"Vienādojumu risināšanas metodes augstākas pakāpes»
( Kiseļevska lasījumi)
Matemātikas skolotāja Afanasjeva L.A.
MKOU Verkhnekarahskas vidusskola
Gribanovska rajons, Voroņežas apgabals
2015. gads
gadā iegūtā matemātikas izglītība vidusskola, ir vissvarīgākā sastāvdaļa vispārējā izglītība Un vispārējā kultūra mūsdienu cilvēks.
Slavenais vācu matemātiķis Kurants rakstīja: “Vairāk nekā divus tūkstošus gadu matemātikas jomā bija nepieciešamas dažas, ne pārāk virspusējas, zināšanas. neatņemama sastāvdaļa katra izglītota cilvēka intelektuālajā uzskaitē." Un starp šīm zināšanām ne mazākā vieta ir spējai atrisināt vienādojumus.
Jau senos laikos cilvēki saprata, cik svarīgi ir iemācīties atrisināt algebriskos vienādojumus. Apmēram pirms 4000 gadiem Babilonijas zinātnieki apguva kvadrātvienādojuma risinājumu un atrisināja divu vienādojumu sistēmas, no kurām viena bija otrās pakāpes. Ar vienādojumu palīdzību tika risinātas dažādas mērniecības, arhitektūras un militāro lietu problēmas, uz tiem tika reducēti daudzi un dažādi prakses un dabaszinātņu jautājumi, jo precīzā matemātikas valoda ļauj vienkārši izteikt faktus un attiecības, kas teikts parastā valodā, var šķist mulsinoši un sarežģīti. Vienādojums viens no svarīgākajiem jēdzieniem matemātika. Vienādojumu risināšanas metožu izstrāde, sākot no matemātikas kā zinātnes dzimšanas, ilgu laiku bija galvenais algebras priekšmets. Un šodien matemātikas stundās, sākot ar pirmo izglītības posmu, risinot vienādojumus dažādi veidi tiek pievērsta liela uzmanība.
Nav universālas formulas n-tās pakāpes algebriskā vienādojuma sakņu atrašanai. Daudziem, protams, radās vilinoša ideja atrast jebkuru grādu n formulas, kas izteiktu vienādojuma saknes caur tā koeficientiem, tas ir, atrisinātu vienādojumu radikāļos. Tomēr “tumšie viduslaiki” saistībā ar apspriežamo problēmu izrādījās pēc iespējas drūmāki - veselus septiņus gadsimtus neviens neatrada vajadzīgās formulas! Tikai 16. gadsimtā itāļu matemātiķiem izdevās virzīties tālāk - atrast formulas n =3 Un n =4 . Tajā pašā laikā jautājums par vispārējs lēmums 3. pakāpes vienādojumus pētīja Scipio Dal Ferro, viņa skolnieks Fiori un Tartaglija. 1545. gadā tika izdota itāļu matemātiķa D. Kardano grāmata “Lielā māksla jeb Par algebras likumiem”, kurā līdzās citiem algebras jautājumiem aplūkotas vispārīgas metodes kubisko vienādojumu risināšanai, kā arī risināšanas metode. 4. pakāpes vienādojumus, atklājis viņa skolnieks L. Ferrari. Pilnīgu prezentāciju par jautājumiem, kas saistīti ar 3. līdz 4. pakāpes vienādojumu atrisināšanu, sniedza F. Viet. Un 19. gadsimta 20. gados norvēģu matemātiķis N. Ābels pierādīja, ka 5. un augstākas pakāpes vienādojumu saknes nevar izteikt ar radikāļiem.
Vienādojuma risinājumu atrašanas process parasti ietver vienādojuma aizstāšanu ar līdzvērtīgu. Vienādojuma aizstāšana ar līdzvērtīgu ir balstīta uz četru aksiomu izmantošanu:
1. Ja vienādos daudzumos palielināsies par tādu pašu skaitli, rezultāti būs vienādi.
2. Ja no vienādiem daudzumiem atņemat vienādu skaitli, rezultāti būs vienādi.
3. Ja vienādas vērtības tiek reizinātas ar to pašu skaitli, rezultāti būs vienādi.
4. Ja vienādus daudzumus dala ar vienādu skaitli, rezultāti būs vienādi.
Tā kā vienādojuma kreisā puse P(x) = 0 ir polinoms nth grādu, ir lietderīgi atgādināt šādus apgalvojumus:
Paziņojumi par polinoma saknēm un tā dalītājiem:
1. Polinoms n-tā pakāpe ir sakņu skaits, kas nepārsniedz n, un saknes ar daudzveidību m notiek tieši m reizes.
2. Nepāra pakāpes polinomam ir vismaz viena reāla sakne.
3. Ja α ir P(x) sakne, tad P n (x) = (x - α) Q n - 1 (x), kur Q n - 1 (x) ir pakāpes (n - 1) polinoms.
4. Katra polinoma vesela skaitļa sakne ar veselu skaitļu koeficientiem ir brīvā vārda dalītājs.
5. Reducētajam polinomam ar veselu skaitļu koeficientiem nevar būt daļēja racionāla sakne.
6. Trešās pakāpes polinomam
P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ir iespējama viena no divām lietām: vai nu tas tiek sadalīts trīs binomiālu reizinājumā
P 3 (x) = a (x - α) (x - β) (x - γ), vai sadalās binoma un kvadrātveida trinoma reizinājumā P 3 (x) = a (x - α) (x 2 + βx + γ).
7. Jebkuru ceturtās pakāpes polinomu var izvērst divu kvadrātveida trinomu reizinājumā.
8. Polinoms f (x) dalās ar polinomu g(x) bez atlikuma, ja ir tāds polinoms q(x), ka f(x) = g(x) q(x). Lai sadalītu polinomus, tiek izmantots “stūra dalīšanas” noteikums.
9. Lai polinoms P(x) būtu dalāms ar binomiālu (x – c), ir nepieciešams un pietiekami, ka c ir P(x) sakne (Bezout teorēmas sekas).
10. Vietas teorēma: Ja x 1, x 2, ..., x n ir polinoma reālās saknes
P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, tad spēkā ir šādas vienādības:
x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,
x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n = a 2 /a 0,
x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n = -a 3 /a 0,
x 1 x 2 x 3 x n = (-1) n a n / a 0 .
Risināšanas piemēri
1. piemērs . Atrodiet dalījuma atlikumu P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 ar (x – 1/3).
Risinājums. Saskaņā ar Bezout teorēmas secinājumu: "Polinoma atlikums, kas dalīts ar binomiju (x - c), ir vienāds ar c polinoma vērtību." Atradīsim P(1/3) = 0. Tāpēc atlikums ir 0 un skaitlis 1/3 ir polinoma sakne.
Atbilde: R = 0.
2. piemērs . Sadaliet ar “stūri” 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 ar (x + 2). Atrodiet atlikušo un nepilnīgo koeficientu.
Risinājums:
2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2
2x 3 + 4x 2 2x 2 – x
X 2 - 2x
X 2 - 2x
Atbilde: R = 3; koeficients: 2x 2 – x.
Augstākās pakāpes vienādojumu risināšanas pamatmetodes
1. Jauna mainīgā ieviešana
Jauna mainīgā ieviešanas metode ir tāda, ka, lai atrisinātu vienādojumu f (x) \u003d 0, tiek ieviests jauns mainīgais (aizvietojums) t \u003d x n vai t \u003d g (x) un f (x) tiek izteikts ar t. , iegūstot jaunu vienādojumu r (t) . Pēc tam, atrisinot vienādojumu r(t), tiek atrastas saknes: (t 1, t 2, ..., t n). Pēc tam tiek iegūta n vienādojumu kopa q(x) = t 1, q(x) = t 2, … , q(x) = t n, no kuras tiek atrastas sākotnējā vienādojuma saknes.
Piemērs;(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.
Risinājums: (x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.
(x 2 + x + 1) 2 – 3 (x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.
Aizstāšana (x 2 + x + 1) = t.
t 2 – 3t + 2 = 0.
t 1 = 2, t 2 = 1. Apgrieztā aizstāšana:
x 2 + x + 1 = 2 vai x 2 + x + 1 = 1;
x 2 + x - 1 = 0 vai x 2 + x = 0;
No pirmā vienādojuma: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, no otrā: 0 un -1.
Risināšanā tiek izmantota jauna mainīgā ieviešanas metode atgriežams vienādojumi, tas ir, vienādojumi formā a 0 x n + a 1 x n – 1 + .. + a n – 1 x + a n =0, kuros vienādojuma vārdu koeficienti, kas vienādi izvietoti no sākuma un beigām, ir vienādi.
2. Faktorizācija, grupējot un saīsinātās reizināšanas formulas
Pamats šī metode sastāv no terminu grupēšanas tā, lai katra grupa saturētu kopīgu faktoru. Lai to izdarītu, dažreiz ir nepieciešams izmantot dažus mākslīgus paņēmienus.
Piemērs: x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.
Risinājums. Iedomājieties - 3x 2 = -2x 2 - x 2 un grupējiet:
(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.
(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.
(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.
(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.
(x 2 – 1 – x + 2) (x 2 – 1 + x – 2) = 0.
(x 2 – x + 1) (x 2 + x – 3) = 0.
x 2 – x + 1 = 0 vai x 2 + x – 3 = 0.
Pirmajā vienādojumā nav sakņu, sākot no otrā: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.
3. Faktorizācija ar nenoteikto koeficientu metodi
Metodes būtība ir tāda, ka sākotnējais polinoms tiek faktorizēts ar nezināmiem koeficientiem. Izmantojot īpašību, ka polinomi ir vienādi, ja to koeficienti ir vienādi ar vienādām pakāpēm, tiek atrasti nezināmie izplešanās koeficienti.
Piemērs: x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.
Risinājums. 3. pakāpes polinomu var izvērst lineāro un kvadrātisko faktoru reizinājumā.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x - a) (x 2 + bx + c),
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (c – ab)x – ac.
Pēc sistēmas atrisināšanas:
mēs saņemam
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1) (x 2 + 3x + 2).
Vienādojuma (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 saknes ir viegli atrast.
Atbilde: -1; -2.
4. Saknes izvēles metode, izmantojot lielāko un brīvo koeficientu
Metode ir balstīta uz teorēmu piemērošanu:
1) Katra polinoma vesela skaitļa sakne ar veselu skaitļu koeficientiem ir brīvā vārda dalītājs.
2) Lai nereducējamā daļa p/q (p - vesels skaitlis, q - naturāls) būtu vienādojuma sakne ar veselu skaitļu koeficientiem, ir nepieciešams, lai skaitlis p būtu brīvā vārda a 0 vesels skaitļa dalītājs, un q - vadošā koeficienta dabiskais dalītājs.
Piemērs: 6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.
Risinājums:
2: p = ±1, ±2
6: q = 1, 2, 3, 6.
Tāpēc p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.
Atrodot vienu sakni, piemēram – 2, citas saknes atradīsim, izmantojot stūra dalījumu, nenoteikto koeficientu metodi vai Hornera shēmu.
Atbilde: -2; 1/2; 1/3.
5. Grafiskā metode.
Šī metode sastāv no grafiku konstruēšanas un funkciju īpašību izmantošanas.
Piemērs: x 5 + x – 2 = 0
Iedomāsimies vienādojumu formā x 5 = - x + 2. Funkcija y = x 5 pieaug, bet funkcija y = - x + 2 samazinās. Tas nozīmē, ka vienādojumam x 5 + x – 2 = 0 ir viena sakne -1.
6. Vienādojuma reizināšana ar funkciju.
Dažreiz algebriskā vienādojuma atrisināšana ir ievērojami vienkāršāka, ja abas puses reizina ar noteiktu funkciju - polinomu nezināmajā. Tajā pašā laikā mums jāatceras, ka var parādīties papildu saknes — polinoma saknes, ar kuru vienādojums tika reizināts. Tāpēc jums ir vai nu jāreizina ar polinomu, kuram nav sakņu, un jāiegūst līdzvērtīgs vienādojums, vai jāreizina ar polinomu, kuram ir saknes, un pēc tam katra no šīm saknēm ir jāaizstāj ar sākotnējo vienādojumu un jānosaka, vai šis skaitlis ir tā sakne.
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu:
X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1)
Risinājums: Reizinot abas vienādojuma puses ar polinomu X 2 + 1, kuram nav sakņu, iegūstam vienādojumu:
(X 2 +1) (X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1) = 0 (2)
ekvivalents (1) vienādojumam. Vienādojumu (2) var uzrakstīt šādi:
X 10 + 1 = 0 (3)
Ir skaidrs, ka (3) vienādojumam nav reālu sakņu, tāpēc (1) vienādojumam to nav.
Atbilde: risinājumu nav.
Papildus iepriekšminētajām augstākas pakāpes vienādojumu risināšanas metodēm ir arī citas. Piemēram, atlase pilns kvadrāts, Hornera diagramma, daļskaitļa attēlojums kā divas daļdaļas. No izplatītas metodes augstākas pakāpes vienādojumu atrisinājumi, kas sastopami visbiežāk, izmanto: vienādojuma kreisās puses faktorēšanas metodi;
mainīgā aizstāšanas metode (jauna mainīgā ieviešanas metode); grafiskais veids. Ar šīm metodēm iepazīstinām 9. klases skolēnus, apgūstot tēmu “Viss vienādojums un tā saknes”. Mācību grāmatā Algebra 9 (autori Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. un citi) pēdējos gados Publikācijā pietiekami detalizēti aplūkotas augstāku pakāpju vienādojumu risināšanas pamatmetodes. Turklāt sadaļā “Tiem, kas vēlas uzzināt vairāk”, manuprāt, pieejamā veidā ir sniegts materiāls par polinoma saknes teorēmu un visa vienādojuma veselām saknēm pielietošanu, risinot augstākas pakāpes vienādojumus. veidā. Labi sagatavoti skolēni ar interesi izpēta šo materiālu un pēc tam prezentē atrisinātos vienādojumus saviem klasesbiedriem.
Gandrīz viss, kas mūs ieskauj, vienā vai otrā pakāpē ir saistīts ar matemātiku. Un sasniegumi fizikā, tehnoloģijās, informāciju tehnoloģijas tikai apstipriniet to. Un ļoti svarīgi ir tas, ka daudzu praktisku problēmu risināšana ir saistīta ar dažāda veida vienādojumu atrisināšanu, kurus jums jāiemācās atrisināt.
Darba teksts ievietots bez attēliem un formulām.
Pilna versija darbs ir pieejams cilnē "Darba faili" PDF formātā
Ievads
Augstāku pakāpju algebrisko vienādojumu risināšana ar vienu nezināmo ir viens no grūtākajiem un senākajiem matemātikas uzdevumi. Ar šīm problēmām nodarbojās izcilākie senatnes matemātiķi.
N-tās pakāpes vienādojumu risināšana ir svarīgs mūsdienu matemātikas uzdevums. Par tiem ir diezgan liela interese, jo šie vienādojumi ir cieši saistīti ar tādu vienādojumu sakņu meklēšanu, kuri nav aplūkoti skolas matemātikas programmā.
Problēma: Skolēnu neprasme dažādos veidos risināt augstākas pakāpes vienādojumus, liedz sekmīgi sagatavoties gala atestācijai matemātikas un matemātikas olimpiādēs un mācībām specializētajā matemātikas klasē.
Uzskaitītie fakti noteica atbilstība mūsu darbs “Augstāku pakāpju vienādojumu risināšana”.
Zināšanas par vienkāršākajām n-tās pakāpes vienādojumu risināšanas metodēm samazina uzdevuma izpildes laiku, no kura atkarīgs darba rezultāts un mācību procesa kvalitāte.
Darba mērķis: pētot zināmās metodes augstākas pakāpes vienādojumu risināšanai un noteikt vispieejamākās no tām praktisks pielietojums.
Pamatojoties uz mērķi, darbā tiek definēts: uzdevumi:
Mācību literatūra un interneta resursi par šo tēmu;
Iepazīties ar vēstures faktiem, kas saistīti ar šo tēmu;
Aprakstiet dažādus veidus, kā atrisināt augstākas pakāpes vienādojumus
salīdziniet katra no tām sarežģītības pakāpi;
Iepazīstināt klasesbiedrus ar augstākas pakāpes vienādojumu risināšanas veidiem;
Izveidojiet vienādojumu izlasi katras aplūkotās metodes praktiskai pielietošanai.
Pētījuma objekts- augstākas pakāpes vienādojumi ar vienu mainīgo.
Studiju priekšmets- augstākas pakāpes vienādojumu risināšanas metodes.
Hipotēze: Nav vispārējas metodes vai viena algoritma, kas ļautu atrast n-tās pakāpes vienādojumu risinājumus ierobežotā soļu skaitā.
Pētījuma metodes:
- biblio grafiskā metode(literatūras analīze par pētāmo tēmu);
- klasifikācijas metode;
- kvalitatīvās analīzes metode.
Teorētiskā nozīme pētniecība sastāv no augstākas pakāpes vienādojumu risināšanas metožu sistematizēšanas un to algoritmu aprakstīšanas.
Praktiskā nozīme- iepazīstināja ar materiālu par šo tēmu un mācību līdzekļa izstrādi skolēniem par šo tēmu.
1. AUGSTĀKO GRĀDU VIENĀDĀJUMI
1.1. N-tās pakāpes vienādojuma jēdziens
1. definīcija. N-tās pakāpes vienādojums ir formas vienādojums
a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, kur koeficienti a 0, a 1, a 2…, a n -1, a n- jebkura reāli skaitļi, un ,a 0 ≠ 0 .
Polinoms a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n sauc par n-tās pakāpes polinomu. Koeficientus atšķir pēc nosaukumiem: a 0 - senioru koeficients; a n ir bezmaksas dalībnieks.
Definīcija 2. Dotā vienādojuma atrisinājumi vai saknes ir visas mainīgā vērtības X, kas pārvērš šo vienādojumu par patiesu skaitlisko vienādību vai, kuram polinomu a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n iet uz nulli. Šī mainīgā vērtība X sauc arī par polinoma sakni. Atrisināt vienādojumu nozīmē atrast visas tā saknes vai noteikt, ka tādu nav.
Ja a 0 = 1, tad šādu vienādojumu sauc par reducētu veselu skaitli racionāls vienādojums n th grāds.
Trešās un ceturtās pakāpes vienādojumiem ir Cardano un Ferrari formulas, kas izsaka šo vienādojumu saknes caur radikāļiem. Izrādījās, ka praksē tos izmanto reti. Tādējādi, ja n ≥ 3 un polinoma koeficienti ir patvaļīgi reāli skaitļi, tad vienādojuma sakņu atrašana nav viegls uzdevums. Tomēr daudzos īpašos gadījumos šī problēma tiek atrisināta līdz galam. Apskatīsim dažus no tiem.
1.2 Vēstures fakti augstākas pakāpes vienādojumu risināšana
Jau senos laikos cilvēki saprata, cik svarīgi ir iemācīties atrisināt algebriskos vienādojumus. Apmēram pirms 4000 gadiem Babilonijas zinātnieki zināja, kā atrisināt kvadrātvienādojumu un atrisināja divu vienādojumu sistēmas, no kurām viena bija otrās pakāpes. Ar augstāku pakāpju vienādojumu palīdzību tika risinātas dažādas mērniecības, arhitektūras un militāro lietu problēmas, uz tiem tika reducēti daudzi un dažādi prakses un dabaszinātņu jautājumi, jo precīzā matemātikas valoda ļauj vienkārši izteikt faktus un attiecības. , kas parastā valodā var šķist mulsinoši un sarežģīti.
Universāla formula algebriskā vienādojuma sakņu atrašanai n-tā nav grāda. Daudziem, protams, radās vilinoša ideja jebkurai n pakāpei atrast formulas, kas izteiktu vienādojuma saknes ar tā koeficientiem, tas ir, atrisinātu vienādojumu radikāļos.
Tikai 16. gadsimtā itāļu matemātiķiem izdevās virzīties tālāk - atrast formulas n = 3 un n = 4. Tajā pašā laikā Scipio, Dāls, Fero un viņa skolēni Fiori un Tartaglia pētīja jautājumu par vispārējo atrisinājumu. 3. pakāpes vienādojumi.
1545. gadā tika izdota itāļu matemātiķa D. Kardano grāmata “Lielā māksla jeb par algebras likumiem”, kurā līdzās citiem algebras jautājumiem aplūkotas vispārīgas metodes kubisko vienādojumu risināšanai, kā arī metode 4. pakāpes vienādojumu risināšana, atklājis viņa skolnieks L. Ferrari.
Ar 3. un 4. pakāpes vienādojumu atrisināšanu saistīto jautājumu pilnīgu izklāstu sniedza F. Vjets.
19. gadsimta 20. gados norvēģu matemātiķis N. Ābels pierādīja, ka piektās pakāpes vienādojumu saknes nevar izteikt ar radikāļiem.
Pētījums atklāja, ka mūsdienu zinātne Ir daudz veidu, kā atrisināt n-tās pakāpes vienādojumus.
Meklējot metodes augstākās pakāpes vienādojumu risināšanai, kurus nevar atrisināt ar skolas programmā aplūkotajām metodēm, tika iegūtas metodes, kas balstītas uz Vietas teorēmas pielietojumu (pakāpju vienādojumiem n>2), Bezout teorēmas, Hornera shēmas, kā arī Kardano un Ferrari formulas kubisko un kvartisko vienādojumu risināšanai.
Darbā tiek piedāvātas vienādojumu risināšanas metodes un to veidi, kas mums kļuva par atklājumu. Tie ietver nenoteikto koeficientu metodi, pilnas pakāpes izvēli, simetriskos vienādojumus.
2. VISU AUGSTĀKU GRĀDU VIENĀDĀJUMU RISINĀJUMS AR VESELS SKAITTU KOEFICIENTI
2.1. 3. pakāpes vienādojumu risināšana. Formula D. Cardano
Apsveriet formas vienādojumus x 3 +px+q=0. Pārveidosim vienādojumu vispārējs skats uz formu: x 3 +px 2 +qx+r=0. Pierakstīsim summas kuba formulu; Pievienosim to sākotnējai vienlīdzībai un aizstāsim ar y. Mēs iegūstam vienādojumu: y 3 + (q -) (y -) + (r - =0. Pēc pārvērtībām mums ir: y 2 +py + q=0. Tagad vēlreiz pierakstīsim summas kuba formulu:
(a+b) 3 =a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +b 3 =a 3 +b 3 + 3ab (a + b), aizvietot ( a+b) ieslēgts x, mēs iegūstam vienādojumu x 3 - 3abx - (a 3 +b 3) = 0. Tagad mēs varam redzēt, ka sākotnējais vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai: un, atrisinot sistēmu, mēs iegūstam:
Esam ieguvuši formulu iepriekš minētā 3.pakāpes vienādojuma atrisināšanai. Tam ir itāļu matemātiķa Cardano vārds.
Apskatīsim piemēru. Atrisiniet vienādojumu:.
Mums ir R= 15 un q= 124, tad, izmantojot Kardano formulu, mēs aprēķinām vienādojuma sakni
Secinājums: šī formula ir laba, bet nav piemērota visu kubisko vienādojumu risināšanai. Tajā pašā laikā tas ir apgrūtinoši. Tāpēc praksē to izmanto reti.
Bet ikviens, kurš pārzina šo formulu, var to izmantot, risinot trešās pakāpes vienādojumus vienotajā valsts eksāmenā.
2.2 Vietas teorēma
No matemātikas kursa mēs zinām šo kvadrātvienādojuma teorēmu, taču tikai daži cilvēki zina, ka to izmanto arī augstākas kārtas vienādojumu risināšanai.
Apsveriet vienādojumu:
Koetrēsim vienādojuma kreiso pusi un dalīsim ar ≠ 0.
Pārveidosim vienādojuma labo pusi uz formu
; No tā izriet, ka sistēmā varam ierakstīt šādas vienādības:
Formulas, ko Vjete atvasināja kvadrātvienādojumiem un mēs demonstrējām 3. pakāpes vienādojumiem, attiecas arī uz augstāku pakāpju polinomiem.
Atrisināsim kubisko vienādojumu:
Secinājums: šī metode universāls un pietiekami viegli saprotams, jo Vjetas teorēma viņiem ir pazīstama no skolas mācību programmas n. = 2. Tajā pašā laikā, lai, izmantojot šo teorēmu, atrastu vienādojumu saknes, jums ir jābūt labām skaitļošanas prasmēm.
2.3. Bezout teorēma
Šī teorēma ir nosaukta 18. gadsimta franču matemātiķa Ž. Bezū vārdā.
Teorēma. Ja vienādojums a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, kurā visi koeficienti ir veseli skaitļi, un brīvais termins nav nulle un tam ir vesela skaitļa sakne, tad šī sakne ir brīvā vārda dalītājs.
Ņemot vērā, ka vienādojuma kreisajā pusē ir n-tās pakāpes polinoms, teorēmai ir cita interpretācija.
Teorēma. Dalot n-tās pakāpes polinomu attiecībā pret x pēc binomāla x-a atlikusī daļa ir vienāda ar dividenžu vērtību, kad x = a. (vēstule a var apzīmēt jebkuru reālu vai iedomātu skaitli, t.i. jebkurš kompleksais skaitlis).
Pierādījums:ļaut f(x) apzīmē patvaļīgu n-tās pakāpes polinomu attiecībā pret mainīgo x un let, ja to dala ar binomu ( x-a) izrādījās privāti q(x), un pārējo R. Ir skaidrs, ka q(x) būs kāds polinoms (n - 1) pakāpe attiecībā pret x, un pārējais R būs nemainīga vērtība, t.i. neatkarīgi no x.
Ja atlikums R bija pirmās pakāpes polinoms attiecībā pret x, tad tas nozīmētu, ka dalīšana neizdevās. Tātad, R no x nav atkarīgs. Pēc sadalījuma definīcijas mēs iegūstam identitāti: f(x)=(x-a) q(x)+R.
Vienādība ir patiesa jebkurai x vērtībai, kas nozīmē, ka tā attiecas arī uz x=a, mēs iegūstam: f(a)=(a-a) q(a)+R. Simbols f(a) apzīmē polinoma f vērtību (x) plkst x=a, q(a) apzīmē vērtību q(x) plkst x=a. Atlikums R palika tāds pats kā iepriekš, jo R no x nav atkarīgs. Darbs ( x-a) q(a) = 0, jo faktors ( x-a) = 0, un reizinātājs q(a) ir noteikts skaits. Tāpēc no vienlīdzības mēs iegūstam: f(a)= R, utt.
1. piemērs. Atrodiet polinoma atlikušo daļu x 3 - 3x 2 + 6x- 5 par vienu binomiālu
x- 2. Pēc Bezout teorēmas : R=f(2) = 23-322 + 62 -5=3. Atbilde: R= 3.
Ņemiet vērā, ka Bezout teorēma ir svarīga ne tik daudz pati par sevi, cik tās sekām. (1.pielikums)
Apskatīsim dažus paņēmienus Bezout teorēmas pielietošanai praktisku problēmu risināšanā. Jāatzīmē, ka, risinot vienādojumus, izmantojot Bezout teorēmu, ir nepieciešams:
Atrodiet visus brīvā termiņa veselus skaitļu dalītājus;
Atrodiet no šiem dalītājiem vismaz vienu vienādojuma sakni;
Sadaliet vienādojuma kreiso pusi ar (Ha);
Vienādojuma kreisajā pusē pierakstiet dalītāja un koeficienta reizinājumu;
Atrisiniet iegūto vienādojumu.
Apskatīsim vienādojuma x risināšanas piemēru 3 + 4X 2 + x - 6 = 0 .
Risinājums: atrodiet brīvā termiņa dalītājus ±1 ; ± 2; ± 3; ± 6. Aprēķināsim vērtības pie x= 1, 1 3 + 41 2 + 1-6=0. Sadaliet vienādojuma kreiso pusi ar ( X- 1). Veicam sadalīšanu, izmantojot “stūri” un iegūstam:
Secinājums: Bezout teorēma ir viena no metodēm, ko mēs ņemam vērā mūsu darbā, kas pētīta izvēles nodarbību programmā. To ir grūti saprast, jo, lai to apgūtu, jums jāzina visas no tā izrietošās sekas, taču tajā pašā laikā Bezout teorēma ir viens no galvenajiem studentu palīgiem vienotajā valsts eksāmenā.
2.4. Hornera shēma
Lai dalītu polinomu ar binomu x-α jūs varat izmantot īpašu vienkāršu paņēmienu, ko izgudroja angļu matemātiķi 17. gadsimtā, vēlāk saukta par Hornera shēmu. Papildus vienādojumu sakņu atrašanai, izmantojot Hornera shēmu, jūs varat vienkāršāk aprēķināt to vērtības. Lai to izdarītu, mainīgā vērtība ir jāaizstāj ar polinomu Pn (x)=a 0 xn+a 1 x n-1 +a 2 xⁿ - ²+…++a n -1 x+a n. (1)
Apsveriet iespēju dalīt polinomu (1) ar binomālu x-α.
Izteiksim nepilnā koeficienta b koeficientus 0 xⁿ - ¹+ b 1 xⁿ - ²+ b 2 xⁿ - ³+…+ miljardus -1 un pārējais r izmantojot polinoma Pn( x) un numuru α. b 0 =a 0 , b 1 = α b 0 +a 1 , b 2 = α b 1 +a 2 …, miljardus -1 =
= α miljardus -2 +a n -1 = α miljardus -1 +a n .
Aprēķini, izmantojot Hornera shēmu, ir parādīti šajā tabulā:
|
A 0 |
a 1 |
a 2 , |
|||
|
b 0 =a 0 |
b 1 = α b 0 +a 1 |
b 2 = α b 1 +a 2 |
r=α b n-1 +a n |
Tāpēc ka r = Pn(α), tad α ir vienādojuma sakne. Lai pārbaudītu, vai α ir daudzkārtēja sakne, koeficientam b var piemērot Hornera shēmu 0 x+ b 1 x+…+ miljardus -1 saskaņā ar tabulu. Ja kolonnā zem bn -1 rezultāts atkal ir 0, kas nozīmē, ka α ir daudzkārtēja sakne.
Apskatīsim piemēru: atrisiniet vienādojumu X 3 + 4X 2 + x - 6 = 0.
Piemērosim vienādojuma kreisajai pusei polinoma faktorizāciju vienādojuma kreisajā pusē, Hornera shēmu.
Risinājums: atrodiet brīvā termiņa dalītājus ± 1; ± 2; ± 3; ± 6.
|
6 ∙ 1 + (-6) = 0 |
Koeficienti ir skaitļi 1, 5, 6, bet atlikums r = 0.
nozīmē, X 3 + 4X 2 + X - 6 = (X - 1) (X 2 + 5X + 6) = 0.
No šejienes: X- 1 = 0 vai X 2 + 5X + 6 = 0.
X = 1, X 1 = -2; X 2 = -3. Atbilde: 1,- 2, - 3.
Secinājums: tādējādi vienā vienādojumā mēs esam parādījuši divu izmantošanu dažādos veidos polinomu faktorizācija. Mūsuprāt, Hornera shēma ir vispraktiskākā un ekonomiskākā.
2.5 4. pakāpes vienādojumu risināšana. Ferrari metode
Kardano students Ludovičs Ferrari atklāja veidu, kā atrisināt ceturtās pakāpes vienādojumu. Ferrari metode sastāv no diviem posmiem.
I posms: formas vienādojumi tiek attēloti kā divu kvadrātveida trinomu reizinājums; tas izriet no fakta, ka vienādojums ir 3. pakāpes un tam ir vismaz viens atrisinājums.
II posms: iegūtie vienādojumi tiek atrisināti, izmantojot faktorizāciju, bet, lai atrastu nepieciešamo faktorizāciju, ir jāatrisina kubiskie vienādojumi.
Ideja ir attēlot vienādojumus formā A 2 =B 2, kur A= x 2 + s,
B-lineārā funkcija x. Tad atliek atrisināt vienādojumus A = ±B.
Skaidrības labad apsveriet vienādojumu: Izolējot 4. pakāpi, mēs iegūstam: Jebkuram d izteiksme būs ideāls kvadrāts. Pievienojiet abām iegūtā vienādojuma pusēm
Kreisajā pusē ir pilnīgs kvadrāts, jūs varat uzņemt d, lai arī (2) labā puse kļūtu par pilnu kvadrātu. Iedomāsimies, ka esam to sasnieguši. Tad mūsu vienādojums izskatās šādi:
Atrast sakni vēlāk nebūs grūti. Lai izvēlētos pareizo d nepieciešams, lai (3) labās puses diskriminants kļūst par nulli, t.i.
Tātad, lai atrastu d, mums ir jāatrisina šis 3. pakāpes vienādojums. Šo palīgvienādojumu sauc apņēmīgs.
Mēs viegli atrodam visu šķīdinātāja sakni: d = 1
Aizvietojot vienādojumu ar (1), mēs iegūstam
Secinājums: Ferrari metode ir universāla, taču sarežģīta un apgrūtinoša. Tajā pašā laikā, ja risinājuma algoritms ir skaidrs, tad ar šo metodi var atrisināt 4. pakāpes vienādojumus.
2.6. Nenoteikto koeficientu metode
Veiksme 4. pakāpes vienādojuma atrisināšanā ar Ferrari metodi ir atkarīga no tā, vai atrisināsim šķīdinātāju – 3. pakāpes vienādojumu, kas, kā zināms, ne vienmēr ir iespējams.
Nenoteikto koeficientu metodes būtība ir tāda, ka tiek uzminēts faktoru veids, kurā tiek sadalīts dotais polinoms, un šo faktoru (arī polinomu) koeficientus nosaka, reizinot faktorus un pielīdzinot koeficientus ar vienādām polinomu pakāpēm. mainīgs.
Piemērs: atrisiniet vienādojumu:
Pieņemsim, ka mūsu vienādojuma kreiso pusi var sadalīt divos kvadrātveida trinomālos ar veselu skaitļu koeficientiem tā, ka identiska vienādība ir patiesa
Acīmredzot koeficientiem pirms tiem jābūt vienādiem ar 1, un brīvajiem vārdiem jābūt vienādiem ar vienu + 1, otrs - 1.
Koeficienti, kas vērsti pret X. Apzīmēsim tos ar A un un, lai tos noteiktu, mēs reizinām abus vienādojuma labajā pusē esošos trinomus.
Rezultātā mēs iegūstam:
Koeficientu pielīdzināšana vienādās pakāpēs X vienādības (1) kreisajā un labajā pusē iegūstam sistēmu atrašanai un
Atrisinot šo sistēmu, mēs to izdarīsim
Tātad mūsu vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam
Atrisinot to, mēs iegūstam šādas saknes: .
Nenoteikto koeficientu metode balstās uz šādiem apgalvojumiem: jebkuru vienādojuma ceturtās pakāpes polinomu var sadalīt divu otrās pakāpes polinomu reizinājumā; divi polinomi ir identiski vienādi tad un tikai tad, ja to koeficienti ir vienādi vienādām pakāpēm X.
2.7. Simetriskie vienādojumi
Definīcija. Formas vienādojumu sauc par simetrisku, ja pirmie koeficienti vienādojuma kreisajā pusē ir vienādi ar pirmajiem koeficientiem labajā pusē.
Mēs redzam, ka pirmie koeficienti kreisajā pusē ir vienādi ar pirmajiem koeficientiem labajā pusē.
Ja šādam vienādojumam ir nepāra pakāpe, tad tam ir sakne X= - 1. Tālāk mēs varam pazemināt vienādojuma pakāpi, dalot to ar ( x+ 1). Izrādās, ka, dalot simetrisko vienādojumu ar ( x+ 1) tiek iegūts pāra pakāpes simetrisks vienādojums. Koeficientu simetrijas pierādījums ir parādīts zemāk. (6.pielikums) Mūsu uzdevums ir iemācīties atrisināt pāra pakāpes simetriskos vienādojumus.
Piemēram: (1)
Atrisināsim vienādojumu (1), dalīsim ar X 2 (līdz vidējai pakāpei) = 0.
Sagrupēsim terminus ar simetriskiem
) + 3(x+ . Apzīmēsim plkst= x+ , pieņemsim kvadrātā abas puses, tātad = plkst 2 Tātad, 2( plkst 2 vai 2 plkst 2 + 3 atrisinot vienādojumu, mēs iegūstam plkst = , plkst= 3. Tālāk atgriezīsimies pie aizstāšanas x+ = un x+ = 3. Iegūstam vienādojumus un Pirmajam nav atrisinājuma, bet otrajam ir divas saknes. Atbilde:.
Secinājums: šāda veida vienādojums nav bieži sastopams, bet, ja jūs ar to saskaraties, tad to var viegli un vienkārši atrisināt, neizmantojot apgrūtinošus aprēķinus.
2.8. Pilna grāda izolēšana
Apsveriet vienādojumu.
Kreisā puse ir summas (x+1) kubs, t.i.
Mēs iegūstam trešo sakni no abām daļām: , tad mēs iegūstam
Kur ir vienīgā sakne?
PĒTĪJUMA REZULTĀTI
Pamatojoties uz darba rezultātiem, mēs nonācām pie šādiem secinājumiem:
Pateicoties izpētītajai teorijai, mēs iepazināmies ar dažādas metodes veselu augstākas pakāpes vienādojumu risināšana;
D. Kardano formula ir grūti lietojama un dod lielu varbūtību kļūdīties aprēķinos;
− L. Ferrari metode ļauj ceturtās pakāpes vienādojuma risinājumu reducēt uz kubisku;
− Bezout teorēmu var izmantot gan kubiskajiem vienādojumiem, gan ceturtās pakāpes vienādojumiem; tas ir saprotamāks un vizuālāks, ja to izmanto vienādojumu risināšanā;
Hornera shēma palīdz ievērojami samazināt un vienkāršot aprēķinus vienādojumu risināšanā. Papildus sakņu atrašanai, izmantojot Hornera shēmu, jūs varat vienkāršāk aprēķināt polinomu vērtības vienādojuma kreisajā pusē;
Īpašu interesi izraisīja vienādojumu atrisinājumi ar nenoteikto koeficientu metodi un simetrisko vienādojumu atrisināšana.
Laikā pētnieciskais darbs Noskaidrots, ka ar augstākās pakāpes vienādojumu risināšanas vienkāršākajām metodēm skolēni iepazīstas izvēles matemātikas stundās, sākot ar 9. vai 10. klasi, kā arī speciālajos kursos viesošanās matemātikas skolās. Šis fakts izveidots MBOU “9. vidusskolas” matemātikas skolotāju un skolēnu, kuri izrāda pastiprinātu interesi par mācību priekšmetu “matemātika”, aptaujas rezultātā.
Populārākās augstākas pakāpes vienādojumu risināšanas metodes, ar kurām nākas saskarties, risinot olimpiādes, konkursa uzdevumus un skolēnu gatavošanās eksāmeniem rezultātā, ir metodes, kuru pamatā ir Bezout teorēmas, Hornera shēmas un jauna mainīgā ieviešana.
Pētnieciskā darba rezultātu demonstrēšana, t.i. skolas matemātikas programmā neiemācītas vienādojumu risināšanas metodes ieinteresēja klasesbiedrus.
Secinājums
Studējis izglītojošo un zinātnisko literatūru, interneta resursus jauniešu izglītības forumos
Trifanova Marina Anatoljevna
matemātikas skolotājs, pašvaldības izglītības iestāde "Ģimnāzija Nr. 48 (daudzdisciplinārā)", Talnakh
Trīskāršs nodarbības mērķis:
Izglītības:
zināšanu sistematizēšana un vispārināšana augstākas pakāpes vienādojumu risināšanā.
Attīstība:
veicināt attīstību loģiskā domāšana, spēja strādāt patstāvīgi, savstarpējas kontroles un paškontroles prasmes, runas un klausīšanās prasmes.
Izglītošana:
pastāvīgas nodarbinātības ieraduma attīstīšana, atsaucības, smaga darba un precizitātes veicināšana.
Nodarbības veids:
nodarbība zināšanu, prasmju un iemaņu integrētā pielietošanā.
Nodarbības forma:
ventilācija, fiziskie vingrinājumi, dažādas darba formas.
Aprīkojums:
atbalsta piezīmes, uzdevumu kartes, stundu uzraudzības matrica.
NODARBĪBU LAIKĀ
I. Organizatoriskais moments
- Nodarbības mērķa paziņošana skolēniem.
- Pārbaude mājasdarbs(1.pielikums). Darbs ar atbalsta piezīmēm (2. pielikums).
Katram no tiem vienādojumi un atbildes ir uzrakstīti uz tāfeles. Studenti pārbauda savas atbildes un sniedz īsa analīze katra vienādojuma atrisinājumi vai atbilde uz skolotāja jautājumiem (frontālā aptauja). Paškontrole – skolēni dod sev atzīmes un nodod klades skolotājam atzīmju labošanai vai apstiprināšanai. Skolas atzīmes ir rakstītas uz tāfeles:
“5+” - 6 vienādojumi;
“5” - 5 vienādojumi;
“4” - 4 vienādojumi;
“3” - 3 vienādojumi.
Skolotāju jautājumi par mājasdarbiem:
1 vienādojums
- Kādas mainīgo izmaiņas tiek veiktas vienādojumā?
- Kādu vienādojumu iegūst pēc mainīgo lielumu maiņas?
2 vienādojums
- Kāds polinoms tika izmantots, lai sadalītu abas vienādojuma puses?
- Kādas mainīgo izmaiņas tika iegūtas?
3 vienādojums
- Kādi polinomi ir jāreizina, lai vienkāršotu šī vienādojuma risinājumu?
4 vienādojums
- Nosauciet funkciju f(x).
- Kā tika atrastas atlikušās saknes?
5 vienādojums
- Cik intervāli tika iegūti, lai atrisinātu vienādojumu?
6 vienādojums
- Kā šo vienādojumu varētu atrisināt?
- Kurš risinājums ir racionālāks?
II. Grupu darbs ir nodarbības galvenā daļa.
Klase ir sadalīta 4 grupās. Katrai grupai tiek izdalīta kartīte ar teorētiskiem un praktiskiem (3.pielikums) jautājumiem: “Pārbaudi piedāvāto vienādojuma risināšanas metodi un izskaidro to, izmantojot šo piemēru.”
- Grupas darbs 15 minūtes.
- Piemēri ir uzrakstīti uz tāfeles (tāfele ir sadalīta 4 daļās).
- Grupas atskaite ilgst 2–3 minūtes.
- Skolotājs labo grupu atskaites un palīdz ar grūtībām.
Darbs grupās turpinās ar kartītēm Nr. 5 – 8. Katram vienādojumam atvēlētas 5 minūtes diskusijai grupā. Pēc tam padome sniedz ziņojumu par šo vienādojumu - īsu risinājuma analīzi. Iespējams, ka vienādojums nav pilnībā atrisināts – tas tiek pabeigts mājās, bet tā atrisināšanas secība tiek apspriesta klasē.
III. Patstāvīgs darbs. 4. pielikums.
- Katrs students saņem individuālu uzdevumu.
- Darbs aizņem 20 minūtes.
- 5 minūtes pirms stundas beigām skolotājs sniedz atklātas atbildes katram vienādojumam.
- Skolēni aplī apmainās ar piezīmju grāmatiņām un pārbauda atbildes ar draugu. Viņi dod atzīmes.
- Piezīmju grāmatiņas tiek nodotas skolotājam pārbaudei un atzīmju labošanai.
IV. Nodarbības kopsavilkums.
Mājasdarbs.
Formulējiet nepabeigtu vienādojumu risinājumus. Sagatavojieties kontroles griezumam.
Novērtēšana.
Risinot algebriskos vienādojumus, bieži vien ir jāaprēķina polinoms. Faktorizēt polinomu nozīmē attēlot to kā divu vai vairāku polinomu reizinājumu. Dažas polinomu sadalīšanas metodes izmantojam diezgan bieži: kopfaktora ņemšana, saīsināto reizināšanas formulas izmantošana, pilna kvadrāta izolēšana, grupēšana. Apskatīsim vēl dažas metodes.
Dažkārt šādi apgalvojumi ir noderīgi, faktorējot polinomu:
1) ja polinomam ar veseliem skaitļiem ir racionāla sakne (kur ir nereducējama daļdaļa, tad ir brīvā vārda dalītājs un vadošā koeficienta dalītājs:
2) Ja jūs kaut kā izvēlaties pakāpes polinoma sakni, tad polinomu var attēlot formā, kur ir pakāpes polinoms
Polinomu var atrast, vai nu sadalot polinomu binomālā “kolonnā”, vai atbilstoši sagrupējot polinoma terminus un atdalot no tiem reizinātāju, vai arī ar nenoteikto koeficientu metodi.
Piemērs. Koeficients polinomu
Risinājums. Tā kā koeficients x4 ir vienāds ar 1, tad šī polinoma racionālās saknes pastāv un ir skaitļa 6 dalītāji, t.i., tie var būt veseli skaitļi ±1, ±2, ±3, ±6. Apzīmēsim šo polinomu ar P4(x). Tā kā P P4 (1) = 4 un P4 (-4) = 23, skaitļi 1 un -1 nav polinoma PA(x) saknes. Tā kā P4(2) = 0, tad x = 2 ir polinoma P4(x) sakne, un tāpēc šis polinoms dalās ar binomiālu x - 2. Tāpēc x4 -5x3 +7x2 -5x +6 x- 2x4 -2x3 x3 -3x2 +x-3
3x3 +7x2 -5x +6
3x3 +6x2x2 - 5x + 6x2- 2x
Tāpēc P4(x) = (x - 2) (x3 - 3x2 + x - 3). Tā kā xz - 3x2 + x - 3 = x2 (x - 3) + (x - 3) = (x - 3) (x2 + 1), tad x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 = (x - 2) ( x - 3) (x2 + 1).
Parametru ievades metode
Dažkārt, faktorējot polinomu, palīdz parametra ievadīšanas metode. Mēs izskaidrosim šīs metodes būtību, izmantojot šādu piemēru.
Piemērs. x3 – (√3 + 1) x2 + 3.
Risinājums. Aplūkosim polinomu ar parametru a: x3 - (a + 1)x2 + a2, kas pie a = √3 pārvēršas par doto polinomu. Rakstīsim šo polinomu kā kvadrātveida trinomāls attiecībā pret a: ag - ax2 + (x3 - x2).
Tā kā šī trinoma saknes kvadrātā attiecībā pret a ir a1 = x un a2 = x2 - x, tad vienādība a2 - ax2 + (xs - x2) = (a - x)(a - x2 + x) ir patiesa. Līdz ar to polinoms x3 - (√3 + 1)x2 + 3 tiek sadalīts faktoros √3 – x un √3 - x2 + x, t.i.
x3 – (√3+1)x2+3=(x-√3)(x2-x-√3).
Jauna nezināmā ieviešanas metode
Dažos gadījumos, aizstājot izteiksmi f(x), kas iekļauta polinomā Pn(x), caur y var iegūt polinomu attiecībā pret y, kuru var viegli faktorizēt. Tad pēc y aizstāšanas ar f(x) iegūstam polinoma Pn(x) faktorizāciju.
Piemērs. Koeficients polinomu x(x+1)(x+2)(x+3)-15.
Risinājums. Pārveidosim šo polinomu šādi: x(x+1)(x+2)(x+3)-15= [x (x + 3)][(x + 1)(x + 2)] - 15 =( x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.
Apzīmēsim x2 + 3x ar y. Tad mums ir y(y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1 - 16 = (y + 1) 2 - 16 = (y + 1 + 4) (y + 1 - 4)= ( y+ 5) (y - 3).
Tāpēc x(x + 1)(x+ 2)(x + 3) - 15 = (x2+ 3x + 5)(x2 + 3x - 3).
Piemērs. Koeficients polinomu (x-4)4+(x+2)4
Risinājums. Apzīmēsim x- 4+x+2 = x - 1 ar y.
(x - 4) 4 + (x + 2) 2 = (y - 3) 4 + (y + 3) 4 = y4 - 12y3 +54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =
2y4 + 108y2 + 162 = 2(y4 + 54y2 + 81) = 2[(yg + 27)2 - 648] = 2 (y2 + 27 - √b48)(y2 + 27+√b48)=
2((x-1)2+27-√b48)((x-1)2+27+√b48)=2(x2-2x + 28-18√ 2) (x2- 2x + 28 + 18√ 2) ).
Apvienojot dažādas metodes
Bieži vien, faktorējot polinomu, ir nepieciešams pēc kārtas piemērot vairākas no iepriekš apskatītajām metodēm.
Piemērs. Koeficients polinomu x4 - 3x2 + 4x-3.
Risinājums. Izmantojot grupēšanu, polinomu pārrakstām formā x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x4 – 2x2) – (x2 -4x + 3).
Piemērojot pilna kvadrāta izolēšanas metodi pirmajai iekavai, mēs iegūstam x4 - 3x3 + 4x - 3 = (x4 - 2 · 1 · x2 + 12) - (x2 -4x + 4).
Izmantojot perfekto kvadrātveida formulu, tagad varam ierakstīt, ka x4 – 3x2 + 4x - 3 = (x2 -1)2 - (x - 2)2.
Visbeidzot, izmantojot kvadrātu starpības formulu, mēs iegūstam, ka x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) = (x2+x-3) (x2 -x) + 1).
§ 2. Simetriskie vienādojumi
1. Trešās pakāpes simetriskie vienādojumi
Vienādojumus formā ax3 + bx2 + bx + a = 0, a ≠ 0 (1) sauc par trešās pakāpes simetriskiem vienādojumiem. Tā kā ax3 + bx2 + bx + a = a(x3 + 1) + bx (x + 1) = (x+1)(ax2+(b-a)x+a), tad vienādojums (1) ir ekvivalents vienādojumu kopai x + 1 = 0 un ax2 + (b-a)x + a = 0, ko nav grūti atrisināt.
1. piemērs: atrisiniet vienādojumu
3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0. (2)
Risinājums. (2) vienādojums ir trešās pakāpes simetrisks vienādojums.
Tā kā 3x3 + 4xr + 4x + 3 = 3 (x3 + 1) + 4x (x + 1) = (x+ 1) (3x2 - 3x + 3 + 4x) = (x + 1) (3x2 + x + 3), tad vienādojums (2) ir ekvivalents vienādojumu kopai x + 1 = 0 un 3x3 + x +3=0.
Pirmā no šiem vienādojumiem risinājums ir x = -1, otrajam vienādojumam nav atrisinājumu.
Atbilde: x = -1.
2. Ceturtās pakāpes simetriskie vienādojumi
Formas vienādojums
(3) sauc par ceturtās pakāpes simetrisko vienādojumu.
Tā kā x = 0 nav (3) vienādojuma sakne, tad, dalot abas vienādojuma (3) puses ar x2, iegūstam vienādojumu, kas līdzvērtīgs sākotnējam (3):
Pārrakstīsim vienādojumu (4) šādi:
Veiksim aizstāšanu šajā vienādojumā, tad iegūsim kvadrātvienādojums
Ja vienādojumam (5) ir 2 saknes y1 un y2, tad sākotnējais vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai
Ja vienādojumam (5) ir viena sakne y0, tad sākotnējais vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam
Visbeidzot, ja vienādojumam (5) nav sakņu, tad arī sākotnējam vienādojumam nav sakņu.
2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu
Risinājums. Šis vienādojums ir simetrisks ceturtās pakāpes vienādojums. Tā kā x = 0 nav tā sakne, tad, dalot vienādojumu (6) ar x2, iegūstam ekvivalentu vienādojumu:
Pēc terminu sagrupēšanas vienādojumu (7) pārrakstām formā vai formā
To izpildot, iegūstam vienādojumu, kuram ir divas saknes y1 = 2 un y2 = 3. Līdz ar to sākotnējais vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai
Šīs kopas pirmā vienādojuma risinājums ir x1 = 1, bet otrā vienādojuma risinājums ir u.
Tāpēc sākotnējam vienādojumam ir trīs saknes: x1, x2 un x3.
Atbilde: x1=1.
§3. Algebriskie vienādojumi
1. Vienādojuma pakāpes samazināšana
Dažus algebriskos vienādojumus var reducēt līdz algebriskie vienādojumi, kuras pakāpe ir mazāka par sākotnējā vienādojuma pakāpi un kuras risinājums ir vienkāršāks.
1. piemērs: atrisiniet vienādojumu
Risinājums. Apzīmēsim ar, tad vienādojumu (1) var pārrakstīt kā Pēdējam vienādojumam ir saknes un Tāpēc vienādojums (1) ir ekvivalents vienādojumu kopai un. Šīs kopas pirmā vienādojuma risinājums ir un otrā vienādojuma risinājums ir
(1) vienādojuma risinājumi ir
2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu
Risinājums. Reizinot abas vienādojuma puses ar 12 un apzīmējot ar,
Iegūstam vienādojumu Pārrakstām šo vienādojumu formā
(3) un apzīmējot ar mēs pārrakstām vienādojumu (3) formā Pēdējam vienādojumam ir saknes un Tāpēc mēs iegūstam, ka vienādojums (3) ir ekvivalents divu vienādojumu kopai un Šai vienādojumu kopai ir risinājumi un t.i., vienādojums (2) ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai un (4)
Kopas (4) atrisinājumi ir un, un tie ir (2) vienādojuma atrisinājumi.
2. Formas vienādojumi
Vienādojums
(5) kur -šos skaitļus var samazināt līdz bikvadrātiskais vienādojums izmantojot nezināmu aizstājēju, t.i., nomaiņu
3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu
Risinājums. Apzīmēsim ar,t. e. veicam mainīgo maiņu vai Tad vienādojumu (6) var pārrakstīt formā vai, izmantojot formulu, formā
Tā kā kvadrātvienādojuma saknes ir un, (7) vienādojuma atrisinājumi ir vienādojumu kopas un atrisinājumi. Šai vienādojumu kopai ir divi risinājumi un Tāpēc (6) vienādojuma risinājumi ir un
3. Formas vienādojumi
Vienādojums
(8) kur skaitļi α, β, γ, δ un Α ir tādi, ka α
4. piemērs. Atrisiniet vienādojumu
Risinājums. Izdarīsim nezināmo maiņu, t.i., y=x+3 vai x = y – 3. Tad vienādojumu (9) var pārrakstīt kā
(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10, t.i., formā
(y2-4) (y2-1) = 10 (10)
Bikvadrātiskajam vienādojumam (10) ir divas saknes. Tāpēc (9) vienādojumam ir arī divas saknes:
4. Formas vienādojumi
(11) vienādojums
Kur x = 0 nav saknes, tāpēc, dalot vienādojumu (11) ar x2, iegūstam ekvivalentu vienādojumu
Kas pēc nezināmā aizstāšanas tiks pārrakstīts kvadrātvienādojuma formā, kura atrisināšana nav grūta.
5. piemērs. Atrisiniet vienādojumu
Risinājums. Tā kā h = 0 nav (12) vienādojuma sakne, dalot to ar x2, iegūstam ekvivalentu vienādojumu
Padarot aizvietojumu nezināmu, iegūstam vienādojumu (y+1)(y+2)=2, kuram ir divas saknes: y1 = 0 un y1 = -3. Līdz ar to sākotnējais vienādojums (12) ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai
Šai kopai ir divas saknes: x1= -1 un x2 = -2.
Atbilde: x1= -1, x2 = -2.
komentēt. Formas vienādojums
Kuru vienmēr var reducēt līdz formai (11) un turklāt, ņemot vērā α > 0 un λ > 0 līdz formai.
5. Formas vienādojumi
Vienādojums
,(13) kur skaitļi α, β, γ, δ un Α ir tādi, ka αβ = γδ ≠ 0, var pārrakstīt, reizinot pirmo iekava ar otro un trešo ar ceturto formā, t.i. vienādojums (13) tagad ir uzrakstīts formā (11), un tā atrisināšanu var veikt tāpat kā vienādojuma (11) atrisināšanu.
6. piemērs. Atrisiniet vienādojumu
Risinājums. Vienādojumam (14) ir forma (13), tāpēc mēs to pārrakstām formā
Tā kā x = 0 nav šī vienādojuma risinājums, tad, abas puses dalot ar x2, iegūstam ekvivalentu sākotnējo vienādojumu. Veicot mainīgo lielumu maiņu, iegūstam kvadrātvienādojumu, kura atrisinājums ir un. Līdz ar to sākotnējais vienādojums (14) ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai un.
Šīs kopas pirmā vienādojuma risinājums ir
Šīs risinājumu kopas otrajam vienādojumam nav atrisinājumu. Tātad sākotnējam vienādojumam ir saknes x1 un x2.
6. Formas vienādojumi
Vienādojums
(15) kur skaitļi a, b, c, q, A ir tādi, ka x = 0 nav saknes, tāpēc vienādojumu (15) dalot ar x2. iegūstam tam līdzvērtīgu vienādojumu, kurš pēc nezināmā aizstāšanas tiks pārrakstīts kvadrātvienādojuma formā, kura atrisināšana nav grūta.
Piemērs 7. Vienādojuma atrisināšana
Risinājums. Tā kā x = 0 nav vienādojuma (16) sakne, tad sadalot abas puses ar x2, iegūstam vienādojumu
, (17) ekvivalents (16) vienādojumam. Pēc aizstāšanas ar nezināmo mēs pārrakstām vienādojumu (17) formā
Kvadrātvienādojumam (18) ir 2 saknes: y1 = 1 un y2 = -1. Tāpēc vienādojums (17) ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai un (19)
Vienādojumu kopai (19) ir 4 saknes: ,.
Tās būs (16) vienādojuma saknes.
§4. Racionālie vienādojumi
Formas = 0 vienādojumus, kur H(x) un Q(x) ir polinomi, sauc par racionāliem.
Atrodot vienādojuma saknes H(x) = 0, tad jāpārbauda, kuras no tām nav vienādojuma Q(x) = 0 saknes. Šīs saknes un tikai tās būs vienādojuma atrisinājumi.
Apskatīsim dažas metodes vienādojumu risināšanai ar formu = 0.
1. Formas vienādojumi
Vienādojums
(1) noteiktos apstākļos numurus var atrisināt šādi. Grupējot (1) vienādojuma nosacījumus pa diviem un summējot katru pāri, skaitītājā jāiegūst pirmās vai nulles pakāpes polinomi, kas atšķiras tikai ar skaitliskiem faktoriem, un saucējos - trinomi ar tiem pašiem diviem terminiem, kas satur x, tad pēc mainīgo aizstāšanas iegūtajam vienādojumam būs arī forma (1), bet ar mazāku vārdu skaitu, vai arī tas būs ekvivalents divu vienādojumu kopai, no kuriem viens būs pirmās pakāpes, un otrais būs (1) tipa vienādojums, bet ar mazāku terminu skaitu.
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu
Risinājums. Sagrupējot vienādojuma (2) kreisajā pusē pirmo vārdu ar pēdējo un otro ar priekšpēdējo, vienādojumu (2) pārrakstām formā
Summējot terminus katrā iekavā, vienādojumu (3) pārrakstām formā
Tā kā (4) vienādojumam nav atrisinājuma, tad, dalot šo vienādojumu ar, iegūstam vienādojumu
, (5) ekvivalents (4) vienādojumam. Aizstāsim nezināmo, tad vienādojums (5) tiks pārrakstīts formā
Tādējādi (2) vienādojuma atrisinājums ar pieciem terminiem kreisajā pusē tiek reducēts līdz tādas pašas formas (6) vienādojuma atrisinājumam, bet kreisajā pusē ir trīs vārdi. Apkopojot visus vārdus vienādojuma (6) kreisajā pusē, mēs to pārrakstām formā
Vienādojumam ir risinājumi. Neviens no šiem skaitļiem nepazūd racionālās funkcijas saucējam vienādojuma (7) kreisajā pusē. Līdz ar to vienādojumam (7) ir šīs divas saknes, un tāpēc sākotnējais vienādojums (2) ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai
Šīs kopas pirmā vienādojuma risinājumi ir
Otrā vienādojuma risinājumi no šīs kopas ir
Tāpēc sākotnējam vienādojumam ir saknes
2. Formas vienādojumi
Vienādojums
(8) noteiktos apstākļos skaitļus var atrisināt šādi: katrā vienādojuma daļā ir jāizvēlas veselā skaitļa daļa, t.i., vienādojums (8) jāaizstāj ar vienādojumu
Samaziniet to līdz formai (1) un pēc tam atrisiniet to, kā aprakstīts iepriekšējā punktā.
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu
Risinājums. Rakstīsim vienādojumu (9) formā vai formā
Apkopojot terminus iekavās, vienādojumu (10) pārrakstām formā
Aizstājot nezināmo, vienādojumu (11) pārrakstām formā
Apkopojot vienādojuma (12) kreisajā pusē esošos terminus, mēs to pārrakstām formā
Ir viegli redzēt, ka vienādojumam (13) ir divas saknes: un. Tāpēc sākotnējam vienādojumam (9) ir četras saknes:
3) Formas vienādojumi.
Formas (14) vienādojumu noteiktos skaitļu apstākļos var atrisināt šādi: paplašinot (ja tas, protams, ir iespējams) katru no vienādojuma (14) kreisajā pusē esošajiem daļskaitļiem vienkāršās frakcijas
Reducējiet vienādojumu (14) līdz formai (1), pēc tam, veicot iegūtā vienādojuma nosacījumu ērtu pārkārtošanu, atrisiniet to, izmantojot 1. punktā aprakstīto metodi.
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu
Risinājums. Kopš un, reizinot katras daļas skaitītāju vienādojumā (15) ar 2 un atzīmējot, ka vienādojumu (15) var uzrakstīt kā
Vienādojumam (16) ir forma (7). Pārkārtojuši terminus šajā vienādojumā, mēs to pārrakstām formā vai formā
Vienādojums (17) ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai un
Lai atrisinātu otro kopas (18) vienādojumu, mēs veicam nezināmā aizstāšanu, pēc tam tas tiks pārrakstīts formā vai formā
Apkopojot visus vārdus vienādojuma (19) kreisajā pusē, pārrakstiet to formā
Tā kā vienādojumam nav sakņu, arī (20) vienādojumam to nav.
Kopas (18) pirmajam vienādojumam ir viena sakne. Tā kā šī sakne ir iekļauta kopas (18) otrā vienādojuma ODZ, tā ir kopas (18) un līdz ar to arī oriģināla vienīgā sakne. vienādojums.
4. Formas vienādojumi
Vienādojums
(21) noteiktos apstākļos uz skaitļiem un A pēc katra termina attēlojuma veidlapas kreisajā pusē var reducēt līdz formai (1).
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu
Risinājums. Pārrakstīsim vienādojumu (22) formā vai formā
Tādējādi vienādojums (23) tiek reducēts līdz formai (1). Tagad, grupējot pirmo vārdu ar pēdējo un otro ar trešo, mēs pārrakstām vienādojumu (23) formā
Šis vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai un. (24)
Kopas (24) pēdējo vienādojumu var pārrakstīt kā
Šim vienādojumam ir risinājumi, un, tā kā tas ir iekļauts kopas (30) otrā vienādojuma ODZ, kopai (24) ir trīs saknes:. Visi no tiem ir sākotnējā vienādojuma risinājumi.
5. Formas vienādojumi.
Formas (25) vienādojums
Noteiktos apstākļos uz skaitļiem, aizstājot nezināmo, var reducēt līdz formas vienādojumam
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu
Risinājums. Tā kā tas nav (26) vienādojuma atrisinājums, tad katras kreisās puses daļdaļas skaitītāju un saucēju dalot ar, pārrakstām formā
Veicot mainīgo lielumu izmaiņas, vienādojumu (27) pārrakstām formā
Atrisinot (28) vienādojumu, ir un. Tāpēc vienādojums (27) ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai un. (29)
Vienādojumu risināšanas metodes: n n n Vienādojuma h(f(x)) = h(g(x)) aizstāšana ar vienādojumu f(x) = g(x) Faktorizācija. Jauna mainīgā lieluma ieviešana. Funkcionālā - grafiskā metode. Sakņu izvēle. Vietas formulu pielietojums.
Aizstājot vienādojumu h(f(x)) = h(g(x)) ar vienādojumu f(x) = g(x). Metodi var izmantot tikai gadījumā, ja y = h(x) ir monotona funkcija, kas katru vērtību ņem vienu reizi. Ja funkcija nav monotoniska, iespējams sakņu zudums.
Atrisiniet vienādojumu (3 x + 2)²³ = (5 x – 9)²³ y = x ²³ ir pieaugoša funkcija, tāpēc no vienādojuma (3 x + 2)²³ = (5 x – 9)²³ varat pāriet uz vienādojums 3 x + 2 = 5 x – 9, no kurienes atrodam x = 5, 5. Atbilde: 5, 5.
Faktorizācija. Vienādojumu f(x)g(x)h(x) = 0 var aizstāt ar vienādojumu kopu f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0. Atrisinot šīs kopas vienādojumus, jāņem tās saknes, kas ietilpst sākotnējā vienādojuma definīcijas jomā, un pārējās jāatmet kā svešas.
Atrisiniet vienādojumu x³ – 7 x + 6 = 0 Attēlojot terminu 7 x formā x + 6 x, secīgi iegūstam: x³ – x – 6 x + 6 = 0 x(x² – 1) – 6(x – 1 ) = 0 x (x – 1) (x + 1) – 6 (x – 1) = 0 (x – 1) (x² + x – 6) = 0 Tagad uzdevums ir reducēts uz vienādojumu kopas x – atrisināšanu. 1 = 0; x² + x – 6 = 0. Atbilde: 1, 2, – 3.
Jauna mainīgā lieluma ieviešana. Ja vienādojumu y(x) = 0 var pārveidot formā p(g(x)) = 0, tad jāievieš jauns mainīgais u = g(x), jāatrisina vienādojums p(u) = 0, un pēc tam atrisiniet vienādojumu kopu g( x) = u 1; g(x) = u 2; ... ; g(x) = un, kur u 1, u 2, …, un ir vienādojuma p(u) = 0 saknes.
Vienādojuma atrisināšana Šī vienādojuma īpaša iezīme ir tā kreisās puses koeficientu vienādība, kas atrodas vienādā attālumā no tā galiem. Šādus vienādojumus sauc par reciprokāliem. Tā kā 0 nav šī vienādojuma sakne, mēs iegūstam dalīšanu ar x²
Ieviesīsim jaunu mainīgo.Tad iegūstam kvadrātvienādojumu.Tātad sakni y 1 = – 1 var ignorēt. Mēs saņemam atbildi: 2, 0, 5.
Atrisiniet vienādojumu 6(x² – 4)² + 5(x² – 4)(x² – 7 x +12) + (x² – 7 x + 12)² = 0 Šo vienādojumu var atrisināt kā viendabīgu vienādojumu. Sadalīsim abas vienādojuma puses ar (x² – 7 x +12)² (skaidrs, ka x vērtības ir tādas, ka x² – 7 x +12=0 nav risinājumi). Tagad mēs apzīmējam, ka mums ir no šejienes atbilde:
Funkcionālā - grafiskā metode. Ja viena no funkcijām y = f(x), y = g(x) palielinās, bet otra samazinās, tad vienādojumam f(x) = g(x) vai nu nav sakņu, vai arī ir viena sakne.
Atrisiniet vienādojumu Ir diezgan skaidrs, ka x = 2 ir vienādojuma sakne. Pierādīsim, ka šī ir vienīgā sakne. Pārveidosim vienādojumu formā Mēs pamanām, ka funkcija palielinās un funkcija samazinās. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir tikai viena sakne. Atbilde: 2.
Sakņu izvēle n n n 1. teorēma: Ja vesels skaitlis m ir polinoma sakne ar veselu skaitļu koeficientiem, tad polinoma brīvais loceklis dalās ar m. 2. teorēma: reducētajam polinomam ar veselu skaitļu koeficientiem nav daļsakņu. 3. teorēma: – vienādojums ar veselu skaitļu Ļaujiet koeficientiem. Ja skaitlis un daļa, kur p un q ir nereducējami veseli skaitļi, ir vienādojuma sakne, tad p ir brīvā vārda an dalītājs, bet q ir vadošā vārda a 0 koeficienta dalītājs.
Bezout teorēma. Atlikums, dalot jebkuru polinomu ar binomālu (x – a), ir vienāds ar polinoma vērtību, kas tiek dalīta pie x = a. Bezout teorēmas sekas n n n n Divu skaitļu vienādu pakāpju starpību dala bez atlikuma ar vienādu skaitļu starpību; Atšķirību starp divu skaitļu vienādiem pāra pakāpēm bez atlikuma dala gan ar šo skaitļu starpību, gan to summu; Atšķirība starp identiskiem divu skaitļu nepāra pakāpēm nedalās ar šo skaitļu summu; Divu neskaitļu vienādu pakāpju summu dala ar šo skaitļu starpību; Divu skaitļu vienādu nepāra pakāpju summu bez atlikuma dala ar šo skaitļu summu; Divu skaitļu vienādu pāra pakāpju summa nedalās ne ar šo skaitļu starpību, ne ar to summu; Polinoms dalās ar binomiālu (x – a) tad un tikai tad, ja skaitlis a ir dotā polinoma sakne; Nenulles polinoma atšķirīgo sakņu skaits nav lielāks par tā pakāpi.
Atrisiniet vienādojumu x³ – 5 x² – x + 21 = 0 Polinomam x³ – 5 x² – x + 21 ir veseli skaitļu koeficienti. Saskaņā ar 1. teorēmu tā veselās saknes, ja tādas ir, ir starp brīvā vārda dalītājiem: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Pārbaudot, mēs esam pārliecināti, ka skaitlis 3 ir sakne. Saskaņā ar Bezout teorēmu polinoms dalās ar (x – 3). Tādējādi x³– 5 x² – x + 21 = (x – 3) (x²– 2 x – 7). Atbilde:
Atrisiniet vienādojumu 2 x³ – 5 x² – x + 1 = 0 Saskaņā ar 1. teorēmu tikai skaitļi ± 1 var būt veselas vienādojuma saknes. Pārbaudot, redzams, ka šie skaitļi nav saknes. Tā kā vienādojums nav samazināts, tam var būt daļēja racionāla sakne. Atradīsim viņus. Lai to izdarītu, reiziniet abas vienādojuma puses ar 4: 8 x³ – 20 x² – 4 x + 4 = 0 Aizvietojot 2 x = t, iegūstam t³ – 5 t² – 2 t + 4 = 0. Ar 2. teorēmu visi šī vienādojuma racionālajām saknēm jābūt neskartām. Tos var atrast starp brīvā termina dalītājiem: ± 1, ± 2, ± 4. Šajā gadījumā ir piemērots t = – 1. Līdz ar to, saskaņā ar Bezout teorēmu, polinoms 2 x³ – 5 x² – x + 1 dalās ar (x + 0, 5 ): 2 x³ – 5 x² – x + 1 = (x + 0. 5)(2 x² – 6 x + 2) Atrisinot kvadrātvienādojumu 2 x² – 6 x + 2 = 0, mēs atrodam atlikušās saknes: Atbilde:
Atrisiniet vienādojumu 6 x³ + x² – 11 x – 6 = 0 Saskaņā ar 3. teorēmu šī vienādojuma racionālās saknes jāmeklē starp skaitļiem, aizvietojot tos vienādojumā pa vienam, mēs secinām, ka tie apmierina vienādojumu. Tie izsmeļ visas vienādojuma saknes. Atbilde:
Atrodiet vienādojuma x³ + 3 x² – 7 x +1 = 0 kvadrātsakņu summu pēc Vietas teorēmas Ņemiet vērā, ka kur
Norādiet, kā katru no šiem vienādojumiem var atrisināt. Atrisiniet vienādojumus Nr.1, 4, 15, 17.
Atbildes un norādījumi: 1. Jauna mainīgā ieviešana. 2. Funkcionālā - grafiskā metode. 3. Vienādojuma h(f(x)) = h(g(x)) aizstāšana ar vienādojumu f(x) = g(x). 4. Faktorizācija. 5. Sakņu atlase. 6 Funkcionāli grafiskā metode. 7. Vietas formulu pielietošana. 8. Sakņu atlase. 9. Vienādojuma h(f(x)) = h(g(x)) aizstāšana ar vienādojumu f(x) = g(x). 10. Jauna mainīgā lieluma ieviešana. 11. Faktorizācija. 12. Jauna mainīgā lieluma ieviešana. 13. Sakņu selekcija. 14. Vietas formulu pielietojums. 15. Funkcionālā - grafiskā metode. 16. Faktorizācija. 17. Jauna mainīgā lieluma ieviešana. 18. Faktorizācija.
1. Instrukcija. Uzrakstiet vienādojumu kā 4(x²+17 x+60)(x+16 x+60)=3 x², sadaliet abas puses ar x². Ievadiet mainīgo Atbilde: x 1 = – 8; x 2 = – 7,5 4. Instrukcija. Pievienojiet 6 y un – 6 y vienādojuma kreisajai pusei un ierakstiet to kā (y³ – 2 y²) + (– 3 y² + 6 y) + (– 8 y + 16) = (y – 2) (y² – 3 gadi — 8). Atbilde:
14. Instrukcija. Saskaņā ar Vietas teorēmu Tā kā tie ir veseli skaitļi, vienādojuma saknes var būt tikai skaitļi – 1, – 2, – 3. Atbilde: 15. Atbilde: – 1. 17. Instrukcija. Sadaliet abas vienādojuma puses ar x² un ierakstiet to kā Ievadiet mainīgo Atbilde: 1; 15; 2; 3.
Bibliogrāfija. n n n Kolmogorovs A. N. “Algebra un analīzes sākums, 10–11” (M.: Prosveščenie, 2003). Bašmakovs M. I. “Algebra un analīzes pirmsākumi, 10–11” (M.: Prosveščenie, 1993). Mordkovičs A. G. “Algebra un analīzes principi, 10–11” (M.: Mnemosyna, 2003). Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M. uc "Algebra un analīzes sākums, 10 - 11" (M.: Prosveshchenie, 2000). Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. “Uzdevumu kolekcija algebrā, 8 – 9” (M.: Prosveshchenie, 1997). Karp A. P. “Uzdevumu krājums par algebru un analīzes principiem, 10 – 11” (M.: Prosveshchenie, 1999). Šarigins I. F. " Izvēles kurss matemātikā, uzdevumu risināšanā, 10" (M.: Prosveščeņije. 1989). Skopets Z. A. “Papildu nodaļas par matemātikas kursu, 10” (M.: Prosveshchenie, 1974). Litinsky G.I. “Matemātikas stundas” (Maskava: Aslan, 1994). Muravins G.K. “Vienādojumi, nevienādības un to sistēmas” (Matemātika, laikraksta “Pirmais septembris”, 2003. gada 2., 3. pielikums). Koljagins Ju.M. “Polinomi un augstāko pakāpju vienādojumi” (Matemātika, laikraksta “Pirmais septembris” pielikums, 2005. gada 3. nr.).