Pirmskaitļu secīga summa. Kā pārbaudīt, vai skaitlis ir pirmais

Definīcija 1. Pirmskaitlis− ir naturāls skaitlis, kas ir lielāks par tādu, kas dalās tikai ar sevi un 1.

Citiem vārdiem sakot, skaitlis ir pirmais, ja tam ir tikai divi atšķirīgi dabiskie dalītāji.

Definīcija 2. Tiek izsaukts jebkurš naturāls skaitlis, kuram ir arī citi dalītāji un viens salikts skaitlis.

Citiem vārdiem sakot, naturālus skaitļus, kas nav pirmskaitļi, sauc par saliktiem skaitļiem. No 1. definīcijas izriet, ka saliktam skaitlim ir vairāk nekā divi dabiskie faktori. Skaitlis 1 nav ne galvenais, ne salikts, jo ir tikai viens dalītājs 1, un turklāt daudzas teorēmas par pirmskaitļiem neattiecas uz vienotību.

No 1. un 2. definīcijas izriet, ka katrs pozitīvs vesels skaitlis, kas lielāks par 1, ir vai nu pirmskaitlis, vai salikts skaitlis.

Zemāk ir programma, kas parāda pirmskaitļus līdz 5000. Aizpildiet šūnas, noklikšķiniet uz pogas "Izveidot" un pagaidiet dažas sekundes.

Pirmskaitļu tabula

Paziņojums, apgalvojums 1. Ja lpp- pirmskaitlis un a jebkurš vesels skaitlis, tad nu a dalīts ar lpp, vai lpp Un a pirmskaitļi.

Tiešām. Ja lpp Pirmskaitlis dalās tikai ar sevi un 1, ja a nav dalāms ar lpp, tad lielākais kopējais dalītājs a Un lpp ir vienāds ar 1. Tad lpp Un a pirmskaitļi.

Paziņojums, apgalvojums 2. Ja vairāku skaitļu reizinājums a 1 , a 2 , a 3, ... dalās ar pirmskaitli lpp, tad vismaz viens no cipariem a 1 , a 2 , a 3, ...dalās ar lpp.

Tiešām. Ja neviens no skaitļiem nedalās ar lpp, tad skaitļi a 1 , a 2 , a 3, ... būtu pirmskaitļi attiecībā uz lpp. Bet no 3. secinājuma () izriet, ka viņu produkts a 1 , a 2 , a 3, ... ir arī salīdzinoši izcils attiecībā uz lpp, kas ir pretrunā paziņojuma nosacījumam. Tāpēc vismaz viens no skaitļiem dalās ar lpp.

Teorēma 1. Jebkuru saliktu skaitli vienmēr var attēlot unikālā veidā kā galīga pirmskaitļu skaita reizinājumu.

Pierādījums. Ļaujiet k salikts skaitlis, un ļaujiet a 1 ir viens no tā dalītājiem, kas atšķiras no 1 un paša. Ja a 1 ir salikts, tad ir papildus 1 un a 1 un vēl viens dalītājs a 2. Ja a 2 ir salikts skaitlis, tad tam ir papildus 1 un a 2 un vēl viens dalītājs a 3. Šādi argumentējot un ņemot vērā, ka skaitļi a 1 , a 2 , a 3 , ... samazināšanās un šajā rindā ir ierobežots terminu skaits, mēs sasniegsim kādu pirmskaitli lpp 1 . Tad k var attēlot formā

Pieņemsim, ka ir divi skaitļa dekompozīcijas k:

Jo k=p 1 lpp 2 lpp 3...dalās ar pirmskaitli q 1, tad vismaz viens no faktoriem, piemēram lpp 1 dalās ar q 1 . Bet lpp 1 ir pirmskaitlis un dalās tikai ar 1 un sevi. Līdz ar to lpp 1 =q 1 (jo q 1 ≠1)

Tad no (2) varam izslēgt lpp 1 un q 1:

Tādējādi mēs esam pārliecināti, ka katrs pirmskaitlis, kas parādās kā faktors pirmajā izvēršanā vienu vai vairākas reizes, parādās arī otrajā izvērsumā vismaz tikpat reižu, un otrādi, jebkurš pirmskaitlis, kas parādās kā faktors otrajā izvēršanā. vienu vai vairākas reizes parādās arī pirmajā izvērsumā vismaz tikpat reižu. Tāpēc jebkurš pirmskaitlis tiek iekļauts kā faktors abos paplašinājumos tas pats numurs reizes un tādējādi šie divi izvērsumi ir vienādi.■

Saliktā skaitļa paplašināšana k var rakstīt šādā formā

(3)

Kur lpp 1 , lpp 2, ... dažādi pirmskaitļi, α, β, γ ... pozitīvi veseli skaitļi.

Tiek izsaukts paplašinājums (3). kanoniskā paplašināšanās cipariem.

pirmskaitļi naturālo skaitļu virknē tie rodas nevienmērīgi. Dažās rindas daļās to ir vairāk, citās - mazāk. Jo tālāk virzāmies pa skaitļu sēriju, jo mazāk izplatīti pirmskaitļi. Rodas jautājums, vai pastāv lielākais pirmskaitlis? Sengrieķu matemātiķis Eiklīds pierādīja, ka ir bezgalīgi daudz pirmskaitļu. Mēs piedāvājam šo pierādījumu zemāk.

Teorēma 2. Pirmskaitļu skaits ir bezgalīgs.

Pierādījums. Pieņemsim, ka ir ierobežots pirmskaitļu skaits, un lai ir lielākais pirmskaitlis lpp. Uzskatīsim, ka visi skaitļi ir lielāki lpp. Pieņemot apgalvojumu, šiem skaitļiem ir jābūt saliktiem un jādalās ar vismaz vienu no pirmskaitļiem. Izvēlēsimies skaitli, kas ir visu šo pirmskaitļu plus 1 reizinājums:

Numurs z vairāk lpp jo 2p jau vairāk lpp. lpp nedalās ne ar vienu no šiem pirmskaitļiem, jo dalot ar katru no tiem iegūst atlikumu 1. Tādējādi nonākam pie pretrunas. Tāpēc ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu.

Šī teorēma ir īpašs gadījums vispārīgākai teorēmai:

Teorēma 3. Lai tas tiek dots aritmētiskā progresija

Tad jebkurš pirmskaitlis, kas iekļauts n, jāiekļauj m, tāpēc iekšā n citi galvenie faktori, kas nav iekļauti m un turklāt šie galvenie faktori n ir iekļauti ne vairāk reižu kā iekšā m.

Ir arī pretējais. Ja katrs skaitļa galvenais koeficients n iekļauts vismaz tik reižu skaitā m, Tas m dalīts ar n.

Paziņojums, apgalvojums 3. Ļaujiet a 1 ,a 2 ,a 3,... iekļauti dažādi pirmskaitļi m Tātad

Kur i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . ievērojiet, tas αi pieņem α +1 vērtības, β j pieņem β +1 vērtības, γ k pieņem γ +1 vērtības, ... .

Dabisko skaitļu dalījums pirmskaitļos un saliktos skaitļos tiek attiecināts uz sengrieķu matemātiķi Pitagoru. Un, ja seko Pitagoram, tad naturālo skaitļu kopu var iedalīt trīs klasēs: (1) - kopa, kas sastāv no viena skaitļa - viens; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) – pirmskaitļu kopa; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) – saliktu skaitļu kopa.

Otrais sets slēpj daudz dažādu noslēpumu. Bet vispirms izdomāsim, kas ir pirmskaitlis. Atveriet "Mathematical enciklopēdiskā vārdnīca"(Ju. V. Prohorovs, izdevniecība" Padomju enciklopēdija", 1988) un lasiet:

“Pirmskaitlis ir pozitīvs vesels skaitlis, kas ir lielāks par vienu un kuram nav citu dalītāju, izņemot sevi un vienu: 2,3,5,7,11,13,

Pirmskaitļa jēdziens ir fundamentāls naturālu skaitļu dalāmības izpētē; proti, aritmētikas pamatteorēma nosaka, ka katru pozitīvu veselu skaitli, izņemot 1, var unikāli sadalīt pirmskaitļu reizinājumā (faktoru secība netiek ņemta vērā). Ir bezgala daudz pirmskaitļu (šis priekšlikums, ko sauca par Eiklida teorēmu, bija zināms pat senie grieķu matemātiķi, tā pierādījums pieejams arī grāmatā. 9 Eiklida "principi"). P. Dirihlē (1837) konstatēja, ka aritmētiskajā progresijā a + bx pie x = 1. ,2,c ar kopējiem veseliem skaitļiem a un b satur arī bezgalīgi daudz pirmskaitļu.

Lai atrastu pirmskaitļus no 1 līdz x, tas ir zināms no 3. gs. BC e. Eratostena sieta metode. Pārbaudot pirmskaitļu secību (*) no 1 līdz x, redzams, ka, palielinoties x, tā kļūst vidēji retāka. Ir patvaļīgi gari naturālu skaitļu sērijas segmenti, starp kuriem nav neviena pirmskaitļa (4. teorēma). Tajā pašā laikā ir tādi pirmskaitļi, kuru starpība ir vienāda ar 2 (tā sauktie dvīņi). Joprojām nav zināms (1987), vai šādu dvīņu kopa ir ierobežota vai bezgalīga. Pirmskaitļu tabulas pirmajos 11 miljonos dabisko skaitļu parāda ļoti lielu dvīņu klātbūtni (piemēram, 10 006 427 un 10 006 429).

Pirmskaitļu sadalījuma noskaidrošana naturālajās skaitļu rindās ir ļoti sarežģīta skaitļu teorijas problēma. Tas ir formulēts kā tādas funkcijas asimptotiskās uzvedības izpēte, kas apzīmē pirmskaitļu skaitu, kas nepārsniedz pozitīvu skaitli x. No Eiklida teorēmas ir skaidrs, ka kad. L. Eilers zeta funkciju ieviesa 1737. gadā.

Viņš arī pierādīja, ka kad

Ja summēšanu veic visiem naturālajiem skaitļiem un reizinājumu pārņem visiem pirmskaitļiem. Šai identitātei un tās vispārinājumiem ir būtiska loma pirmskaitļu sadalījuma teorijā. Pamatojoties uz to, L. Eilers pierādīja, ka sērija un produkts attiecībā uz galveno p atšķiras. Turklāt L. Eilers konstatēja, ka pirmskaitļu ir “daudz”, jo

Un tajā pašā laikā gandrīz visi naturālie skaitļi ir salikti, jo plkst.

un jebkuram (t.i., kas aug kā funkcija). Hronoloģiski nākamais nozīmīgais rezultāts, kas precizē Čebiševa teorēmu, ir tā sauktais. pirmskaitļu sadalījuma asimptotiskais likums (J. Hadamard, 1896, C. La Vallée Poussin, 1896), kas noteica, ka attiecības līdz robeža ir vienāda ar 1. Pēc tam ievērojamas matemātiķu pūles tika vērstas, lai noskaidrotu asimptotisko. pirmskaitļu sadalījuma likums. Pirmskaitļu sadalījuma jautājumi tiek pētīti gan izmantojot elementāras metodes, gan metodes matemātiskā analīze».

Šeit ir jēga sniegt pierādījumu dažām rakstā sniegtajām teorēmām.

Lemma 1. Ja gcd(a, b)=1, tad eksistē veseli skaitļi x, y tādi, ka.

Pierādījums. Lai a un b ir relatīvi pirmskaitļi. Aplūkosim visu formā attēlojamo naturālo skaitļu z kopu J un izvēlieties tajā mazāko skaitli d.

Pierādīsim, ka a dalās ar d. Sadaliet a ar d ar atlikumu: un ļaujiet. Tā kā tam ir forma, tāpēc

Mēs to redzam.

Tā kā mēs pieņēmām, ka d ir mazākais skaitlis J, mēs iegūstam pretrunu. Tas nozīmē, ka a dalās ar d.

Pierādīsim tādā pašā veidā, ka b dalās ar d. Tātad d=1. Lemma ir pierādīta.

Teorēma 1. Ja skaitļi a un b ir pirmskaitļi un reizinājums bx dalās ar a, tad x dalās ar a.

Pierādījums1. Jāpierāda, ka ax dalās ar b un gcd(a,b)=1, tad x dalās ar b.

Saskaņā ar lemmu 1 eksistē x, y tādi, ka. Tad acīmredzot tas dalās ar b.

2. pierādījums. Aplūkosim visu naturālo skaitļu kopu J tādu, ka zc dalās ar b. Ļaujiet d būt mazākajam skaitlim J. To ir viegli redzēt. Līdzīgi kā 1. Lemmas pierādījumā, ir pierādīts, ka a dalās ar d un b dalās ar d

Lemma 2. Ja skaitļi q,p1,p2,pn ir pirmskaitļi un reizinājums dalās ar q, tad viens no skaitļiem pi ir vienāds ar q.

Pierādījums. Pirmkārt, ņemiet vērā, ka, ja pirmskaitlis p dalās ar q, tad p=q. Tas uzreiz seko lemmas apgalvojumam n=1. Ja n=2, tas tieši izriet no 1. teorēmas: ja p1p2 dalās ar pirmskaitli q un, tad p2 dalās ar q(t.i.).

Mēs pierādīsim lemmu n=3 šādi. Dalīsim p1 p2 p3 ar q. Ja p3 =q, tad viss ir pierādīts. Ja, tad saskaņā ar 1. teorēmu p1 p2 dalās ar q. Tādējādi mēs reducējām gadījumu n=3 uz jau aplūkoto gadījumu n=2.

Tādā pašā veidā no n=3 varam pāriet uz n=4, pēc tam uz n=5, un vispār, pieņemot, ka lemmas apgalvojums n=k ir pierādīts, to var viegli pierādīt pie n=k+. 1. Tas mūs pārliecina, ka lemma ir patiesa visiem n.

Aritmētikas fundamentālā teorēma. Katru naturālo skaitli var faktorizēt unikālā veidā.

Pierādījums. Pieņemsim, ka ir divi skaitļa a sadalījumi pirmfaktoros:

Tā kā labā puse dalās ar q1, tad vienādības kreisajai pusei ir jādalās ar q1. Saskaņā ar lemmu 2 viens no skaitļiem ir vienāds ar q1. Atcelsim abas vienādības puses ar q1.

Veiksim to pašu argumentāciju q2, tad q3, qi. Galu galā visi labajā pusē esošie faktori tiks atcelti un paliks 1. Protams, kreisajā pusē nekas nepaliks, izņemot vienu. No tā mēs secinām, ka divi paplašinājumi un var atšķirties tikai faktoru secībā. Teorēma ir pierādīta.

Eiklida teorēma. Pirmskaitļu virkne ir bezgalīga.

Pierādījums. Pieņemsim, ka pirmskaitļu virkne ir ierobežota, un pēdējo pirmskaitli apzīmējam ar burtu N. Sastādīsim reizinājumu.

Pievienosim tam 1. Iegūsim:

Šim skaitlim, kas ir vesels skaitlis, ir jāsatur vismaz viens galvenais koeficients, t.i., tam ir jādalās ar vismaz vienu pirmskaitli. Bet visi pirmskaitļi, pieņemot, nepārsniedz N, un skaitlis M+1 nedalās bez atlikuma ne ar vienu no pirmskaitļiem, kas ir mazāki vai vienādi ar N - katru reizi, kad atlikums ir 1. Teorēma ir pierādīta.

4. teorēma. Salikto skaitļu posmi starp pirmskaitļiem var būt jebkura garuma. Tagad mēs pierādīsim, ka sērija sastāv no n secīgiem saliktiem skaitļiem.

Šie skaitļi nāk tieši viens aiz otra dabiskajā sērijā, jo katrs nākamais ir par 1 vairāk nekā iepriekšējais. Atliek pierādīt, ka tie visi ir salikti.

Pirmais numurs

Pat, jo abi tā vārdi satur koeficientu 2. Un katrs pāra skaitlis, kas lielāks par 2, ir salikts.

Otrais skaitlis sastāv no diviem terminiem, no kuriem katrs ir reizināts ar 3. Tas nozīmē, ka šis skaitlis ir salikts.

Tādā pašā veidā mēs to nosakām nākamais numurs reizināts ar 4 utt. Citiem vārdiem sakot, katrs mūsu sērijas skaitlis satur faktoru, kas atšķiras no vienības un paša; tāpēc tas ir salikts. Teorēma ir pierādīta.

Izpētījuši teorēmu pierādījumus, mēs turpinām aplūkot rakstu. Tās tekstā tika minēta Eratostena sieta metode kā pirmskaitļu atrašanas veids. Lasīsim par šo metodi no tās pašas vārdnīcas:

“Eratosthenes siets ir Eratosthenes izstrādāta metode, kas ļauj izsijāt saliktos skaitļus no dabiskās sērijas. Eratosthenes sieta būtība ir šāda. Vienība ir izsvītrota. Skaitlis divi ir galvenais. Izsvītroti visi naturālie skaitļi, kas dalās ar 2. Skaitlis 3 – pirmais neizsvītrotais skaitlis būs pirmskaitlis. Pēc tam tiek izsvītroti visi naturālie skaitļi, kas dalās ar 3. Skaitlis 5 — nākamais nepārsvītrots skaitlis — būs pirmais. Turpinot līdzīgus aprēķinus, var atrast patvaļīgi garu pirmskaitļu secības segmentu. Eratostena siets as teorētiskā metode Skaitļu teorijas pētījumu izstrādāja V. Bruns (1919).

Šeit ir lielākais pašlaik zināmais galvenais skaitlis:

Šim skaitlim ir aptuveni septiņi simti cipari aiz komata. Aprēķini, ar kuriem tika noteikts, ka šis skaitlis ir galvenais, tika veikti mūsdienu datoros.

“Rīmaņa zeta funkcija -funkcija ir kompleksa mainīgā analītiska funkcija, ja σ>1, ko absolūti un vienmērīgi nosaka konverģenta Dirihlē sērija:

Ja σ>1, ir spēkā attēlojums Eilera reizinājuma formā:

(2) kur p iet cauri visiem pirmskaitļiem.

Sērijas (1) un reizinājuma (2) identitāte ir viena no galvenajām zeta funkcijas īpašībām. Tas ļauj iegūt dažādas sakarības, kas savieno zeta funkciju ar svarīgākajām skaitļu teorētiskajām funkcijām. Tāpēc zeta funkcijai ir liela nozīme skaitļu teorijā.

Zeta funkciju kā reāla mainīgā funkciju ieviesa L. Eilers (1737, publ. 1744), norādot tās atrašanās vietu produktā (2). Tad zeta funkciju aplūkoja P. Dirihlets un īpaši veiksmīgi P. L. Čebiševs saistībā ar pirmskaitļu sadalījuma likuma izpēti. Tomēr visdziļākās zeta funkcijas īpašības tika atklātas pēc B. Rīmaņa darba, kurš 1859. gadā pirmo reizi uzskatīja zeta funkciju par kompleksa mainīgā funkciju, viņš arī ieviesa nosaukumu “zeta funkcija” un apzīmējums “””.

Bet rodas jautājums: ko praktiska izmantošana eksistē visam šim darbam ar pirmskaitļiem? Patiešām, tiem nav gandrīz nekāda lietojuma, taču ir viena joma, kur pirmskaitļi un to īpašības tiek izmantoti līdz pat šai dienai. Šī ir kriptogrāfija. Šeit pirmskaitļi tiek izmantoti šifrēšanas sistēmās bez atslēgu pārsūtīšanas.

Diemžēl tas ir viss, kas zināms par pirmskaitļiem. Vēl ir palicis daudz noslēpumu. Piemēram, nav zināms, vai pirmskaitļu kopa, kas attēlojama kā divi kvadrāti, ir bezgalīga.

"GRŪTI PRIMES".

Es nolēmu veikt nelielu izpēti, lai atrastu atbildes uz dažiem jautājumiem par pirmskaitļiem. Pirmkārt, es sastādīju programmu, kas ģenerē visus secīgos pirmskaitļus, kas mazāki par 1 000 000 000. Turklāt es sastādīju programmu, kas nosaka, vai ievadītais skaitlis ir pirmskaitlis. Lai pētītu pirmskaitļu problēmas, es izveidoju grafiku, kurā norādīta pirmskaitļa vērtības atkarība no kārtas skaitļa Kā turpmāko pētījumu plānu nolēmu izmantot I. S. Zelcera un B. A. Kordemska rakstu “Interesanti pirmskaitļu bari skaitļi." Autori identificēja šādus pētniecības ceļus:

1. Pirmajā tūkstoš naturālo skaitļu 168 vietas ieņem pirmskaitļi. No tiem 16 skaitļi ir palindromiski — katrs ir vienāds ar tā apgriezto skaitļu: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 92919, .

Ir tikai 1061 četrciparu pirmskaitlis, un neviens no tiem nav palindromisks.

Ir daudz piecu ciparu pirmskaitļu palindromisko skaitļu. Tajos ietilpst šādas skaistules: 13331, 15551, 16661, 19991. Neapšaubāmi, ir šāda veida bari: ,. Bet cik īpatņu ir katrā šādā barā?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

Redzams, ka skaitļu ciparu summa dalās ar 3, tāpēc arī paši šie skaitļi dalās ar 3.

Kas attiecas uz formas skaitļiem, tad starp tiem pirmskaitļi ir 72227, 75557, 76667, 78887, 79997.

2. Pirmajos tūkstoš skaitļos ir pieci “kvarteti”, kas sastāv no secīgiem pirmskaitļiem, kuru pēdējie cipari veido secību 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Cik šādu kvartetu ir starp n-ciparu pirmskaitļiem n›3?

Izmantojot manis rakstīto programmu, tika atrasts kvartets, kuru autori palaida garām: (479, 467, 463, 461) un kvarteti n = 4, 5, 6. Ja n = 4, ir 11 kvarteti.

3. Deviņu pirmskaitļu bars: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 ir pievilcīgs ne tikai tāpēc, ka tas attēlo aritmētisko progresiju ar starpību 210, bet arī tāpēc, ka tas var iekļauties nīnās. šūnas tātad, kas veidojas burvju kvadrāts ar konstanti, kas vienāda ar divu pirmskaitļu starpību: 3119 – 2:

Arī nākamais, desmitais izskatāmās progresijas loceklis 2089 ir pirmskaitlis. Ja no ganāmpulka noņem skaitli 199, bet iekļauj 2089, tad arī šajā sastāvā bars var veidot maģisku kvadrātu – tēmu, ko meklēt.

Jāatzīmē, ka ir arī citi maģiski kvadrāti, kas sastāv no pirmskaitļiem:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

Piedāvātais laukums ir interesants, jo

1. Tas ir 7x7 burvju kvadrāts;

2. Tas satur 5x5 burvju kvadrātu;

3. 5 x 5 maģiskajā kvadrātā ir 3 x 3 maģiskais kvadrāts;

4. Visiem šiem kvadrātiem ir viens kopīgs centrālais numurs - 3407;

5. Visi 49 skaitļi, kas iekļauti 7x7 kvadrātā, beidzas ar skaitli 7;

6. Visi 49 skaitļi, kas iekļauti 7x7 kvadrātā, ir pirmskaitļi;

7. Katru no 49 skaitļiem, kas iekļauti 7 x 7 kvadrātā, var attēlot kā 30n + 17.

Izmantotās programmas esmu rakstījis Dev-C++ programmēšanas valodā un to tekstus sniedzu pielikumā (skat. failus ar paplašinājumu .srr). Papildus visam iepriekšminētajam es uzrakstīju programmu, kas secīgus naturālus skaitļus sadala pirmfaktoros (sk. Dalītāji 1. срр) un programmu, kas tikai ievadīto skaitli sadala pirmfaktoros (sk. Dalītāji 2. срр). Tā kā šīs programmas kompilētā veidā aizņem pārāk daudz vietas, tiek doti tikai to teksti. Tomēr ikviens var tos apkopot, ja viņam ir pareizā programma.

PRIMES PROBLĒMĀ IESAISTĪTO ZINĀTNIEKU BIOGRĀFIJAS

EUKLĪDI

(apmēram 330. g. pmē. — ap 272. g. pmē.)

Par Senatnes slavenākā matemātiķa dzīvi ir saglabājies ļoti maz ticamas informācijas. Tiek uzskatīts, ka viņš mācījies Atēnās, kas izskaidro viņa izcilo ģeometrijas meistarību, ko attīstīja Platona skola. Tomēr acīmredzot viņš nebija pazīstams ar Aristoteļa darbiem. Viņš mācīja Aleksandrijā, kur par savu izpelnījās augstu atzinību pedagoģiskā darbība Ptolemaja I Sotera valdīšanas laikā. Ir leģenda, ka šis karalis pieprasījis, lai viņš atklāj veidu, kā gūt ātrus panākumus matemātikā, uz ko Eiklids atbildēja, ka ģeometrijā nav nekādu karalisko ceļu (tomēr līdzīgs stāsts tiek stāstīts arī par Menhemu, kuram it kā jautāja par tas pats Aleksandrs Lielais). Tradīcija ir saglabājusi atmiņu Eiklidam kā labestīgam un pieticīgam cilvēkam. Eiklīds - traktātu autors par dažādas tēmas, taču viņa vārds galvenokārt saistās ar vienu no traktātiem ar nosaukumu “Principi”. Tas ir par matemātiķu darbu kolekciju, kas strādāja pirms viņa (slavenākais no tiem bija Kosas Hipokrāts), kuru rezultātus viņš pilnveidoja, pateicoties viņa vispārināšanas spējai un smagajam darbam.

EULERS LEONARDS

(Bāzele, Šveice 1707 – Sanktpēterburga, 1783)

Matemātiķis, mehāniķis un fiziķis. Dzimis nabadzīga mācītāja Pola Eilera ģimenē. Izglītību viņš ieguva vispirms no sava tēva un 1720.–24. gadā Bāzeles Universitātē, kur apmeklēja I. Bernulli lekcijas par matemātiku.

1726. gada beigās Eilers tika uzaicināts uz Pēterburgas Zinātņu akadēmiju un 1727. gada maijā ieradās Sanktpēterburgā. Jaunizveidotajā akadēmijā Eilers atrada labvēlīgi apstākļi Priekš zinātniskā darbība, kas viņam ļāva nekavējoties sākt studēt matemātiku un mehāniku. Savas dzīves pirmā Pēterburgas perioda 14 gadu laikā Eilers publicēšanai sagatavoja ap 80 darbu un izdeva vairāk nekā 50. Sanktpēterburgā viņš apguva krievu valodu.

Eilers piedalījās daudzās Sanktpēterburgas Zinātņu akadēmijas darbības jomās. Viņš lasīja lekcijas studentiem akadēmiskajā universitātē, piedalījās dažādās tehniskajās eksāmenos, strādāja pie Krievijas karšu sastādīšanas un sarakstīja publiski pieejamu “Aritmētikas rokasgrāmatu” (1738–1740). Pēc īpašiem akadēmijas norādījumiem Eilers sagatavoja publikācijai “Kuģniecības zinātne” (1749), fundamentālu darbu par kuģu būves un navigācijas teoriju.

1741. gadā Eilers pieņēma Prūsijas karaļa Frederika II piedāvājumu pārcelties uz Berlīni, kur bija jānotiek Zinātņu akadēmijas reorganizācijai. Berlīnes Zinātņu akadēmijā Eilers ieņēma matemātikas klases direktora un valdes locekļa amatu, un pēc tās pirmā prezidenta P. Maupertuisa nāves vairākus gadus (no 1759. gada) faktiski vadīja akadēmiju. 25 dzīves gados Berlīnē viņš sagatavoja aptuveni 300 darbus, tostarp vairākas lielas monogrāfijas.

Dzīvojot Berlīnē, Eilers nepārtrauca intensīvu darbu Sanktpēterburgas Zinātņu akadēmijā, saglabājot tās goda biedra nosaukumu. Viņš veica plašu zinātnisko un zinātniski organizatorisko saraksti, jo īpaši sarakstījās ar M. Lomonosovu, kuru viņš ļoti novērtēja. Eilers rediģēja Krievijas akadēmiskās zinātniskās institūcijas matemātikas nodaļu, kur šajā laikā publicēja gandrīz tikpat daudz rakstu kā Berlīnes Zinātņu akadēmijas “Memuāros”. Viņš aktīvi piedalījās krievu matemātiķu apmācībā; Viņa vadībā studēt uz Berlīni tika nosūtīti topošie akadēmiķi S. Koteļņikovs, S. Rumovskis un M. Sofronovs. Eilers sniedza lielu palīdzību Pēterburgas Zinātņu akadēmijai, iegādājoties tai zinātnisko literatūru un aprīkojumu, vedot sarunas ar kandidātiem uz amatiem akadēmijā u.c.

1766. gada 17. (28.) jūlijs Eilers ar ģimeni atgriezās Sanktpēterburgā. Neskatoties uz lielo vecumu un gandrīz pilnīgu aklumu, kas viņu piemeklēja, viņš produktīvi strādāja līdz mūža beigām. Otrās uzturēšanās 17 gados Sanktpēterburgā viņš sagatavoja ap 400 darbu, tostarp vairākas lielas grāmatas. Eilers turpināja piedalīties akadēmijas organizatoriskajā darbā. 1776. gadā viņš bija viens no I. Kuļibina ierosinātā vienloku tilta pār Ņevas projekta ekspertiem un no visas komisijas vienīgais, kurš šo projektu plaši atbalstīja.

Eilera kā galvenā zinātnieka un organizatora nopelni zinātniskie pētījumi dzīves laikā saņēma augstu atzinību. Papildus Sanktpēterburgas un Berlīnes akadēmijām viņš bija biedrs lielākajās zinātniskajās institūcijās: Parīzes Zinātņu akadēmijā, Londonas Karaliskajā biedrībā un citās.

Viens no Eilera darba atšķirīgajiem aspektiem ir viņa izcilā produktivitāte. Viņa dzīves laikā vien tika publicētas ap 550 viņa grāmatu un rakstu (Eulera darbu sarakstā ir aptuveni 850 nosaukumi). 1909. gadā Šveices Dabaszinātņu biedrība sāka publicēties pilna sanāksme Eilera darbi, kas tika pabeigti 1975. gadā; tas sastāv no 72 sējumiem. Lielu interesi rada arī Eilera kolosālā zinātniskā sarakste (apmēram 3000 vēstuļu), kas līdz šim ir publicēta tikai daļēji.

Eilera darbības spektrs bija neparasti plašs, aptverot visas mūsdienu matemātikas un mehānikas nodaļas, elastības teoriju, matemātisko fiziku, optiku, mūzikas teoriju, mašīnu teoriju, ballistiku, jūras zinātni, apdrošināšanu utt. Apmēram 3/5 Eilera darbu attiecas uz uz matemātiku, pārējās 2/5 galvenokārt uz tās lietojumiem. Zinātnieks savus un citu iegūtos rezultātus sistematizēja vairākās klasiskās monogrāfijās, kas uzrakstītas pārsteidzoši skaidri un apgādātas ar vērtīgiem piemēriem. Tie ir, piemēram, “Mehānika jeb kustības zinātne, kas izskaidrota analītiski” (1736), “Ievads analīzē” (1748), “Diferenciālrēķins” (1755), “Kustības teorija”. ciets"(1765), "Universālā aritmētika" (1768–69), kas izgājusi apmēram 30 izdevumus 6 valodās, "Integrālais aprēķins" (1768–94) u.c. 18. gs. , un daļēji 19. gs. Publiski pieejamās “Vēstules par dažādiem fiziskiem un filozofiskiem jautājumiem, kas rakstītas kādai vācu princesei” kļuva ārkārtīgi populāras. "(1768–74), kas tika izdots vairāk nekā 40 izdevumos 10 valodās. Pēc tam lielākā daļa Eilera monogrāfiju satura tika iekļauta mācību grāmatās augstskolām un daļēji vidusskolām. Nav iespējams uzskaitīt visas joprojām lietotās Eilera teorēmas, metodes un formulas, no kurām tikai dažas literatūrā parādās ar viņa vārdu [piemēram, Eilera lauzto līniju metode, Eilera aizvietojumi, Eilera konstante, Eilera vienādojumi, Eilera formulas, Eilera funkcija, Eilera skaitļi, Eilera formula - Maklarīns, Eilera–Furjē formulas, Eilera raksturlielums, Eilera integrāļi, Eilera leņķi].

Mehānikā Eilers vispirms izklāstīja punkta dinamiku, izmantojot matemātisko analīzi: brīva kustība darbības dažādi spēki gan tukšumā, gan vidē ar pretestību; punkta kustība pa noteiktu līniju vai virsmu; kustība centrālo spēku ietekmē. 1744. gadā viņš pirmo reizi pareizi formulēja mehānisko mazākās darbības principu un parādīja tā pirmos pielietojumus. Stingrā ķermeņa kustības teorijā Eilers izstrādāja stingra ķermeņa kinemātiku un dinamiku un sniedza vienādojumus tā rotācijai ap fiksētu punktu, liekot pamatu žiroskopu teorijai. Savā kuģa teorijā Eilers sniedza vērtīgu ieguldījumu stabilitātes teorijā. Eilera atklājumi bija nozīmīgi debess mehānikā (piemēram, Mēness kustības teorijā), kontinuuma mehānikā (ideāla šķidruma kustības pamatvienādojumi Eilera formā un tā sauktajos Lagranža mainīgajos, gāzu svārstībās caurulēs utt.). Optikā Eilers sniedza (1747) abpusēji izliektas lēcas formulu un ierosināja metodi vides refrakcijas indeksa aprēķināšanai. Eilers pieturējās pie gaismas viļņu teorijas. Viņš tam ticēja dažādas krāsas atbilst dažādiem gaismas viļņu garumiem. Eilers piedāvāja veidus, kā novērst lēcu hromatiskās aberācijas, un sniedza metodes mikroskopa optisko komponentu aprēķināšanai. Eilers veltīja plašu darbu sēriju, kas sākās 1748. gadā, matemātiskajai fizikai: stīgas, plāksnes, membrānas uc vibrācijas problēmām. Visi šie pētījumi stimulēja teorijas attīstību. diferenciālvienādojumi, aptuvenās analīzes metodes, spec. funkcijas, diferenciālģeometrija utt. Šajos darbos ir ietverti daudzi Eilera matemātikas atklājumi.

Eilera galvenais matemātiķa darbs bija matemātiskās analīzes attīstība. Viņš ielika pamatus vairākām matemātikas disciplīnām, kuras bija tikai rudimentārā formā vai arī pilnīgi nebija sastopamas I. Ņūtona, G. Leibnica un brāļu Bernulli bezgalīgi mazo lielumu aprēķinos. Tādējādi Eilers bija pirmais, kas ieviesa kompleksa argumenta funkcijas un pētīja kompleksa mainīgā elementāro pamatfunkciju īpašības (eksponenciālās, logaritmiskās un trigonometriskās funkcijas); jo īpaši viņš atvasināja savienojošas formulas trigonometriskās funkcijas ar demonstratīvu. Eilera darbs šajā virzienā lika pamatu kompleksa mainīgā funkciju teorijai.

Eilers bija variāciju aprēķina veidotājs, kas izklāstīts darbā “Metode, kā atrast izliektas līnijas, kurām ir maksimuma vai minimuma īpašības. "(1744). Metode, ar kuru Eilers atvasināja 1744. g nepieciešamais nosacījums funkcionālā ekstrēma - Eilera vienādojuma, bija 20. gadsimta variāciju aprēķina tiešo metožu prototips. Eilers radīja parasto diferenciālvienādojumu teoriju kā neatkarīgu disciplīnu un lika pamatus daļējo diferenciālvienādojumu teorijai. Šeit viņš veica milzīgu skaitu atklājumu: klasisko risināšanas metodi lineārie vienādojumi ar konstantiem koeficientiem, patvaļīgu konstantu variācijas metodi, Rikati vienādojuma pamatīpašību noskaidrošanu, lineāro vienādojumu integrāciju ar mainīgiem koeficientiem, izmantojot bezgalīgas rindas, speciālo risinājumu kritērijus, integrējošā faktora doktrīnu, dažādas aptuvenās metodes un daļēju diferenciālvienādojumu risināšanas paņēmienu skaits. Eilers savā "Integrālajā aprēķinā" apkopoja ievērojamu daļu no šiem rezultātiem.

Eilers arī bagātināja diferenciālskaitļus un integrāļus šī vārda šaurā nozīmē (piemēram, mainīgo izmaiņu doktrīnu, teorēmu par viendabīgām funkcijām, dubultintegrāļa jēdzienu un daudzu speciālo integrāļu aprēķinu). “Diferenciālrēķinos” Eilers izteica un ar piemēriem atbalstīja savu pārliecību par atšķirīgu rindu izmantošanas lietderīgumu un piedāvāja metožu vispārinātas sēriju summēšanas metodes, paredzot mūsdienu stingrās diverģentu rindu teorijas idejas, kas radītas 19. gadsimta mija un 20. gs Turklāt Eilers ieguva daudzus konkrētus rezultātus sēriju teorijā. Viņš atklāja t.s. Eilera-Maklaurina summēšanas formulu, ierosināja virkņu transformāciju, kas nes viņa vārdu, noteica daudzu rindu summas un ieviesa matemātikā svarīgus jaunus sēriju veidus (piemēram, trigonometriskās rindas). Tas ietver arī Eilera pētījumus par nepārtrauktu frakciju un citu bezgalīgu procesu teoriju.

Eilers ir teorijas pamatlicējs īpašas funkcijas. Viņš bija pirmais, kurš uzskatīja sinusu un kosinusu par funkcijām, nevis par segmentiem aplī. Viņš ieguva gandrīz visus klasiskos elementāro funkciju izvērsumus bezgalīgās sērijās un izstrādājumos. Viņa darbi radīja γ funkcijas teoriju. Viņš pētīja eliptisku integrāļu īpašības, hiperboliskās un cilindriskās funkcijas, ζ-funkciju, dažas θ-funkcijas, integrāļa logaritmu un svarīgas īpašo polinomu klases.

Pēc P. Čebiševa domām, Eilers lika pamatus visiem pētījumiem, kas veido skaitļu teorijas vispārīgo daļu. Tādējādi Eilers pierādīja vairākus P. Fermā izteiktos apgalvojumus (piemēram, Fermā mazo teorēmu), izstrādāja jaudas atlikumu teorijas un kvadrātisko formu teorijas pamatus, atklāja (bet nepierādīja) kvadrātiskās savstarpējās attiecības likumu, t.sk. un pētīja vairākas problēmas Diofantīna analīzē. Savos darbos par skaitļu sadalīšanu terminos un pirmskaitļu teoriju Eilers bija pirmais, kurš izmantoja analīzes metodes, tādējādi kļūstot par analītiskās skaitļu teorijas radītāju. Jo īpaši viņš ieviesa ζ-funkciju un pierādīja tā saukto. Eilera identitāte, kas savieno pirmskaitļus ar visiem naturālajiem skaitļiem.

Eilers guva lielus sasniegumus arī citās matemātikas jomās. Algebrā viņš rakstīja darbus par vienādojumu risināšanu radikāļos augstākas pakāpes un par vienādojumiem ar diviem nezināmajiem, kā arī t.s. Eilera četru kvadrātu identitāte. Eilers ievērojami uzlaboja analītisko ģeometriju, īpaši otrās kārtas virsmu doktrīnu. Diferenciālģeometrijā viņš detalizēti pētīja ģeodēzisko līniju īpašības, bija pirmais, kas pielietoja dabiskos līkņu vienādojumus un, pats galvenais, lika pamatus virsmu teorijai. Viņš ieviesa galveno virzienu jēdzienu virsmas punktā, pierādīja to ortogonalitāti, atvasināja jebkura normāla griezuma izliekuma formulu, sāka attīstāmo virsmu izpēti utt.; vienā pēcnāves darbā (1862) viņš daļēji paredzēja K. Gausa pētījumus par virsmu iekšējo ģeometriju. Eilers arī aplūkoja dažus topoloģijas jautājumus un pierādīja, piemēram, svarīgu teorēmu par izliektiem daudzskaldņiem. Matemātiķi Eileru bieži raksturo kā izcilu “kalkulatoru”. Patiešām, viņš bija nepārspējams formālo izkārtojumu un transformāciju meistars; viņa darbos daudzi matemātiskās formulas un saņēma simbolus moderns izskats(piemēram, viņam pieder e un π apzīmējums). Tomēr Eilers zinātnē ieviesa arī vairākas dziļas idejas, kuras tagad ir stingri pamatotas un kalpo kā piemērs dziļuma iekļūšanai pētniecības priekšmetā.

Pēc P. Laplasa domām, Eilers bija 18. gadsimta otrās puses matemātiķu skolotājs.

DIRIHLETS PĒTERS GUSTAVS

(Dīrene, tagad Vācija, 1805 - Getingena, turpat, 1859)

Viņš studēja Parīzē un uzturēja draudzīgas attiecības ar izciliem matemātiķiem, jo ​​īpaši ar Furjē. Pēc akadēmiskā grāda iegūšanas viņš bija profesors Vroclavas (1826 - 1828), Berlīnes (1828 - 1855) un Getingenes universitātēs, kur pēc zinātnieka Kārļa Frīdriha Gausa nāves kļuva par matemātikas katedras vadītāju. Viņa izcilākais ieguldījums zinātnē ir saistīts ar skaitļu teoriju, galvenokārt sēriju izpēti. Tas viņam ļāva izstrādāt Furjē piedāvāto sēriju teoriju. Izveidoja savu Fermā teorēmas pierādījuma versiju, izmantoja analītiskās funkcijas, lai atrisinātu aritmētiskās problēmas un ieviesa sēriju konverģences kritērijus. Matemātiskās analīzes jomā viņš uzlaboja funkcijas definīciju un jēdzienu, teorētiskās mehānikas jomā viņš koncentrējās uz sistēmu stabilitātes izpēti un Ņūtona potenciāla koncepciju.

ČEBIŠEVS PAFNUTIJS LVOVIČS

Krievu matemātiķis, Pēterburgas zinātniskās skolas dibinātājs, Pēterburgas Zinātņu akadēmijas akadēmiķis (1856). Čebiševa darbi lika pamatu daudzu jaunu matemātikas nozaru attīstībai.

Visvairāk Čebiševa darbu bija matemātiskās analīzes jomā. Jo īpaši viņam tika veltīts disertācija par tiesībām lasīt lekcijas, kurā Čebiševs pētīja noteiktu iracionālu izteiksmju integrējamību algebriskajās funkcijās un logaritmos. Čebiševs algebrisko funkciju integrācijai veltīja arī vairākus citus darbus. Vienā no tiem (1853) tika iegūta labi zināma teorēma par integrējamības nosacījumiem diferenciālbinoma elementārajās funkcijās. Svarīga matemātiskās analīzes pētniecības joma ir viņa darbs pie ortogonālo polinomu vispārējās teorijas izveidošanas. Tās izveides iemesls bija paraboliskā interpolācija, izmantojot mazāko kvadrātu metodi. Čebiševa pētījumi par momentu un kvadratūras formulu problēmu ir blakus šim pašam ideju lokam. Lai samazinātu aprēķinus, Čebiševs ierosināja (1873) apsvērt kvadrātveida formulas ar vienādiem koeficientiem (aptuvena integrācija). Kvadratūras formulu pētījumi un interpolācijas teorija bija cieši saistīti ar uzdevumiem, kas Čebiševam tika izvirzīti militārās zinātniskās komitejas artilērijas nodaļā.

Varbūtību teorijā Čebiševam tiek piešķirts sistemātisks gadījuma lielumu iekļaušana apsvērumā un jaunas metodes robežu teorēmu pierādīšanai varbūtības teorijā - ts. momentu metode (1845, 1846, 1867, 1887). Viņi ir pierādījuši lieli skaitļi likums ir ļoti vispārējā forma; Turklāt viņa pierādījums ir pārsteidzošs savā vienkāršībā un elementārumā. Čebiševs nepabeidza neatkarīgu gadījuma lielumu summu sadalījuma funkciju konverģences nosacījumu izpēti līdz parastajam likumam. Tomēr, nedaudz papildinot Čebiševa metodes, A. A. Markovam tas izdevās. Bez stingriem secinājumiem Čebiševs arī iezīmēja iespēju precizēt šo robežteorēmu neatkarīgu terminu summas sadalījuma funkcijas asimptotisko izvērsumu veidā pakāpēs n21/2, kur n ir terminu skaits. Čebiševa darbs pie varbūtības teorijas ir svarīgs posms tās attīstībā; turklāt tie bija pamats, uz kura izauga krievu varbūtības teorijas skola, kas sākotnēji sastāvēja no Čebiševa tiešiem studentiem.

RĪMANS DŽORGS FRIEDRIGS BERNARDS

(Breselenca, Lejassaksija, 1826. g. — Selaska, netālu no Intras, Itālija 66)

Vācu matemātiķis. 1846. gadā iestājās Getingenes Universitātē: klausījās K. Gausa lekcijas, kuras daudzas idejas attīstīja vēlāk. 1847–49 apmeklēja lekcijas Berlīnes Universitātē; 1849. gadā viņš atgriezās Getingenā, kur kļuva tuvs Gausa līdzstrādniekam fiziķim V. Vēberam, kurš izraisīja viņā dziļu interesi par matemātikas zinātnes jautājumiem.

1851. gadā viņš aizstāvēja doktora disertāciju “Viena kompleksa mainīgā funkciju vispārējās teorijas pamati”. Kopš 1854. gada privatdozent, kopš 1857. g. Getingenes universitātes profesors.

Rīmaņa darbam bija liela ietekme uz matemātikas attīstību 2 19. gadsimta puse V. un 20. gs. Savā doktora disertācijā Rīmanis lika pamatus analītisko funkciju teorijas ģeometriskajam virzienam; viņš ieviesa tā sauktās Rīmaņa virsmas, kas ir svarīgas daudzvērtīgu funkciju izpētē, izstrādāja konformālās kartēšanas teoriju un saistībā ar to sniedza topoloģijas pamatidejas, pētīja analītisko funkciju pastāvēšanas nosacījumus. domēnu iekšienē dažādi veidi(tā sauktais Dirihleta princips) utt. Rīmaņa izstrādātās metodes tika plaši izmantotas viņa turpmākajos darbos par algebrisko funkciju un integrāļu teoriju, diferenciālvienādojumu analītisko teoriju (jo īpaši vienādojumus, kas nosaka hiperģeometriskās funkcijas), analītiskā skaitļu teorija (piemēram, Rīmanis norādīja uz saikni starp pirmskaitļu sadalījumu un ζ-funkcijas īpašībām, jo ​​īpaši ar tās nulles sadalījumu kompleksajā reģionā - tā sauktā Rīmaņa hipotēze, kuras derīgums vēl nav pierādīts) utt.

Vairākos darbos Rīmanis pētīja funkciju sadalāmību trigonometriskās rindās un saistībā ar to noteica nepieciešamos un pietiekamos nosacījumus integrējamībai Rīmaņa izpratnē, kas bija svarīgi reāla mainīgā kopu un funkciju teorijā. Rīmanis arī piedāvāja metodes daļēju diferenciālvienādojumu integrēšanai (piemēram, izmantojot tā sauktos Rīmaņa invariantus un Rīmaņa funkciju).

Savā slavenajā 1854. gada lekcijā “Par ģeometrijas pamatā esošajām hipotēzēm” (1867) Rīmans sniedza vispārēja ideja matemātiskā telpa (viņa vārdiem sakot, “kolektori”), ieskaitot funkcionālās un topoloģiskās telpas. Šeit viņš ģeometriju plašā nozīmē uzskatīja par nepārtrauktu n-dimensiju kolektoru, t.i., jebkuru viendabīgu objektu kolekciju izpēti, un, vispārinot Gausa rezultātus par virsmas iekšējo ģeometriju, viņš sniedza. vispārējs jēdziens lineārais elements (attāluma starpība starp kolektora punktiem), tādējādi definējot tā sauktās Finslera telpas. Sīkāk Rīmanis apskatīja tā sauktās Rīmaņa telpas, vispārinot Eiklīda, Lobačevska un Rīmaņa eliptiskās ģeometrijas telpas, kuras raksturo īpašs veids lineārais elements, un izstrādāja to izliekuma doktrīnu. Pārrunājot savu ideju pielietojumu fiziskajā telpā, Rīmans izvirzīja jautājumu par tās “metrisko īpašību cēloņiem”, it kā paredzot vispārējā relativitātes teorijā paveikto.

Rīmaņa piedāvātās idejas un metodes pavēra jaunus ceļus matemātikas attīstībā un atrada pielietojumu mehānikā un vispārējā relativitātes teorijā. Zinātnieks nomira 1866. gadā no tuberkulozes.

Skaitļi ir dažādi: dabiskie, racionālie, racionālie, veselie un daļskaitļi, pozitīvie un negatīvie, kompleksie un pirmskaitļi, nepāra un pāra, reāli utt. No šī raksta varat uzzināt, kas ir pirmskaitļi.

Kādus skaitļus angļu valodā sauc par “vienkāršiem”?

Ļoti bieži skolēni no pirmā acu uzmetiena nezina, kā atbildēt uz vienu no vienkāršākajiem jautājumiem matemātikā par to, kas ir pirmskaitlis. Viņi bieži jauc pirmskaitļus ar naturāliem skaitļiem (tas ir, skaitļiem, ko cilvēki izmanto, skaitot objektus, savukārt dažos avotos tie sākas ar nulli, bet citos ar vienu). Bet tie ir pilnīgi divi dažādi jēdzieni. Pirmskaitļi ir naturāli skaitļi, tas ir, veseli skaitļi un pozitīvi skaitļi, kas ir lielāki par vienu un kuriem ir tikai 2 dabiskie dalītāji. Turklāt viens no šiem dalītājiem ir dotais numurs, un otrais ir viens. Piemēram, trīs ir pirmskaitlis, jo to nevar dalīt bez atlikuma ar jebkuru citu skaitli, izņemot sevi un vienu.

Saliktie skaitļi

Pirmskaitļu pretstats ir saliktie skaitļi. Tie ir arī dabiski, arī lielāki par vienu, bet tiem nav divi, bet liels daudzums sadalītāji. Tātad, piemēram, skaitļi 4, 6, 8, 9 utt. ir dabiski, salikti, bet ne pirmskaitļi. Kā redzat, tie galvenokārt ir pāra skaitļi, bet ne visi. Bet “divi” ir pāra skaitlis un “pirmais skaitlis” pirmskaitļu virknē.

Secība

Lai izveidotu pirmskaitļu virkni, ir jāizvēlas no visiem naturālajiem skaitļiem, ņemot vērā to definīciju, tas ir, jums ir jārīkojas ar pretrunu. Ir jāpārbauda katrs pozitīvais naturālais skaitlis, lai redzētu, vai tam ir vairāk nekā divi dalītāji. Mēģināsim izveidot sēriju (secību), kas sastāv no pirmskaitļiem. Saraksts sākas ar diviem, kam seko trīs, jo tas dalās tikai ar sevi un vienu. Apsveriet skaitli četri. Vai tai ir citi dalītāji, nevis četri un viens? Jā, šis skaitlis ir 2. Tātad četri nav pirmskaitlis. Pieci ir arī pirmskaitļi (tas nedalās ne ar vienu citu skaitli, izņemot 1 un 5), bet seši dalās. Un vispār, ja sekojat visiem pāra skaitļiem, pamanīsit, ka, izņemot “divus”, neviens no tiem nav pirmskaitļi. No tā mēs secinām, ka pāra skaitļi, izņemot divus, nav pirmskaitļi. Vēl viens atklājums: visi skaitļi, kas dalās ar trīs, izņemot pašus trīs, neatkarīgi no tā, vai tie ir pāra vai nepāra skaitļi, arī nav pirmskaitļi (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 utt.). Tas pats attiecas uz skaitļiem, kas dalās ar pieci un septiņi. Arī viss viņu daudzums nav vienkāršs. Apkoposim. Tātad vienkārši viencipara skaitļi ietver visus nepāra skaitļus, izņemot vienu un deviņus, un pat “divi” ir pāra skaitļi. Paši desmitnieki (10, 20,... 40 utt.) nav vienkārši. Divciparu, trīsciparu uc pirmskaitļus var noteikt, pamatojoties uz iepriekš minētajiem principiem: ja tiem nav citu dalītāju, izņemot viņu pašu un vienu.

Teorijas par pirmskaitļu īpašībām

Ir zinātne, kas pēta veselu skaitļu īpašības, tostarp pirmskaitļus. Šī ir matemātikas nozare, ko sauc par augstāko. Papildus veselo skaitļu īpašībām viņa nodarbojas arī ar algebriskiem un transcendentāliem skaitļiem, kā arī dažādas izcelsmes funkcijām, kas saistītas ar šo skaitļu aritmētiku. Šajos pētījumos papildus elementārajiem un algebriskās metodes, tiek izmantoti arī analītiskie un ģeometriskie. Konkrēti, “Skaitļu teorija” nodarbojas ar pirmskaitļu izpēti.

Pirmskaitļi ir naturālo skaitļu “būves bloki”.

Aritmētikā ir teorēma, ko sauc par fundamentālo teorēmu. Saskaņā ar to jebkuru naturālu skaitli, izņemot vienu, var attēlot kā reizinājumu, kura faktori ir pirmskaitļi, un faktoru secība ir unikāla, kas nozīmē, ka attēlošanas metode ir unikāla. To sauc par sadalīšanos dabiskais skaitlis galvenajos faktoros. Šim procesam ir cits nosaukums - skaitļu faktorizācija. Pamatojoties uz to, pirmskaitļus var saukt par " celtniecības materiāls”, “bloki” naturālu skaitļu konstruēšanai.

Meklēt pirmskaitļus. Vienkāršības testi

Daudzi dažādu laiku zinātnieki mēģināja atrast dažus principus (sistēmas), kā atrast pirmskaitļu sarakstu. Zinātne zina sistēmas, ko sauc par Atkin sietu, Sundartham sietu un Eratosthenes sietu. Tomēr tie nesniedz nekādus nozīmīgus rezultātus, un, lai atrastu pirmskaitļus, tiek izmantots vienkāršs tests. Matemātiķi radīja arī algoritmus. Tos parasti sauc par primitātes testiem. Piemēram, ir Rabina un Millera izstrādāts tests. To izmanto kriptogrāfi. Ir arī Kayal-Agrawal-Sasquena tests. Tomēr, neskatoties uz pietiekamu precizitāti, to ir ļoti grūti aprēķināt, kas samazina tā praktisko nozīmi.

Vai pirmskaitļu kopai ir ierobežojums?

Sengrieķu zinātnieks Eiklīds savā grāmatā “Elementi” rakstīja, ka pirmskaitļu kopa ir bezgalība. Viņš teica: “Uz brīdi iedomāsimies, ka pirmskaitļiem ir ierobežojums. Tad pavairosim tos savā starpā un pievienosim produktam vienu. Šo vienkāršo darbību rezultātā iegūto skaitli nevar dalīt ne ar vienu no pirmskaitļu sērijām, jo ​​atlikums vienmēr būs viens. Tas nozīmē, ka ir kāds cits skaitlis, kas vēl nav iekļauts pirmskaitļu sarakstā. Tāpēc mūsu pieņēmums nav patiess, un šai kopai nevar būt robeža. Papildus Eiklida pierādījumam ir arī modernāka formula, ko sniedza astoņpadsmitā gadsimta Šveices matemātiķis Leonhards Eilers. Saskaņā ar to pirmo n skaitļu summas apgrieztā summa pieaug neierobežoti, palielinoties skaitlim n. Un šeit ir teorēmas formula attiecībā uz pirmskaitļu sadalījumu: (n) pieaug kā n/ln (n).

Kāds ir lielākais pirmskaitlis?

Tas pats Leonards Eilers spēja atrast sava laika lielāko pirmskaitli. Tas ir 2 31 - 1 = 2147483647. Tomēr līdz 2013. gadam tika aprēķināts vēl viens visprecīzākais lielākais pirmskaitļu sarakstā - 2 57885161 - 1. To sauc par Mersenna skaitli. Tajā ir aptuveni 17 miljoni decimālciparu. Kā redzat, astoņpadsmitā gadsimta zinātnieka atrastais skaitlis ir vairākas reizes mazāks par šo. Tā tam vajadzēja būt, jo Eilers šo aprēķinu veica manuāli, savukārt mūsu laikabiedram, iespējams, palīdzēja dators. Turklāt šis skaitlis tika iegūts Matemātikas fakultātē vienā no Amerikas katedrām. Šī zinātnieka vārdā nosauktie skaitļi iztur Luka-Lemēra pirmatnības testu. Tomēr zinātne nevēlas ar to apstāties. Electronic Frontier Foundation, kas tika dibināts 1990. gadā Amerikas Savienotajās Valstīs (EFF), ir piedāvājis naudas atlīdzību par lielu pirmskaitļu atrašanu. Un ja līdz 2013. gadam balva tiktu piešķirta tiem zinātniekiem, kuri tos atrastu no 1 līdz 10 miljoniem decimālskaitļi, tad šodien šis skaitlis ir sasniedzis no 100 miljoniem līdz 1 miljardam. Balvas svārstās no 150 līdz 250 tūkstošiem ASV dolāru.

Īpašu pirmskaitļu nosaukumi

Tos skaitļus, kas tika atrasti, pateicoties noteiktu zinātnieku izveidotajiem algoritmiem un izturēja vienkāršības pārbaudi, sauc par īpašiem. Šeit ir daži no tiem:

1. Mersens.

4. Kalens.

6. Mills et al.

Šo skaitļu vienkāršība, kas nosaukti iepriekšminēto zinātnieku vārdā, tiek noteikta, izmantojot šādus testus:

1. Lūks-Lemērs.

2. Pepiņa.

3. Rizelis.

4. Bilhārts - Lemērs - Selfridžs un citi.

Mūsdienu zinātne ar to neapstājas, un, iespējams, tuvākajā nākotnē pasaule uzzinās to cilvēku vārdus, kuri, atrodot lielāko pirmskaitļu, varēja iegūt 250 000 ASV dolāru balvu.

Dalītāju uzskaitījums. Pēc definīcijas skaitlis n ir galvenais tikai tad, ja tas nedalās vienmērīgi ar 2 un citiem veseliem skaitļiem, izņemot 1 un sevi. Iepriekš minētā formula novērš nevajadzīgas darbības un ietaupa laiku: piemēram, pēc pārbaudes, vai skaitlis dalās ar 3, nav jāpārbauda, ​​vai tas dalās ar 9.

• Funkcija grīdas (x) noapaļo x līdz tuvākajam veselam skaitlim, kas ir mazāks vai vienāds ar x.

Uzziniet par modulāro aritmētiku. Operācija "x mod y" (mod ir saīsinājums no latīņu vārda "modulo", tas ir, "modulis") nozīmē "dalīt x ar y un atrast atlikumu". Citiem vārdiem sakot, modulārajā aritmētikā, sasniedzot noteiktu vērtību, ko sauc modulis, skaitļi atkal “pārvēršas” uz nulli. Piemēram, pulkstenis saglabā laiku ar moduli 12: tas rāda pulksten 10, 11 un 12 un pēc tam atgriežas pie 1.

• Daudziem kalkulatoriem ir mod taustiņš. Šīs sadaļas beigās ir parādīts, kā manuāli novērtēt šo funkciju lieliem skaitļiem.

Uzziniet par Fermā mazās teorēmas kļūmēm. Visi skaitļi, kuriem nav izpildīti testa nosacījumi, ir salikti, bet pārējie skaitļi ir tikai droši vien tiek klasificēti kā vienkārši. Ja vēlaties izvairīties no nepareiziem rezultātiem, meklējiet n sarakstā "Karmihaela skaitļi" (saliktie skaitļi, kas atbilst šim testam) un "pseidopirmā Fermā skaitļi" (šie skaitļi atbilst testa nosacījumiem tikai dažām vērtībām a).

Ja ērti, izmantojiet Millera-Rabina testu. Lai gan šī metode diezgan apgrūtinoši, aprēķinot manuāli, to bieži izmanto datorprogrammas. Tas nodrošina pieņemamu ātrumu un dod mazāk kļūdu nekā Fermā metode. Salikts skaitlis netiks pieņemts kā pirmskaitlis, ja tiek veikti aprēķini vairāk nekā ¼ no vērtībām a. Ja atlasāt nejauši dažādas nozīmes a un viņiem visiem tests dos pozitīvs rezultāts, mēs ar diezgan lielu pārliecības pakāpi varam pieņemt, ka n ir pirmskaitlis.

Lieliem skaitļiem izmantojiet modulāro aritmētiku. Ja jums nav pie rokas kalkulatora ar modifikāciju vai jūsu kalkulators nav paredzēts tik lielu skaitļu apstrādei, izmantojiet pakāpju īpašības un modulāro aritmētiku, lai atvieglotu aprēķinus. Zemāk ir piemērs 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:

• Pārrakstiet izteiksmi ērtākā formā: mod 50. Veicot manuālus aprēķinus, var būt nepieciešami papildu vienkāršojumi.
• (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Šeit mēs ņēmām vērā modulārās reizināšanas īpašību.
• 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
• (3 25 (\displaystyle (3^(25)) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
• = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
• = 49 (\displaystyle =49).

• Tulkošana

Pirmskaitļu īpašības vispirms pētīja Senās Grieķijas matemātiķi. Pitagora skolas matemātiķus (500 - 300 BC) galvenokārt interesēja pirmskaitļu mistiskās un numeroloģiskās īpašības. Viņi bija pirmie, kas nāca klajā ar idejām par perfektiem un draudzīgiem skaitļiem.

Perfektam skaitlim ir savu dalītāju summa, kas ir vienāda ar sevi. Piemēram, pareizie skaitļa 6 dalītāji ir 1, 2 un 3. 1 + 2 + 3 = 6. Skaitļa 28 dalītāji ir 1, 2, 4, 7 un 14. Turklāt 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Skaitļus sauc par draudzīgiem, ja viena skaitļa pareizo dalītāju summa ir vienāda ar citu, un otrādi - piemēram, 220 un 284. Var teikt, ka ideāls skaitlis ir draudzīgs pats sev.

Līdz Eiklida elementiem 300. gadā p.m.ē. Vairāki svarīgi fakti par pirmskaitļiem jau ir pierādīti. IX elementu grāmatā Eiklīds pierādīja, ka ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu. Šis, starp citu, ir viens no pirmajiem piemēriem, kā pierādījumu izmanto pretrunīgi. Viņš arī pierāda aritmētikas pamatteorēmu - katru veselu skaitli var unikāli attēlot kā pirmskaitļu reizinājumu.

Viņš arī parādīja, ka, ja skaitlis 2n-1 ir pirmais, tad skaitlis 2n-1 * (2n-1) būs ideāls. Cits matemātiķis Eilers 1747. gadā spēja parādīt, ka šajā formā var uzrakstīt visus pat ideālos skaitļus. Līdz šai dienai nav zināms, vai pastāv nepāra ideāli skaitļi.

200. gadā pirms mūsu ēras. Grieķis Eratostens nāca klajā ar algoritmu pirmskaitļu atrašanai, ko sauc par Eratostena sietu.

Un tad notika liels pārtraukums ar viduslaikiem saistīto pirmskaitļu izpētes vēsturē.

Šādus atklājumus jau 17. gadsimta sākumā veica matemātiķis Fermā. Viņš pierādīja Alberta Žirāra pieņēmumu, ka jebkuru pirmskaitli formā 4n+1 var unikāli uzrakstīt kā divu kvadrātu summu, kā arī formulēja teorēmu, ka jebkuru skaitli var uzrakstīt kā četru kvadrātu summu.

Viņš attīstījās jauna metode lielu skaitļu faktorizāciju un demonstrēja to uz skaitļa 2027651281 = 44021 × 46061. Viņš arī pierādīja Fermā mazo teorēmu: ja p ir pirmskaitlis, tad jebkuram veselam skaitlim a būs taisnība, ka a p = modulo p.

Šis apgalvojums pierāda pusi no tā, kas bija pazīstams kā "ķīniešu minējums", un ir datēts ar 2000 gadiem: vesels skaitlis n ir galvenais tad un tikai tad, ja 2 n -2 dalās ar n. Hipotēzes otrā daļa izrādījās nepatiesa - piemēram, 2341 - 2 dalās ar 341, lai gan skaitlis 341 ir salikts: 341 = 31 × 11.

Fermā mazā teorēma kalpoja par pamatu daudziem citiem skaitļu teorijas rezultātiem un metodēm, lai pārbaudītu, vai skaitļi ir pirmskaitļi, no kuriem daudzi joprojām tiek izmantoti mūsdienās.

Fermā daudz sarakstījās ar saviem laikabiedriem, īpaši ar mūku vārdā Marena Mersenna. Vienā no viņa vēstulēm viņš izvirzīja hipotēzi, ka skaitļi formā 2 n +1 vienmēr būs pirmskaitļi, ja n ir divi. Viņš to pārbaudīja, ja n = 1, 2, 4, 8 un 16, un bija pārliecināts, ka gadījumā, ja n nav pakāpē divi, skaitlis ne vienmēr ir pirmais. Šos skaitļus sauc par Fermā skaitļiem, un tikai 100 gadus vēlāk Eilers parādīja, ka nākamais skaitlis 2 32 + 1 = 4294967297 dalās ar 641 un tāpēc nav pirmskaitļi.

Arī skaitļi formā 2 n - 1 ir bijuši izpētes priekšmets, jo ir viegli pierādīt, ka, ja n ir salikts, tad arī pats skaitlis ir salikts. Šos skaitļus sauc par Mersenna skaitļiem, jo ​​viņš tos plaši pētīja.

Bet ne visi skaitļi formā 2 n - 1, kur n ir pirmskaitļi, ir pirmskaitļi. Piemēram, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Pirmo reizi tas tika atklāts 1536. gadā.

Daudzus gadus šāda veida skaitļi nodrošināja matemātiķiem lielākos zināmos pirmskaitļus. To, ka M 19 pierādīja Cataldi 1588. gadā, un 200 gadus bija lielākais zināmais pirmskaitlis, līdz Eilers pierādīja, ka arī M 31 ir pirmskaitlis. Šis rekords pastāvēja vēl simts gadus, un tad Lūkass parādīja, ka M 127 ir galvenais (un tas jau ir 39 cipari), un pēc tam pētījumi turpinājās līdz ar datoru parādīšanos.

1952. gadā tika pierādīta skaitļu M 521, M 607, M 1279, M 2203 un M 2281 pirmkārtība.

Līdz 2005. gadam tika atrasti 42 Mersenna pirmskaitļi. Lielākais no tiem, M 25964951, sastāv no 7816230 cipariem.

Eilera darbam bija milzīga ietekme uz skaitļu teoriju, tostarp pirmskaitļiem. Viņš paplašināja Fermā mazo teorēmu un ieviesa φ funkciju. Faktorizēja 5. Fermā skaitli 2 32 +1, atrada 60 draudzīgu skaitļu pārus un formulēja (bet nevarēja pierādīt) kvadrātiskās savstarpības likumu.

Viņš bija pirmais, kurš ieviesa matemātiskās analīzes metodes un izstrādāja analītisko skaitļu teoriju. Viņš pierādīja, ka ne tikai harmoniku sērija ∑ (1/n), bet arī formas virkne

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Rezultāts, kas iegūts ar pirmskaitļu apgriezto vērtību summu, arī atšķiras. Harmonisko virkņu n vārdu summa pieaug aptuveni kā log(n), un otrā rinda atšķiras lēnāk kā log[ log(n) ]. Tas nozīmē, ka, piemēram, visu līdz šim atrasto pirmskaitļu apgriezto vērtību summa dos tikai 4, lai gan sērijas joprojām atšķiras.

No pirmā acu uzmetiena šķiet, ka pirmskaitļi tiek sadalīti diezgan nejauši starp veseliem skaitļiem. Piemēram, starp 100 skaitļiem tieši pirms 10000000 ir 9 pirmskaitļi, bet starp 100 skaitļiem tūlīt aiz šīs vērtības ir tikai 2. Bet lielos segmentos pirmskaitļi ir sadalīti diezgan vienmērīgi. Leģendre un Gauss nodarbojās ar to izplatīšanas jautājumiem. Gauss reiz draugam teica, ka jebkurās brīvajās 15 minūtēs viņš vienmēr saskaita pirmskaitļus nākamajos 1000 skaitļos. Savas dzīves beigās viņš bija saskaitījis visus pirmskaitļus līdz 3 miljoniem. Legendre un Gauss vienādi aprēķināja, ka lielam n primārais blīvums ir 1/log(n). Legendre aprēķināja pirmskaitļu skaitu diapazonā no 1 līdz n as

π(n) = n/(log(n) — 1,08366)

Un Gauss ir kā logaritmisks integrālis

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Ar integrācijas intervālu no 2 līdz n.

Apgalvojums par pirmskaitļu blīvumu 1/log(n) ir pazīstams kā primārā sadalījuma teorēma. Viņi centās to pierādīt visu 19. gadsimtu, un progresu panāca Čebiševs un Rīmanis. Viņi to saistīja ar Rīmaņa hipotēzi, joprojām nepierādītu hipotēzi par Rīmaņa zeta funkcijas nulles sadalījumu. Pirmskaitļu blīvumu 1896. gadā vienlaikus pierādīja Hadamards un Vallē-Pousins.

Pirmskaitļu teorijā joprojām ir daudz neatrisinātu jautājumu, daži no tiem ir simtiem gadu veci:

• Dvīņu pirmskaitļu hipotēze ir par bezgalīgu skaitu pirmskaitļu pāru, kas atšķiras viens no otra par 2
• Goldbaha minējums: jebkuru pāra skaitli, sākot ar 4, var attēlot kā divu pirmskaitļu summu
• Vai ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu formā n 2 + 1?
• Vai vienmēr ir iespējams atrast pirmskaitli starp n 2 un (n + 1) 2? (to, ka vienmēr ir pirmskaitlis starp n un 2n, pierādīja Čebiševs)
• Vai Fermā pirmskaitļu skaits ir bezgalīgs? Vai pēc 4 ir kādi Fermā pirmskaitļi?
• vai pastāv secīgu pirmskaitļu aritmētiskā progresija jebkuram noteiktam garumam? piemēram, 4. garumam: 251, 257, 263, 269. Maksimālais atrastais garums ir 26.
• Vai aritmētiskā progresijā ir bezgalīgs skaits trīs secīgu pirmskaitļu kopu?
• n 2 - n + 41 ir pirmskaitlis 0 ≤ n ≤ 40. Vai ir bezgalīgs skaits šādu pirmskaitļu? Tas pats jautājums formulai n 2 - 79 n + 1601. Šie skaitļi ir pirmskaitļi 0 ≤ n ≤ 79.
• Vai ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu formā n# + 1? (n# ir rezultāts, reizinot visus pirmskaitļus, kas mazāki par n)
• Vai ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu formā n# -1?
• Vai ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu formā n? + 1?
• Vai ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu formā n? - 1?
• ja p ir pirmskaitlis, vai 2 p -1 vienmēr starp saviem faktoriem nesatur pirmkvadrātus?
• vai Fibonači secībā ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu?

Lielākie dvīņu pirmskaitļi ir 2003663613 × 2 195000 ± 1. Tie sastāv no 58711 cipariem un tika atklāti 2007. gadā.

Lielākais faktoriālais pirmskaitlis (tipa n! ± 1) ir 147855! - 1. Tas sastāv no 142891 cipariem un tika atrasts 2002. gadā.

Lielākais pirmskaitlis (skaitlis formā n# ± 1) ir 1098133# + 1.