Këndi ndërmjet vijave në hapësirë do të quajmë ndonjë prej qoshet ngjitur, i formuar nga dy vija të drejta të tërhequra përmes një pike arbitrare paralele me të dhënat.
Le të jepen dy rreshta në hapësirë:
Natyrisht, këndi φ ndërmjet vijave të drejta mund të merret si kënd midis vektorëve të drejtimit të tyre dhe . Meqenëse , atëherë duke përdorur formulën për kosinusin e këndit ndërmjet vektorëve marrim
Kushtet e paralelizmit dhe pingulitetit të dy drejtëzave janë ekuivalente me kushtet e paralelizmit dhe pingulitetit të vektorëve të drejtimit të tyre dhe:
Dy drejt paralele nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre përkatës janë proporcionalë, d.m.th. l 1 paralele l 2 nëse dhe vetëm nëse janë paralele 
.
Dy drejt pingul nëse dhe vetëm nëse shuma e prodhimeve të koeficientëve përkatës është e barabartë me zero: .
U objektivi midis vijës dhe planit
Le të jetë e drejtë d- jo pingul me rrafshin θ;
d′− projeksioni i një vije d në rrafshin θ;
Këndi më i vogël ndërmjet vijave të drejta d Dhe d"Ne do të thërrasim këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit.
Le ta shënojmë si φ=( d,θ)
Nëse d⊥θ, atëherë ( d,θ)=π/2
Oi→j→k→− sistem drejtkëndor koordinatat
Ekuacioni i planit:
θ: Sëpatë+Nga+Cz+D=0
Supozojmë se vija e drejtë përcaktohet nga një pikë dhe një vektor drejtimi: d[M 0,fq→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Pastaj mbetet për të gjetur këndin midis vektorëve n→ dhe fq→, le ta shënojmë si γ=( n→,fq→).
Nëse këndi γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Nëse këndi është γ>π/2, atëherë këndi i dëshiruar është φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
Pastaj, këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit mund të llogaritet duke përdorur formulën:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√fq 21+fq 22+fq 23
Pyetja 29. Koncepti i formës kuadratike. Përcaktimi i shenjës së formave kuadratike.
Forma kuadratike j (x 1, x 2, …, x n) n ndryshore reale x 1, x 2, …, x n quhet shuma e formës 
, (1)
Ku një ij – disa numra të quajtur koeficientë. Pa humbur përgjithësinë, mund të supozojmë se një ij = një ji.
Forma kuadratike quhet e vlefshme, Nëse një ij
Î GR. Matrica e formës kuadratike quhet matricë e përbërë nga koeficientët e saj. Forma kuadratike (1) korrespondon me matricën e vetme simetrike 
Kjo eshte A T = A. Rrjedhimisht, forma kuadratike (1) mund të shkruhet në formën e matricës j ( X) = x T Ah, Ku x T = (X 1 X 2 … x n). (2)
Dhe, anasjelltas, çdo matricë simetrike (2) korrespondon me një formë kuadratike unike deri në shënimin e variablave.
Rangu i formës kuadratike quhet rangu i matricës së tij. Forma kuadratike quhet jo i degjeneruar, nëse matrica e saj është jo njëjës A. (kujtoni se matrica A quhet jo i degjeneruar nëse përcaktorja e tij nuk është e barabartë me zero). Përndryshe, forma kuadratike është e degjeneruar.
definitiv pozitiv(ose rreptësisht pozitive) nëse
j( X) > 0 , për këdo X = (X 1 , X 2 , …, x n), përveç X = (0, 0, …, 0).
Matricë A forma kuadratike e caktuar pozitive j ( X) quhet edhe definitive pozitive. Prandaj, një formë kuadratike e përcaktuar pozitive korrespondon me një matricë unike të përcaktuar pozitive dhe anasjelltas.
Forma kuadratike (1) quhet të përcaktuara negativisht(ose rreptësisht negative) nëse
j( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), përveç X = (0, 0, …, 0).
Ngjashëm si më sipër, një matricë e formës kuadratike të përcaktuar negative quhet gjithashtu definitive negative.
Rrjedhimisht, forma kuadratike e caktuar pozitive (negative) j ( X) arrin vlerën minimale (maksimale) j ( X*) = 0 në X* = (0, 0, …, 0).
Vini re se shumica e formave kuadratike nuk janë të përcaktuara me shenjë, domethënë nuk janë as pozitive as negative. Forma të tilla kuadratike kthehen në 0 jo vetëm në origjinën e sistemit të koordinatave, por edhe në pika të tjera.
Kur n> 2, kërkohen kritere të veçanta për të kontrolluar shenjën e një formulari kuadratik. Le t'i shikojmë ato.
Të mitur të mëdhenj forma kuadratike quhen të mitur:
domethënë, këta janë të mitur të rendit 1, 2, ..., n matricat A, e vendosur në këndin e sipërm të majtë, e fundit prej tyre përkon me përcaktuesin e matricës A.
Kriteri i Përcaktimit Pozitiv (Kriteri Silvester)
X) = x T Ah ishte definitive pozitive, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të gjitha minoret kryesore të matricës A ishin pozitive, pra: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Kriteri negativ i sigurisë Në mënyrë që forma kuadratike j ( X) = x T Ah ishte e caktuar negative, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të miturit kryesorë të rendit çift të jenë pozitivë, dhe të rendit tek - negativ, d.m.th. M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n
KËNDI MIDIS PLANEVE
Konsideroni dy plane α 1 dhe α 2, të përcaktuara përkatësisht nga ekuacionet:
Nën këndi ndërmjet dy rrafsheve do të kuptojmë një nga këndet diedrale që formojnë këto rrafshe. Është e qartë se këndi midis vektorëve normalë dhe rrafsheve α 1 dhe α 2 është i barabartë me një nga këndet diedrale ngjitur të treguara ose 
. Kjo është arsyeja pse 
. Sepse 
Dhe 
, Kjo
.
Shembull. Përcaktoni këndin midis planeve x+2y-3z+4=0 dhe 2 x+3y+z+8=0.
Kushti për paralelizmin e dy rrafsheve.
Dy plane α 1 dhe α 2 janë paralele nëse dhe vetëm nëse vektorët e tyre normalë janë paralelë, dhe për këtë arsye 
.
Pra, dy plane janë paralel me njëri-tjetrin nëse dhe vetëm nëse koeficientët e koordinatave përkatëse janë proporcionale:
ose
Gjendja e pingulitetit të planeve.
Është e qartë se dy plane janë pingul nëse dhe vetëm nëse vektorët e tyre normalë janë pingul, dhe për këtë arsye, ose .
Kështu,.
Shembuj.
DREJT NË HAPËSIRË.
EKUACIONI VEKTORI PËR NJË DREJTË.
EKUACIONET PARAMETRIKE DIREKTE
Pozicioni i një linje në hapësirë përcaktohet plotësisht duke specifikuar ndonjë nga pikat e saj fikse M 1 dhe një vektor paralel me këtë vijë.
Një vektor paralel me një drejtëzë quhet udhërrëfyes vektori i kësaj linje.
Pra, le vijën e drejtë l kalon nëpër një pikë M 1 (x 1 , y 1 , z 1), i shtrirë në një vijë paralele me vektorin .
Konsideroni një pikë arbitrare M(x,y,z) në një vijë të drejtë. Nga figura duket qartë se 
.
Vektorët dhe janë kolinear, kështu që ekziston një numër i tillë t, çfarë , ku është shumëzuesi t mund të marrë çdo vlerë numerike në varësi të pozicionit të pikës M në një vijë të drejtë. Faktori t quhet një parametër. Duke caktuar vektorët e rrezes së pikave M 1 dhe M përkatësisht, përmes dhe , marrim . Ky ekuacion quhet vektoriale ekuacioni i një vije të drejtë. Tregon se për çdo vlerë parametri t korrespondon me vektorin e rrezes së një pike M, i shtrirë në një vijë të drejtë.
Le ta shkruajmë këtë ekuacion në formë koordinative. Vini re se, 
dhe nga këtu
Ekuacionet që rezultojnë quhen parametrike ekuacionet e një drejtëze.
Kur ndryshoni një parametër t koordinatat ndryshojnë x, y Dhe z dhe periudha M lëviz në vijë të drejtë.
EKUACIONET KANONIKE TË DIREKTET
Le M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - një pikë e shtrirë në një vijë të drejtë l, Dhe 
është vektori i drejtimit të tij. Le të marrim përsëri një pikë arbitrare në vijë M(x,y,z) dhe merrni parasysh vektorin.
Është e qartë se vektorët janë gjithashtu kolinearë, kështu që koordinatat e tyre përkatëse duhet të jenë proporcionale, prandaj,
– kanonike ekuacionet e një drejtëze.
Shënim 1. Vini re se ekuacionet kanonike të linjës mund të merren nga ato parametrike duke eliminuar parametrin t. Në të vërtetë, nga ekuacionet parametrike marrim 
ose .
Shembull. Shkruani ekuacionin e drejtëzës 
në formë parametrike.
Le të shënojmë 
, nga këtu x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Shënim 2. Lëreni drejtëzën të jetë pingul me një nga boshtet koordinative, për shembull boshtin kau. Atëherë vektori i drejtimit të drejtëzës është pingul kau, prandaj, m=0. Rrjedhimisht, ekuacionet parametrike të vijës do të marrin formën
Duke përjashtuar parametrin nga ekuacionet t, marrim ekuacionet e drejtëzës në formë
Megjithatë, edhe në këtë rast, ne jemi dakord që të shkruajmë zyrtarisht ekuacionet kanonike të rreshtit në formë 
. Kështu, nëse emëruesi i njërës prej thyesave është zero, kjo do të thotë se drejtëza është pingul me boshtin koordinativ përkatës.
Ngjashëm me ekuacionet kanonike 
korrespondon me një vijë të drejtë pingul me boshtet kau Dhe Oy ose paralel me boshtin Oz.
Shembuj.
EKUACIONET E PËRGJITHSHME TË NJË VJËZE TË DREJTË SI VIJAT E KRYQËZIMIT TË DY RAFSHËVE
Nëpër çdo vijë të drejtë në hapësirë ka aeroplanë të panumërt. Çdo dy prej tyre, duke u kryqëzuar, e përcaktojnë atë në hapësirë. Rrjedhimisht, ekuacionet e çdo dy planesh të tilla, të konsideruara së bashku, paraqesin ekuacionet e kësaj linje.
Në përgjithësi, çdo dy plane jo paralele të dhëna nga ekuacionet e përgjithshme
përcaktoni vijën e drejtë të kryqëzimit të tyre. Këto ekuacione quhen ekuacionet e përgjithshme drejt.
Shembuj.
Ndërtoni një vijë të dhënë nga ekuacionet 
Për të ndërtuar një vijë të drejtë, mjafton të gjesh çdo dy nga pikat e saj. Mënyra më e lehtë është të zgjidhni pikat e kryqëzimit të një vije të drejtë me plane koordinative. Për shembull, pika e kryqëzimit me rrafshin xOy marrim nga ekuacionet e drejtëzës, duke supozuar z= 0:
Pasi e kemi zgjidhur këtë sistem, ne gjejmë pikën M 1 (1;2;0).
Në mënyrë të ngjashme, duke supozuar y= 0, marrim pikën e kryqëzimit të drejtëzës me rrafshin xOz:
Nga ekuacionet e përgjithshme të një drejtëze mund të kalohet në ekuacionet e saj kanonike ose parametrike. Për ta bërë këtë ju duhet të gjeni një pikë M 1 në një vijë të drejtë dhe vektori i drejtimit të një vije të drejtë.
Koordinatat e pikave M 1 marrim nga ky sistem ekuacionesh, duke i dhënë njërës prej koordinatave një vlerë arbitrare. Për të gjetur vektorin e drejtimit, vini re se ky vektor duhet të jetë pingul me të dy vektorët normalë 
Dhe 
. Prandaj, përtej vektorit të drejtimit të vijës së drejtë l ju mund të merrni produktin vektorial të vektorëve normalë:
.
Shembull. Jepni ekuacionet e përgjithshme të drejtëzës 
në formën kanonike.
Le të gjejmë një pikë të shtrirë në një vijë. Për ta bërë këtë, ne zgjedhim në mënyrë arbitrare një nga koordinatat, për shembull, y= 0 dhe zgjidhni sistemin e ekuacioneve:
Vektorët normalë të rrafsheve që përcaktojnë drejtëzën kanë koordinata 
Prandaj, vektori i drejtimit do të jetë i drejtë
. Prandaj, l: 
.
KËNDI MIDIS TË DREJTAVE
Këndi ndërmjet drejtëzave në hapësirë do të quajmë cilindo nga këndet ngjitur të formuar nga dy drejtëza të tërhequra përmes një pike arbitrare paralele me të dhënat.
Le të jepen dy rreshta në hapësirë:
Natyrisht, këndi φ ndërmjet vijave të drejta mund të merret si kënd midis vektorëve të drejtimit të tyre dhe . Meqenëse , atëherë duke përdorur formulën për kosinusin e këndit ndërmjet vektorëve marrim
Ky material i kushtohet një koncepti të tillë si këndi midis dy vijave kryqëzuese. Në paragrafin e parë do të shpjegojmë se çfarë është dhe do ta tregojmë në ilustrime. Pastaj do të shikojmë se si mund të gjeni sinusin, kosinusin e këtij këndi dhe vetë këndin (do të shqyrtojmë veçmas rastet me një plan dhe hapësirë tredimensionale), do të japim formulat e nevojshme dhe do të tregojmë me shembuj se si janë saktësisht ato. përdoret në praktikë.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Për të kuptuar se çfarë është këndi i formuar kur kryqëzohen dy drejtëza, duhet të kujtojmë vetë përkufizimin e këndit, pingulitetit dhe pikës së kryqëzimit.
Përkufizimi 1
Ne i quajmë dy drejtëza që kryqëzohen nëse kanë një pikë të përbashkët. Kjo pikë quhet pika e prerjes së dy drejtëzave.
Çdo vijë e drejtë ndahet nga një pikë kryqëzimi në rreze. Të dy vijat e drejta formojnë 4 kënde, dy prej të cilave janë vertikale dhe dy janë ngjitur. Nëse dimë masën e njërës prej tyre, atëherë mund të përcaktojmë ato që mbeten.
Le të themi se dimë se një nga këndet është i barabartë me α. Në këtë rast, këndi që është vertikal në lidhje me të do të jetë gjithashtu i barabartë me α. Për të gjetur këndet e mbetura, duhet të llogarisim ndryshimin 180 ° - α. Nëse α është e barabartë me 90 gradë, atëherë të gjitha këndet do të jenë kënde të drejta. Linjat që kryqëzohen në kënde të drejta quhen pingul (një artikull i veçantë i kushtohet konceptit të pingulitetit).
Hidhini një sy fotos:
Le të kalojmë në formulimin e përkufizimit kryesor.
Përkufizimi 2
Këndi i formuar nga dy drejtëza të kryqëzuara është masa e më të voglit nga 4 këndet që formojnë këto dy drejtëza.
Nga përkufizimi duhet të nxirret një përfundim i rëndësishëm: madhësia e këndit në këtë rast do të shprehet me ndonjë numër real në intervalin (0, 90]. Nëse vijat janë pingule, atëherë këndi ndërmjet tyre në çdo rast do të jetë i barabartë me 90 gradë.
Aftësia për të gjetur masën e këndit midis dy drejtëzave të kryqëzuara është e dobishme për zgjidhjen e shumë problemeve praktike. Metoda e zgjidhjes mund të zgjidhet nga disa opsione.
Për të filluar, ne mund të marrim metoda gjeometrike. Nëse dimë diçka për këndet plotësuese, atëherë mund t'i lidhim ato me këndin që na nevojitet duke përdorur vetitë e figurave të barabarta ose të ngjashme. Për shembull, nëse i njohim brinjët e një trekëndëshi dhe duhet të llogarisim këndin ndërmjet vijave në të cilat ndodhen këto brinjë, atëherë teorema e kosinusit është e përshtatshme për zgjidhjen tonë. Nëse e kemi kushtin trekëndësh kënddrejtë, atëherë për llogaritjet do të na duhen edhe njohuri për sinusin, kosinusin dhe tangjentën e një këndi.
Metoda e koordinatave është gjithashtu shumë e përshtatshme për zgjidhjen e problemeve të këtij lloji. Le të shpjegojmë se si ta përdorim atë në mënyrë korrekte.
Kemi një sistem koordinativ drejtkëndor (kartezian) O x y, në të cilin janë dhënë dy drejtëza. Le t'i shënojmë me shkronjat a dhe b. Vijat e drejta mund të përshkruhen duke përdorur disa ekuacione. Linjat origjinale kanë një pikë kryqëzimi M. Si të përcaktohet këndi i kërkuar (le ta shënojmë α) midis këtyre drejtëzave?
Le të fillojmë duke formuluar parimin bazë të gjetjes së një këndi në kushte të dhëna.
Ne e dimë se koncepti i një vije të drejtë është i lidhur ngushtë me koncepte të tilla si një vektor drejtimi dhe një vektor normal. Nëse kemi një ekuacion të një drejtëze të caktuar, mund të marrim koordinatat e këtyre vektorëve prej saj. Ne mund ta bëjmë këtë për dy linja të kryqëzuara menjëherë.
Këndi i nënshtruar nga dy vija kryqëzuese mund të gjendet duke përdorur:
- këndi ndërmjet vektorëve të drejtimit;
- këndi ndërmjet vektorëve normalë;
- këndi ndërmjet vektorit normal të njërës drejtëze dhe vektorit të drejtimit të tjetrës.
Tani le të shohim secilën metodë veç e veç.
1. Le të supozojmë se kemi një drejtëz a me vektor drejtimi a → = (a x, a y) dhe një drejtëz b me vektor drejtimi b → (b x, b y). Tani le të vizatojmë dy vektorë a → dhe b → nga pika e kryqëzimit. Pas kësaj do të shohim se ata do të vendosen secili në vijën e vet të drejtë. Pastaj kemi katër opsione për rregullimin e tyre relativ. Shih ilustrimin:
Nëse këndi ndërmjet dy vektorëve nuk është i mpirë, atëherë ai do të jetë këndi që na nevojitet midis drejtëzave të kryqëzuara a dhe b. Nëse është i mpirë, atëherë këndi i dëshiruar do të jetë i barabartë me këndin ngjitur me këndin a →, b → ^. Kështu, α = a → , b → ^ nëse a → , b → ^ ≤ 90 ° , dhe α = 180 ° - a → , b → ^ nëse a → , b → ^ > 90 ° .
Bazuar në faktin se kosinuset e këndeve të barabarta janë të barabarta, barazitë që rezultojnë mund t'i rishkruajmë si më poshtë: cos α = cos a →, b → ^, nëse a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, nëse a →, b → ^ > 90 °.
Në rastin e dytë, u përdorën formulat e reduktimit. Kështu,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Le të shkruajmë formulën e fundit me fjalë:
Përkufizimi 3
Kosinusi i këndit të formuar nga dy drejtëza të kryqëzuara do të jetë i barabartë me modulin e kosinusit të këndit ndërmjet vektorëve të drejtimit të tij.
Forma e përgjithshme e formulës për kosinusin e këndit midis dy vektorëve a → = (a x, a y) dhe b → = (b x, b y) duket kështu:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Prej tij mund të nxjerrim formulën për kosinusin e këndit midis dy drejtëzave të dhëna:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Pastaj vetë këndi mund të gjendet duke përdorur formulën e mëposhtme:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Këtu a → = (a x , a y) dhe b → = (b x , b y) janë vektorët e drejtimit të vijave të dhëna.
Le të japim një shembull të zgjidhjes së problemit.
Shembulli 1
Në një sistem koordinativ drejtkëndor në një rrafsh, jepen dy drejtëza të kryqëzuara a dhe b. Ato mund të përshkruhen nga ekuacionet parametrike x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R dhe x 5 = y - 6 - 3. Llogaritni këndin midis këtyre vijave.
Zgjidhje
Ne e kemi kushtin ekuacioni parametrik, që do të thotë se për këtë rresht mund të shkruajmë menjëherë koordinatat e vektorit të drejtimit të tij. Për ta bërë këtë, ne duhet të marrim vlerat e koeficientëve për parametrin, d.m.th. drejtëza x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R do të ketë një vektor drejtimi a → = (4, 1).
Vija e dytë e drejtë përshkruhet duke përdorur ekuacioni kanonik x 5 = y - 6 - 3 . Këtu mund të marrim koordinatat nga emëruesit. Kështu, kjo drejtëz ka një vektor drejtimi b → = (5 , - 3) .
Më pas, ne kalojmë drejtpërdrejt në gjetjen e këndit. Për ta bërë këtë, thjesht zëvendësoni koordinatat ekzistuese të dy vektorëve në formulën e mësipërme α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Ne marrim sa vijon:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Përgjigju: Këto vija të drejta formojnë një kënd prej 45 gradë.
Ne mund të zgjidhim një problem të ngjashëm duke gjetur këndin midis vektorëve normalë. Nëse kemi një drejtëz a me një vektor normal n a → = (n a x , n a y) dhe një drejtëz b me një vektor normal n b → = (n b x , n b y), atëherë këndi ndërmjet tyre do të jetë i barabartë me këndin ndërmjet n a → dhe n b → ose këndi që do të jetë ngjitur me n a →, n b → ^. Kjo metodë tregohet në foto:
Formulat për llogaritjen e kosinusit të këndit midis vijave kryqëzuese dhe vetë këtij këndi duke përdorur koordinatat e vektorëve normalë duken kështu:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + a x n by + n by 2
Këtu n a → dhe n b → shënojnë vektorët normalë të dy drejtëzave të dhëna.
Shembulli 2
Në një sistem koordinativ drejtkëndor, dy vija të drejta specifikohen duke përdorur ekuacionet 3 x + 5 y - 30 = 0 dhe x + 4 y - 17 = 0. Gjeni sinusin dhe kosinusin e këndit ndërmjet tyre dhe madhësinë e vetë këtij këndi.
Zgjidhje
Linjat origjinale janë specifikuar duke përdorur ekuacionet normale të linjës të formës A x + B y + C = 0. Vektorin normal e shënojmë si n → = (A, B). Të gjejmë koordinatat e vektorit të parë normal për një drejtëz dhe t'i shkruajmë: n a → = (3, 5) . Për rreshtin e dytë x + 4 y - 17 = 0, vektori normal do të ketë koordinata n b → = (1, 4). Tani le të shtojmë vlerat e marra në formulë dhe të llogarisim totalin:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Nëse e dimë kosinusin e një këndi, atëherë mund të llogarisim sinusin e tij duke përdorur bazën identiteti trigonometrik. Meqenëse këndi α i formuar nga vijat e drejta nuk është i mpirë, atëherë sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
Në këtë rast, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
Përgjigje: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Le të analizojmë rastin e fundit – gjetjen e këndit ndërmjet drejtëzave nëse i dimë koordinatat e vektorit të drejtimit të njërës drejtëz dhe vektorit normal të tjetrës.
Le të supozojmë se drejtëza a ka një vektor drejtimi a → = (a x , a y) , dhe drejtëza b ka një vektor normal n b → = (n b x , n b y) . Ne duhet t'i vendosim këta vektorë mënjanë nga pika e kryqëzimit dhe të shqyrtojmë të gjitha opsionet për pozicionet e tyre relative. Shihni në foto:
Nëse këndi midis vektorëve të dhënë nuk është më shumë se 90 gradë, rezulton se ai do të plotësojë këndin midis a dhe b në një kënd të drejtë.
a → , n b → ^ = 90 ° - α nëse a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Nëse është më pak se 90 gradë, atëherë marrim sa vijon:
a → , n b → ^ > 90 ° , pastaj a → , n b → ^ = 90 ° + α
Duke përdorur rregullin e barazisë së kosinuseve me kënde të barabarta, shkruajmë:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = mëkat α për a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α për a → , n b → ^ > 90 ° .
Kështu,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Le të formulojmë një përfundim.
Përkufizimi 4
Për të gjetur sinusin e këndit midis dy vijave që kryqëzohen në një plan, duhet të llogaritni modulin e kosinusit të këndit midis vektorit të drejtimit të vijës së parë dhe vektorit normal të së dytës.
Le të shkruajmë formulat e nevojshme. Gjetja e sinusit të një këndi:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Gjetja e vetë këndit:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Këtu a → është vektori i drejtimit të vijës së parë, dhe n b → është vektori normal i së dytës.
Shembulli 3
Dy drejtëza kryqëzuese jepen nga ekuacionet x - 5 = y - 6 3 dhe x + 4 y - 17 = 0. Gjeni këndin e kryqëzimit.
Zgjidhje
Nga ekuacionet e dhëna marrim koordinatat e vektorit udhëzues dhe normal. Rezulton një → = (- 5, 3) dhe n → b = (1, 4). Marrim formulën α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 dhe llogarisim:
α = a r c mëkat = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c mëkat 7 2 34
Ju lutemi vini re se ne morëm ekuacionet nga problemi i mëparshëm dhe morëm saktësisht të njëjtin rezultat, por në një mënyrë tjetër.
Përgjigje:α = a r c sin 7 2 34
Le të paraqesim një mënyrë tjetër për të gjetur këndin e dëshiruar duke përdorur koeficientët këndorë të drejtëzave të dhëna.
Kemi një vijë a, e cila përcaktohet në një sistem koordinativ drejtkëndor duke përdorur ekuacionin y = k 1 x + b 1, dhe një vijë b, të përcaktuar si y = k 2 x + b 2. Këto janë ekuacione të vijave me pjerrësi. Për të gjetur këndin e kryqëzimit, ne përdorim formulën:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, ku k 1 dhe k 2 janë pjerrësia e vijave të dhëna. Për të marrë këtë regjistrim, janë përdorur formula për përcaktimin e këndit përmes koordinatave të vektorëve normalë.
Shembulli 4
Ka dy vija të drejta që kryqëzohen në një plan, dhënë nga ekuacionet y = - 3 5 x + 6 dhe y = - 1 4 x + 17 4 . Llogaritni vlerën e këndit të kryqëzimit.
Zgjidhje
Koeficientët këndorë të vijave tona janë të barabartë me k 1 = - 3 5 dhe k 2 = - 1 4. Le t'i shtojmë ato në formulën α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 dhe llogarisim:
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
Përgjigje:α = a r c cos 23 2 34
Në përfundimet e këtij paragrafi, duhet theksuar se formulat për gjetjen e këndit të dhëna këtu nuk duhet të mësohen përmendësh. Për ta bërë këtë, mjafton të njihni koordinatat e udhëzuesve dhe/ose vektorëve normalë të vijave të dhëna dhe të jeni në gjendje t'i përcaktoni ato me tipe te ndryshme ekuacionet. Por është më mirë të mbani mend ose shkruani formulat për llogaritjen e kosinusit të një këndi.
Si të llogarisni këndin midis vijave të kryqëzuara në hapësirë
Llogaritja e një këndi të tillë mund të reduktohet në llogaritjen e koordinatave të vektorëve të drejtimit dhe përcaktimin e madhësisë së këndit të formuar nga këta vektorë. Për shembuj të tillë përdoret i njëjti arsyetim që dhamë më parë.
Le të supozojmë se kemi një sistem koordinativ drejtkëndor të vendosur në hapësirën tre-dimensionale. Ai përmban dy drejtëza a dhe b me një pikë kryqëzimi M. Për të llogaritur koordinatat e vektorëve të drejtimit, duhet të dimë ekuacionet e këtyre drejtëzave. Le të shënojmë vektorët e drejtimit a → = (a x , a y , a z) dhe b → = (b x , b y , b z) . Për të llogaritur kosinusin e këndit midis tyre, ne përdorim formulën:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Për të gjetur vetë këndin, na duhet kjo formulë:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Shembulli 5
Ne kemi një vijë të përcaktuar në hapësirën tre-dimensionale duke përdorur ekuacionin x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Dihet se ajo ndërpritet me boshtin O z. Njehsoni këndin e ndërprerjes dhe kosinusin e atij këndi.
Zgjidhje
Le të shënojmë këndin që duhet të llogaritet me shkronjën α. Le të shkruajmë koordinatat e vektorit të drejtimit për drejtëzën e parë – a → = (1, - 3, - 2) . Për boshtin aplikativ, mund të marrim si udhëzues vektorin e koordinatave k → = (0, 0, 1). Ne kemi marrë të dhënat e nevojshme dhe mund t'i shtojmë ato në formulën e dëshiruar:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Si rezultat, zbuluam se këndi që na nevojitet do të jetë i barabartë me një rc cos 1 2 = 45 °.
Përgjigje: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Oh-oh-oh-oh-oh... mirë, është e vështirë, sikur po lexonte një fjali për vete =) Megjithatë, relaksimi do të ndihmojë më vonë, veçanërisht pasi sot bleva aksesorët e duhur. Prandaj, le të vazhdojmë në pjesën e parë, shpresoj që deri në fund të artikullit të ruaj një humor të gëzuar.
Pozicioni relativ i dy vijave të drejta
Ky është rasti kur publiku këndon së bashku në kor. Dy vija të drejta mund:
1) ndeshje;
2) të jetë paralel: ;
3) ose kryqëzohen në një pikë të vetme: .
Ndihmë për bedelët : ju lutem mbani mend shenjën e matematikës kryqëzimet, do të ndodhë shumë shpesh. Shënimi do të thotë që vija kryqëzohet me vijën në pikën .
Si të përcaktohet pozicioni relativ i dy rreshtave?
Le të fillojmë me rastin e parë:
Dy rreshta përkojnë nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre përkatës janë proporcionalë, pra ka një numër “lambda” i tillë që barazitë plotësohen
Le të shqyrtojmë drejtëzat dhe të krijojmë tre ekuacione nga koeficientët përkatës: . Nga çdo ekuacion rezulton se, pra, këto rreshta përkojnë.
Në të vërtetë, nëse të gjithë koeficientët e ekuacionit 
shumëzo me –1 (shenjat e ndryshimit), dhe të gjithë koeficientët e ekuacionit 
prerë me 2, ju merrni të njëjtin ekuacion: .
Rasti i dytë, kur linjat janë paralele:
Dy drejtëza janë paralele nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre të variablave janë proporcionalë: 
, Por.
Si shembull, merrni parasysh dy vija të drejta. Ne kontrollojmë proporcionalitetin e koeficientëve përkatës për variablat: 
Megjithatë, është mjaft e qartë se.
Dhe rasti i tretë, kur linjat kryqëzohen:
Dy drejtëza kryqëzohen nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre të variablave NUK janë proporcionalë dmth NUK ka një vlerë të tillë të “lambda” që të plotësohen barazitë 
Pra, për linjat e drejta do të krijojmë një sistem: 
Nga ekuacioni i parë del se , dhe nga ekuacioni i dytë: , që do të thotë sistemi është i paqëndrueshëm (pa zgjidhje). Kështu, koeficientët e variablave nuk janë proporcionalë.
Përfundim: vijat kryqëzohen
Në problemet praktike, mund të përdorni skemën e zgjidhjes së sapo diskutuar. Nga rruga, ajo të kujton shumë algoritmin për kontrollimin e vektorëve për kolinearitet, të cilin e shikuam në klasë Koncepti i (pa)varësisë lineare të vektorëve. Baza e vektorëve . Por ka një paketim më të civilizuar:
Shembulli 1
Gjeni pozicionin relativ të vijave: 
Zgjidhje bazuar në studimin e vektorëve drejtues të drejtëzave:
a) Nga ekuacionet gjejmë vektorët e drejtimit të drejtëzave: 
.
, që do të thotë se vektorët nuk janë kolinear dhe vijat ndërpriten.
Për çdo rast, do të vendos një gur me shenja në udhëkryq:
Pjesa tjetër hidhen mbi gur dhe ndjekin më tej, drejt në Kashchei i Pavdekshëm =)
b) Gjeni vektorët e drejtimit të drejtëzave: 
Vijat kanë të njëjtin vektor drejtimi, që do të thotë se ato janë ose paralele ose të rastësishme. Këtu nuk ka nevojë të numërohet përcaktorja.
Është e qartë se koeficientët e të panjohurave janë proporcionale, dhe .
Le të zbulojmë nëse barazia është e vërtetë: 
Kështu,
c) Gjeni vektorët e drejtimit të drejtëzave: 
Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve: 
, pra, vektorët e drejtimit janë kolinearë. Linjat janë ose paralele ose të rastësishme.
Koeficienti i proporcionalitetit "lambda" është i lehtë për t'u parë drejtpërdrejt nga raporti i vektorëve të drejtimit kolinear. Sidoqoftë, mund të gjendet edhe përmes koeficientëve të vetë ekuacioneve: 
.
Tani le të zbulojmë nëse barazia është e vërtetë. Të dy termat e lirë janë zero, kështu që:
Vlera që rezulton e plotëson këtë ekuacion (çdo numër në përgjithësi e plotëson atë).
Kështu, linjat përkojnë.
Përgjigju:
Shumë shpejt do të mësoni (ose madje keni mësuar tashmë) ta zgjidhni problemin e diskutuar fjalë për fjalë fjalë për fjalë brenda disa sekondash. Në këtë drejtim, nuk shoh asnjë kuptim të ofroj asgjë vendim i pavarur, është më mirë të vendosni një tullë tjetër të rëndësishme në themelin gjeometrik:
Si të ndërtohet një drejtëz paralele me një të dhënë?
Për injorancë të kësaj detyra më e thjeshtë Bilbili grabitës ndëshkon rëndë.
Shembulli 2
Vija e drejtë jepet nga ekuacioni. Shkruani një ekuacion për një drejtëz paralele që kalon nëpër pikë.
Zgjidhje: Vijën e panjohur ta shënojmë me shkronjën . Çfarë thotë gjendja për të? Vija e drejtë kalon nëpër pikë. Dhe nëse vijat janë paralele, atëherë është e qartë se vektori i drejtimit të vijës së drejtë "tse" është gjithashtu i përshtatshëm për ndërtimin e vijës së drejtë "de".
Ne nxjerrim vektorin e drejtimit nga ekuacioni:
Përgjigju:
Shembulli i gjeometrisë duket i thjeshtë: 
Testimi analitik përbëhet nga hapat e mëposhtëm:
1) Kontrollojmë që vijat të kenë të njëjtin vektor drejtimi (nëse ekuacioni i vijës nuk është thjeshtuar siç duhet, atëherë vektorët do të jenë kolinear).
2) Kontrolloni nëse pika plotëson ekuacionin që rezulton.
Në shumicën e rasteve, testimi analitik mund të kryhet lehtësisht me gojë. Shikoni dy ekuacionet dhe shumë prej jush do të përcaktojnë shpejt paralelizmin e vijave pa ndonjë vizatim.
Shembujt për zgjidhje të pavarura sot do të jenë krijues. Sepse ju ende do të duhet të konkurroni me Baba Yaga, dhe ajo, ju e dini, është një dashnore e të gjitha llojeve të gjëegjëzave.
Shembulli 3
Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon nëpër një pikë paralele me drejtëzën nëse
Ka një racionale dhe një jo aq racionale mënyrë racionale Zgjidhjet. Rruga më e shkurtër është në fund të mësimit.
Kemi punuar pak me linjat paralele dhe do t'u kthehemi më vonë. Rasti i rreshtave që përputhen është me pak interes, prandaj le të shqyrtojmë një problem që është shumë i njohur për ju nga kurrikula shkollore:
Si të gjeni pikën e kryqëzimit të dy drejtëzave?
Nëse drejt 
kryqëzohen në pikën , atëherë koordinatat e tij janë zgjidhja sistemet e ekuacioneve lineare
Si të gjeni pikën e kryqëzimit të vijave? Zgjidheni sistemin.
Ja ku shkoni kuptimi gjeometrik i sistemit të dy ekuacionet lineare me dy të panjohura- këto janë dy linja kryqëzuese (më shpesh) në një aeroplan.
Shembulli 4
Gjeni pikën e prerjes së drejtëzave
Zgjidhje: Ekzistojnë dy mënyra për të zgjidhur - grafike dhe analitike.
Metoda grafikeështë thjesht të vizatoni linjat e dhëna dhe të zbuloni pikën e kryqëzimit direkt nga vizatimi: 
Këtu është pika jonë: . Për të kontrolluar, ju duhet të zëvendësoni koordinatat e saj në çdo ekuacion të vijës, ato duhet të përshtaten si atje, ashtu edhe atje. Me fjalë të tjera, koordinatat e një pike janë një zgjidhje për sistemin. Në thelb, ne shikuam një zgjidhje grafike sistemet e ekuacioneve lineare
me dy ekuacione, dy të panjohura.
Metoda grafike, natyrisht, nuk është e keqe, por ka disavantazhe të dukshme. Jo, çështja nuk është se nxënësit e klasës së shtatë vendosin në këtë mënyrë, çështja është se do të duhet kohë për të krijuar një vizatim të saktë dhe të SAKTË. Për më tepër, disa vija të drejta nuk janë aq të lehta për t'u ndërtuar dhe vetë pika e kryqëzimit mund të jetë diku në mbretërinë e tridhjetë jashtë fletës së fletores.
Prandaj, është më e përshtatshme të kërkoni pikën e kryqëzimit metodë analitike. Le të zgjidhim sistemin: 
Për zgjidhjen e sistemit është përdorur metoda e mbledhjes term pas termi të ekuacioneve. Për të zhvilluar aftësitë përkatëse, merrni një mësim Si të zgjidhim një sistem ekuacionesh?
Përgjigju:
Kontrolli është i parëndësishëm - koordinatat e pikës së kryqëzimit duhet të plotësojnë çdo ekuacion të sistemit.
Shembulli 5
Gjeni pikën e prerjes së drejtëzave nëse ato kryqëzohen.
Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Është e përshtatshme për të ndarë detyrën në disa faza. Analiza e gjendjes sugjeron që është e nevojshme:
1) Shkruani ekuacionin e drejtëzës.
2) Shkruani ekuacionin e drejtëzës.
3) Gjeni pozicionin relativ të vijave.
4) Nëse linjat kryqëzohen, atëherë gjeni pikën e kryqëzimit.
Zhvillimi i një algoritmi veprimi është tipik për shumë probleme gjeometrike, dhe unë do të fokusohem vazhdimisht në këtë.
Zgjidhje e plotë dhe përgjigja në fund të mësimit:
As edhe një palë këpucë nuk ishin konsumuar para se të shkonim në pjesën e dytë të mësimit:
Vija pingule. Largësia nga një pikë në një vijë.
Këndi ndërmjet vijave të drejta
Le të fillojmë me një detyrë tipike dhe shumë të rëndësishme. Në pjesën e parë, mësuam se si të ndërtojmë një vijë të drejtë paralele me këtë, dhe tani kasolle në këmbët e pulës do të kthehet 90 gradë:
Si të ndërtohet një drejtëz pingul me një të dhënë?
Shembulli 6
Vija e drejtë jepet nga ekuacioni. Shkruani një ekuacion pingul me drejtëzën që kalon nëpër pikë.
Zgjidhje: Me kusht dihet se . Do të ishte mirë të gjeje vektorin drejtues të linjës. Meqenëse vijat janë pingule, truku është i thjeshtë:
Nga ekuacioni “heqim” vektorin normal: , i cili do të jetë vektori drejtues i drejtëzës.
Le të përpilojmë ekuacionin e një drejtëze duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi:
Përgjigju: 
Le të zgjerojmë skicën gjeometrike:
Hmmm... Qiell portokalli, det portokalli, deve portokalli.
Verifikimi analitik i zgjidhjes:
1) Ne nxjerrim vektorët e drejtimit nga ekuacionet 
dhe me ndihmën prodhim skalar i vektorëve
arrijmë në përfundimin se drejtëzat janë vërtet pingule: .
Nga rruga, ju mund të përdorni vektorë normalë, është edhe më e lehtë.
2) Kontrolloni nëse pika plotëson ekuacionin që rezulton 
.
Testi, përsëri, është i lehtë për t'u kryer me gojë.
Shembulli 7
Gjeni pikën e prerjes së drejtëzave pingule nëse ekuacioni është i njohur 
dhe periudha.
Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Problemi ka disa veprime, kështu që është i përshtatshëm për të formuluar zgjidhjen pikë për pikë.
Udhëtimi ynë emocionues vazhdon:
Largësia nga pika në vijë
Përpara nesh është një rrip i drejtë i lumit dhe detyra jonë është të arrijmë në të me rrugën më të shkurtër. Nuk ka pengesa, dhe rruga më optimale do të jetë lëvizja pingul. Kjo do të thotë, distanca nga një pikë në një vijë është gjatësia e segmentit pingul.
Distanca në gjeometri tradicionalisht shënohet me shkronjën greke "rho", për shembull: - distanca nga pika "em" në vijën e drejtë "de".
Largësia nga pika në vijë 
shprehur me formulë
Shembulli 8
Gjeni distancën nga një pikë në një vijë 
Zgjidhje: gjithçka që duhet të bëni është të zëvendësoni me kujdes numrat në formulë dhe të kryeni llogaritjet:
Përgjigju: 
Le të bëjmë vizatimin: 
Distanca e gjetur nga pika në vijë është saktësisht gjatësia e segmentit të kuq. Nëse bëni një vizatim mbi letër me kuadrate në një shkallë prej 1 njësi. = 1 cm (2 qeliza), atëherë distanca mund të matet me një vizore të zakonshme.
Le të shqyrtojmë një detyrë tjetër bazuar në të njëjtin vizatim:
Detyra është të gjejmë koordinatat e një pike që është simetrike me pikën në lidhje me drejtëzën 
. Unë sugjeroj të kryeni vetë hapat, por unë do të përshkruaj algoritmin e zgjidhjes me rezultate të ndërmjetme:
1) Gjeni një vijë që është pingul me drejtëzën.
2) Gjeni pikën e kryqëzimit të drejtëzave: 
.
Të dy veprimet diskutohen në detaje në këtë mësim.
3) Pika është mesi i segmentit. Ne i dimë koordinatat e mesit dhe njërit nga skajet. Nga formulat për koordinatat e mesit të një segmenti ne gjejme .
Do të ishte mirë të kontrolloni që distanca të jetë gjithashtu 2.2 njësi.
Këtu mund të lindin vështirësi në llogaritjet, por një mikrollogaritës është një ndihmë e madhe në kullë, duke ju lejuar të numëroni thyesat e zakonshme. Unë ju kam këshilluar shumë herë dhe do t'ju rekomandoj përsëri.
Si të gjeni distancën midis dy drejtëzave paralele?
Shembulli 9
Gjeni distancën midis dy drejtëzave paralele
Ky është një shembull tjetër që ju të vendosni vetë. Unë do t'ju jap një sugjerim të vogël: ka pafundësisht shumë mënyra për ta zgjidhur këtë. Debriefing në fund të mësimit, por është më mirë të përpiqeni të merrni me mend vetë, mendoj se zgjuarsia juaj ishte zhvilluar mirë.
Këndi midis dy vijave të drejta
Çdo cep është një bllokim: 
Në gjeometri, këndi ndërmjet dy vijave të drejta merret si këndi MË I VOGËL, nga i cili automatikisht rezulton se nuk mund të jetë i mpirë. Në figurë, këndi i treguar nga harku i kuq nuk konsiderohet këndi ndërmjet vijave të kryqëzuara. Dhe fqinji i tij "e gjelbër" ose të orientuar në të kundërt këndi i "mjedrës".
Nëse vijat janë pingule, atëherë secili nga 4 këndet mund të merret si kënd ndërmjet tyre.
Si ndryshojnë këndet? Orientim. Së pari, drejtimi në të cilin këndi "lëviz" është thelbësisht i rëndësishëm. Së dyti, një kënd i orientuar negativisht shkruhet me një shenjë minus, për shembull nëse .
Pse të thashë këtë? Duket se mund t'ia dalim me konceptin e zakonshëm të një këndi. Fakti është se në formulat me të cilat do të gjejmë kënde, mund të dalë lehtësisht rezultat negativ, dhe nuk duhet t'ju habisë. Një kënd me një shenjë minus nuk është më i keq dhe ka një kuptim gjeometrik shumë specifik. Në vizatim, për një kënd negativ, sigurohuni që të tregoni orientimin e tij me një shigjetë (në drejtim të akrepave të orës).
Si të gjeni këndin midis dy vijave të drejta? Ekzistojnë dy formula pune:
Shembulli 10
Gjeni këndin midis vijave
Zgjidhje Dhe Metoda e parë
Konsideroni dy drejtëza të dhëna nga ekuacionet në pamje e përgjithshme:
Nëse drejt jo pingul, Kjo i orientuar Këndi midis tyre mund të llogaritet duke përdorur formulën: 
Le t'i kushtojmë vëmendje emëruesit - kjo është saktësisht produkt skalar
vektorët drejtues të drejtëzave:
Nëse , atëherë emëruesi i formulës bëhet zero, dhe vektorët do të jenë ortogonalë dhe vijat do të jenë pingule. Për këtë arsye u bë një rezervë për mosperpendikularitetin e drejtëzave në formulim.
Bazuar në sa më sipër, është i përshtatshëm për të zyrtarizuar zgjidhjen në dy hapa:
1) Le të llogarisim produktin skalar të vektorëve të drejtimit të vijave:
, që do të thotë se vijat nuk janë pingule.
2) Gjeni këndin midis vijave të drejta duke përdorur formulën:
Duke përdorur funksioni i anasjelltëËshtë e lehtë të gjesh vetë këndin. Në këtë rast, ne përdorim çuditshmërinë e arktangjentes (shih. Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare
):
Përgjigju: 
Në përgjigjen tuaj, ne tregojmë vlerën e saktë, si dhe një vlerë të përafërt (mundësisht në të dy shkallët dhe radianët), të llogaritur duke përdorur një kalkulator.
Epo, minus, minus, nuk ka punë të madhe. Këtu është një ilustrim gjeometrik: 
Nuk është për t'u habitur që këndi doli të jetë me orientim negativ, sepse në deklaratën e problemit numri i parë është një vijë e drejtë dhe "zhvidhosja" e këndit filloi pikërisht me të.
Nëse vërtet dëshironi të merrni një kënd pozitiv, duhet të ndërroni linjat, domethënë të merrni koeficientët nga ekuacioni i dytë 
, dhe merrni koeficientët nga ekuacioni i parë. Me pak fjalë, duhet të filloni me një direktivë 
.