Formula e rregullt e piramidës katërkëndore. Piramida. Piramida e cunguar

Hipoteza: ne besojmë se përsosja e formës së piramidës është për shkak të ligjeve matematikore të ngulitura në formën e saj.

Synimi: pasi ka studiuar piramidën si një trup gjeometrik, për të shpjeguar përsosmërinë e formës së saj.

Detyrat:

1. Jepni një përkufizim matematikor të një piramide.

2. Studioni piramidën si trup gjeometrik.

3. Kuptoni se çfarë njohurish matematikore vendosën egjiptianët në piramidat e tyre.

Pyetje private:

1. Çfarë është piramida si trup gjeometrik?

2. Si mund të shpjegohet matematikisht forma unike e piramidës?

3. Çfarë i shpjegon mrekullitë gjeometrike të piramidës?

4. Çfarë e shpjegon përsosmërinë e formës së piramidës?

Përkufizimi i një piramide.

PIRAMIDA (nga greqishtja pyramis, gjini n. pyramidos) - një shumëfaqësh, baza e të cilit është një shumëkëndësh, dhe faqet e mbetura janë trekëndësha me një kulm të përbashkët (figura). Sipas numrit të qosheve të bazës, piramidat janë trekëndore, katërkëndore, etj.

PIRAMIDA - një ndërtesë monumentale formë gjeometrike piramidat (nganjëherë edhe me shkallë ose në formë kulle). Varret gjigante të faraonëve të lashtë egjiptianë të mijëvjeçarit 3-2 para Krishtit quhen piramida. e., si dhe piedestalet e lashta amerikane të tempujve (në Meksikë, Guatemalë, Honduras, Peru) të lidhura me kultet kozmologjike.

Është e mundur që fjalë greke"piramida" vjen nga shprehja egjiptiane per-em-us, d.m.th., nga një term që nënkupton lartësinë e piramidës. Egjiptologu i shquar rus V. Struve besonte se greqishtja “puram…j” vjen nga egjiptianja e lashtë “p”-mr.

Nga historia. Duke studiuar materialin në librin shkollor "Gjeometria" nga autorët e Atanasyan. Butuzova dhe të tjerë, mësuam se: Një shumëkëndësh i përbërë nga n-këndësh A1A2A3 ... An dhe n trekëndësha RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 quhet piramidë. Shumëkëndëshi A1A2A3 ... An është baza e piramidës dhe trekëndëshat PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 janë fytyrat anësore piramidat, P është maja e piramidës, segmentet PA1, PA2,…, PAn janë skajet anësore.

Sidoqoftë, një përkufizim i tillë i piramidës nuk ekzistonte gjithmonë. Për shembull, matematikan i lashtë grek, autori i traktateve teorike mbi matematikën që na kanë ardhur, Euklidi, e përkufizon piramidën si një figurë të fortë të kufizuar nga rrafshe që konvergojnë nga një rrafsh në një pikë.

Por ky përkufizim është kritikuar tashmë në antikitet. Kështu Heron propozoi përkufizimin e mëposhtëm të një piramide: "Kjo është një figurë e kufizuar nga trekëndësha që konvergojnë në një pikë dhe baza e së cilës është një shumëkëndësh."

Grupi ynë, duke krahasuar këto përkufizime, arriti në përfundimin se ato nuk kanë një formulim të qartë të konceptit të "themelit".

Ne studiuam këto përkufizime dhe gjetëm përkufizimin e Adrien Marie Legendre, i cili në vitin 1794 në veprën e tij "Elementet e gjeometrisë" e përcakton piramidën si më poshtë: "Piramida është një figurë trupore e formuar nga trekëndësha që konvergojnë në një pikë dhe përfundojnë në anët e ndryshme të një bazë e sheshtë.”

Na duket se përkufizimi i fundit jep një ide të qartë të piramidës, pasi i referohet faktit që baza është e sheshtë. Një përkufizim tjetër i një piramide u shfaq në një libër shkollor të shekullit të 19-të: "një piramidë është një kënd i fortë i prerë nga një plan".

Piramida si trup gjeometrik.

Se. Një piramidë është një shumëkëndësh, njëra nga fytyrat (baza) e të cilit është një shumëkëndësh, fytyrat (anët) e mbetura janë trekëndësha që kanë një kulm të përbashkët (maja e piramidës).

Perpendikularja e tërhequr nga maja e piramidës në rrafshin e bazës quhet lartësiah piramidat.

Përveç një piramide arbitrare, ka piramida e djathtë, në bazën e të cilit ndodhet një shumëkëndësh i rregullt dhe piramidë e cunguar.

Në figurë - piramida PABCD, ABCD - baza e saj, PO - lartësia.

zonë sipërfaqe të plotë Një piramidë quhet shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve të saj.

Sfull = Anash + Sbase, ku Anashështë shuma e sipërfaqeve të faqeve anësore.

vëllimi i piramidës gjendet sipas formulës:

V=1/3Sbase h, ku Sosn. - zona e bazës h- lartësia.

boshti piramida e saktë quhet një vijë që përmban lartësinë e saj.
Apothem ST - lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt.

Sipërfaqja e faqes anësore të një piramide të rregullt shprehet si më poshtë: Ana. =1/2P h, ku P është perimetri i bazës, h- lartësia e faqes anësore (apotema e një piramide të rregullt). Nëse piramida përshkohet nga rrafshi A'B'C'D' paralel me bazën, atëherë:

1) skajet anësore dhe lartësia ndahen nga ky plan në pjesë proporcionale;

2) në seksion, fitohet një shumëkëndësh A'B'C'D', i ngjashëm me bazën;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Bazat e piramidës së cunguar janë shumëkëndësha të ngjashëm ABCD dhe A`B`C`D`, faqet anësore janë trapezoide.

Lartësia piramida e cunguar - distanca midis bazave.

Vëllimi i cunguar piramida gjendet me formulën:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Sipërfaqja anësore e një piramide të rregullt të cunguar shprehet si më poshtë: Ana. = ½(P+P') h, ku P dhe P' janë perimetrat e bazave, h- lartësia e faqes anësore (apotema e një të rregullt të cunguar nga festat

Seksionet e piramidës.

Seksionet e piramidës nga aeroplanët që kalojnë nga maja e saj janë trekëndësha.

Seksioni që kalon nëpër dy skajet anësore jo të afërta të piramidës quhet seksion diagonal.

Nëse seksioni kalon nëpër një pikë në skajin anësor dhe anën e bazës, atëherë kjo anë do të jetë gjurma e saj në rrafshin e bazës së piramidës.

Një seksion që kalon nëpër një pikë që shtrihet në faqen e piramidës dhe një gjurmë e dhënë e seksionit në rrafshin e bazës, atëherë ndërtimi duhet të kryhet si më poshtë:

gjeni pikën e kryqëzimit të rrafshit të faqes së dhënë dhe gjurmën e seksionit piramidale dhe caktoni atë;

ndërtoni një vijë të drejtë që kalon nëpër një pikë të caktuar dhe pikën e kryqëzimit që rezulton;

· Përsëritni këto hapa për fytyrat e ardhshme.

, që korrespondon me raportin e këmbëve të një trekëndëshi kënddrejtë 4:3. Ky raport i këmbëve korrespondon me trekëndëshin e njohur kënddrejtë me brinjë 3:4:5, i cili quhet trekëndëshi "i përsosur", "i shenjtë" ose "egjiptian". Sipas historianëve, trekëndëshit "egjiptian" iu dha një kuptim magjik. Plutarku shkroi se egjiptianët e krahasuan natyrën e universit me një trekëndësh "të shenjtë"; simbolikisht e krahasuan këmbën vertikale me burrin, bazën me gruan dhe hipotenuzën me atë që lind nga të dyja.

Për një trekëndësh 3:4:5, barazia është e vërtetë: 32 + 42 = 52, që shpreh teoremën e Pitagorës. A nuk është kjo teorema që priftërinjtë egjiptianë donin të përjetësonin duke ngritur një piramidë në bazë të trekëndëshit 3:4:5? Vështirë të gjesh më shumë shembull i mirë për të ilustruar teoremën e Pitagorës, e cila ishte e njohur për egjiptianët shumë kohë përpara zbulimit të saj nga Pitagora.

Kështu, krijuesit e zgjuar Piramidat egjiptiane u përpoqën t'u bënin përshtypje pasardhësve të largët me thellësinë e njohurive të tyre, dhe këtë e arritën duke zgjedhur si "idenë kryesore gjeometrike" për piramidën e Keopsit - trekëndëshin "artë" kënddrejtë, dhe për piramidën e Khafre - "të shenjtën". " ose trekëndësh "egjiptian".

Shumë shpesh, në kërkimet e tyre, shkencëtarët përdorin vetitë e piramidave me përmasat e seksionit të artë.

Në matematikë fjalor enciklopedik jepet përkufizimi i mëposhtëm i Seksionit të Artë - kjo është një ndarje harmonike, ndarja në raportin ekstrem dhe mesatar - ndarja e segmentit AB në dy pjesë në atë mënyrë që pjesa më e madhe e AC të tij të jetë proporcionaliteti mesatar midis të gjithë segmentit AB. dhe pjesa më e vogël e saj CB.

Gjetja algjebrike e seksionit të artë të një segmenti AB = a reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit a: x = x: (a - x), nga ku x është afërsisht e barabartë me 0,62a. Raporti x mund të shprehet si thyesa 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, ku 2, 3, 5, 8, 13, 21 janë numra Fibonacci.

Ndërtimi gjeometrik i seksionit të artë të segmentit AB kryhet si më poshtë: në pikën B, rikthehet pingulja me AB, segmenti BE \u003d 1/2 AB është hedhur mbi të, A dhe E janë të lidhura, DE \ u003d BE shtyhet dhe, më në fund, AC \u003d AD, atëherë plotësohet barazia AB: CB = 2: 3.

Raporti i artë përdoret shpesh në veprat e artit, arkitekturës dhe gjendet në natyrë. Shembuj të gjallë janë skulptura e Apollo Belvedere, Partenoni. Gjatë ndërtimit të Partenonit është përdorur raporti i lartësisë së ndërtesës me gjatësinë e tij dhe ky raport është 0,618. Objektet rreth nesh japin gjithashtu shembuj të raportit të artë, për shembull, lidhjet e shumë librave kanë një raport gjerësi-gjatësi afër 0,618. Duke marrë parasysh vendosjen e gjetheve në një kërcell të përbashkët të bimëve, mund të vërehet se midis çdo dy palë gjethesh, e treta ndodhet në vendin e raportit të artë (rrëshqitje). Secili prej nesh "vesh" raportin e artë me vete "në duart tona" - ky është raporti i falangave të gishtërinjve.

Falë zbulimit të disa papiruseve matematikore, egjiptologët kanë mësuar diçka për sistemet e lashta egjiptiane të llogaritjeve dhe matjeve. Detyrat e përfshira në to zgjidheshin nga skribët. Një nga më të famshmit është papirusi matematikor Rhind. Duke studiuar këto enigma, egjiptologët mësuan se si u përballën me të egjiptianët e lashtë sasi të ndryshme që lindën në llogaritjen e masave të peshës, gjatësisë dhe vëllimit, në të cilat shpesh përdoreshin thyesat, si dhe në mënyrën se si ato trajtoheshin me këndet.

Egjiptianët e lashtë përdorën një metodë për llogaritjen e këndeve bazuar në raportin e lartësisë me bazën e një trekëndëshi kënddrejtë. Ata shprehnin çdo kënd në gjuhën e gradientit. Gradienti i pjerrësisë u shpreh si një raport i një numri të plotë, i quajtur "seked". Në Matematika në kohën e faraonëve, Richard Pillins shpjegon: “Sekedi i një piramide të rregullt është pjerrësia e cilësdo prej katër faqeve trekëndore në rrafshin e bazës, e matur me numrin e n-të të njësive horizontale për njësi vertikale të lartësisë. . Kështu, kjo njësi matëse është e barabartë me bashkëtangjenten tonë moderne të këndit të prirjes. Prandaj, fjala egjiptiane "seked" lidhet me fjalën tonë moderne "gradient".

Çelësi numerik i piramidave qëndron në raportin e lartësisë së tyre me bazën. Në terma praktike, kjo është mënyra më e lehtë për të bërë shabllone të nevojshme për të kontrolluar vazhdimisht këndin e saktë të prirjes gjatë gjithë ndërtimit të piramidës.

Egjiptologët do të ishin të lumtur të na bindin se çdo faraon ishte i etur për të shprehur individualitetin e tij, prandaj dhe dallimet në këndet e prirjes për çdo piramidë. Por mund të ketë një arsye tjetër. Ndoshta të gjithë donin të mishëronin shoqata të ndryshme simbolike të fshehura në përmasa të ndryshme. Megjithatë, këndi i piramidës së Khafres (bazuar në trekëndëshin (3:4:5) shfaqet në tre problemet e paraqitura nga piramidat në Papirusin Matematik Rhind). Pra, ky qëndrim ishte i njohur për egjiptianët e lashtë.

Për të qenë të drejtë me egjiptologët që pretendojnë se egjiptianët e lashtë nuk e njihnin trekëndëshin 3:4:5, le të themi se gjatësia e hipotenuzës 5 nuk u përmend kurrë. Por problemet e matematikës, në lidhje me piramidat, zgjidhen gjithmonë në bazë të këndit të seked - raporti i lartësisë me bazën. Meqenëse gjatësia e hipotenuzës nuk u përmend kurrë, u arrit në përfundimin se egjiptianët nuk e llogaritën kurrë gjatësinë e anës së tretë.

Raportet lartësi-bazë të përdorura në piramidat e Gizës ishin pa dyshim të njohura për egjiptianët e lashtë. Është e mundur që këto raporte për çdo piramidë janë zgjedhur në mënyrë arbitrare. Megjithatë, kjo bie ndesh me rëndësinë që i kushtohet simbolizmit numerik në të gjitha llojet e egjiptianit artet pamore. Ka shumë të ngjarë që marrëdhënie të tilla të kenë një rëndësi të madhe, pasi ato shprehnin ide specifike fetare. Me fjalë të tjera, i gjithë kompleksi i Gizës i nënshtrohej një dizajni koherent, i krijuar për të pasqyruar një lloj teme hyjnore. Kjo do të shpjegonte pse projektuesit zgjodhën kënde të ndryshme për tre piramidat.

Në Sekretin e Orionit, Bauval dhe Gilbert paraqitën dëshmi bindëse të lidhjes së piramidave të Gizës me yjësinë e Orionit, në veçanti me yjet e Brezit të Orionit. E njëjta plejadë është e pranishme në mitin e Isis dhe Osiris, dhe atje është arsye për të konsideruar çdo piramidë si një imazh të një prej tre hyjnive kryesore - Osiris, Isis dhe Horus.

MREKULLI "GJEOMETRIKE".

Ndër piramidat madhështore të Egjiptit, një vend të veçantë zë Piramida e Madhe e Faraonit Keops (Khufu). Para se të vazhdojmë me analizën e formës dhe madhësisë së piramidës së Keopsit, duhet të kujtojmë se çfarë sistemi masash përdorën egjiptianët. Egjiptianët kishin tre njësi gjatësie: "kubit" (466 mm), e barabartë me shtatë "pëllëmbë" (66.5 mm), e cila, nga ana tjetër, ishte e barabartë me katër "gishta" (16.6 mm).

Le të analizojmë madhësinë e piramidës së Keopsit (Fig. 2), duke ndjekur arsyetimin e dhënë në librin e mrekullueshëm të shkencëtarit ukrainas Nikolai Vasyutinskiy "Proporcioni i Artë" (1990).

Shumica e studiuesve pajtohen se gjatësia e anës së bazës së piramidës, për shembull, GFështë e barabartë me L\u003d 233,16 m. Kjo vlerë korrespondon pothuajse saktësisht me 500 "kubitë". Pajtueshmëria e plotë me 500 "kubit" do të jetë nëse gjatësia e "kubit" konsiderohet e barabartë me 0.4663 m.

Lartësia e piramidës ( H) vlerësohet nga studiuesit ndryshe nga 146,6 në 148,2 m Dhe në varësi të lartësisë së pranuar të piramidës ndryshojnë të gjitha raportet e elementeve gjeometrike të saj. Cila është arsyeja e dallimeve në vlerësimin e lartësisë së piramidës? Fakti është se, në mënyrë rigoroze, piramida e Keopsit është e cunguar. Platforma e sipërme e saj sot ka një madhësi afërsisht 10' 10 m, dhe një shekull më parë ishte e barabartë me 6' 6 m. Është e qartë se maja e piramidës është çmontuar dhe nuk përputhet me atë origjinale.

Duke vlerësuar lartësinë e piramidës, është e nevojshme të merret parasysh një faktor i tillë fizik si "drafti" i strukturës. Per kohe e gjate nën ndikimin e presionit kolosal (duke arritur 500 tonë për 1 m2 të sipërfaqes së poshtme), lartësia e piramidës u ul në krahasim me lartësinë e saj origjinale.

Cila ishte lartësia fillestare e piramidës? Kjo lartësi mund të rikrijohet nëse gjeni "idenë gjeometrike" bazë të piramidës.

Figura 2.

Në 1837, koloneli anglez G. Wise mati këndin e pjerrësisë së faqeve të piramidës: doli të ishte i barabartë me a= 51°51". Kjo vlerë njihet ende nga shumica e studiuesve sot. Vlera e treguar e këndit korrespondon me tangjenten (tg a), e barabartë me 1.27306. Kjo vlerë korrespondon me raportin e lartësisë së piramidës AC në gjysmën e bazës së saj CB(Fig.2), d.m.th. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Dhe këtu studiuesit ishin në një surprizë të madhe!.png" width="25" height="24">= 1.272. Krahasimi i kësaj vlere me vlerën tg a= 1.27306, shohim që këto vlera janë shumë afër njëra-tjetrës. Nëse marrim këndin a\u003d 51 ° 50", domethënë, për ta zvogëluar atë me vetëm një minutë hark, pastaj vlera a do të bëhet e barabartë me 1.272, domethënë do të përkojë me vlerën e . Duhet theksuar se në vitin 1840 G. Wise përsëriti matjet e tij dhe sqaroi se vlera e këndit a=51°50".

Këto matje i çuan studiuesit në hipotezën e mëposhtme shumë interesante: trekëndëshi ASV i piramidës së Keopsit bazohej në relacionin AC / CB = = 1,272!

Konsideroni tani një trekëndësh kënddrejtë ABC, në të cilën raporti i këmbëve AC / CB= (Fig.2). Nëse tani gjatësitë e brinjëve të drejtkëndëshit ABC shënoj me x, y, z, dhe gjithashtu të marrë parasysh se raporti y/x= , atëherë, në përputhje me teoremën e Pitagorës, gjatësia z mund të llogaritet me formulën:

Nëse pranohet x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Figura 3 Trekëndëshi kënddrejtë "i artë".

Një trekëndësh kënddrejtë në të cilin brinjët lidhen si t:artë" trekëndësh kënddrejtë.

Atëherë, nëse marrim si bazë hipotezën se "ideja gjeometrike" kryesore e piramidës së Keopsit është trekëndëshi "i artë" kënddrejtë, atëherë nga këtu është e lehtë të llogaritet lartësia "projektuese" e piramidës së Keopsit. Është e barabartë me:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Le të nxjerrim tani disa marrëdhënie të tjera për piramidën e Keopsit, të cilat rrjedhin nga hipoteza e "artë". Në veçanti, gjejmë raportin e zonës së jashtme të piramidës me zonën e bazës së saj. Për ta bërë këtë, marrim gjatësinë e këmbës CB për njësi, që është: CB= 1. Por pastaj gjatësia e anës së bazës së piramidës GF= 2, dhe sipërfaqja e bazës EFGH do të jetë e barabartë me SEFGH = 4.

Tani le të llogarisim sipërfaqen e faqes anësore të piramidës së Keopsit SD. Sepse lartësia AB trekëndëshi AEFështë e barabartë me t, atëherë sipërfaqja e faqes anësore do të jetë e barabartë me SD = t. Atëherë sipërfaqja totale e të katër faqeve anësore të piramidës do të jetë e barabartë me 4 t, dhe raporti i sipërfaqes totale të jashtme të piramidës me sipërfaqen bazë do të jetë i barabartë me raportin e artë! Kjo është ajo që është - sekreti kryesor gjeometrik i piramidës së Keopsit!

Grupi i "çudive gjeometrike" të piramidës së Keopsit përfshin vetitë reale dhe të sajuara të marrëdhënies midis dimensioneve të ndryshme në piramidë.

Si rregull, ato merren në kërkim të ndonjë "konstante", në veçanti, numri "pi" (numri Ludolf), i barabartë me 3,14159...; bazat e logaritmeve natyrore "e" (numri i Napierit) i barabartë me 2,71828...; numri "F", numri i "seksionit të artë", i barabartë, për shembull, 0.618 ... etj.

Ju mund të emërtoni, për shembull: 1) Pasuria e Herodotit: (Lartësia) 2 \u003d 0,5 st. kryesore x Apotemë; 2) Prona e V. Çmimi: Lartësia: 0,5 rr. osn \u003d Rrënja katrore e "Ф"; 3) Vetia e M. Eist: Perimetri i bazës: 2 Lartësia = "Pi"; në një interpretim të ndryshëm - 2 lugë gjelle. kryesore : Lartësia = "Pi"; 4) Pasuria e G. Reberit: Rrezja e rrethit të brendashkruar: 0,5 st. kryesore = "F"; 5) Prona e K. Kleppish: (Rr. kryesore.) 2: 2 (rr. kryesore. x Apothem) \u003d (rr. kryesore. W. Apothem) \u003d 2 (rr. kryesore. x Apothem) : (( 2 st. kryesore X Apothem) + (rr. kryesore) 2). etj. Ju mund të gjeni shumë prona të tilla, veçanërisht nëse lidhni dy piramida ngjitur. Për shembull, si "Vetitë e A. Arefiev" mund të përmendet se diferenca midis vëllimeve të piramidës së Keopsit dhe piramidës së Khafres është e barabartë me dyfishin e vëllimit të piramidës së Menkaure...

Shumë pozicione interesante, në veçanti, rreth ndërtimit të piramidave sipas "seksionit të artë" janë përshkruar në librat e D. Hambridge "Simetria dinamike në arkitekturë" dhe M. Geek "Estetika e proporcionit në natyrë dhe art". Kujtojmë se "seksioni i artë" është ndarja e segmentit në një raport të tillë, kur pjesa A është sa herë më e madhe se pjesa B, sa herë A është më e vogël se i gjithë segmenti A + B. Raporti A / B është e barabartë me numrin "Ф" == 1.618. .. Përdorimi i "seksionit të artë" tregohet jo vetëm në piramidat individuale, por në të gjithë kompleksin piramidale në Giza.

Gjëja më kurioze, megjithatë, është se e njëjta piramidë e Keopsit thjesht "nuk mund" të përmbajë kaq shumë veti të mrekullueshme. Duke marrë një pronë të caktuar një nga një, ju mund ta "rregulloni", por ato nuk përshtaten menjëherë - ato nuk përkojnë, ato kundërshtojnë njëra-tjetrën. Prandaj, nëse, për shembull, kur kontrolloni të gjitha pronat, fillimisht merret e njëjta anë e bazës së piramidës (233 m), atëherë lartësitë e piramidave me veti të ndryshme do të jenë gjithashtu të ndryshme. Me fjalë të tjera, ekziston një "familje" e caktuar piramidash, e jashtme e ngjashme me Keopsin, por që korrespondon veti të ndryshme. Vini re se nuk ka asgjë veçanërisht të mrekullueshme në vetitë "gjeometrike" - shumë lindin thjesht automatikisht, nga vetitë e vetë figurës. Një "mrekulli" duhet të konsiderohet vetëm diçka dukshëm e pamundur për egjiptianët e lashtë. Kjo, në veçanti, përfshin mrekullitë "kozmike", në të cilat matjet e piramidës së Keopsit ose kompleksit piramidale në Giza krahasohen me disa matje astronomike dhe tregohen numra "çift": një milion herë, një miliard herë më pak dhe kështu me radhë. Le të shqyrtojmë disa marrëdhënie "kozmike".

Një nga pohimet është kjo: "Nëse e ndajmë anën e bazës së piramidës me gjatësinë e saktë të vitit, marrim saktësisht 10 miliontën e boshtit të tokës". Llogaritni: pjesëtoni 233 me 365, marrim 0.638. Rrezja e Tokës është 6378 km.

Një deklaratë tjetër është në fakt e kundërta e asaj të mëparshme. F. Noetling vuri në dukje se nëse përdorni "bërrylin egjiptian" të shpikur prej tij, atëherë ana e piramidës do të korrespondojë me "kohëzgjatjen më të saktë të vitit diellor, të shprehur në të miliardën më të afërt të ditës" - 365.540.903.777 .

Deklarata e P. Smith: "Lartësia e piramidës është saktësisht një e miliarda e distancës nga Toka në Diell". Megjithëse zakonisht merret lartësia prej 146,6 m, Smith e mori atë si 148,2 m. Sipas matjeve moderne të radarit, boshti gjysmë i madh i orbitës së tokës është 149,597,870 + 1,6 km. Kjo është distanca mesatare nga Toka në Diell, por në perihelion është 5,000,000 kilometra më pak se në aphelion.

Deklarata e fundit kurioze:

“Si të shpjegohet se masat e piramidave të Keopsit, Khafres dhe Menkaures janë të lidhura me njëra-tjetrën, si masat e planetëve Tokë, Venus, Mars? Le të llogarisim. Masat e tre piramidave lidhen si: Khafre - 0,835; Keops - 1000; Mikerin - 0,0915. Raportet e masave të tre planetëve: Venusi - 0,815; Toka - 1000; Marsi - 0,108.

Pra, me gjithë skepticizmin, le të vërejmë harmoninë e njohur të ndërtimit të pohimeve: 1) lartësia e piramidës, si një vijë "që shkon në hapësirë" - i përgjigjet distancës nga Toka në Diell; 2) ana e bazës së piramidës më afër "nënshtresës", domethënë Tokës, është përgjegjëse për rrezen e tokës dhe qarkullimin e tokës; 3) vëllimet e piramidës (lexo - masat) korrespondojnë me raportin e masave të planetëve më të afërt me Tokën. Një "shifr" i ngjashëm mund të gjurmohet, për shembull, në gjuhën e bletëve, analizuar nga Karl von Frisch. Megjithatë, ne përmbahemi nga komentimi për këtë për momentin.

FORMA E PIRAMIDAVE

Forma e famshme tetraedrale e piramidave nuk u shfaq menjëherë. Skithët bënin varrime në formën e kodrave prej balte - barrows. Egjiptianët ndërtuan "kodra" prej guri - piramida. Kjo ndodhi për herë të parë pas bashkimit të Egjiptit të Sipërm dhe të Poshtëm, në shekullin e 28-të para Krishtit, kur themeluesi i dinastisë III, faraoni Djoser (Zoser), u përball me detyrën e forcimit të unitetit të vendit.

Dhe këtu, sipas historianëve, një rol të rëndësishëm në forcimin Qeveria qendrore luajti një "koncept i ri i hyjnizimit" të mbretit. Megjithëse varrosjet mbretërore u dalluan për një shkëlqim më të madh, ato nuk ndryshonin në parim nga varret e fisnikëve të oborrit, ato ishin të njëjtat struktura - mastaba. Mbi dhomën me sarkofagun që përmbante mumje, u derdh një tumë drejtkëndëshe me gurë të vegjël, ku më pas u vendos. ndërtesë e vogël nga blloqe të mëdha guri - "mastaba" (në arabisht - "stol"). Në vendin e mastabës së paraardhësit të tij, Sanakht, faraoni Djoser ngriti piramidën e parë. Ajo ishte me shkallë dhe ishte një fazë e dukshme kalimtare nga një formë arkitekturore në tjetrën, nga një mastaba në një piramidë.

Në këtë mënyrë, faraoni u “ngrit” nga i urti dhe arkitekti Imhotep, i cili më vonë u konsiderua magjistar dhe u identifikua nga grekët me perëndinë Asklepius. Sikur të ishin ngritur gjashtë mastaba radhazi. Për më tepër, piramida e parë zinte një sipërfaqe prej 1125 x 115 metrash, me një lartësi të vlerësuar prej 66 metrash (sipas masave egjiptiane - 1000 "palma"). Në fillim, arkitekti planifikoi të ndërtonte një mastaba, por jo të zgjatur, por katror në plan. Më vonë u zgjerua, por duke qenë se shtrirja u bë më e ulët, u formuan si të thuash dy shkallë.

Kjo situatë nuk e kënaqi arkitektin dhe në platformën e sipërme të një mastaba të madhe të sheshtë, Imhotep vendosi edhe tre të tjera, duke u ulur gradualisht drejt majës. Varri ishte nën piramidë.

Njihen disa piramida të tjera me shkallë, por më vonë ndërtuesit kaluan në ndërtimin e piramidave më të njohura tetraedrale. Pse, megjithatë, jo trekëndësh ose, të themi, tetëkëndësh? Një përgjigje indirekte jep fakti se pothuajse të gjitha piramidat janë të orientuara në mënyrë të përsosur në katër pikat kryesore, dhe për këtë arsye kanë katër anët. Përveç kësaj, piramida ishte një "shtëpi", një guaskë e një dhome varrimi katërkëndëshe.

Por çfarë e shkaktoi këndin e prirjes së fytyrave? Në librin "Parimi i proporcioneve" i kushtohet një kapitull i tërë kësaj: "Çfarë mund të përcaktojë këndet e piramidave". Në veçanti, tregohet se "imazhi në të cilin gravitojnë piramidat e mëdha mbretëria e lashtë- një trekëndësh me një kënd të drejtë në majë.

Në hapësirë, është një gjysmë-oktaedron: një piramidë në të cilën skajet dhe anët e bazës janë të barabarta, faqet janë trekëndësha barabrinjës.Për këtë temë jepen disa konsiderata në librat e Hambidge, Geek dhe të tjerë.

Cili është avantazhi i këndit të gjysmëoktaedrit? Sipas përshkrimeve të arkeologëve dhe historianëve, disa piramida u shembën nën peshën e tyre. Ajo që duhej ishte një "kënd i qëndrueshmërisë", një kënd që ishte energjikisht më i besueshëm. Thjesht empirikisht, ky kënd mund të merret nga këndi i kulmit në një grumbull rëre të thatë që shkërmoqet. Por për të marrë të dhëna të sakta, duhet të përdorni modelin. Duke marrë katër topa të fiksuar fort, duhet të vendosni të pestin mbi to dhe të matni këndet e prirjes. Sidoqoftë, këtu mund të bëni një gabim, prandaj, një llogaritje teorike ndihmon: duhet të lidhni qendrat e topave me vija (mendërisht). Në bazë, ju merrni një katror me një anë të barabartë me dyfishin e rrezes. Sheshi do të jetë vetëm baza e piramidës, gjatësia e skajeve të së cilës do të jetë gjithashtu e barabartë me dyfishin e rrezes.

Kështu, një grumbullim i dendur i topave të llojit 1:4 do të na japë një gjysmë-oktaedron të rregullt.

Megjithatë, pse shumë piramida, që gravitojnë drejt një forme të ngjashme, megjithatë nuk e ruajnë atë? Ndoshta piramidat po plaken. Ndryshe nga thënia e famshme:

"Gjithçka në botë ka frikë nga koha, dhe koha ka frikë nga piramidat", ndërtesat e piramidave duhet të plaken, ato mund dhe duhet të ndodhin jo vetëm proceset e jashtme të motit, por edhe proceset e brendshme "tkurrje", nga të cilat piramidat mund të bëhen më të ulëta. Tkurrja është gjithashtu e mundur sepse, siç u zbulua nga veprat e D. Davidovits, egjiptianët e lashtë përdorën teknologjinë e bërjes së blloqeve nga patate të skuqura gëlqereje, me fjalë të tjera, nga "betoni". Janë këto procese që mund të shpjegojnë arsyen e shkatërrimit të piramidës Meidum, që ndodhet 50 km në jug të Kajros. Është 4600 vjeç, përmasat e bazës janë 146 x 146 m, lartësia 118 m. “Pse është kaq i gjymtuar?” pyet V. Zamarovsky. “Referencat e zakonshme për efektet shkatërruese të kohës dhe “përdorimin e gurit për ndërtesa të tjera” nuk përshtaten këtu.

Në fund të fundit, shumica e blloqeve të saj dhe pllakave të fytyrës mbeten ende në vend, në rrënojat në këmbët e saj. "Siç do të shohim, një sërë dispozitash të bëjnë të mendosh se edhe piramida e famshme e Keopsit është "tkurrur". Në çdo rast. , në të gjitha imazhet e lashta piramidat janë të theksuara ...

Forma e piramidave mund të krijohej edhe me imitim: disa modele natyrore, "përsosmëri e mrekullueshme", le të themi, disa kristale në formën e një tetëkëndëshi.

Kristale të tilla mund të jenë kristale diamanti dhe ari. Një numër i madh i shenjave "ndërprerëse" për koncepte të tilla si Faraoni, Dielli, Ari, Diamanti është karakteristik. Kudo - fisnike, e shkëlqyer (e shkëlqyer), e shkëlqyeshme, e patëmetë dhe kështu me radhë. Ngjashmëritë nuk janë të rastësishme.

Kulti diellor, siç e dini, ishte një pjesë e rëndësishme e fesë. Egjipti i lashte. "Pavarësisht se si e përkthejmë emrin e më të madhit të piramidave, - shënohet në një nga manualet moderne - "Sky Khufu" ose "Sky Khufu", do të thoshte se mbreti është dielli. Nëse Khufu, në shkëlqimin e fuqisë së tij, e imagjinonte veten një diell të dytë, atëherë djali i tij Jedef-Ra u bë i pari nga mbretërit egjiptianë që filloi ta quante veten "djali i Ra", domethënë djali i Diellit. Dielli u simbolizua pothuajse nga të gjithë popujt si "metal diellor", ar. "Disku i madh prej ari të ndritshëm" - kështu e quajtën egjiptianët dritën tonë të ditës. Egjiptianët e njihnin shumë mirë arin, njihnin format e tij amtare, ku kristalet e arit mund të shfaqen në formën e oktaedroneve.

Si një "shembull i formave" "guri i diellit" - një diamant - është gjithashtu interesant këtu. Emri i diamantit erdhi vetëm nga bota arabe, "almas" - më e vështira, më e vështira, e pathyeshme. Egjiptianët e lashtë e dinin se diamanti dhe vetitë e tij janë mjaft të mira. Sipas disa autorëve, ata përdorën edhe tuba bronzi me prerëse diamanti për shpime.

Aktualisht, furnizuesi kryesor i diamanteve është Afrika e Jugut, por edhe Afrika Perëndimore është e pasur me diamante. Madje, territori i Republikës së Malit quhet "Toka e Diamantit" atje. Ndërkohë, është në territorin e Malit që jetojnë Dogon, me të cilët mbështetësit e hipotezës së paleovizitit lidhin shumë shpresa (shih më poshtë). Diamantet nuk mund të ishin arsyeja e kontakteve të egjiptianëve të lashtë me këtë rajon. Megjithatë, në një mënyrë apo tjetër, është e mundur që pikërisht duke kopjuar oktaedronet e diamantit dhe kristaleve të arit egjiptianët e lashtë hyjnizuan faraonët, "të pathyeshëm" si diamanti dhe "shkëlqyeshëm" si ari, bijtë e Diellit, të krahasueshëm. vetëm me krijimet më të mrekullueshme të natyrës.

konkluzioni:

Duke studiuar piramidën si një trup gjeometrik, duke u njohur me elementet dhe vetitë e saj, u bindëm për vlefshmërinë e mendimit për bukurinë e formës së piramidës.

Si rezultat i kërkimit tonë, arritëm në përfundimin se egjiptianët, pasi kishin mbledhur njohuritë më të vlefshme matematikore, e mishëruan atë në një piramidë. Prandaj, piramida është vërtet krijimi më i përsosur i natyrës dhe i njeriut.

BIBLIOGRAFI

"Gjeometria: Proc. për 7-9 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet \, etj. - Botimi i 9-të - M .: Arsimi, 1999

Historia e matematikës në shkollë, M: "Iluminizmi", 1982

Klasa e gjeometrisë 10-11, M: "Iluminizmi", 2000

Peter Tompkins "Sekretet" piramidë e madhe Keopsi", M: "Tsentropoligraf", 2005

Burimet e internetit

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Përkufizimi. Fytyra anësore- ky është një trekëndësh në të cilin një kënd shtrihet në majë të piramidës, dhe ana e kundërt e saj përkon me anën e bazës (poligonin).

Përkufizimi. Brinjët anësore janë anët e përbashkëta të faqeve anësore. Një piramidë ka aq skaj sa ka qoshe në një shumëkëndësh.

Përkufizimi. lartësia e piramidësështë një pingul i rënë nga maja në bazën e piramidës.

Përkufizimi. Apotemë- kjo është pingulja e faqes anësore të piramidës, e ulur nga maja e piramidës në anën e bazës.

Përkufizimi. Seksion diagonal- kjo është një seksion i piramidës nga një aeroplan që kalon nëpër majën e piramidës dhe diagonalen e bazës.

Përkufizimi. Piramida e saktë- Kjo është një piramidë në të cilën baza është një shumëkëndësh i rregullt, dhe lartësia zbret në qendër të bazës.

Vëllimi dhe sipërfaqja e piramidës

Formula. vëllimi i piramidës përmes sipërfaqes dhe lartësisë së bazës:

vetitë e piramidës

Nëse të gjitha skajet anësore janë të barabarta, atëherë një rreth mund të rrethohet rreth bazës së piramidës, dhe qendra e bazës përkon me qendrën e rrethit. Gjithashtu, pingulja e rënë nga lart kalon përmes qendrës së bazës (rrethit).

Nëse të gjitha skajet anësore janë të barabarta, atëherë ato janë të prirura në rrafshin e bazës nën të njëjtat kënde.

Brinjët anësore janë të barabarta kur formojnë kënde të barabarta me rrafshin bazë, ose nëse mund të përshkruhet një rreth rreth bazës së piramidës.

Nëse faqet anësore janë të prirura në rrafshin e bazës në një kënd, atëherë një rreth mund të gdhendet në bazën e piramidës, dhe maja e piramidës projektohet në qendër të saj.

Nëse faqet anësore janë të prirura nga rrafshi bazë në një kënd, atëherë apotemat e faqeve anësore janë të barabarta.

Vetitë e një piramide të rregullt

1. Maja e piramidës është e barabartë nga të gjitha cepat e bazës.

2. Të gjitha skajet anësore janë të barabarta.

3. Të gjitha brinjët anësore janë të prirura në të njëjtat kënde me bazën.

4. Apotemat e të gjitha faqeve anësore janë të barabarta.

5. Sipërfaqet e të gjitha faqeve anësore janë të barabarta.

6. Të gjitha fytyrat kanë të njëjtat kënde diedrale (të sheshta).

7. Një sferë mund të përshkruhet rreth piramidës. Qendra e sferës së përshkruar do të jetë pika e kryqëzimit të pinguleve që kalojnë në mes të skajeve.

8. Një sferë mund të brendashkohet në një piramidë. Qendra e sferës së brendashkruar do të jetë pika e kryqëzimit të përgjysmuesve që dalin nga këndi midis skajit dhe bazës.

9. Nëse qendra e sferës së brendashkruar përkon me qendrën e sferës së rrethuar, atëherë shuma e këndeve të sheshta në kulm është e barabartë me π ose anasjelltas, një kënd është i barabartë me π / n, ku n është numri të këndeve në bazën e piramidës.

Lidhja e piramidës me sferën

Një sferë mund të përshkruhet rreth piramidës kur në bazën e piramidës shtrihet një shumëfaqësh rreth të cilit mund të përshkruhet një rreth (një kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm). Qendra e sferës do të jetë pika e kryqëzimit të planeve që kalojnë pingul përmes mesit të skajeve anësore të piramidës.

Një sferë mund të përshkruhet gjithmonë rreth çdo piramide trekëndore ose të rregullt.

Një sferë mund të futet në një piramidë nëse rrafshet përgjysmuese të këndeve të brendshme diedrale të piramidës kryqëzohen në një pikë (kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm). Kjo pikë do të jetë qendra e sferës.

Lidhja e piramidës me konin

Një kon quhet i brendashkruar në një piramidë nëse kulmet e tyre përkojnë dhe baza e konit është e gdhendur në bazën e piramidës.

Një kon mund të futet në një piramidë nëse apotemat e piramidës janë të barabarta.

Një kon thuhet se është i rrethuar rreth një piramide nëse kulmet e tyre përkojnë dhe baza e konit është e rrethuar rreth bazës së piramidës.

Një kon mund të përshkruhet rreth një piramide nëse të gjitha skajet anësore të piramidës janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Lidhja e një piramide me një cilindër

Një piramidë thuhet se është e gdhendur në një cilindër nëse maja e piramidës shtrihet në një bazë të cilindrit, dhe baza e piramidës është e gdhendur në një bazë tjetër të cilindrit.

Një cilindër mund të rrethohet rreth një piramide nëse një rreth mund të rrethohet rreth bazës së piramidës.

Përkufizimi. Piramida e cunguar (prizmi piramidal)- Ky është një poliedron që ndodhet midis bazës së piramidës dhe një rrafshi të seksionit paralel me bazën. Kështu, piramida ka një bazë të madhe dhe një bazë më të vogël e cila është e ngjashme me atë më të madhe. Faqet anësore janë trapezoide.

Përkufizimi. Piramida trekëndore (tetrahedron)- kjo është një piramidë në të cilën tre fytyrat dhe baza janë trekëndësha arbitrare.

Një katërkëndor ka katër faqe dhe katër kulme dhe gjashtë skaje, ku çdo dy skaj nuk ka kulme të përbashkëta, por nuk preken.

Çdo kulm përbëhet nga tre faqe dhe skaje që formohen këndi trekëndor.

Quhet segmenti që lidh kulmin e tetraedrit me qendrën e faqes së kundërt mediana e tetraedrit(GM).

Bimedian quhet segment që lidh mesin e skajeve të kundërta që nuk preken (KL).

Të gjithë bimedianët dhe medianët e një tetraedri kryqëzohen në një pikë (S). Në këtë rast, bimediat ndahen përgjysmë, dhe mesataret në një raport 3: 1 duke filluar nga lart.

Përkufizimi. piramidë e prirurështë një piramidë në të cilën njëra nga skajet formon një kënd të mpirë (β) me bazën.

Përkufizimi. Piramidë drejtkëndëshe është një piramidë në të cilën njëra nga faqet anësore është pingul me bazën.

Përkufizimi. Piramida akute me këndështë një piramidë në të cilën apotema është më shumë se gjysma e gjatësisë së anës së bazës.

Përkufizimi. piramidë e mpirëështë një piramidë në të cilën apotema është më e vogël se gjysma e gjatësisë së anës së bazës.

Përkufizimi. tetraedron i rregullt Një katërkëndësh katër faqet e të cilit janë trekëndësha barabrinjës. Është një nga pesë shumëkëndëshat e rregullt. Në një katërkëndor të rregullt, të gjithë këndet dihedral (midis faqeve) dhe këndet trekëndësh (në një kulm) janë të barabartë.

Përkufizimi. Katërkëndëshi drejtkëndor quhet një katërkëndor i cili ka një kënd të drejtë midis tre skajeve në kulm (skajet janë pingul). Formohen tre fytyra kënd trekëndor drejtkëndor dhe faqet janë trekëndësha kënddrejtë, dhe baza është një trekëndësh arbitrar. Apotema e çdo fytyre është e barabartë me gjysmën e anës së bazës mbi të cilën bie apotema.

Përkufizimi. Tetraedri izohedral Quhet një katërkëndësh në të cilin faqet anësore janë të barabarta me njëra-tjetrën, dhe baza është një trekëndësh i rregullt. Fytyrat e një katërkëndëshi të tillë janë trekëndësha dykëndësh.

Përkufizimi. Tetraedri ortocentrik quhet një katërkëndor në të cilin të gjitha lartësitë (perpendikularët) që janë ulur nga maja në faqen e kundërt kryqëzohen në një pikë.

Përkufizimi. piramida e yjeve Një shumëfaqësh, baza e të cilit është një yll quhet.

Përkufizimi. Bipiramida- një poliedron i përbërë nga dy piramida të ndryshme (piramidat gjithashtu mund të priten), që kanë një bazë të përbashkët dhe kulmet shtrihen përgjatë anët e ndryshme nga rrafshi bazë.

Ky video tutorial do t'i ndihmojë përdoruesit të marrin një ide rreth temës së Piramidës. Piramida e saktë. Në këtë mësim do të njihemi me konceptin e një piramide, do t'i japim një përkufizim. Konsideroni se çfarë është një piramidë e rregullt dhe çfarë karakteristikash ka. Pastaj vërtetojmë teoremën në sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt.

Në këtë mësim do të njihemi me konceptin e një piramide, do t'i japim një përkufizim.

Konsideroni një shumëkëndësh A 1 A 2...Një n, e cila shtrihet në rrafshin α, dhe një pikë P, e cila nuk shtrihet në rrafshin α (Fig. 1). Le të lidhim pikën P me majat A 1, A 2, A 3, … Një n. Marr n trekëndëshat: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R etj.

Përkufizimi. Polyedron RA 1 A 2 ... A n, e përbërë nga n-gon A 1 A 2...Një n dhe n trekëndëshat RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1, thirri n- piramida e qymyrit. Oriz. një.

Oriz. një

Konsideroni një piramidë katërkëndore PABCD(Fig. 2).

R- maja e piramidës.

ABCD- baza e piramidës.

RA- brinjë anësore.

AB- buza e bazës.

Nga një pikë R bie pingulen RN në rrafshin e tokës ABCD. Vizatuar pingul është lartësia e piramidës.

Oriz. 2

Sipërfaqja e përgjithshme e piramidës përbëhet nga sipërfaqja anësore, domethënë sipërfaqja e të gjitha fytyrave anësore dhe zona e bazës:

S e plotë \u003d ana S + S kryesore

Një piramidë quhet e saktë nëse:

• baza e tij është një shumëkëndësh i rregullt;
• segmenti që lidh majën e piramidës me qendrën e bazës është lartësia e saj.

Shpjegim mbi shembullin e një piramide të rregullt katërkëndore

Konsideroni një piramidë të rregullt katërkëndore PABCD(Fig. 3).

R- maja e piramidës. baza e piramidës ABCD- një katërkëndësh i rregullt, domethënë një katror. Pika O, pika e kryqëzimit të diagonaleve, është qendra e katrorit. Do të thotë, ROështë lartësia e piramidës.

Oriz. 3

Shpjegim: në të djathtë n-gon, qendra e rrethit të brendashkruar dhe qendra e rrethit të rrethuar përputhen. Kjo qendër quhet qendra e poligonit. Ndonjëherë ata thonë se maja është projektuar në qendër.

Lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt, e tërhequr nga maja e saj, quhet apotemë dhe shënohet h a.

1. të gjitha skajet anësore të një piramide të rregullt janë të barabarta;

2. faqet anësore janë trekëndësha të barabartë dykëndësh.

Le t'i vërtetojmë këto veti duke përdorur shembullin e një piramide të rregullt katërkëndore.

E dhënë: RABSD- e saktë piramidë katërkëndore,

ABCD- katror,

ROështë lartësia e piramidës.

Provoj:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Shih Fig. 4.

Oriz. 4

Dëshmi.

ROështë lartësia e piramidës. Domethënë drejt RO pingul me rrafshin ABC, dhe si rrjedhim i drejtpërdrejtë AO, VO, SO dhe BËJ i shtrirë në të. Pra trekëndëshat ROA, ROV, ROS, ROD- drejtkëndëshe.

Konsideroni një katror ABCD. Nga vetitë e një katrori rrjedh se AO = BO = CO = BËJ.

Pastaj trekëndëshat kënddrejtë ROA, ROV, ROS, ROD këmbën RO- të përgjithshme dhe këmbët AO, VO, SO dhe BËJ të barabartë, pra këta trekëndësha janë të barabartë në dy këmbë. Nga barazia e trekëndëshave rrjedh barazia e segmenteve, RA = PB = PC = PD. Pika 1 është vërtetuar.

Segmentet AB dhe dielli janë të barabarta sepse janë brinjë të të njëjtit katror, RA = RV = PC. Pra trekëndëshat AVR dhe VCR - isosceles dhe të barabartë në tre anët.

Në mënyrë të ngjashme, marrim se trekëndëshat ABP, PKK, CDP, DAP janë dykëndësh dhe të barabartë, gjë që kërkohej të vërtetohej në pikën 2.

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt është e barabartë me gjysmën e produktit të perimetrit të bazës dhe apotemës:

Për vërtetim, ne zgjedhim një piramidë të rregullt trekëndore.

E dhënë: RAVSështë një piramidë e rregullt trekëndore.

AB = BC = AC.

RO- lartësia.

Provoj: . Shih Fig. 5.

Oriz. 5

Dëshmi.

RAVSështë një piramidë e rregullt trekëndore. Kjo eshte AB= AC = BC. Le O- qendra e trekëndëshit ABC, pastaj ROështë lartësia e piramidës. Baza e piramidës është një trekëndësh barabrinjës. ABC. vini re, se .

trekëndëshat RAV, RVS, RSA- trekëndësha të barabartë dykëndësh (sipas vetisë). Një piramidë trekëndore ka tre faqe anësore: RAV, RVS, RSA. Pra, zona e sipërfaqes anësore të piramidës është:

Ana S = 3S RAB

Teorema është vërtetuar.

Rrezja e një rrethi të gdhendur në bazën e një piramide të rregullt katërkëndore është 3 m, lartësia e piramidës është 4 m. Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të piramidës.

E dhënë: piramidë e rregullt katërkëndore ABCD,

ABCD- katror,

r= 3 m,

RO- lartësia e piramidës,

RO= 4 m.

Gjej: Ana S. Shih Fig. 6.

Oriz. 6

Zgjidhje.

Sipas teoremës së provuar,.

Gjeni fillimisht anën e bazës AB. Ne e dimë se rrezja e një rrethi të gdhendur në bazën e një piramide të rregullt katërkëndore është 3 m.

Pastaj, m.

Gjeni perimetrin e katrorit ABCD me një anë prej 6 m:

Konsideroni një trekëndësh BCD. Le M- ana e mesme DC. Sepse O- mes BD, pastaj (m).

Trekëndëshi DPC- izosceles. M- mes DC. Kjo eshte, RM- mesatarja, dhe rrjedhimisht lartësia në trekëndësh DPC. Pastaj RM- apotema e piramidës.

ROështë lartësia e piramidës. Pastaj, drejt RO pingul me rrafshin ABC, dhe si rrjedhim i drejtpërdrejtë OM i shtrirë në të. Le të gjejmë një apotemë RM nga një trekëndësh kënddrejtë ROM.

Tani mund të gjejmë sipërfaqe anësore piramidat:

Përgjigju: 60 m2.

Rrezja e një rrethi të rrethuar pranë bazës së një piramide të rregullt trekëndore është m. Sipërfaqja anësore është 18 m 2. Gjeni gjatësinë e apotemës.

E dhënë: ABCP- piramida e rregullt trekëndore,

AB = BC = SA,

R= m,

Ana S = 18 m 2.

Gjej: . Shih Fig. 7.

Oriz. 7

Zgjidhje.

Në një trekëndësh kënddrejtë ABC duke pasur parasysh rrezen e rrethit të rrethuar. Le të gjejmë një anë AB ky trekëndësh duke përdorur teoremën e sinusit.

Duke ditur brinjën e një trekëndëshi të rregullt (m), gjejmë perimetrin e tij.

Sipas teoremës mbi sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt, ku h a- apotema e piramidës. Pastaj:

Përgjigju: 4 m.

Pra, ne shqyrtuam se çfarë është një piramidë, çfarë është një piramidë e rregullt, ne vërtetuam teoremën në sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt. Në mësimin e ardhshëm do të njihemi me piramidën e cunguar.

Bibliografi

1. Gjeometria. Klasa 10-11: një libër shkollor për studentët e institucioneve arsimore (bazë dhe nivelet e profilit) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Botimi i 5-të, Rev. dhe shtesë - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill.
2. Gjeometria. Klasa 10-11: Libër mësuesi për arsimin e përgjithshëm institucionet arsimore/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 f.: ill.
3. Gjeometria. Klasa 10: Libër mësuesi për institucionet arsimore të përgjithshme me studim të thelluar dhe profil të matematikës / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Botimi i 6-të, stereotip. - M.: Bustard, 008. - 233 f.: ill.

1. Portali në internet "Yaklass" ()
2. Portali në internet "Festivali i Ideve Pedagogjike "I Shtatori i Parë" ()
3. Portali në internet "Slideshare.net" ()

Detyre shtepie

1. A mund të jetë një shumëkëndësh i rregullt baza e një piramide të parregullt?
2. Vërtetoni se skajet jo të kryqëzuara të një piramide të rregullt janë pingul.
3. Gjeni vlerën e këndit dihedral në anën e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore, nëse apotema e piramidës është e barabartë me faqen e bazës së saj.
4. RAVSështë një piramidë e rregullt trekëndore. Ndërtoni këndin linear të këndit dihedral në bazën e piramidës.

Këtu janë mbledhur informacione bazë për piramidat dhe formulat dhe konceptet përkatëse. Të gjithë ata studiohen me një mësues të matematikës në përgatitje për provimin.

Konsideroni një plan, një shumëkëndësh i shtrirë në të dhe një pikë S jo e shtrirë në të. Lidhni S me të gjitha kulmet e shumëkëndëshit. Polyedroni që rezulton quhet piramidë. Segmentet quhen skaje anësore. Shumëkëndëshi quhet bazë, dhe pika S quhet maja e piramidës. Në varësi të numrit n, piramida quhet trekëndore (n=3), katërkëndore (n=4), pesëkëndëshe (n=5) e kështu me radhë. Emri alternativ për piramidën trekëndore - katërkëndësh. Lartësia e një piramide është pingulja e tërhequr nga maja e saj në rrafshin bazë.

Një piramidë quhet e saktë nëse një shumëkëndësh i rregullt, dhe baza e lartësisë së piramidës (baza e pingules) është qendra e saj.

Komenti i tutorit:
Mos e ngatërroni konceptin e "piramidës së rregullt" dhe "tetraedrit të rregullt". Në një piramidë të rregullt, skajet anësore nuk janë domosdoshmërisht të barabarta me skajet e bazës, por në një katërkëndor të rregullt, të 6 skajet e skajeve janë të barabarta. Ky është përkufizimi i tij. Është e lehtë të vërtetohet se barazia nënkupton se qendra P e shumëkëndëshit me një bazë lartësie, pra një tetraedron i rregullt është një piramidë e rregullt.

Çfarë është një apotemë?
Apotema e një piramide është lartësia e faqes anësore të saj. Nëse piramida është e rregullt, atëherë të gjitha apotemat e saj janë të barabarta. E kundërta nuk është e vërtetë.

Mësuesi i matematikës për terminologjinë e tij: puna me piramida 80% ndërtohet përmes dy llojeve të trekëndëshave:
1) Që përmban apotemë SK dhe lartësi SP
2) Që përmban skajin anësor SA dhe PA të projeksionit të tij

Për të thjeshtuar referencat ndaj këtyre trekëndëshave, është më e përshtatshme që një mësues matematike të emërojë të parën prej tyre. apotemike, dhe e dyta bregdetare. Fatkeqësisht, këtë terminologji nuk do ta gjeni në asnjë nga tekstet shkollore dhe mësuesi duhet ta prezantojë atë në mënyrë të njëanshme.

Formula e vëllimit të piramidës:
1) , ku është sipërfaqja e bazës së piramidës dhe është lartësia e piramidës
2), ku është rrezja e sferës së gdhendur dhe është sipërfaqja e përgjithshme e piramidës.
3) , ku MN është distanca e çdo dy skajesh kryqëzuese dhe është zona e paralelogramit të formuar nga mesi i katër skajeve të mbetura.

Vetia bazë e lartësisë së piramidës:

Pika P (shih figurën) përkon me qendrën e rrethit të brendashkruar në bazën e piramidës nëse plotësohet një nga kushtet e mëposhtme:
1) Të gjitha apotemat janë të barabarta
2) Të gjitha fytyrat anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë drejt bazës
3) Të gjitha apotemat janë të prirura në mënyrë të barabartë në lartësinë e piramidës
4) Lartësia e piramidës është e prirur njësoj nga të gjitha faqet anësore

Komenti i mësuesit të matematikës: vini re se të gjithë artikujt janë të bashkuar nga një pronë e përbashkët: në një mënyrë apo tjetër, fytyrat anësore marrin pjesë kudo (apotemat janë elementet e tyre). Prandaj, mësuesi mund të ofrojë një formulim më pak të saktë, por më të përshtatshëm për memorizimin: pika P përkon me qendrën e rrethit të brendashkruar, bazën e piramidës, nëse ka ndonjë informacion të barabartë për faqet e saj anësore. Për ta vërtetuar atë, mjafton të tregojmë se të gjithë trekëndëshat apotematikë janë të barabartë.

Pika P përkon me qendrën e rrethit të rrethuar pranë bazës së piramidës, nëse një nga tre kushtet është e vërtetë:
1) Të gjitha skajet anësore janë të barabarta
2) Të gjitha brinjët anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë drejt bazës
3) Të gjitha brinjët anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë në lartësi

Gjatë zgjidhjes së problemit C2 duke përdorur metodën e koordinatave, shumë nxënës përballen me të njëjtin problem. Ata nuk mund të llogarisin koordinatat e pikave të përfshira në formulën e produktit skalar. Vështirësitë më të mëdha janë piramidat. Dhe nëse pikat bazë konsiderohen pak a shumë normale, atëherë majat janë një ferr i vërtetë.

Sot do të merremi me një piramidë të rregullt katërkëndore. Ekziston edhe një piramidë trekëndore (aka - katërkëndësh). Mbaroi strukturë komplekse, kështu që do t'i kushtohet një mësim i veçantë.

Le të fillojmë me përkufizimin:

Një piramidë e rregullt është ajo në të cilën:

1. Baza është një shumëkëndësh i rregullt: trekëndësh, katror, ​​etj.;
2. Lartësia e tërhequr në bazë kalon përmes qendrës së saj.

Në veçanti, baza e një piramide katërkëndore është katrore. Ashtu si Keopsi, vetëm pak më i vogël.

Më poshtë janë llogaritjet për një piramidë me të gjitha skajet të barabarta me 1. Nëse nuk është kështu në problemin tuaj, llogaritjet nuk ndryshojnë - thjesht numrat do të jenë të ndryshëm.

Kulmet e një piramide katërkëndore

Pra, le të jepet një piramidë e rregullt katërkëndore SABCD, ku S është maja, baza e ABCD është një katror. Të gjitha skajet janë të barabarta me 1. Kërkohet të futet një sistem koordinativ dhe të gjenden koordinatat e të gjitha pikave. Ne kemi:

Ne prezantojmë një sistem koordinativ me origjinën në pikën A:

1. Aksi OX është i drejtuar paralelisht me skajin AB;
2. Boshti OY - paralel me AD . Meqenëse ABCD është katror, ​​AB ⊥ AD ;
3. Së fundi, boshti OZ është i drejtuar lart, pingul me rrafshin ABCD.

Tani marrim parasysh koordinatat. Ndërtimi shtesë: SH - lartësia e tërhequr në bazë. Për lehtësi, ne do të nxjerrim bazën e piramidës në një figurë të veçantë. Meqenëse pikat A , B , C dhe D shtrihen në rrafshin OXY, koordinata e tyre është z = 0. Kemi:

1. A = (0; 0; 0) - përkon me origjinën;
2. B = (1; 0; 0) - hap pas 1 përgjatë boshtit OX nga origjina;
3. C = (1; 1; 0) - hap nga 1 përgjatë boshtit OX dhe nga 1 përgjatë boshtit OY;
4. D = (0; 1; 0) - hap vetëm përgjatë boshtit OY.
5. H \u003d (0.5; 0.5; 0) - qendra e sheshit, mesi i segmentit AC.

Mbetet për të gjetur koordinatat e pikës S. Vini re se koordinatat x dhe y të pikave S dhe H janë të njëjta sepse ato shtrihen në një vijë të drejtë paralele me boshtin OZ. Mbetet të gjendet koordinata z për pikën S.

Merrni parasysh trekëndëshat ASH dhe ABH:

1. AS = AB = 1 sipas kushtit;
2. Këndi AHS = AHB = 90° meqenëse SH është lartësia dhe AH ⊥ HB si diagonalet e një katrori;
3. Ana AH - e zakonshme.

Prandaj, trekëndëshat kënddrejtë ASH dhe ABH të barabartë një këmbë dhe një hipotenuzë. Pra SH = BH = 0,5 BD . Por BD është diagonalja e një katrori me brinjën 1. Prandaj, kemi:

Koordinatat totale të pikës S:

Si përfundim, ne shkruajmë koordinatat e të gjitha kulmeve të një piramide të rregullt drejtkëndore:

Çfarë duhet të bëni kur brinjët janë të ndryshme

Por, çka nëse skajet anësore të piramidës nuk janë të barabarta me skajet e bazës? Në këtë rast, merrni parasysh trekëndëshin AHS:

Trekëndëshi AHS- drejtkëndëshe, dhe hipotenuza AS është gjithashtu një skaj anësor i piramidës origjinale SABCD. Këmba AH konsiderohet lehtësisht: AH = 0,5 AC. Gjeni këmbën e mbetur SH sipas teoremës së Pitagorës. Kjo do të jetë koordinata z për pikën S.

Detyrë. Jepet një piramidë e rregullt katërkëndore SABCD, baza e së cilës është një katror me brinjën 1. Brinjë anësore BS = 3. Gjeni koordinatat e pikës S.

Ne tashmë i dimë koordinatat x dhe y të kësaj pike: x = y = 0,5. Kjo rrjedh nga dy fakte:

1. Projeksioni i pikës S në rrafshin OXY është pika H;
2. Në të njëjtën kohë, pika H është qendra e katrorit ABCD, të gjitha anët e të cilit janë të barabarta me 1.

Mbetet për të gjetur koordinatat e pikës S. Merrni parasysh trekëndëshin AHS. Është drejtkëndëshe, me hipotenuzë AS = BS = 3, kemba AH është gjysma e diagonales. Për llogaritjet e mëtejshme, na duhet gjatësia e saj:

Teorema e Pitagorës për trekëndëshin AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Ne kemi:

Pra, koordinatat e pikës S: