Thyesë në një fuqi thyesore. Ngritja e një thyese algjebrike në një fuqi

Një thyesë është raporti i numëruesit me emëruesin, dhe emëruesi nuk duhet të jetë i barabartë me zero, dhe numëruesi mund të jetë çdo gjë.

Kur ngremë ndonjë thyesë në një fuqi arbitrare, ne duhet të ngremë veçmas numëruesin dhe emëruesin e thyesës në këtë fuqi, pas së cilës duhet t'i numërojmë këto fuqi dhe kështu të marrim thyesën e ngritur në fuqi.

Për shembull:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 / 3) · (2 / 3) = 2^3 / 3^3

Shkallë negative

Nëse kemi të bëjmë me një shkallë negative, atëherë së pari duhet të "Kthejmë thyesën" dhe vetëm pastaj ta ngremë atë në një shkallë sipas rregullit të shkruar më sipër.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Shkalla e shkronjave

Kur punoni me vlera letrare si "x" dhe "y", fuqizimi ndjek të njëjtin rregull si më parë.

Ne gjithashtu mund ta testojmë veten duke ngritur fraksionin ½ në fuqinë e 3-të, si rezultat i së cilës marrim ½ * ½ * ½ = 1/8, që në thelb është e njëjtë me

Shkallëzim fjalë për fjalë x^y

Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave me fuqi

Nëse i shumëzojmë fuqitë me baza të njëjta, atëherë vetë baza mbetet e njëjtë dhe shtojmë eksponentët. Nëse ndajmë gradat me në të njëjtat arsye, atëherë baza e shkallës gjithashtu mbetet e njëjtë dhe eksponentët zbriten.

Kjo mund të tregohet shumë lehtë me një shembull:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Mund të merrnim të njëjtën gjë nëse thjesht ngrinim emëruesin dhe numëruesin në fuqinë e 3 dhe 4 veç e veç.

Ngritja e një fraksioni me një fuqi në një fuqi tjetër

Kur ngremë një fraksion që është tashmë në një fuqi përsëri në një fuqi, fillimisht duhet të bëjmë fuqizimin e brendshëm dhe më pas të kalojmë në pjesën e jashtme të fuqisë. Me fjalë të tjera, ne thjesht mund t'i shumëzojmë këto fuqi dhe ta ngremë fraksionin në fuqinë që rezulton.

Për shembull:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Ngritur në një, rrënjë katrore

Gjithashtu nuk duhet të harrojmë se ngritja e absolutisht çdo fraksioni në fuqinë zero do të na japë 1, ashtu si çdo numër tjetër kur ngrihet në një fuqi. e barabartë me zero marrim 1.

Rrënja katrore e zakonshme mund të shprehet edhe si fuqi e një thyese

Rrënja katrore 3 = 3^(1/2)

Nëse kemi të bëjmë me rrënjën katrore nën të cilën ndodhet thyesa, atëherë mund të imagjinojmë këtë thyesë në numëruesin e së cilës do të jetë një rrënjë katrore e shkallës së 2-të (pasi është rrënjë katrore)

Dhe emëruesi do të përmbajë edhe rrënjën katrore, d.m.th. me fjalë të tjera, do të shohim marrëdhënien e dy rrënjëve, kjo mund të jetë e dobishme për zgjidhjen e disa problemeve dhe shembujve.

Nëse thyesën që është nën rrënjën katrore e ngremë në fuqinë e dytë, fitojmë të njëjtën thyesë.

Prodhimi i dy fraksioneve me të njëjtën fuqi do të jetë i barabartë me produktin e këtyre dy fraksioneve, secila prej të cilave veç e veç do të jetë nën fuqinë e vet.

Mbani mend: nuk mund të pjesëtoni me zero!

Gjithashtu, mos harroni për një shënim shumë të rëndësishëm për një fraksion të tillë si emëruesi nuk duhet të jetë i barabartë me zero. Në të ardhmen, në shumë ekuacione do të përdorim këtë kufizim, të quajtur ODZ - diapazoni i vlerave të lejueshme

Kur krahasojmë dy thyesa me të njëjtën bazë, por fuqi të ndryshme, më i madhi do të jetë fraksioni, fuqia e të cilit është më e madhe, dhe më e vogla do të jetë ajo me fuqi më të vogël; nëse jo vetëm bazat, por edhe fuqitë janë të barabarta, thyesa konsiderohet e njëjtë.

Shpejtësia është një veprim i lidhur ngushtë me shumëzimin; ky operacion është rezultat i shumëzimit të përsëritur të një numri në vetvete. Le ta paraqesim me formulën: a1 * a2 * … * an = an.

Për shembull, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Në përgjithësi, eksponentimi përdoret shpesh në formula të ndryshme në matematikë dhe fizikë. Ky funksion ka një qëllim më shkencor se katër kryesoret: Mbledhja, Zbritja, Shumëzimi, Pjesëtimi.

Ngritja e një numri në një fuqi

Ngritja e një numri në një fuqi nuk është një operacion i komplikuar. Ajo lidhet me shumëzimin në një mënyrë të ngjashme me marrëdhënien midis shumëzimit dhe mbledhjes. Shënimi an është një shënim i shkurtër i numrit të n-të të numrave "a" të shumëzuar me njëri-tjetrin.

Konsideroni më së shumti fuqizimin shembuj të thjeshtë, duke kaluar në ato komplekse.

Për shembull, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Katër katror (në fuqinë e dytë) është i barabartë me gjashtëmbëdhjetë. Nëse nuk e kuptoni shumëzimin 4 * 4, atëherë lexoni artikullin tonë rreth shumëzimit.

Le të shohim një shembull tjetër: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pesë kube (në fuqinë e tretë) është e barabartë me njëqind e njëzet e pesë.

Një shembull tjetër: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Nëntë kubik është i barabartë me shtatëqind e njëzet e nëntë.

Formulat e fuqizimit

Për të ngritur saktë një fuqi, duhet të mbani mend dhe të njihni formulat e dhëna më poshtë. Nuk ka asgjë shtesë të natyrshme në këtë, gjëja kryesore është të kuptoni thelbin dhe atëherë ato jo vetëm që do të mbahen mend, por edhe do të duken të lehta.

Ngritja e një monomi në një fuqi

Çfarë është një monom? Ky është një produkt i numrave dhe variablave në çdo sasi. Për shembull, dy është një monom. Dhe ky artikull ka të bëjë pikërisht me ngritjen e monomeve të tilla në pushtet.

Duke përdorur formulat për fuqizim, nuk do të jetë e vështirë të llogaritet fuqia e një monomi.

Për shembull, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Nëse e ngrini një monom në një fuqi, atëherë çdo përbërës i monomit ngrihet në një fuqi.

Duke ngritur një ndryshore që tashmë ka një fuqi në një fuqi, fuqitë shumëzohen. Për shembull, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Ngritja në një fuqi negative

Shkalla negative - numër reciprok. Cili është numri reciprok? Reciproku i çdo numri X është 1/X. Domethënë X-1=1/X. Ky është thelbi i shkallës negative.

Shqyrtoni shembullin (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Pse eshte ajo? Meqenëse ka një minus në shkallë, ne thjesht e transferojmë atë në emërues kjo shprehje, dhe pastaj ngrijeni atë në fuqinë e tretë. E thjeshtë apo jo?

Ngritja në një fuqi të pjesshme

Le të fillojmë ta shqyrtojmë çështjen në shembull specifik. 43/2. Çfarë do të thotë shkalla 3/2? 3 - numërues, nënkupton ngritjen e një numri (në këtë rast 4) në një kub. Numri 2 është emëruesi; është nxjerrja e rrënjës së dytë të një numri (në këtë rast, 4).

Pastaj marrim rrënjën katrore 43 = 2^3 = 8. Përgjigje: 8.

Pra, emëruesi i një shkalle thyesore mund të jetë ose 3 ose 4 ose çdo numër deri në pafundësi, dhe ky numër përcakton shkallën rrenja katrore, i nxjerrë nga një numër i caktuar. Natyrisht, emëruesi nuk mund të jetë zero.

Ngritja e një rrënjë në një fuqi

Nëse rrënja është ngritur në një fuqi, në mënyrë të barabartë vetë rrënja, atëherë përgjigja do të jetë shprehja radikale. Për shembull, (√x)2 = x. Dhe kështu në çdo rast, shkalla e rrënjës dhe shkalla e ngritjes së rrënjës janë të barabarta.

Nëse (√x)^4. Pastaj (√x)^4=x^2. Për të kontrolluar zgjidhjen, ne e shndërrojmë shprehjen në një shprehje me fuqi thyesore. Meqenëse rrënja është katrore, emëruesi është 2. Dhe nëse rrënja është ngritur në fuqinë e katërt, atëherë numëruesi është 4. Marrim 4/2=2. Përgjigje: x = 2.

Gjithsesi opsioni më i mirë thjesht shndërroni shprehjen në një shprehje me fuqi thyesore. Nëse thyesa nuk anulohet, atëherë kjo është përgjigja, me kusht që rrënja e numrit të dhënë të mos jetë e izoluar.

Ngritja e një numri kompleks në fuqi

Çfarë është një numër kompleks? Një numër kompleks është një shprehje që ka formulën a + b * i; a, b janë numra realë. i është një numër që, kur vihet në katror, jep numrin -1.

Le të shohim një shembull. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Regjistrohuni në kursin "Përshpejtoni aritmetikën mendore, JO aritmetikën mendore" për të mësuar se si të mblidhni, zbrisni, shumëzoni, pjesëtoni, katrorë numrat dhe madje të nxirrni rrënjët shpejt dhe saktë. Në 30 ditë, do të mësoni se si të përdorni truket e thjeshta për të thjeshtuar veprimet aritmetike. Çdo mësim përmban teknika të reja, shembuj të qartë dhe detyra të dobishme.

Eksponimi në internet

Duke përdorur kalkulatorin tonë, mund të llogarisni ngritjen e një numri në një fuqi:

Shpallja e klasës së 7-të

Nxënësit e shkollës fillojnë të ngrihen në fuqi vetëm në klasën e shtatë.

Për shembull, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Shembuj për zgjidhje:

Prezantimi eksponencial

Prezantim mbi ngritjen e fuqive, projektuar për nxënësit e klasës së shtatë. Prezantimi mund të sqarojë disa pika të paqarta, por këto pika ndoshta nuk do të pastrohen falë artikullit tonë.

Fundi

Ne kemi parë vetëm majën e ajsbergut, për të kuptuar më mirë matematikën - regjistrohuni në kursin tonë: Përshpejtimi i aritmetikës mendore - JO aritmetika mendore.

Nga kursi jo vetëm që do të mësoni dhjetëra teknika të shumëzimit të thjeshtuar dhe të shpejtë, mbledhjes, shumëzimit, pjesëtimit dhe llogaritjes së përqindjeve, por do t'i praktikoni edhe në detyra të veçanta dhe lojëra edukative! Aritmetika mendore gjithashtu kërkon shumë vëmendje dhe përqendrim, të cilat stërviten në mënyrë aktive kur zgjidhin probleme interesante.

Ne kuptuam se çfarë është në të vërtetë fuqia e një numri. Tani duhet të kuptojmë se si ta llogarisim saktë, d.m.th. ngriti numrat në fuqi. Në këtë material do të analizojmë rregullat bazë për llogaritjen e shkallëve në rastin e eksponentëve të plotë, natyrorë, thyesorë, racionalë dhe irracionalë. Të gjitha përkufizimet do të ilustrohen me shembuj.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Koncepti i fuqizimit

Le të fillojmë duke formuluar përkufizimet bazë.

Përkufizimi 1

Përhapja- kjo është llogaritja e vlerës së fuqisë së një numri të caktuar.

Kjo do të thotë, fjalët "llogaritja e vlerës së një fuqie" dhe "rritja në një fuqi" nënkuptojnë të njëjtën gjë. Pra, nëse problemi thotë "Ngritni numrin 0, 5 në fuqinë e pestë", kjo duhet të kuptohet si "llogaritni vlerën e fuqisë (0, 5) 5.

Tani ne paraqesim rregullat themelore që duhet të ndiqen kur bëni llogaritje të tilla.

Le të kujtojmë se çfarë është fuqia e një numri tregues natyror. Për një fuqi me bazë a dhe eksponent n, ky do të jetë prodhimi i numrit të n-të të faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a. Kjo mund të shkruhet kështu:

Për të llogaritur vlerën e një shkalle, duhet të kryeni një veprim shumëzimi, domethënë të shumëzoni bazat e shkallës me numrin e caktuar të herë. Vetë koncepti i një shkalle me një eksponent natyror bazohet në aftësinë për t'u shumëzuar shpejt. Le të japim shembuj.

Shembulli 1

Gjendja: ngritja - 2 në fuqi 4.

Zgjidhje

Duke përdorur përkufizimin e mësipërm, shkruajmë: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Më pas, ne vetëm duhet të ndjekim këto hapa dhe të marrim 16.

Le të marrim një shembull më të ndërlikuar.

Shembulli 2

Llogaritni vlerën 3 2 7 2

Zgjidhje

Kjo hyrje mund të rishkruhet si 3 2 7 · 3 2 7 . Më parë, ne shikuam se si të shumëzojmë saktë numrat e përzier të përmendur në kusht.

Le të kryejmë këto hapa dhe të marrim përgjigjen: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Nëse problemi tregon nevojën për të rritur numrat irracionalë në shkallë natyrore, fillimisht do të na duhet të rrumbullakojmë bazat e tyre në një shifër që do të na lejojë të marrim një përgjigje të saktësisë së kërkuar. Le të shohim një shembull.

Shembulli 3

Kryeni katrorin e π.

Zgjidhje

Së pari, le ta rrumbullakojmë atë në të qindtat. Pastaj π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Nëse π ≈ 3. 14159, atëherë marrim një rezultat më të saktë: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Vini re se nevoja për të llogaritur fuqitë e numrave irracionalë lind relativisht rrallë në praktikë. Më pas mund ta shkruajmë përgjigjen si vetë fuqia (ln 6) 3, ose të konvertojmë nëse është e mundur: 5 7 = 125 5 .

Më vete, duhet të tregohet se cila është fuqia e parë e një numri. Këtu thjesht mund të mbani mend se çdo numër i ngritur në fuqinë e parë do të mbetet vetë:

Kjo duket qartë nga regjistrimi .

Nuk varet nga shkalla.

Shembulli 4

Pra, (− 9) 1 = − 9, dhe 7 3 e ngritur në fuqinë e parë do të mbetet e barabartë me 7 3.

Për lehtësi, do të shqyrtojmë tre raste veç e veç: nëse eksponenti është një numër i plotë pozitiv, nëse është zero dhe nëse është një numër i plotë negativ.

Në rastin e parë, kjo është njësoj si ngritja në një fuqi natyrore: në fund të fundit, numrat e plotë pozitiv i përkasin grupit të numrave natyrorë. Ne kemi folur tashmë më lart se si të punojmë me diploma të tilla.

Tani le të shohim se si të ngrihet saktë në fuqinë zero. Për një bazë të ndryshme nga zero, kjo llogaritje jep gjithmonë 1. Ne kemi shpjeguar tashmë më herët se fuqia 0 e a mund të përcaktohet për çdo numër real, jo e barabartë me 0, dhe a 0 = 1.

Shembulli 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nuk është përcaktuar.

Na mbetet vetëm rasti i një shkalle me një eksponent negativ numër të plotë. Ne kemi diskutuar tashmë se shkallë të tilla mund të shkruhen si një thyesë 1 a z, ku a është çdo numër dhe z është një numër i plotë negativ. Ne shohim se emëruesi i kësaj thyese nuk është gjë tjetër veçse një fuqi e zakonshme me një eksponent pozitiv të numrit të plotë dhe tashmë kemi mësuar se si ta llogarisim atë. Le të japim shembuj të detyrave.

Shembulli 6

Ngrini 3 në fuqi - 2.

Zgjidhje

Duke përdorur përkufizimin e mësipërm, ne shkruajmë: 2 - 3 = 1 2 3

Le të llogarisim emëruesin e kësaj thyese dhe të marrim 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Atëherë përgjigja është: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Shembulli 7

Ngrini 1.43 në fuqinë -2.

Zgjidhje

Le të riformulojmë: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Njehsojmë katrorin në emërues: 1,43·1,43. Dhjetorët mund të shumëzohen në këtë mënyrë:

Si rezultat, morëm (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Gjithçka që duhet të bëjmë është ta shkruajmë këtë rezultat në formën e një thyese të zakonshme, për të cilën duhet ta shumëzojmë me 10 mijë (shiko materialin për shndërrimin e thyesave).

Përgjigje: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Një rast i veçantë është ngritja e një numri në fuqinë e parë minus. Vlera e kësaj shkalle është e barabartë me reciprocitetin e vlerës fillestare të bazës: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Shembulli 8

Shembull: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Si të ngrini një numër në një fuqi thyesore

Për të kryer këtë operacion duhet të mbajmë mend përkufizimi bazë fuqitë me një eksponent thyesor: a m n = a m n për çdo a pozitiv, numër të plotë m dhe n natyror.

Përkufizimi 2

Kështu, llogaritja e një fuqie thyesore duhet të kryhet në dy hapa: ngritja në një fuqi numër të plotë dhe gjetja e rrënjës së fuqisë së n-të.

Kemi barazinë a m n = a m n , e cila, duke marrë parasysh vetitë e rrënjëve, zakonisht përdoret për zgjidhjen e problemeve në formën a m n = a n m . Kjo do të thotë që nëse e ngremë një numër në një fuqi thyesore m / n, atëherë së pari marrim rrënjën e n-të të a, pastaj e ngremë rezultatin në një fuqi me një eksponent numër të plotë m.

Le ta ilustrojmë me një shembull.

Shembulli 9

Llogaritni 8 - 2 3 .

Zgjidhje

Metoda 1: Sipas përkufizimit bazë, ne mund ta paraqesim këtë si: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Tani le të llogarisim shkallën nën rrënjë dhe nxjerrim rrënjën e tretë nga rezultati: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Transformoni barazinë bazë: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Pas kësaj, nxjerrim rrënjën 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 dhe katrore rezultatin: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Ne shohim se zgjidhjet janë identike. Ju mund ta përdorni atë në çdo mënyrë që ju pëlqen.

Ka raste kur diploma ka një tregues të shprehur numër i përzier ose dhjetore. Për lehtësinë e llogaritjeve, është më mirë ta zëvendësoni atë fraksion i zakonshëm dhe numëroni si më sipër.

Shembulli 10

Ngrini 44, 89 në fuqinë 2, 5.

Zgjidhje

Le ta transformojmë vlerën e treguesit në një fraksion të zakonshëm - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Tani kryejmë me radhë të gjitha veprimet e treguara më sipër: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 1 = 25107 501, 25107

Përgjigje: 13 501, 25107.

Nëse numëruesi dhe emëruesi i një eksponenti thyesor përmbajnë numra të mëdhenj, atëherë llogaritja e fuqive të tilla me eksponentë racional është një punë mjaft e vështirë. Zakonisht kërkon teknologji kompjuterike.

Le të ndalemi veçmas në fuqitë me një bazë zero dhe një eksponent thyesor. Një shprehje e formës 0 m n mund t'i jepet kuptimi i mëposhtëm: nëse m n > 0, atëherë 0 m n = 0 m n = 0; nëse m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Si të ngrini një numër në një fuqi joracionale

Nevoja për të llogaritur vlerën e fuqisë eksponenti i së cilës është numër irracional, nuk ndodh shumë shpesh. Në praktikë, detyra zakonisht kufizohet në llogaritjen e një vlere të përafërt (deri në një numër të caktuar të numrave dhjetorë). Kjo zakonisht llogaritet në një kompjuter për shkak të kompleksitetit të llogaritjeve të tilla, kështu që ne nuk do të ndalemi në këtë në detaje, ne do të tregojmë vetëm dispozitat kryesore.

Nëse duhet të llogarisim vlerën e një fuqie a me një eksponent irracional a, atëherë marrim përafrimin dhjetor të eksponentit dhe numërojmë prej tij. Rezultati do të jetë një përgjigje e përafërt. Sa më i saktë të jetë përafrimi dhjetor, aq më e saktë është përgjigja. Le të tregojmë me një shembull:

Shembulli 11

Llogaritni vlerën e përafërt të 21, 174367....

Zgjidhje

Le të kufizohemi në përafrimin dhjetor a n = 1, 17. Le të bëjmë llogaritjet duke përdorur këtë numër: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Nëse marrim, për shembull, përafrimin a n = 1, 1743, atëherë përgjigja do të jetë pak më e saktë: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Tema bazohet në faktin se duhet të shumëzojmë thyesa të barabarta. Ky artikull do t'ju tregojë se çfarë rregulli duhet të përdorni për të ngritur saktë thyesat algjebrike në një fuqi natyrore.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rregulli për ngritjen e një thyese algjebrike në një fuqi, vërtetimi i tij

Para se të filloni të ngriheni në një fuqi, duhet të thelloni njohuritë tuaja me ndihmën e një artikulli për një fuqi me një eksponent natyror, ku ka një produkt të faktorëve identikë që janë në bazën e fuqisë dhe numri i tyre përcaktohet. nga eksponenti. Për shembull, numri 2 3 = 2 2 2 = 8.

Kur ngrihemi në një pushtet, ne më së shpeshti përdorim rregullin. Për ta bërë këtë, ngrini numëruesin dhe emëruesin veçmas në një fuqi. Le të shohim shembullin 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9. Rregulli zbatohet për ngritjen e një fraksioni në një fuqi natyrore.

Në ndërtimi thyesa algjebrike ne miresi marrim një të re, ku numëruesi ka fuqinë e thyesës origjinale, dhe emëruesi ka fuqinë e emëruesit. E gjithë kjo duket si a b n = a n b n , ku a dhe b janë polinome arbitrare, b është jozero dhe n është një numër natyror.

Vërtetimi i këtij rregulli shkruhet në formën e një thyese, e cila duhet të rritet në një fuqi, bazuar në vetë përkufizimin me një eksponent natyror. Pastaj fitojmë shumëzimin e thyesave të formës a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . · b = a n b n

Shembuj, zgjidhje

Rregulli për ngritjen e një thyese algjebrike në një fuqi kryhet në mënyrë sekuenciale: së pari numëruesi, pastaj emëruesi. Kur ka një polinom në numërues dhe emërues, atëherë vetë detyra do të reduktohet në ngritjen e polinomit të dhënë në një fuqi. Pas së cilës do të tregohet një fraksion i ri, i cili është i barabartë me atë origjinal.

Shembulli 1

Katror thyesën x 2 3 · y · z 3.

Zgjidhje

Është e nevojshme të rregullohet shkalla x 2 3 · y · z 3 2 . Duke përdorur rregullin për ngritjen e një thyese algjebrike në një fuqi, marrim një barazi të formës x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Tani është e nevojshme të konvertohet fraksioni që rezulton në një formë algjebrike duke e ngritur atë në një fuqi. Pastaj marrim një shprehje të formës

x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Të gjitha rastet e fuqizimit nuk kërkojnë një shpjegim të detajuar, kështu që vetë zgjidhja ka një shënim të shkurtër. Kjo është, ne e kuptojmë atë

x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Përgjigje: x 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6 .

Nëse numëruesi dhe emëruesi kanë polinome, atëherë është e nevojshme të ngrihet e gjithë fraksioni në një fuqi dhe më pas të përdoren formulat e shkurtuara të shumëzimit për ta thjeshtuar atë.

Shembulli 2

Katror thyesën 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y.

Zgjidhje

Nga rregulli e kemi atë

2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2

Për të transformuar shprehjen, duhet të përdorni formulën për katrorin e shumës së tre termave në emërues, dhe në numërues - katrorin e diferencës, gjë që do të thjeshtojë shprehjen. Ne marrim:

2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 · x 2 · 3 · x · y + 2 · x 2 · (- y) + 2 · 3 · x · y · - y = = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 vjet - 6 x y 2

Përgjigje: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 · x 2 · y - 6 · x · y 2

Vini re se kur ngremë një fraksion që nuk mund ta zvogëlojmë në një fuqi natyrore, marrim gjithashtu një fraksion të pakalueshëm. Kjo nuk e bën më të lehtë zgjidhjen më vonë. Kur një thyesë e caktuar mund të zvogëlohet, atëherë kur ngritet në një fuqi, gjejmë se është e nevojshme të kryhet një reduktim i thyesës algjebrike, në mënyrë që të shmanget kryerja e një zvogëlimi pas ngritjes në një fuqi.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Udhëzimet

Nëse origjinali jepet në formatin e një fraksioni të zakonshëm, atëherë operacioni duhet të kryhet në dy hapa. Sekuenca e tyre nuk do të ndikojë në asnjë mënyrë në rezultat - filloni, për shembull, duke nxjerrë nga numri rrënjën e shkallës që tregohet në emëruesin e fraksionit. Për shembull, për të ndërtuar shkallë⅔ numri 64 në këtë hap duhet të nxirret prej tij: 64^⅔ = (³√64)² = 4².

Ngritni vlerën e marrë në hapin e parë në shkallë, i barabartë me numrin në numëruesin e thyesës. Rezultati i këtij operacioni do të jetë rezultat i rritjes së numrit në një fraksion shkallë. Për shembullin nga hapi i mëparshëm, i gjithë kursi i llogaritjeve mund të shkruhet si më poshtë: 64^⅔ = (³√64)² = 4² = 16.

Bazuar në thjeshtësinë e llogaritjeve gjatë përcaktimit të sekuencës së operacioneve të mësipërme të nxjerrjes së rrënjës dhe ngritjes së saj në shkallë. Për shembull, nëse do të kërkohej në të njëjtën gjë shkallë⅔ për të ngritur numrin 8, atëherë duke filluar me rrënjën kubike të tetës do të ishte , pasi rezultati do të ishte i pjesshëm. Në këtë rast, është më mirë të filloni me 8 në katror, dhe më pas të merrni rrënjën e tretë të 64 dhe kështu të hiqni dorë nga vlerat thyesore të ndërmjetme: 8^⅔ = ³√(8²) = ³√64 = 4.

Nëse eksponenti në të dhënat burimore jepet në format dhjetore, pastaj filloni duke e kthyer atë në një fraksion dhe më pas ndiqni algoritmin e përshkruar më sipër. Për shembull, për të ngritur një numër në shkallë 0.75, transformojeni këtë shifër në një fraksion të përbashkët ¾, më pas merrni rrënjën e katërt dhe kuboni rezultatin.

Përdorni ndonjë nëse përparimi i llogaritjeve nuk ka rëndësi, por vetëm rezultati është i rëndësishëm. Ky mund të jetë gjithashtu një skenar i integruar në motorin e kërkimit Google - me ndihmën e tij, gjetja e vlerës së dëshiruar është edhe më e lehtë sesa përdorimi i kalkulatorit standard të Windows OS. Për shembull, për të ngritur numrin 15 në shkallë⅗ shkoni në faqja kryesore faqe dhe shkruani 15^(3/5) në fushën e pyetjes së kërkimit. Google do të shfaqë rezultatin e llogaritjeve të sakta deri në 8 karaktere edhe pa shtypur butonin e paraqitjes: 15^(3 / 5) = 5.07755639.

Burimet:

si të rritet në një fuqi thyesore

Diplomë numrat diskutohet në shkollë gjatë mësimeve të algjebrës. Në jetën reale, një operacion i tillë kryhet rrallë. Për shembull, kur llogaritet sipërfaqja e një katrori ose vëllimi i një kubi, përdoren gradë, sepse gjatësia, gjerësia dhe për një kub, lartësia - vlera të barabarta. Përndryshe, fuqizimi është më së shpeshti i natyrës së prodhimit të aplikuar.

Do t'ju duhet

Letër, stilolaps, kalkulator inxhinierik, tavolina të energjisë, produkte softuerike(për shembull, redaktuesi i fletëllogaritjes së Excel).

Udhëzimet

Kur punoni me numër negativ duhet të keni kujdes me shenjat. Duhet mbajtur mend se një fuqi çift (n) do të japë një shenjë plus, një fuqi tek do të japë një shenjë plus.
Për shembull
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

Shkallë zero (n = 0) nga çdo numrat do të jetë gjithmonë i barabartë me një.
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1Nëse n = 1, numri nuk ka nevojë të shumëzohet në vetvete.
do
7^1 = 7
329^1 = 329

Nëse n = 2, atëherë shkalla është një katror, nëse n = 3, shkalla quhet kub. Llogaritja e katrorit dhe kubit nga dhjetë numrat e parë është mjaft e lehtë. Por me rritjen numrat, i ngritur në një fuqi, dhe ndërsa vetë fuqia rritet, llogaritjet bëhen intensive të punës. Për llogaritjet e tilla, janë zhvilluar tabela të veçanta. Ekzistojnë gjithashtu makina llogaritëse dhe produkte softuerike speciale inxhinierike dhe online. Si softueri më i thjeshtë për operacione, mund të përdorni redaktuesin e fletëllogaritjes Excel.

Burimet:

http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html

Kur zgjidhen disa probleme teknike, mund të jetë e nevojshme të llogaritet rrënjë e treta gradë. Ndonjëherë ky numër quhet edhe rrënja e kubit. Rrënja e treta gradë Nga një numër i dhënë quhet një numër kubi (fuqia e tretë) i të cilit është i barabartë me atë të dhënë. Kjo do të thotë, nëse y - rrënjë e treta gradë numri x, atëherë duhet të plotësohet kushti i mëposhtëm: y?=x (x është e barabartë me kubin).

Do t'ju duhet

kalkulator ose kompjuter

Udhëzimet

Për të numëruar rrënjë gradë, përdorni kalkulatorin. Është e dëshirueshme që ky të mos jetë një kalkulator i zakonshëm, por një kalkulator i përdorur për llogaritjet inxhinierike. Sidoqoftë, edhe në këtë nuk do të gjeni një buton të veçantë për nxjerrjen e rrënjës. e treta gradë. Pra, përdorni një funksion për të ngritur një numër në një fuqi. Nxjerrja e rrënjëve e treta gradë korrespondon me ngritjen në fuqinë e 1/3 (një e treta).

Për të ngritur një numër në fuqinë 1/3, shkruani vetë numrin në tastierën e kalkulatorit. Më pas shtypni tastin "shprehje". Një buton i tillë, në varësi të llojit të kalkulatorit, mund të duket si xy (y është një mbishkrim). Meqenëse shumica e kalkulatorëve nuk kanë aftësinë për të punuar me numra të zakonshëm (jo dhjetorë), në vend të numrit 1/3, vendosni vlerën e përafërt të tij: 0.33. Për të marrë saktësi më të madhe të llogaritjes, duhet të rrisni numrin e "tre", për shembull, thirrni 0.333333333333333. Pastaj, klikoni butonin "=".

Për të numëruar rrënjë e treta gradë në , përdorni kalkulatorin standard të Windows. Procedura është plotësisht e ngjashme me atë të përshkruar në paragrafin e mëparshëm të udhëzimeve. E vetmja gjë janë butonat e fuqisë. Në një kalkulator "kompjuterik" duket si x^y.

Nëse rrënjë e treta gradë Nëse duhet ta bëni atë në mënyrë sistematike, atëherë përdorni MS Excel. Për të numëruar rrënjë e treta gradë në Excel, futni shenjën "=" në çdo qelizë dhe më pas zgjidhni "fx" - futni një funksion. Në dritaren që shfaqet, në listën "Zgjidh një funksion", zgjidhni rreshtin "SHKALLA". Klikoni butonin "OK". Në dritaren e sapo shfaqur, vendosni në rreshtin "Numri" vlerën e numrit nga i cili dëshironi të nxirrni rrënjë. Në rreshtin "Diplomë", shkruani numrin "1/3" dhe klikoni "OK". Vlera e dëshiruar e rrënjës kubike të numrit origjinal do të shfaqet në tabelë.

Në llogaritjet teknike dhe në zgjidhjen e shumë problemeve, ndonjëherë është e nevojshme rrënjë, domethënë, gjeni një numër kubi i të cilit është i barabartë me atë origjinal. Për të llogaritur vlerën e rrënjës së kubit, mjafton një kalkulator inxhinierik. Sidoqoftë, edhe në një kalkulator të tillë nuk ka një çelës të veçantë për llogaritjen e rrënjës së kubit. Por duke përdorur disa truke të thjeshta, mund të bëni pa një buton të tillë.

Do t'ju duhet

kalkulator inxhinierik ose kompjuter

Udhëzimet

Për të gjetur rrënjën e kubit duke përdorur një kalkulator, merrni një kalkulator inxhinierik dhe shkruani numrin origjinal në të. Pastaj, klikoni në butonin e fuqizimit. Tani vendosni vlerën e treguesit. Në këtë rast, ajo (teorikisht) duhet të jetë e barabartë me 1/3. Por, meqenëse përdorimi i fraksioneve të zakonshme edhe në një kalkulator inxhinierik është i vështirë, atëherë vendosni vlerën e rrumbullakosur të numrit 1/3, domethënë: 0.33. Pastaj klikoni në butonin "=". Vlera e dëshiruar do të shfaqet në treguesin e kalkulatorit. Për të marrë një vlerë më të saktë, shkruani jo dy treshe, por, për shembull, 0.333333333333.

Për të llogaritur rrënjën e kubit në kompjuterin tuaj, ekzekutoni programin llogaritës. Nëse ikona përkatëse nuk është në desktopin tuaj, bëni sa më poshtë:
- klikoni në butonin "Fillimi";
- zgjidhni artikullin e menysë "Run";
- shkruani rreshtin "calc" në dritaren që shfaqet Nëse kalkulatori që shfaqet në desktop ka një pamje normale (i ngjan një "llogaritëse kontabiliteti"), atëherë kaloni në modalitetin e llogaritjes. Për ta bërë këtë, zgjidhni rreshtin "View" dhe zgjidhni artikullin "Inxhinieri". Tani vendosni numrin nga i cili dëshironi të nxirrni rrënjën e kubit. Më pas shtypni butonin "x^y" në kalkulator. Tjetra, shkruani, për shembull, 0.33. Për të marrë një rezultat më të saktë, mund të vendosni një vlerë më të lartë të eksponentit, për shembull, 0.333333333333. Për të marrë një rezultat të saktë, vendosni eksponentin "1/3" në kllapa. Kjo do të thotë, shtypni butonat "(1/3)" me radhë.

Llogaritja në program Excel. Nisni vetë programin, klikoni butonin "=" dhe zgjidhni funksionin "SHKALLA". Pastaj vendosni numrin nga i cili dëshironi të nxirrni rrënjën e fuqisë. Pastaj, në dritaren tjetër që shfaqet, shkruani fraksionin "1/3" dhe klikoni butonin "Ok".

Video mbi temën

Burimet:

Si të llogaritni rrënjët e kubit

Gjatë zgjidhjes së problemeve aritmetike dhe algjebrike, ndonjëherë është e nevojshme të ndërtohet fraksioni V katrore. Mënyra më e lehtë për ta bërë këtë është kur fraksioni dhjetore - mjafton një kalkulator i rregullt. Megjithatë, nëse fraksioni i zakonshëm ose i përzier, atëherë kur rritet një numër i tillë në katrore Mund të shfaqen disa vështirësi.