lat. Reductio ad absurdum) es un tipo de prueba en la que la validez de un determinado juicio (tesis de la prueba) se lleva a cabo mediante la refutación de un juicio que lo contradice - antítesis. La refutación de la antítesis se logra estableciendo su incompatibilidad con el juicio evidentemente verdadero. A menudo, la prueba por contradicción se basa en el principio de ambigüedad.
Gran definición
Definición incompleta ↓
PRUEBA DE LO CONTRARIO
fundamentación de un juicio por refutación por el método de "reducción al absurdo" (reductio ad absurdum) de algún otro juicio, a saber, el que es la negación de lo justificado (D. de p. 1er tipo) o el que es la negación de que está justificado (D. de la pág. 2º tipo); "reducción al absurdo" consiste en el hecho de que de un juicio refutado a k.-l. una conclusión obviamente falsa (por ejemplo, una contradicción lógica formal), que indica la falsedad de este juicio. La necesidad de distinguir entre dos tipos de D. de p. se deriva del hecho de que en uno de ellos (a saber, en D. de p. del 1er tipo) hay una transición lógica de la doble negación del juicio a la afirmación de este juicio (es decir, la llamada regla de la doble negación, que permite el paso de A a A, véase Leyes de la doble negación), mientras que en el otro no existe tal transición. El curso del razonamiento en D. del artículo del 1er tipo: se requiere para probar el juicio A; a los efectos de la prueba, suponemos que la proposición A es falsa, es decir que su negación es verdadera: ? (no-A), y, en base a esta suposición, deducimos lógicamente c.-l. afirmación falsa, por ej. contradicción, - realizamos la "reducción al absurdo" del juicio A; esto atestigua la falsedad de nuestra suposición, i.e. prueba la verdad de la doble negación: A; la aplicación a A de la regla de eliminación de la doble negación completa la prueba de la proposición A. El curso del razonamiento en D. del ítem 2 del 2° tipo: ¿se requiere probar una proposición?; a los efectos de la prueba, suponemos que la proposición A es verdadera y reducimos esta suposición al absurdo; sobre esta base concluimos que A es falso, es decir que es lo correcto?. La distinción entre los dos tipos de D. de p. es importante porque en la llamada lógica intuicionista (constructiva) no se cumple la ley de eliminación de la doble negación, razón por la cual D. de p., que son esencialmente relacionado con la aplicación de esta ley lógica, tampoco está permitido. Véase también Prueba indirecta. Iluminado.: Tarsky?., Introducción a la lógica y metodología de las ciencias deductivas, trad. del inglés, M., 1948; Asmus VF, La doctrina de la lógica sobre prueba y refutación, [M.], 1954; Kleene S. K., Introducción a las Metamatemáticas, trad. del inglés, M., 1957; Iglesia?., Introducción a las Matemáticas. lógica, trad. del inglés, [vol.] 1, M., 1960.
EL MÉTODO DE LO OPUESTO (en lo sucesivo, MOP) es un método científico y aplicado que lleva el nombre del destacado educador ucraniano, el fundador de varias escuelas y direcciones científicas, Vasily Kozmich the Nasty. VK Nasty nació el 29 de febrero de 1513, según el estilo antiguo, en el pueblo de Nizhnie Lopukhy, cerca de Chernigov. Vasya era un niño débil y endeble desde la infancia, y constantemente, a partir de jardín de infancia, fue objeto de burlas por parte de sus compañeros, lo que luego predeterminó su mal carácter.
En el futuro, las palabras "hacer todo a pesar de los demás" en realidad se convirtieron en el lema de la vida de VK Opposite. Entonces, a pesar de todos, dejó su Kholmogory natal y entró en la Universidad Estatal de Moscú. Lomonosov (y no en Escuela Suvórov, como quería su padre), para fastidiar a todos, nunca se casó con nadie (aunque su abuela Vasilisa Nasty le encontró al menos 14 novias en toda su vida), para fastidiar a todos, citando temporada de hongos, no recibió la Medalla Fields, el premio más alto en el campo de las matemáticas.
La esencia del método de lo contrario se puede transmitir mediante los siguientes puntos:
1. Se hace una suposición incorrecta.
2. Resulta lo que se sigue de esta suposición sobre la base del conocimiento conocido.
3. Se está entrando en un callejón sin salida.
4. Se extrae una conclusión correcta de que una suposición incorrecta es incorrecta.
Muchos científicos, filósofos, investigadores e incluso artistas se han convertido en fervientes defensores de las ideas del ilustrador ucraniano. Por ejemplo, la lobotomía se utilizó por primera vez en la práctica médica cuando se intentó resolver la antigua disputa filosófica sobre la primacía de la materia o la conciencia con la ayuda de un experimento médico. Así es como Lobachevsky, alumno de V.K.
El método de lo contrario se usa a menudo en la actualidad en una variedad de campos. vida humana. Por ejemplo, el alcalde de Moscú, Luzhkov, lo utiliza con éxito para cultivar el gusto artístico de los moscovitas instalando esculturas de Tsereteli en la ciudad. El liderazgo de la Dirección Central de Asuntos Internos, utilizando este método, decidió encontrar a los asesinos del conocido periodista Politkovskaya, ya que otros métodos, en vista de la particular complejidad del caso, no dan resultados. Armados con MOS, los policías de Moscú saben que al identificar constantemente a todos los que no están involucrados, seguirán automáticamente el rastro de los asesinos.
Toda la vida e incluso la muerte de V. K. Opposite fue una vívida ilustración de su método. El científico falleció trágicamente el 29 de febrero de 1613 a la edad de 112 años, ahorcándose a pesar de su abuela Vasily Nasty, quien no permitió que Vasily Kozmich probara la mermelada del refrigerador. A pesar de la actitud ambivalente hacia V.K. Nasty debido a su mal genio, la mayoría de los científicos e investigadores aún consideran que la MOP es una de las armas más poderosas. ciencia moderna en general y las matemáticas en particular.
____________________________________
Vasily Kozmich Nasty, destacado educador ucraniano (1513 - 1613)
expreso mi gratitud
¿Cuál es el método de prueba "por contradicción"?
La esencia del método de prueba por contradicción consta de dos etapas. El primero en la prueba de la EXISTENCIA de la proof y el segundo en la prueba de la SINGULARIDAD de la prueba. Describió torpemente, pero quería decir lo siguiente. Al probar teoremas con este método, debe demostrar que existe una solución para un problema o teorema dado y luego probar que esta solución será única. Este no es el único método utilizado para probar teoremas, pero como herramienta matemática y lógica no carece de interés.
El método de demostración por contradicción se usa no solo en matemáticas, aunque allí se ha generalizado bastante como una herramienta para probar problemas y teoremas individuales.
De hecho, este es un método lógico para probar cualquier afirmación, que se puede aplicar en cualquier campo del conocimiento. Incluso en las humanidades y las ciencias sociales. Sencillamente, en las ciencias técnicas estamos tratando con números, y muchas personas se convencen solo con la presencia de estos íconos, y en el mundo de la lógica operamos con conclusiones que nunca pueden considerarse verdad absoluta.
Este método de prueba lo estudiamos en la escuela en las clases medias, cuando tomamos como base alguna afirmación que no se puede probar de ninguna manera, en cambio toman la afirmación directamente opuesta a ella, prueban que es falsa, por lo tanto, lo que no podemos probar es cierto, y esta es la única solución correcta a este problema.
En la vida, hablamos de algo, no podemos probarlo, pero damos un ejemplo opuesto y demostramos que está mal: robaron dinero del alijo, Vasya y Petya lo sabían, pero Petya tenía una coartada: fue al dacha durante toda la semana, lo que significa que Vasya robó el dinero.
Por el método de prueba "por contradicción" llamado la forma en que una verdad indemostrable se vuelve verdadera, solo porque algo más siempre está mal, y esto es exactamente lo que es demostrable. En consecuencia, como resultado de este método, aunque indirectamente, demostramos "verdades indemostrables";
Esta ley se basa en la ley de la doble negación, si A no es verdadero, entonces A es verdadero.
Por ejemplo, cree que tiene una úlcera. Su médico, para refutar esta sentencia, le prueba refutando lo que está seguro, es decir, su declaración y dice que usted no tiene úlcera, ya que la gastroscopia mostró que no hay daño en la cavidad del estómago, usted no bajes de peso y puedes comer de todo lo que quieras.
Técnica estándar, por ejemplo, en matemáticas. Necesitamos probar el enunciado A. Y esto es difícil. Luego toman el enunciado opuesto B y prueban que es falso. De ello se deduce que A es verdadera. Lo mismo es cierto en la vida. Un ejemplo sencillo: alguien dice: "El señor X es un ladrón". Su oponente: "¿Pero cómo probarlo?" Primero: "Supongamos que es un hombre honesto". Segundo: ¡Sí, esto es una burla de gallinas! Primero: Entonces demostramos que X es un ladrón :)))
práctica no. 2
Tema: Lógica y demostración. Prueba: directa, inversa, por contradicción. Método de inducción matemática.
La lección está diseñada para 2 académico horas.
Objetivo: explorar varios métodos evidencia (razonamiento directo, el método de "por contradicción" y razonamiento inverso), que ilustra la metodología del razonamiento. Considere el método de inducción matemática.
Material teórico
Métodos de prueba
Al demostrar teoremas, se utiliza el razonamiento lógico. Evidencia en informática. una parte integral de la verificación de la corrección de los algoritmos. La necesidad de demostración surge cuando necesitamos establecer la verdad de una proposición de la forma (A EN). Hay varios tipos estándar de evidencia, incluidos los siguientes:
- Razonamiento directo (demostración).
Suponemos que la declaración A es verdadera y mostramos la validez de B. Este método de prueba excluye la situación cuando A es cierto, a B es es falsa, ya que es en este y sólo en este caso que la implicación (A C) toma un valor falso (ver tabla).
Así, la prueba directa va desde la consideración de los argumentos hasta la prueba de la tesis, es decir, la verdad de la tesis se fundamenta directamente en los argumentos. El esquema de esta prueba es el siguiente: a partir de los argumentos dados(a B C, ...) una tesis comprobable debe seguir necesariamente q.
Este tipo de evidencia se lleva a cabo en la práctica judicial, en la ciencia, en la polémica, en los escritos de los escolares, en la presentación de un material por parte de un docente, etc.
Ejemplos:
1. El maestro en la lección con prueba directa de la tesis "Personas hacedor de historia”, muestra; en primer lugar que el pueblo es el creador de la riqueza material, en segundo lugar , fundamenta el enorme papel de las masas populares en la política, explica cómo en la era moderna el pueblo lucha activamente por la paz y la democracia, tercera , revela su gran papel en la creación de la cultura espiritual.
2. En las lecciones de química, la evidencia directa de la combustibilidad del azúcar se puede presentar en forma de un silogismo categórico: Todos los carbohidratos son combustibles. El azúcar es un carbohidrato. El azúcar es inflamable.
En la revista de moda moderna "Burda", la tesis "La envidia es la raíz de todos los males" se fundamenta con la ayuda de evidencia directa con los siguientes argumentos: “La envidia no solo envenena a las personas la vida cotidiana, pero puede llevar a consecuencias más graves, por lo que, junto con los celos, la ira y el odio, sin duda pertenece a los peores rasgos de carácter. Arrastrándose imperceptiblemente, la envidia duele dolorosa y profundamente. Una persona envidia el bienestar de los demás, sufre por la conciencia de que alguien es más afortunado.
2. Razonamiento inverso(prueba ) . Suponemos que el enunciado B es falso y mostramos la falacia de A. Es decir, de hecho, de manera directa comprobamos la verdad de la implicación ((no B) (no A)) que, según la tabla, es lógicamente equivalente a la verdad del enunciado original (AB).
3. El método "por contradicción".
Este método se usa a menudo en matemáticas. Permitir pero - una tesis o teorema a demostrar. Suponemos por contradicción que pero falso, es decir, verdadero no (o). De la suposición deducimos consecuencias que contradicen la realidad o teoremas previamente probados. Tenemos, mientras- falso, por lo tanto, su negación es verdadera, es decir, que, según la ley de la lógica clásica bivaluada (→ a) da a. Entonces, cierto un , que debía probarse.
Hay muchos ejemplos de pruebas “por contradicción” en la escuela. curso matemáticas. Así, por ejemplo, se demuestra el teorema de que desde un punto que se encuentra fuera de una línea recta, solo se puede dejar caer una perpendicular a esta línea recta. Por contradicción, también se demuestra el siguiente teorema: “Si dos rectas son perpendiculares al mismo plano, entonces son paralelas”. La demostración de este teorema comienza directamente con las palabras: “Suponga lo contrario, es decir, que las líneas AB y CD no paralelo".
Inducción matemática
programa de computadora en informática se llama correcta o correcta si hace lo que dice en su especificación. Aunque probar un programa puede dar el resultado esperado en el caso de algunos datos iniciales individuales, es necesario probar mediante métodos de lógica formal que se obtendrán los datos de salida correctos para cualquier valor inicial de entrada.
Verificar la corrección de un algoritmo que contiene ciclos requiere un método de prueba bastante poderoso llamado " inducción matemática».
En el corazón de cualquier investigación matemática son deductivos y métodos inductivos. El método deductivo de razonamiento es razonar de lo general a lo particular, es decir, razonamiento que comienza con resultado general, y el momento final es un resultado parcial. La inducción se aplica al pasar de resultados particulares a generales, es decir. es lo opuesto al método deductivo. El método de inducción matemática se puede comparar con el progreso. Empezamos desde el más bajo, como resultado pensamiento lógico llegamos a lo más alto. El hombre siempre ha buscado el progreso, la capacidad de desarrollar su pensamiento lógicamente, lo que significa que la naturaleza misma lo ha destinado a pensar inductivamente.
Principio de inducción matemática este es el siguiente teorema:
Tengamos una secuencia infinita de declaraciones P 1 , PAG 2 , ..., PAG norte indexado por números naturales, y: la declaración P 1 cierto; si algún enunciado P k- cierto, entonces la siguiente declaración PAGS k +1 también es cierto.
Entonces, el principio de inducción matemática establece que todas las declaraciones en la secuencia son verdaderas.
En otras palabras, el principio de inducción matemática se puede formular de la siguiente manera: si una mujer es la primera en la cola y hay una mujer detrás de cada mujer, entonces todos en la cola son mujeres.
El método de razonamiento basado en el principio de inducción matemática se denomina método de inducción matemática. Para resolver problemas por el método de inducción matemática, es necesario:
1) formular el enunciado del problema como una secuencia de enunciados P 1, P2,..., Pn,...;
2) probar que el enunciado P 1 verdadero (esta etapa se llama la base de la inducción); 3) probar que si el enunciado P norte es cierto para algunos n = k, entonces también es cierto para n = k + 1 (este paso se llama paso de inducción).
En vista de la falta de fiabilidad de la conclusión, la inducción no puede servir como método de prueba. Pero ella espoderoso método heurístico, es decir, el método de descubrir nuevas verdades.
La inducción puede conducir a una conclusión falsa. Entonces, por ejemplo, calculando los valores de la expresión n 2 +n+17 para n = 1,2,3, ..., 15, obtenemos invariablemente números primos, y esto sugiere que el valor de esta expresión para cualquier n natural es un número primo. Es decir, a partir de quince premisas particulares se ha obtenido una conclusión general que se relaciona con una infinidad de casos especiales, y esta conclusión resulta ser falsa, ya que aun con n = 16 se obtiene un número compuesto 16 2 +16+17=172.
Ha habido casos en la historia de las matemáticas en los que matemáticos famosos se equivocaron en sus conclusiones inductivas. Por ejemplo, P. Fermat sugirió que todos los números de la forma 22 n + 1 son simples, basándose en que en n = 1,2,3,4 lo son, pero L. Euler encontró que ya en n = 5 el número 232 + 1 no es primo (es divisible por 641). Sin embargo, la posibilidad de obtener una conclusión falsa con la ayuda de la inducción no es una base para negar el papel de la inducción en enseñanza matemáticas.
Pautas
Ejemplo 1: Muestre por razonamiento directo que el producto xy de dos enteros impares x e y siempre es impar.
Solución. Cualquier número impar, y en particular x, se puede escribir como x = 2 m + 1, donde m Z . Del mismo modo, y = 2 n + 1, n Z .
Por lo tanto, el producto xy = (2 m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2 mn+m+n ) + 1 también es un número impar.
Ejemplo 2: Sea n N . Muestre, usando el método inverso de demostración, que si n 2 es impar, entonces n es impar.
Solución. La negación del enunciado sobre el número impar. nº 2 es la declaración " nº 2 incluso", y la afirmación sobre la paridad norte es una negación del enunciado "el número norte impar." Por lo tanto, es necesario demostrar de manera directa que la paridad de un número norte implica la uniformidad de su cuadrado n2.
Como n es par, entonces n =2 m por algún entero m Por lo tanto, n 2 \u003d 4 m 2 \u003d 2 (2 m 2) es un número par.
Ejemplo 3: Muestre por contradicción que la solución de la ecuación x 2 = 2 es ir número racional, es decir, no se puede escribir como una fracción con numerador y denominador enteros.
Solución. Aquí debemos suponer que la solución x de la ecuación x 2 = 2 es racional, es decir, escrito como una fracción x = con números enteros m y n , y n 0. Asumiendo esto, necesitamos obtener una contradicción ya sea con la suposición o con algún hecho previamente probado.
Como sabes, un número racional se escribe de forma ambigua
en forma de fracción. Por ejemplo, x = == etc. Sin embargo, se puede considerar que m y n no tienen divisores comunes. En este caso, la ambigüedad del registro desaparece.
Entonces, además asumimos que la fracción x = es irreducible ( m y n no tienen divisores comunes). Por condición, el número x satisface la ecuación x 2 = 2. Por lo tanto, () 2 = 2, de donde m 2 = 2 n 2 .
De la última igualdad se sigue que el número m2 incluso. Como consecuencia, metro también es par y se puede representar como metro = 2p para algún entero p. Sustituyendo esta información en la ecuación m 2 \u003d 2 n 2 , obtenemos ese 4p 2 \u003d 2 n 2, es decir, n 2 \u003d 2p 2.
pero entonces n también es un número par. Así, hemos demostrado que m, y n- Números pares. Por lo tanto, tienen un divisor común de 2. Si ahora recordamos que asumimos la ausencia común divisor en el numerador y denominador de la fracción, veremos una clara contradicción.
La contradicción encontrada nos lleva a una conclusión inequívoca: la solución de la ecuación x 2 = 2 no puede ser un número racional, es decir, es irracional.
Ejemplo 4: Demostremos la siguiente igualdad por inducción (que, por supuesto, admite otras demostraciones):
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2.
Base. Para n = 1, la igualdad se convierte en la identidad 1 = 1 (1 + 1)/2.
Paso. Sea la igualdad válida para n = k: 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2.
Sumamos k + 1 a ambos lados de esta igualdad, en el lado izquierdo obtenemos la suma 1+2+3+...+k+(k+1),y a la derecha - k(k+1)/2+(k+1)=(k(k+1)+2(k+1))/2=((k+2)(k+1)) / 2.
Entonces, 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2, y esta es la igualdad requerida para n = k + 1, donde n significa arbitrario número natural.
preguntas de examen
- ¿Cuál es la diferencia entre prueba por razonamiento directo,lo contrario, de lo contrario?
- ¿Qué significa inducción matemática? Explicar el principio de inducción matemática.
Tareas individuales
1. Usando métodos de prueba:
1) Por razonamiento directo, probar la verdad del enunciado: n y m son números pares n + m es un número par.
2) Dar la prueba opuesta del enunciado: n 2 - número par n - par.
3) Demostrar por contradicción que n+m - número impar uno de los términos es par y el otro es impar.
2. Demostrar cada uno de los enunciados por inducción matemática.
1) 1 + 5 + 9 +…+(4 n - 3) = n (2 n 1) para todos números naturales norte.
2) 1 2 +2 2 +…+ norte 2 = norte (n +1)(2 norte +1)/6 para todos los números naturales norte.
3) re para todos los números naturales norte.
4) Número n 3 n es divisible por 3 para todos los valores naturales del número norte.
5) 1*1! + 2* 2!+…+- n * n ! = (n + 1)! 1 para todos los números naturales norte.
(El carácter n ! se lee como " n factorial" y denota el producto de todos los números naturales del 1 al n inclusive: n ! \u003d l * 2 * 3 *** (n - l) * n.)
1. Encuentra el error en la siguiente "prueba" de que todos los caballos son del mismo palo.
Probaremos el siguiente enunciado por inducción sobre n: "En cualquier manada de n estos son caballos, son todos del mismo palo". La base (n = 1) es obvia: en este caso todos los caballos son un solo caballo, obviamente es del mismo palo. Ш: Que todos los caballos de cualquier manada de k caballos tengan el mismo palo. Considere una manada de k + 1 caballos. Elegimos dos caballos a y b en él y consideramos los k – 1 caballos restantes. Hagamos una manada de estos caballos restantes agregando a. Hay k caballos en él, entonces, por la hipótesis de inducción, todos son del mismo palo. Así que el caballo a tiene el mismo palo que los demás caballos. Se prueba de manera similar que el caballo b tiene el mismo palo. Entonces todos los caballos k + 1 tienen el mismo palo. La afirmación ha sido probada.
2. En una hoja de papel cuadriculada infinita, 100 celdas están pintadas de negro y el resto de blanco. En un movimiento, se permite volver a pintar cuatro celdas que forman un cuadrado de 2x2 en el color opuesto. Demuestre que en unos pocos movimientos es posible lograr que todas las celdas sean blancas si y solo si cualquier horizontal y cualquier vertical contiene un número par de celdas negras.
La prueba "por lo contrario" (en latín "reductio ad absurdum") se caracteriza por el hecho de que el proceso mismo de probar una opinión se lleva a cabo mediante la refutación del juicio contrario. Se puede probar que una antítesis es falsa estableciendo el hecho de que es incompatible con una proposición verdadera.
Por lo general, dicho método se demuestra visualmente usando una fórmula donde A es la antítesis y B es la verdad. Si la solución resulta que la presencia de la variable A conduce a resultados diferentes a los de B, entonces se prueba que A es falsa.
Prueba "por contradicción" sin el uso de la verdad
También hay una prueba más fácil de la falsedad del "opuesto": la antítesis. Tal regla de fórmula dice: "Si surgiera una contradicción en la fórmula al resolver con la variable A, A es falsa". No importa si la antítesis es negativa o afirmativa. Además, una forma más simple de probar por contradicción contiene solo dos hechos: la tesis y la antítesis, la verdad B no se usa. Esto simplifica enormemente el proceso de prueba.
Apagogo
En el proceso de demostración por contradicción (que también se denomina "reducción al absurdo"), se suele utilizar la apagogía. Esta es una técnica lógica, cuyo propósito es probar la incorrección de cualquier juicio para que una contradicción se revele directamente en él o en las consecuencias derivadas de él. La contradicción puede expresarse en la identidad de objetos obviamente diferentes o como conclusiones: conjunción o pares B y no B (verdadero y no verdadero).
A menudo se utiliza la recepción de pruebas "por contradicción". En muchos casos, no es posible probar la incorrección de una sentencia de otra manera. Además de la apagogía, también existe una forma paradójica de prueba por contradicción. Esta forma fue utilizada en los "Elementos" de Euclides y representa la siguiente regla: A se considera probado si es posible demostrar la "verdadera falsedad" de A.
Así, el proceso de la prueba por contradicción (también llamada prueba indirecta y apogógica) es el siguiente. Se esgrime una opinión contraria, se deducen consecuencias de esta antítesis, entre las cuales se busca lo falso. Encuentran pruebas de que entre las consecuencias sí hay una falsa. De esto se concluye que la antítesis es incorrecta, y dado que la antítesis es incorrecta, se sigue la conclusión lógica de que la verdad está contenida en la tesis.