Piramida. Piramida e cunguar
Piramida quhet shumëfaqësh, njëra nga fytyrat e të cilit është shumëkëndësh ( bazë ), dhe të gjitha fytyrat e tjera janë trekëndësha me një kulm të përbashkët ( fytyrat anësore ) (Fig. 15). Piramida quhet e saktë , nëse baza e saj është një shumëkëndësh i rregullt dhe maja e piramidës është projektuar në qendër të bazës (Fig. 16). Quhet një piramidë trekëndore në të cilën të gjitha skajet janë të barabarta katërkëndësh .
Brinjë anësore piramidë quhet ana e faqes anësore që nuk i përket bazës Lartësia piramida është distanca nga maja e saj në rrafshin e bazës. Gjithçka brinjë anësore piramida e saktë janë të barabarta me njëra-tjetrën, të gjitha faqet anësore janë trekëndësha të barabartë dykëndësh. Lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt të nxjerrë nga kulmi quhet apotemë . seksion diagonal Një pjesë e një piramide quhet një rrafsh që kalon nëpër dy skaje anësore që nuk i përkasin të njëjtës faqe.
Sipërfaqja anësore piramida quhet shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore. Sipërfaqja e plotë është shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore dhe bazës.
Teorema
1. Nëse në një piramidë të gjitha skajet anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të rrethit të rrethuar pranë bazës.
2. Nëse në një piramidë të gjitha skajet anësore kanë gjatësi të barabarta, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të rrethit të rrethuar pranë bazës.
3. Nëse në piramidë të gjitha faqet janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të rrethit të gdhendur në bazë.
Për të llogaritur vëllimin e një piramide arbitrare, formula është e saktë:
ku V- vëllimi;
S kryesore- zona e bazës;
Hështë lartësia e piramidës.
Për një piramidë të rregullt, formulat e mëposhtme janë të vërteta:
ku fq- perimetri i bazës;
h a- apotemë;
H- lartësia;
S plot
Ana S
S kryesore- zona e bazës;
Vështë vëllimi i një piramide të rregullt.
piramidë e cunguar quhet pjesa e piramidës e mbyllur ndërmjet bazës dhe rrafshit prerës paralel me bazën e piramidës (Fig. 17). Korrigjo piramidën e cunguar quhet pjesa e një piramide të rregullt, e mbyllur midis bazës dhe një rrafshi prerës paralel me bazën e piramidës.
themelet piramidë e cunguar - shumëkëndësha të ngjashëm. Fytyrat anësore - trapezoid. Lartësia piramidë e cunguar quhet distanca ndërmjet bazave të saj. Diagonale Një piramidë e cunguar është një segment që lidh kulmet e saj që nuk shtrihen në të njëjtën faqe. seksion diagonal Një pjesë e një piramide të cunguar quhet një rrafsh që kalon nëpër dy skaje anësore që nuk i përkasin të njëjtës faqe.
Për një piramidë të cunguar, formulat janë të vlefshme:
(4)
ku S 1 , S 2 - zonat e bazave të sipërme dhe të poshtme;
S plotështë sipërfaqja e përgjithshme;
Ana Sështë sipërfaqja anësore;
H- lartësia;
Vështë vëllimi i piramidës së cunguar.
Për një piramidë të rregullt të cunguar, formula e mëposhtme është e vërtetë:
ku fq 1 , fq 2 - perimetra bazë;
h a- apotema e një piramide të rregullt të cunguar.
Shembulli 1 Në një piramidë të rregullt trekëndore, këndi dihedral në bazë është 60º. Gjeni tangjenten e këndit të prirjes së skajit anësor me rrafshin e bazës.
Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 18).
 |
Piramida është e rregullt, që do të thotë se baza është një trekëndësh barabrinjës dhe të gjitha faqet anësore janë trekëndësha të barabartë dykëndësh. Këndi dihedral në bazë është këndi i prirjes së faqes anësore të piramidës në rrafshin e bazës. Këndi linear do të jetë këndi a ndërmjet dy pingulave: d.m.th. Maja e piramidës është projektuar në qendër të trekëndëshit (qendra e rrethit të rrethuar dhe rrethi i brendashkruar në trekëndësh ABC). Këndi i prirjes së brinjës anësore (për shembull SB) është këndi ndërmjet vetë skajit dhe projeksionit të tij në rrafshin bazë. Për brinjë SB ky kënd do të jetë këndi SBD. Për të gjetur tangjenten duhet të njihni këmbët KËSHTU QË dhe OB. Lëreni gjatësinë e segmentit BD eshte 3 a. pika O seksioni BD ndahet në pjesë: dhe Nga gjejmë KËSHTU QË: 
Nga gjejmë: 
Përgjigje:
Shembulli 2 Gjeni vëllimin e një piramide të rregullt katërkëndëshe të cunguar nëse diagonalet e bazave të saj janë cm dhe cm dhe lartësia është 4 cm.
Zgjidhje. Për të gjetur vëllimin e një piramide të cunguar, ne përdorim formulën (4). Për të gjetur sipërfaqet e bazave, duhet të gjeni anët e katrorëve të bazës, duke ditur diagonalet e tyre. Anët e bazave janë përkatësisht 2 cm dhe 8 cm. Kjo do të thotë sipërfaqet e bazave dhe duke zëvendësuar të gjitha të dhënat në formulë, ne llogarisim vëllimin e piramidës së cunguar:
Përgjigje: 112 cm3.
Shembulli 3 Gjeni sipërfaqen e faqes anësore të një piramide të rregullt trekëndore të cunguar, anët e bazave të së cilës janë 10 cm dhe 4 cm, dhe lartësia e piramidës është 2 cm.
Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 19).
Faqja anësore e kësaj piramide është një trapezoid isosceles. Për të llogaritur sipërfaqen e një trapezi, duhet të dini bazat dhe lartësinë. Bazat jepen me kusht, nuk dihet vetëm lartësia. Gjeni nga ku A 1 E pingul nga një pikë A 1 në rrafshin e bazës së poshtme, A 1 D- pingul nga A 1 në AC. A 1 E\u003d 2 cm, pasi kjo është lartësia e piramidës. Për gjetjen DE do të bëjmë një vizatim shtesë, në të cilin do të përshkruajmë një pamje të sipërme (Fig. 20). Pika O- projeksioni i qendrave të bazave të sipërme dhe të poshtme. pasi (shih Fig. 20) dhe Nga ana tjetër Ne rregullështë rrezja e rrethit të brendashkruar dhe 
OMështë rrezja e rrethit të brendashkruar:
MK=DE.
Sipas teoremës së Pitagorës nga
Zona anësore e fytyrës: 
Përgjigje:
Shembulli 4 Në bazën e piramidës shtrihet një trapez izoscelular, bazat e të cilit a dhe b (a> b). Çdo faqe anësore formon një kënd të barabartë me rrafshin e bazës së piramidës j. Gjeni sipërfaqen totale të piramidës.
Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 21). Sipërfaqja totale e piramidës SABCDështë e barabartë me shumën e sipërfaqeve dhe sipërfaqes së trapezit ABCD.
Le të përdorim pohimin se nëse të gjitha faqet e piramidës janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë kulmi projektohet në qendër të rrethit të gdhendur në bazë. Pika O- projeksioni i kulmit S në bazën e piramidës. Trekëndëshi SODështë projeksioni ortogonal i trekëndëshit CSD në rrafshin bazë. Sipas teoremës mbi sipërfaqen e projeksionit ortogonal të një figure të sheshtë, marrim:
Në mënyrë të ngjashme, do të thotë 
Kështu, problemi u reduktua në gjetjen e zonës së trapezit ABCD. Vizatoni një trapezoid ABCD veçmas (Fig. 22). Pika Oështë qendra e një rrethi të gdhendur në një trapez.
Meqenëse një rreth mund të futet në një trapez, atëherë ose Nga teorema e Pitagorës kemi
Këtu janë mbledhur informacione bazë për piramidat dhe formulat dhe konceptet përkatëse. Të gjithë ata studiohen me një mësues të matematikës në përgatitje për provimin.
Konsideroni një plan, një shumëkëndësh 
i shtrirë në të dhe një pikë S jo e shtrirë në të. Lidhni S me të gjitha kulmet e shumëkëndëshit. Polyedroni që rezulton quhet piramidë. Segmentet quhen skaje anësore. Shumëkëndëshi quhet bazë, dhe pika S quhet maja e piramidës. Në varësi të numrit n, piramida quhet trekëndore (n=3), katërkëndore (n=4), pesëkëndëshe (n=5) e kështu me radhë. Emri alternativ për piramidën trekëndore - katërkëndësh. Lartësia e një piramide është pingulja e tërhequr nga maja e saj në rrafshin bazë. 
Një piramidë quhet e saktë nëse një shumëkëndësh i rregullt, dhe baza e lartësisë së piramidës (baza e pingules) është qendra e saj.
Komenti i tutorit:
Mos e ngatërroni konceptin e "piramidës së rregullt" dhe "tetraedrit të rregullt". Në një piramidë të rregullt, skajet anësore nuk janë domosdoshmërisht të barabarta me skajet e bazës, por në një katërkëndor të rregullt, të 6 skajet e skajeve janë të barabarta. Ky është përkufizimi i tij. Është e lehtë të vërtetohet se barazia nënkupton se qendra P e shumëkëndëshit me një bazë lartësie, pra një tetraedron i rregullt është një piramidë e rregullt.
Çfarë është një apotemë?
Apotema e një piramide është lartësia e faqes anësore të saj. Nëse piramida është e rregullt, atëherë të gjitha apotemat e saj janë të barabarta. E kundërta nuk është e vërtetë. 
Mësuesi i matematikës për terminologjinë e tij: puna me piramida 80% ndërtohet përmes dy llojeve të trekëndëshave:
1) Që përmban apotemë SK dhe lartësi SP
2) Që përmban skajin anësor SA dhe PA të projeksionit të tij 
Për të thjeshtuar referencat ndaj këtyre trekëndëshave, është më e përshtatshme që një mësues matematike të emërojë të parën prej tyre. apotemike, dhe e dyta bregdetare. Fatkeqësisht, këtë terminologji nuk do ta gjeni në asnjë nga tekstet shkollore dhe mësuesi duhet ta prezantojë atë në mënyrë të njëanshme.
Formula e vëllimit të piramidës:
1) 
, ku është sipërfaqja e bazës së piramidës dhe është lartësia e piramidës
2), ku është rrezja e sferës së gdhendur dhe është sipërfaqja e përgjithshme e piramidës.
3) 
, ku MN është distanca e çdo dy skajesh kryqëzuese dhe është zona e paralelogramit të formuar nga mesi i katër skajeve të mbetura.
Vetia bazë e lartësisë së piramidës:
Pika P (shih figurën) përkon me qendrën e rrethit të brendashkruar në bazën e piramidës nëse plotësohet një nga kushtet e mëposhtme:
1) Të gjitha apotemat janë të barabarta
2) Të gjitha fytyrat anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë drejt bazës
3) Të gjitha apotemat janë të prirura në mënyrë të barabartë në lartësinë e piramidës
4) Lartësia e piramidës është e prirur njësoj nga të gjitha faqet anësore
Komenti i mësuesit të matematikës: vini re se të gjithë artikujt janë të bashkuar nga një pronë e përbashkët: në një mënyrë apo tjetër, fytyrat anësore marrin pjesë kudo (apotemat janë elementet e tyre). Prandaj, mësuesi mund të ofrojë një formulim më pak të saktë, por më të përshtatshëm për memorizimin: pika P përkon me qendrën e rrethit të brendashkruar, bazën e piramidës, nëse ka ndonjë informacion të barabartë për faqet e saj anësore. Për ta vërtetuar atë, mjafton të tregojmë se të gjithë trekëndëshat apotematikë janë të barabartë.
Pika P përkon me qendrën e rrethit të rrethuar pranë bazës së piramidës, nëse një nga tre kushtet është e vërtetë:
1) Të gjitha skajet anësore janë të barabarta
2) Të gjitha brinjët anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë drejt bazës
3) Të gjitha brinjët anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë në lartësi
Përkufizimi. Fytyra anësore- ky është një trekëndësh në të cilin një kënd shtrihet në majë të piramidës, dhe ana e kundërt e saj përkon me anën e bazës (poligonin).
Përkufizimi. Brinjët anësore janë anët e përbashkëta të faqeve anësore. Një piramidë ka aq skaj sa ka qoshe në një shumëkëndësh.
Përkufizimi. lartësia e piramidësështë një pingul i rënë nga maja në bazën e piramidës.
Përkufizimi. Apotemë- kjo është pingulja e faqes anësore të piramidës, e ulur nga maja e piramidës në anën e bazës.
Përkufizimi. Seksioni diagonal- kjo është një seksion i piramidës nga një aeroplan që kalon nëpër majën e piramidës dhe diagonalen e bazës.
Përkufizimi. Piramida e saktë- Kjo është një piramidë në të cilën baza është një shumëkëndësh i rregullt, dhe lartësia zbret në qendër të bazës.
Vëllimi dhe sipërfaqja e piramidës
Formula. vëllimi i piramidës përmes sipërfaqes dhe lartësisë së bazës:
vetitë e piramidës
Nëse të gjitha skajet anësore janë të barabarta, atëherë një rreth mund të rrethohet rreth bazës së piramidës, dhe qendra e bazës përkon me qendrën e rrethit. Gjithashtu, pingulja e rënë nga lart kalon përmes qendrës së bazës (rrethit).
Nëse të gjitha skajet anësore janë të barabarta, atëherë ato janë të prirura në rrafshin e bazës nën të njëjtat kënde.
Brinjët anësore janë të barabarta kur ato formojnë kënde të barabarta me rrafshin bazë, ose nëse mund të përshkruhet një rreth rreth bazës së piramidës.
Nëse faqet anësore janë të prirura në rrafshin e bazës në një kënd, atëherë një rreth mund të gdhendet në bazën e piramidës, dhe maja e piramidës projektohet në qendër të saj.
Nëse faqet anësore janë të prirura nga rrafshi bazë në një kënd, atëherë apotemat e faqeve anësore janë të barabarta.
Vetitë e një piramide të rregullt
1. Maja e piramidës është e barabartë nga të gjitha cepat e bazës.
2. Të gjitha skajet anësore janë të barabarta.
3. Të gjitha brinjët anësore janë të prirura në të njëjtat kënde me bazën.
4. Apotemat e të gjitha faqeve anësore janë të barabarta.
5. Sipërfaqet e të gjitha faqeve anësore janë të barabarta.
6. Të gjitha fytyrat kanë të njëjtat kënde diedrale (të sheshta).
7. Një sferë mund të përshkruhet rreth piramidës. Qendra e sferës së përshkruar do të jetë pika e kryqëzimit të pinguleve që kalojnë nga mesi i skajeve.
8. Një sferë mund të brendashkohet në një piramidë. Qendra e sferës së brendashkruar do të jetë pika e kryqëzimit të përgjysmuesve që dalin nga këndi midis skajit dhe bazës.
9. Nëse qendra e sferës së brendashkruar përkon me qendrën e sferës së rrethuar, atëherë shuma e këndeve të sheshta në kulm është e barabartë me π ose anasjelltas, një kënd është i barabartë me π / n, ku n është numri të këndeve në bazën e piramidës.
Lidhja e piramidës me sferën
Një sferë mund të përshkruhet rreth piramidës kur në bazën e piramidës shtrihet një shumëfaqësh rreth të cilit mund të përshkruhet një rreth (një kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm). Qendra e sferës do të jetë pika e kryqëzimit të planeve që kalojnë pingul përmes mesit të skajeve anësore të piramidës.
Një sferë mund të përshkruhet gjithmonë rreth çdo piramide trekëndore ose të rregullt.
Një sferë mund të futet në një piramidë nëse rrafshet përgjysmuese të këndeve të brendshme diedrale të piramidës kryqëzohen në një pikë (kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm). Kjo pikë do të jetë qendra e sferës.
Lidhja e piramidës me konin
Një kon quhet i brendashkruar në një piramidë nëse kulmet e tyre përkojnë dhe baza e konit është e gdhendur në bazën e piramidës.
Një kon mund të futet në një piramidë nëse apotemat e piramidës janë të barabarta.
Një kon thuhet se është i rrethuar rreth një piramide nëse kulmet e tyre përkojnë dhe baza e konit është e rrethuar rreth bazës së piramidës.
Një kon mund të përshkruhet rreth një piramide nëse të gjitha skajet anësore të piramidës janë të barabarta me njëra-tjetrën.
Lidhja e një piramide me një cilindër
Një piramidë thuhet se është e gdhendur në një cilindër nëse maja e piramidës shtrihet në një bazë të cilindrit, dhe baza e piramidës është e gdhendur në një bazë tjetër të cilindrit.
Një cilindër mund të rrethohet rreth një piramide nëse një rreth mund të rrethohet rreth bazës së piramidës.
Një katërkëndor ka katër fytyra dhe katër kulme dhe gjashtë skaje, ku çdo dy skaj nuk ka kulme të përbashkëta, por nuk preken.
Çdo kulm përbëhet nga tre faqe dhe skaje që formohen këndi trekëndor.
Quhet segmenti që lidh kulmin e tetraedrit me qendrën e faqes së kundërt mediana e tetraedrit(GM).
Bimedian quhet segment që lidh mesin e skajeve të kundërta që nuk preken (KL).
Të gjithë bimedianët dhe medianët e një tetraedri kryqëzohen në një pikë (S). Në këtë rast, bimediat ndahen përgjysmë, dhe mesataret në një raport 3: 1 duke filluar nga lart.
Përkufizimi. Piramida akute me këndështë një piramidë në të cilën apotema është më shumë se gjysma e gjatësisë së anës së bazës.
Përkufizimi. piramidë e mpirëështë një piramidë në të cilën apotema është më e vogël se gjysma e gjatësisë së anës së bazës.
Përkufizimi. tetraedron i rregullt Një katërkëndësh katër faqet e të cilit janë trekëndësha barabrinjës. Është një nga pesë shumëkëndëshat e rregullt. Në një katërkëndor të rregullt, të gjithë këndet dihedral (midis faqeve) dhe këndet trekëndësh (në një kulm) janë të barabartë.
Përkufizimi. Katërkëndëshi drejtkëndor quhet një katërkëndor i cili ka një kënd të drejtë midis tre skajeve në kulm (skajet janë pingul). Formohen tre fytyra kënd trekëndor drejtkëndor dhe faqet janë trekëndësha kënddrejtë, dhe baza është një trekëndësh arbitrar. Apotema e çdo fytyre është e barabartë me gjysmën e anës së bazës mbi të cilën bie apotema.
Përkufizimi. Tetraedri izohedral Quhet një katërkëndësh në të cilin faqet anësore janë të barabarta me njëra-tjetrën, dhe baza është një trekëndësh i rregullt. Fytyrat e një katërkëndëshi të tillë janë trekëndësha dykëndësh.
Përkufizimi. Tetraedri ortocentrik quhet një katërkëndor në të cilin të gjitha lartësitë (perpendikularët) që janë ulur nga maja në faqen e kundërt kryqëzohen në një pikë.
Përkufizimi. piramida e yjeve Një shumëfaqësh, baza e të cilit është një yll quhet.
Prezantimi
Kur filluam të studionim figurat stereometrike, prekëm temën "Piramida". Na pëlqeu kjo temë sepse piramida përdoret shumë shpesh në arkitekturë. Dhe që nga jona profesionin e ardhshëm arkitekte, e frymëzuar nga kjo figurë, mendojmë se do të mund të na shtyjë drejt projekteve të mëdha.
Forca e strukturave arkitekturore, cilësia e tyre më e rëndësishme. Lidhja e forcës, së pari, me materialet nga të cilat janë krijuar dhe, së dyti, me veçoritë zgjidhje konstruktive, rezulton se forca e strukturës lidhet drejtpërdrejt me formën gjeometrike që është bazë për të.
Me fjalë të tjera, bëhet fjalë për figurën gjeometrike që mund të konsiderohet si model i formës arkitekturore përkatëse. Rezulton se formë gjeometrike përcakton edhe forcën e strukturës arkitekturore.
Piramidat egjiptiane janë konsideruar prej kohësh struktura arkitekturore më e qëndrueshme. Siç e dini, ato kanë formën e piramidave të rregullta katërkëndore.
Është kjo formë gjeometrike që siguron stabilitetin më të madh për shkak të sipërfaqe të madhe bazat. Nga ana tjetër, forma e piramidës siguron që masa të zvogëlohet me rritjen e lartësisë mbi tokë. Janë këto dy veti që e bëjnë piramidën të qëndrueshme, dhe për këtë arsye të fortë në kushtet e gravitetit.
Objektivi i projektit: mësoni diçka të re për piramidat, thelloni njohuritë dhe gjeni aplikime praktike.
Për të arritur këtë qëllim, ishte e nevojshme të zgjidheshin detyrat e mëposhtme:
Mësoni informacion historik rreth piramidës
Merrni parasysh piramidën figura gjeometrike
Gjeni aplikim në jetë dhe arkitekturë
Gjeni ngjashmëritë dhe ndryshimet midis piramidave të vendosura në pjesë të ndryshme të botës
Pjesa teorike
Informacion historik
Fillimi i gjeometrisë së piramidës u hodh në Egjiptin e lashtë dhe Babiloninë, por ajo u zhvillua në mënyrë aktive në Greqia e lashte. I pari që vendosi se me çfarë vëllimi i piramidës është i barabartë ishte Demokriti, dhe Eudoksi i Knidit e vërtetoi këtë. Matematikan i lashtë grek Euklidi sistematizoi njohuritë për piramidën në vëllimin XII të "Fillimeve" të tij dhe nxori gjithashtu përkufizimin e parë të piramidës: një figurë trupore e kufizuar nga rrafshe që konvergojnë nga një rrafsh në një pikë.
Varret e faraonëve egjiptianë. Më e madhja prej tyre - piramidat e Keopsit, Khafre dhe Mikerin në El Giza në kohët e lashta konsideroheshin një nga Shtatë mrekullitë e botës. Ngritja e piramidës, në të cilën grekët dhe romakët tashmë panë një monument për krenarinë e paparë të mbretërve dhe mizorinë, e cila e dënoi të gjithë popullin e Egjiptit në një ndërtim të pakuptimtë, ishte akti më i rëndësishëm i kultit dhe që supozohej të shprehte, me sa duket, identitetin mistik të vendit dhe sundimtarit të tij. Popullsia e vendit punonte për ndërtimin e tyrbes në një pjesë të vitit të lirë nga punët bujqësore. Një sërë tekstesh dëshmojnë për vëmendjen dhe kujdesin që vetë mbretërit (ndonëse të një kohe të mëvonshme) i kushtuan ndërtimit të varrit të tyre dhe ndërtuesve të tij. Dihet edhe për nderimet e veçanta të kultit që rezultuan të ishin vetë piramida.
Konceptet bazë
Piramida Quhet një shumëkëndësh, baza e të cilit është një shumëkëndësh, dhe faqet e mbetura janë trekëndësha që kanë një kulm të përbashkët.
Apotemë- lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt, të tërhequr nga maja e saj;
Fytyrat anësore- trekëndëshat që konvergojnë në krye;
Brinjët anësore- anët e përbashkëta të faqeve anësore;
maja e piramidës- një pikë që lidh skajet anësore dhe nuk shtrihet në rrafshin e bazës;
Lartësia- një segment i një pingule të tërhequr përmes majës së piramidës në rrafshin e bazës së saj (skajet e këtij segmenti janë maja e piramidës dhe baza e pingules);
Seksioni diagonal i një piramide- seksioni i piramidës që kalon nga maja dhe diagonalja e bazës;
Baza- një shumëkëndësh që nuk i përket majës së piramidës.
Karakteristikat kryesore të piramidës së saktë
Skajet anësore, faqet anësore dhe apotemat janë të barabarta, përkatësisht.
Këndet dihedrale në bazë janë të barabarta.
Këndet dihedrale në skajet anësore janë të barabarta.
Çdo pikë lartësie është e barabartë nga të gjitha kulmet bazë.
Çdo pikë lartësie është e barabartë nga të gjitha faqet anësore.
Formulat bazë të piramidës
Zona e sipërfaqes anësore dhe të plotë të piramidës.
Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të piramidës (e plotë dhe e cunguar) është shuma e sipërfaqeve të të gjitha fytyrave të saj anësore, sipërfaqja totale është shuma e sipërfaqeve të të gjitha fytyrave të saj.
Teorema: Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt është e barabartë me gjysmën e produktit të perimetrit të bazës dhe apotemës së piramidës.
fq- perimetri i bazës;
h- apotemë.
Zona e sipërfaqeve anësore dhe të plota të një piramide të cunguar.
p1, fq 2 - perimetrat e bazës;
h- apotemë.
R- sipërfaqja totale e një piramide të rregullt të cunguar;
Ana S- zona e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt të cunguar;
S1 + S2- zona e bazës
Vëllimi i Piramidës
Forma Shkalla e vëllimit përdoret për piramida të çdo lloji.
Hështë lartësia e piramidës.
Këndet e piramidës
Këndet që formohen nga faqja anësore dhe baza e piramidës quhen kënde dyhedrale në bazën e piramidës.
Një kënd dihedral formohet nga dy pingul.
Për të përcaktuar këtë kënd, shpesh duhet të përdorni teoremën e tre pingulave.
Quhen këndet që formohen nga një buzë anësore dhe projeksioni i saj në rrafshin e bazës këndet ndërmjet skajit anësor dhe rrafshit të bazës.
Këndi i formuar nga dy faqe anësore quhet këndi dihedral në skajin anësor të piramidës.
Këndi, i cili formohet nga dy skajet anësore të njërës faqe të piramidës, quhet qoshe në majë të piramidës.
Seksionet e piramidës
Sipërfaqja e një piramide është sipërfaqja e një poliedri. Secila nga faqet e saj është një rrafsh, kështu që pjesa e piramidës e dhënë nga rrafshi sekant është një vijë e thyer e përbërë nga vija të veçanta të drejta.
Seksioni diagonal
Seksioni i një piramide nga një rrafsh që kalon nëpër dy skaje anësore që nuk shtrihen në të njëjtën faqe quhet seksion diagonal piramidat.
Seksione paralele
Teorema:
Nëse piramida përshkohet nga një rrafsh paralel me bazën, atëherë skajet anësore dhe lartësitë e piramidës ndahen nga ky rrafsh në pjesë proporcionale;
Seksioni i këtij rrafshi është një shumëkëndësh i ngjashëm me bazën;
Zonat e seksionit dhe bazës janë të lidhura me njëra-tjetrën si katrorët e distancave të tyre nga lart.
Llojet e piramidave
Piramida e saktë- një piramidë, baza e së cilës është një shumëkëndësh i rregullt, dhe maja e piramidës është projektuar në qendër të bazës.
Në piramidën e duhur:
1. brinjët anësore janë të barabarta
2. faqet anësore janë të barabarta
3. apotemat janë të barabarta
4. këndet dihedrale në bazë janë të barabarta
5. këndet dihedrale në skajet anësore janë të barabarta
6. çdo pikë lartësie është e barabartë nga të gjitha kulmet bazë
7. çdo pikë lartësie është e barabartë nga të gjitha faqet anësore
Piramida e cunguar- pjesa e piramidës e mbyllur midis bazës së saj dhe një rrafshi prerës paralel me bazën.
Baza dhe seksioni përkatës i një piramide të cunguar quhen bazat e një piramide të cunguar.
Një pingul i tërhequr nga çdo pikë e një baze në rrafshin e tjetrës quhet lartësia e piramidës së cunguar.
Detyrat
nr 1. Në një piramidë të rregullt katërkëndëshe pika O është qendra e bazës, SO=8 cm, BD=30 cm Gjeni buzën anësore SA.
Zgjidhja e problemeve
nr 1. Në një piramidë të rregullt, të gjitha fytyrat dhe skajet janë të barabarta.
Le të shqyrtojmë OSB: OSB-drejtkëndësh drejtkëndor, sepse.
SB 2 \u003d SO 2 + OB 2
SB2=64+225=289
Piramida në arkitekturë
Piramida - një strukturë monumentale në formën e një piramide të zakonshme gjeometrike, në të cilën anët konvergojnë në një pikë. Nga qëllim funksional piramidat në kohët e lashta ishin vende varrimi ose adhurimi. Baza e një piramide mund të jetë trekëndore, katërkëndore ose poligonale me një numër arbitrar kulmesh, por versioni më i zakonshëm është baza katërkëndore.
Njihen një numër i konsiderueshëm piramidash të ndërtuara nga kultura të ndryshme. bota e lashtë kryesisht si tempuj apo monumente. Piramidat më të mëdha janë piramidat egjiptiane.
Në të gjithë Tokën mund të shihni struktura arkitekturore në formën e piramidave. Ndërtesat piramidale të kujtojnë kohët e lashta dhe duken shumë bukur.
Piramidat e Egjiptit më i madhi monumente arkitekturore Egjipti i lashte, ndër të cilat një nga "Shtatë mrekullitë e botës" është piramida e Keopsit. Nga këmba deri në majë, arrin 137.3 m, dhe para se të humbiste majën, lartësia e saj ishte 146.7 m.
Ndërtesa e radiostacionit në kryeqytetin e Sllovakisë, që i ngjan një piramide të përmbysur, është ndërtuar në vitin 1983. Përveç zyrave dhe ambienteve të shërbimit, brenda vëllimit ndodhet edhe një sallë koncertesh mjaft e gjerë, e cila ka një nga organet më të mëdha në Sllovaki. .
Luvri, i cili "është i heshtur dhe madhështor si një piramidë" ka pësuar shumë ndryshime gjatë shekujve përpara se të bëhej muzeu më i madh në botë. Ajo lindi si një kështjellë, e ngritur nga Philip Augustus në 1190, e cila shpejt u kthye në një rezidencë mbretërore. Në 1793 pallati u bë muze. Koleksionet pasurohen nëpërmjet amaneteve apo blerjeve.
Ky video tutorial do t'i ndihmojë përdoruesit të marrin një ide rreth temës së Piramidës. Piramida e saktë. Në këtë mësim do të njihemi me konceptin e një piramide, do t'i japim një përkufizim. Konsideroni se çfarë është një piramidë e rregullt dhe çfarë karakteristikash ka. Pastaj vërtetojmë teoremën në sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt.
Në këtë mësim do të njihemi me konceptin e një piramide, do t'i japim një përkufizim.
Konsideroni një shumëkëndësh A 1 A 2...Një n, e cila shtrihet në rrafshin α, dhe një pikë P, e cila nuk shtrihet në rrafshin α (Fig. 1). Le të lidhim pikën P me majat A 1, A 2, A 3, … Një n. Marr n trekëndëshat: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R etj.
Përkufizimi. Polyedron RA 1 A 2 ... A n, e përbërë nga n-gon A 1 A 2...Një n dhe n trekëndëshat RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1, thirri n- piramida e qymyrit. Oriz. një.
Oriz. një
Konsideroni një piramidë katërkëndore PABCD(Fig. 2).
R- maja e piramidës.
ABCD- baza e piramidës.
RA- brinjë anësore.
AB- buza e bazës.
Nga një pikë R bie pingulen RN në rrafshin e tokës ABCD. Vizatuar pingul është lartësia e piramidës.
Oriz. 2
Sipërfaqe e plotë Piramida përbëhet nga një sipërfaqe anësore, domethënë zona e të gjitha fytyrave anësore dhe zona e bazës:
S e plotë \u003d ana S + S kryesore
Një piramidë quhet e saktë nëse:
- baza e tij është një shumëkëndësh i rregullt;
- segmenti që lidh majën e piramidës me qendrën e bazës është lartësia e saj.
Shpjegim mbi shembullin e një piramide të rregullt katërkëndore
Konsideroni një piramidë të rregullt katërkëndore PABCD(Fig. 3).
R- maja e piramidës. baza e piramidës ABCD- një katërkëndësh i rregullt, domethënë një katror. Pika O, pika e kryqëzimit të diagonaleve, është qendra e katrorit. Do të thotë, ROështë lartësia e piramidës.
Oriz. 3
Shpjegim: në të djathtë n-gon, qendra e rrethit të brendashkruar dhe qendra e rrethit të rrethuar përputhen. Kjo qendër quhet qendra e poligonit. Ndonjëherë ata thonë se maja është projektuar në qendër.
Lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt, e tërhequr nga maja e saj, quhet apotemë dhe shënohet h a.
1. të gjitha skajet anësore të një piramide të rregullt janë të barabarta;
2. faqet anësore janë trekëndësha të barabartë dykëndësh.
Le t'i vërtetojmë këto veti duke përdorur shembullin e një piramide të rregullt katërkëndore.
E dhënë: RABCD- piramida e rregullt katërkëndore,
ABCD- katror,
ROështë lartësia e piramidës.
Provoj:
1. RA = PB = PC = PD
2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Shih Fig. 4.
Oriz. 4
Dëshmi.
ROështë lartësia e piramidës. Domethënë drejt RO pingul me rrafshin ABC, dhe si rrjedhim i drejtpërdrejtë AO, VO, SO dhe BËJ i shtrirë në të. Pra trekëndëshat ROA, ROV, ROS, ROD- drejtkëndëshe.
Konsideroni një katror ABCD. Nga vetitë e një katrori rrjedh se AO = BO = CO = BËJ.
Pastaj trekëndëshat kënddrejtë ROA, ROV, ROS, ROD këmbën RO- të përgjithshme dhe këmbët AO, VO, SO dhe BËJ të barabartë, pra këta trekëndësha janë të barabartë në dy këmbë. Nga barazia e trekëndëshave rrjedh barazia e segmenteve, RA = PB = PC = PD. Pika 1 është vërtetuar.
Segmentet AB dhe dielli janë të barabarta sepse janë brinjë të të njëjtit katror, RA = RV = PC. Pra trekëndëshat AVR dhe VCR - isosceles dhe të barabartë në tre anët.
Në mënyrë të ngjashme, marrim se trekëndëshat ABP, PKK, CDP, DAP janë dykëndësh dhe të barabartë, gjë që kërkohej të vërtetohej në pikën 2.
Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt është e barabartë me gjysmën e produktit të perimetrit të bazës dhe apotemës:
Për vërtetim, ne zgjedhim një piramidë të rregullt trekëndore.
E dhënë: RAVSështë një piramidë e rregullt trekëndore.
AB = BC = AC.
RO- lartësia.
Provoj: 
. Shih Fig. 5.
Oriz. 5
Dëshmi.
RAVSështë një piramidë e rregullt trekëndore. Kjo eshte AB= AC = BC. Le O- qendra e trekëndëshit ABC, pastaj ROështë lartësia e piramidës. Baza e piramidës është një trekëndësh barabrinjës. ABC. vini re, se 
.
trekëndëshat RAV, RVS, RSA- trekëndësha të barabartë dykëndësh (sipas vetisë). Një piramidë trekëndore ka tre faqe anësore: RAV, RVS, RSA. Pra, zona e sipërfaqes anësore të piramidës është:
Ana S = 3S RAB
Teorema është vërtetuar.
Rrezja e një rrethi të gdhendur në bazën e një piramide të rregullt katërkëndore është 3 m, lartësia e piramidës është 4 m. Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të piramidës.
E dhënë: piramidë e rregullt katërkëndore ABCD,
ABCD- katror,
r= 3 m,
RO- lartësia e piramidës,
RO= 4 m.
Gjej: Ana S. Shih Fig. 6.
Oriz. 6
Zgjidhje.
Sipas teoremës së provuar,.
Gjeni fillimisht anën e bazës AB. Ne e dimë se rrezja e një rrethi të gdhendur në bazën e një piramide të rregullt katërkëndore është 3 m.
Pastaj, m.
Gjeni perimetrin e katrorit ABCD me një anë prej 6 m:
Konsideroni një trekëndësh BCD. Le M- ana e mesme DC. Sepse O- mes BD, pastaj 
(m).
Trekëndëshi DPC- izosceles. M- mes DC. Kjo eshte, RM- mesatarja, dhe rrjedhimisht lartësia në trekëndësh DPC. Pastaj RM- apotema e piramidës.
ROështë lartësia e piramidës. Pastaj, drejt RO pingul me rrafshin ABC, dhe si rrjedhim i drejtpërdrejtë OM i shtrirë në të. Le të gjejmë një apotemë RM nga trekëndësh kënddrejtë ROM.
Tani mund të gjejmë sipërfaqe anësore piramidat:
Përgjigju: 60 m2.
Rrezja e një rrethi të rrethuar pranë bazës së një piramide të rregullt trekëndore është m. Sipërfaqja anësore është 18 m 2. Gjeni gjatësinë e apotemës.
E dhënë: ABCP- piramida e rregullt trekëndore,
AB = BC = SA,
R= m,
Ana S = 18 m 2.
Gjej: . Shih Fig. 7.
Oriz. 7
Zgjidhje.
Në një trekëndësh kënddrejtë ABC duke pasur parasysh rrezen e rrethit të rrethuar. Le të gjejmë një anë AB ky trekëndësh duke përdorur teoremën e sinusit.
Duke ditur brinjën e një trekëndëshi të rregullt (m), gjejmë perimetrin e tij.
Sipas teoremës mbi sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt, ku h a- apotema e piramidës. Pastaj:
Përgjigju: 4 m.
Pra, ne shqyrtuam se çfarë është një piramidë, çfarë është një piramidë e rregullt, ne vërtetuam teoremën në sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt. Në mësimin e ardhshëm do të njihemi me piramidën e cunguar.
Bibliografi
- Gjeometria. Klasa 10-11: një libër shkollor për studentët e institucioneve arsimore (bazë dhe nivelet e profilit) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Botimi i 5-të, Rev. dhe shtesë - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill.
- Gjeometria. Klasa 10-11: Libër mësuesi për arsimin e përgjithshëm institucionet arsimore/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 f.: ill.
- Gjeometria. Klasa 10: Libër mësuesi për institucionet arsimore të përgjithshme me studim të thelluar dhe profil të matematikës / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Botimi i 6-të, stereotip. - M.: Bustard, 008. - 233 f.: ill.
- Portali në internet "Yaklass" ()
- Portali në internet "Festivali i Ideve Pedagogjike "I Shtatori i Parë" ()
- Portali në internet "Slideshare.net" ()
Detyre shtepie
- A mund të jetë një shumëkëndësh i rregullt baza e një piramide të parregullt?
- Vërtetoni se skajet jo të kryqëzuara të një piramide të rregullt janë pingul.
- Gjeni vlerën e këndit dihedral në anën e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore, nëse apotema e piramidës është e barabartë me faqen e bazës së saj.
- RAVSështë një piramidë e rregullt trekëndore. Ndërtoni këndin linear të këndit dihedral në bazën e piramidës.