Matematika është mbretëresha e shkencave. Madhështia e saj është e pakufishme dhe fuqia e saj është e madhe. Të gjitha shkencat e tjera mbështeten në rezultatet matematikore. Qoftë fizikë, kimi, biologji, madje edhe filologji.
Ashtu si një shtëpi është e bërë me tulla, çdo detyrë ka nëndetyra të vogla. Dhe pasi të keni mësuar të zgjidhni probleme të vogla, mund të mësoni të zgjidhni probleme më komplekse.
Sot do të analizojmë se si të gjejmë thyesat. Koncepti i një fraksioni e ka origjinën në Greqia e lashte, pasi grekët prezantuan konceptin e gjatësisë, ekuivalente me numrat e plotë. Më pas, duhej një koncept që shprehte një pjesë të gjatësisë, për shembull, gjysmën, një të tretën e gjatësisë. Kështu u shfaq koncepti i një thyese.
Një tufë me numrat racionalë Q është bashkësia e numrave të paraqitur si m/n, ku m, n janë numra të plotë. Numri m/n quhet thyesë e zakonshme, ku m është numëruesi dhe n është emëruesi, n≠0.
Nëse n=〖10〗^k, k=1,2,.. , atëherë një thyesë e tillë quhet thyesë dhjetore dhe shkruhet si 0,0..0m, dhe numri i zeros pas presjes dhjetore është i barabartë me k-1.
Një numër quhet i përbërë nëse ka pjesëtues të tjerë përveç 1 dhe vetes.
Operacionet bazë
Ne do të kalojmë nga e thjeshta në komplekse, duke treguar me shembuj se si kryhen disa operacione.
Si të zvogëloni një fraksion
Për ta bërë këtë, ju duhet të zbërtheni numëruesin dhe emëruesin në faktorë të thjeshtë, nëse janë të përbërë. Dhe pastaj, nëse këta faktorë kryesorë janë të njëjtë, atëherë hiqni ato.
Në rast mungese faktorët kryesorë, thyesa quhet e pareduktueshme. Për shembull, 85/65=(17*5)/(13*5)=17/13
Si të gjeni një thyesë të një numri
Lëreni numrin të jetë një gjatësi. Dhe thyesa është në thelb një pjesë e kësaj gjatësi, kështu që për të gjetur pjesën e plotë, duhet të shumëzoni thyesën me numrin. Për shembull, 2/3 e 27=27*2/3=27/3*2=18
Si të gjeni një thyesë nga një thyesë
Në fakt, ky është një proces i thjeshtë shumëzimi, për të gjetur një thyesë nga një thyesë, ju vetëm duhet të shumëzoni 2 thyesa. Për shembull, 2/3 dhe 13/17: 2/3*13/17=26/51
Ndarja e thyesave
Kur ndani thyesat a / b, c / d, pjesëtuesi c / d mund të përfaqësohet si d / c dhe të shumëzohet, dhe më pas të zvogëlohet. Për shembull, 27/17?9/34=27/17*34/9=2*3=6.
Duhet mbajtur mend gjithashtu se kur vendosni shembuj të vështirë duhet të dalë me një algoritëm zgjidhjeje. Ju mund të duhet të ndryshoni pjesëtimin në shumëzim me një ndryshim të thyesës, është e mundur të kryeni shumëzim dhe pjesëtim me të njëjtin numër. Udhëzime të tilla mjaft të thjeshta do të ndihmojnë në zgjidhjen e shembujve.
Le të marrim një problem klasik fjalësh si shembull. 2/3 janë vjedhur në një magazinë me 150 tonë naftë. Pjesët e vjedhura janë ndarë në pjesë në raportin 5/17 dhe 12/17, e fundit është marrë për përpunim. Nafta e mbetur në magazinë është marrë për përpunim. Sa naftë është përpunuar?
150*2/3*12/17+150*(1-2/3)=150*41/51
Problemet për thyesat - baza e aritmetikës shkollore. Ato nuk janë të vështira në natyrë, por kërkojnë këmbëngulje dhe vëmendje për të kryer. Nëse plotësohen këto kushte, rezultati nuk do të vonojë.
Në procesin e zgjidhjes së problemave 149–156, është e nevojshme që studentët të kuptojnë rregullin për gjetjen e një pjese të një numri:
Për të gjetur pjesën e një numri të shprehur si thyesë, mund ta pjesëtoni këtë numër me emëruesin e thyesës dhe ta shumëzoni rezultatin me numëruesin e tij.
Natyrisht, studentët mund ta formulojnë këtë rregull vetëm për situata specifike: për të gjetur 3 / 4 numri 24, mund ta ndani këtë numër me emëruesin thyesat 4 dhe shumëzojeni rezultatin me numëruesin 3.
149 . a) 12 zogj ishin ulur në një degë; 2/3 e numrit të tyre fluturuan larg. Sa zogj kanë fluturuar?
b) Në klasë ka 32 nxënës; 3/4 e të gjithë studentëve shkuan në ski. Sa studentë bënë ski?
150 . a) Çiklistët udhëtuan 48 në dy ditë km. Ditën e parë ata udhëtuan 2/3 e rrugës. Sa kilometra kaluan ditën e dytë?
b) Dikush, duke pasur 350 rubla, shpenzoi 5/7 e parave të tij. Sa para i kanë mbetur?
c) Në fletore ka 24 faqe. Vajza plotësoi të gjitha faqet e fletores në datën 5/8. Sa faqe të pashkruara kanë mbetur?
151 . Problem i vjetër. Bleva një komodë për 36 R., atëherë më duhej ta shisja për 7/12 e çmimit. Sa rubla kam humbur në këtë shitje?
152 . Autoturistët udhëtuan 360 në tre ditë km; ditën e parë kanë udhëtuar 2/5, ndërsa ditën e dytë kanë udhëtuar 3/8 e gjithë udhëtimit. Sa kilometra kaluan autoturistët ditën e tretë?
153 . 1) Në klubin e dramës janë 24 vajza dhe disa djem. Numri i djemve është 3/8 e numrit të vajzave. Sa studentë janë në klubin e dramës?
2) Në koleksion ka 45 monedha përkujtimore rubla. Numri i monedhave 3 dhe 5 rubla është 2/9 e numrit të monedhave rubla. Sa monedha përkujtimore prej 1, 3 dhe 5 rubla janë në koleksion?
Nxënësit duhet të zgjidhin detyrat 154–156 duke gjetur fillimisht pjesën e treguar të vlerës dhe më pas duke e rritur ose ulur këtë vlerë me pjesën e gjetur. Një zgjidhje tjetër do të shfaqet më vonë.
154 . 1) Ulni 90 rubla me 1/10 e kësaj shume.
2) Rrisni 80 rubla me 2/5 e kësaj shume.
155 . Muajin e kaluar çmimi i artikullit ishte 90 R. Tani është ulur me 3/10 e asaj shume. Sa është çmimi i artikullit tani?
156 . Muajin e kaluar rroga ishte 400 R. Tani është rritur me 2/5 e asaj shume. Sa është rroga tani?
Në procesin e zgjidhjes së problemave 157-158 dhe problemeve të mëposhtme, duhet t'i sillni nxënësit të kuptojnë dhe aplikimi korrekt Rregullat për gjetjen e një numri sipas pjesës së tij:
Për të gjetur një numër me pjesën e tij, të shprehur si thyesë, mund ta pjesëtoni këtë pjesë me numëruesin e thyesës dhe ta shumëzoni rezultatin me emëruesin e tij.
Formulimi i këtij rregulli është i ndërlikuar për shkak të nevojës
telefononi disi numrin që kemi emërtuar «
pjesë »
. Këtë vështirësi duhet ta anashkalojnë edhe autorët e teksteve shkollore. Pra, në tekstin shkollor I.V. Baranova dhe Z.G. Rregulli i Borchugut është formuluar vetëm për raste specifike: për të gjetur një numër, 3 / 5 që është 90 km, është e nevojshme të ndani 90 km me numëruesin e thyesës 3 dhe të shumëzoni rezultatin me emëruesin e thyesës 5.
Kështu mund ta përdorin studentët. Vërtetë, kur flasim për numrin, është më mirë të mos përdorni emra, pasi numri dhe madhësia nuk janë e njëjta gjë. Më vonë në të njëjtin tekst shkollor në f. 226 formuluar rregull i përgjithshëm, në të cilin termi që përdorim « pjesë » qarkullimi përkatës « numrin që i korrespondon » , e cila është vështirë se është më e lehtë.
157 . a) 120 R. përbëjnë 3/4 e shumës së parave në dispozicion. Sa është kjo shumë?
b) Përcaktoni gjatësinë e segmentit, 3/5 e të cilit janë të barabarta me 15 cm.
158 . a) Djali im është 10 vjeç. Mosha e tij është 2/7 e moshës së babait të tij. Sa vjeç është babai?
b) Vajza 12 vjeç. Mosha e saj është 2/5 e moshës së nënës. Sa vjeç është nëna?
Për blerjen e perimeve, zonja shpenzoi 6 R., e cila përbënte 1/6 e parave që ajo kishte. Pastaj ajo bleu 2 kg mollë 7 R. për kilogram. Sa para i mbeten pas këtyre blerjeve?
160 . Babai i bleu djalit të tij një kostum për 24 R., për të cilën shpenzoi 1/3 e parave të tij. Pas kësaj, ai bleu disa libra dhe i kishin mbetur 39. R. Sa kushtuan librat?
161 . Djali është 8 vjeç, mosha e tij është 2/9 e moshës së babait. Dhe mosha e babait është 3/5 e moshës së gjyshit. Sa vjeç është gjyshi?
162 .* Nga papirusi i Ahmesit (Egjipt, rreth 2000 p.e.s.).
Vjen një bari me 70 dema. Ai pyetet:
Sa keni sjellë nga tufa juaj e shumtë?
Bariu përgjigjet:
Unë sjell dy të tretat e një të tretës së bagëtisë. Numëroni!
Sa dema ka në tufë?
1) Tema e mësimit:
"Gjetja e një pjese të një numri dhe një numri sipas pjesës së tij"
Qëllimi i mësimit : formimi i aftësisë së nxënësve për zgjidhjen e problemave për gjetjen e një pjese të një numri dhe një numri në pjesën e tij.
Praktikimi i aftësive llogaritëse të nxënësve.
Të ngjall te nxënësit ndjenjën e përgjegjësisë për detyrën e caktuar.
Pajisjet: një kompjuter
GJATË ORËSVE
Unë. KOHA E ORGANIZIMIT
Kontrollimi i gatishmërisë së nxënësve për punë.
II. PUNË GOJORE
Mësues. Filluam të eksploronim të reja temë e madhe"Tyesat e zakonshme".
Cili numër quhet thyesë?
· Jepni një shembull të një thyese, emërtoni numëruesin dhe emëruesin e saj.
Çfarë tregon emëruesi i një thyese?
Çfarë tregon numëruesi i një thyese?
· Të formulojë vetinë kryesore të një thyese.
Çfarë është reduktimi i fraksionit?
Kushtojini vëmendje ekranit. Disa detyra do të shfaqen në rrëshqitje.
Ushtrimi 1 . Zvogëloni thyesat e mëposhtme.
4 9 7 8 4 3 10 6 2 11 4 10
6 " 15 " 14 " 14 " 9 " 9 " 50 " 9 " 4 " 44 " 8 " 15 "
5 4
Si quhet thyesa e fundit?
Cila thyesë quhet e pakalueshme?
Detyra 2 . Zgjidh problemet e mëposhtme.
1. Vintik dhe Shpuntik montuan një makinë të re në 15 ditë. Çfarë pjese të makinës mblodhën brenda një dite?
2. Dunno vendosi të bënte 10 vepra të mira në ditë. Por, për fat të keq, ai mundi vetëm 1 - pjesë e asaj që ai planifikoi. Sa te mira
veprimet e kryera Dunno brenda një dite?
3. Znayka lexuar në një ditë 1 pjesë e librit. Sa ditë do të duhen Znaika për të lexuar
gjithë librin interesant?
III.STUDIMI I NJE TEME TE RE
Mësues. Kushtojini vëmendje ekranit. Epigrafi i këtij mësimi do të jenë fjalët
D. Poya: "Aftësia për të zgjidhur problemet është një art praktik, si noti ose skijimi, ose luajtja e pianos: këtë mund ta mësoni vetëm duke imituar mostra të zgjedhura dhe duke u stërvitur vazhdimisht". Në këtë mësim, ne do të angazhohemi në art praktik - të mësojmë të gjejmë një pjesë të një numri dhe një numër sipas pjesës së tij. Para fillimit të studimit temë e re, le të përsërisim drejtshkrimin e disa termave matematikorë.
Ushtrimi 1 . Shkruani në fletore fjalët e mëposhtme dhe frazat në një kolonë njëra nën tjetrën (një student shkruan në tabelë):
NUMERATOR
PJESA E NJË NUMRI
Tani kontrolloni drejtshkrimin e fjalëve në dërrasën e zezë me drejtshkrimin përpara jush në ekran. Korrigjoni gabimet nëse është e nevojshme.
Kur studiojmë një temë të re, duhet të vendosim një lidhje midis këtyre koncepteve. Gjatë punës me gojë, keni zgjidhur probleme për Dunno dhe miqtë e tij.
Kush doli me këta personazhe të mrekullueshëm?
[N. Nosov.]
N. Nosov shkroi një tjetër libër interesant, e cila quhet "Vitya Maleev në shkollë dhe në shtëpi". Le të zgjidhim problemin që zgjidhi personazhi kryesor.
Kërkoj vëmendjen tuaj për ekranin. Le të përpiqemi ta zgjidhim problemin me gojë
Detyrë . Një djalë dhe një vajzë po mblidhnin arra në pyll. Djali mblodhi dy herë më shumë arra se vajza. Sa arra kanë mbledhur djali dhe vajza veç e veç nëse kanë mbledhur 120 arra bashkë?
Çfarë fraksioni të arrave mblodhi vajza? Çfarë fraksioni të arrave mblodhi djali?
Detyra 2. Zgjidh problemet e mëposhtme.
1. Vajza mblodhi 1 të gjitha arrat. Sa arra mblodhi vajza, nëse vetëm
mblodhi 120 arra?
2. Djali mblodhi 2 të gjitha arrat. Sa arra mblodhi djali, nëse vetëm
mblodhi 120 arra?
Duke zgjidhur këto probleme, ne po kërkonim një pjesë të numrit. Kuptoni se si të gjeni pjesën e një numri.
konkluzioni (nxënësit bëjnë). Për të gjetur pjesën e një numri, duhet të pjesëtoni numrin me emëruesin e thyesës dhe të shumëzoni me numëruesin. .
Mësues. Pasi kemi formuluar këtë rregull, ne kemi lidhur katër terma matematikorë
NUMERATOR
PJESA E NJË NUMRI
Detyra 3. Zgjidh problema për të gjetur një pjesë të një numri.
1. Mami bleu 6 kilogramë ëmbëlsira. Vitya hëngri menjëherë 2 të gjitha ëmbëlsirat dhe ai
u sëmur. Pas sa ëmbëlsirash Vitya kishte dhimbje barku?
2. Në kotecin e pulave kishte 40 pula. Për një javë dhelpra u tërhoq zvarrë 3 të gjitha pulat. Sa pula
tërhiqet zvarrë nga një dhelpër?
Detyra 4. Zgjidh problemet e mëposhtme "të kundërta".
1. Vajza mblodhi 40 arra, që është 1 të gjitha arrat. Sa arra
u mblodh?
2. Djali mblodhi 80 arra, që është 2 të gjitha arrat e korrura.
Sa arra u mblodhën?
Kuptoni se si të gjeni një numër nga pjesa e tij.
konkluzioni ( nxënësit bëjnë). Për të gjetur një numër me pjesën e tij, duhet të pjesëtoni pjesën e numrit me numëruesin e thyesës dhe të shumëzoni me emëruesin.
Mësues . Pasi kemi formuluar këtë rregull, ne përsëri lidhëm katër terma matematikorë:
NUMERATOR
PJESA E NJË NUMRI
Ky regjistrim do të shërbejë si mbështetje në zgjidhjen e problemeve të gjetjes së një pjese të një numri dhe një numri nga ana e tij.
Detyra 5 . Zgjidh problema për të gjetur një numër sipas pjesës së tij.
1. Alice ra në një pus përrallësh dhe në minutën e parë të prolemetrave. Sa është thellësia e pusit nëse në minutën e parë Alice fluturoi 3 gjithë distancën?
2. Njerka i dha shumë punë Hirushes para topit. Për të përmbushur 3 kjo
punë, Hirushja mori 6 orë. Sa kohë i duhet Hirushes për të përfunduar të gjithë punën?
III. PUNË E PAVARUR
Nr. 000 (a, b), 785 (a, b), 783.
Në fund të punës kontrollohet korrektësia e zgjidhjes së problemave, diskutohet ecuria e zgjidhjes dhe përgjigjet.
IV. PËRMBLEDHJE E MËSIMIT
Mësues. Çfarë mësuat sot në klasë?
Si të gjejmë pjesën e një numri nga thyesa e tij?
Si të gjeni një numër sipas pjesës së tij?
Zgjidheni problemin e mëposhtëm me gojë.
Kishte një detashment ushtarësh: dhjetë rreshta me shtatë ushtarë rresht.
8 ishin me mustaqe. Sa ushtarë me mustaqe kishte? Sa ishin aty
4 prej tyre ishin me hundë. Sa ushtarë të zhurmshëm ishin atje? Sa ishin aty
ushtarë me hundë gërvishtëse?
V. DETYRA E SHTËPIS: Dilni, shkruani dhe zgjidhni dy probleme në këtë temë.
2) Tema e mësimit: Teorema e Vietës.
Objektivat edukative të mësimit:
1. Përsëritni formulat për rrënjët e ekuacioneve kuadratike jo të plota.
2. Të formojë aftësinë e nxënësve për të zbatuar teoremën e Vietës gjatë zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike.
Objektivat edukative të mësimit:
1. Kontribuoni në zhvillimin e dëshirave dhe nevojave të nxënësve, fakteve që studiohen.
2. Kultivoni pavarësinë dhe kreativitetin.
Zhvillimi i objektivave të mësimit:
1. Të zhvillojë dhe përmirësojë aftësinë për të zbatuar njohuritë që kanë nxënësit në një situatë të ndryshuar.
2. Të nxisë zhvillimin e aftësisë për të nxjerrë përfundime dhe përgjithësime.
Metoda e mësimdhënies:
1. Bisedë.
2. Mini-dialog.
3. Punë e pavarur.
Gjatë orëve të mësimit:
1. Momenti organizativ.
2. Kontroll verbal detyre shtepie Nr. 000 (c, e), 544 (b), 546 (c).
3. Përsëritje e materialit të mbuluar.
(Dy nxënës punojnë me një tabelë në dërrasën e zezë.) Detyrë: plotësoni hapësirat boshe në tabelë.
(Pjesa tjetër e klasës zgjidh fjalëkryqin duke përdorur njohuritë teorike)
Detyrë: nëse futni fjalët e sakta, atëherë në rreshtin e theksuar do të merrni emrin e matematikanit francez
1. Ekuacioni kuadratik me
koeficienti i parë
e barabartë me 1. (e reduktuar)
2. Shprehje radikale
në formulën e rrënjës. (diskriminues)
3. Një i veçantë
ekuacioni kuadratik. (i paplotë)
4. a , b në një ekuacion kuadratik.
(koeficientët)
Rreshti i theksuar do të përmbajë mbiemrin e matematikanit francez Vieta.
Referencë historike (raport i një studenti mbi jetën dhe veprën e matematikanit Francois Vieta).
Qëllimi: Sot në mësim do të shqyrtojmë marrëdhënien midis koeficientëve dhe rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.
Duke u marrë me ekuacionet kuadratike, ndoshta e keni vënë re tashmë se informacioni për rrënjët e tyre fshihet në koeficientë. Diçka "e fshehur" tashmë na është zbuluar.
Çfarë përcakton praninë ose mungesën e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik? (nga diskriminues)
Cili është diskriminuesi i një ekuacioni kuadratik? (nga koeficientët a, b, c)
Varësisht se cilët koeficientë të ekuacionit kuadratik, është e mundur të përcaktohen rrënjët e ekuacioneve kuadratike jo të plota. (kontrollojmë plotësimin e tabelës nga nxënësit)
Si lidhen ndryshe rrënjët dhe koeficientët e një ekuacioni kuadratik? Për të zbuluar këto lidhje, ndoshta do të jetë e dobishme të vëzhgohen koeficientët dhe rrënjët e ekuacioneve të ndryshme kuadratike. (Nxënësi nga çdo rresht zgjidh detyrën në tabelë dhe pjesa tjetër e plotëson detyrën në fletore.)
Ushtrimi. Zgjidhe ekuacionin.
x2- x- 6=0
4 (3x + 3) =2 (1 - x2)
2x2 + 12x + 10 = 0
x2 + 6 x + 5 = 0
x2 - 6 x + 8 = 0
Për më tepër
(x - 1) (x + 2) + 3x = 10
x2 + x - 2 + 3x - 10 = 0
x2 + 4 x- 12 = 0
Si quhen ekuacionet kuadratike pas shndërrimeve algjebrike? (e dhënë)
Kur kërkojnë modele, studiuesit shpesh regjistrojnë vëzhgimet e tyre në tabela që ndihmojnë në zbulimin e atyre modeleve.
Ushtrimi. Plotësoni boshllëqet në tabelë
Ekuacioni
x1
x2
x1 + x2
x1 x2
x2 – x – 6 = 0
x2 + 6 x + 5 = 0
x2 – 6 x + 8 = 0
x2 + 4 x –12 = 0
A ju ndihmoi kjo tabelë në zbulimin e marrëdhënieve të reja midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacioneve kuadratike? Shprehni një hipotezë, pohim (nxënësit nxjerrin përfundime). Krahasoni hipotezën që formuluat me teoremën e shkruar në tekstin shkollor në faqen 121.
Teorema: Shuma e rrënjëve të ekuacionit të dhënë kuadratik është e barabartë me koeficientin e dytë, marrë nga shenjë e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë. (Lexojeni vetë provën)
Teorema quhet teorema Vieta, sipas matematikanit të famshëm francez Francois Vieta ().
Ai vërtetoi teoremën e tij të famshme në 1591.
Ushtrimi. Duke përdorur teoremën e Vietës, plotësoni boshllëqet në formula.
Ekuacioni
Shuma e rrënjëve
Produkt rrënjë
x2 – 5 x – 6 = 0
x2 – 3 x + = 0
x2 + x + 1 = 0
x2 + x + = 0
Teorema e Vietës mund të përdoret për të kontrolluar rrënjët e gjetura të një ekuacioni kuadratik. Merrni parasysh detyrat nga detyre shtepie № 000.
në) y2 = 4 y + 96 e) x2 – 20 x = 20 x + 100
y2 – 4 y – 96 = 0 x2 – 40 x – 100 = 0
y1
= – 8
y2
= 12
Sipas teoremës së Vietës:
Ne kontrollojmë:
A është e zbatueshme teorema e Vietës për një ekuacion kuadratik në pamje e përgjithshme? (Po, nëse e zëvendësojmë këtë ekuacion me ekuacionin e dhënë ekuivalent.)
sëpatë2 + bx + c = 0
; nëse x1 dhe x2 janë rrënjët e këtij ekuacioni, atëherë nga teorema Vieta:
Formuloni një pohim të përgjithshëm për një ekuacion kuadratik.
Teorema: Nëse rrënjët e ekuacionit kuadratik sëpatë2 + bx+ c=0 ekzistojnë, atëherë shuma e rrënjëve është , dhe prodhimi i rrënjëve është .
Me të drejtë të denjë për t'u kënduar në vargje
Mbi vetitë e rrënjëve, teorema e Vietës.
Cila është më mirë, thoni qëndrueshmërinë e kësaj:
Ju shumëzoni rrënjët - dhe fraksioni është gati.
Në numërues c , në emërues a ,
Dhe shuma e rrënjëve është gjithashtu një fraksion
Edhe me një fraksion minus, çfarë problemi
Në numërues b , në emërues a .
Detyra numër 000. Gjeni shumën dhe prodhimin e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.
Ekuacioni
Shuma e rrënjëve
Produkt rrënjë
a) x2 – 37 x + 27 = 0
b) y2 + 41y - 371 = 0
në) x2 – 210 x = 0
G) y2 – 19 = 0
e) 2 x2 – 9 x – 10 = 0
e) 5 x2 + 12 x + 7 = 0
g) – z2 + z = 0
h) 3 x2 – 10 = 0
Me gojë: Pa zgjidhur këtë ekuacion, përcaktoni se cilët numra janë rrënjët e ekuacionit.
x2
– 5
x + 4 = 0
-1 dhe -4
x2 + 5 x + 4 = 0 -1 dhe 4
x2 – 3 x – 4 = 0 1 dhe 4
x2 + 3 x – 4 = 0 1 dhe -4
Në disa raste, rrënjët e ekuacionit mund të gjenden me përzgjedhje. Zgjedhja e rrënjëve lehtëson shumë nëse dihen varësitë midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacionit. Formulat që shprehin këto varësi pasqyrohen në teoremën Vieta.
Formuloni një deklaratë teorema e bashkëbisedimit Vieta.
Teorema. Nese nje numra realë x1 dhe x2 janë të tilla që x1 + x2 = – fq dhe x1 x2 = q, atëherë këta numra janë rrënjët e ekuacionit kuadratik x2 + px + q = 0.
Por më shpesh kjo teoremë përdoret për të gjetur rrënjët me metodën e përzgjedhjes.
Nxënësit zgjidhin detyrën numër 000 duke përdorur këtë teoremë.
Përmbledhja e mësimit:
1. Çfarë teoremash mësuat sot në klasë?
2. Në cilat situata mund të zbatohen teorema e Vieta-s dhe teorema e saj e kundërt.
Detyrë shtëpie: fq 23 nr 000, 577, 58
3) Mësimi i Algjebrës (konferencë për shtyp)
Tema:
Formulat e shkurtuara të shumëzimit
(Përsëritje dhe përgjithësim i materialit të trajtuar)
Synimi:
gjatë lojë didaktike krijojnë kushte për manifestimin e funksioneve personale të nxënësve.
Detyrat:
1. sistematizojnë dhe përgjithësojnë njohuritë për temën “Formulat e shumëzimit të shkurtuar”;
2. vazhdojnë formimin e veprimtarisë njohëse;
3. kërkoni për alternativën tuaj;
4. Shprehni zgjedhjen tuaj për zgjidhjen e problemit
Gjatë orëve të mësimit
Prezantimi.
Mësues: Sot klasa juaj është një institut kërkimor. Ju - studentë - punonjës të këtij instituti. Në mësim erdhën korrespondentë nga botime të ndryshme, të cilët duan të marrin përgjigje për pyetjet e tyre. Suksesi i konferencës për shtyp varet nga secili punonjës i institutit. Ngroheni.
Mësues: Për të njohur mysafirët tanë me mënyrën se si funksionon instituti ynë për studimin dhe zbatimin e formulave, unë propozoj të zgjidhim problemin e mëposhtëm:
Ka katër kuti dhe karta me shprehjet algjebrike. Vendosni një parim të përputhjes midis kartave dhe kutive dhe renditini kartat në kuti.
(a±b) (a2±2ab+b2)
a3±3a2b+3ab2±b3
1) (-a-b)2
2) -(a+b)2
3) (b+a)2
4) a2-b2
5) a2+b2
6) (b-a)2
7) (b+a)3
8) (-b+a)3
9) -(a-b)3
10) a3+b3
11) a3-b3
12)-(a3-b3)
Intervistat me “korrespondentët” e revistave. Korrespondent i revistës "Quantum".
- Ju dini shumë formula të shkurtuara të shumëzimit. Shpjegoni pse nevojiten dhe në cilat raste i përdorni. Redaktorët e revistës sonë morën një letër nga një nxënës i klasës së 7-të Yury Groshev. Ai kërkon me zell ndihmë për të faktorizuar polinomin a3+a2b-ab2-b3 menyra te ndryshme.
(Zgjidhja e problemit me ndihmën e një ideje).
Tre nxënës vijnë në tabelë dhe e kryejnë këtë detyrë në mënyra të ndryshme; Klasës i kërkohet të zgjedhë zgjidhjen e preferuar.
- Zgjidhe ekuacionin: 16x2-(4x-5)2=15 dy mënyra. (Sugjeroni mënyrat tuaja për zgjidhjen e ekuacionit).
- Stacioni ndërplanetar, i nisur për të studiuar planetin Mars, bëri fotografi të sipërfaqes së tij, e vizitoi atë, mori një mostër dheu dhe u kthye në Tokë. Së bashku me mostrat, shkencëtarët gjetën një copë aliazh të fortë me emërtime misterioze. Revista i ka vendosur këto emërtime në faqet e saj dhe lexuesit duan të dinë se çfarë kuptimi kanë. Ju lutemi ndihmoni redaktorët t'i përgjigjen pyetjes së tyre. (5+ )= + +81 472-372=(47- ) (+37) (-3) (+3)=а2- 612=3600+ +292+2 71 29=( + )2= 2
- Kriminelët kanë vjedhur një shumë të madhe parash nga banka. Ata u kapën, por nuk u konstatua shuma e vjedhur. Kriminelët refuzojnë kategorikisht ta emërtojnë atë, duke pretenduar se e kanë shënuar këtë numër si diplomë dhe kanë koduar jo vetëm bazën, por edhe treguesin e saj. Ekspertët arritën të zbulojnë bazën e diplomës - 597. Por për t'iu përgjigjur pyetjes se çfarë diplome është kërkuar. Ata nuk munden. Kriminelët më pas shkruajtën ekuacionet:
(2y+1)2-4y2=5
4y2+4y+1-4y2=5
4y=5-1
4v=4
y=4/4
y=1
(x-5)2-x2+8=3
x2-10x+25-x+8=3
-10x+33=3
-10x=-30
x=-30:(-10)
x=3
- Cilat formula janë përdorur për zgjidhjen e ekuacioneve?
Dhe përveç kësaj, shprehja (a-1) (a2+1) (a+1)-(a2-1)2-2 (a2-3)+1 e cila duhet të thjeshtohet. Tani, duke përdorur alfabetin si një shifër, mund të lexoni eksponentin.
- Gjeni eksponentin dhe ngrijeni në të mënyrë e përshtatshme numri 597
5972=(600-3)2=+9=356409
- Redaksia e gazetës ka marrë një letër nga Sasha Petrov me kërkesë për botim të saj. Sasha mendon: për të vendosur në katror një "numër të plotë e gjysmë", duhet të shumëzoni këtë numër të plotë me një numër fqinj, më të madh dhe të shtoni 1/4 në rezultat.
Për shembull, (71/2)=561/4; (81/2)=721/4.
Shpejt dhe lehtë.
Por redaksia e gazetës mendon se është e nevojshme të konsultohet me ekspertë. A mendoni se është e mundur të vërtetohet kjo deklaratë?
(dy studentë ftohen në tabelë për ta vërtetuar këtë pohim në mënyra të ndryshme).
- Unë jam duke përpiluar përmbajtje për faqen "Rrush të thatë". Të nderuar punonjës të institutit kërkimor, më tregoni si ta kryeni më mirë detyrën e mëposhtme: krahasoni cila është më e madhe: 361 ose 35 37?
Mësues. Konferenca jonë për shtyp ka marrë fund. Korrespondentët e gazetave dhe revistave, pasi kanë marrë përgjigje për pyetjet me interes për lexuesit, do t'i nxjerrin ato në formën e shënimeve dhe do t'i publikojnë në faqet e botimeve të tyre.
Ju, të dashur punonjës, jeni udhëzuar nga Këshilli Shkencor që të nxirrni formulat:
(a+b)4 dhe (a+b+c)2 Faleminderit të gjithë pjesëmarrësve në lojë. Dhe në përfundim, do të doja të dija se çfarë përshtypje ju ka lënë loja, çfarë vështirësish keni përjetuar sot në lojë? (reflektim)
4) Tema e mësimit: Teorema e Pitagorës
Synimi: Tregoni origjinën historike të teoremës.
Të mësojë studentët të zbatojnë njohuritë e marra në zgjidhjen e problemeve të aplikuara.
Mësoni të perceptoni materialin në një sistem holistik të lëndëve të ndryshme.
Ngritja e interesit njohës në studimin e gjeometrisë.
Gjatë orëve të mësimit:
1. Momenti organizativ.
2. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë.
3. tretësirë orale detyrat. (rrëshqitje 2)
1. Gjeni sipërfaqen e një katrori me një anë
3 cm; 1.2 mm; 5\7 m; por shiko
2. Gjeni sipërfaqen e një drejtkëndëshi
trekëndësh me këmbë 3 cm dhe 4 cm;
2,2 m dhe 5 cm; një cm dhe në cm.
4. Përditësimi i njohurive bazë të nxënësve.
Një vend i veçantë në gjeometri, rol të veçantë luan një trekëndësh kënddrejtë, raporti ndërmjet brinjëve dhe këndeve në trekëndësh kënddrejtë. Për disa mësime, ne kemi studiuar këtë material me ju, dhe sot synimi ynë është të përmbledhim njohuritë e marra duke studiuar teoremën e Pitagorës. Çështjes së përgjithësimit do t'i qasemi nga shumë anë: si historianë, lirikë, teoricienë dhe praktikantë.
5. Shpjegimi i materialit të ri.
Biografia e Pitagorës (Trego 3 rrëshqitje).
Pitagora lindi rreth vitit 570 para Krishtit. e. në ishullin Samos. Babai i Pitagorës ishte Mnesarchus, një gdhendës perlat. Emri i nënës së Pitagorës nuk dihet. Sipas shumë dëshmive të lashta, djali i lindur ishte jashtëzakonisht i pashëm dhe shpejt tregoi aftësitë e tij të jashtëzakonshme. Midis mësuesve të Pitagorës së re, përmenden emrat e plakut Hermodamant dhe Ferekides të Siros (megjithëse nuk ka siguri të fortë që Germodamant dhe Ferekides ishin mësuesit e parë të Pitagorës).
Nga historia e krijimit të teoremës (4 rrëshqitje).
Pitagora bëri shumë për zhvillimin e shkencës, por ai e filloi rrugëtimin e tij jo aspak si shkencëtar, por si fitues i Lojërave Olimpike në grusht!
Një nga pohimet më të shquara është teorema e Pitagorës. с2= a2+b2
Siç mendoi Pitagora, nuk ka asnjë informacion. Ndoshta ai vizatonte me një degëz në rërë, sepse pitagorianët shpesh ecnin dhe bënin shkencë në shëtitje. Sipas legjendës, ai u flijoi perëndive 100 dema në shenjë mirënjohjeje. Dhe legjendat thonë se kur zbulohet diçka e re, të gjitha bagëtitë e tokës dridhen nga frika.
Ndoshta Pitagora mblodhi të gjithë matematikanët dhe foli për zbulimin e tij. Një nga pllakat prej balte tregon për këtë. Ka vetëm detyra, por jo përfundime. Por në dorëshkrimet indiane, një vizatim dhe fjala "teoremë", e cila vjen nga fjalë greke"theorio" - konsideroj
Teorema e Pitagorës (5 rrëshqitje)
I. Dyrchenko
Nëse na jepet një trekëndësh
Dhe, për më tepër, me një kënd të drejtë,
Ky është katrori i hipotenuzës
Ne gjithmonë mund të gjejmë lehtësisht:
Ne i ndërtojmë këmbët në një katror,
Ne gjejmë shumën e shkallëve -
Dhe në një mënyrë kaq të thjeshtë
Do të vijmë te rezultati.
Teorema e Pitagorës (6 rrëshqitje)
Në një trekëndësh kënddrejtë, katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve
Ka më shumë se 100 prova të teoremës së famshme të Pitagorës, e cila ende i përndjek mendjet e shkencëtarëve.
Le të shohim disa prej tyre.
Vërtetimi i teoremës së Pitagorës (rrëshqitja 7)
Le te jete T- trekëndësh kënddrejtë me këmbë a, b dhe hipotenuzë me. Le ta vërtetojmë këtë c2=a2+b2 Ndërtoni një katror Q me brinjë a + c. Sheshi P me një festë a+b i përbërë nga një katror R me një festë me dhe katër trekëndësha të barabartë me trekëndësh T. Prandaj, për zonat e tyre, barazia S(P)= S(P)+4 S(T) .
Si S(Q)=(a+b) 2 ; S(P)=c2 dhe
S(T)=1/2(ab), pastaj (a+b)2=c2+4*(1/2)abose
a2+b2 +2 ab= c2 +2 abdhe c2=a2+b2.
Sllajdi i demonstrimit 8
Vërtetimi më i thjeshtë i teoremës merret në rastin më të thjeshtë të një trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh. Ndoshta, teorema filloi me të. Në të vërtetë, mjafton vetëm të shikojmë mozaikun e trekëndëshave izoscelorë kënddrejtë dhe të sigurohemi që teorema është e vërtetë. Për shembull, përÙ ABC: katrori i ndërtuar mbi hipotenuzën AC përmban 4 trekëndësha fillestarë, dhe katrorët e ndërtuar mbi këmbët përmbajnë dy. Teorema është vërtetuar.
Sllajdi i demonstrimit 9
“Pantallonat e Pitagorës janë të barabarta në të gjitha drejtimet. Për ta vërtetuar atë, ju duhet të qëlloni dhe të tregoni, - pra këndohet në një këngë lozonjare. këto " pantallona” janë paraqitur në figurë, ku janë ndërtuar katrorë në secilën anë të trekëndëshit kënddrejtë ABC nga jashtë. Dhe vetë vizatimi u shfaq në librin e parë të famshëm të traktatit të Euklidit "Fillimet" dhe u vendos nga autori i tij si bazë për vërtetimin e teoremës së Pitagorës.
2 Punë me gojë.
Ne do të bëjmë një ngrohje matematikore që do të na ndihmojë të kujtojmë përkufizimet (rrëshqitja 5).
1) Mesatarja në një trekëndësh dykëndësh është….
2) Përgjysmuesja në një trekëndësh dykëndësh është….
1) Trekëndëshi në të cilin të gjitha brinjët janë të barabarta quhet ……….?
2) Trekëndëshi, dy brinjët e të cilit janë të barabarta quhet ………..?
3) Trekëndëshi në të cilin njëri nga këndet është kënddrejtë quhet ……..? Le të kontrollojmë nëse iu përgjigjët saktë pyetjeve (rrëshqitja 6).
3 Punë e pavarur (10 minuta)
Duke pasur parasysh trekëndëshin ABC është dykëndësh, trekëndëshi BSD është barabrinjës. Perimetri i trekëndëshit ABC është 40 cm, perimetri i VSD është 45 cm Gjeni AB dhe BC (rrëshqitje 7).
Le të kontrollojmë zgjidhjen e problemit (rrëshqitje 8)
1) Meqenëse ∆ VSD është barabrinjës, atëherë VD=VS=SD=45:3=15cm.
2) Meqenëse ∆ ABC është dykëndësh, atëherë AB \u003d AC \u003d (40-15): 2 \u003d 12,5 cm.
Përgjigje: AB=12.5cm, BC=15cm.
4. Test matematikor. (Zgjidhni përgjigjen e saktë) (rrëshqitje 9)
1) Sa lartësi ka trekëndëshi?
2) Në një trekëndësh dykëndësh, këndet në bazë
a) jo i barabartë b) i barabartë
3) Këndet e një trekëndëshi barabrinjës janë të barabartë
a) 60° b) 45°
5.momenti i lojës (rrëshqitje 10)
Lojë "Mendimtari" (Kush do të numërojë shpejt numrin e trekëndëshave në këtë figurë)
Sa trekëndësha tregohen në figurë? (përgjigjja 16)
6. Sondazh me gojë. (rrëshqitje 11)
Problem: Në një trekëndësh kënddrejtë ABC, një nga këndet akute është 30°. Gjeni qoshe të tjera.
7.Rezultatet e mësimit.
Detyre shtepie: Nr. 44 (a), nr. 47
Pra, le të na jepet një numër i plotë a. Duhet të gjejmë, për shembull, një të pestën e këtij numri. Ju mund ta bëni këtë me fraksione të zakonshme:
- Meqenëse duhet të gjejmë pjesën e pestë të numrit, kërkojmë 1/5 e numrit a.
- Për të gjetur 1/5 e numrit a, duhet të shumëzojmë numrin a me pjesën që duhet të gjejmë, domethënë të kryejmë veprimin: a * 1/5 = a/5. Kjo do të thotë, pjesa e pestë e numrit a është a / 5.
- Për më tepër, nëse kërkojmë një pjesë të një numri të plotë, atëherë rezultati do të jetë më i vogël se numri origjinal.
Mund të ketë detyra të ndryshme për të gjetur një pjesë të një tërësie: nëse duhet të gjeni, për shembull, një të dhjetën e një numri a, atëherë ju duhet një * 1/10 = a/10. Nëse dëshironi të gjeni 1/8 e numrit a, atëherë ju duhet një * 1/8 = a/8.
Gjetja e ndonjë pjese të një tërësie bëhet duke shumëzuar numrin e plotë të dhënë me pjesën që dëshironi të gjeni.
Merrni parasysh shembull specifik për memorizimin edhe më të zgjidhjes.
Si të gjeni të gjashtën e numrit 36
Na jepet një numër i plotë - numri 36. Duhet të gjejmë një të gjashtën e tij, përndryshe duhet të gjejmë 1/6 e numrit 36. Le të kryejmë veprimin e shumëzimit të së tërës me pjesën: 36 * 1/6 = 6. Pra, e gjashta e numrit 36 është numri 6. Mund të thoni edhe sa vijon: numri 36 është saktësisht gjashtë herë më i madh se numri 6, ose numri 6 është saktësisht gjashtë herë më i vogël se numri 36.
Për të gjetur një pjesë të çdo numri, duhet të ndahet me madhësinë e kësaj pjese. Veprimet në këtë rast do të ndryshojnë në varësi të formës së regjistrimit të fraksionit;
Me një thyesë të përbashkët:
Nëse numëruesi i një thyese të zakonshme është i pjesëtueshëm pa mbetje me një madhësi të caktuar të pjesës, atëherë mjafton thjesht të pjesëtohet numëruesi me këtë madhësi të dhënë;
Nëse numëruesi nuk mund të ndahet në një pjesë të caktuar pa mbetje, atëherë emëruesi duhet të shumëzohet me madhësinë e kësaj pjese; Me një thyesë të përzier: Bëjmë njësoj si me një thyesë të zakonshme, por vetëm së pari duhet të konvertohet fraksion i përzier në të zakonshmen. Me dhjetore: Llogaritja do të përbëhet nga një operacion i vetëm ndarjeje. dhjetore mund të ndahet në një madhësi të caktuar të pjesës në një kolonë.
Pra, le të na jepet një numër i plotë a. Duhet të gjejmë gjysmën e këtij numri. Ju mund ta bëni këtë me fraksione të zakonshme:
- Le ta shënojmë numrin e plotë si një, atëherë gjysma e njësisë është 1/2. Pra, duhet të gjejmë 1/2 e numrit a.
- Për të gjetur 1/2 e numrit a, duhet të shumëzojmë numrin a me pjesën që duhet të gjejmë, domethënë të kryejmë veprimin: a * 1/2 = a/2. Kjo do të thotë, gjysma e numrit a është a / 2.
- Për më tepër, nëse kërkojmë një pjesë të një numri të plotë, atëherë rezultati do të jetë më i vogël se numri origjinal.
Mund të ketë detyra të ndryshme për të gjetur një pjesë të tërësisë: nëse duhet të gjeni, për shembull, një të katërtën e numrit a, atëherë ju duhet një * 1/4 = a/4. Nëse dëshironi të gjeni 1/8 e numrit a, atëherë ju duhet një * 1/8 = a/8. Gjetja e ndonjë pjese të një tërësie bëhet duke shumëzuar numrin e plotë të dhënë me pjesën që dëshironi të gjeni.
Konsideroni një shembull.
Si të gjeni pjesën e tretë të numrit 75
Na jepet një numër i plotë - numri 75. Duhet të gjejmë pjesën e tretë të tij, përndryshe duhet të gjejmë 1/3. Le të kryejmë veprimin e shumëzimit të së tërës me pjesën: 75 * 1/3 = 25. Pra, pjesa e tretë e numrit 75 është numri 25. Mund të thuash edhe këtë: numri 25 është tre herë më i vogël se numri 75 . Ose: numri 75 është tre herë më i madh se numri 25.