Šajā rakstā apskatīta spēļu teorijas pielietošana ekonomikā. Spēļu teorija ir matemātiskās ekonomikas nozare. Viņa izstrādā ieteikumus procesa dalībnieku racionālai rīcībai, kad viņu intereses nesakrīt. Spēļu teorija palīdz uzņēmumiem pieņemt optimālus lēmumus konfliktsituācijās.
- Komercbanku aktīvā darbība un to grāmatvedība
- Kapitālā remonta fonda veidošanas pilnveidošana daudzdzīvokļu ēkās
- Sniegto valsts (pašvaldību) pakalpojumu kvalitātes novērtēšanas jautājumu normatīvais un tiesiskais regulējums Krievijā
Spēļu teorija un ekonomika ir nesaraujami saistītas, jo spēļu teorijas problēmu risināšanas metodes palīdz noteikt labāko stratēģiju dažādām ekonomiskajām situācijām. Tātad, kā tiek raksturots jēdziens “spēles teorija”?
Spēļu teorija ir matemātiska teorija par lēmumu pieņemšanu konflikta apstākļos. Spēļu teorija ir svarīga operāciju izpētes teorijas sastāvdaļa, kas pēta lēmumu pieņemšanu konfliktsituācijās.
Spēļu teorija ir matemātiskās ekonomikas nozare. Spēļu teorijas mērķis ir izstrādāt ieteikumus procesa dalībnieku racionālai rīcībai, kad viņu intereses nesakrīt, tas ir, konflikta situācijā. Spēle ir konfliktsituācijas modelis. Spēlētāji ekonomikā ir partneri, kas piedalās konfliktā. Konflikta rezultāts ir uzvara vai zaudējums.
Kopumā konflikti notiek dažādās cilvēku interešu jomās: ekonomikā, socioloģijā, politoloģijā, bioloģijā, kibernētikā, militārajās lietās. Visbiežāk ekonomikā tiek izmantota spēļu teorija un konfliktsituācijas. Katram spēlētājam ir noteikts stratēģiju kopums, ko spēlētājs var piemērot. Krustojoties, veidojas vairāku spēlētāju stratēģijas noteikta situācija, kur katrs spēlētājs saņem noteiktu rezultātu (uzvara vai zaudējums). Izvēloties stratēģiju, ir svarīgi ņemt vērā ne tikai maksimālā uzvara gūšanu sev, bet arī iespējamos ienaidnieka gājienus un to ietekmi uz situāciju kopumā.
Uzlabot apstākļos pieņemto ekonomisko lēmumu kvalitāti un efektivitāti tirgus attiecības un nenoteiktība, spēļu teorijas metodes var saprātīgi pielietot.
Ekonomiskās situācijās spēlēs var būt pilnīga vai nepilnīga informācija. Visbiežāk ekonomisti saskaras ar pilnīga informācija lēmumu pieņemšanai. Tāpēc ir nepieciešams pieņemt lēmumus nenoteiktības apstākļos, kā arī noteikta riska apstākļos. Risinot ekonomiskās problēmas (situācijas), parasti saskaras ar vienas kustības un vairāku gājienu spēlēm. Stratēģiju skaits var būt ierobežots vai bezgalīgs.
Spēļu teorija ekonomikā galvenokārt izmanto matricas vai taisnstūrveida spēles, kurām tiek sastādīta izmaksu matrica (1. tabula).
1. tabula. Spēļu maksājumu matrica
Jādefinē šo koncepciju. Spēles maksājumu matrica ir matrica, kas parāda maksājumu no viena spēlētāja otram ar nosacījumu, ka pirmais spēlētājs izvēlas stratēģiju Ai, otrais - Bi.
Kāds ir ekonomisko problēmu risināšanas mērķis, izmantojot spēļu teoriju? Ekonomiskas problēmas risināšana nozīmē atrast pirmā un otrā spēlētāja optimālo stratēģiju un atrast spēles cenu.
Atrisināsim manis sastādīto ekonomisko problēmu.
Pilsētā G ir divi konkurējoši uzņēmumi (“Sweet World” un “Sladkoezhka”), kas ražo šokolādi. Abi uzņēmumi var ražot piena šokolādi un tumšo šokolādi. Uzņēmuma “Sweet World” stratēģiju apzīmēsim kā Ai, bet uzņēmuma “Sladkoezhka” – kā Bi. Aprēķināsim efektivitāti visām iespējamajām uzņēmumu "Sweet World" un "Sladkoezhka" stratēģiju kombinācijām un izveidosim maksājumu matricu (2. tabula).
2. tabula. Spēļu maksājumu matrica
Šai izmaksu matricai nav seglu punkta, tāpēc tā tiek atrisināta, izmantojot jauktas stratēģijas.
U1 = (a22-a21) / (a11+a22-a21-a12) = (6-3) / (5+6-3-4) =0,75.
U2 = (a11-a12) / (a11+a22-a21-a12) = (5-4) / (5+6-3-4) = 0,25.
Z1 = (a22-a12) / (a11+a22-a21-a12) = (6-4) / (5+6-3-4) = 0,4.
Z2 = (a11-a21) / (a11+a22-a21-a12) = (5-3) / (5+6-3-4) = 0,6.
Spēles cena = (a11*a22-a12*a21) / (a11+a22-a21-a12) = (5*6-4*3) / (5+6-3-4) = 4,5.
Var teikt, ka uzņēmumam Sweet World šokolādes produkcija jāsadala šādi: 75% no kopējās produkcijas jāatvēl piena šokolādes ražošanai, bet 25% - tumšās šokolādes ražošanai. Uzņēmumam Sladkoezhka vajadzētu ražot 40% piena šokolādes un 60% rūgtās šokolādes.
Spēļu teorija attiecas uz lēmumu pieņemšanu konfliktsituācijās starp diviem vai vairākiem inteliģentiem pretiniekiem, no kuriem katrs cenšas optimizēt savus lēmumus uz citu rēķina.
Tādējādi šajā rakstā tika apskatīts spēļu teorijas pielietojums ekonomikā. Ekonomikā nereti rodas brīži, kad jāpieņem optimālais lēmums, un ir vairākas lēmuma pieņemšanas iespējas. Spēļu teorija palīdz pieņemt lēmumus konfliktsituācijās. Spēļu teorija ekonomikā var palīdzēt noteikt optimāla atbrīvošana preces uzņēmumam, optimāla apdrošināšanas prēmiju samaksa utt.
Bibliogrāfija
- Belolipetsky, A. A. Ekonomiskās un matemātiskās metodes [Teksts]: mācību grāmata studentiem. Augstāks Mācību grāmata Iestādes / A. A. Belolipetsky, V. A. Gorelik. – M.: Izdevniecības centrs “Akadēmija”, 2010. – 368 lpp.
- Luginin, O. E. Ekonomiskās un matemātiskās metodes un modeļi: teorija un prakse ar problēmu risināšanu [Teksts]: pamācība/ O. E. Lugiņins, V. N. Fomišina. – Rostova n/d: Fēnikss, 2009. – 440 lpp.
- Nevežins, V. P. Spēles teorija. Piemēri un uzdevumi [Teksts]: mācību grāmata / V. P. Ņevežins. – M.: FORUMS, 2012. – 128 lpp.
- Sliva, I. I. Spēles teorijas metodes pielietojums ekonomisko problēmu risināšanai [Teksts] / I. I. Sliva // Maskavas Valsts tehniskās universitātes MAMI ziņas. – 2013. – Nr.1. – 154.-162.lpp.
Šīs nodaļas apguves rezultātā studentam vajadzētu:
zināt
Spēļu jēdzieni, kuru pamatā ir dominēšanas princips, Neša līdzsvars, kas ir atgriezeniskā indukcija utt.; konceptuālās pieejas spēles risināšanai, racionalitātes un līdzsvara jēdziena nozīme mijiedarbības stratēģijas ietvaros;
būt spējīgam
Atšķirt spēles stratēģiskās un detalizētās formās, izveidojiet "spēļu koku"; formulēt sacensību modeļus dažādi veidi tirgi;
pašu
Spēļu rezultātu noteikšanas metodes.
Spēles: pamatjēdzieni un principi
Pirmo mēģinājumu izveidot matemātisko spēļu teoriju 1921. gadā veica E. Borels. Kā neatkarīga zinātnes joma spēļu teorija pirmo reizi tika sistemātiski izklāstīta J. fon Neimana un O. Morgensterna monogrāfijā “Spēļu teorija un ekonomiskā uzvedība” 1944. gadā. Kopš tā laika daudzas ekonomikas teorijas nozares (piemēram, nepilnīga konkurence, ekonomisko stimulu teorija utt.) .) attīstījās ciešā saskarē ar spēļu teoriju. Spēļu teoriju veiksmīgi izmanto arī sociālajās zinātnēs (piemēram, balsošanas procedūru analīze, līdzsvara jēdzienu meklēšana, kas nosaka indivīdu kooperatīvu un nesadarbīgu uzvedību). Parasti vēlētāji izvēlas kandidātus, kuri pārstāv ekstrēmi punkti vīzija, bet, ievēlot vienu no diviem kandidātiem, kas piedāvā dažādus kompromisa risinājumus, rodas cīņa. Pat Ruso ideja par evolūciju no "dabiskās brīvības" uz "pilsonisko brīvību" formāli atbilst no spēles teorijas viedokļa sadarbības viedokļa.
Spēle ir idealizēts matemātisks vairāku indivīdu (spēlētāju), kuru intereses atšķiras, kolektīvās uzvedības modelis, kas rada konfliktu. Konflikts ne vienmēr nozīmē antagonistisku pretrunu esamību starp pusēm, bet vienmēr ir saistīts ar kāda veida nesaskaņām. Konfliktsituācija būs antagonistiska, ja vienas puses laimesta palielinājums par noteiktu summu novedīs pie otras puses laimesta samazināšanās par tādu pašu summu un otrādi. Interešu antagonisms rada konfliktu, un interešu sakritība samazina spēli līdz darbību koordinēšanai (sadarbībai).
Konfliktsituācijas piemēri ir situācijas, kas rodas pircēja un pārdevēja attiecībās; konkurences apstākļos starp dažādiem uzņēmumiem; kaujas operāciju laikā utt.. Spēļu piemēri ir parastas spēles: šahs, dambrete, kārtis, istabas spēles utt. (tātad nosaukums "spēles teorija" un tās terminoloģija).
Lielākajā daļā spēļu, kas izriet no analīzes finanšu un ekonomikas, vadības situācijas, spēlētāju (pušu) intereses nav strikti antagonistiskas vai absolūti nesakrīt. Pircējs un pārdevējs vienojas, ka viņu abpusējās interesēs ir vienoties par pirkumu un pārdošanu, taču viņi enerģiski vienojas par konkrētu cenu savstarpēja izdevīguma robežās.
Spēļu teorija-Šo matemātiskā teorija konfliktsituācijas.
Spēle no īsta konflikta atšķiras ar to, ka tiek spēlēta pēc noteiktiem noteikumiem. Šie noteikumi nosaka gājienu secību, katras puses informācijas apjomu par otras puses uzvedību un spēles iznākumu atkarībā no pašreizējās situācijas. Noteikumi nosaka arī spēles beigas, kad jau ir veikta noteikta gājienu secība, un vairs nav atļauts veikt kustības.
Spēļu teorijai, tāpat kā jebkuram matemātiskajam modelim, ir savi ierobežojumi. Viens no tiem ir pieņēmums par pretinieku pilnīgu (ideālu) inteliģenci. Reālā konfliktā bieži vien labākā stratēģija ir uzminēt, par ko ienaidnieks ir stulbs, un izmantot šo stulbumu savā labā.
Vēl viens spēles teorijas trūkums ir tas, ka katram spēlētājam ir jāzina visas iespējamās pretinieka darbības (stratēģijas), tikai nav zināms, kuras no tām viņš izmantos konkrētajā spēlē. Reālā konfliktā tas tā parasti nenotiek: visu iespējamo ienaidnieka stratēģiju saraksts nav precīzi zināms, un labākais risinājums konflikta situācijā bieži vien būs pārkāpt ienaidniekam zināmās stratēģijas robežas, lai “apdullināt” viņu ar kaut ko pilnīgi jaunu, neparedzētu.
Spēļu teorija neietver riska elementus, kas neizbēgami pavada saprātīgi risinājumi reālos konfliktos. Tas nosaka konfliktā iesaistīto pušu piesardzīgāko, pārapdrošināšanas izturēšanos.
Turklāt spēļu teorijā tiek atrastas optimālas stratēģijas, pamatojoties uz vienu rādītāju (kritēriju). Praktiskās situācijās bieži vien ir jāņem vērā nevis viens, bet vairāki skaitliski kritēriji. Stratēģija, kas ir optimāla vienam rādītājam, var nebūt optimāla citiem.
Apzinoties šos ierobežojumus un tāpēc akli neievērojot spēļu teoriju sniegtos ieteikumus, joprojām ir iespējams izstrādāt pilnīgi pieņemamu stratēģiju daudzām reālās dzīves konfliktsituācijām.
Pašlaik notiek Zinātniskie pētījumi, kuras mērķis ir paplašināt spēļu teorijas pielietojuma jomas.
Literatūrā ir atrodamas šādas spēli veidojošo elementu definīcijas.
Spēlētāji- tie ir mijiedarbībā iesaistīti subjekti, kas attēloti spēles veidā. Mūsu gadījumā tās ir mājsaimniecības, uzņēmumi un valdība. Tomēr ārējo apstākļu nenoteiktības gadījumā ir diezgan ērti attēlot nejaušās spēles sastāvdaļas, neatkarīgi no spēlētāju uzvedības, kā “dabas” darbības.
Spēles noteikumi. Spēles noteikumi attiecas uz spēlētājiem pieejamo darbību vai gājienu kopumiem. Šajā gadījumā darbības var būt ļoti dažādas: pircēju lēmumi par iegādāto preču vai pakalpojumu apjomu; firmas - par ražošanas apjomiem; valdības noteiktais nodokļu līmenis.
Spēles iznākuma (rezultāta) noteikšana. Katrai spēlētāja darbību kombinācijai spēles iznākums tiek noteikts gandrīz mehāniski. Rezultāts var būt: patēriņa groza sastāvs, uzņēmuma izlaides vektors vai citu kvantitatīvo rādītāju kopums.
Uzvaras. Uzvaras jēdziena nozīme var atšķirties dažādi veidi spēles. Šajā gadījumā ir skaidri jānošķir ieguvumi, kas mērīti pēc kārtas (piemēram, lietderības līmenis) un vērtības, kurām ir jēga intervālu salīdzināšanai (piemēram, peļņa, labklājības līmenis).
Informācija un cerības. Nenoteiktība un pastāvīgi mainīgā informācija var ārkārtīgi nopietni ietekmēt iespējamos mijiedarbības rezultātus. Tieši tāpēc ir jāņem vērā informācijas loma spēles izstrādē. Šajā sakarā priekšplānā izvirzās jēdziens informācijas komplekts spēlētājs, t.i. visas informācijas kopums par spēles stāvokli, kas viņam ir galvenie punkti laiks.
Apsverot spēlētāju piekļuvi informācijai, intuitīva ideja par kopīgām zināšanām vai publicitāte, kas nozīmē sekojošo: fakts parasti ir zināms, ja visi spēlētāji to apzinās un visi spēlētāji zina, ka arī citi spēlētāji par to zina.
Gadījumos, kad nepietiek ar vispārējo zināšanu jēdziena piemērošanu, jēdziens indivīds cerības dalībnieki - idejas par to, kā notiek spēles situācija šajā posmā.
Spēļu teorijā tiek pieņemts, ka spēle sastāv no kustas, ko spēlētāji izpilda vienlaicīgi vai secīgi.
Kustības ir personiskas un nejaušas. Kustību sauc personisks, ja spēlētājs to apzināti izvēlas no iespējamo darbību variantu kopuma un veic to (piemēram, jebkuru gājienu šaha spēlē). Kustību sauc nejauši, ja tā izvēli izdara nevis spēlētājs, bet gan kāds nejaušas izvēles mehānisms (piemēram, balstoties uz monētas mešanas rezultātiem).
Tiek izsaukts gājienu kopums, ko spēlētāji veic no spēles sākuma līdz beigām ballīte.
Viens no spēles teorijas pamatjēdzieniem ir stratēģijas jēdziens. stratēģija Spēlētājs ir noteikumu kopums, kas nosaka darbības izvēli katram personīgajam gājienam atkarībā no situācijas, kas rodas spēles laikā. Vienkāršās (vienas kustības) spēlēs, kad katrā spēlē spēlētājs var veikt tikai vienu gājienu, stratēģijas jēdziens un iespējamais variants darbības sakrīt. Šajā gadījumā spēlētāja stratēģiju komplekts aptver visas viņa iespējamās darbības un visas iespējamās spēlētājam i rīcība ir viņa stratēģija. Sarežģītās (vairāku gājienu spēlēs) jēdzieni “iespējamo darbību izvēle” un “stratēģija” var atšķirties viens no otra.
Spēlētāja stratēģija tiek saukta optimāls, ja tas nodrošina konkrētajam spēlētājam vairākus spēles atkārtojumus, maksimālo iespējamo vidējo uzvaru vai minimālo iespējamo vidējo zaudējumu neatkarīgi no tā, kādas stratēģijas pretinieks izmanto. Var izmantot citus optimāluma kritērijus.
Iespējams, ka stratēģijai, kas nodrošina maksimālo pastiprinājumu, nav cita svarīga optimāluma atveidojuma, piemēram, risinājuma stabilitātes (līdzsvara). Spēles risinājums ir ilgtspējīga(līdzsvars), ja šim lēmumam atbilstošās stratēģijas veido situāciju, kuru neviens no spēlētājiem nav ieinteresēts mainīt.
Atkārtosim, ka spēļu teorijas uzdevums ir atrast optimālas stratēģijas.
Spēļu klasifikācija ir parādīta attēlā. 8.1.
- 1. Atkarībā no gājienu veidiem spēles tiek iedalītas stratēģiskajās un azartiskajās. Azartspēles spēles sastāv tikai no nejaušiem gājieniem, ar kuriem spēles teorija netiek galā. Ja līdzās izlases gājieniem ir arī personīgi gājieni vai visi gājieni ir personīgi, tad šādas spēles tiek izsauktas stratēģiski.
- 2. Atkarībā no spēlētāju skaita spēles tiek sadalītas dubultspēlēs un vairākās spēlēs. IN dubultspēle dalībnieku skaits ir divi, in vairākas- vairāk nekā divi.
- 3. Vairāku spēļu dalībnieki var veidot gan pastāvīgas, gan pagaidu koalīcijas. Pamatojoties uz spēlētāju savstarpējo attiecību raksturu, spēles tiek iedalītas bezkoalīcijās, koalīcijās un kooperatīvajās.
Nekoalīcijas Tās ir spēles, kurās spēlētājiem nav tiesību slēgt līgumus vai veidot koalīcijas, un katra spēlētāja mērķis ir iegūt pēc iespējas lielāku individuālo laimestu.
Tiek sauktas spēles, kurās spēlētāju darbības ir vērstas uz grupu (koalīciju) laimestu maksimālu palielināšanu bez to turpmākas sadalīšanas starp spēlētājiem. koalīcija.
Rīsi. 8.1.
Iznākums kooperatīvs Spēle ir koalīcijas laimestu sadale, kas rodas nevis spēlētāju noteiktu darbību rezultātā, bet gan viņu iepriekš noteiktu vienošanos rezultātā.
Atbilstoši tam sadarbības spēlēs pēc priekšrocībām tiek salīdzinātas nevis situācijas, kā tas notiek nesadarbīgās spēlēs, bet gan sadalījumi; un šis salīdzinājums neaprobežojas tikai ar atsevišķu laimestu ņemšanu vērā, bet ir sarežģītāks.
- 4. Pēc katra spēlētāja stratēģiju skaita spēles tiek sadalītas galīgais(stratēģiju skaits katram spēlētājam ir ierobežots) un bezgalīgs(katra spēlētāja stratēģiju kopums ir bezgalīgs).
- 5. Atbilstoši spēlētājiem pieejamās informācijas apjomam par pagātnes gājieniem, spēles tiek sadalītas spēlēs ar pilnīga informācija(ir pieejama visa informācija par iepriekšējiem gājieniem) un nepilnīga informācija. Spēļu piemēri ar pilnīgu informāciju ir šahs, dambrete utt.
- 6. Pēc spēļu aprakstu veida tās iedala pozicionālajās spēlēs (vai spēlēs izvērstā formā) un spēlēs normālā formā. Pozīcijas spēles ir doti spēļu koka veidā. Bet jebkuru pozicionālo spēli var samazināt līdz normāla forma, kurā katrs spēlētājs veic tikai vienu neatkarīgu gājienu. Pozicionālajās spēlēs tiek veiktas kustības diskrētos brīžos laiks. Pastāv diferenciālās spēles, kurā kustības tiek veiktas nepārtraukti. Šajās spēlēs tiek pētīta problēma, kas saistīta ar cita kontrolēta objekta dzenāšanu pēc kontrolēta objekta, ņemot vērā to uzvedības dinamiku, ko apraksta ar diferenciālvienādojumiem.
Tur ir arī atstarojošas spēles, kuri apsver situācijas, ņemot vērā ienaidnieka iespējamās rīcības un uzvedības garīgo atražošanu.
7. Ja kādai iespējamai kādas spēles spēlei visu laimestu summa ir nulle N spēlētāji(), tad mēs runājam par nulles summas spēle. Citādi spēles tiek izsauktas spēles ar summu, kas nav nulle.
Acīmredzot, nulles summas pāru spēle ir antagonistisks, tā kā viena spēlētāja ieguvums ir vienāds ar otrā spēlētāja zaudējumu, un tāpēc šo spēlētāju mērķi ir tieši pretēji.
Tiek izsaukta ierobežotas nulles summas pāru spēle matricas spēle.Šādu spēli apraksta izmaksu matrica, kurā ir norādīts pirmā spēlētāja laimests. Matricas rindas numurs atbilst pirmā spēlētāja pielietotās stratēģijas numuram, aile – otrā spēlētāja pielietotās stratēģijas numuram; rindas un kolonnas krustpunktā ir atbilstošais pirmā spēlētāja ieguvums (otrā spēlētāja zaudējums).
Tiek izsaukta noteikta spēle, kas nav nulles summa bimatrix spēle.Šāda spēle ir aprakstīta ar divām izmaksu matricām, katra atbilstošajam spēlētājam.
Ņemsim šādu piemēru. Spēle "Pārbaude". Lai 1. spēlētājs ir skolēns, kas gatavojas pārbaudījumam, un 2. spēlētājs ir skolotājs, kurš pilda testu. Pieņemsim, ka skolēnam ir divas stratēģijas: A1 – labi sagatavoties ieskaitei; A 2 – nav sagatavots. Skolotājam ir arī divas stratēģijas: B1 – dot kontroldarbu; B 2 – nedod kredītu. Pamatu spēlētāju izmaksu vērtību novērtēšanai var balstīt, piemēram, uz šādiem apsvērumiem, kas atspoguļoti izmaksu matricās:
Šī spēle saskaņā ar augstāk minēto klasifikāciju ir stratēģiska, pārī, nesadarbojusies, ierobežota, aprakstīta normālā formā, ar summu, kas nav nulle. Īsāk sakot, šo spēli var saukt par bimatrix.
Uzdevums ir noteikt optimālās stratēģijas skolēnam un skolotājam.
Vēl viens labi zināmās bimatrix spēles "Prisoner's Dilemma" piemērs.
Katram no diviem spēlētājiem ir divas stratēģijas: A 2 un B 2 – agresīvas uzvedības stratēģijas, a A es un B i – mierīga uzvedība. Pieņemsim, ka "miers" (abi spēlētāji ir miermīlīgi) ir labāks abiem spēlētājiem nekā "karš". Agresoram izdevīgāk ir gadījums, kad viens spēlētājs ir agresīvs, bet otrs miermīlīgs. Ļaujiet 1. un 2. spēlētāju izmaksu matricām šajā bimatrix spēlē būt formā
Abiem spēlētājiem agresīvās stratēģijas A2 un B2 dominē mierīgajās stratēģijās A un B v Tādējādi vienīgajam līdzsvaram dominējošajās stratēģijās ir forma (A2, B 2), t.i. tiek postulēts, ka nesadarbīgas uzvedības rezultāts ir karš. Tajā pašā laikā rezultāts (A1, B1) (pasaule) dod lielāku peļņu abiem spēlētājiem. Tādējādi nesadarbīga egoistiska uzvedība ir pretrunā ar kolektīvajām interesēm. Kolektīvās intereses nosaka miermīlīgu stratēģiju izvēli. Tajā pašā laikā, ja spēlētāji neapmainās ar informāciju, visticamākais iznākums ir karš.
Šajā gadījumā situācija (A1, B1) ir Pareto optimāla. Tomēr šī situācija ir nestabila, kas rada iespēju spēlētājiem pārkāpt izveidoto vienošanos. Patiešām, ja pirmais spēlētājs pārkāpj vienošanos, bet otrais ne, tad pirmā spēlētāja izmaksa palielināsies līdz trim, bet otrā - līdz nullei un otrādi. Turklāt katrs spēlētājs, kurš nepārkāpj vienošanos, zaudē vairāk, ja otrais spēlētājs pārkāpj vienošanos, nekā gadījumā, ja viņi abi pārkāpj vienošanos.
Ir divas galvenās spēles formas. Spēle no plaša forma tiek parādīta kā lēmumu pieņemšanas koka diagramma, kurā “sakne” atbilst spēles sākuma punktam un katras jaunas “zaras” sākums, t.s. mezgls,– stāvoklis, kas sasniegts šajā posmā ar šīm spēlētāju jau veiktajām darbībām. Katram pēdējam mezglam — katram spēles beigu punktam — tiek piešķirts izmaksu vektors, viens komponents katram spēlētājam.
stratēģisks, citādi sauc normāla, forma Spēles attēlojums atbilst daudzdimensiju matricai, kurā katra dimensija (divdimensiju gadījumā rindas un kolonnas) ietver iespējamo darbību kopumu vienam aģentam.
Atsevišķā matricas šūnā ir izmaksu vektors, kas atbilst noteiktai spēlētāju stratēģiju kombinācijai.
Attēlā 8.2 parāda plašo spēles formu un tabulu. 8.1 – stratēģiskā forma.
Rīsi. 8.2.
8.1. tabula. Spēle ar vienlaicīgu lēmumu pieņemšanu stratēģiskā formā
Ir pietiekami daudz detalizēta klasifikācija sastāvdaļas spēļu teorija. Viens no vispārīgākajiem kritērijiem šādai klasifikācijai ir spēļu teorijas iedalījums nesadarbīgo spēļu teorijā, kurā lēmumu pieņemšanas subjekti ir paši indivīdi, un kooperatīvo spēļu teorijā, kurā lēmuma subjekti. - veidošana ir indivīdu grupas vai koalīcijas.
Spēles, kas nav saistītas ar sadarbību, parasti tiek piedāvātas parastā (stratēģiskā) un paplašinātā (plašā) formās.
- Vorobjovs N. N. Spēļu teorija eko-kiberētiķiem. M.: Nauka, 1985. gads.
- Ventzels E.S. Operāciju izpēte. M.: Nauka, 1980. gads.
Smieklīgs spēļu teorijas pielietojuma piemērs ir Entonija Pīrsa fantāzijas grāmatā “Drosmīgais Golems”.
Daudz teksta
"Es jums visiem parādīšu būtību," iesāka Grundija, "ir noteikt nepieciešamais daudzums punktus. Rezultāti var būt ļoti dažādi – viss atkarīgs no spēles dalībnieku pieņemto lēmumu kombinācijas. Piemēram, pieņemsim, ka katrs dalībnieks liecina pret savu spēles biedru. Šajā gadījumā katram dalībniekam var tikt piešķirts viens punkts!
- Viens punkts! – teica Jūras ragana, izrādot negaidītu interesi par spēli. Acīmredzot burve vēlējās pārliecināties, ka golemam nav nekādu izredžu ar viņu iepriecināt dēmonu Ksantu.
– Tagad pieņemsim, ka katrs no spēles dalībniekiem neliecina pret savu draugu! – Grundija turpināja. – Šajā gadījumā katrai personai var piešķirt trīs punktus. Īpaši vēlos atzīmēt, ka, kamēr visi dalībnieki rīkojas vienādi, viņiem tiek piešķirts vienāds punktu skaits. Nevienam nav nekādu priekšrocību pār otru.
- Trīs punkti! - teica otrā ragana.
– Bet tagad mums ir tiesības ierosināt, ka viens no spēlētājiem sāka liecināt pret otro, bet otrs joprojām klusē! - teica Grundija. - Šajā gadījumā tas, kurš sniedz šo liecību, saņem uzreiz piecus punktus, un tas, kurš klusē, nesaņem nevienu punktu!
- Jā! – abas raganas vienā balsī iesaucās, plēsīgi laizīdams lūpas. Bija skaidrs, ka abi noteikti tiks pie pieciem punktiem.
– Es turpināju zaudēt brilles! – dēmons iesaucās. – Bet jūs tikai iezīmējāt situāciju un vēl neesat parādījis veidu, kā to atrisināt! Tātad, kāda ir jūsu stratēģija? Nav jātērē laiks!
- Pagaidi, tagad es visu paskaidrošu! - Grundija iesaucās. “Katrs no mums četriem — divi golemi un divas raganas — cīnīsimies pret saviem pretiniekiem. Protams, raganas centīsies nevienam nevienā nepadoties...
- Noteikti! – abas raganas atkal unisonā iesaucās. Viņi lieliski saprata golemu vienā mirklī!
"Un otrais golems sekos manai taktikai," Grundijs mierīgi turpināja. Viņš paskatījās uz savu dubultnieku. - Protams, zini?
- Jā, protams! Es esmu jūsu kopija! Es lieliski saprotu, ko tu domā!
- Tas ir lieliski! Tādā gadījumā veiksim pirmo gājienu, lai dēmons visu varētu redzēt pats. Katrā cīņā būs vairāki raundi, lai visa stratēģija varētu tikt pilnībā realizēta un radītu pilnīgas sistēmas iespaidu. Varbūt man vajadzētu sākt.
– Tagad katram no mums ir jāatzīmē savi papīri! – golems pagriezās pret raganu. - Vispirms jums vajadzētu uzzīmēt smaidošu seju. Tas nozīmēs, ka mēs neliecināsim pret ieslodzījuma biedru. Varat arī uzzīmēt sarauku seju, kas nozīmē, ka mēs domājam tikai par sevi un sniedzam nepieciešamos pierādījumus pret savu biedru. Mēs abi saprotam, ka būtu labāk, ja neviens neizrādītos tā pati sarauktā seja, bet, no otras puses, saraukta seja saņem zināmas priekšrocības salīdzinājumā ar smaidošu! Bet būtība ir tāda, ka katrs no mums nezina, ko otrs izvēlēsies! Mēs to neuzzināsim, kamēr mūsu spēles partneris neatklās savu zīmējumu!
- Sāc, necilvēks! – ragana nolamājās. Viņa, kā vienmēr, neiztika bez aizskarošiem epitetiem!
- Gatavs! - Grundijs iesaucās, uz papīra uzzīmējot lielu smaidošu seju, lai ragana neredzētu, ko viņš tur uzzīmējis. Ragana lika viņai kustēties, arī taisot seju. Jādomā, ka viņa noteikti uzlikusi nelaipnu seju!
"Nu, tagad mums atliek viens otram parādīt mūsu zīmējumus," paziņoja Grundija. Pagriezies atpakaļ, viņš atvēra zīmējumu sabiedrībai un rādīja to visos virzienos, lai visi varētu redzēt zīmējumu. Kaut ko neapmierināta kurnējot, Jūras ragana izdarīja to pašu.
Kā Grundijs bija gaidījis, no raganas zīmējuma pavērās dusmīga, neapmierināta seja.
— Tagad jūs, dārgie skatītāji, — Grundija svinīgi sacīja, — redziet, ka ragana izvēlējās liecināt pret mani. Es netaisos to darīt. Tādējādi Jūras ragana gūst piecus punktus. Un attiecīgi es nesaņemu nevienu punktu. Un šeit…
Skatītāju rindās atkal atskanēja neliels troksnis. Visi skaidri juta līdzi golemam un kaislīgi vēlējās, lai Jūras ragana zaudē.
Bet spēle ir tikko sākusies! Ja tikai viņa stratēģija būtu pareiza...
– Tagad varam pāriet uz otro kārtu! – Grundija svinīgi paziņoja. – Mums ir jāatkārto kustības vēlreiz. Katrs uzzīmē sev tuvāko seju!
Un tā viņi darīja. Grundija tagad valkāja drūmu, neapmierinātu seju.
Tiklīdz spēlētāji rādīja savus zīmējumus, skatītāji redzēja, ka viņi abi tagad veido dusmīgas sejas.
- Katrs pa diviem punktiem! - teica Grundija.
- Septiņi divi man par labu! – ragana priecīgi iesaucās. "Tu netiksi prom no šejienes, necilvēks!"
- Sāksim no jauna! - Grundija iesaucās. Viņi izveidoja vēl vienu zīmējumu un parādīja to sabiedrībai. Atkal tās pašas dusmīgās sejas.
– Katrs no mums atkārtoja iepriekšējo gājienu, uzvedās savtīgi, un tāpēc, man šķiet, labāk punktus nevienam nepiešķirt! - teica golems.
– Bet es tomēr vadu spēli! - teica ragana, priecīgi berzējot rokas.
- Labi, netrokšņo! - teica Grundija. - Spēle nav beigusies. Paskatīsimies, kas notiks! Tātad, cienījamā publika, sākam ceturto kārtu!
Spēlētāji atkal veidoja zīmējumus, parādot skatītājiem uzzīmēto uz savām lapām. Abas papīra lapas atkal skatītājiem rādīja tās pašas ļaunās sejas.
- Astoņi - trīs! - ragana kliedza, izplūdusi ļaunos smieklos. "Tu izracis sev kapu ar savu stulbo stratēģiju, golem!"
- Piektā kārta! - Grundija iesaucās. Notika tas pats, kas iepriekšējās kārtās - atkal dusmīgas sejas, mainījās tikai rezultāts - kļuva deviņi - četri par labu burvei.
– Tagad pēdējā, sestā kārta! – Grundija paziņoja. Viņa provizoriskie aprēķini liecināja, ka tieši šai kārtai jākļūst liktenīgai. Tagad teorija bija jāapstiprina vai jāatspēko praksei.
Dažas ātras un nervozas zīmuļa kustības uz papīra - un abi zīmējumi parādījās publikas acu priekšā. Atkal divas sejas, tagad pat ar atsegtiem zobiem!
– Desmit – pieci man par labu! Mana spēle! ES uzvarēju! – Jūras ragana ķeksēja.
"Tu tiešām uzvarēji," Grundija drūmi piekrita. Publika draudīgi klusēja.
Dēmons pakustināja lūpas, lai kaut ko pateiktu.
– Bet mūsu konkurss vēl nav beidzies! - Grundija skaļi iesaucās. – Šī bija tikai spēles pirmā daļa.
- Dodiet jums mūžību! – dēmons Ksants neapmierināts nomurmināja.
– Pareizi! - Grundijs mierīgi teica. – Bet viena kārta neko neatrisina, tikai metodiskums liecina par labāko rezultātu.
Golems tagad piegāja pie otras raganas.
– Es gribētu šo kārtu spēlēt ar citu pretinieku! - viņš paziņoja. – Katrs no mums attēlos sejas, kā tas bija iepriekšējā reizē, tad demonstrēsim, ko esam uzvilkuši publikai!
Tā viņi darīja. Rezultāts bija tāds pats kā pagājušajā reizē – Grundija uzzīmēja smaidošu seju, bet ragana tikai galvaskausu. Viņa uzreiz ieguva pilnu piecu punktu pārsvaru, aiz sevis atstājot Grundiju.
Atlikušās piecas kārtas noslēdzās ar tādiem rezultātiem, kādus varēja gaidīt. Atkal rezultāts bija desmit - pieci par labu Jūras raganai.
– Golem, man ļoti patīk tava stratēģija! - ragana iesmējās.
– Tātad, jūs, dārgie skatītāji, esat noskatījušies divus spēles apļus! - Grundija iesaucās. "Tādējādi es guvu desmit punktus, bet mani konkurenti - divdesmit!"
Publika, kas arī skaitīja punktus, sērīgi pamāja ar galvu. Viņu skaits sakrita ar golemu. Vienīgi mākonītis vārdā Frakto šķita ļoti iepriecināts, lai gan, protams, arī tas raganai nejūt līdzi.
Bet Rapunzels atzinīgi pasmaidīja golemam – viņa turpināja viņam ticēt. Viņa varētu būt vienīgā, kas viņam tagad ticēja. Grundijs cerēja, ka viņš attaisnos šo neierobežoto uzticību.
Tagad Grundijs pietuvojās savam trešajam pretiniekam – savam dubultniekam. Viņam bija jābūt viņa pēdējam pretiniekam. Ātri uzzīmējuši zīmuļus uz papīra, golemi rādīja papīra gabaliņus sabiedrībai. Visi redzēja divas smejošas sejas.
– Lūdzu, ņemiet vērā, dārgie skatītāji, katrs no mums izvēlējās būt labs kameras biedrs! - Grundija iesaucās. "Un tāpēc neviens no mums nesaņēma nepieciešamo pārsvaru pār pretiniekiem šajā spēlē." Tātad mēs abi iegūstam trīs punktus un tiekam uz nākamo kārtu!
Otrā kārta ir sākusies. Rezultāts bija tāds pats kā iepriekšējā reizē. Pēc tam atlikušās kārtas. Un katrā kārtā abi pretinieki atkal guva trīs punktus! Tas bija vienkārši neticami, bet sabiedrība bija gatava apstiprināt visu, kas notiek.
Beidzot šī kārta beidzās, un Grundijs, ātri pārbraucis ar zīmuli pāri papīram, sāka rēķināt rezultātu. Beidzot viņš svinīgi paziņoja:
- Astoņpadsmit līdz astoņpadsmit! Kopumā es guvu divdesmit astoņus punktus, kamēr pretinieki trīsdesmit astoņus!
"Tātad jūs zaudējāt," priecīgi paziņoja Jūras ragana. – Tādējādi kāds no mums kļūs par uzvarētāju!
- Var būt! – Grundija mierīgi atbildēja. Tagad nāca vēl viens svarīgs punkts. Ja viss izdosies kā plānots...
– Mums ir jāizbeidz šī lieta! – iesaucās otrais golems. "Man arī vēl jācīnās ar divām jūras raganām!" Spēle vēl nav beigusies!
- Jā, protams, uz priekšu! - teica Grundija. – Bet vienkārši vadieties pēc stratēģijas!
- Jā, protams! – pārliecināja viņa dubultnieks.
Šis golems tuvojās vienai no raganām un sākās ekskursija. Tas noslēdzās ar tādu pašu rezultātu, ar kādu no līdzīga raunda izkļuva pats Grundijs - rezultāts bija desmit pret pieci par labu burvei. Ragana patiesībā staroja neizsakāmā priekā, un publika drūmi apklusa. Dēmons Ksants izskatījās nedaudz noguris, kas nebija īpaši laba zīme.
Tagad pienāca pēdējais kārts – vienai raganai bija jācīnās pret otro. Katrai bija divdesmit punkti, kurus viņa spēja iegūt, cīnoties ar golemiem.
"Un tagad, ja atļausiet man gūt vismaz dažus papildu punktus..." Jūras ragana sazvērnieciski čukstēja savam dubultniekam.
Grundijs vismaz ārēji centās saglabāt mieru, lai gan viņa dvēselē plosījās pretrunīgu jūtu viesuļvētra. Viņa veiksme tagad bija atkarīga no tā, cik pareizi viņš paredzēja abu raganu iespējamo uzvedību – galu galā viņu raksturs būtībā bija vienāds!
Tagad pienāca, iespējams, viskritiskākais brīdis. Bet ja viņš kļūdījās?
- Kāpēc, pie velna, lai es tev piekāptos! – otrā ragana ķērca pirmajai. – Es pats gribu gūt vairāk punktu un tikt prom no šejienes!
"Nu, ja tu uzvedies tik nekaunīgi," kliedza pieteikuma iesniedzējs, "tad es tevi piekāšu, lai tu vairs nebūtu tāds kā es!"
Raganas, veltot viena otrai naidpilnu skatienu, zīmēja savus zīmējumus un rādīja tos sabiedrībai. Protams, tur nevarēja būt nekas cits kā divi galvaskausi! Katrs ieguva vienu punktu.
Raganas, apbērušas viena otru ar lāstiem, sāka otro apli. Rezultāts atkal tas pats – atkal divi neveikli uzzīmēti galvaskausi. Raganas tādējādi ieguva vēl vienu punktu. Sabiedrība cītīgi visu fiksēja.
Tas turpinājās arī turpmāk. Kad raunds bija beidzies, nogurušās raganas atklāja, ka katra ir ieguvusi sešus punktus. Uzzīmē vēlreiz!
- Tagad aprēķināsim rezultātus un salīdzināsim visu! – Grundija triumfējoši sacīja. – Katra no raganām ieguva divdesmit sešus punktus, bet golems – divdesmit astoņus punktus. Kas tad mums ir? Un mums ir tāds rezultāts, kāds ir golemiem liels daudzums punktus!
Skatītāju rindās pāršalca pārsteiguma nopūta. Satraukti skatītāji sāka rakstīt uz savām papīra lapiņām skaitļu kolonnas, pārbaudot skaitīšanas precizitāti. Šajā laikā daudzi vienkārši neskaitīja gūto punktu skaitu, uzskatot, ka jau zina spēles rezultātu. Abas raganas sāka sašutumā rūkt, nav skaidrs, kuru tieši viņas vainoja notikušajā. Dēmona Ksant acīs atkal iedegās piesardzīga uguns. Viņa uzticība bija pamatota!
"Es lūdzu jūs, dārgā publika, pievērst uzmanību faktam," Grundijs pacēla roku, pieprasot, lai klausītāji nomierinās, "ka neviens no golemiem neuzvarēja nevienu raundu." Bet galīgā uzvara vienalga piederēs vienam no mums, golemiem. Rezultāti būs daudz izteiksmīgāki, ja sacensības turpināsies! Es gribu teikt, mani dārgie skatītāji, ka mūžīgajā duelī mana stratēģija vienmēr izrādīsies uzvaroša!
Dēmons Ksants ar interesi klausījās Grundija teiktajā. Beidzot, izlaidis tvaika mākoņus, viņš atvēra muti:
– Kāda īsti ir jūsu stratēģija?
– Es to saucu par “Esi stingrs, bet godīgs”! – Grundija paskaidroja. – Spēli sāku godīgi, bet tad sāku zaudēt, jo saskaros ar ļoti konkrētiem partneriem. Tāpēc pirmajā kārtā, kad izrādās, ka Jūras ragana sāk liecināt pret mani, es automātiski palieku zaudētājs otrajā kārtā – un tas turpinās līdz beigām. Rezultāts var atšķirties, ja ragana maina spēles taktiku. Bet, tā kā viņai tas pat nevarēja ienākt prātā, mēs turpinājām spēlēt pēc iepriekšējās shēmas. Kad sāku spēlēt ar savu dubultnieku, viņš pret mani izturējās labi, un es pret viņu izturējos labi arī nākamajā spēles kārtā. Līdz ar to arī mūsu spēle gāja savādāk un nedaudz vienmuļi, jo negribējām mainīt taktiku...
– Bet jūs neesat uzvarējis nevienu kārtu! – dēmons pārsteigts iebilda.
– Jā, un šīs raganas nav zaudējušas nevienu kārtu! – Grundija apstiprināja. – Taču uzvara automātiski netiek tam, kuram ir atlikušās kārtas. Uzvar tas, kurš gūst visvairāk punktu, bet tā ir pavisam cita lieta! Spēlējot ar savu dubulto man izdevās gūt vairāk punktu nekā spēlējot ar raganām. Viņu savtīgā attieksme viņiem atnesa īslaicīgu uzvaru, taču ilgākā laika posmā izrādījās, ka tieši tāpēc viņi abi zaudēja visu spēli. Tas notiek bieži!
Spēļu teorija - kopums matemātiskās metodes konfliktsituāciju (interešu konfliktu) risināšana. Spēļu teorijā spēli sauc konfliktsituācijas matemātiskais modelis. Spēļu teorijā īpaši interesējošs priekšmets ir spēles dalībnieku lēmumu pieņemšanas stratēģiju izpēte nenoteiktības apstākļos. Nenoteiktība izriet no tā, ka divas vai vairākas puses tiecas pēc pretēju mērķu, un katras puses darbības rezultāti ir atkarīgi no partnera gājieniem. Tajā pašā laikā katra puse cenšas pieņemt optimālus lēmumus, kas maksimāli īsteno izvirzītos mērķus.
Spēļu teorija viskonsekventāk tiek pielietota ekonomikā, kur rodas konfliktsituācijas, piemēram, attiecībās starp piegādātāju un patērētāju, pircēju un pārdevēju, banku un klientu. Spēļu teorijas pielietojumu var atrast arī politikā, socioloģijā, bioloģijā un militārajā mākslā.
No spēļu teorijas vēstures
Spēļu teorijas vēsture kā neatkarīga disciplīna aizsākās 1944. gadā, kad Džons fon Neimans un Oskars Morgenšterns izdeva grāmatu “Spēļu un ekonomiskās uzvedības teorija”. Lai gan ar spēļu teorijas piemēriem ir sastapušies jau iepriekš: Babilonijas Talmuda traktāts par miruša vīra mantas sadali starp sievām, kāršu spēles 18. gadsimtā, šaha teorijas attīstība 20. gs. gadsimtā, tā paša Jāņa fon Neimaņa minimaksas teorēmas pierādījums 1928. gadā, bez kura nebūtu spēļu teorijas.
20. gadsimta 50. gados Melvins Dreshers un Merila Plūda no Korporācija Rand Džons Nešs, pirmais, kurš eksperimentāli piemēroja ieslodzīto dilemmu, savos darbos par līdzsvara stāvokli divu cilvēku spēlēs izstrādāja Neša līdzsvara koncepciju.
1965. gadā Reinhards Saltens publicēja grāmatu "The Treatment of Oligopoly in Game Theory on Demand" ("Spieltheoretische Behandlung eines Oligomodells mit Nachfrageträgheit"), ar kuru spēļu teorijas pielietojums ekonomikā saņēma jaunu. dzinējspēks. Solis uz priekšu spēļu teorijas attīstībā ir saistīts ar Džona Meinarda Smita darbu “Evolutionary Stable Strategy” (1974). Ieslodzīto dilemma tika popularizēta Roberta Akselroda 1984. gada grāmatā "Sadarbības attīstība". 1994. gadā Džonam Nešam, Džonam Harsanji un Reinhardam Seltenam tika piešķirta Nobela prēmija par ieguldījumu spēļu teorijā.
Spēļu teorija dzīvē un biznesā
Sīkāk pakavēsimies pie konfliktsituācijas (interešu sadursmes) būtības tādā nozīmē, kā tā tiek saprasta spēļu teorijā turpmākai modelēšanai dažādas situācijas dzīvē un biznesā. Ļaujiet personai atrasties situācijā, kas noved pie viena no vairākiem iespējamiem rezultātiem, un indivīdam ir dažas personiskas izvēles attiecībā uz šiem rezultātiem. Bet, lai gan viņš zināmā mērā var kontrolēt mainīgos lielumus, kas nosaka rezultātu, viņam nav pilnīgas varas pār tiem. Dažkārt kontrole ir vairāku indivīdu rokās, kuriem, tāpat kā viņam, ir kādas priekšrocības attiecībā uz iespējamiem rezultātiem, taču kopumā šo personu intereses nav konsekventas. Citos gadījumos gala iznākums var būt atkarīgs gan no nejaušības (tiesību zinātnē dažkārt sauktas par dabas katastrofām), gan no citām personām. Spēļu teorija sistematizē šādu situāciju novērojumus un formulējumus visparīgie principi vadīt saprātīgas darbības šādās situācijās.
Dažos aspektos nosaukums "spēļu teorija" ir neveiksmīgs, jo tas liek domāt, ka spēļu teorijā tiek ņemti vērā tikai tie, kuriem nav sociālā nozīme sadursmes, kas notiek salona spēlēs, bet tomēr šai teorijai ir daudz plašāka nozīme.
Sekojošā ekonomiskā situācija var sniegt priekšstatu par spēļu teorijas pielietojumu. Pieņemsim, ka ir vairāki uzņēmēji, no kuriem katrs cenšas iegūt maksimālu peļņu, bet tiem ir tikai ierobežota vara pār mainīgajiem, kas nosaka šo peļņu. Uzņēmējam nav varas pār mainīgajiem lielumiem, kurus kontrolē cits uzņēmējs, bet kuri var būtiski ietekmēt pirmā uzņēmēja ienākumus. Šīs situācijas traktēšana kā spēle var radīt šādus iebildumus. Spēles modelī tiek pieņemts, ka katrs uzņēmējs izdara vienu izvēli no iespējamo izvēļu klāsta, un šīs atsevišķās izvēles nosaka peļņu. Acīmredzot tas praktiski nevar notikt, jo šajā gadījumā rūpniecībā nebūtu nepieciešami sarežģīti vadības aparāti. Vienkārši ir vairāki lēmumi un šo lēmumu modifikācijas, kas ir atkarīgi no citu dalībnieku izdarītajām izvēlēm ekonomikas sistēma(spēlētāji). Bet principā var iedomāties, ka kāds administrators paredz visas iespējamās situācijas un sīki izklāsta katrā gadījumā veicamās darbības, nevis risina katru problēmu, kā tā rodas.
Militārs konflikts pēc definīcijas ir interešu sadursme, kurā nevienai no pusēm nav pilnīgas kontroles pār mainīgajiem lielumiem, kas nosaka iznākumu, ko izšķir vairākas cīņas. Jūs varat vienkārši uzskatīt rezultātu par uzvaru vai zaudējumu un piešķirt tiem skaitliskās vērtības 1 un 0.
Viena no vienkāršākajām konfliktsituācijām, ko spēles teorijā var pierakstīt un atrisināt, ir duelis, kas ir konflikts starp diviem spēlētājiem 1 un 2, kuriem ir attiecīgi lpp Un qšāvienu. Katram spēlētājam ir funkcija, kas norāda varbūtību, ka spēlētāja sitiens i kādā brīdī t dos sitienu, kas būs liktenīgs.
Rezultātā spēļu teorija nonāk pie šāda noteiktas interešu konfliktu klases formulējuma: ir n spēlētājiem, un katram ir jāizvēlas viena iespēja no simts konkrēta komplekta, un, veicot izvēli, spēlētājam nav informācijas par citu spēlētāju izvēlēm. Spēlētāja iespējamās izvēles apgabalā var būt tādi elementi kā "pīķa dūža spēlēšana", "tanku izgatavošana automašīnu vietā" vai vispārīgāk, stratēģija, kas nosaka visas darbības, kas jāveic visos iespējamos apstākļos. Katrs spēlētājs saskaras ar uzdevumu: kādu izvēli viņam vajadzētu izdarīt, lai viņa privātā ietekme uz iznākumu nestu viņam pēc iespējas lielāku uzvaru?
Matemātiskais modelis spēļu teorijā un uzdevumu formalizācijā
Kā jau esam atzīmējuši, spēle ir konfliktsituācijas matemātisks modelis un tam ir nepieciešami šādi komponenti:
- ieinteresētajām pusēm;
- iespējamās darbības katrā pusē;
- pušu interesēs.
Spēles interesentus sauc par spēlētājiem , katrs no viņiem var veikt vismaz divas darbības (ja spēlētāja rīcībā ir tikai viena darbība, tad viņš faktiski nepiedalās spēlē, jo ir iepriekš zināms, ko viņš veiks). Spēles iznākumu sauc par uzvaru .
Īsta konfliktsituācija ne vienmēr, bet spēle (spēles teorijas jēdzienā) - vienmēr - notiek saskaņā ar noteikti noteikumi , kas precīzi nosaka:
- spēlētāju darbības iespējas;
- katra spēlētāja rīcībā esošās informācijas apjoms par partnera uzvedību;
- atlīdzība, ko rada katra darbību kopa.
Formalizētu spēļu piemēri ir futbols, kāršu spēles un šahs.
Bet ekonomikā rodas spēlētāju uzvedības modelis, piemēram, kad vairākas firmas cenšas ieņemt izdevīgāku vietu tirgū, vairākas personas mēģina sadalīt kādu labumu (resursus, finanses) savā starpā, lai katrs saņemtu pēc iespējas vairāk. . Spēlētāji konfliktsituācijās ekonomikā, ko var modelēt kā spēli, ir firmas, bankas, privātpersonas un citi ekonomikas aģenti. Savukārt kara apstākļos spēles modelis tiek izmantots, piemēram, izvēloties vairāk labākie ieroči(no esošajiem vai potenciālajiem), lai sakautu ienaidnieku vai aizsargātu pret uzbrukumu.
Spēli raksturo iznākuma nenoteiktība . Neskaidrības iemeslus var iedalīt šādās grupās:
- kombinatoriskais (kā šahā);
- nejaušu faktoru ietekme (kā spēlē "galvas vai astes", kauliņi, kāršu spēles);
- stratēģisks (spēlētājs nezina, kādu darbību veiks ienaidnieks).
Spēlētāja stratēģija ir noteikumu kopums, kas nosaka viņa rīcību katrā kustībā atkarībā no pašreizējās situācijas.
Spēļu teorijas mērķis ir noteikt optimālo stratēģiju katram spēlētājam. Šādas stratēģijas noteikšana nozīmē spēles atrisināšanu. Stratēģijas optimizācija tiek sasniegts, kad vienam no spēlētājiem vajadzētu iegūt maksimālo uzvaru, bet otrs pieturas pie savas stratēģijas. Un otrajam spēlētājam ir jābūt minimālam zaudējumam, ja pirmais pieturas pie savas stratēģijas.
Spēļu klasifikācija
- Klasifikācija pēc spēlētāju skaita (divu vai vairāku cilvēku spēle). Divu cilvēku spēles ieņem galveno vietu visā spēļu teorijā. Spēļu teorijas pamatkoncepcija divu cilvēku spēlēm ir ļoti nozīmīgas līdzsvara idejas vispārinājums, kas dabiski parādās divu cilvēku spēlēs. Kas attiecas uz spēlēm n indivīdiem, tad viena spēles teorijas daļa ir veltīta spēlēm, kurās sadarbība starp spēlētājiem ir aizliegta. Citā spēļu teorijas daļā n indivīdi pieņem, ka spēlētāji var sadarboties, lai gūtu savstarpēju labumu (skatīt tālāk šajā rindkopā par spēlēm, kas nav saistītas ar sadarbību un kooperatīvām spēlēm).
- Klasifikācija pēc spēlētāju skaita un viņu stratēģijas (stratēģiju skaits ir vismaz divas, var būt bezgalība).
- Klasifikācija pēc informācijas apjoma attiecībā pret pagātnes gājieniem: spēles ar pilnīgu informāciju un nepilnīgu informāciju. Lai ir spēlētājs 1 - pircējs un spēlētājs 2 - pārdevējs. Ja 1. spēlētājam nav pilnīgas informācijas par 2. spēlētāja darbībām, tad spēlētājs 1 nedrīkst atšķirt abas alternatīvas, starp kurām viņam ir jāizdara izvēle. Piemēram, izvēloties starp diviem kāda produkta veidiem un nezinot, ka saskaņā ar dažām īpašībām produkts A sliktāks produkts B, 1. spēlētājs var neredzēt atšķirību starp alternatīvām.
- Klasifikācija pēc laimestu sadales principiem : kooperatīvs, koalīcija no vienas puses un nesadarbīga, nekoalīcija no otras puses. IN nesadarbošanās spēle vai citādi - nesadarbošanās spēle , spēlētāji vienlaikus izvēlas stratēģijas, nezinot, kuru stratēģiju izvēlēsies otrais spēlētājs. Komunikācija starp spēlētājiem nav iespējama. IN sadarbības spēle vai citādi - koalīcijas spēle , spēlētāji var veidot koalīcijas un veikt kolektīvas darbības, lai palielinātu savus laimestus.
- Ierobežota divu cilvēku nulles summas spēle vai antagonistiskā spēle ir stratēģiska spēle ar pilnīgu informāciju, kurā iesaistītas puses ar pretējām interesēm. Antagonistiskas spēles ir matricas spēles .
Klasisks piemērs no spēļu teorijas ir ieslodzīto dilemma.
Abi aizdomās turamie tiek aizturēti un nošķirti viens no otra. Apgabala prokurors ir pārliecināts, ka viņi ir izdarījuši smagu noziegumu, taču viņam nav pietiekami daudz pierādījumu, lai izvirzītu viņiem apsūdzību tiesā. Viņš katram ieslodzītajam stāsta, ka viņam ir divas alternatīvas: atzīties noziegumā, kuru, pēc policijas domām, viņš izdarījis, vai neatzīt. Ja abi neatzīsies, DA viņus apsūdzēs par kādu nelielu noziegumu, piemēram, sīku zādzību vai nelikumīgu ieroča glabāšanu, un abi saņems nelielu sodu. Ja viņi abi atzīs, pret viņiem tiks ierosināta apsūdzība, taču bargāko sodu viņš nepieprasīs. Ja viens atzīs, bet otrs ne, tad tam, kurš atzinās, sods tiks mīkstināts par līdzzinātāja izdošanu, bet tas, kurš neatlaidīsies, saņems “pilnībā”.
Ja šis stratēģiskais uzdevums ir formulēts kā secinājums, tad tas izpaužas šādi:
Tādējādi, ja abi ieslodzītie neatzīsies, viņi saņems katrs 1 gadu. Ja abi atzīstas, katrs saņems 8 gadus. Un, ja viens atzīs, otrs neatzīst, tad tas, kurš atzinās, tiks ārā ar trīs mēnešu cietumsodu, un tas, kurš neatzīsies, saņems 10 gadus. Iepriekš minētā matrica pareizi atspoguļo ieslodzīto dilemmu: ikviens saskaras ar jautājumu, vai atzīties vai neatzīt. Spēle, ko apgabala prokurors piedāvā ieslodzītajiem, ir nesadarbošanās spēle vai citādi - nesadarbošanās spēle . Ja abiem ieslodzītajiem būtu iespēja sadarboties (t.i. spēle būtu kooperatīva vai arī koalīcijas spēle ), tad abi neatzītos un katrs saņemtu gadu cietumā.
Spēļu teorijas matemātisko rīku izmantošanas piemēri
Tagad mēs turpinām apsvērt risinājumus izplatītu spēļu klašu piemēriem, kuriem spēļu teorijā ir izpētes un risinājumu metodes.
Divu personu nesadarbīgas (nesadarbīgas) spēles formalizācijas piemērs
Iepriekšējā rindkopā mēs jau aplūkojām nesadarbīgas (nesadarbīgas) spēles piemēru (ieslodzīto dilemma). Stiprināsim savas prasmes. Tam piemērots arī klasisks sižets, ko iedvesmojis Artura Konana Doila “Šerloka Holmsa piedzīvojumi”. Var, protams, iebilst: piemērs nav no dzīves, bet gan no literatūras, bet Konans Doils nav sevi pierādījis kā zinātniskās fantastikas rakstnieks! Klasika arī tāpēc, ka uzdevumu izpildīja Oskars Morgenšterns, kā jau esam noskaidrojuši, viens no spēļu teorijas pamatlicējiem.
1. piemērs. Tiks sniegts saīsināts kopsavilkums par vienu no “Šerloka Holmsa piedzīvojumiem” fragmentu. Saskaņā ar zināmie jēdzieni spēles teoriju, izveidot konfliktsituācijas modeli un formāli pierakstīt spēli.
Šerloks Holmss plāno doties no Londonas uz Doveru ar tālāko mērķi nokļūt kontinentā (Eiropas), lai aizbēgtu no profesora Moriartija, kurš viņu vajā. Iekāpis vilcienā, viņš uz stacijas perona ieraudzīja profesoru Moriartiju. Šerloks Holmss atzīst, ka Moriartijs var izvēlēties īpašu vilcienu un to apdzīt. Šerlokam Holmsam ir divas alternatīvas: turpināt ceļu uz Doveru vai izkāpt Kenterberijas stacijā, kas ir vienīgā starpstacija viņa maršrutā. Mēs pieņemam, ka viņa pretinieks ir pietiekami inteliģents, lai noteiktu Holmsa spējas, tāpēc viņam ir tās pašas divas alternatīvas. Abiem pretiniekiem jāizvēlas stacija, kurā izkāpt no vilciena, nezinot, kādu lēmumu katrs pieņems. Ja lēmuma pieņemšanas rezultātā abi nonāks vienā stacijā, tad noteikti varam pieņemt, ka Šerloku Holmsu nogalinās profesors Moriartijs. Ja Šerloks Holmss droši sasniegs Doveru, viņš tiks izglābts.
Risinājums. Konana Doila varoņus varam uzskatīt par spēles dalībniekiem, tas ir, spēlētājiem. Pieejams katram spēlētājam i (i=1,2) divas tīras stratēģijas:
- izkāpiet Doverā (stratēģija si1 ( i=1,2) );
- izkāpiet starpstacijā (stratēģija si2 ( i=1,2) )
Atkarībā no tā, kuru no divām stratēģijām izvēlēsies katrs no diviem spēlētājiem, tiks izveidota īpaša stratēģiju kombinācija kā pāris. s = (s1 , s 2 ) .
Katru kombināciju var saistīt ar kādu notikumu – profesora Moriartija veiktā Šerloka Holmsa slepkavības mēģinājuma iznākumu. Mēs izveidojam šīs spēles matricu ar iespējamiem notikumiem.
Zem katra notikuma ir indekss, kas norāda uz profesora Moriartija iegūšanu un tiek aprēķināts atkarībā no Holmsa glābšanas. Abi varoņi vienlaikus izvēlas stratēģiju, nezinot, ko izvēlēsies ienaidnieks. Tādējādi spēle ir nesadarbīga, jo, pirmkārt, spēlētāji atrodas dažādos vilcienos, otrkārt, viņiem ir pretējas intereses.
Kooperatīvās (koalīcijas) spēles formalizācijas un risinājuma piemērs n personām
Šajā brīdī praktisko daļu, tas ir, piemēra problēmas risināšanas procesu, ievadīs teorētiskā daļa, kurā iepazīsimies ar spēļu teorijas jēdzieniem kooperatīvo (nesadarbīgo) spēļu risināšanai. Šim uzdevumam spēļu teorija iesaka:
- raksturīgā funkcija (vienkāršāk sakot, tā atspoguļo ieguvuma lielumu, apvienojot spēlētājus koalīcijā);
- aditivitātes jēdziens (lielumu īpašība, kas sastāv no tā, ka daudzuma vērtība, kas atbilst visam objektam, ir vienāda ar to daudzumu vērtību summu, kas atbilst tā daļām noteiktā objekta nodalījumu klasē daļās) un raksturīgās funkcijas superaditivitāte (lieluma vērtība, kas atbilst visam objektam, ir lielāka par lielumu vērtību summu, kas atbilst tā daļām).
Raksturīgās funkcijas superaditivitāte liecina, ka pievienošanās koalīcijai ir izdevīga spēlētājiem, jo šajā gadījumā koalīcijas peļņas vērtība palielinās līdz ar spēlētāju skaitu.
Lai formalizētu spēli, mums ir jāievieš formāli apzīmējumi iepriekšminētajiem jēdzieniem.
Spēlei n apzīmēsim visu tā spēlētāju kopu kā N= (1,2,...,n) Jebkura kopas apakškopa, kas nav tukša N apzīmēsim to kā T(ieskaitot sevi N un visas apakškopas, kas sastāv no viena elementa). Vietnē ir nodarbība " Kopas un darbības ar komplektiem", kas tiek atvērts jaunā logā, noklikšķinot uz saites.
Raksturīgā funkcija tiek apzīmēta kā v un tā definīcijas joma sastāv no iespējamām kopas apakškopām N. v(T) - raksturīgās funkcijas vērtība noteiktai apakškopai, piemēram, koalīcijas ienākumi, kas, iespējams, ietver koalīcijas, kurā ir viens spēlētājs. Tas ir svarīgi, jo spēļu teorijā ir jāpārbauda superaditivitātes klātbūtne visu nesadalīto koalīciju raksturīgās funkcijas vērtībām.
Divām apakškopu koalīcijām, kas nav tukšas T1 Un T2 Kooperatīvās (koalīcijas) spēles raksturīgās funkcijas aditivitāte ir rakstīta šādi:
Un superaditivitāte ir šāda:
2. piemērs. Trīs skolēni mūzikas skola Viņi strādā nepilnu slodzi dažādos klubos, ienākumus saņem no kluba apmeklētājiem. Nosakiet, vai viņiem ir izdevīgi apvienot spēkus (ja jā, ar kādiem nosacījumiem), izmantojot spēļu teorijas jēdzienus, lai risinātu sadarbības spēles n personas, ar šādiem sākotnējiem datiem.
Viņu vidējie ieņēmumi vienā vakarā bija:
- vijolniekam ir 600 vienību;
- ģitāristam ir 700 vienības;
- dziedātājai ir 900 vienības.
Mēģinot palielināt ieņēmumus, studenti vairāku mēnešu laikā izveidoja dažādas grupas. Rezultāti parādīja, ka, sadarbojoties, viņi varētu palielināt savus vakara ieņēmumus par:
- vijolnieks + ģitārists nopelnīja 1500 vienības;
- vijolnieks + dziedātājs nopelnījis 1800 vienības;
- ģitārists + dziedātājs nopelnījis 1900 vienības;
- vijolnieks + ģitārists + dziedātājs nopelnīja 3000 vienības.
Risinājums. Šajā piemērā spēlētāju skaits spēlē n= 3, tāpēc spēles raksturīgās funkcijas definīcijas domēns sastāv no 2³ = 8 iespējamām visu spēlētāju kopas apakškopām. Uzskaitīsim visas iespējamās koalīcijas T:
- viena elementa koalīcijas, no kurām katra sastāv no viena spēlētāja - mūziķa: T{1} , T{2} , T{3} ;
- divu elementu koalīcija: T{1,2} , T{1,3} , T{2,3} ;
- trīs elementu koalīcija: T{1,2,3} .
Katram spēlētājam piešķirsim sērijas numuru:
- vijolnieks - 1. spēlētājs;
- ģitārists - 2. spēlētājs;
- dziedātājs - 3. spēlētājs.
Pamatojoties uz problēmas datiem, mēs nosakām spēles raksturīgo funkciju v:
v(T(1)) = 600 ; v(T(2)) = 700 ; v(T(3)) = 900 ; šīs raksturīgās funkcijas vērtības tiek noteiktas, pamatojoties uz attiecīgi pirmā, otrā un trešā spēlētāja izmaksām, ja viņi neapvienojas koalīcijā;
v(T(1,2)) = 1500 ; v(T(1,3)) = 1800 ; v(T(2,3)) = 1900 ; šīs raksturīgās funkcijas vērtības nosaka katra koalīcijā apvienotā spēlētāju pāra ieņēmumi;
v(T(1,2,3)) = 3000 ; šo raksturīgās funkcijas vērtību nosaka vidējie ieņēmumi gadījumā, ja spēlētāji apvienojas trijatā.
Tādējādi mēs esam uzskaitījuši visas iespējamās spēlētāju koalīcijas; tās ir astoņas, kā vajadzētu, jo spēles raksturīgās funkcijas definīcijas domēns sastāv no tieši astoņām iespējamām visu spēlētāju kopas apakškopām. Tas ir tas, ko prasa spēļu teorija, jo mums ir jāpārbauda superaditivitātes klātbūtne visu nesadalīto koalīciju raksturīgās funkcijas vērtībām.
Kā šajā piemērā tiek izpildīti superaditivitātes nosacījumi? Noskaidrosim, kā spēlētāji veido nesadalītas koalīcijas T1 Un T2 . Ja daži spēlētāji ir koalīcijas sastāvā T1 , tad visi pārējie spēlētāji ir koalīcijas sastāvā T2 un pēc definīcijas šī koalīcija veidojas kā visa spēlētāju kopuma un komplekta starpība T1 . Tad ja T1 - viena spēlētāja koalīcija, pēc tam koalīcijā T2 būs otrie un trešie spēlētāji, ja būs koalīcijā T1 būs pirmais un trešais spēlētāji, tad koalīcija T2 sastāvēs tikai no otrā spēlētāja utt.
BALTKRIEVIJAS VALSTS UNIVERSITĀTE
EKONOMIKAS FAKULTĀTE
NODAĻA…
Spēļu teorija un tās pielietojums ekonomikā
Kursa projekts
2. kursa studente
Nodaļa "Vadība"
Zinātniskais direktors
Minska, 2010
1. Ievads. 3. lpp
2. Spēļu teorijas pamatjēdzieni 4.lpp
3. Spēļu prezentācija 7.lpp
4. Spēļu veidi 9.lpp
5. Spēļu teorijas pielietojums ekonomikā 14.lpp
6. Problēmas praktisks pielietojums vadībā 21.lpp
7. Secinājums 23.lpp
Izmantotās literatūras saraksts 24.lpp
1. IEVADS
Praksē nereti rodas nepieciešamība saskaņot firmu, asociāciju, ministriju un citu projekta dalībnieku rīcību gadījumos, kad to intereses nesakrīt. Šādās situācijās spēļu teorija ļauj mums atrast Labākais lēmums par dalībnieku uzvedību, kuriem ir pienākums saskaņot darbības interešu konflikta gadījumā. Spēļu teorija arvien vairāk iekļūst ekonomisko lēmumu un pētījumu praksē. To var uzskatīt par instrumentu, kas palīdz uzlabot plānošanas un vadības lēmumu pieņemšanas efektivitāti. Tam ir liela nozīme, risinot problēmas rūpniecībā, lauksaimniecībā, transportā, tirdzniecībā, īpaši slēdzot līgumus ar ārvalstu partneriem jebkurā līmenī. Tādējādi ir iespējams noteikt zinātniski pamatotus mazumtirdzniecības cenu samazinājuma līmeņus un optimālais līmenis inventarizācija, ekskursiju pakalpojumu problēmu risināšana un jaunu pilsētas transporta līniju izvēle, derīgo izrakteņu atradņu izmantošanas organizēšanas kārtības plānošanas problēma valstī u.c. Zemes gabalu izvēles problēma lauksaimniecības kultūrām ir kļuvusi par klasisku problēmu. . Spēļu teorijas metodi var izmantot galīgo populāciju izlases apsekojumos un statistisko hipotēžu pārbaudē.
Spēļu teorija ir matemātiska metode spēļu optimālo stratēģiju izpētei. Spēle ir process, kurā piedalās divas vai vairākas puses, kas cīnās par savu interešu realizāciju. Katrai pusei ir savs mērķis un tā izmanto kādu stratēģiju, kas var novest pie uzvaras vai zaudējuma – atkarībā no citu spēlētāju uzvedības. Spēļu teorija palīdz jums izvēlēties labākās stratēģijasņemot vērā idejas par citiem dalībniekiem, viņu resursiem un iespējamo rīcību.
Spēļu teorija ir lietišķās matemātikas jeb precīzāk – operāciju pētniecības nozare. Visbiežāk ekonomikā tiek izmantotas spēļu teorijas metodes, citās nedaudz retāk. sociālās zinātnes- socioloģija, politikas zinātne, psiholoģija, ētika un citas. Kopš 1970. gadiem biologi to ir pieņēmuši, lai pētītu dzīvnieku uzvedību un evolūcijas teoriju. Tas ir ļoti svarīgi mākslīgajam intelektam un kibernētikai, īpaši, ja interesē inteliģentie aģenti.
Spēļu teorija nāk no neoklasicisma ekonomikas. Teorijas matemātiskie aspekti un pielietojumi pirmo reizi tika izklāstīti klasiskajā Džona fon Neimana un Oskara Morgensterna 1944. gada grāmatā "Spēļu un ekonomiskās uzvedības teorija".
Šī matemātikas joma ir atradusi zināmu atspoguļojumu publiskajā kultūrā. 1998. gadā amerikāņu rakstniece un žurnāliste Silvija Nazara publicēja grāmatu par Džona Neša likteni, Nobela prēmijas laureāts ekonomikā un spēļu teorijā zinātnieks; un 2001. gadā pēc grāmatas motīviem tika uzņemta filma “A Beautiful Mind”. Daži amerikāņu televīzijas šovi, piemēram, Friend or Foe, Alias vai NUMB3RS, periodiski atsaucas uz teoriju savās epizodēs.
Spēļu teorijas nememātiskā versija ir izklāstīta 2005. gada Nobela prēmijas laureāta ekonomikā Tomasa Šellinga darbos.
Nobela prēmijas laureāti ekonomikā par sasniegumiem spēļu teorijas jomā bija: Roberts Aumans, Reinhards Seltens, Džons Nešs, Džons Harsanji, Tomass Šellings.
2. SPĒĻU TEORIJAS PAMATJĒDZIENI
Iepazīsimies ar spēļu teorijas pamatjēdzieniem. Konflikta situācijas matemātisko modeli sauc par spēli, konfliktā iesaistītās puses sauc par spēlētājiem, bet konflikta iznākumu sauc par uzvaru. Katrai formalizētai spēlei tiek ieviesti noteikumi, t.i. nosacījumu sistēma, kas nosaka: 1) spēlētāju darbības iespējas; 2) katra spēlētāja rīcībā esošās informācijas apjoms par savu partneru uzvedību; 3) ieguvums, pie kura noved katra darbību kopa. Parasti uzvaru (vai zaudējumu) var noteikt kvantitatīvi; piemēram, zaudējumu varat novērtēt kā nulli, uzvaru kā vienu un neizšķirtu kā ½.
Spēli sauc par dubultspēlēm, ja tajā piedalās divi spēlētāji, un par vairāku spēli, ja ir vairāk nekā divi spēlētāji.
Spēli sauc par nulles summas spēli jeb antagonistisku, ja viena spēlētāja ieguvums ir vienāds ar otra zaudējumu, t.i. pabeigt uzdevumu spēle, pietiek norādīt vienas no tām izmēru. Ja apzīmējam a kā viena spēlētāja guvumu, b kā otra guvumu, tad nulles summas spēlei b = -a, tāpēc pietiek ņemt vērā, piemēram, a.
Vienas no noteikumos paredzētās darbības izvēli un izpildi sauc par spēlētāja gājienu. Kustības var būt personiskas un nejaušas. Personīgais gājiens ir spēlētāja apzināta vienas no iespējamām darbībām izvēle (piemēram, gājiens šaha spēlē). Nejaušs gājiens ir nejauši izvēlēta darbība (piemēram, kārts izvēle no sajaukta klāja). Nākotnē mēs ņemsim vērā tikai spēlētāju personīgos gājienus.
Spēlētāja stratēģija ir noteikumu kopums, kas nosaka viņa darbības izvēli katrā personīgajā gājienā atkarībā no pašreizējās situācijas. Parasti spēles laikā ar katru personīgo gājienu spēlētājs izdara izvēli atkarībā no konkrētās situācijas. Tomēr principā ir iespējams, ka visus lēmumus spēlētājs pieņem iepriekš (reaģējot uz jebkuru situāciju). Tas nozīmē, ka spēlētājs ir izvēlējies konkrētu stratēģiju, kuru var norādīt kā noteikumu sarakstu vai programmu. (Tādā veidā jūs varat spēlēt spēli, izmantojot datoru.) Spēli sauc par ierobežotu, ja katram spēlētājam ir ierobežots stratēģiju skaits, bet citādi par bezgalīgu.
Lai atrisinātu spēli, vai atrastu spēles risinājumu, katram spēlētājam jāizvēlas stratēģija, kas apmierina optimitātes nosacījumu, t.i. vienam no spēlētājiem ir jāsaņem maksimālais laimests, kad otrs pieturas pie savas stratēģijas. Tajā pašā laikā otrajam spēlētājam ir jābūt minimālam zaudējumam, ja pirmais pieturas pie savas stratēģijas. Šādas stratēģijas sauc par optimālajām. Optimālām stratēģijām ir jāapmierina arī stabilitātes nosacījums, t.i., jebkuram spēlētājam šajā spēlē ir jābūt neizdevīgi atteikties no savas stratēģijas.
Ja spēli atkārto diezgan daudz reižu, tad spēlētājus var interesēt nevis uzvara un zaudējums katrā konkrētajā spēlē, bet gan vidējais laimests (zaudējums) visās spēlēs.
Spēļu teorijas mērķis ir noteikt optimālo stratēģiju katram spēlētājam. Izvēloties optimālu stratēģiju, ir dabiski pieņemt, ka abi spēlētāji uzvedas saprātīgi, ņemot vērā viņu intereses. Vissvarīgākais spēļu teorijas ierobežojums ir uzvaras kā efektivitātes rādītāja dabiskums, savukārt lielākajā daļā reālo ekonomisko problēmu efektivitātes rādītājs ir vairāk nekā viens. Turklāt ekonomikā, kā likums, rodas problēmas, kurās partneru intereses ne vienmēr ir antagonistiskas.
3. Spēļu prezentācija
Spēles ir stingri definēti matemātiski objekti. Spēli veido spēlētāji, stratēģiju kopums katram spēlētājam un spēlētāju izmaksas jeb izmaksas katrai stratēģiju kombinācijai. Lielāko daļu kooperatīvo spēļu raksturo raksturīgā funkcija, savukārt citiem veidiem biežāk tiek izmantota parastā vai ekstensīvā forma.
Plaša forma
Spēle "Ultimāts" plašā formā
Spēles plašā vai paplašinātā formā tiek attēlotas orientēta koka veidā, kur katra virsotne atbilst situācijai, kad spēlētājs izvēlas savu stratēģiju. Katram spēlētājam ir piešķirts vesels virsotņu līmenis. Maksājumi tiek reģistrēti koka apakšā, zem katras lapas virsotnes.
Attēlā pa kreisi ir spēle diviem spēlētājiem. Pirmais spēlētājs izvēlas F vai U stratēģiju. 2. spēlētājs analizē savu pozīciju un izlemj, vai izvēlēties stratēģiju A vai R. Visticamāk, pirmais spēlētājs izvēlēsies U, bet otrais - A (katrai no tām šīs ir optimālās stratēģijas ); tad viņi saņems attiecīgi 8 un 2 punktus.
Plašā forma ir ļoti vizuāla un ir īpaši noderīga, lai attēlotu spēles ar vairāk nekā diviem spēlētājiem un spēles ar secīgām kustībām. Ja dalībnieki veic vienlaicīgas kustības, atbilstošās virsotnes ir vai nu savienotas ar punktētu līniju, vai arī iezīmētas ar nepārtrauktu līniju.
Normāla forma
|
Spēlētājs 2 |
Spēlētājs 2 |
|
|
Spēlētājs 1 |
4 , 3 |
–1 , –1 |
|
Spēlētājs 1 |
0 , 0 |
3 , 4 |
|
Parasta forma spēlei ar 2 spēlētājiem, katrs ar 2 stratēģijām. |
||
Spēlētāji paši izvēlējās stratēģijas ar maksimālu rezultātu, taču zaudēja otra spēlētāja gājiena nezināšanas dēļ. Parasti parastā forma ir spēles, kurās kustības tiek veiktas vienlaicīgi vai vismaz tiek pieņemts, ka visi spēlētāji nezina, ko dara citi dalībnieki. Šādas spēles ar nepilnīgu informāciju tiks apspriestas tālāk.
Raksturīga formula
Kooperatīvās spēlēs ar pārvedamu lietderību, tas ir, iespēju pārskaitīt līdzekļus no viena spēlētāja otram, nav iespējams piemērot atsevišķu maksājumu jēdzienu. Tā vietā tiek izmantota tā sauktā raksturīgā funkcija, kas nosaka katras spēlētāju koalīcijas atdevi. Tiek pieņemts, ka tukšās koalīcijas ieguvums ir nulle.
Šīs pieejas pamats ir atrodams fon Neimana un Morgenšterna grāmatā. Pētot koalīcijas spēļu normālo formu, viņi sprieda, ka, ja spēlē ar divām pusēm veidojas koalīcija C, tad pret to iebilst koalīcija N \ C. Tiek veidota it kā spēle diviem spēlētājiem. Bet, tā kā iespējamām koalīcijām ir daudz variantu (proti, 2N, kur N ir spēlētāju skaits), C ieguvums būs kāda raksturīga vērtība atkarībā no koalīcijas sastāva. Formāli spēli šādā formā (ko sauc arī par TU spēli) attēlo pāris (N, v), kur N ir visu spēlētāju kopa un v: 2N → R ir raksturīgā funkcija.
Šo attēlojuma veidu var izmantot visām spēlēm, tostarp tām, kurām nav pārnēsājamas lietderības. Pašlaik ir veidi, kā pārvērst jebkuru spēli no parastās formas uz raksturīgo formu, taču apgrieztā transformācija nav iespējama visos gadījumos.
4. Spēļu veidi
Kooperatīvs un nesadarbīgs.
Spēli sauc par kooperatīvu vai koalīciju, ja spēlētāji var veidot grupas, uzņemoties noteiktus pienākumus pret citiem spēlētājiem un koordinējot viņu darbības. Tas atšķiras no nesadarbīgām spēlēm, kurās katram jāspēlē pašam. Izklaides spēles reti sadarbojas, taču šādi mehānismi ikdienā nav nekas neparasts.
Bieži tiek pieņemts, ka tas, kas padara sadarbības spēles atšķirīgu, ir spēlētāju spēja sazināties vienam ar otru. Kopumā tā nav taisnība. Ir spēles, kurās ir atļauta komunikācija, bet spēlētāji tiecas pēc personīgiem mērķiem un otrādi.
No abiem spēļu veidiem nesadarbīgās spēles apraksta situācijas ļoti detalizēti un rada precīzākus rezultātus. Kooperatīvi uzskata spēles procesu kopumā. Mēģinājumi apvienot abas pieejas ir devuši ievērojamus rezultātus. Tā sauktā Nash programma jau ir atradusi risinājumus dažām sadarbības spēlēm kā nesadarbīgu spēļu līdzsvara situācijām.
Hibrīdspēlēs ir iekļauti kooperatīvo un nesadarbīgo spēļu elementi. Piemēram, spēlētāji var veidot grupas, bet spēle tiks spēlēta nesadarbojoties. Tas nozīmē, ka katrs spēlētājs īstenos savas grupas intereses, tajā pašā laikā cenšoties gūt personisku labumu.