Starp dažādajām algebrā aplūkotajām izteiksmēm monomālu summas ieņem nozīmīgu vietu. Šeit ir šādu izteicienu piemēri:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Monomu summu sauc par polinomu. Polinoma terminus sauc par polinoma terminiem. Monomiālus klasificē arī kā polinomus, uzskatot, ka mononoms ir polinoms, kas sastāv no viena locekļa.
Piemēram, polinoms
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
var vienkāršot.
Visus terminus attēlosim monomu veidā standarta skats:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Iesniegsim līdzīgus terminus iegūtajā polinomā:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultāts ir polinoms, kura visi termini ir standarta formas monomi, un starp tiem nav līdzīgu. Tādus polinomus sauc standarta formas polinomi.
Aiz muguras polinoma pakāpe standarta veidlapas veidlapā, ir augstākās no tās locekļu pilnvarām. Tādējādi binomiālam \(12a^2b - 7b\) ir trešā pakāpe, bet trinomim \(2b^2 -7b + 6\) ir otrā pakāpe.
Parasti standarta formas polinomu termini, kas satur vienu mainīgo, ir sakārtoti eksponentu dilstošā secībā. Piemēram:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Vairāku polinomu summu var pārveidot (vienkāršot) standarta formas polinomā.
Dažreiz polinoma termini ir jāsadala grupās, katru grupu iekļaujot iekavās. Tā kā pievienojošās iekavas ir atverošo iekavu apgrieztā transformācija, to ir viegli formulēt iekavu atvēršanas noteikumi:
Ja pirms iekavām ir zīme “+”, tad iekavās ietvertos terminus raksta ar tādām pašām zīmēm.
Ja pirms iekavām ir zīme “-”, tad iekavās ietvertos terminus raksta ar pretējām zīmēm.
Monoma un polinoma reizinājuma transformācija (vienkāršošana).
Izmantojot sadales īpašums reizinājumus var pārvērst (vienkāršot) polinomā, monoma un polinoma reizinājumu. Piemēram:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Monoma un polinoma reizinājums ir identiski vienāds ar šī monoma un katra polinoma skaitļa reizinājumu summu.
Šis rezultāts parasti tiek formulēts kā likums.
Lai reizinātu monomu ar polinomu, šis monoms ir jāreizina ar katru polinoma vārdu.
Mēs jau esam izmantojuši šo noteikumu vairākas reizes, lai reizinātu ar summu.
Polinomu reizinājums. Divu polinomu reizinājuma transformācija (vienkāršošana).
Kopumā divu polinoma reizinājums ir identiski vienāds ar viena polinoma katra vārda reizinājumu un otra polinoma katra vārda reizinājumu.
Parasti tiek izmantots šāds noteikums.
Lai reizinātu polinomu ar polinomu, jums ir jāreizina katrs viena polinoma termins ar otru un jāsaskaita iegūtie produkti.
Saīsinātās reizināšanas formulas. Summa kvadrāti, kvadrātu atšķirības un atšķirības
Ar dažām izteiksmēm algebriskajās transformācijās nākas saskarties biežāk nekā ar citām. Iespējams, visizplatītākās izteiksmes ir \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) un \(a^2 - b^2 \), t.i., summas kvadrāts, kvadrāts kvadrātu atšķirība un atšķirība. Jūs pamanījāt, ka šo izteiksmju nosaukumi šķiet nepilnīgi, piemēram, \((a + b)^2 \), protams, nav tikai summas kvadrāts, bet arī a un b summas kvadrāts. . Taču a un b summas kvadrāts negadās īpaši bieži, parasti burtu a un b vietā tajā ir dažādas, dažkārt diezgan sarežģītas izteiksmes.
Izteiksmes \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) var viegli konvertēt (vienkāršot) standarta formas polinomos; patiesībā jūs jau esat saskāries ar šo uzdevumu, reizinot polinomus:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Ir lietderīgi atcerēties iegūtās identitātes un lietot tās bez starpaprēķiniem. To palīdz īsi verbāli formulējumi.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - summas kvadrāts ir vienāds ar kvadrātu summu un dubultreizinājumu.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - starpības kvadrāts ir vienāds ar kvadrātu summu bez dubultā reizinājuma.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - kvadrātu starpība ir vienāda ar starpības un summas reizinājumu.
Šīs trīs identitātes ļauj transformācijās aizstāt tās kreisās daļas ar labajām un otrādi - labās puses daļas ar kreisajām. Visgrūtākais ir saskatīt atbilstošās izteiksmes un saprast, kā tajos tiek aizstāti mainīgie a un b. Apskatīsim vairākus saīsināto reizināšanas formulu izmantošanas piemērus.
Šajā rakstā mēs detalizēti aplūkosim tik svarīgas tēmas pamatnoteikumus matemātikas kursā kā sākuma iekavas. Lai pareizi atrisinātu vienādojumus, kuros tie tiek izmantoti, jums jāzina iekavu atvēršanas noteikumi.
Kā pareizi atvērt iekavas pievienojot
Izvērsiet iekavas, pirms kurām ir “+” zīme
Šis ir vienkāršākais gadījums, jo, ja iekavām priekšā ir pievienošanas zīme, tad, atverot kronšteinus, zīmes to iekšpusē nemainās. Piemērs:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Kā izvērst iekavas, pirms kurām ir zīme "-".
Šajā gadījumā jums ir jāpārraksta visi termini bez iekavām, bet tajā pašā laikā jāmaina visas tajos esošās zīmes uz pretējām. Zīmes mainās tikai tiem terminiem no tām iekavām, kurām priekšā ir zīme “-”. Piemērs:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Kā reizināšanas laikā atvērt iekavas
Pirms iekavām ir reizinātāja skaitlis
Šajā gadījumā jums ir jāreizina katrs termins ar koeficientu un jāatver iekavas, nemainot zīmes. Ja reizinātājam ir “-” zīme, tad reizināšanas laikā vārdu zīmes tiek apgrieztas. Piemērs:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Kā atvērt divas iekavas ar reizināšanas zīmi starp tām
Šajā gadījumā jums ir jāreizina katrs vārds no pirmajām iekavām ar katru vārdu no otrajām iekavām un pēc tam jāpievieno rezultāti. Piemērs:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Kā kvadrātā atvērt iekavas
Ja divu vārdu summa vai starpība ir kvadrātā, iekavas jāatver pēc šādas formulas:
(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.
Ja iekavās ir mīnuss, formula nemainās. Piemērs:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Kā paplašināt iekavas citā pakāpē
Ja terminu summa vai starpība tiek palielināta, piemēram, līdz 3. vai 4. pakāpei, tad jums vienkārši ir jāsadala iekavas jauda “kvadrātos”. Identisku faktoru pakāpes tiek saskaitītas, un, dalot, dalītāja jauda tiek atņemta no dividendes jaudas. Piemērs:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Kā atvērt 3 iekavas
Ir vienādojumi, kuros uzreiz tiek reizinātas 3 iekavas. Šajā gadījumā vispirms ir jāreizina pirmo divu iekavu vārdi kopā un pēc tam jāreizina šīs reizināšanas summa ar trešās iekavas vārdiem. Piemērs:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Šie iekavu atvēršanas noteikumi vienlīdz attiecas gan uz lineāro, gan trigonometrisko vienādojumu risināšanu.
Tagad mēs pāriesim pie iekavu atvēršanas izteiksmēs, kurās iekavās esošā izteiksme tiek reizināta ar skaitli vai izteiksmi. Formulēsim noteikumu iekavu atvēršanai, pirms kuras ir mīnusa zīme: iekavas kopā ar mīnusa zīmi tiek izlaistas, un visu iekavās esošo terminu zīmes tiek aizstātas ar pretējām.
Viens izteiksmes transformācijas veids ir iekavu paplašināšana. Skaitliskās, burtiskās un mainīgās izteiksmes var rakstīt, izmantojot iekavas, kas var norādīt darbību secību, satur negatīvu skaitli utt. Pieņemsim, ka iepriekš aprakstītajās izteiksmēs skaitļu un mainīgo vietā var būt jebkādas izteiksmes.
Un pievērsīsim uzmanību vēl vienam punktam attiecībā uz risinājuma rakstīšanas īpatnībām, atverot iekavas. Iepriekšējā rindkopā mēs runājām par to, ko sauc par sākuma iekavām. Lai to izdarītu, ir noteikumi par iekavu atvēršanu, kurus mēs tagad pārskatīsim. Šo noteikumu nosaka fakts, ka pozitīvos skaitļus parasti raksta bez iekavām; šajā gadījumā iekavas nav vajadzīgas. Izteiksmi (−3.7)−(−2)+4+(−9) bez iekavām var uzrakstīt kā −3.7+2+4−9.
Visbeidzot, trešā noteikuma daļa ir vienkārši ieraksta īpatnību dēļ negatīvi skaitļi pa kreisi no izteiksmes (kuru mēs minējām sadaļā par iekavām negatīvu skaitļu rakstīšanai). Jūs varat saskarties ar izteiksmēm, kas sastāv no skaitļa, mīnusa zīmēm un vairākiem iekavu pāriem. Ja atveriet iekavas, pārejot no iekšējās uz ārējo, risinājums būs šāds: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.
Kā atvērt iekavas?
Šeit ir paskaidrojums: −(−2 x) ir +2 x, un, tā kā šī izteiksme ir pirmajā vietā, +2 x var uzrakstīt kā 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/x)=−1 /x un −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Rakstītā iekavu atvēršanas noteikuma pirmā daļa tieši izriet no negatīvu skaitļu reizināšanas noteikuma. Tās otrā daļa ir skaitļu reizināšanas ar noteikumu sekas dažādas zīmes. Pāriesim pie piemēriem par iekavu atvēršanu produktos un divu skaitļu ar atšķirīgām zīmēm koeficientiem.
Atvēršanas iekavas: noteikumi, piemēri, risinājumi.
Iepriekš minētais noteikums ņem vērā visu šo darbību ķēdi un ievērojami paātrina iekavu atvēršanas procesu. Tas pats noteikums ļauj atvērt iekavas izteiksmēs, kas ir produkti, un daļējās izteiksmēs ar mīnusa zīmi, kas nav summas un atšķirības.
Apskatīsim šī noteikuma piemērošanas piemērus. Dosim atbilstošo noteikumu. Iepriekš mēs jau esam sastapušies ar formas −(a) un −(−a) izteiksmēm, kuras bez iekavām tiek rakstītas attiecīgi kā −a un a. Piemēram, −(3)=3 un. Tie ir īpaši norādītā noteikuma gadījumi. Tagad apskatīsim piemērus, kā atvērt iekavas, ja tajās ir summas vai atšķirības. Parādīsim šī noteikuma izmantošanas piemērus. Apzīmēsim izteiksmi (b1+b2) kā b, pēc kuras mēs izmantojam iekavas reizināšanas noteikumu ar izteiksmi no iepriekšējās rindkopas, iegūstam (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.
Ar indukciju šo apgalvojumu var paplašināt līdz patvaļīgam terminu skaitam katrā iekavā. Atliek atvērt iekavas iegūtajā izteiksmē, izmantojot iepriekšējo rindkopu noteikumus, beigās iegūstam 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.
Matemātikas noteikums ir atvērt iekavas, ja iekavās ir (+) un (-).
Šī izteiksme ir trīs faktoru (2+4), 3 un (5+7·8) reizinājums. Jums būs secīgi jāatver iekavas. Tagad mēs izmantojam noteikumu iekavas reizināšanai ar skaitli, mums ir ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Grādi, kuru pamatā ir daži iekavās rakstīti izteicieni, ar natūrā var uzskatīt par vairāku iekavu reizinājumu.
Piemēram, pārveidosim izteiksmi (a+b+c)2. Pirmkārt, mēs to rakstām kā divu iekavu (a+b+c)·(a+b+c) reizinājumu, tagad iekavu reizinām ar iekavu, iegūstam a·a+a·b+a·c+ b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.
Teiksim arī, lai palielinātu divu skaitļu summas un starpības dabiskais grāds Ieteicams izmantot Ņūtona binominālo formulu. Piemēram, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Ne mazāk ērti ir vispirms aizstāt dalīšanu ar reizināšanu un pēc tam izmantot atbilstošo noteikumu iekavas atvēršanai produktā.
Atliek saprast iekavu atvēršanas secību, izmantojot piemērus. Ņemsim izteiksmi (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Mēs aizstājam šos rezultātus ar sākotnējo izteiksmi: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . Atliek tikai pabeigt iekavas atvēršanu, kā rezultātā mums ir −5+3·2:4+6·7. Tas nozīmē, ka, pārejot no vienādības kreisās puses uz labo, notika iekavu atvēršana.
Ņemiet vērā, ka visos trīs piemēros mēs vienkārši noņēmām iekavas. Vispirms pievienojiet 445 pie 889. Šo darbību var veikt garīgi, taču tas nav ļoti viegli. Atvērsim iekavas un redzēsim, ka mainītā kārtība ievērojami vienkāršos aprēķinus.
Kā paplašināt iekavas citā pakāpē
Ilustrējošs piemērs un noteikums. Apskatīsim piemēru: . Izteiksmes vērtību var atrast, pievienojot 2 un 5 un pēc tam iegūstot iegūto skaitli no pretējā zīme. Noteikums nemainās, ja iekavās ir nevis divi, bet trīs vai vairāk termini. komentēt. Zīmes ir apgrieztas tikai terminu priekšā. Lai atvērtu iekavas, šajā gadījumā ir jāatceras sadales īpašība.
Par atsevišķiem cipariem iekavās
Jūsu kļūda nav zīmēs, bet gan nepareizā daļskaitļu apstrādē? 6. klasē mācījāmies par pozitīvajiem un negatīvajiem skaitļiem. Kā mēs atrisināsim piemērus un vienādojumus?
Cik ir iekavās? Ko jūs varat teikt par šiem izteicieniem? Protams, pirmā un otrā piemēra rezultāts ir vienāds, kas nozīmē, ka starp tiem var likt vienādības zīmi: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Ko mēs darījām ar iekavām?
6. slaida demonstrēšana ar iekavu atvēršanas noteikumiem. Tādējādi iekavu atvēršanas noteikumi palīdzēs mums atrisināt piemērus un vienkāršot izteiksmes. Tālāk studenti tiek aicināti strādāt pa pāriem: viņiem ir jāizmanto bultiņas, lai savienotu izteiksmi, kurā ir iekavas, ar atbilstošo izteiksmi bez iekavām.
11. slaids Reiz Saulainajā pilsētā Znaika un Danno strīdējās par to, kurš no viņiem ir pareizi atrisinājis vienādojumu. Tālāk skolēni paši atrisina vienādojumu, izmantojot iekavu atvēršanas noteikumus. Vienādojumu risināšana” Nodarbības mērķi: izglītojoši (zināšanu nostiprināšana par tēmu: “Atvēršanas iekavas.
Nodarbības tēma: “Atvēršanas iekavas. Šajā gadījumā jums ir jāreizina katrs vārds no pirmajām iekavām ar katru vārdu no otrajām iekavām un pēc tam jāpievieno rezultāti. Vispirms tiek ņemti pirmie divi faktori, kas ievietoti vēl vienā iekavā, un šajās iekavās tiek atvērtas iekavas saskaņā ar kādu no jau zināmajiem noteikumiem.
rawalan.freezeet.ru
Sākuma iekavas: noteikumi un piemēri (7. klase)
Iekavu galvenā funkcija ir mainīt darbību secību, aprēķinot vērtības skaitliskās izteiksmes . Piemēram, V skaitliski\(5·3+7\) vispirms tiks aprēķināts reizinājums un pēc tam saskaitīšana: \(5·3+7 =15+7=22\). Bet izteiksmē \(5·(3+7)\) vispirms tiks aprēķināta saskaitīšana iekavās un tikai pēc tam reizināšana: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Tomēr, ja mums ir darīšana ar algebriskā izteiksme kas satur mainīgs- piemēram, šādi: \(2(x-3)\) - tad nav iespējams aprēķināt iekavās esošo vērtību, mainīgais ir ceļā. Tāpēc šajā gadījumā iekavas tiek “atvērtas”, izmantojot atbilstošos noteikumus.
Iekavu atvēršanas noteikumi
Ja kronšteina priekšā ir plus zīme, tad kronšteins tiek vienkārši noņemts, izteiksme tajā paliek nemainīga. Citiem vārdiem sakot:
Šeit jāprecizē, ka matemātikā, lai saīsinātu apzīmējumus, plus zīmi pieņemts nerakstīt, ja tas izteiksmē parādās pirmais. Piemēram, ja saskaitām divus pozitīvus skaitļus, piemēram, septiņi un trīs, tad rakstām nevis \(+7+3\), bet vienkārši \(7+3\), neskatoties uz to, ka arī septiņi ir pozitīvs skaitlis. . Tāpat, ja redzat, piemēram, izteicienu \((5+x)\) - zināt to pirms iekavas ir pluss, kas nav rakstīts.
Piemērs
. Atveriet iekava un ievadiet līdzīgus terminus: \((x-11)+(2+3x)\).
Risinājums
: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).
Ja iekavas priekšā ir mīnusa zīme, tad, kad iekava tiek noņemta, katrs izteiksmes dalībnieks tajā maina zīmi uz pretējo:
Šeit ir jāprecizē, ka, kamēr iekavās bija a, bija plusa zīme (viņi to vienkārši neuzrakstīja), un pēc kronšteina noņemšanas šis plus tika mainīts uz mīnusu.
Piemērs
: vienkāršojiet izteiksmi \(2x-(-7+x)\).
Risinājums
: iekavas iekšpusē ir divi termini: \(-7\) un \(x\), un pirms iekavas ir mīnuss. Tas nozīmē, ka zīmes mainīsies – un septiņi tagad būs plus, un x tagad būs mīnuss. Atveriet kronšteinu un mēs piedāvājam līdzīgus terminus .
Piemērs.
Atveriet iekava un ievadiet līdzīgus terminus \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Risinājums
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Ja iekavas priekšā ir koeficients, tad katrs iekavas elements tiek reizināts ar to, tas ir:
Piemērs.
Izvērsiet iekavas \(5(3-x)\).
Risinājums
: iekavās ir \(3\) un \(-x\), un pirms iekavas ir piecinieks. Tas nozīmē, ka katrs iekavas elements tiek reizināts ar \(5\) — es jums to atgādinu Reizināšanas zīme starp skaitli un iekavām nav rakstīta matemātikā, lai samazinātu ierakstu lielumu.
Piemērs.
Izvērsiet iekavas \(-2(-3x+5)\).
Risinājums
: tāpat kā iepriekšējā piemērā, \(-3x\) un \(5\) iekavās tiek reizināti ar \(-2\).
Atliek apsvērt pēdējo situāciju.
Reizinot iekavu ar iekavu, katrs pirmās iekavas vārds tiek reizināts ar katru otrās iekavas vārdu:
Piemērs.
Izvērsiet iekavas \((2-x)(3x-1)\).
Risinājums
: Mums ir iekavu produkts, un to var nekavējoties paplašināt, izmantojot iepriekš minēto formulu. Bet, lai neapjuktu, darīsim visu soli pa solim.
1. darbība. Noņemiet pirmo kronšteinu un reiziniet katru elementu ar otro kronšteinu:
2. darbība. Izvērsiet iekavu un koeficienta produktus, kā aprakstīts iepriekš:
- Pirmās lietas vispirms...
3. darbība. Tagad mēs reizinām un parādām līdzīgus terminus:
Nav nepieciešams tik detalizēti aprakstīt visas pārvērtības, tās var pavairot uzreiz. Bet, ja jūs tikai mācāties atvērt iekavas, rakstiet detalizēti, būs mazāka iespēja kļūdīties.
Piezīme visai sadaļai. Patiesībā jums nav jāatceras visi četri noteikumi, jums ir jāatceras tikai viens, šis: \(c(a-b)=ca-cb\) . Kāpēc? Jo, ja c vietā aizstājat vienu, jūs iegūsit noteikumu \((a-b)=a-b\) . Un, ja mēs aizstājam mīnus viens, mēs iegūstam noteikumu \(-(a-b)=-a+b\) . Nu, ja aizstājat citu iekavu c vietā, varat iegūt pēdējo noteikumu.
Iekavas iekavās
Dažreiz praksē rodas problēmas ar iekavām, kas ir ligzdotas citās iekavās. Šeit ir šāda uzdevuma piemērs: vienkāršojiet izteiksmi \(7x+2(5-(3x+y))\).
Lai veiksmīgi atrisinātu šādus uzdevumus, jums ir nepieciešams:
- rūpīgi jāsaprot iekavu ligzdošana - kura kurā atrodas;
— secīgi atveriet kronšteinus, sākot, piemēram, ar visdziļāko.
Tas ir svarīgi, atverot kādu no kronšteiniem nepieskarieties pārējai izteiksmei, vienkārši pārrakstot to kā ir.
Kā piemēru aplūkosim iepriekš rakstīto uzdevumu.
Piemērs.
Atveriet iekavas un ievadiet līdzīgus vārdus \(7x+2(5-(3x+y))\).
Risinājums:
Sāksim uzdevumu, atverot iekšējo kronšteinu (iekšpusē esošo). Paplašinot to, mēs runājam tikai ar to, kas ar to tieši attiecas - tas ir pats kronšteins un mīnuss tā priekšā (izcelts zaļā krāsā). Mēs pārrakstām visu pārējo (neizcelto) tāpat kā tas bija.
Matemātikas uzdevumu risināšana tiešsaistē
Tiešsaistes kalkulators.
Polinoma vienkāršošana.
Polinomu reizināšana.
Ar šo matemātikas programmu jūs varat vienkāršot polinomu.
Kamēr programma darbojas:
- reizina polinomus
— summē monomālus (dod līdzīgus)
- atver iekavas
- paaugstina polinomu pakāpē
Polinomu vienkāršošanas programma ne tikai sniedz atbildi uz problēmu, tā sniedz detalizētu risinājumu ar paskaidrojumiem, t.i. parāda risinājuma procesu, lai jūs varētu pārbaudīt savas zināšanas matemātikā un/vai algebrā.
Šī programma var būt noderīga studentiem vidusskolas gatavojoties testiem un eksāmeni, pārbaudot zināšanas pirms Vienotā valsts eksāmena, vecākiem, lai kontrolētu daudzu matemātikas un algebras uzdevumu risināšanu. Vai varbūt jums ir pārāk dārgi algot pasniedzēju vai iegādāties jaunas mācību grāmatas? Vai arī vēlaties to paveikt pēc iespējas ātrāk? mājasdarbs matemātikā vai algebrā? Šajā gadījumā varat izmantot arī mūsu programmas ar detalizētiem risinājumiem.
Tādā veidā jūs varat vadīt savu apmācību un/vai jaunāko brāļu vai māsu apmācību, vienlaikus paaugstinot izglītības līmeni problēmu risināšanas jomā.
Jo Ir daudz cilvēku, kas vēlas atrisināt problēmu, jūsu pieprasījums ir ievietots rindā.
Pēc dažām sekundēm zemāk parādīsies risinājums.
Lūdzu, uzgaidiet mirkli.
Nedaudz teorijas.
Monomala un polinoma reizinājums. Polinoma jēdziens
Starp dažādajām algebrā aplūkotajām izteiksmēm monomālu summas ieņem nozīmīgu vietu. Šeit ir šādu izteicienu piemēri:
Monomu summu sauc par polinomu. Polinoma terminus sauc par polinoma terminiem. Monomiālus klasificē arī kā polinomus, uzskatot, ka mononoms ir polinoms, kas sastāv no viena locekļa.
Visus terminus attēlosim standarta formas monomu veidā:
Iesniegsim līdzīgus terminus iegūtajā polinomā:
Rezultāts ir polinoms, kura visi termini ir standarta formas monomi, un starp tiem nav līdzīgu. Tādus polinomus sauc standarta formas polinomi.
Aiz muguras polinoma pakāpe standarta veidlapas veidlapā, ir augstākās no tās locekļu pilnvarām. Tādējādi binomam ir trešā pakāpe, bet trinomim ir otrā pakāpe.
Parasti standarta formas polinomu termini, kas satur vienu mainīgo, ir sakārtoti eksponentu dilstošā secībā. Piemēram:
Vairāku polinomu summu var pārveidot (vienkāršot) standarta formas polinomā.
Dažreiz polinoma termini ir jāsadala grupās, katru grupu iekļaujot iekavās. Tā kā pievienojošās iekavas ir atverošo iekavu apgrieztā transformācija, to ir viegli formulēt iekavu atvēršanas noteikumi:
Ja pirms iekavām ir zīme “+”, tad iekavās ietvertos terminus raksta ar tādām pašām zīmēm.
Ja pirms iekavām ir zīme “-”, tad iekavās ietvertos terminus raksta ar pretējām zīmēm.
Monoma un polinoma reizinājuma transformācija (vienkāršošana).
Izmantojot reizināšanas sadales īpašību, jūs varat pārveidot (vienkāršot) monoma un polinoma reizinājumu polinomā. Piemēram:
Monoma un polinoma reizinājums ir identiski vienāds ar šī monoma un katra polinoma skaitļa reizinājumu summu.
Šis rezultāts parasti tiek formulēts kā likums.
Lai reizinātu monomu ar polinomu, šis monoms ir jāreizina ar katru polinoma vārdu.
Mēs jau esam izmantojuši šo noteikumu vairākas reizes, lai reizinātu ar summu.
Polinomu reizinājums. Divu polinomu reizinājuma transformācija (vienkāršošana).
Kopumā divu polinoma reizinājums ir identiski vienāds ar viena polinoma katra vārda reizinājumu un otra polinoma katra vārda reizinājumu.
Parasti tiek izmantots šāds noteikums.
Lai reizinātu polinomu ar polinomu, jums ir jāreizina katrs viena polinoma termins ar otru un jāsaskaita iegūtie produkti.
Saīsinātās reizināšanas formulas. Summa kvadrāti, kvadrātu atšķirības un atšķirības
Ar dažām izteiksmēm algebriskajās transformācijās nākas saskarties biežāk nekā ar citām. Iespējams, visizplatītākās izteiksmes ir u, t.i., summas kvadrāts, starpības kvadrāts un kvadrātu starpība. Jūs pamanījāt, ka šo izteiksmju nosaukumi šķiet nepilnīgi, piemēram, tas, protams, nav tikai summas kvadrāts, bet arī a un b summas kvadrāts. Taču a un b summas kvadrāts negadās īpaši bieži, parasti burtu a un b vietā tajā ir dažādas, dažkārt diezgan sarežģītas izteiksmes.
Izteiksmes var viegli pārveidot (vienkāršot) standarta formas polinomos; patiesībā jūs jau esat saskāries ar šādu uzdevumu, reizinot polinomus:
Ir lietderīgi atcerēties iegūtās identitātes un lietot tās bez starpaprēķiniem. To palīdz īsi verbāli formulējumi.
- summas kvadrāts ir vienāds ar kvadrātu summu un dubultreizinājumu.
— starpības kvadrāts ir vienāds ar kvadrātu summu bez dubultreizinājuma.
- kvadrātu starpība ir vienāda ar starpības un summas reizinājumu.
Šīs trīs identitātes ļauj transformācijās aizstāt tās kreisās daļas ar labajām un otrādi - labās puses daļas ar kreisajām. Visgrūtākais ir saskatīt atbilstošās izteiksmes un saprast, kā tajos tiek aizstāti mainīgie a un b. Apskatīsim vairākus saīsināto reizināšanas formulu izmantošanas piemērus.
Grāmatas (mācību grāmatas) Abstracts Vienotais valsts eksāmens un OGE testi Tiešsaistes spēles, puzles Funkciju grafiku konstruēšana Krievu valodas pareizrakstības vārdnīca Jauniešu slenga vārdnīca Krievu skolu katalogs Krievijas vidējo izglītības iestāžu katalogs Krievijas augstskolu katalogs Problēmu saraksts GCD un LCM atrašana Polinoma vienkāršošana (polinomu reizināšana) Polinoma sadalīšana polinoms ar kolonnu Skaitlisku daļu aprēķināšana Procentuālu uzdevumu risināšana Kompleksie skaitļi: summa, starpība, reizinājums un 2 sistēmas koeficients lineārie vienādojumi ar diviem mainīgie Risinājums kvadrātvienādojums Binoma kvadrāts un tā faktorēšana kvadrātveida trinomāls Nevienādību risināšana Nevienādību sistēmu risināšana Grafika uzzīmēšana kvadrātiskā funkcija Lineāras daļfunkcijas grafika uzzīmēšana Aritmētikas un ģeometriskās progresijas Trigonometrisko, eksponenciālo, logaritmiskie vienādojumi Robežu aprēķins, atvasinājums, tangenss Integrāls, antiatvasinājums Trijstūru atrisināšana Darbību aprēķins ar vektoriem Darbību aprēķins ar taisnēm un plaknēm Laukums ģeometriskās formasĢeometrisko formu perimetrs Ģeometrisko ķermeņu tilpums Ģeometrisko ķermeņu virsmas laukums
Satiksmes situāciju konstruktors
Laika ziņas - horoskopi
www.mathsolution.ru
Paplašinot iekavas
Mēs turpinām pētīt algebras pamatus. Šajā nodarbībā mēs uzzināsim, kā izteicienos izvērst iekavas. Iekavu izvēršana nozīmē iekavu noņemšanu no izteiksmes.
Lai atvērtu iekavas, jāiegaumē tikai divi noteikumi. Regulāri praktizējot, jūs varat atvērt kronšteinus ar aizvērtām acīm, un tos noteikumus, kas bija jāiemācās no galvas, var droši aizmirst.
Pirmais noteikums iekavu atvēršanai
Apsveriet šādu izteiksmi:
Šīs izteiksmes vērtība ir 2 . Atvērsim šajā izteiksmē iekavas. Paplašināt iekavas nozīmē atbrīvoties no tām, neietekmējot izteiciena nozīmi. Tas ir, pēc atbrīvošanās no iekavām izteiksmes vērtība 8+(−9+3) joprojām jābūt vienādam ar divi.
Pirmais iekavu atvēršanas noteikums ir šāds:
Atverot iekavas, ja iekavām priekšā ir pluss, tad šis pluss tiek izlaists kopā ar iekavām.
Tātad, mēs to redzam izteiksmē 8+(−9+3) Pirms iekavām ir plus zīme. Šis plus ir jāizlaiž kopā ar iekavām. Citiem vārdiem sakot, iekavas pazudīs kopā ar plusu, kas stāvēja to priekšā. Un tas, kas bija iekavās, tiks rakstīts bez izmaiņām:
8−9+3 . Šī izteiksme vienāds 2 , tāpat kā iepriekšējā izteiksme ar iekavām, bija vienāda ar 2 .
8+(−9+3) Un 8−9+3
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
2. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas 3 + (−1 − 4)
Pirms iekavām ir plus, kas nozīmē, ka šis plus ir izlaists kopā ar iekavām. Tas, kas bija iekavās, paliks nemainīgs:
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
3. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas 2 + (−1)
IN šajā piemērā iekavu atvēršana kļuva par sava veida apgrieztu darbību, aizstājot atņemšanu ar saskaitīšanu. Ko tas nozīmē?
Izteiksmē 2−1 notiek atņemšana, bet to var aizstāt ar saskaitīšanu. Tad mēs iegūstam izteiksmi 2+(−1) . Bet ja izteiksmē 2+(−1) atveriet iekavas, jūs saņemsiet oriģinālu 2−1 .
Tāpēc pirmo iekavu atvēršanas noteikumu var izmantot, lai pēc dažām transformācijām vienkāršotu izteiksmes. Tas ir, atbrīvojiet to no iekavām un padariet to vienkāršāku.
Piemēram, vienkāršosim izteiksmi 2a+a-5b+b .
Lai vienkāršotu šo izteiksmi, var dot līdzīgus terminus. Atgādināsim, ka, lai samazinātu līdzīgus vārdus, jums jāpievieno līdzīgu terminu koeficienti un rezultāts jāreizina ar kopējo burtu daļu:
Dabūja izteiksmi 3a+(−4b). Noņemsim iekavas šajā izteiksmē. Iekavām priekšā ir plus, tāpēc iekavu atvēršanai mēs izmantojam pirmo noteikumu, tas ir, mēs izlaižam iekavas kopā ar plusu, kas ir pirms šīm iekavām:
Tātad izteiksme 2a+a-5b+b vienkāršo līdz 3a-4b .
Atverot dažas iekavas, pa ceļam varat sastapties ar citiem. Mēs viņiem piemērojam tos pašus noteikumus kā pirmajiem. Piemēram, izvērsim iekavas šādā izteiksmē:
Ir divas vietas, kur jāatver iekavas. Šajā gadījumā tiek piemērots pirmais iekavu atvēršanas noteikums, proti, iekavu izlaišana kopā ar plus zīmi, kas ir pirms šīm iekavām:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
3. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas 6+(−3)+(−2)
Abās vietās, kur ir iekavas, pirms tām ir plus. Šeit atkal ir spēkā pirmais iekavu atvēršanas noteikums:
Dažreiz pirmais termins iekavās tiek rakstīts bez zīmes. Piemēram, izteiksmē 1+(2+3−4) pirmais termins iekavās 2 rakstīts bez zīmes. Rodas jautājums, kāda zīme parādīsies pirms diviem pēc iekavām un plus iekavām priekšā? Atbilde liek domāt – abiem priekšā būs pluss.
Patiesībā pat iekavās abiem priekšā ir pluss, bet mēs to neredzam, jo tas nav pierakstīts. Mēs jau teicām, ka pozitīvo skaitļu pilnīgs apzīmējums izskatās +1, +2, +3. Bet saskaņā ar tradīciju plusi netiek pierakstīti, tāpēc mēs redzam pozitīvos skaitļus, kas mums ir pazīstami 1, 2, 3 .
Tāpēc, lai izteicienā paplašinātu iekavas 1+(2+3−4) , kā parasti, jums ir jāizlaiž iekavas kopā ar plus zīmi šo iekavu priekšā, bet pirmo terminu, kas bija iekavās, ierakstiet ar plus zīmi:
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
4. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas −5 + (2 − 3)
Iekavām priekšā ir pluss, tāpēc iekavu atvēršanai piemērojam pirmo noteikumu, proti, iekavas izlaižam kopā ar plusu, kas ir pirms šīm iekavām. Bet pirmais termins, ko rakstām iekavās ar plus zīmi:
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
5. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas (−5)
Iekavās priekšā ir plus, bet tas nav pierakstīts, jo pirms tam nebija citu skaitļu vai izteicienu. Mūsu uzdevums ir noņemt iekavas, piemērojot pirmo iekavu atvēršanas noteikumu, proti, izlaist iekavas kopā ar šo plusu (pat ja tas ir neredzams)
6. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas 2a + (−6a + b)
Pirms iekavām ir plus, kas nozīmē, ka šis plus ir izlaists kopā ar iekavām. Tas, kas bija iekavās, tiks rakstīts nemainīgs:
2a + (−6a + b) = 2a −6a + b
7. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
Šajā izteiksmē ir divas vietas, kur jāpaplašina iekavas. Abās sadaļās pirms iekavām ir pluszīme, kas nozīmē, ka šis plus ir izlaists kopā ar iekavām. Tas, kas bija iekavās, tiks rakstīts nemainīgs:
5a + (-7b + 6c) + 3a + (-2d) = 5a -7b + 6c + 3a - 2d
Otrais iekavu atvēršanas noteikums
Tagad apskatīsim otro iekavu atvēršanas noteikumu. To lieto, ja pirms iekavām ir mīnuss.
Ja pirms iekavām ir mīnuss, tad šis mīnuss tiek izlaists kopā ar iekavām, bet termini, kas bija iekavās, maina savu zīmi uz pretējo.
Piemēram, izvērsim iekavas nākamajā izteiksmē
Mēs redzam, ka pirms iekavām ir mīnuss. Tas nozīmē, ka jums ir jāpiemēro otrais paplašināšanas noteikums, proti, izlaidiet iekavas kopā ar mīnusa zīmi šo iekavu priekšā. Šajā gadījumā termini, kas bija iekavās, mainīs to zīmi uz pretējo:
Mēs saņēmām izteiksmi bez iekavām 5+2+3 . Šī izteiksme ir vienāda ar 10, tāpat kā iepriekšējā izteiksme ar iekavām bija vienāda ar 10.
Tādējādi starp izteicieniem 5−(−2−3) Un 5+2+3 jūs varat ievietot vienādības zīmi, jo tās ir vienādas ar vienu un to pašu vērtību:
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
2. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas 6 − (−2 − 5)
Pirms iekavām ir mīnuss, tāpēc iekavu atvēršanai piemērojam otro noteikumu, proti, izlaižam iekavas kopā ar mīnusu, kas ir pirms šīm iekavām. Šajā gadījumā mēs rakstām terminus, kas bija iekavās ar pretējām zīmēm:
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
3. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas 2 − (7 + 3)
Pirms iekavām ir mīnuss, tāpēc iekavu atvēršanai piemērojam otro noteikumu:
4. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas −(−3 + 4)
5. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
Ir divas vietas, kur jāatver iekavas. Pirmajā gadījumā jums ir jāpiemēro otrais noteikums iekavas atvēršanai un, kad runa ir par izteiksmi +(−9−2) jums ir jāpiemēro pirmais noteikums:
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
6. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas −(−a − 1)
7. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas − (4a + 3)
8. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas a − (4b + 3) + 15
9. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas 2a + (3b - b) - (3c + 5)
Ir divas vietas, kur jāatver iekavas. Pirmajā gadījumā jums ir jāpiemēro pirmais noteikums iekavu atvēršanai un, kad runa ir par izteiksmi −(3c+5) jums jāpiemēro otrais noteikums:
2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b - b - 3c - 5
10. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
Ir trīs vietas, kur jāatver kronšteini. Vispirms jums jāpiemēro otrais noteikums iekavu atvēršanai, pēc tam pirmais un pēc tam atkal otrais:
−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15
Kronšteinu atvēršanas mehānisms
Tagad pārbaudītie iekavu atvēršanas noteikumi ir balstīti uz reizināšanas sadales likumu:
Patiesībā atverošās iekavas ir procedūra, kurā kopējo koeficientu reizina ar katru iekavās norādīto terminu. Šīs reizināšanas rezultātā iekavas pazūd. Piemēram, izvērsim izteiksmē esošās iekavas 3×(4+5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Tāpēc, ja jums ir jāreizina skaitlis ar izteiksmi iekavās (vai jāreizina izteiksme iekavās ar skaitli), jums ir jāsaka atvērsim iekavas.
Bet kā reizināšanas sadales likums ir saistīts ar iepriekš aplūkotajiem iekavu atvēršanas noteikumiem?
Fakts ir tāds, ka pirms iekavām ir kopīgs faktors. Piemērā 3×(4+5) kopējais faktors ir 3 . Un piemērā a(b+c) kopējais faktors ir mainīgais a.
Ja pirms iekavām nav skaitļu vai mainīgo, tad kopējais faktors ir 1 vai −1 , atkarībā no tā, kāda zīme ir iekavās priekšā. Ja iekavās ir pluss, tad kopējais faktors ir 1 . Ja pirms iekavām ir mīnuss, tad kopējais faktors ir −1 .
Piemēram, izvērsim izteiksmē esošās iekavas −(3b−1). Iekavu priekšā ir mīnusa zīme, tāpēc iekavu atvēršanai ir jāizmanto otrais noteikums, tas ir, izlaidiet iekavas kopā ar mīnusa zīmi iekavu priekšā. Un ierakstiet izteiksmi, kas bija iekavās ar pretējām zīmēm:
Mēs paplašinājām iekavas, izmantojot iekavu paplašināšanas noteikumu. Bet šīs pašas iekavas var atvērt, izmantojot sadales reizināšanas likumu. Lai to izdarītu, vispirms pirms iekavām ierakstiet kopējo koeficientu 1, kas netika pierakstīts:
Mīnusa zīme, kas iepriekš atradās pirms iekavām, attiecās uz šo vienību. Tagad jūs varat atvērt iekavas, izmantojot reizināšanas sadales likumu. Šim nolūkam kopējais faktors −1 jums jāreizina ar katru iekavās norādīto terminu un jāpievieno rezultāti.
Ērtības labad mēs aizstājam starpību iekavās ar summu:
−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1
Tāpat kā pagājušajā reizē, kad saņēmām izteicienu −3b+1. Visi piekritīs, ka šoreiz vairāk laika tika veltīts tik vienkārša piemēra risināšanai. Tāpēc iekavu atvēršanai ir prātīgāk izmantot gatavus noteikumus, par kuriem mēs runājām šajā nodarbībā:
Taču nav par ļaunu zināt, kā šie noteikumi darbojas.
Šajā nodarbībā mēs iemācījāmies vēl vienu identisku transformāciju. Kopā ar iekavu atvēršanu, vispārīgā izlikšanu no iekavām un līdzīgu terminu izcelšanu var nedaudz paplašināt risināmo problēmu loku. Piemēram:
Šeit jums jāveic divas darbības - vispirms atveriet iekavas un pēc tam pievienojiet līdzīgus terminus. Tātad, secībā:
1) Atveriet iekavas:
2) Mēs piedāvājam līdzīgus terminus:
Iegūtajā izteiksmē −10b+(−1) varat paplašināt iekavas:
2. piemērs. Atveriet iekavas un pievienojiet līdzīgus terminus šādā izteiksmē:
1) Atvērsim iekavas:
2) Iesniegsim līdzīgus terminus.Šoreiz, lai ietaupītu laiku un vietu, nepierakstīsim, kā koeficienti tiek reizināti ar kopējo burtu daļu
3. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi 8m+3m un atrodiet tā vērtību m=-4
1) Pirmkārt, vienkāršosim izteiksmi. Lai vienkāršotu izteiksmi 8m+3m, tajā varat izņemt kopējo faktoru mārpus iekavām:
2) Atrodiet izteiksmes vērtību m(8+3) plkst m=-4. Lai to izdarītu, izteiksmē m(8+3) mainīgā vietā m aizstāt numuru −4
m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44
Šajā nodarbībā jūs uzzināsit, kā pārveidot izteiksmi, kurā ir iekavas, par izteiksmi bez iekavām. Jūs uzzināsit, kā atvērt iekavas, pirms kurām ir plus zīme un mīnus zīme. Mēs atcerēsimies, kā atvērt iekavas, izmantojot reizināšanas sadales likumu. Apskatītie piemēri ļaus apvienot jaunu un iepriekš pētītu materiālu vienotā veselumā.
Tēma: Vienādojumu risināšana
Nodarbība: iekavu paplašināšana
Kā izvērst iekavas, pirms kurām ir “+” zīme. Izmantojot asociatīvo saskaitīšanas likumu.
Ja skaitlim jāpievieno divu skaitļu summa, vispirms šim skaitlim varat pievienot pirmo vārdu un pēc tam otro.
Pa kreisi no vienādības zīmes ir izteiksme ar iekavām, bet labajā pusē ir izteiksme bez iekavām. Tas nozīmē, ka, pārejot no vienādības kreisās puses uz labo, notika iekavu atvēršana.
Apskatīsim piemērus.
1. piemērs. 
Atverot iekavas, mēs mainījām darbību secību. Ir kļuvis ērtāk skaitīt.
2. piemērs. 
3. piemērs.
Ņemiet vērā, ka visos trīs piemēros mēs vienkārši noņēmām iekavas. Formulēsim noteikumu:
komentēt.
Ja pirmais termins iekavās ir neparakstīts, tad tas jāraksta ar plus zīmi.
Soli pa solim varat sekot šim piemēram. Vispirms pievienojiet 445 pie 889. Šo darbību var veikt garīgi, taču tas nav ļoti viegli. Atvērsim iekavas un redzēsim, ka mainītā kārtība ievērojami vienkāršos aprēķinus.
Ja sekojat norādītajai procedūrai, vispirms no 512 ir jāatņem 345, bet pēc tam rezultātam jāpievieno 1345. Atverot iekavas, mēs mainīsim procedūru un ievērojami vienkāršosim aprēķinus.
Ilustrējošs piemērs un noteikums.
Apskatīsim piemēru: . Izteiksmes vērtību var atrast, pievienojot 2 un 5 un pēc tam iegūstot iegūto skaitli ar pretējo zīmi. Mēs iegūstam -7.
No otras puses, tādu pašu rezultātu var iegūt, saskaitot pretējos skaitļus sākotnējiem.
Formulēsim noteikumu:
1. piemērs. 
2. piemērs.
Noteikums nemainās, ja iekavās ir nevis divi, bet trīs vai vairāk termini.
3. piemērs. 
komentēt. Zīmes ir apgrieztas tikai terminu priekšā.
Lai atvērtu iekavas, šajā gadījumā ir jāatceras sadales īpašība.
Vispirms reiziniet pirmo iekava ar 2 un otro ar 3.
Pirms pirmās iekavas ir zīme “+”, kas nozīmē, ka zīmes ir jāatstāj nemainīgas. Pirms otrās zīmes ir zīme “-”, tāpēc visas zīmes ir jāmaina uz pretējām
Bibliogrāfija
- Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.g.
- Merzļaks A.G., Polonskis V.V., Jakirs M.S. Matemātika 6. klase. - ģimnāzija, 2006. gads.
- Depmans I.Ya., Viļenkins N.Ya. Aiz matemātikas mācību grāmatas lappusēm. - Apgaismība, 1989. gads.
- Rurukins A.N., Čaikovskis I.V. Uzdevumi matemātikas kursa 5.-6.klasei - ZSh MEPhI, 2011.g.
- Rurukins A.N., Sočilovs S.V., Čaikovskis K.G. Matemātika 5.-6. Rokasgrāmata MEPhI neklātienes skolas 6. klases skolēniem. - ZSh MEPhI, 2011.
- Ševrins L.N., Geins A.G., Korjakovs I.O., Volkovs M.V. Matemātika: Mācību grāmata-sarunu biedrs vidusskolas 5-6 klasēm. Matemātikas skolotāja bibliotēka. - Apgaismība, 1989. gads.
- Tiešsaistes testi matemātikā ().
- Jūs varat lejupielādēt 1.2. punktā norādītos. grāmatas ().
Mājasdarbs
- Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (saiti sk. 1.2.)
- Mājas darbs: Nr. 1254, Nr. 1255, Nr. 1256 (b, d)
- Citi uzdevumi: Nr.1258(c), Nr.1248
A+(b + c) var rakstīt bez iekavām: a+(b + c)=a + b + c. Šo darbību sauc par atvēršanas iekavām.
1. piemērs. Atvērsim iekavas izteiksmē a + (- b + c).
Risinājums. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.
Ja iekavās ir zīme “+”, tad iekavas un šo “+” zīmi var izlaist, saglabājot iekavās esošo terminu zīmes. Ja pirmais vārds iekavās ir rakstīts bez zīmes, tad tas jāraksta ar “+” zīmi.
2. piemērs. Atradīsim izteiksmes vērtību -2,87+ (2,87-7,639).
Risinājums. Atverot iekavas, mēs iegūstam - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.
Lai atrastu izteiksmes vērtību - (- 9 + 5), jums jāpievieno cipariem-9 un 5 un atrodiet skaitli, kas ir pretējs iegūtajai summai: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.
To pašu vērtību var iegūt arī citā veidā: vispirms pierakstiet skaitļus, kas ir pretēji šiem terminiem (t.i., mainiet to zīmes), un pēc tam pievienojiet: 9 + (- 5) = 4. Tādējādi -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.
Lai uzrakstītu summu, kas ir pretēja vairāku terminu summai, jāmaina šo terminu zīmes.
Tas nozīmē - (a + b) = - a - b.
3. piemērs. Atradīsim izteiksmes vērtību 16 - (10 -18 + 12).
Risinājums. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
Lai atvērtu iekavas, pirms kurām ir zīme “-”, šī zīme jāaizstāj ar “+”, mainot visu iekavās esošo terminu zīmes uz pretējām, un pēc tam atveriet iekavas.
4. piemērs. Atradīsim izteiksmes vērtību 9,36-(9,36 - 5,48).
Risinājums. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (-9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5,48.
Iekavu paplašināšana un komutatīvo un asociatīvo īpašību pielietošana papildinājumsļauj vienkāršot aprēķinus.
5. piemērs. Atradīsim izteiksmes vērtību (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.
Risinājums. Vispirms atveram iekavas un pēc tam atsevišķi atrodam visu pozitīvo un atsevišķi visu negatīvo skaitļu summu un, visbeidzot, saskaitīsim rezultātus:
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
6. piemērs. Atradīsim izteiksmes vērtību
Risinājums. Vispirms iedomāsimies katru terminu kā to veselo skaitļu un daļskaitļu summu, pēc tam atveriet iekavas, pēc tam pievienojiet veselus skaitļus un atsevišķi daļēja daļas un visbeidzot saskaitiet rezultātus:
Kā atvērt iekavas, pirms kurām ir “+” zīme? Kā var atrast izteiksmes vērtību, kas ir pretēja vairāku skaitļu summai? Kā izvērst iekavas, pirms kurām ir zīme “-”?
1218. Atveriet iekavas:
a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);
b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a+b).
1219. Atrodi izteiciena nozīmi:
1220. Atveriet iekavas:
a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17)+7,5; e) -a + (m-2,6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).
1221. Atveriet iekavas un atrodiet izteiciena nozīmi:
1222. Vienkāršojiet izteiksmi:
1223. Rakstīt summa divus izteicienus un vienkāršojiet to:
a) - 4 - m un m + 6,4; d) a+b un p - b
b) 1,1+a un -26-a; e) - m + n un -k - n;
c) a + 13 un -13 + b; e)m - n un n - m.
1224. Uzrakstiet divu izteiksmju atšķirību un vienkāršojiet to:
1226. Izmantojiet vienādojumu, lai atrisinātu uzdevumu:
a) Vienā plauktā ir 42 grāmatas, otrā - 34. No otrā plaukta tika izņemtas vairākas grāmatas, un no pirmā plaukta tika izņemts tik daudz grāmatu, cik palika otrajā. Pēc tam pirmajā plauktā bija palikušas 12 grāmatas. Cik grāmatas tika izņemtas no otrā plaukta?
b) Pirmajā klasē mācās 42 skolēni, otrajā par 3 skolēniem mazāk nekā trešajā. Cik skolēnu ir trešajā klasē, ja šajās trīs klasēs ir 125 skolēni?
1227. Atrodi izteiciena nozīmi:
1228. Rēķini mutiski:
1229. Atrodiet izteiksmes lielāko vērtību:
1230. Norādiet 4 secīgus veselus skaitļus, ja:
a) mazākais no tiem ir -12; c) mazākais no tiem ir n;
b) lielākais no tiem ir -18; d) lielākais no tiem ir vienāds ar k.