Hipótesis: creemos que la perfección de la forma de la pirámide se debe a las leyes matemáticas incrustadas en su forma.
Objetivo: habiendo estudiado la pirámide como cuerpo geométrico, para explicar la perfección de su forma.
Tareas:
1. Dé una definición matemática de una pirámide.
2. Estudia la pirámide como cuerpo geométrico.
3. Comprender qué conocimiento matemático pusieron los egipcios en sus pirámides.
Preguntas privadas:
1. ¿Qué es una pirámide como cuerpo geométrico?
2. ¿Cómo se puede explicar matemáticamente la forma única de la pirámide?
3. ¿Qué explica las maravillas geométricas de la pirámide?
4. ¿Qué explica la perfección de la forma de la pirámide?
Definición de pirámide.
PIRÁMIDE (del griego pyramis, género n. pyramidos) - un poliedro, cuya base es un polígono, y las caras restantes son triángulos con un vértice común (figura). Según el número de vértices de la base, las pirámides son triangulares, cuadrangulares, etc.
PIRÁMIDE - un edificio monumental forma geometrica pirámides (a veces también escalonadas o en forma de torre). Las tumbas gigantes de los antiguos faraones egipcios del tercer y segundo milenio antes de Cristo se llaman pirámides. e., así como antiguos pedestales americanos de templos (en México, Guatemala, Honduras, Perú) asociados con cultos cosmológicos.
Es posible que Palabra griega"pirámide" proviene de la expresión egipcia per-em-us, es decir, de un término que significaba la altura de la pirámide. El destacado egiptólogo ruso V. Struve creía que el griego “puram…j” proviene del antiguo egipcio “p”-mr”.
de la historia. Habiendo estudiado el material en el libro de texto "Geometría" de los autores de Atanasyan. Butuzova y otros, aprendimos que: Un poliedro compuesto por n-ágono A1A2A3 ... An y n triángulos RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 se llama pirámide. El polígono A1A2A3... An es la base de la pirámide, y los triángulos PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 son caras laterales pirámides, P es el vértice de la pirámide, los segmentos PA1, PA2,…, PAn son aristas laterales.
Sin embargo, tal definición de la pirámide no siempre existió. Por ejemplo, antiguo matemático griego, el autor de los tratados teóricos de matemáticas que nos han llegado, Euclides, define la pirámide como una figura sólida delimitada por planos que convergen de un plano a un punto.
Pero esta definición ya ha sido criticada en la antigüedad. Así que Heron propuso la siguiente definición de pirámide: “Esta es una figura delimitada por triángulos que convergen en un punto y cuya base es un polígono”.
Nuestro grupo, comparando estas definiciones, llegó a la conclusión de que no tienen una formulación clara del concepto de “fundamento”.
Estudiamos estas definiciones y encontramos la definición de Adrien Marie Legendre, quien en 1794 en su obra “Elements of Geometry” define la pirámide de la siguiente manera: “La pirámide es una figura corpórea formada por triángulos que convergen en un punto y terminan en diferentes lados de un base plana."
Nos parece que la última definición da una idea clara de la pirámide, ya que se refiere a que la base es plana. Otra definición de pirámide apareció en un libro de texto del siglo XIX: “una pirámide es un ángulo sólido cortado por un plano”.
Pirámide como cuerpo geométrico.
Que. Una pirámide es un poliedro, una de cuyas caras (base) es un polígono, las caras restantes (lados) son triángulos que tienen un vértice común (la parte superior de la pirámide).
La perpendicular trazada desde la parte superior de la pirámide al plano de la base se llama alturah pirámides.
Además de una pirámide arbitraria, hay pirámide derecha, cuya base es un polígono regular y pirámide truncada.
En la figura - la pirámide PABCD, ABCD - su base, PO - altura.
área superficie completa Se llama pirámide a la suma de las áreas de todas sus caras.
Slleno = Slado + Sbase, donde lado es la suma de las áreas de las caras laterales.
volumen piramidal se encuentra de acuerdo con la fórmula:
V=1/3Sbase h, donde Sosn. - área de la base h- altura.
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Apotema ST - la altura de la cara lateral de una pirámide regular.
El área de la cara lateral de una pirámide regular se expresa de la siguiente manera: Slado. =1/2P h, donde P es el perímetro de la base, h- la altura de la cara lateral (la apotema de una pirámide regular). Si la pirámide es atravesada por el plano A'B'C'D' paralelo a la base, entonces:
1) los bordes laterales y la altura se dividen por este plano en partes proporcionales;
2) en la sección se obtiene un polígono A'B'C'D', similar a la base;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" ancho="287" alto="151">
Las bases de la pirámide truncada son polígonos semejantes ABCD y A`B`C`D`, las caras laterales son trapezoides.
Altura pirámide truncada - la distancia entre las bases.
Volumen truncado la piramide se encuentra por la formula:
V = 1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> El área de superficie lateral de una pirámide truncada regular se expresa de la siguiente manera: Slado.= ½(P+P') h, donde P y P’ son los perímetros de las bases, h- la altura de la cara lateral (la apotema de un regular truncado por las fiestas
Secciones de la pirámide.
Las secciones de la pirámide por planos que pasan por su parte superior son triángulos.
La sección que pasa por dos aristas laterales no adyacentes de la pirámide se llama sección diagonal.
Si la sección pasa por un punto del borde lateral y del lado de la base, entonces este lado será su huella en el plano de la base de la pirámide.
Una sección que pasa por un punto que se encuentra en la cara de la pirámide, y una traza dada de la sección en el plano de la base, entonces la construcción debe realizarse de la siguiente manera:
encuentre el punto de intersección del plano de la cara dada y el trazo de la sección de la pirámide y designarlo;
construir una línea recta que pase por un punto dado y el punto de intersección resultante;
· Repita estos pasos para las siguientes caras.
, que corresponde a la razón de los catetos de un triángulo rectángulo 4:3. Esta proporción de los catetos corresponde al conocido triángulo rectángulo de lados 3:4:5, que se denomina triángulo "perfecto", "sagrado" o "egipcio". Según los historiadores, al triángulo "egipcio" se le dio un significado mágico. Plutarco escribió que los egipcios compararon la naturaleza del universo con un triángulo "sagrado"; simbólicamente asimilaron la pata vertical al marido, la base a la mujer y la hipotenusa a lo que nace de ambos.
Para un triángulo 3:4:5, la igualdad es verdadera: 32 + 42 = 52, lo que expresa el teorema de Pitágoras. ¿No es este el teorema que los sacerdotes egipcios querían perpetuar erigiendo una pirámide sobre la base del triángulo 3:4:5? Difícil de encontrar más buen ejemplo para ilustrar el teorema de Pitágoras, que los egipcios conocían mucho antes de que Pitágoras lo descubriera.
Así, los ingeniosos creadores Pirámides egipcias trataron de impresionar a los descendientes lejanos con la profundidad de su conocimiento, y lo lograron eligiendo como la "idea geométrica principal" para la pirámide de Keops, el triángulo rectángulo "dorado", y para la pirámide de Khafre, el "sagrado". " o triángulo "egipcio".
Muy a menudo, en sus investigaciones, los científicos utilizan las propiedades de las pirámides con las proporciones de la Sección Dorada.
en matematica diccionario enciclopédico se da la siguiente definición de la Sección Dorada - esta es una división armónica, división en razón extrema y media - división del segmento AB en dos partes de tal manera que la mayor parte de su AC es la proporcional media entre todo el segmento AB y su parte menor CB.
Hallazgo algebraico de la sección áurea de un segmento AB = un se reduce a resolver la ecuación a: x = x: (a - x), de donde x es aproximadamente igual a 0.62a. La relación x se puede expresar como fracciones 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0.618, donde 2, 3, 5, 8, 13, 21 son números de Fibonacci.
La construcción geométrica de la Sección Dorada del segmento AB se lleva a cabo de la siguiente manera: en el punto B, se restaura la perpendicular a AB, se coloca el segmento BE \u003d 1/2 AB, A y E están conectados, DE \ u003d BE se pospone y, finalmente, AC \u003d AD, luego se cumple la igualdad AB: CB = 2: 3.
La proporción áurea se usa a menudo en obras de arte, arquitectura y se encuentra en la naturaleza. Ejemplos vívidos son la escultura de Apolo Belvedere, el Partenón. Durante la construcción del Partenón, se utilizó la relación entre la altura del edificio y su longitud y esta relación es 0,618. Los objetos que nos rodean también brindan ejemplos de la proporción áurea, por ejemplo, las encuadernaciones de muchos libros tienen una proporción de ancho a largo cercana a 0,618. Considerando la disposición de las hojas en un tallo común de plantas, se puede notar que entre cada dos pares de hojas, la tercera se ubica en el lugar de la Proporción Áurea (diapositivas). Cada uno de nosotros "lleva" la Proporción Áurea con nosotros "en nuestras manos": esta es la proporción de las falanges de los dedos.
Gracias al descubrimiento de varios papiros matemáticos, los egiptólogos han aprendido algo sobre los sistemas de cálculo y medidas del antiguo Egipto. Las tareas contenidas en ellos fueron resueltas por escribas. Uno de los más famosos es el Papiro Matemático Rhind. Al estudiar estos acertijos, los egiptólogos aprendieron cómo los antiguos egipcios se enfrentaron a varias cantidades, que surgieron en el cálculo de medidas de peso, longitud y volumen, en las que se usaban con frecuencia las fracciones, así como también en cómo se trataban los ángulos.
Los antiguos egipcios usaban un método para calcular ángulos basado en la relación entre la altura y la base de un triángulo rectángulo. Expresaron cualquier ángulo en el lenguaje del gradiente. El gradiente de la pendiente se expresó como una relación de un número entero, llamado "seked". En Matemáticas en la época de los faraones, Richard Pillins explica: “La sequedad de una pirámide regular es la inclinación de cualquiera de las cuatro caras triangulares con respecto al plano de la base, medida por un número n de unidades horizontales por unidad vertical de elevación. . Así, esta unidad de medida es equivalente a nuestra moderna cotangente del ángulo de inclinación. Por lo tanto, la palabra egipcia "seked" está relacionada con nuestra palabra moderna "gradiente".
La clave numérica de las pirámides radica en la relación entre su altura y la base. En términos prácticos, esta es la forma más fácil de hacer las plantillas necesarias para verificar constantemente el ángulo correcto de inclinación a lo largo de la construcción de la pirámide.
Los egiptólogos estarían encantados de convencernos de que cada faraón estaba ansioso por expresar su individualidad, de ahí las diferencias en los ángulos de inclinación de cada pirámide. Pero podría haber otra razón. Quizás todos querían encarnar diferentes asociaciones simbólicas escondidas en diferentes proporciones. Sin embargo, el ángulo de la pirámide de Khafre (basado en el triángulo (3:4:5) aparece en los tres problemas presentados por las pirámides en el Papiro Matemático Rhind). Así que esta actitud era bien conocida por los antiguos egipcios.
Para ser justos con los egiptólogos que afirman que los antiguos egipcios no conocían el triángulo 3:4:5, digamos que nunca se mencionó la longitud de la hipotenusa 5. Pero problemas de matematicas, con respecto a las pirámides, siempre se resuelven sobre la base del ángulo seked, la relación entre la altura y la base. Dado que nunca se mencionó la longitud de la hipotenusa, se concluyó que los egipcios nunca calcularon la longitud del tercer lado.
Las proporciones de altura a base utilizadas en las pirámides de Giza sin duda eran conocidas por los antiguos egipcios. Es posible que estas proporciones para cada pirámide se eligieran arbitrariamente. Sin embargo, esto contradice la importancia otorgada al simbolismo numérico en todos los tipos de escritura egipcia. Artes visuales. Es muy probable que tales relaciones tuvieran una importancia significativa, ya que expresaban ideas religiosas específicas. En otras palabras, todo el complejo de Giza estaba sujeto a un diseño coherente, diseñado para reflejar algún tipo de tema divino. Esto explicaría por qué los diseñadores eligieron diferentes ángulos para las tres pirámides.
En El secreto de Orión, Bauval y Gilbert presentaron pruebas convincentes de la conexión de las pirámides de Giza con la constelación de Orión, en particular con las estrellas del cinturón de Orión. La misma constelación está presente en el mito de Isis y Osiris, y allí Es motivo para considerar cada pirámide como una imagen de una de las tres deidades principales: Osiris, Isis y Horus.
MILAGROS "GEOMÉTRICOS".
Entre las grandiosas pirámides de Egipto, un lugar especial lo ocupa Gran Pirámide del Faraón Keops (Khufu). Antes de proceder al análisis de la forma y el tamaño de la pirámide de Keops, debemos recordar qué sistema de medidas utilizaron los egipcios. Los egipcios tenían tres unidades de longitud: "codo" (466 mm), igual a siete "palmas" (66,5 mm), que, a su vez, equivalía a cuatro "dedos" (16,6 mm).
Analicemos el tamaño de la pirámide de Keops (Fig. 2), siguiendo el razonamiento dado en el maravilloso libro del científico ucraniano Nikolai Vasyutinskiy "Proporción áurea" (1990).
La mayoría de los investigadores están de acuerdo en que la longitud del lado de la base de la pirámide, por ejemplo, novia es igual a L\u003d 233,16 m Este valor corresponde casi exactamente a 500 "codos". El cumplimiento total de 500 "codos" será si la longitud del "codo" se considera igual a 0,4663 m.
Altura de la pirámide ( H) es estimado por los investigadores de manera diferente de 146.6 a 148.2 m Y dependiendo de la altura aceptada de la pirámide, todas las proporciones de sus elementos geométricos cambian. ¿Cuál es la razón de las diferencias en la estimación de la altura de la pirámide? El caso es que, en rigor, la pirámide de Keops está truncada. Su plataforma superior hoy tiene un tamaño aproximado de 10 ´ 10 m, y hace un siglo equivalía a 6 ´ 6 m.Es obvio que la parte superior de la pirámide fue desmantelada, y no corresponde a la original.
Al estimar la altura de la pirámide, es necesario tener en cuenta un factor físico como el "calado" de la estructura. Detrás largo tiempo bajo la influencia de una presión colosal (alcanzando 500 toneladas por 1 m2 de la superficie inferior), la altura de la pirámide disminuyó en comparación con su altura original.
¿Cuál era la altura original de la pirámide? Esta altura se puede recrear si encuentra la "idea geométrica" básica de la pirámide.
Figura 2.
En 1837, el coronel inglés G. Wise midió el ángulo de inclinación de las caras de la pirámide: resultó ser igual a a= 51°51". La mayoría de los investigadores todavía reconocen este valor. El valor indicado del ángulo corresponde a la tangente (tg a), igual a 1.27306. Este valor corresponde a la relación de la altura de la pirámide C.A. a la mitad de su base CB(Fig.2), es decir C.A. / CB = H / (L / 2) = 2H / L.
¡Y aquí los investigadores se llevaron una gran sorpresa!.png" width="25" height="24">= 1,272. Comparando este valor con el valor tg a= 1.27306, vemos que estos valores están muy cerca uno del otro. Si tomamos el ángulo a\u003d 51 ° 50", es decir, para reducirlo en solo un minuto de arco, entonces el valor a será igual a 1.272, es decir, coincidirá con el valor de . Cabe señalar que en 1840 G. Wise repitió sus medidas y aclaró que el valor del ángulo a=51°50".
Estas medidas llevaron a los investigadores a la siguiente hipótesis muy interesante: el triángulo ASV de la pirámide de Keops se basó en la relación AC / CB = = 1,272!
Considere ahora un triángulo rectángulo A B C, en el que la proporción de piernas C.A. / CB= (Fig.2). Si ahora las longitudes de los lados del rectángulo A B C denotamos por X, y, z, y también tenga en cuenta que la proporción y/X= , entonces, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, la longitud z se puede calcular con la fórmula:
Si acepta X = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" ancho="143" alto="27">
figura 3 Triángulo rectángulo "dorado".
Un triángulo rectángulo en el que los lados están relacionados como t triángulo rectángulo :dorado".
Entonces, si tomamos como base la hipótesis de que la "idea geométrica" principal de la pirámide de Keops es el triángulo rectángulo "dorado", entonces a partir de aquí es fácil calcular la altura del "diseño" de la pirámide de Keops. es igual a:
H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.
Derivamos ahora algunas otras relaciones para la pirámide de Keops, que se derivan de la hipótesis "dorada". En particular, encontramos la relación entre el área exterior de la pirámide y el área de su base. Para hacer esto, tomamos la longitud de la pierna. CB por unidad, es decir: CB= 1. Pero entonces la longitud del lado de la base de la pirámide novia= 2, y el área de la base E F G H será igual a SEFGH = 4.
Calculemos ahora el área de la cara lateral de la pirámide de Keops Dakota del Sur. porque la altura AB triángulo AEF es igual a t, entonces el área de la cara lateral será igual a Dakota del Sur = t. Entonces el área total de las cuatro caras laterales de la pirámide será igual a 4 t, ¡y la relación entre el área externa total de la pirámide y el área de la base será igual a la proporción áurea! Eso es lo que es - el principal secreto geométrico de la pirámide de Keops!
El grupo de "maravillas geométricas" de la pirámide de Keops incluye las propiedades reales y artificiales de la relación entre las diversas dimensiones de la pirámide.
Por regla general, se obtienen en busca de alguna "constante", en particular, el número "pi" (número de Ludolf), igual a 3,14159...; bases de logaritmos naturales "e" (número de Napier) igual a 2,71828...; el número "F", el número de la "sección áurea", igual, por ejemplo, a 0,618... etc.
Puede nombrar, por ejemplo: 1) Propiedad de Heródoto: (Altura) 2 \u003d 0.5 st. principal x Apotema; 2) Propiedad de V. Precio: Altura: 0,5 cv. osn \u003d Raíz cuadrada de "Ф"; 3) Propiedad de M. Eist: Perímetro de la base: 2 Altura = "Pi"; en una interpretación diferente - 2 cdas. principal : Altura = "Pi"; 4) Propiedad de G. Reber: Radio de la circunferencia inscrita: 0,5 st. principal = "F"; 5) Propiedad de K. Kleppish: (St. main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apothem) : (( 2 calle principal X Apotema) + (calle principal) 2). Etc Puede encontrar muchas de esas propiedades, especialmente si conecta dos pirámides adyacentes. Por ejemplo, como "Propiedades de A. Arefiev" se puede mencionar que la diferencia entre los volúmenes de la pirámide de Keops y la pirámide de Khafre es igual al doble del volumen de la pirámide de Menkaure...
Muchos posiciones interesantes, en particular, sobre la construcción de pirámides según la "sección dorada" se describen en los libros de D. Hambidge "Dynamic Symmetry in Architecture" y M. Geek "Estética de la proporción en la naturaleza y el arte". Recuerda que la "sección áurea" es la división del segmento en tal proporción, cuando la parte A es tantas veces mayor que la parte B, cuantas veces A es menor que todo el segmento A + B. La razón A/B es igual al número "Ф" == 1.618... El uso de la "sección dorada" se indica no solo en pirámides individuales, sino en todo el complejo de pirámides en Giza.
Sin embargo, lo más curioso es que una misma pirámide de Keops simplemente "no puede" contener tantas propiedades maravillosas. Tomando una determinada propiedad una por una, puede "ajustarla", pero de una vez no encajan, no coinciden, se contradicen entre sí. Por lo tanto, si, por ejemplo, al verificar todas las propiedades, inicialmente se toma el mismo lado de la base de la pirámide (233 m), entonces las alturas de las pirámides con diferentes propiedades también serán diferentes. En otras palabras, hay una cierta "familia" de pirámides, exteriormente similar a Keops, pero correspondiente diferentes propiedades. Tenga en cuenta que no hay nada particularmente milagroso en las propiedades "geométricas"; mucho surge de forma puramente automática, de las propiedades de la figura misma. Un "milagro" debe considerarse solo algo obviamente imposible para los antiguos egipcios. Esto, en particular, incluye los milagros "cósmicos", en los que las medidas de la pirámide de Keops o el complejo piramidal de Giza se comparan con algunas medidas astronómicas y se indican números "pares": un millón de veces, mil millones de veces menos y pronto. Consideremos algunas relaciones "cósmicas".
Una de las afirmaciones es esta: "si dividimos el lado de la base de la pirámide por la longitud exacta del año, obtenemos exactamente la 10 millonésima parte del eje de la tierra". Calcula: divide 233 por 365, nos sale 0,638. El radio de la Tierra es de 6378 km.
Otra declaración es en realidad lo contrario de la anterior. F. Noetling señaló que si usa el "codo egipcio" inventado por él, entonces el lado de la pirámide corresponderá a "la duración más precisa del año solar, expresada en la billonésima parte de un día más cercana" - 365.540.903.777 .
Declaración de P. Smith: "La altura de la pirámide es exactamente una milmillonésima parte de la distancia de la Tierra al Sol". Aunque generalmente se toma la altura de 146,6 m, Smith la tomó como 148,2 m. Según las mediciones de radar modernas, el semieje mayor de la órbita terrestre es 149.597.870 + 1,6 km. Esta es la distancia media de la Tierra al Sol, pero en el perihelio es 5.000.000 de kilómetros menos que en el afelio.
Última declaración curiosa:
"¿Cómo explicar que las masas de las pirámides de Keops, Khafre y Menkaure estén relacionadas entre sí, como las masas de los planetas Tierra, Venus, Marte?" Calculemos. Las masas de las tres pirámides están relacionadas como: Khafre - 0.835; Cheops - 1,000; Mikerín - 0.0915. Las proporciones de las masas de los tres planetas: Venus - 0.815; Tierra - 1,000; Marte - 0.108.
Entonces, a pesar del escepticismo, notemos la conocida armonía de la construcción de declaraciones: 1) la altura de la pirámide, como una línea que "va al espacio", corresponde a la distancia de la Tierra al Sol; 2) el lado de la base de la pirámide más cercano "al sustrato", es decir, a la Tierra, es responsable del radio terrestre y de la circulación terrestre; 3) los volúmenes de la pirámide (léase - masas) corresponden a la proporción de las masas de los planetas más cercanos a la Tierra. Se puede rastrear un "cifrado" similar, por ejemplo, en el lenguaje de las abejas, analizado por Karl von Frisch. Sin embargo, nos abstenemos de comentar sobre esto por ahora.
FORMA DE LAS PIRÁMIDES
La famosa forma tetraédrica de las pirámides no apareció de inmediato. Los escitas hicieron entierros en forma de colinas de tierra: montículos. Los egipcios construyeron "colinas" de piedra: pirámides. Esto sucedió por primera vez después de la unificación del Alto y el Bajo Egipto, en el siglo 28 aC, cuando el fundador de la III dinastía, el faraón Djoser (Zoser), se enfrentó a la tarea de fortalecer la unidad del país.
Y aquí, según los historiadores, un papel importante en el fortalecimiento Gobierno central jugó un "nuevo concepto de deificación" del rey. Aunque los entierros reales se distinguían por un mayor esplendor, en principio no diferían de las tumbas de los nobles de la corte, eran las mismas estructuras: mastabas. Sobre la cámara con el sarcófago que contenía la momia, se vertió un montículo rectangular de pequeñas piedras, donde luego se colocó pequeño edificio de grandes bloques de piedra - "mastaba" (en árabe - "banco"). En el sitio de la mastaba de su predecesor, Sanakht, el faraón Djoser erigió la primera pirámide. Estaba escalonado y era una etapa de transición visible de una forma arquitectónica a otra, de una mastaba a una pirámide.
De esta manera, el faraón fue "elevado" por el sabio y arquitecto Imhotep, quien luego fue considerado un mago e identificado por los griegos con el dios Asclepio. Era como si se erigieran seis mastabas en fila. Además, la primera pirámide ocupaba un área de 1125 x 115 metros, con una altura estimada de 66 metros (según las medidas egipcias - 1000 "palmas"). Al principio, el arquitecto planeó construir una mastaba, pero no oblonga, sino cuadrada en planta. Más tarde se amplió, pero como la extensión se hizo más baja, se formaron dos escalones, por así decirlo.
Esta situación no satisfizo al arquitecto, y en la plataforma superior de una enorme mastaba plana, Imhotep colocó tres más, disminuyendo gradualmente hacia la parte superior. La tumba estaba debajo de la pirámide.
Se conocen varias pirámides escalonadas más, pero más tarde los constructores pasaron a construir pirámides tetraédricas más familiares. ¿Por qué, sin embargo, no triangular o, digamos, octogonal? Una respuesta indirecta la da el hecho de que casi todas las pirámides están perfectamente orientadas a los cuatro puntos cardinales, y por lo tanto tienen cuatro lados. Además, la pirámide era una "casa", un caparazón de una cámara funeraria cuadrangular.
Pero, ¿qué provocó el ángulo de inclinación de las caras? En el libro "El principio de las proporciones" se dedica un capítulo entero a esto: "Qué podría determinar los ángulos de las pirámides". En particular, se indica que "la imagen sobre la que gravitan las grandes pirámides reino antiguo- un triángulo con un ángulo recto en el vértice.
En el espacio, es un semi-octaedro: una pirámide en la que las aristas y los lados de la base son iguales, las caras son triángulos equiláteros.Ciertas consideraciones se dan sobre este tema en los libros de Hambidge, Geek y otros.
¿Cuál es la ventaja del ángulo del semioctaedro? Según las descripciones de arqueólogos e historiadores, algunas pirámides colapsaron por su propio peso. Lo que se necesitaba era un "ángulo de durabilidad", un ángulo que fuera el más energéticamente fiable. De manera puramente empírica, este ángulo se puede tomar del ángulo del vértice en una pila de arena seca que se desmorona. Pero para obtener datos precisos, debe usar el modelo. Tomando cuatro bolas firmemente fijadas, debe colocarles la quinta y medir los ángulos de inclinación. Sin embargo, aquí puede cometer un error, por lo tanto, un cálculo teórico ayuda: debe conectar los centros de las bolas con líneas (mentalmente). En la base, obtienes un cuadrado con un lado igual al doble del radio. El cuadrado será sólo la base de la pirámide, cuya longitud de aristas será también igual al doble del radio.
Así, un empaquetamiento denso de bolas del tipo 1:4 nos dará un semi-octaedro regular.
Sin embargo, ¿por qué muchas pirámides, que gravitan hacia una forma similar, no la conservan? Probablemente las pirámides estén envejeciendo. Contrariamente al famoso dicho:
"Todo en el mundo tiene miedo del tiempo, y el tiempo tiene miedo de las pirámides", los edificios de las pirámides deben envejecer, pueden y deben tener lugar no solo los procesos de meteorización externa, sino también los procesos de "contracción" interna. , a partir del cual las pirámides pueden volverse más bajas. La contracción también es posible porque, como descubrieron los trabajos de D. Davidovits, los antiguos egipcios usaban la tecnología de hacer bloques a partir de virutas de cal, en otras palabras, a partir de "concreto". Son estos procesos los que podrían explicar el motivo de la destrucción de la pirámide de Medum, ubicada a 50 km al sur de El Cairo. Tiene 4600 años, las dimensiones de la base son 146 x 146 m, la altura es de 118 m. “¿Por qué está tan mutilado?”, pregunta V. Zamarovsky, “las referencias habituales a los efectos destructivos del tiempo y “el uso de la piedra para otros edificios” no encajan aquí.
Después de todo, la mayoría de sus bloques y losas de paramento aún permanecen en su lugar, en las ruinas a sus pies". Como veremos, una serie de disposiciones hacen pensar incluso que la famosa pirámide de Keops también se "encogió". , en todas las imágenes antiguas las pirámides son puntiagudas...
La forma de las pirámides también podría generarse por imitación: unos patrones naturales, “perfección milagrosa”, digamos, unos cristales en forma de octaedro.
Dichos cristales podrían ser cristales de diamantes y de oro. Es característico un gran número de signos de "intersección" para conceptos tales como Faraón, Sol, Oro, Diamante. En todas partes: noble, brillante (brillante), genial, impecable, etc. Las similitudes no son casuales.
El culto solar, como sabéis, era una parte importante de la religión. antiguo Egipto. "No importa cómo traduzcamos el nombre de la mayor de las pirámides, - se señala en uno de los manuales modernos - "Sky Khufu" o "Sky Khufu", significaba que el rey es el sol. Si Khufu, en el brillo de su poder, se imaginó a sí mismo como un segundo sol, entonces su hijo Jedef-Ra se convirtió en el primero de los reyes egipcios que comenzó a llamarse "el hijo de Ra", es decir, el hijo del Sol. El sol fue simbolizado por casi todos los pueblos como "metal solar", oro. "El gran disco de oro brillante", así llamaban los egipcios a nuestra luz del día. Los egipcios conocían muy bien el oro, conocían sus formas nativas, donde los cristales de oro pueden aparecer en forma de octaedros.
Como "muestra de formas", la "piedra solar", un diamante, también es interesante aquí. El nombre del diamante vino solo del mundo árabe, "almas", el más duro, el más duro, el indestructible. Los antiguos egipcios conocían el diamante y sus propiedades son bastante buenas. Según algunos autores, incluso utilizaron tubos de bronce con fresas de diamante para perforar.
Actualmente, el principal proveedor de diamantes es Sudáfrica, pero África occidental también es rica en diamantes. El territorio de la República de Malí incluso se llama allí la "Tierra de los Diamantes". Mientras tanto, es en el territorio de Malí donde viven los Dogon, en quienes los partidarios de la hipótesis de la paleovisita depositan muchas esperanzas (ver más abajo). Los diamantes no pudieron ser la razón de los contactos de los antiguos egipcios con esta región. Sin embargo, de una forma u otra, es posible que fuera precisamente copiando los octaedros de diamantes y cristales de oro que los antiguos egipcios deificaron a los faraones, “indestructibles” como el diamante y “brillantes” como el oro, los hijos del Sol, comparables sólo con las más maravillosas creaciones de la naturaleza.
Producción:
Habiendo estudiado la pirámide como un cuerpo geométrico, familiarizándonos con sus elementos y propiedades, nos convencimos de la validez de la opinión sobre la belleza de la forma de la pirámide.
Como resultado de nuestra investigación, llegamos a la conclusión de que los egipcios, habiendo recopilado el conocimiento matemático más valioso, lo plasmaron en una pirámide. Por lo tanto, la pirámide es verdaderamente la creación más perfecta de la naturaleza y el hombre.
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Peter Tompkins "Secretos" gran piramide Keops", M: "Tsentropoligraf", 2005
recursos de Internet
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http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
Definición. Cara lateral- este es un triángulo en el que un ángulo se encuentra en la parte superior de la pirámide, y el lado opuesto coincide con el lado de la base (polígono).
Definición. costillas laterales son los lados comunes de las caras laterales. Una pirámide tiene tantas aristas como esquinas tiene un polígono.
Definición. altura de la pirámide es una perpendicular caída desde la parte superior a la base de la pirámide.
Definición. Apotema- esta es la perpendicular de la cara lateral de la pirámide, bajada desde la parte superior de la pirámide hasta el lado de la base.
Definición. Sección diagonal- esta es una sección de la pirámide por un plano que pasa por la parte superior de la pirámide y la diagonal de la base.
Definición. Pirámide correcta- Esta es una pirámide en la que la base es un polígono regular, y la altura desciende hasta el centro de la base.
Volumen y superficie de la pirámide
Fórmula. volumen piramidal a través del área de la base y la altura:
propiedades de la pirámide
Si todos los bordes laterales son iguales, entonces se puede circunscribir un círculo alrededor de la base de la pirámide y el centro de la base coincide con el centro del círculo. Además, la perpendicular caída desde la parte superior pasa por el centro de la base (círculo).
Si todos los bordes laterales son iguales, entonces están inclinados al plano de la base debajo los mismos ángulos.
Las nervaduras laterales son iguales cuando forman ángulos iguales con el plano base, o si se puede describir un círculo alrededor de la base de la pirámide.
Si las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en un ángulo, entonces se puede inscribir un círculo en la base de la pirámide y la parte superior de la pirámide se proyecta en su centro.
Si las caras laterales están inclinadas con respecto al plano base en un ángulo, entonces las apotemas de las caras laterales son iguales.
Propiedades de una pirámide regular
1. La parte superior de la pirámide es equidistante de todas las esquinas de la base.
2. Todos los bordes laterales son iguales.
3. Todas las nervaduras laterales están inclinadas en los mismos ángulos con respecto a la base.
4. Las apotemas de todas las caras laterales son iguales.
5. Las áreas de todas las caras laterales son iguales.
6. Todas las caras tienen los mismos ángulos diedros (planos).
7. Se puede describir una esfera alrededor de la pirámide. El centro de la esfera descrita será el punto de intersección de las perpendiculares que pasan por el medio de las aristas.
8. Una esfera se puede inscribir en una pirámide. El centro de la esfera inscrita será el punto de intersección de las bisectrices que emanan del ángulo entre la arista y la base.
9. Si el centro de la esfera inscrita coincide con el centro de la esfera circunscrita, entonces la suma de los ángulos planos en el vértice es igual a π o viceversa, un ángulo es igual a π/n, donde n es el número de ángulos en la base de la pirámide.
La conexión de la pirámide con la esfera.
Se puede describir una esfera alrededor de la pirámide cuando en la base de la pirámide se encuentra un poliedro alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan perpendicularmente por los puntos medios de las aristas laterales de la pirámide.
Una esfera siempre se puede describir alrededor de cualquier pirámide triangular o regular.
Una esfera se puede inscribir en una pirámide si los planos bisectores de los ángulos diedros internos de la pirámide se cortan en un punto (condición necesaria y suficiente). Este punto será el centro de la esfera.
La conexión de la pirámide con el cono.
Un cono se dice inscrito en una pirámide si sus vértices coinciden y la base del cono está inscrita en la base de la pirámide.
Se puede inscribir un cono en una pirámide si las apotemas de la pirámide son iguales.
Se dice que un cono está circunscrito a una pirámide si sus vértices coinciden y la base del cono está circunscrita a la base de la pirámide.
Se puede describir un cono alrededor de una pirámide si todos los lados de la pirámide son iguales entre sí.
Conexión de una pirámide con un cilindro.
Se dice que una pirámide está inscrita en un cilindro si la parte superior de la pirámide se encuentra en una base del cilindro y la base de la pirámide está inscrita en otra base del cilindro.
Un cilindro se puede circunscribir alrededor de una pirámide si un círculo se puede circunscribir alrededor de la base de la pirámide.
Un tetraedro tiene cuatro caras y cuatro vértices y seis aristas, donde dos aristas cualesquiera no tienen vértices comunes pero no se tocan.
Cada vértice consta de tres caras y aristas que forman ángulo triédrico.
El segmento que une el vértice del tetraedro con el centro de la cara opuesta se llama mediana del tetraedro(GM).
bimediano Se llama segmento a un segmento que une los puntos medios de aristas opuestas que no se tocan (KL).
Todas las bimedianas y medianas de un tetraedro se cortan en un punto (S). En este caso, las bimedianas se dividen por la mitad, y las medianas en una proporción de 3:1 comenzando desde arriba.
Definición. Pirámide de ángulo agudo es una pirámide en la que la apotema mide más de la mitad de la longitud del lado de la base.
Definición. pirámide obtusa es una pirámide en la que la apotema mide menos de la mitad de la longitud del lado de la base.
Definición. tetraedro regular Un tetraedro cuyas cuatro caras son triángulos equiláteros. Es uno de los cinco polígonos regulares. En un tetraedro regular, todos los ángulos diédricos (entre caras) y triédricos (en un vértice) son iguales.
Definición. tetraedro rectangular Se llama tetraedro con un ángulo recto entre tres aristas en el vértice (las aristas son perpendiculares). Se forman tres caras ángulo triédrico rectangular y las caras son triángulos rectángulos, y la base es un triángulo arbitrario. La apotema de cualquier cara es igual a la mitad del lado de la base sobre la que cae la apotema.
Definición. tetraedro isoédrico Se llama tetraedro en el que las caras laterales son iguales entre sí, y la base es un triángulo regular. Las caras de tal tetraedro son triángulos isósceles.
Definición. tetraedro ortocéntrico se llama tetraedro en el que todas las alturas (perpendiculares) que se bajan desde la parte superior a la cara opuesta se cortan en un punto.
Definición. pirámide estrella Un poliedro cuya base es una estrella se llama.
Este video tutorial ayudará a los usuarios a tener una idea sobre el tema Pyramid. Pirámide correcta. En esta lección, nos familiarizaremos con el concepto de pirámide, le daremos una definición. Considere qué es una pirámide regular y qué propiedades tiene. Luego demostramos el teorema en la superficie lateral de una pirámide regular.
En esta lección, nos familiarizaremos con el concepto de pirámide, le daremos una definición.
Considere un polígono Un 1 Un 2...Un, que está en el plano α, y un punto PAGS, que no se encuentra en el plano α (Fig. 1). Conectemos el punto PAGS con picos Un 1, Un 2, Un 3, … Un. Obtener norte triangulos: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R etc
Definición. Poliedro RA 1 A 2 ... A n, compuestos de norte-gon Un 1 Un 2...Un Y norte triangulos RA 1 A 2, AR 2 A 3 …RA n A n-1 , llamado norte- Pirámide de carbón. Arroz. una.
Arroz. una
Considere una pirámide cuadrangular PABCD(Figura 2).
R- la parte superior de la pirámide.
A B C D- la base de la pirámide.
REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES- costilla lateral.
AB- borde base.
desde un punto R dejar caer la perpendicular enfermero en el plano de tierra A B C D. La perpendicular dibujada es la altura de la pirámide.
Arroz. 2
La superficie total de la pirámide está formada por la superficie lateral, es decir, el área de todas las caras laterales, y el área de la base:
S completo \u003d S lateral + S principal
Una pirámide se dice correcta si:
- su base es un polígono regular;
- el segmento que conecta la parte superior de la pirámide con el centro de la base es su altura.
Explicación sobre el ejemplo de una pirámide cuadrangular regular
Considere una pirámide cuadrangular regular PABCD(Fig. 3).
R- la parte superior de la pirámide. base de la piramide A B C D- un cuadrilátero regular, es decir, un cuadrado. Punto SOBRE, el punto de intersección de las diagonales, es el centro del cuadrado. Medio, RO es la altura de la pirámide.
Arroz. 3
Explicación: en lo correcto norte-gon, el centro de la circunferencia inscrita y el centro de la circunferencia circunscrita coinciden. Este centro se llama el centro del polígono. A veces dicen que la parte superior se proyecta hacia el centro.
La altura de la cara lateral de una pirámide regular, dibujada desde su vértice, se llama apotema y denotado ha.
1. todas las aristas laterales de una pirámide regular son iguales;
2. las caras laterales son triángulos isósceles iguales.
Probemos estas propiedades usando el ejemplo de una pirámide cuadrangular regular.
Dado: RABSD- correcto pirámide cuadrangular,
A B C D- cuadrado,
RO es la altura de la pirámide.
Probar:
1. RA = PB = PC = PD
2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Ver Fig. 4.
Arroz. 4
Prueba.
RO es la altura de la pirámide. es decir, recto RO perpendicular al plano A B C, y por lo tanto directa AO, VO, SO Y HACER acostado en él. Entonces los triángulos ROA, ROV, ROS, BARRA- rectangular.
Considere un cuadrado A B C D. De las propiedades de un cuadrado se sigue que AO = BO = CO = HACER.
Entonces los triángulos rectángulos ROA, ROV, ROS, BARRA pierna RO- general y piernas AO, VO, SO Y HACER iguales, entonces estos triángulos son iguales en dos catetos. De la igualdad de los triángulos se sigue la igualdad de los segmentos, RA = PB = PC = PD. El punto 1 está probado.
Segmentos AB Y sol son iguales porque son lados del mismo cuadrado, RA = RV = PC. Entonces los triángulos AVR Y videograbadora - isósceles e iguales en tres lados.
De manera similar, obtenemos que los triángulos PAA, BCP, CDP, PAD son isósceles e iguales, lo cual se exigió probar en el punto 2.
El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base y la apotema:
Para la demostración, elegimos una pirámide triangular regular.
Dado: RAVS es una pirámide triangular regular.
AB = BC = CA.
RO- altura.
Probar: 
. Véase la figura. cinco.
Arroz. cinco
Prueba.
RAVS es una pirámide triangular regular. Es decir AB= CA = BC. Permitir SOBRE- el centro del triangulo A B C, luego RO es la altura de la pirámide. La base de la pirámide es un triángulo equilátero. A B C. Darse cuenta de 
.
triangulos RAV, RVS, RSA- triángulos isósceles iguales (por propiedad). Una pirámide triangular tiene tres caras laterales: RAV, RVS, RSA. Entonces, el área de la superficie lateral de la pirámide es:
Lado S = 3S RAB
El teorema ha sido probado.
El radio de un círculo inscrito en la base de una pirámide cuadrangular regular es de 3 m, la altura de la pirámide es de 4 m, encuentra el área de la superficie lateral de la pirámide.
Dado: pirámide cuadrangular regular A B C D,
A B C D- cuadrado,
r= 3m,
RO- la altura de la pirámide,
RO= 4 metros
Encontrar: lado S. Véase la figura. 6.
Arroz. 6
Solución.
De acuerdo con el teorema probado, .
Encuentra primero el lado de la base AB. Sabemos que el radio de un círculo inscrito en la base de una pirámide cuadrangular regular es de 3 m.
Entonces, m.
Halla el perímetro del cuadrado A B C D de 6 m de lado:
Considere un triángulo BCD. Permitir METRO- lado medio corriente continua. Porque SOBRE- medio BD, luego 
(metro).
Triángulo DPC- isósceles. METRO- medio corriente continua. Es decir, RM- la mediana, y por lo tanto la altura en el triángulo DPC. Luego RM- apotema de la pirámide.
RO es la altura de la pirámide. Entonces, directamente RO perpendicular al plano A B C, y por lo tanto la directa OM acostado en él. Encontremos una apotema RM de un triángulo rectángulo ROM.
Ahora podemos encontrar superficie lateral pirámides:
Responder: 60 m2.
El radio de un círculo circunscrito cerca de la base de una pirámide triangular regular es m. El área de la superficie lateral es de 18 m 2. Encuentra la longitud de la apotema.
Dado: ABCP- pirámide triangular regular,
AB = BC = SA,
R= m,
Lado S = 18 m 2.
Encontrar: . Véase la figura. 7.
Arroz. 7
Solución.
en un triangulo rectangulo A B C dado el radio de la circunferencia circunscrita. Busquemos un lado AB este triángulo usando el teorema del seno.
Conociendo el lado de un triángulo regular (m), encontramos su perímetro.
Según el teorema del área de la superficie lateral de una pirámide regular, donde ha- apotema de la pirámide. Luego:
Responder: 4 metros
Entonces, examinamos qué es una pirámide, qué es una pirámide regular, demostramos el teorema en la superficie lateral de una pirámide regular. En la próxima lección, nos familiarizaremos con la pirámide truncada.
Bibliografía
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- Portal de Internet "Festival de Ideas Pedagógicas "Primero de Septiembre" ()
- Portal de Internet "Slideshare.net" ()
Tarea
- ¿Puede un polígono regular ser la base de una pirámide irregular?
- Demostrar que las aristas que no se cortan de una pirámide regular son perpendiculares.
- Encuentre el valor del ángulo diedro en el lado de la base de una pirámide cuadrangular regular si la apotema de la pirámide es igual al lado de su base.
- RAVS es una pirámide triangular regular. Construya el ángulo lineal del ángulo diedro en la base de la pirámide.
Aquí se recopila información básica sobre las pirámides y las fórmulas y conceptos relacionados. Todos ellos se estudian con un tutor en matemáticas como preparación para el examen.
Considere un plano, un polígono 
acostado en él y un punto S que no está acostado en él. Conecte S a todos los vértices del polígono. El poliedro resultante se llama pirámide. Los segmentos se llaman bordes laterales. 
El polígono se llama base y el punto S se llama vértice de la pirámide. Dependiendo del número n, la pirámide se llama triangular (n=3), cuadrangular (n=4), pentagonal (n=5) y así sucesivamente. Nombre alternativo para la pirámide triangular - tetraedro. La altura de una pirámide es la perpendicular trazada desde su vértice hasta el plano base. 
Una pirámide se dice correcta si un polígono regular, y la base de la altura de la pirámide (la base de la perpendicular) es su centro.
comentario del tutor:
No confunda el concepto de "pirámide regular" y "tetraedro regular". En una pirámide regular, las aristas laterales no son necesariamente iguales a las aristas de la base, pero en un tetraedro regular, las 6 aristas de las aristas son iguales. Esta es su definición. Es fácil probar que la igualdad implica que el centro P del polígono con una base de altura, por lo que un tetraedro regular es una pirámide regular.
¿Qué es un apotema?
La apotema de una pirámide es la altura de su cara lateral. Si la pirámide es regular, entonces todas sus apotemas son iguales. Lo opuesto no es verdad. 
Tutor de matemáticas sobre su terminología: el trabajo con pirámides se construye en un 80% a través de dos tipos de triángulos:
1) Conteniendo apotema SK y altura SP
2) Que contiene el borde lateral SA y su proyección PA 
Para simplificar las referencias a estos triángulos, es más conveniente que un tutor de matemáticas nombre el primero de ellos apotémico, y segundo costal. Desafortunadamente, no encontrará esta terminología en ninguno de los libros de texto, y el profesor tiene que introducirla unilateralmente.
Fórmula de volumen piramidal:
1) 
, donde es el área de la base de la pirámide, y es la altura de la pirámide
2), donde es el radio de la esfera inscrita, y es la superficie total de la pirámide.
3) 
, donde MN es la distancia de dos aristas que se cruzan, y es el área del paralelogramo formado por los puntos medios de las cuatro aristas restantes.
Propiedad base de la altura de la pirámide:
El punto P (ver figura) coincide con el centro de la circunferencia inscrita en la base de la pirámide si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
1) Todas las apotemas son iguales
2) Todas las caras laterales están igualmente inclinadas hacia la base
3) Todas las apotemas están igualmente inclinadas a la altura de la pirámide.
4) La altura de la pirámide está igualmente inclinada hacia todas las caras laterales.
comentario del tutor de matematicas: tenga en cuenta que todos los elementos están unidos por uno propiedad comun: de una forma u otra, las caras laterales participan en todas partes (las apotemas son sus elementos). Por lo tanto, el tutor puede ofrecer una formulación menos precisa, pero más conveniente para la memorización: el punto P coincide con el centro del círculo inscrito, la base de la pirámide, si hay alguna información igual sobre sus caras laterales. Para probarlo, basta mostrar que todos los triángulos apotémicos son iguales.
El punto P coincide con el centro del círculo circunscrito cerca de la base de la pirámide, si se cumple una de las tres condiciones:
1) Todos los bordes laterales son iguales
2) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas hacia la base
3) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas a la altura.
Al resolver el problema C2 usando el método de coordenadas, muchos estudiantes enfrentan el mismo problema. no pueden calcular coordenadas del punto incluido en la fórmula del producto escalar. Las mayores dificultades son pirámides. Y si los puntos de base se consideran más o menos normales, las puntas son un verdadero infierno.
Hoy nos ocuparemos de una pirámide cuadrangular regular. También hay una pirámide triangular (también conocida como - tetraedro). Se acabó Estructura compleja, por lo que se le dedicará una lección separada.
Comencemos con la definición:
Una pirámide regular es aquella en la que:
- La base es un polígono regular: triángulo, cuadrado, etc.;
- La altura dibujada a la base pasa por su centro.
En particular, la base de una pirámide cuadrangular es cuadrado. Al igual que Keops, solo que un poco más pequeño.
A continuación se muestran los cálculos para una pirámide con todas las aristas iguales a 1. Si este no es el caso de su problema, los cálculos no cambian, solo los números serán diferentes.
Vértices de una pirámide cuadrangular
Entonces, sea dada una pirámide cuadrangular regular SABCD, donde S es la parte superior, la base de ABCD es un cuadrado. Todos los bordes son iguales a 1. Se requiere ingresar un sistema de coordenadas y encontrar las coordenadas de todos los puntos. Tenemos:
Introducimos un sistema de coordenadas con origen en el punto A:
- El eje OX está dirigido paralelo al borde AB;
- Eje OY - paralelo a AD . Como ABCD es un cuadrado, AB ⊥ AD ;
- Finalmente, el eje OZ se dirige hacia arriba, perpendicular al plano ABCD.
Ahora consideramos las coordenadas. Construcción adicional: SH - altura dibujada a la base. Por conveniencia, sacaremos la base de la pirámide en una figura separada. Como los puntos A , B , C y D están en el plano OXY, su coordenada es z = 0. Tenemos:
- A = (0; 0; 0) - coincide con el origen;
- B = (1; 0; 0) - paso de 1 a lo largo del eje OX desde el origen;
- C = (1; 1; 0) - paso de 1 a lo largo del eje OX y de 1 a lo largo del eje OY;
- D = (0; 1; 0) - paso solo a lo largo del eje OY.
- H \u003d (0.5; 0.5; 0) - el centro del cuadrado, el medio del segmento AC.
Queda por encontrar las coordenadas del punto S. Tenga en cuenta que las coordenadas x e y de los puntos S y H son las mismas, ya que se encuentran en una línea recta paralela al eje OZ. Queda por encontrar la coordenada z para el punto S .
Considere los triángulos ASH y ABH:
- AS = AB = 1 por condición;
- Ángulo AHS = AHB = 90° ya que SH es la altura y AH ⊥ HB como las diagonales de un cuadrado;
- Lado AH - común.
Como consecuencia, triángulos rectángulos CENIZA y ABH igual un cateto y una hipotenusa. Entonces SH = BH = 0.5 BD. Pero BD es la diagonal de un cuadrado de lado 1. Por lo tanto, tenemos:
Coordenadas totales del punto S:
En conclusión, escribimos las coordenadas de todos los vértices de una pirámide rectangular regular:
Qué hacer cuando las costillas son diferentes.
Pero, ¿y si las aristas laterales de la pirámide no son iguales a las aristas de la base? En este caso, considere el triángulo AHS:
Triángulo AHS- rectangular, y la hipotenusa AS también es una arista lateral de la pirámide original SABCD . El cateto AH se considera fácilmente: AH = 0,5 AC. Encuentra el tramo restante SH según el teorema de Pitágoras. Esta será la coordenada z para el punto S.
Una tarea. Dada una pirámide cuadrangular regular SABCD, en cuya base se encuentra un cuadrado de lado 1. costilla lateral BS = 3. Encuentra las coordenadas del punto S.
Ya conocemos las coordenadas x e y de este punto: x = y = 0,5. Esto se sigue de dos hechos:
- La proyección del punto S sobre el plano OXY es el punto H;
- Al mismo tiempo, el punto H es el centro del cuadrado ABCD, cuyos lados son todos iguales a 1.
Queda por encontrar la coordenada del punto S. Considere el triángulo AHS. Es rectangular, con la hipotenusa AS = BS = 3, el cateto AH es la mitad de la diagonal. Para más cálculos, necesitamos su longitud:
Teorema de Pitágoras para el triángulo AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Tenemos:
Entonces, las coordenadas del punto S:
