Apskatīsim piemērus decimāldaļu dalīšanai šajā kontekstā.
Piemērs.
Decimāldaļu 1,2 dala ar decimālo daļu 0,48.
Risinājums.
Atbilde:
1,2:0,48=2,5 .
Piemērs.
Periodisko decimālo daļu 0.(504) dala ar decimāldaļdaļu 0,56.
Risinājums.
Pārveidosim periodisko decimāldaļu par parastu daļskaitli: . Mēs arī pārvēršam pēdējo decimāldaļu 0,56 parastā daļskaitlī, mums ir 0,56 = 56/100. Tagad mēs varam pāriet no sākotnējo decimāldaļu dalīšanas uz parasto daļskaitļu dalīšanu un pabeigt aprēķinus: .
Pārveidosim iegūto parasto daļu decimāldaļskaitlī, dalot skaitītāju ar saucēju ar kolonnu:
Atbilde:
0,(504):0,56=0,(900) .
Bezgalīgu neperiodisku decimālo daļu dalīšanas princips atšķiras no galīgo un periodisko decimālo daļu dalīšanas principa, jo neperiodiskas decimāldaļas nevar pārvērst parastajās daļās. Bezgalīgu neperiodisku decimāldaļu dalījums tiek reducēts līdz galīgo decimāldaļu dalīšanai, kurai mēs veicam skaitļu noapaļošana līdz noteiktam līmenim. Turklāt, ja viens no skaitļiem, ar kuriem tiek veikta dalīšana, ir ierobežota vai periodiska decimāldaļdaļa, tad to arī noapaļo līdz tādam pašam ciparam kā neperiodiskā decimāldaļdaļa.
Piemērs.
Sadaliet bezgalīgo neperiodisko decimāldaļu 0,779... ar galīgo decimāldaļu 1,5602.
Risinājums.
Vispirms ir jānoapaļo decimāldaļas, lai varētu pāriet no bezgalīgu neperiodisku decimāldaļu dalīšanas uz galīgo decimāldaļu dalīšanu. Mēs varam noapaļot līdz tuvākajai simtdaļai: 0,779…≈0,78 un 1,5602≈1,56. Tādējādi 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100·100/156= 78/156=1/2=0,5 .
Atbilde:
0,779…:1,5602≈0,5 .
Dabiska skaitļa dalīšana ar decimāldaļu un otrādi
Pieejas būtība naturāla skaitļa dalīšanai ar decimāldaļskaitli un decimāldaļskaitļa dalīšanu ar dabiskais skaitlis neatšķiras no decimāldaļskaitļu dalīšanas būtības. Tas ir, galīgās un periodiskās daļas tiek aizstātas ar parastajām daļām, un bezgalīgas neperiodiskās daļas tiek noapaļotas.
Lai ilustrētu, apsveriet piemēru decimāldaļas dalīšanai ar naturālu skaitli.
Piemērs.
Sadaliet decimāldaļu 25,5 ar naturālo skaitli 45.
Risinājums.
Aizstājot decimāldaļu 25,5 ar parasto datni 255/10=51/2, dalījums tiek samazināts līdz parastās daļdaļas dalīšanai ar naturālu skaitli:. Rezultātā iegūtajai daļai decimāldaļās ir forma 0,5(6) .
Atbilde:
25,5:45=0,5(6) .
Decimāldaļas dalīšana ar naturālu skaitli ar kolonnu
Ir ērti dalīt galīgās decimāldaļskaitļus naturālajos skaitļos ar kolonnu, pēc analoģijas ar dalīšanu ar naturālu skaitļu kolonnu. Iepazīstinām ar dalīšanas noteikumu.
Uz dala decimāldaļu ar naturālu skaitli, izmantojot kolonnu, nepieciešams:
- pievienojiet vairākus ciparus 0 pa labi no dalāmās decimāldaļas (dalīšanas procesā, ja nepieciešams, varat pievienot jebkuru nulles skaitu, taču šīs nulles var nebūt vajadzīgas);
- veikt dalīšanu ar decimāldaļas kolonnu ar naturālu skaitli saskaņā ar visiem dalīšanas ar naturālu skaitļu kolonnu noteikumiem, bet, kad ir pabeigta visas decimāldaļas dalīšana, tad koeficientā jāieliek komatu un turpiniet dalīšanu.
Uzreiz teiksim, ka, dalot ierobežotu decimāldaļu ar naturālu skaitli, jūs varat iegūt vai nu galīgu decimāldaļu, vai bezgalīgu periodisku decimālo daļu. Patiešām, pēc tam, kad ir pabeigta visu zīmju aiz komata dalīšana dalāmā daļa, vai nu atlikums var būt 0, un mēs iegūsim pēdējo decimāldaļu, vai arī atlikumi sāks periodiski atkārtot, un mēs iegūsim periodisku decimāldaļu.
Atrisinot piemērus, sapratīsim visas sarežģītības, kas saistītas ar decimāldaļu dalīšanu ar naturāliem skaitļiem kolonnā.
Piemērs.
Daliet decimāldaļu 65,14 ar 4.
Risinājums.
Dalīsim decimāldaļu ar naturālu skaitli, izmantojot kolonnu. Daļas 65.14 apzīmējumā pievienosim pāris nulles pa labi, un iegūsim vienādu decimāldaļdaļu 65.1400 (sk. vienādas un nevienādas decimāldaļas). Tagad jūs varat sākt ar kolonnu dalīt decimāldaļas 65.1400 veselo skaitļu daļu ar naturālo skaitli 4: 
Tas pabeidz decimāldaļas veselās daļas dalīšanu. Šeit koeficientā jāievieto komata zīme un jāturpina dalīšana: 
Esam sasnieguši atlikumu 0, šajā posmā dalījums ar kolonnu beidzas. Rezultātā mums ir 65,14:4=16,285.
Atbilde:
65,14:4=16,285 .
Piemērs.
Sadaliet 164,5 ar 27.
Risinājums.
Dalīsim decimāldaļu ar naturālu skaitli, izmantojot kolonnu. Pēc visas daļas sadalīšanas mēs iegūstam šādu attēlu: 
Tagad koeficientā ievietojam komatu un turpinām dalīšanu ar kolonnu: 
Tagad ir skaidri redzams, ka atlikumi 25, 7 un 16 ir sākuši atkārtoties, savukārt koeficientā atkārtojas skaitļi 9, 2 un 5. Tādējādi, dalot decimāldaļu 164,5 ar 27, mēs iegūstam periodisko decimāldaļu 6,0(925) .
Atbilde:
164,5:27=6,0(925) .
Decimāldaļu dalījums kolonnās
Decimāldaļas dalīšanu ar decimālo daļu var reducēt līdz decimāldaļdaļas dalīšanai ar naturālu skaitli ar kolonnu. Lai to izdarītu, dividende un dalītājs jāreizina ar tādu skaitli kā 10 vai 100, vai 1000 utt., lai dalītājs kļūtu par naturālu skaitli, un pēc tam dala ar naturālu skaitli ar kolonnu. Mēs to varam izdarīt dalīšanas un reizināšanas īpašību dēļ, jo a:b=(a·10):(b·10) , a:b=(a·100):(b·100) un tā tālāk.
Citiem vārdiem sakot, lai dalītu beigu decimāldaļu ar beigu decimāldaļu, vajag:
- dividendē un dalītājā pārvietojiet komatu pa labi par tik vietām, cik ir aiz komata dalītājā; ja dividendē nav pietiekami daudz vietu, lai pārvietotu komatu, tad jāpievieno nepieciešamo summu nulles labajā pusē;
- Pēc tam dala ar decimāldaļu ar naturālu skaitli.
Risinot piemēru, apsveriet šī noteikuma piemērošanu dalīšanai ar decimāldaļu.
Piemērs.
Sadaliet ar kolonnu 7,287 ar 2,1.
Risinājums.
Pārvietosim komatu šajās decimāldaļdaļās par vienu ciparu pa labi, tas ļaus pāriet no decimāldaļskaitļa 7,287 dalīšanas ar decimāldaļskaitli 2,1 uz decimāldaļas 72,87 dalīšanu ar naturālo skaitli 21. Dalīsim pa kolonnām: 
Atbilde:
7,287:2,1=3,47 .
Piemērs.
Daliet decimāldaļu 16,3 ar decimāldaļu 0,021.
Risinājums.
Pārvietojiet komatu dividendēs un dalītājā trīs labajās vietās. Acīmredzot dalītājam nav pietiekami daudz ciparu, lai pārvietotu decimālzīmi, tāpēc mēs pievienosim vajadzīgo nulles skaitu pa labi. Tagad dalīsim daļu 16300.0 ar kolonnu ar naturālo skaitli 21: 
No šī brīža sāk atkārtoties atlikumi 4, 19, 1, 10, 16 un 13, kas nozīmē, ka atkārtosies arī koeficienta skaitļi 1, 9, 0, 4, 7 un 6. Rezultātā mēs iegūstam periodisko decimāldaļu 776,(190476) .
Atbilde:
16,3:0,021=776,(190476) .
Ņemiet vērā, ka paziņotais noteikums ļauj naturālu skaitli dalīt ar kolonnu pēdējā decimāldaļdaļā.
Piemērs.
Datu naturālo skaitli 3 ar decimāldaļu 5.4.
Risinājums.
Pārvietojot decimālzīmi par vienu ciparu pa labi, mēs nonākam pie skaitļa 30,0 dalīšanas ar 54. Dalīsim pa kolonnām: 
.
Šo noteikumu var piemērot arī, dalot bezgalīgas decimāldaļas ar 10, 100, .... Piemēram, 3,(56):1,000=0,003(56) un 593,374…:100=5,93374….
Dalot decimāldaļas ar 0,1, 0,01, 0,001 utt.
Tā kā 0,1 = 1/10, 0,01 = 1/100 utt., tad no dalīšanas ar parasto daļskaitli noteikuma izriet, ka decimāldaļdaļa tiek dalīta ar 0,1, 0,01, 0,001 utt. tas ir tas pats, kas reizināt doto decimāldaļu ar 10, 100, 1000 utt. attiecīgi.
Citiem vārdiem sakot, lai decimāldaļdaļu dalītu ar 0,1, 0,01, ..., decimālpunkts ir jāpārvieto pa labi par 1, 2, 3, ... cipariem un, ja ar decimāldaļskaitļa cipariem nepietiek. lai pārvietotu decimālzīmi, vajadzīgais skaitlis jāpievieno labajām nullēm.
Piemēram, 5,739:0,1=57,39 un 0,21:0,00001=21 000.
To pašu noteikumu var piemērot, dalot bezgalīgas decimāldaļas ar 0,1, 0,01, 0,001 utt. Šajā gadījumā, dalot periodiskas daļskaitļus, jābūt ļoti uzmanīgiem, lai nekļūdītos ar dalīšanas rezultātā iegūtās daļas periodu. Piemēram, 7.5(716):0.01=757,(167), jo pēc decimāldaļas pārvietošanas decimāldalībā 7.5716716716... divas vietas pa labi, mums ir ieraksts 757.167167.... Ar bezgalīgām neperiodiskām decimāldaļām viss ir vienkāršāk: 394,38283…:0,001=394382,83… .
Daļas vai jaukta skaitļa dalīšana ar decimāldaļu un otrādi
Divīzija kopējā frakcija vai jaukts skaitlis ar galīgu vai periodisku decimālo daļu, kā arī galīgas vai periodiskas decimāldaļas dalījums ar parasto daļskaitli vai jaukto skaitli tiek reducēts uz parasto daļu dalījumu. Lai to izdarītu, decimāldaļas tiek aizstātas ar atbilstošajām parastajām daļām, un jauktais skaitlis tiek attēlots kā nepareiza daļdaļa.
Dalot bezgalīgu neperiodisku decimāldaļskaitli ar parastu daļskaitli vai jauktu skaitli un otrādi, jums jādala decimāldaļskaitļi, aizstājot parasto daļu vai jaukto skaitli ar atbilstošo decimāldaļu.
Bibliogrāfija.
- Matemātika: mācību grāmata 5. klasei. vispārējā izglītība institūcijas / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 lpp.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Matemātika. 6. klase: izglītojoša. vispārējai izglītībai institūcijas / [N. Ja.Viļenkins un citi]. - 22. izd., red. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algebra: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tiem, kas iestājas tehniskajās skolās): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.
Skolā šīs darbības tiek pētītas no vienkāršas līdz sarežģītai. Tāpēc ir obligāti rūpīgi jāizprot šo darbību veikšanas algoritms vienkāršus piemērus. Lai vēlāk nerastos grūtības ar decimāldaļu sadalīšanu kolonnā. Galu galā šī ir visgrūtākā šādu uzdevumu versija.
Šis priekšmets prasa konsekventu izpēti. Trūkumi zināšanās šeit ir nepieņemami. Šo principu katram skolēnam vajadzētu apgūt jau pirmajā klasē. Tāpēc, ja nokavēsit vairākas nodarbības pēc kārtas, materiāls būs jāapgūst pašam. Pretējā gadījumā vēlāk problēmas radīsies ne tikai ar matemātiku, bet arī citiem ar to saistītiem priekšmetiem.
Otrkārt nepieciešamais nosacījums veiksmīga studija matemātika - pārejiet pie garās dalīšanas piemēriem tikai pēc saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas apguves.
Bērnam būs grūti dalīt, ja viņš nav iemācījies reizināšanas tabulu. Starp citu, labāk to mācīt, izmantojot Pitagora tabulu. Nav nekā lieka, un reizināšanu šajā gadījumā ir vieglāk iemācīties.
Kā kolonnā tiek reizināti naturālie skaitļi?
Ja rodas grūtības, risinot piemērus dalīšanas un reizināšanas kolonnā, jāsāk risināt ar reizināšanu. Tā kā dalīšana ir reizināšanas apgrieztā darbība:
- Pirms divu skaitļu reizināšanas tie rūpīgi jāizpēta. Izvēlieties to ar vairāk cipariem (garāku) un vispirms pierakstiet to. Novietojiet otro zem tā. Turklāt atbilstošās kategorijas numuriem jāatrodas tajā pašā kategorijā. Tas nozīmē, ka pirmā skaitļa galējam labajam ciparam jābūt virs otrā cipara galējā labā cipara.
- Reiziniet apakšējā skaitļa galējo labo ciparu ar katru augšējā skaitļa ciparu, sākot no labās puses. Uzrakstiet atbildi zem rindas tā, lai tās pēdējais cipars būtu zem tā, ar kuru reizināto.
- Atkārtojiet to pašu ar citu mazākā skaitļa ciparu. Bet reizināšanas rezultāts ir jāpārvieto par vienu ciparu pa kreisi. Šajā gadījumā tā pēdējais cipars būs zem tā, ar kuru tas tika reizināts.
Turpiniet šo reizināšanu kolonnā, līdz beidzas otrā faktora skaitļi. Tagad tie ir jāsaloka. Šī būs atbilde, ko meklējat.
Algoritms decimāldaļu reizināšanai
Pirmkārt, jums ir jāiedomājas, ka dotās daļskaitļi nav decimāldaļas, bet gan dabiskās. Tas ir, noņemiet no tiem komatus un pēc tam rīkojieties, kā aprakstīts iepriekšējā gadījumā.
Atšķirība sākas, kad atbilde ir pierakstīta. Šobrīd ir jāsaskaita visi skaitļi, kas abās daļās parādās aiz komata. Tieši tik daudz no tiem ir jāsaskaita no atbildes beigām un jāliek tur komats.
Šo algoritmu ir ērti ilustrēt, izmantojot piemēru: 0,25 x 0,33:
Kur sākt mācību nodaļu?
Pirms garo dalīšanas piemēru risināšanas ir jāatceras skaitļu nosaukumi, kas parādās garās dalīšanas piemērā. Pirmais no tiem (dalītais) ir dalāms. Otrais (dalīts ar) ir dalītājs. Atbilde ir privāta.
Pēc tam, izmantojot vienkāršu ikdienas piemēru, mēs izskaidrosim tā būtību matemātiskā darbība. Piemēram, ja ņemat 10 saldumus, tad tos ir viegli sadalīt vienādi starp mammu un tēti. Bet ko darīt, ja jums tās jāatdod saviem vecākiem un brālim?
Pēc tam jūs varat iepazīties ar dalīšanas noteikumiem un apgūt tos konkrētus piemērus. Vispirms vienkāršie, un pēc tam pārejiet pie arvien sarežģītākiem.
Algoritms skaitļu sadalīšanai kolonnā
Vispirms iepazīstināsim ar procedūru naturāliem skaitļiem, kas dalās ar viencipara skaitli. Tie būs arī pamats daudzciparu dalītājiem vai decimāldaļskaitļiem. Tikai tad jums vajadzētu veikt nelielas izmaiņas, bet vairāk par to vēlāk:
- Pirms veicat garo dalīšanu, jums ir jāizdomā, kur atrodas dividende un dalītājs.
- Pierakstiet dividendes. Pa labi no tā ir sadalītājs.
- Uzzīmējiet stūri kreisajā pusē un apakšā netālu no pēdējā stūra.
- Nosakiet nepilnīgo dividendi, tas ir, skaitli, kas dalīšanai būs minimāls. Parasti tas sastāv no viena cipara, maksimāli diviem.
- Izvēlieties skaitli, kas atbildē tiks ierakstīts pirmais. Tam jābūt skaitam, cik reižu dalītājs iekļaujas dividendē.
- Pierakstiet rezultātu, reizinot šo skaitli ar dalītāju.
- Ierakstiet to zem nepilnīgās dividendes. Veiciet atņemšanu.
- Atlikušajai daļai pievienojiet pirmo ciparu pēc jau sadalītās daļas.
- Vēlreiz izvēlieties atbildes numuru.
- Atkārtojiet reizināšanu un atņemšanu. Ja atlikums vienāds ar nulli un dividende ir beigusies, tad piemērs ir darīts. Pretējā gadījumā atkārtojiet darbības: noņemiet skaitli, paņemiet skaitli, reiziniet, atņemiet.
Kā atrisināt garo dalīšanu, ja dalītājam ir vairāk nekā viens cipars?
Pats algoritms pilnībā sakrīt ar iepriekš aprakstīto. Atšķirība būs nepilnīgās dividendes ciparu skaits. Tagad tiem vajadzētu būt vismaz diviem, bet, ja tie izrādās mazāki par dalītāju, tad jāstrādā ar pirmajiem trim cipariem.
Šajā sadalījumā ir vēl viena nianse. Fakts ir tāds, ka atlikums un tam pievienotais skaitlis dažkārt nedalās ar dalītāju. Tad jums ir jāpievieno cits numurs secībā. Bet atbildei jābūt nullei. Ja sadalāt trīsciparu skaitļus kolonnā, iespējams, būs jānoņem vairāk nekā divi cipari. Tad tiek ieviests noteikums: atbildē ir jābūt par vienu nulli mazāk nekā noņemto ciparu skaitam.
Varat apsvērt šo sadalījumu, izmantojot piemēru - 12082: 863.
- Nepilnīgā dividende tajā izrādās skaitlis 1208. Skaitlis 863 tajā ievietots tikai vienu reizi. Tāpēc atbildei ir jābūt 1, un zem 1208 ierakstiet 863.
- Pēc atņemšanas atlikums ir 345.
- Tam jāpievieno skaitlis 2.
- Skaitlis 3452 satur 863 četras reizes.
- Kā atbilde ir jāpieraksta četri. Turklāt, reizinot ar 4, tas ir tieši iegūtais skaitlis.
- Atlikums pēc atņemšanas ir nulle. Tas ir, sadalīšana ir pabeigta.
Atbilde piemērā būtu cipars 14.
Ko darīt, ja dividendes beidzas ar nulli?
Vai dažas nulles? Šajā gadījumā atlikums ir nulle, bet dividendēs joprojām ir nulles. Nav jākrīt izmisumā, viss ir vienkāršāk, nekā varētu šķist. Pietiek vienkārši pievienot atbildei visas nulles, kas paliek nesadalītas.
Piemēram, jums ir jādala 400 ar 5. Nepilnīgā dividende ir 40. Pieci tajā iekļaujas 8 reizes. Tas nozīmē, ka atbilde jāraksta kā 8. Atņemot, atlikuma nepaliek. Tas ir, dalīšana ir pabeigta, bet dividendēs paliek nulle. Tas būs jāpievieno atbildei. Tādējādi, dalot 400 ar 5, ir vienāds ar 80.
Ko darīt, ja jādala decimāldaļdaļa?
Atkal šis skaitlis izskatās kā naturāls skaitlis, ja ne komats, kas atdala visu daļu no daļējās daļas. Tas liek domāt, ka decimāldaļu dalījums kolonnā ir līdzīgs iepriekš aprakstītajam.
Vienīgā atšķirība būs semikolu. Tas ir jāievada atbildē, tiklīdz ir noņemts pirmais cipars no daļdaļas. Vēl viens veids, kā to pateikt, ir šāds: ja esat pabeidzis sadalīt visu daļu, ielieciet komatu un turpiniet risinājumu tālāk.
Risinot garās dalīšanas piemērus ar decimāldaļskaitļiem, jāatceras, ka daļai aiz komata var pievienot jebkuru nulles skaitu. Dažreiz tas ir nepieciešams, lai pabeigtu skaitļus.
Dalot divus ciparus aiz komata
Tas var šķist sarežģīti. Bet tikai sākumā. Galu galā, kā sadalīt daļu kolonnu ar naturālu skaitli, jau ir skaidrs. Tas nozīmē, ka mums šis piemērs ir jāsamazina līdz jau pazīstamai formai.
To ir viegli izdarīt. Jums ir jāreizina abas daļas ar 10, 100, 1000 vai 10 000 un, iespējams, ar miljonu, ja problēma to prasa. Paredzams, ka reizinātājs ir jāizvēlas, pamatojoties uz to, cik nulles ir dalītāja decimāldaļā. Tas ir, rezultāts būs tāds, ka jums daļa būs jādala ar naturālu skaitli.
Un tas būs sliktākais scenārijs. Galu galā var gadīties, ka dividende no šīs darbības kļūst par veselu skaitli. Tad piemēra risinājums ar sadalīšanu frakciju kolonnā tiks samazināts līdz pašam vienkāršs variants: darbības ar naturāliem skaitļiem.
Piemēram: sadaliet 28,4 ar 3,2:
- Vispirms tie jāreizina ar 10, jo otrajam skaitlim ir tikai viens cipars aiz komata. Reizinot iegūsit 284 un 32.
- Tie ir it kā jāatdala. Turklāt veselais skaitlis ir 284 reizes 32.
- Pirmais atbildei izvēlētais skaitlis ir 8. To reizinot, iegūst 256. Atlikušais ir 28.
- Visas daļas dalīšana ir beigusies, un atbildē ir nepieciešams komats.
- Noņemiet uz atlikumu 0.
- Paņemiet 8 vēlreiz.
- Atlikums: 24. Pievienojiet tam vēl 0.
- Tagad jums ir jāņem 7.
- Reizināšanas rezultāts ir 224, atlikums ir 16.
- Noņemiet vēl 0. Paņemiet katrs pa 5 un iegūstiet tieši 160. Atlikušais ir 0.
Sadalījums ir pabeigts. Piemēra 28,4:3,2 rezultāts ir 8,875.
Ko darīt, ja dalītājs ir 10, 100, 0,1 vai 0,01?
Tāpat kā ar reizināšanu, arī šeit nav nepieciešama garā dalīšana. Pietiek tikai pārvietot komatu uz labajā pusē noteiktam ciparu skaitam. Turklāt, izmantojot šo principu, jūs varat atrisināt piemērus gan ar veseliem skaitļiem, gan decimāldaļskaitļiem.
Tātad, ja jums ir jādala ar 10, 100 vai 1000, tad decimālpunkts tiek pārvietots pa kreisi par tādu pašu ciparu skaitu, cik dalītājā ir nulles. Tas ir, ja skaitlis dalās ar 100, komatam jāpārvietojas pa kreisi par diviem cipariem. Ja dividende ir naturāls skaitlis, tad tiek pieņemts, ka komats atrodas beigās.
Šī darbība dod tādu pašu rezultātu, it kā skaitlis būtu jāreizina ar 0,1, 0,01 vai 0,001. Šajos piemēros arī komats tiek pārvietots pa kreisi par vairākiem cipariem, kas vienāds ar daļdaļas garumu.
Dalot ar 0,1 (u.c.) vai reizinot ar 10 (u.c.), decimālzīmei jāpārvietojas pa labi par vienu ciparu (vai diviem, trim, atkarībā no nulles skaita vai daļdaļas garuma).
Ir vērts atzīmēt, ka dividendēs norādītais ciparu skaits var nebūt pietiekams. Pēc tam trūkstošās nulles var pievienot pa kreisi (visā daļā) vai pa labi (pēc komata).
Periodisko daļu dalījums
Šajā gadījumā, sadalot kolonnā, precīzu atbildi iegūt nebūs iespējams. Kā atrisināt piemēru, ja jūs saskaraties ar daļskaitli ar punktu? Šeit mums jāpāriet uz parastajām frakcijām. Un pēc tam sadaliet tos saskaņā ar iepriekš apgūtajiem noteikumiem.
Piemēram, 0.(3) jādala ar 0,6. Pirmā daļa ir periodiska. Tas pārvēršas daļā 3/9, kas, samazinot, iegūst 1/3. Otrā daļa ir pēdējā decimāldaļa. Vēl vieglāk to pierakstīt kā parasti: 6/10, kas ir vienāds ar 3/5. Parasto daļskaitļu dalīšanas noteikums prasa aizstāt dalīšanu ar reizināšanu un dalītāju ar apgriezto skaitli. Tas nozīmē, ka piemērs ir reizināts ar 1/3 ar 5/3. Atbilde būs 5/9.
Ja piemērā ir dažādas frakcijas...
Tad iespējami vairāki risinājumi. Pirmkārt, varat mēģināt pārvērst parasto daļskaitli aiz komata. Pēc tam sadaliet divas decimāldaļas, izmantojot iepriekš minēto algoritmu.
Otrkārt, katru pēdējo decimāldaļu var uzrakstīt kā parasto daļskaitli. Bet tas ne vienmēr ir ērti. Visbiežāk šādas frakcijas izrādās milzīgas. Un atbildes ir apgrūtinošas. Tāpēc pirmā pieeja tiek uzskatīta par vēlamāku.
§ 107. Decimāldaļu saskaitīšana.Decimālskaitļu pievienošana ir tāda pati kā veselu skaitļu pievienošana. Apskatīsim to ar piemēriem.
1) 0,132 + 2,354. Apzīmēsim terminus vienu zem otra.
Šeit, pievienojot 2 tūkstošdaļas 4 tūkstošdaļām, tika iegūtas 6 tūkstošdaļas;
saskaitot 3 simtdaļas ar 5 simtdaļām, rezultāts ir 8 simtdaļas;
no 1 desmitdaļas pievienošanas ar 3 desmitdaļām -4 desmitdaļas un
no 0 veselu skaitļu pievienošanas ar 2 veseliem skaitļiem - 2 veseli skaitļi.
2) 5,065 + 7,83.
Otrajā terminā nav tūkstošdaļu, tāpēc ir svarīgi nepieļaut kļūdas, apzīmējot terminus vienu pēc otra.
3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.
Šeit, saskaitot tūkstošdaļas, rezultāts ir 21 tūkstošdaļa; zem tūkstošdaļām rakstījām 1, simtdaļām pievienojām 2, tātad simtdaļās saņēmām šādus terminus: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; kopā viņi dod 19 simtdaļas, mēs parakstījām 9 zem simtdaļām, un 1 skaitījās kā desmitdaļas utt.
Tātad, saskaitot decimāldaļskaitļus, jāievēro šāda secība: daļskaitļus paraksta vienu zem otra tā, lai visos terminos viens zem otra atrastos vieni un tie paši cipari un visi komats būtu vienā vertikālā ailē; pa labi no dažu terminu zīmēm aiz komata vismaz garīgi tiek piešķirts tāds nulles skaits, lai visi termini aiz komata ir tas pats numurs cipariem Pēc tam veiciet saskaitīšanu ar cipariem, sākot no labā puse, un iegūtajā summā komats tiek ievietots tajā pašā vertikālajā kolonnā, kurā tas atrodas šajos terminos.
§ 108. Decimāldaļu atņemšana.
Decimālskaitļu atņemšana darbojas tāpat kā veselu skaitļu atņemšana. Parādīsim to ar piemēriem.
1) 9,87 - 7,32. Parakstīsim apakšrindu zem minuend tā, lai viena cipara vienības atrastos viena zem otras:
2) 16,29 - 4,75. Parakstīsim apakšrindu zem minuend, kā pirmajā piemērā:
Lai atņemtu desmitdaļas, no 6 bija jāņem viena vesela vienība un jāsadala desmitdaļās.
3) 14,0213-5,350712. Parakstīsim apakšrindu zem minuend:
Atņemšana tika veikta šādi: tā kā mēs nevaram atņemt 2 miljonās daļas no 0, mums vajadzētu pagriezties uz tuvāko ciparu kreisajā pusē, t.i., simttūkstošdaļas, bet simttūkstošdaļu vietā ir arī nulle, tāpēc mēs ņemam 1 desmit tūkstošdaļu no 3 desmittūkstošdaļas un Mēs to sadalām simttūkstošdaļās, iegūstam 10 simttūkstošdaļas, no kurām simttūkstošdaļās atstājam 9 simttūkstošdaļas, un sadalām 1 simttūkstošdaļu miljondaļās, iegūstam 10 miljonus. Tādējādi pēdējos trīs ciparus saņēmām: miljondaļas 10, simttūkstošdaļas 9, desmit tūkstošdaļas 2. Lielākai skaidrībai un ērtībai (lai neaizmirstu) šie skaitļi ir rakstīti virs atbilstošajiem minuenda daļskaitļiem. Tagad jūs varat sākt atņemt. No 10 miljonajām daļām atņemam 2 miljondaļas, iegūstam 8 miljondaļas; no 9 simttūkstošdaļām atņemam 1 simttūkstošdaļu, iegūstam 8 simttūkstošdaļas utt.
Tādējādi, atņemot decimāldaļas, tiek ievērota šāda secība: parakstiet apakšrindu zem minuend tā, lai tie paši cipari atrastos viens zem otra un visi komats būtu vienā vertikālā ailē; labajā pusē viņi vismaz mentāli saliek tik daudz nulles minējumā vai apakšdaļā, lai tiem būtu vienāds ciparu skaits, pēc tam viņi atņem pa cipariem, sākot no labās puses, un iegūtajā starpībā liek komatu tā pati vertikālā kolonna, kurā tā atrodas minuend un atņem.
§ 109. Decimāldaļskaitļu reizināšana.
Apskatīsim dažus decimāldaļskaitļu reizināšanas piemērus.
Lai atrastu šo skaitļu reizinājumu, varam spriest šādi: ja koeficientu palielina 10 reizes, tad abi faktori būs veseli skaitļi, un pēc tam varam tos reizināt saskaņā ar veselo skaitļu reizināšanas noteikumiem. Bet mēs zinām, ka, ja kāds no faktoriem palielinās vairākas reizes, produkts palielinās par tādu pašu summu. Tas nozīmē, ka skaitlis, ko iegūst, reizinot veselus skaitļus, t.i., 28 ar 23, ir 10 reizes lielāks par patieso reizinājumu, un, lai iegūtu patieso reizinājumu, atrastais reizinājums jāsamazina 10 reizes. Tāpēc šeit būs vienreiz jāreizina ar 10 un vienreiz jādala ar 10, bet reizināšana un dalīšana ar 10 tiek veikta, pārvietojot decimālzīmi pa labi un pa kreisi par vienu vietu. Tāpēc jums tas jādara: koeficientā pārvietojiet komatu uz pareizo vietu, tas būs vienāds ar 23, pēc tam jums jāreizina iegūtie veselie skaitļi:
Šis produkts ir 10 reizes lielāks par patieso. Tāpēc tas ir jāsamazina 10 reizes, par ko mēs pārvietojam komatu vienu vietu pa kreisi. Tādējādi mēs iegūstam
28 2,3 = 64,4.
Pārbaudes nolūkos varat uzrakstīt decimāldaļu ar saucēju un veikt darbību saskaņā ar parasto daļskaitļu reizināšanas noteikumu, t.i.
2) 12,27 0,021.
Atšķirība starp šo piemēru un iepriekšējo ir tāda, ka šeit abi faktori tiek attēloti kā decimāldaļdaļas. Bet šeit reizināšanas procesā nepievērsīsim uzmanību komatiem, t.i., īslaicīgi palielināsim reizinātāju 100 reizes, bet reizinātāju - 1000 reizes, kas palielinās reizinājumu par 100 000 reižu. Tādējādi, reizinot 1227 ar 21, mēs iegūstam:
1 227 21 = 25 767.
Ņemot vērā, ka iegūtais produkts ir 100 000 reižu lielāks par patieso produktu, tagad mums tas jāsamazina par 100 000 reižu, pareizi ievietojot tajā komatu, tad mēs iegūstam:
32,27 0,021 = 0,25767.
Pārbaudīsim:
Tādējādi, lai reizinātu divas decimāldaļas, pietiek, nepievēršot uzmanību komatiem, tos reizināt kā veselus skaitļus un reizinājumā ar komatu labajā pusē atdalīt tik daudz skaitļu aiz komata, cik bija reizinātājā un reizinātājā kopā.
IN pēdējais piemērs rezultāts bija reizinājums ar piecām zīmēm aiz komata. Ja tik liela precizitāte nav nepieciešama, tad decimāldaļdaļa tiek noapaļota. Noapaļojot, jums jāizmanto tas pats noteikums, kas tika norādīts veseliem skaitļiem.
§ 110. Reizināšana, izmantojot tabulas.
Dažkārt var reizināt decimāldaļas, izmantojot tabulas. Šim nolūkam var, piemēram, izmantot tās divciparu skaitļu reizināšanas tabulas, kuru apraksts tika sniegts iepriekš.
1) Reiziniet 53 ar 1,5.
Mēs reizinām 53 ar 15. Tabulā šis produkts ir vienāds ar 795. Mēs atradām preci 53 ar 15, bet mūsu otrais koeficients bija 10 reizes mazāks, kas nozīmē, ka produkts ir jāsamazina 10 reizes, t.i.
53 1,5 = 79,5.
2) Reiziniet 5,3 ar 4,7.
Pirmkārt, tabulā atrodam reizinājumu ar 53 ar 47, tas būs 2 491. Bet, tā kā mēs palielinājām reizinātāju un reizinātāju kopā par 100 reizēm, iegūtais reizinājums ir 100 reizes lielāks, nekā tam vajadzētu būt; tāpēc mums šis produkts jāsamazina 100 reizes:
5,3 4,7 = 24,91.
3) Reiziniet 0,53 ar 7,4.
Pirmkārt, tabulā atrodam reizinājumu 53 reiz 74; tas būs 3 922. Bet, tā kā mēs palielinājām reizinātāju 100 reizes, bet reizinātāju - 10 reizes, reizinājums palielinājās 1000 reizes; tāpēc mums tagad tas ir jāsamazina par 1000 reižu:
0,53 7,4 = 3,922.
§ 111. Decimāldaļu dalīšana.
Mēs aplūkosim decimāldaļu dalīšanu šādā secībā:
1. Decimāldaļas dalīšana ar vesels skaitlis,
1. Sadaliet decimāldaļu ar veselu skaitli.
1) Sadaliet 2,46 ar 2.
Sadalījām ar 2 vispirms veselām, tad desmitdaļām un visbeidzot simtdaļām.
2) Sadaliet 32,46 ar 3.
32,46: 3 = 10,82.
Mēs sadalījām 3 desmitniekus ar 3, tad sākām dalīt 2 vienības ar 3; tā kā dividendes (2) vienību skaits ir mazāks par dalītāju (3), tad koeficientā bija jāieliek 0; tālāk uz atlikumu paņēmām 4 desmitdaļas un 24 desmitdaļas dalījām ar 3; koeficientā saņēma 8 desmitdaļas un beidzot sadalīja 6 simtdaļas.
3) Sadaliet 1,2345 ar 5.
1,2345: 5 = 0,2469.
Šeit koeficientā pirmajā vietā ir nulle veseli skaitļi, jo viens vesels skaitlis nedalās ar 5.
4) Sadaliet 13,58 ar 4.
Šī piemēra īpatnība ir tāda, ka, saņemot koeficientā 9 simtdaļas, mēs atklājām atlikumu, kas vienāds ar 2 simtdaļām, mēs šo atlikumu sadalījām tūkstošdaļās, saņēmām 20 tūkstošdaļas un pabeidzām dalīšanu.
Noteikums. Decimāldaļas dalīšana ar veselu skaitli tiek veikta tāpat kā veselu skaitļu dalīšana, un iegūtie atlikumi tiek pārvērsti decimāldaļdaļās, mazākās un mazākās; Dalīšana turpinās, līdz atlikums ir nulle.
2. Sadaliet decimāldaļu ar decimāldaļu.
1) Sadaliet 2,46 ar 0,2.
Mēs jau zinām, kā decimāldaļu dalīt ar veselu skaitli. Padomāsim, vai ir iespējams reducēt šo jauno dalīšanas gadījumu uz iepriekšējo? Savulaik mēs uzskatījām par ievērojamo koeficienta īpašību, kas sastāv no tā, ka tas paliek nemainīgs, kad dividende un dalītājs vienlaikus palielinās vai samazinās vienādu reižu skaitu. Mēs varētu viegli sadalīt mums dotos skaitļus, ja dalītājs būtu vesels skaitlis. Lai to izdarītu, pietiek to palielināt 10 reizes, un, lai iegūtu pareizo koeficientu, ir jāpalielina dividende par tādu pašu summu, t.i., 10 reizes. Tad šo skaitļu dalījums tiks aizstāts ar šādu skaitļu dalījumu:
Turklāt vairs nebūs jāveic nekādi grozījumi datos.
Veicam šo sadalījumu:
Tātad 2,46: 0,2 = 12,3.
2) dalīt 1,25 ar 1,6.
Palielinām dalītāju (1,6) 10 reizes; lai koeficients nemainītos, mēs palielinām dividendi 10 reizes; 12 veseli skaitļi nedalās ar 16, tāpēc koeficientā ierakstām 0 un 125 desmitdaļas dalām ar 16, koeficientā iegūstam 7 desmitdaļas un atlikušo 13. 13 desmitdaļas sadalām simtdaļās, piešķirot nulli un 130 simtdaļas dalām ar 16 utt. Lūdzu, ņemiet vērā:
a) ja konkrētajā nav veselu skaitļu, tad to vietā raksta nulle veselus skaitļus;
b) kad pēc dividendes cipara pievienošanas atlikumam tiek iegūts skaitlis, kas nedalās ar dalītāju, tad koeficientā raksta nulle;
c) kad pēc dividendes pēdējā cipara noņemšanas dalīšana nebeidzas, tad, atlikumam pievienojot nulles, dalīšana turpinās;
d) ja dividende ir vesels skaitlis, tad, dalot to ar decimāldaļu, to palielina, pievienojot tai nulles.
Tādējādi, lai dalītu skaitli ar decimāldaļu, dalītājā ir jāatmet komats un pēc tam jāpalielina dividende tik reižu, cik dalītājs palielinājās, atmetot tajā komatu, un pēc tam veiciet dalīšanu saskaņā ar noteikumu. decimāldaļas dalīšanai ar veselu skaitli.
§ 112. Aptuvenie koeficienti.
Iepriekšējā rindkopā apskatījām decimāldaļskaitļu dalījumu, un visos mūsu atrisinātajos piemēros dalīšana bija pabeigta, t.i., iegūts precīzs koeficients. Tomēr vairumā gadījumu precīzu koeficientu nevar iegūt, neatkarīgi no tā, cik tālu mēs turpinām dalījumu. Šeit ir viens šāds gadījums: sadaliet 53 ar 101.
Mēs jau esam saņēmuši piecus ciparus koeficientā, taču dalījums vēl nav beidzies, un nav cerību, ka tas kādreiz beigsies, jo atlikušajā daļā mums sāk parādīties skaitļi, ar kuriem jau ir sastapušies iepriekš. Koeficientā atkārtosies arī skaitļi: skaidrs, ka pēc skaitļa 7 bezgalīgi parādīsies skaitlis 5, tad 2 utt. Šādos gadījumos dalīšana tiek pārtraukta un tiek ierobežota līdz koeficienta pirmajiem cipariem. Šo koeficientu sauc tuvākie. Mēs parādīsim ar piemēriem, kā veikt sadalīšanu.
Lai 25 ir jādala ar 3. Acīmredzot ar šādu dalījumu nevar iegūt precīzu koeficientu, kas izteikts kā vesels skaitlis vai decimāldaļdaļa. Tāpēc mēs meklēsim aptuveno koeficientu:
25: 3 = 8 un atlikums 1
Aptuvenais koeficients ir 8; tas, protams, ir mazāks par precīzo koeficientu, jo ir atlikums 1. Lai iegūtu precīzu koeficientu, atrastajam aptuvenajam koeficientam jāpievieno daļa, kas iegūta, dalot atlikumu, kas vienāds ar 1, ar 3, t.i. , līdz 8; tā būs daļa no 1/3. Tas nozīmē, ka tiks izteikts precīzs koeficients jaukts numurs 8 1/3. Tā kā 1/3 pārstāv pareizā frakcija, t.i., daļa, mazāk par vienu, tad, atmetot to, mēs atļausim kļūda, kas mazāk par vienu. Koeficients 8 būs aptuvenais koeficients līdz vienotībai ar trūkumu. Ja koeficientā 8 vietā ņemam 9, tad pieļausim arī kļūdu, kas ir mazāka par vienu, jo saskaitīsim nevis visu vienību, bet gan 2/3. Tāda privāta griba aptuvenais koeficients viena robežās ar pārpalikumu.
Tagad ņemsim citu piemēru. Pieņemsim, ka mums ir jādala 27 ar 8. Tā kā šeit mēs neiegūsim precīzu koeficientu, kas izteikts kā vesels skaitlis, mēs meklēsim aptuveno koeficientu:
27: 8 = 3 un atlikums 3.
Šeit kļūda ir vienāda ar 3/8, tā ir mazāka par vienu, kas nozīmē, ka aptuvenais koeficients (3) tika atrasts precīzs pret vienu ar trūkumu. Turpināsim dalīšanu: atlikušos 3 sadalām desmitdaļās, iegūstam 30 desmitdaļas; sadaliet tos ar 8.
Mēs saņēmām 3 koeficientā desmito daļu vietā un 6 desmitdaļas atlikušajā daļā. Ja aprobežosimies ar skaitli 3,3 un atmetam atlikušo 6, tad pieļausim kļūdu, kas mazāka par vienu desmito daļu. Kāpēc? Jo precīzs koeficients tiktu iegūts, ja 3,3 pieskaitītu rezultātu, dalot 6 desmitdaļas ar 8; šis dalījums dotu 6/80, kas ir mazāk par vienu desmito daļu. (Pārbaudiet!) Tātad, ja koeficientā mēs aprobežojamies ar desmitdaļām, tad varam teikt, ka esam atraduši koeficientu precizitāte līdz vienai desmitajai daļai(ar trūkumu).
Turpināsim dalīšanu, lai atrastu citu decimāldaļu. Lai to izdarītu, mēs sadalām 6 desmitdaļas simtdaļās un iegūstam 60 simtdaļas; sadaliet tos ar 8.
Koeficientā trešajā vietā izrādījās 7 un atlikusī 4 simtdaļas; ja tās atmetam, pieļausim kļūdu, kas mazāka par simtdaļu, jo 4 simtdaļas dalītas ar 8 ir mazākas par simtdaļu. Šādos gadījumos viņi saka, ka koeficients ir atrasts precizitāte līdz vienai simtdaļai(ar trūkumu).
Piemērā, kuru mēs tagad aplūkojam, mēs varam iegūt precīzu koeficientu, kas izteikts kā decimāldaļdaļa. Lai to izdarītu, pietiek ar pēdējo atlikumu, 4 simtdaļām, sadalīt tūkstošdaļās un dalīt ar 8.
Tomēr vairumā gadījumu precīzu koeficientu iegūt nav iespējams un ir aprobežojas ar tā aptuvenajām vērtībām. Tagad mēs apskatīsim šo piemēru:
40: 7 = 5,71428571...
Punkti, kas novietoti skaitļa beigās, norāda, ka dalīšana nav pabeigta, t.i., vienādība ir aptuvena. Parasti aptuveno vienādību raksta šādi:
40: 7 = 5,71428571.
Mēs paņēmām koeficientu ar astoņām zīmēm aiz komata. Bet, ja tik liela precizitāte nav nepieciešama, varat aprobežoties tikai ar visu koeficienta daļu, t.i., skaitli 5 (precīzāk 6); lai iegūtu lielāku precizitāti, varētu ņemt vērā desmitdaļas un ņemt koeficientu, kas vienāds ar 5,7; ja kāda iemesla dēļ šī precizitāte ir nepietiekama, tad var apstāties pie simtdaļām un ņemt 5,71 utt. Izrakstīsim individuālos koeficientus un nosaucam tos.
Pirmais aptuvenais koeficients, kas atbilst vienam 6.
Otrais » » » līdz vienai desmitajai daļai 5.7.
Trešais » » » līdz simtdaļai 5.71.
Ceturtais » » » līdz tūkstošdaļai 5,714.
Tādējādi, lai atrastu aptuvenu koeficientu, kas precīzs ar kādu, piemēram, 3. zīmi aiz komata (t.i., līdz vienai tūkstošdaļai), pārtrauciet dalīšanu, tiklīdz šī zīme ir atrasta. Šajā gadījumā jums ir jāatceras 40. paragrāfā izklāstītais noteikums.
§ 113. Vienkāršākie uzdevumi, kas saistīti ar procentiem.
Uzzinot par decimāldaļām, mēs veiksim vēl dažas procentu problēmas.
Šīs problēmas ir līdzīgas tām, kuras atrisinājām frakciju nodaļā; bet tagad simtdaļas rakstīsim decimāldaļskaitļu veidā, tas ir, bez skaidri noteikta saucēja.
Pirmkārt, jums ir jāspēj viegli pāriet no parastās daļskaitļa uz decimāldaļu ar saucēju 100. Lai to izdarītu, skaitītājs jāsadala ar saucēju:
Tālāk esošajā tabulā parādīts, kā skaitlis ar simbolu % (procenti) tiek aizstāts ar decimāldaļu ar saucēju 100:
Tagad apskatīsim vairākas problēmas.
1. Procentu atrašana dotais numurs.
1. uzdevums. Vienā ciemā dzīvo tikai 1600 cilvēku. Bērnu skaits skolas vecums veido 25% no kopējā iedzīvotāju skaita. Cik skolas vecuma bērnu ir šajā ciematā?
Šajā uzdevumā jāatrod 25% jeb 0,25 no 1600. Problēma tiek atrisināta, reizinot:
1600 0,25 = 400 (bērni).
Tāpēc 25% no 1600 ir 400.
Lai skaidri saprastu šo uzdevumu, ir lietderīgi atgādināt, ka uz katriem simtiem iedzīvotāju ir 25 skolas vecuma bērni. Tāpēc, lai noskaidrotu visu skolas vecuma bērnu skaitu, vispirms var noskaidrot, cik simtu ir skaitlī 1600 (16), un pēc tam reizināt 25 ar simtu skaitu (25 x 16 = 400). Tādā veidā jūs varat pārbaudīt risinājuma derīgumu.
2. uzdevums. Krājbankas nodrošina noguldītājiem 2% atdevi gadā. Cik ienākumus gūs noguldītājs gadā, ja ieliks kasē: a) 200 rubļus? b) 500 rubļu? c) 750 rubļi? d) 1000 rubļu?
Visos četros gadījumos, lai atrisinātu problēmu, jums būs jāaprēķina 0,02 no norādītajām summām, t.i., katrs no šiem skaitļiem būs jāreizina ar 0,02. Darīsim to:
a) 200 0,02 = 4 (rub.),
b) 500 0,02 = 10 (rub.),
c) 750 0,02 = 15 (rub.),
d) 1000 0,02 = 20 (rub.).
Katru no šiem gadījumiem var pārbaudīt, ievērojot šādus apsvērumus. Krājbankas investoriem dod 2% ienākumus, t.i., 0,02 no uzkrājumos noguldītās summas. Ja summa būtu 100 rubļi, tad 0,02 no tās būtu 2 rubļi. Tas nozīmē, ka katrs simts atnes investoram 2 rubļus. ienākumiem. Tāpēc katrā no aplūkotajiem gadījumiem pietiek noskaidrot, cik simtu ir noteiktā skaitā, un reizināt 2 rubļus ar šo simtu skaitu. Piemērā a) ir 2 simti, kas nozīmē
2 2 = 4 (berzēt).
Piemērā d) ir 10 simti, kas nozīmē
2 10 = 20 (rub.).
2. Skaitļa atrašana pēc tā procentiem.
1. uzdevums. Pavasarī skolu absolvēja 54 skolēni, kas veido 6% no kopējā skolēnu skaita. Cik skolēnu pagājušajā mācību gadā bija skolā?
Vispirms noskaidrosim šī uzdevuma nozīmi. Skolu absolvēja 54 skolēni, kas ir 6% no kopējā skolēnu skaita jeb, citiem vārdiem sakot, 6 simtdaļas (0,06) no visiem skolas audzēkņiem. Tas nozīmē, ka mēs zinām studentu daļu, kas izteikta ar skaitli (54) un daļskaitli (0,06), un no šīs daļdaļas mums jāatrod viss skaitlis. Tādējādi mūsu priekšā ir parasts uzdevums atrast skaitli no tā daļskaitļa (§90, 6. punkts). Šāda veida problēmas tiek atrisinātas, sadalot:
Tas nozīmē, ka skolā mācījās tikai 900 skolēnu.
Šādas problēmas ir lietderīgi pārbaudīt, risinot apgriezto uzdevumu, t.i., pēc uzdevuma atrisināšanas vismaz savā galvā jāatrisina pirmā tipa uzdevums (noteikta skaitļa procentuālās daļas atrašana): ņem atrasto skaitli ( 900) kā norādīts un atrodiet tā procentuālo daļu, kas norādīta atrisinātajā uzdevumā, proti:
900 0,06 = 54.
2. uzdevums. Mēneša laikā ģimene pārtikai iztērē 780 rubļus, kas ir 65% no tēva ikmēneša ienākumiem. Nosakiet viņa ikmēneša ienākumus.
Šim uzdevumam ir tāda pati nozīme kā iepriekšējam. Tas parāda daļu no mēneša izpeļņas, kas izteikta rubļos (780 rubļi), un norāda, ka šī daļa ir 65% jeb 0,65 no kopējās peļņas. Un tas, ko jūs meklējat, ir visi ienākumi:
780: 0,65 = 1 200.
Tāpēc nepieciešamie ienākumi ir 1200 rubļu.
3. Skaitļu procentuālās daļas atrašana.
1. uzdevums. Skolas bibliotēkā ir tikai 6000 grāmatu. To vidū ir 1200 grāmatas par matemātiku. Cik procentu matemātikas grāmatu veido no kopējā grāmatu skaita bibliotēkā?
Mēs jau izskatījām (§97) šāda veida problēmas un nonācām pie secinājuma, ka, lai aprēķinātu divu skaitļu procentuālo attiecību, ir jāatrod šo skaitļu attiecība un jāreizina ar 100.
Mūsu uzdevumā jāatrod skaitļu 1200 un 6000 procentuālā attiecība.
Vispirms atradīsim to attiecību un pēc tam reizinim to ar 100:
Tādējādi skaitļu 1200 un 6000 procentuālais daudzums ir 20. Citiem vārdiem sakot, matemātikas grāmatas veido 20% no visu grāmatu kopskaita.
Lai pārbaudītu, atrisināsim apgriezto problēmu: atrodiet 20% no 6000:
6 000 0,2 = 1 200.
2. uzdevums. Rūpnīcai vajadzētu saņemt 200 tonnas ogļu. Jau piegādātas 80 tonnas Cik procenti ogļu ir piegādātas rūpnīcai?
Šī problēma jautā, cik procentu viens skaitlis (80) ir no cita (200). Šo skaitļu attiecība būs 80/200. Sareizināsim to ar 100:
Tas nozīmē, ka 40% ogļu ir piegādāti.
Atrodiet koeficienta pirmo ciparu (dalīšanas rezultātu). Lai to izdarītu, sadaliet pirmo dividendes ciparu ar dalītāju. Ierakstiet rezultātu zem dalītāja.
- Mūsu piemērā dividendes pirmais cipars ir 3. Sadaliet 3 ar 12. Tā kā 3 ir mazāks par 12, dalīšanas rezultāts būs 0. Zem dalītāja ierakstiet 0 - tas ir koeficienta pirmais cipars.
Reiziniet rezultātu ar dalītāju. Ierakstiet reizināšanas rezultātu zem dividendes pirmā cipara, jo tas ir cipars, kuru tikko dalījāt ar dalītāju.
- Mūsu piemērā 0 × 12 = 0, tāpēc zem 3 ierakstiet 0.
Atņemiet reizināšanas rezultātu no dividendes pirmā cipara. Uzrakstiet savu atbildi jaunā rindā.
- Mūsu piemērā: 3 - 0 = 3. Ierakstiet 3 tieši zem 0.
Pārvietojiet uz leju dividendes otro ciparu. Lai to izdarītu, blakus atņemšanas rezultātam pierakstiet nākamo dividendes ciparu.
- Mūsu piemērā dividende ir 30. Dividendes otrais cipars ir 0. Pārvietojiet to uz leju, ierakstot 0 blakus 3 (atņemšanas rezultāts). Jūs saņemsiet numuru 30.
Sadaliet rezultātu ar dalītāju. Jūs atradīsit koeficienta otro ciparu. Lai to izdarītu, sadaliet skaitli, kas atrodas apakšējā rindā, ar dalītāju.
- Mūsu piemērā daliet 30 ar 12. 30 ÷ 12 = 2 plus daži atlikumi (jo 12 x 2 = 24). Aiz 0 zem dalītāja ierakstiet 2 - tas ir koeficienta otrais cipars.
- Ja nevarat atrast piemērotu ciparu, ejiet cauri cipariem, līdz skaitļa reizināšanas ar dalītāju rezultāts ir mazāks un vistuvāk skaitlim, kas atrodas kolonnā pēdējā. Mūsu piemērā apsveriet skaitli 3. Reiziniet to ar dalītāju: 12 x 3 = 36. Tā kā 36 ir lielāks par 30, skaitlis 3 nav piemērots. Tagad apsveriet skaitli 2. 12 x 2 = 24. 24 ir mazāks par 30, tāpēc skaitlis 2 ir pareizais risinājums.
Atkārtojiet iepriekš minētās darbības, lai atrastu nākamo numuru. Aprakstītais algoritms tiek izmantots jebkurā garās dalīšanas uzdevumā.
- Reiziniet koeficienta otro ciparu ar dalītāju: 2 x 12 = 24.
- Ierakstiet reizināšanas rezultātu (24) zem pēdējā skaitļa kolonnā (30).
- Atņemiet mazāko skaitli no lielākā. Mūsu piemērā: 30 - 24 = 6. Ierakstiet rezultātu (6) jaunā rindā.
Ja dividendē ir atlikuši cipari, kurus var pārvietot uz leju, turpiniet aprēķina procesu. Pretējā gadījumā pārejiet pie nākamās darbības.
- Mūsu piemērā jūs pārvietojāt uz leju dividendes pēdējo ciparu (0). Tāpēc pārejiet pie nākamās darbības.
Ja nepieciešams, izmantojiet decimālzīmi, lai paplašinātu dividendi. Ja dividende dalās ar dalītāju, tad pēdējā rindā iegūsit skaitli 0. Tas nozīmē, ka uzdevums ir atrisināts, un atbilde (vesela skaitļa formā) ir ierakstīta zem dalītāja. Bet, ja kolonnas pašā apakšā ir kāds skaitlis, kas nav 0, ir jāpaplašina dividende, pievienojot decimālzīmi un pievienojot 0. Atcerēsimies, ka tas nemaina dividendes vērtību.
- Mūsu piemērā pēdējā rindā ir skaitlis 6. Tāpēc pa labi no 30 (dividence) ierakstiet decimālzīmi un pēc tam ierakstiet 0. Tāpat ievietojiet decimālzīmi pēc atrastajiem koeficienta cipariem, kurus jūs rakstiet zem dalītāja (aiz šī komata vēl neko nerakstiet!) .
Atkārtojiet iepriekš aprakstītās darbības, lai atrastu nākamo numuru. Galvenais neaizmirst ielikt komatu gan pēc dividendes, gan pēc atrastajiem koeficienta cipariem. Pārējais process ir līdzīgs iepriekš aprakstītajam procesam.
- Mūsu piemērā pārvietojiet uz leju 0 (ko ierakstījāt aiz komata). Jūs saņemsiet skaitli 60. Tagad sadaliet šo skaitli ar dalītāju: 60 ÷ 12 = 5. Ierakstiet 5 aiz 2 (un aiz komata) zem dalītāja. Šis ir koeficienta trešais cipars. Tātad galīgā atbilde ir 2,5 (nulle pirms 2 var ignorēt).
Dalīšana ar decimāldaļu tiek samazināta līdz dalīšanai ar naturālu skaitli.
Noteikums skaitļa dalīšanai ar decimāldaļu
Lai dalītu skaitli ar decimāldaļskaitli, ir jāpārvieto decimālpunkts gan dividendē, gan dalītājā par tik cipariem pa labi, cik ir dalītājā aiz komata. Pēc tam dala ar naturālu skaitli.
Piemēri.
Sadaliet ar decimāldaļu:
Lai dalītu ar decimālzīmi, ir jāpārvieto decimālpunkts gan dividendēs, gan dalītājā par tik cipariem pa labi, cik ir aiz komata dalītājā, tas ir, par vienu ciparu. Mēs iegūstam: 35,1: 1,8 = 351: 18. Tagad mēs veicam sadalīšanu ar stūri. Rezultātā mēs iegūstam: 35,1: 1,8 = 19,5.
2) 14,76: 3,6
Lai dalītu decimāldaļas, gan dividendēs, gan dalītājā mēs pārvietojam komatu uz labo vienu vietu: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Tagad izpildām naturālu skaitli. Rezultāts: 14,76: 3,6 = 4,1.
Lai naturālu skaitli dalītu ar decimāldaļu, ir jāpārvieto gan dividende, gan dalītājs pa labi tik daudz vietu, cik ir dalītājam aiz komata. Tā kā šajā gadījumā dalītājā komats netiek rakstīts, trūkstošo rakstzīmju skaitu aizpildām ar nullēm: 70: 1,75 = 7000: 175. Iegūtos naturālos skaitļus sadaliet ar stūri: 70: 1,75 = 7000: 175 = 40 .
4) 0,1218: 0,058
Lai dalītu vienu decimāldaļu ar citu, mēs pārvietojam decimālzīmi pa labi gan dividendē, gan dalītājā par tik cipariem, cik ir dalītājā aiz komata, tas ir, ar trim zīmēm aiz komata. Tādējādi 0,1218: 0,058 = 121,8: 58. Dalīšana ar decimāldaļu tika aizstāta ar dalīšanu ar naturālu skaitli. Mums ir viens stūris. Mums ir: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.
5) 0,0456: 3,8