Considere las siguientes ecuaciones:
1. 2*x + 3*y = 15;
2. x2 + y2 = 4;
4. 5*x 3 + y 2 = 8.
Cada una de las ecuaciones anteriores es una ecuación con dos variables. El conjunto de puntos en el plano de coordenadas cuyas coordenadas convierten la ecuación en una verdadera igualdad numérica se llama gráfica de una ecuación con dos incógnitas.
Gráfica de una ecuación con dos variables
Las ecuaciones con dos variables tienen una amplia variedad de gráficos. Por ejemplo, para la ecuación 2*x + 3*y = 15, la gráfica será una línea recta, para la ecuación x 2 + y 2 = 4, la gráfica será un círculo de radio 2, la gráfica de la ecuación y*x = 1 será una hipérbola, etc.
Las ecuaciones enteras con dos variables también tienen un grado. Este grado se determina de la misma manera que para toda la ecuación con una variable. Para hacer esto, la ecuación se lleva a la forma cuando el lado izquierdo es un polinomio vista estándar, mientras que el de la derecha es cero. Esto se hace mediante transformaciones equivalentes.
Manera gráfica de resolver sistemas de ecuaciones.
Averigüemos cómo resolver sistemas de ecuaciones que consistirán en dos ecuaciones con dos variables. Considere una forma gráfica de resolver tales sistemas.
Ejemplo 1. Resuelve el sistema de ecuaciones:
( x 2 + y 2 = 25
(y = -x 2 + 2*x + 5.
Tracemos las gráficas de la primera y la segunda ecuación en el mismo sistema de coordenadas. La gráfica de la primera ecuación será un círculo con centro en el origen y radio 5. La gráfica de la segunda ecuación será una parábola con ramas hacia abajo.
Todos los puntos de los gráficos satisfarán cada uno su propia ecuación. Necesitamos encontrar tales puntos que satisfagan tanto la primera como la segunda ecuación. Evidentemente, estos serán los puntos de intersección de estas dos gráficas.
Usando nuestro dibujo, encontramos los valores aproximados de las coordenadas en las que se cruzan estos puntos. Obtenemos los siguientes resultados:
A(-2.2;-4.5), B(0;5), C(2.2;4.5), D(4,-3).
Entonces nuestro sistema de ecuaciones tiene cuatro soluciones.
x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4.5;
x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;
x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;
x4 ≈ 4, y4 ≈ -3.
Si sustituimos estos valores en las ecuaciones de nuestro sistema, podemos ver que la primera y la tercera solución son aproximadas, y la segunda y la cuarta son exactas. El método gráfico se usa a menudo para estimar el número de raíces y sus límites aproximados. Las soluciones son más a menudo aproximadas que exactas.
En esta lección, consideraremos resolver sistemas de dos ecuaciones con dos variables. Consideremos primero la solución gráfica del sistema de dos ecuaciones lineales, las especificidades de la totalidad de sus gráficos. A continuación, resolvemos varios sistemas usando un método gráfico.
Tema: Sistemas de Ecuaciones
Lección: Método gráfico para resolver un sistema de ecuaciones
Considere el sistema
Un par de números que es simultáneamente una solución tanto para la primera como para la segunda ecuación del sistema se llama solución del sistema de ecuaciones.
Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar todas sus soluciones, o establecer que no hay soluciones. Hemos considerado las gráficas de las ecuaciones básicas, pasemos a la consideración de los sistemas.
Ejemplo 1. Resuelve el sistema 
Solución:
Estas son ecuaciones lineales, la gráfica de cada una de ellas es una línea recta. La gráfica de la primera ecuación pasa por los puntos (0; 1) y (-1; 0). La gráfica de la segunda ecuación pasa por los puntos (0; -1) y (-1; 0). Las rectas se cortan en el punto (-1; 0), esta es la solución al sistema de ecuaciones ( Arroz. 1).
La solución del sistema es un par de números, sustituyendo este par de números en cada ecuación, obtenemos la igualdad correcta.
Tenemos única decisión sistema lineal.
Recuerde que al resolver un sistema lineal, son posibles los siguientes casos:
el sistema tiene una solución única: las líneas se intersecan,
el sistema no tiene soluciones - las rectas son paralelas,
el sistema tiene un número infinito de soluciones - las líneas coinciden.
Hemos considerado un caso especial del sistema, cuando p(x; y) y q(x; y) son expresiones lineales de x e y.
Ejemplo 2. Resolver un sistema de ecuaciones 
Solución:
La gráfica de la primera ecuación es una línea recta, la gráfica de la segunda ecuación es un círculo. Construyamos el primer gráfico por puntos (Fig. 2).
El centro del círculo está en el punto O(0; 0), el radio es 1.
Las gráficas se intersecan en el punto A(0; 1) y el punto B(-1; 0).
Ejemplo 3. Resuelve el sistema gráficamente
Solución: Construyamos un gráfico de la primera ecuación: este es un círculo con un centro en el punto O (0; 0) y un radio de 2. El gráfico de la segunda ecuación es una parábola. Se desplaza con respecto al origen en 2 hacia arriba, es decir su parte superior es el punto (0; 2) (Fig. 3).
Los gráficos tienen un punto común: t. A (0; 2). Es la solución al sistema. Sustituye un par de números en la ecuación para verificar la corrección.
Ejemplo 4. Resuelve el sistema
Solución: Construyamos un gráfico de la primera ecuación: este es un círculo con un centro en el punto O (0; 0) y un radio de 1 (Fig. 4).
Construyamos un gráfico de la función Esta es una línea discontinua (Fig. 5).
Ahora vamos a moverlo 1 hacia abajo a lo largo del eje oy. Esta será la gráfica de la función.
Coloquemos ambas gráficas en el mismo sistema de coordenadas (Fig. 6).
Obtenemos tres puntos de intersección: el punto A (1; 0), el punto B (-1; 0), el punto C (0; -1).
Hemos revisado método gráfico soluciones de sistemas. Si es posible graficar cada ecuación y encontrar las coordenadas de los puntos de intersección, entonces este método es suficiente.
Pero a menudo, el método gráfico permite encontrar solo una solución aproximada del sistema o responder a la pregunta sobre el número de soluciones. Por lo tanto, se necesitan otros métodos, más precisos, y los trataremos en las próximas lecciones.
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Más confiable que el método gráfico discutido en el párrafo anterior.
Método de sustitución
Usamos este método en el 7mo grado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El algoritmo que se desarrolló en el 7º grado es bastante adecuado para resolver sistemas de dos ecuaciones cualesquiera (no necesariamente lineales) con dos variables x e y (por supuesto, las variables se pueden denotar con otras letras, lo cual no importa). De hecho, usamos este algoritmo en el párrafo anterior, cuando el problema de un número de dos dígitos llevó a un modelo matemático, que es un sistema de ecuaciones. Resolvimos este sistema de ecuaciones anterior por el método de sustitución (ver ejemplo 1 de § 4).
Algoritmo para usar el método de sustitución al resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables x, y.
1. Exprese y en términos de x a partir de una ecuación del sistema.
2. Sustituya la expresión resultante en lugar de y en otra ecuación del sistema.
3. Resuelva la ecuación resultante para x.
4. Sustituya a su vez cada una de las raíces de la ecuación encontrada en el tercer paso en lugar de x en la expresión y hasta x obtenida en el primer paso.
5. Escriba la respuesta en forma de pares de valores (x; y), que se encontraron, respectivamente, en los pasos tercero y cuarto.
4) Sustituya a su vez cada uno de los valores encontrados de y en la fórmula x \u003d 5 - Zy. si entonces 
5) Pares (2; 1) y soluciones de un sistema de ecuaciones dado.
Respuesta: (2; 1);
método de suma algebraica
Este método, al igual que el método de sustitución, le es familiar desde el curso de álgebra de séptimo grado, donde se usó para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Recordamos la esencia del método en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2 Resolver un sistema de ecuaciones
Multiplicamos todos los términos de la primera ecuación del sistema por 3, y dejamos la segunda ecuación sin cambios: 
Resta la segunda ecuación del sistema de su primera ecuación:
Como resultado de la suma algebraica de dos ecuaciones del sistema original, se obtuvo una ecuación que es más simple que la primera y la segunda ecuaciones del sistema dado. Con esta ecuación más simple, tenemos derecho a reemplazar cualquier ecuación de un sistema dado, por ejemplo, la segunda. Entonces el sistema de ecuaciones dado será reemplazado por un sistema más simple:
Este sistema se puede resolver por el método de sustitución. De la segunda ecuación encontramos Sustituyendo esta expresión en lugar de y en la primera ecuación del sistema, obtenemos
Queda por sustituir los valores encontrados de x en la fórmula
Si x = 2 entonces
Así, hemos encontrado dos soluciones al sistema: 
Método de introducción de nuevas variables
Te familiarizaste con el método de introducir una nueva variable al resolver ecuaciones racionales con una variable en el curso de álgebra de octavo grado. La esencia de este método para resolver sistemas de ecuaciones es la misma, pero desde un punto de vista técnico hay algunas características que discutiremos en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 3 Resolver un sistema de ecuaciones
Introduzcamos una nueva variable Entonces la primera ecuación del sistema se puede reescribir en más forma simple: Resolvamos esta ecuación para la variable t:
Ambos valores satisfacen la condición y, por lo tanto, son raíces. ecuación racional con t variable Pero eso significa ya sea de donde encontramos que x = 2y, o
Así, usando el método de introducir una nueva variable, logramos, por así decirlo, "estratificar" la primera ecuación del sistema, que es bastante compleja en apariencia, en dos ecuaciones más simples:
x = 2 y; y - 2x.
¿Que sigue? Y luego cada uno de los dos recibió ecuaciones simples es necesario considerar a su vez en el sistema con la ecuación x 2 - y 2 \u003d 3, que aún no hemos recordado. En otras palabras, el problema se reduce a resolver dos sistemas de ecuaciones:
Es necesario encontrar soluciones para el primer sistema, el segundo sistema e incluir todos los pares de valores resultantes en la respuesta. Resolvamos el primer sistema de ecuaciones:
Usemos el método de sustitución, especialmente porque todo está listo aquí: sustituimos la expresión 2y en lugar de x en la segunda ecuación del sistema. Obtener
Como x \u003d 2y, encontramos x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2, respectivamente, por lo tanto, se obtienen dos soluciones para el sistema dado: (2; 1) y (-2; -1). Resolvamos el segundo sistema de ecuaciones:
Usemos de nuevo el método de sustitución: sustituimos la expresión 2x en lugar de y en la segunda ecuación del sistema. Obtener
Esta ecuación no tiene raíces, lo que significa que el sistema de ecuaciones no tiene soluciones. Por lo tanto, solo las soluciones del primer sistema deben incluirse en la respuesta.
Respuesta: (2; 1); (-2;-1).
El método de introducción de nuevas variables en la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos variables se utiliza en dos versiones. Primera opción: se introduce una nueva variable y se utiliza en una sola ecuación del sistema. Esto es exactamente lo que sucedió en el ejemplo 3. La segunda opción: se introducen dos nuevas variables y se usan simultáneamente en ambas ecuaciones del sistema. Este será el caso en el ejemplo 4.
Ejemplo 4 Resolver un sistema de ecuaciones
Introduzcamos dos nuevas variables:
Aprendemos que entonces
Esto nos permitirá reescribir el sistema dado de una forma mucho más simple, pero con respecto a las nuevas variables a y b:
Como a \u003d 1, luego de la ecuación a + 6 \u003d 2 encontramos: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Así, para las variables a y b, tenemos una solución:
Volviendo a las variables x e y, obtenemos el sistema de ecuaciones
Para resolver este sistema, aplicamos el método suma algebraica:
Desde entonces de la ecuación 2x + y = 3 encontramos:
Así, para las variables x e y, tenemos una solución:
Concluyamos esta sección con una breve pero bastante seria discusión teórica. ¿Ya ha ganado algo de experiencia en la resolución de varias ecuaciones: lineal, cuadrado, racional, irracional. Sabes que la idea principal de resolver una ecuación es pasar gradualmente de una ecuación a otra, más simple pero equivalente a la dada. En la sección anterior, presentamos la noción de equivalencia para ecuaciones con dos variables. Este concepto también se utiliza para los sistemas de ecuaciones.
Definición.
Se dice que dos sistemas de ecuaciones con variables x e y son equivalentes si tienen las mismas soluciones o si ambos sistemas no tienen soluciones.
Los tres métodos (sustitución, suma algebraica e introducción de nuevas variables) que hemos analizado en esta sección son absolutamente correctos desde el punto de vista de la equivalencia. En otras palabras, usando estos métodos, reemplazamos un sistema de ecuaciones por otro, más simple, pero equivalente al sistema original.
Método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones.
Ya hemos aprendido a resolver sistemas de ecuaciones de formas tan comunes y fiables como el método de sustitución, la suma algebraica y la introducción de nuevas variables. Y ahora recordemos el método que ya estudiaste en la lección anterior. Es decir, repitamos lo que sabe sobre el método de solución gráfica.
El método de resolución de sistemas de ecuaciones gráficamente es la construcción de una gráfica para cada una de las ecuaciones específicas que se incluyen en este sistema y se encuentran en el mismo plano de coordenadas, y también donde se requiere encontrar la intersección de los puntos de estas gráficas. . Para resolver este sistema de ecuaciones son las coordenadas de este punto (x; y).
Cabe recordar que para sistema de gráficos las ecuaciones tienden a tener una única solución correcta, un número infinito de soluciones, o no tienen ninguna solución.
Ahora echemos un vistazo más de cerca a cada una de estas soluciones. Y así, el sistema de ecuaciones puede tener una solución única si las rectas, que son las gráficas de las ecuaciones del sistema, se cortan. Si estas líneas son paralelas, entonces dicho sistema de ecuaciones no tiene absolutamente ninguna solución. En el caso de la coincidencia de los gráficos directos de las ecuaciones del sistema, dicho sistema le permite encontrar muchas soluciones.
Bueno, ahora echemos un vistazo al algoritmo para resolver un sistema de dos ecuaciones con 2 incógnitas usando un método gráfico:
Primero, primero construimos un gráfico de la primera ecuación;
El segundo paso será trazar un gráfico que se relacione con la segunda ecuación;
En tercer lugar, necesitamos encontrar los puntos de intersección de los gráficos.
Y como resultado, obtenemos las coordenadas de cada punto de intersección, que será la solución al sistema de ecuaciones.
Veamos este método con más detalle con un ejemplo. Nos dan un sistema de ecuaciones a resolver:
Resolución de ecuaciones
1. Primero, construiremos un gráfico de esta ecuación: x2+y2=9.
Pero cabe señalar que esta gráfica de ecuaciones será una circunferencia con centro en el origen, y su radio será igual a tres.
2. Nuestro próximo paso será trazar una ecuación como: y = x - 3.
En este caso, debemos construir una recta y encontrar los puntos (0;−3) y (3;0).
3. Veamos qué tenemos. Vemos que la línea corta al círculo en dos de sus puntos A y B.
Ahora estamos buscando las coordenadas de estos puntos. Vemos que las coordenadas (3;0) corresponden al punto A, y las coordenadas (0;−3) corresponden al punto B.
¿Y qué obtenemos como resultado?
Los números (3;0) y (0;−3) obtenidos en la intersección de una recta con una circunferencia son precisamente las soluciones de ambas ecuaciones del sistema. Y de esto se sigue que estos números también son soluciones de este sistema de ecuaciones.
Es decir, la respuesta de esta solución son los números: (3;0) y (0;−3).
Videotutorial « forma gráfica soluciones de sistemas de ecuaciones” presenta material educativo para explorar este tema. El material contiene concepto general sobre la resolución de un sistema de ecuaciones, así como una explicación detallada mediante un ejemplo de cómo se resuelve gráficamente un sistema de ecuaciones.
La ayuda visual utiliza animación para una ejecución más conveniente y comprensible de las construcciones, así como para diferentes caminos asignación conceptos importantes y detalles para una comprensión profunda del material, su mejor memorización.
El video tutorial comienza introduciendo el tema. Se recuerda a los estudiantes qué es un sistema de ecuaciones y con qué sistemas de ecuaciones ya tenían que familiarizarse en el 7º grado. Previamente, los estudiantes tenían que resolver sistemas de ecuaciones de la forma ax+by=c. Profundizando el concepto de resolver sistemas de ecuaciones y con el fin de formar la habilidad para resolverlos, esta lección en video analiza la solución de un sistema que consta de dos ecuaciones de segundo grado, así como una ecuación de segundo grado, y la segunda - de primer grado. Te recuerda lo que es una solución a un sistema de ecuaciones. En pantalla se muestra la definición de la solución del sistema como un par de valores de las variables que invierten sus ecuaciones al sustituir en la igualdad correcta. De acuerdo con la definición de la solución del sistema, se especifica la tarea. Se muestra en la pantalla para recordar que para resolver el sistema - significa encontrar soluciones adecuadas o probar su ausencia.
Se propone dominar el método gráfico de resolución de un determinado sistema de ecuaciones. Solicitud este método se considera en el ejemplo de resolver un sistema que consta de las ecuaciones x 2 + y 2 \u003d 16 y y \u003d - x 2 + 2x + 4. La solución gráfica del sistema comienza con la representación gráfica de cada una de estas ecuaciones. Obviamente, el gráfico de la ecuación x 2 + y 2 \u003d 16 será un círculo. Los puntos pertenecientes a este círculo son la solución de la ecuación. Junto a la ecuación, se construye un círculo con un radio de 4 en el plano de coordenadas con el centro O en el origen. El gráfico de la segunda ecuación es una parábola, cuyas ramas se bajan. Esta parábola se construye en el plano de coordenadas, correspondiente a la gráfica de la ecuación. Cualquier punto que pertenezca a la parábola es una solución a la ecuación y \u003d -x 2 + 2x + 4. Se explica que la solución de un sistema de ecuaciones son puntos sobre las gráficas que pertenecen simultáneamente a las gráficas de ambas ecuaciones. Esto significa que los puntos de intersección de las gráficas construidas serán soluciones al sistema de ecuaciones.
Se destaca que el método gráfico consiste en hallar el valor aproximado de las coordenadas de puntos ubicados en la intersección de dos gráficas, que reflejan el conjunto de soluciones a cada ecuación del sistema. La figura marca las coordenadas de los puntos de intersección encontrados de dos gráficos: A, B, C, D[-2;-3.5]. Estos puntos son soluciones del sistema de ecuaciones encontrado gráficamente. Puede verificar su corrección sustituyéndolos en la ecuación y obteniendo una igualdad justa. Después de sustituir los puntos en la ecuación, se puede ver que algunos de los puntos dan el valor exacto de la solución y algunos representan el valor aproximado de la solución de la ecuación: x 1 =0, y 1 =4; x 2 \u003d 2, y 2 ≈3.5; x 3 ≈3.5, y 3 \u003d -2; x 4 \u003d -2, y 4 ≈ -3.5.
El video tutorial explica en detalle la esencia y aplicación del método gráfico para resolver un sistema de ecuaciones. Esto hace que sea posible usarlo como una ayuda de video en una lección de álgebra en la escuela cuando se estudia este tema. Además, el material será útil para autoestudio estudiantes y puede ayudar a explicar el tema en el aprendizaje a distancia.
Una forma de resolver ecuaciones es un método gráfico. Se basa en graficar funciones y determinar sus puntos de intersección. Considere una forma gráfica de resolver la ecuación cuadrática a*x^2+b*x+c=0.
Primera forma de resolver
Transformemos la ecuación a*x^2+b*x+c=0 a la forma a*x^2 =-b*x-c. Construimos gráficos de dos funciones y= a*x^2 (parábola) y y=-b*x-c (línea recta). Buscando puntos de intersección. Las abscisas de los puntos de intersección serán la solución a la ecuación.
Mostremos con un ejemplo: resuelve la ecuación x^2-2*x-3=0.
Vamos a transformarlo en x^2 =2*x+3. Construimos gráficos de funciones y= x^2 e y=2*x+3 en un sistema de coordenadas.
Los gráficos se intersecan en dos puntos. Sus abscisas serán las raíces de nuestra ecuación.
Solución de fórmula
Para ser convincentes, comprobamos esta solución analíticamente. Nosotros decidiremos ecuación cuadrática según la fórmula:
D = 4-4*1*(-3) = 16.
X1= (2+4)/2*1 = 3.
X2 = (2-4)/2*1 = -1.
Medio, las soluciones coinciden.
El método gráfico para resolver ecuaciones también tiene su inconveniente, con su ayuda no siempre es posible obtener una solución exacta de la ecuación. Intentemos resolver la ecuación x^2=3+x.
Construyamos una parábola y=x^2 y una línea recta y=3+x en el mismo sistema de coordenadas.
Nuevamente obtuve una imagen similar. Una recta y una parábola se cortan en dos puntos. Pero no podemos decir los valores exactos de las abscisas de estos puntos, solo aproximados: x≈-1.3 x≈2.3.
Si estamos satisfechos con las respuestas de tal precisión, podemos usar este método, pero esto rara vez sucede. Por lo general, se necesitan soluciones exactas. Por lo tanto, el método gráfico rara vez se usa, y principalmente para verificar soluciones existentes.
¿Necesitas ayuda con tus estudios?
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