjet e fuqisë mund
- shumëzoj (fuqitë janë shtuar);
- pjesëtoj (gradat zbriten);
- shumëzohet me një konstante;
- etj.
Zgjidhja e shprehjeve me shkallë me eksponent racional
Shembulli #1
Le të numërojmë secilën rrënjë veç e veç:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2)))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4)))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
Në total, i gjithë ndërtimi ynë mund të shkruhet si më poshtë:
Shembulli #2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\majtas(\sqrt(x) \djathtas))^(-1))=((\majtas((x)^(\frac( 1)(2))) \djathtas))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
Prandaj, do të marrim:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
Në total, duke mbledhur gjithçka në një shprehje, mund të shkruajmë:
Shembulli #3
Së pari, vini re se ne kemi llogaritur tashmë $\sqrt(x)$:
\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
Le të rishkruajmë:
Shpresoj të mos befasoj askënd nëse them se ajo që sapo kemi studiuar janë vetëm llogaritjet më të thjeshta të antiderivativëve, ndërtimet më elementare. Le të shohim tani pak më shumë shembuj kompleks, në të cilën, përveç antiderivateve tabelare, duhet të mbani mend ende kurrikulën e shkollës, përkatësisht, formulat për shumëzimin e shkurtuar.
Zgjidhja e shembujve më kompleksë
Detyra numër 1
Kujtoni formulën për katrorin e diferencës:
\[((\majtas(a-b \djathtas))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
Le të rishkruajmë funksionin tonë:
Tani duhet të gjejmë antiderivativin e një funksioni të tillë:
\[((x)^(\frac(2)(3)))\në \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3)))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\në \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3)))(4)\]
Ne mbledhim gjithçka në një dizajn të përbashkët:
Detyra numër 2
Në këtë rast, duhet të hapim kubin e diferencës. Le të kujtojmë:
\[((\left(ab \djathtas))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]
Nisur nga ky fakt, mund të shkruhet si më poshtë:
Le të modifikojmë pak funksionin tonë:
Ne konsiderojmë, si gjithmonë, për secilin term veç e veç:
\[((x)^(-3))\në \frac(((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\në \frac(((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-1))\në \ln x\]
Le të shkruajmë ndërtimin që rezulton:
Detyra numër 3
Sipër kemi katrorin e shumës, le ta hapim:
\[\frac(((\majtas(x+\sqrt(x) \djathtas))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\majtas(\sqrt(x) \djathtas))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\në \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2)))(3)\]
Le të shkruajmë zgjidhjen përfundimtare:
Dhe tani vëmendje! Shumë gjë e rëndësishme, me të cilën lidhet pjesa më e madhe e gabimeve dhe keqkuptimeve. Fakti është se deri më tani, duke numëruar antiderivativët me ndihmën e derivateve, duke dhënë transformime, nuk kemi menduar se me çfarë është i barabartë derivati i një konstante. Por derivati i një konstante është i barabartë me "zero". Dhe kjo do të thotë që ju mund të shkruani opsionet e mëposhtme:
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$
Kjo është shumë e rëndësishme të kuptohet: nëse derivati i një funksioni është gjithmonë i njëjtë, atëherë i njëjti funksion ka një numër të pafund antiderivativësh. Ne thjesht mund të shtojmë çdo numër konstant në primitivët tanë dhe të marrim të rinj.
Nuk është rastësi që në shpjegimin e detyrave që sapo kemi zgjidhur shkruhej “Shkruani formë e përgjithshme primitivë." ato. tashmë supozohet paraprakisht se nuk ka një, por një mori të tërë prej tyre. Por, në fakt, ato ndryshojnë vetëm në konstanten $C$ në fund. Prandaj, në detyrat tona, ne do të korrigjojmë atë që nuk kemi përfunduar.
Edhe një herë, ne rishkruajmë ndërtimet tona:
Në raste të tilla, duhet shtuar se $C$ është një konstante — $C=const$.
Në funksionin tonë të dytë, marrim ndërtimin e mëposhtëm:
Dhe e fundit:
Dhe tani morëm vërtet atë që kërkohej prej nesh në gjendjen fillestare të problemit.
Zgjidhja e problemave për gjetjen e antiderivativëve me një pikë të caktuar
Tani, kur dimë për konstantet dhe për veçoritë e shkrimit të antiderivativëve, lind logjikisht lloji tjetër probleme, kur nga bashkësia e të gjithë antiderivativëve kërkohet të gjendet një dhe i vetëm i tillë që do të kalonte në një pikë të caktuar. Çfarë është kjo detyrë?
Fakti është se të gjithë antiderivativët e një funksioni të caktuar ndryshojnë vetëm në atë që ato zhvendosen vertikalisht me një numër. Dhe kjo do të thotë që pavarësisht se në cilën pikë në planin koordinativ marrim, një antiderivativ do të kalojë patjetër, dhe, për më tepër, vetëm një.
Pra, detyrat që do të zgjidhim tani janë formuluar si më poshtë: nuk është e lehtë të gjesh antiderivativin, duke ditur formulën e funksionit origjinal, por të zgjedhësh saktësisht njërën prej tyre që kalon në një pikë të caktuar, koordinatat e së cilës do të jepet në gjendjen e problemit.
Shembulli #1
Së pari, le të llogarisim çdo term:
\[((x)^(4))\në \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\në \frac(((x)^(4)))(4)\]
Tani ne i zëvendësojmë këto shprehje në ndërtimin tonë:
Ky funksion duhet të kalojë nëpër pikën $M\left(-1;4 \right)$. Çfarë do të thotë që kalon nëpër një pikë? Kjo do të thotë se nëse në vend të $x$ vendosim $-1$ kudo, dhe në vend të $F\left(x \djathtas)$ - $-4$, atëherë duhet të marrim barazinë e saktë numerike. Le ta bejme kete:
Ne shohim që kemi një ekuacion për $C$, kështu që le të përpiqemi ta zgjidhim atë:
Le të shkruajmë vetë zgjidhjen që po kërkonim:
Shembulli #2
Para së gjithash, është e nevojshme të hapni katrorin e diferencës duke përdorur formulën e shkurtuar të shumëzimit:
\[((x)^(2))\në \frac(((x)^(3)))(3)\]
Struktura origjinale do të shkruhet si më poshtë:
Tani le të gjejmë $C$: zëvendësojmë koordinatat e pikës $M$:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
Ne shprehim $C$:
Mbetet për të shfaqur shprehjen përfundimtare:
Zgjidhja e problemeve trigonometrike
Si akord i fundit i asaj që sapo kemi analizuar, unë propozoj të shqyrtojmë edhe dy të tjera detyra sfiduese që përmban trigonometri. Në to, në të njëjtën mënyrë, do të jetë e nevojshme të gjenden antiderivativët për të gjitha funksionet, pastaj nga ky grup zgjidhet i vetmi që kalon në pikën $M$ në planin koordinativ.
Duke parë përpara, do të doja të vëreja se teknika që ne tani do të përdorim për të gjetur antiderivativë nga funksionet trigonometrike, në fakt, është një teknikë universale për vetë-testim.
Detyra numër 1
Le të kujtojmë formulën e mëposhtme:
\[((\majtas(\tekst(tg)x \djathtas))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos)^(2))x)\]
Bazuar në këtë, ne mund të shkruajmë:
Le të zëvendësojmë koordinatat e pikës $M$ në shprehjen tonë:
\[-1=\tekst(tg)\frac(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(\tekst(4))+C\]
Le ta rishkruajmë shprehjen duke pasur parasysh këtë fakt:
Detyra numër 2
Këtu do të jetë pak më e vështirë. Tani do të shihni pse.
Le të kujtojmë këtë formulë:
\[((\majtas(\tekst(ctg)x \djathtas))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Për të hequr qafe "minusin", duhet të bëni sa më poshtë:
\[((\majtas(-\tekst(ctg)x \djathtas))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Këtu është dizajni ynë
Zëvendësoni koordinatat e pikës $M$:
Le të shkruajmë ndërtimin përfundimtar:
Kjo është gjithçka që doja t'ju them sot. Ne studiuam vetë termin antiderivativë, si t'i numërojmë ato nga funksionet elementare, dhe gjithashtu si të gjejmë një antiderivativ që kalon nëpër një pikë specifike në planin koordinativ.
Shpresoj se ky mësim do t'ju ndihmojë pak për ta kuptuar këtë temë e vështirë. Në çdo rast, është në antiderivativët që të pacaktuara dhe integrale të pacaktuara, kështu që është absolutisht e nevojshme të numërohen ato. Kjo është e gjitha për mua. Shihemi se shpejti!
\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)
përmbajtjaElementet e përmbajtjes
Derivati, tangjenti, antiderivativi, grafikët e funksioneve dhe derivatet.
Derivat Le të përcaktohet funksioni \(f(x)\) në një fqinjësi të pikës \(x_0\).
Derivati i funksionit \(f\) në pikën \(x_0\) quhet limit
\(f"(x_0)=\lim_(x\shigjeta djathtas x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)
nëse ky kufi ekziston.
Derivati i një funksioni në një pikë karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të këtij funksioni në një pikë të caktuar.
| Funksioni | Derivat |
| \(konst\) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(x^n\) | \(n\cdot x^(n-1)\) |
| \(\dfrac(1)(x)\) | \(-\dfrac(1)(x^2)\) |
| \(\sqrt(x)\) | \(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(a^x\) | \(a^x\cdot \ln(a)\) |
| \(\n(x)\) | \(\dfrac(1)(x)\) |
| \(\log_a(x)\) | \(\dfrac(1)(x\n(a))\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tgx\) | \(\dfrac(1)(\cos^2 x)\) |
| \(\ctg x\) | \(-\dfrac(1)(\sin^2x)\) |
Rregullat e diferencimit\(f\) dhe \(g\) janë funksione në varësi të ndryshores \(x\); \(c\) është një numër.
2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)
3) \((f+g)"= f"+g"\)
4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)
5) \(\majtas(\dfrac(f)(g)\djathtas)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)
6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - derivat i funksionit kompleks
Kuptimi gjeometrik i derivatit Ekuacioni i një vije të drejtë- boshti joparalel \(Oy\) mund të shkruhet si \(y=kx+b\). Koeficienti \(k\) në këtë ekuacion quhet pjerrësia e një vije të drejtë. Është e barabartë me tangjenten këndi i animit këtë vijë të drejtë.
Këndi i drejtë- këndi midis drejtimit pozitiv të boshtit \(Ox\) dhe drejtëzës së dhënë, i matur në drejtim të këndeve pozitive (d.m.th., në drejtimin e rrotullimit më të vogël nga boshti \(Ox\) në \ (Oy\) boshti).
Derivati i funksionit \(f(x)\) në pikën \(x_0\) është i barabartë me pjerrësinë e tangjentes me grafikun e funksionit në pikën e dhënë: \(f"(x_0)=\tg \alfa.\)
Nëse \(f"(x_0)=0\), atëherë tangjentja me grafikun e funksionit \(f(x)\) në pikën \(x_0\) është paralel me boshtin \(Ox\).
Ekuacioni tangjent
Ekuacioni i tangjentes në grafikun e funksionit \(f(x)\) në pikën \(x_0\):
\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)
Monotonia e funksionit Nëse derivati i një funksioni është pozitiv në të gjitha pikat e një intervali, atëherë funksioni rritet në atë interval.
Nëse derivati i një funksioni është negativ në të gjitha pikat e një intervali, atëherë funksioni zvogëlohet në atë interval.
Pikat minimale, maksimale dhe të lakimit pozitive në negativ në këtë pikë, atëherë \(x_0\) është pika maksimale e funksionit \(f\).
Nëse funksioni \(f\) është i vazhdueshëm në pikën \(x_0\), dhe vlera e derivatit të këtij funksioni \(f"\) ndryshon nga negativ në pozitive në këtë pikë, atëherë \(x_0\) është pika minimale e funksionit \(f\).
Quhen pikat në të cilat derivati \(f"\) është i barabartë me zero ose nuk ekziston pikat kritike funksionet \(f\).
Pikat e brendshme të zonës së përkufizimit të funksionit \(f(x)\), ku \(f"(x)=0\) mund të jenë pika minimale, maksimale ose të përkuljes.
Kuptimi fizik i derivatit Nëse një pikë materiale lëviz në një vijë të drejtë dhe koordinata e saj ndryshon në varësi të kohës sipas ligjit \(x=x(t)\), atëherë shpejtësia e kësaj pike është e barabartë me derivatin kohor të koordinatës:
Nxitimi pikë materiale në të barabartë me derivatin e shpejtësisë së kësaj pike në lidhje me kohën:
\(a(t)=v"(t).\)
Drejtëza y=3x+2 është tangjente me grafikun e funksionit y=-12x^2+bx-10. Gjeni b , duke pasur parasysh se abshisa e pikës së prekjes është më e vogël se zero.
Trego ZgjidhjenZgjidhje
Le të jetë x_0 abshisa e pikës në grafikun e funksionit y=-12x^2+bx-10 nëpër të cilën kalon tangjentja e këtij grafiku.
Vlera e derivatit në pikën x_0 është e barabartë me pjerrësinë e tangjentes, pra y"(x_0)=-24x_0+b=3. Nga ana tjetër, pika tangjente i përket edhe grafikut të funksionit edhe tangjente, dmth -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Marrim një sistem ekuacionesh \fillimi(rastet) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \fund (rastet)
Duke zgjidhur këtë sistem, marrim x_0^2=1, që do të thotë ose x_0=-1 ose x_0=1. Sipas kushtit të abshisës, pikat e prekjes janë më të vogla se zero, pra x_0=-1, pastaj b=3+24x_0=-21.
Përgjigju
gjendja
Figura tregon një grafik të funksionit y=f(x) (i cili është një vijë e thyer e përbërë nga tre segmente të drejtëza). Duke përdorur figurën, llogaritni F(9)-F(5), ku F(x) është një nga antiderivativët e f(x).
Trego ZgjidhjenZgjidhje
Sipas formulës Njuton-Leibniz, diferenca F(9)-F(5), ku F(x) është një nga antiderivativët e funksionit f(x), është e barabartë me sipërfaqen e trapezoidit kurvilinear të kufizuar. nga grafiku i funksionit y=f(x), drejtëza y=0 , x=9 dhe x=5. Sipas grafikut, ne përcaktojmë se trapezi lakor i specifikuar është një trapez me baza të barabarta me 4 dhe 3 dhe një lartësi 3.
Sipërfaqja e saj është e barabartë me \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.
Përgjigju
Burimi: “Matematika. Përgatitja për provimin-2017. Niveli i profilit". Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
gjendja
Figura tregon një grafik të y \u003d f "(x) - derivati i funksionit f (x), i përcaktuar në intervalin (-4; 10). Gjeni intervalet e funksionit në rënie f (x). Në përgjigjen tuaj , tregoni gjatësinë e më të madhit prej tyre.
Zgjidhje
Siç e dini, funksioni f (x) zvogëlohet në ato intervale, në secilën pikë të të cilave derivati f "(x) është më i vogël se zero. Duke marrë parasysh se është e nevojshme të gjendet gjatësia e më të madhit prej tyre, tre intervale të tilla dallohen natyrshëm nga figura: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).
Gjatësia e më të madhit prej tyre - (5; 9) është e barabartë me 4.
Përgjigju
Burimi: “Matematika. Përgatitja për provimin-2017. niveli i profilit. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
gjendja
Figura tregon një grafik të y \u003d f "(x) - derivati i funksionit f (x), i përcaktuar në intervalin (-8; 7). Gjeni numrin e pikave maksimale të funksionit f (x), që i përkasin intervalit [-6; -2].
.png)
Zgjidhje
Grafiku tregon se derivati f "(x) i funksionit f (x) ndryshon shenjën nga plus në minus (do të ketë një maksimum në pika të tilla) saktësisht në një pikë (midis -5 dhe -4) nga intervali [ -6; -2 Prandaj, ka saktësisht një pikë maksimale në intervalin [-6;-2].
Përgjigju
Burimi: “Matematika. Përgatitja për provimin-2017. niveli i profilit. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
gjendja
Figura tregon një grafik të funksionit y=f(x) të përcaktuar në intervalin (-2; 8). Përcaktoni numrin e pikave ku derivati i funksionit f(x) është i barabartë me 0.
Zgjidhje
Nëse derivati në një pikë është i barabartë me zero, atëherë tangjentja me grafikun e funksionit të vizatuar në këtë pikë është paralele me boshtin Ox. Prandaj, gjejmë pika të tilla në të cilat tangjentja e grafikut të funksionit është paralele me boshtin Ox. Në këtë grafik, pika të tilla janë pika ekstreme (pikat maksimale ose minimale). Siç mund ta shihni, ka 5 pika ekstreme.
Përgjigju
Burimi: “Matematika. Përgatitja për provimin-2017. niveli i profilit. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
gjendja
Drejtëza y=-3x+4 është paralele me tangjenten në grafikun e funksionit y=-x^2+5x-7. Gjeni abshisën e pikës së kontaktit.
Trego ZgjidhjenZgjidhje
Pjerrësia e drejtëzës në grafikun e funksionit y=-x^2+5x-7 në një pikë arbitrare x_0 është y"(x_0). Por y"=-2x+5, pra y"(x_0)=- 2x_0+5.Këndore koeficienti i drejtëzës y=-3x+4 i specifikuar në kusht është -3.Vijat paralele kanë koeficientë të njëjtë të pjerrësisë.Prandaj, gjejmë një vlerë të tillë x_0 që =-2x_0 +5=-3.
Ne marrim: x_0 = 4.
Përgjigju
Burimi: “Matematika. Përgatitja për provimin-2017. niveli i profilit. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
gjendja
Në figurë është paraqitur grafiku i funksionit y=f(x) dhe pikat e shënuara -6, -1, 1, 4 në boshtin x. Në cilën nga këto pika është më e vogla vlera e derivatit? Ju lutemi, tregoni këtë pikë në përgjigjen tuaj.