Metoda e intervalit- një mënyrë e thjeshtë për të zgjidhur thyesore pabarazitë racionale. Ky është emri për pabarazitë që përmbajnë shprehje racionale (ose thyesore-racionale) që varen nga një ndryshore.

1. Konsideroni, për shembull, pabarazinë e mëposhtme

Metoda e intervalit ju lejon ta zgjidhni atë në disa minuta.

Në anën e majtë të kësaj pabarazie është një funksion racional thyesor. Racionale sepse nuk përmban rrënjë, sinus, apo logaritme - vetëm shprehje racionale. Në të djathtë është zero.

Metoda e intervalit bazohet në vetinë e mëposhtme të një funksioni racional thyesor.

Një funksion racional thyesor mund të ndryshojë shenjë vetëm në ato pika në të cilat është e barabartë me zero ose nuk ekziston.

Le t'ju kujtojmë se si të faktorizoni trinomi kuadratik, pra një shprehje e formës .

Ku dhe janë rrënjët ekuacioni kuadratik.

Vizatojmë një bosht dhe vendosim pikat në të cilat numëruesi dhe emëruesi shkojnë në zero.

Zerot e emëruesit dhe janë pika të shpuara, pasi në këto pika funksioni në anën e majtë të pabarazisë nuk është i përcaktuar (nuk mund të ndahet me zero). Zerot e numëruesit dhe - janë të hijezuara, pasi pabarazia nuk është e rreptë. Kur dhe pabarazia jonë plotësohet, pasi të dyja anët e tij janë të barabarta me zero.

Këto pika e thyejnë boshtin në intervale.

Le të përcaktojmë shenjën e funksionit racional thyesor në anën e majtë të pabarazisë sonë në secilin prej këtyre intervaleve. Kujtojmë se një funksion racional thyesor mund të ndryshojë shenjë vetëm në ato pika në të cilat është i barabartë me zero ose nuk ekziston. Kjo do të thotë që në secilën prej intervaleve midis pikave ku numëruesi ose emëruesi shkon në zero, shenja e shprehjes në anën e majtë të pabarazisë do të jetë konstante - ose "plus" ose "minus".

Prandaj, për të përcaktuar shenjën e funksionit në çdo interval të tillë, marrim çdo pikë që i përket këtij intervali. Ai që është i përshtatshëm për ne.
. Merrni, për shembull, dhe kontrolloni shenjën e shprehjes në anën e majtë të pabarazisë. Secila prej "kllapave" është negative. Ana e majtë ka një shenjë.

Intervali tjetër: . Le të kontrollojmë shenjën në. Ne gjejmë se ana e majtë ka ndryshuar shenjën e saj në .

Le ta marrim. Kur shprehja është pozitive - prandaj, ajo është pozitive gjatë gjithë intervalit nga deri në.

Kur ana e majtë e pabarazisë është negative.

Dhe së fundi, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Kemi gjetur se në cilat intervale shprehja është pozitive. Gjithçka që mbetet është të shkruajmë përgjigjen:

Përgjigje:.

Ju lutemi vini re: shenjat alternohen midis intervaleve. Kjo ndodhi sepse kur kalonte në secilën pikë, pikërisht njëri prej faktorëve linearë ndryshonte shenjë, ndërsa pjesa tjetër e mbante të pandryshuar.

Ne shohim se metoda e intervalit është shumë e thjeshtë. Për të zgjidhur pabarazinë thyesore-racionale duke përdorur metodën e intervalit, ne e reduktojmë atë në formën:

Ose class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \djathtas))(\displaystyle Q\left(x \djathtas)) > 0"> !}, ose ose .

(në anën e majtë është një funksion racional thyesor, në anën e djathtë është zero).

Pastaj shënojmë në vijën numerike pikat në të cilat numëruesi ose emëruesi shkon në zero.
Këto pika e ndajnë të gjithë vijën numerike në intervale, në secilën prej të cilave funksioni thyesor-racional ruan shenjën e tij.
Mbetet vetëm për të gjetur shenjën e saj në çdo interval.
Këtë e bëjmë duke kontrolluar shenjën e shprehjes në çdo pikë që i përket një intervali të caktuar. Pas kësaj, ne shkruajmë përgjigjen. Kjo eshte e gjitha.

Por lind pyetja: a alternojnë gjithmonë shenjat? Jo jo gjithmonë! Duhet të jeni të kujdesshëm dhe të mos vendosni tabela mekanikisht dhe pa menduar.

2. Le të shqyrtojmë një tjetër pabarazi.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \djathtas)^2)(\displaystyle \left(x-1 \djathtas) \ majtas(x-3 \djathtas))>0"> !}

Vendosni përsëri pikat në bosht. Pikat dhe janë shpuar sepse janë zero të emëruesit. Çështja është gjithashtu e prerë, pasi pabarazia është e rreptë.

Kur numëruesi është pozitiv, të dy faktorët në emërues janë negativë. Kjo mund të kontrollohet lehtësisht duke marrë çdo numër nga një interval i caktuar, për shembull, . Ana e majtë ka shenjën:

Kur numëruesi është pozitiv; Faktori i parë në emërues është pozitiv, faktori i dytë është negativ. Ana e majtë ka shenjën:

Situata është e njëjtë! Numëruesi është pozitiv, faktori i parë në emërues është pozitiv, i dyti është negativ. Ana e majtë ka shenjën:

Së fundi, me class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Përgjigje:.

Pse u ndërpre alternimi i shenjave? Sepse kur kalon nëpër një pikë shumëzuesi është "përgjegjës" për të nuk ka ndryshuar shenjë. Rrjedhimisht, e gjithë ana e majtë e pabarazisë sonë nuk ndryshoi shenjë.

konkluzioni: nëse shumëzuesi linear është një fuqi çift (për shembull, në katror), atëherë kur kaloni nëpër një pikë shenja e shprehjes në anën e majtë nuk ndryshon. Në rastin e një shkalle të çuditshme, shenja, natyrisht, ndryshon.

3. Le të shqyrtojmë më shumë rast i vështirë. Ai ndryshon nga ai i mëparshmi në atë që pabarazia nuk është e rreptë:

Ana e majtë është e njëjtë si në problemin e mëparshëm. Fotografia e shenjave do të jetë e njëjtë:

Ndoshta përgjigjja do të jetë e njëjtë? Jo! Shtohet një zgjidhje Kjo ndodh sepse si në anën e majtë ashtu edhe në të djathtë të pabarazisë janë të barabarta me zero - prandaj, kjo pikë është një zgjidhje.

Përgjigje:.

Kjo situatë shpesh ndodh në problemet në Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë. Këtu aplikantët bien në kurth dhe humbasin pikë. Bej kujdes!

4. Çfarë duhet të bëni nëse numëruesi ose emëruesi nuk mund të zbërthehet në faktorët linearë? Konsideroni këtë pabarazi:

Një trinom katror nuk mund të faktorizohet: diskriminuesi është negativ, nuk ka rrënjë. Por kjo është e mirë! Kjo do të thotë se shenja e shprehjes për të gjithë është e njëjtë, dhe konkretisht, pozitive. Mund të lexoni më shumë rreth kësaj në artikullin mbi vetitë e funksioneve kuadratike.

Dhe tani ne mund t'i ndajmë të dyja anët e pabarazisë sonë me një vlerë që është pozitive për të gjithë. Le të arrijmë në një pabarazi ekuivalente:

E cila zgjidhet lehtësisht duke përdorur metodën e intervalit.

Ju lutemi vini re se ne i ndamë të dyja anët e pabarazisë me një vlerë që e dinim me siguri se ishte pozitive. Sigurisht, në përgjithësi, nuk duhet të shumëzoni ose pjesëtoni një pabarazi me vlerë e ndryshueshme, shenja e të cilit nuk dihet.

5 . Le të shqyrtojmë një tjetër pabarazi, në dukje mjaft të thjeshtë:

Unë thjesht dua ta shumëzoj atë me. Por ne jemi tashmë të zgjuar dhe nuk do ta bëjmë këtë. Në fund të fundit, mund të jetë edhe pozitive edhe negative. Dhe ne e dimë se nëse të dyja anët e pabarazisë shumëzohen me një vlerë negative, shenja e pabarazisë ndryshon.

Ne do ta bëjmë atë ndryshe - do të mbledhim gjithçka në një pjesë dhe do të çojmë në emërues i përbashkët. Ana e djathtë do të mbetet zero:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Dhe pas kësaj - aplikoni metoda e intervalit.

Por sot pabarazitë racionale nuk mund të zgjidhin gjithçka. Më saktësisht, jo vetëm të gjithë mund të vendosin. Pak njerëz mund ta bëjnë këtë.
Klitschko

Ky mësim do të jetë i vështirë. Aq i ashpër sa vetëm të Zgjedhurit do të arrijnë në fund. Prandaj, para se të filloni të lexoni, rekomandoj të hiqni nga ekranet gratë, macet, fëmijët shtatzëna dhe...

Hajde, në fakt është e thjeshtë. Le të themi se e keni zotëruar metodën e intervalit (nëse nuk e keni zotëruar, ju rekomandoj të ktheheni dhe ta lexoni) dhe keni mësuar se si të zgjidhni pabarazitë e formës $P\left(x \right) \gt 0$, ku $ P\left(x \right)$ është një polinom ose produkt i polinomeve.

Unë besoj se nuk do të jetë e vështirë për ju të zgjidhni, për shembull, diçka të tillë (nga rruga, provojeni si ngrohje):

\[\fillim(rreshtoj) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \djathtas)\majtas(4x+25 \djathtas) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \djathtas)\left(x-1 \djathtas)\ge 0; \\ & \majtas(8x-((x)^(4)) \djathtas)((\majtas(x-5 \djathtas))^(6))\le 0. \\ \fund (rreshtoj)\]

Tani le ta komplikojmë pak problemin dhe të marrim parasysh jo vetëm polinomet, por të ashtuquajturat fraksione racionale të formës:

ku $P\left(x \right)$ dhe $Q\left(x \right)$ janë të njëjtat polinome të formës $((a)_(n))(x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, ose produkti i polinomeve të tilla.

Kjo do të jetë një pabarazi racionale. Pika themelore është prania e ndryshores $x$ në emërues. Për shembull, këto janë pabarazi racionale:

\[\fillim(rreshtoj) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\majtas(7x+1 \djathtas)\majtas(11x+2 \djathtas))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\majtas(3-x \djathtas))^(2))\majtas(4-((x)^( 2)) \djathtas))\ge 0. \\ \fund (rreshtoj)\]

Dhe kjo nuk është një pabarazi racionale, por pabarazia më e zakonshme, e cila mund të zgjidhet me metodën e intervalit:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Duke parë përpara, do të them menjëherë: ekzistojnë të paktën dy mënyra për të zgjidhur pabarazitë racionale, por të gjitha, në një mënyrë ose në një tjetër, zbresin në metodën e intervaleve tashmë të njohura për ne. Prandaj, para se të analizojmë këto metoda, le të kujtojmë faktet e vjetra, përndryshe nuk do të ketë kuptim nga materiali i ri.

Ajo që duhet të dini tashmë

Asnjëherë nuk ka shumë fakte të rëndësishme. Na duhen vërtet vetëm katër.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit

Po, po: ata do të na ndjekin gjatë gjithë kurrikulës shkollore të matematikës. Dhe në universitet gjithashtu. Ka mjaft nga këto formula, por na duhen vetëm sa vijon:

\[\filloj(radhis) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\majtas(a\pm b \djathtas))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\majtas(a-b \djathtas)\left(a+b \djathtas); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\majtas(a+b \djathtas)\majtas(((a)^(2))-ab+(b) ^ (2)) \djathtas); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\majtas(a-b \djathtas)\majtas(((a)^(2))+ab+(b)^( 2))\djathtas). \\ \fund (radhis)\]

Kushtojini vëmendje dy formulave të fundit - këto janë shuma dhe ndryshimi i kubeve (dhe jo kubi i shumës ose ndryshimit!). Ato janë të lehta për t'u mbajtur mend nëse vëreni se shenja në kllapa e parë përkon me shenjën në shprehjen origjinale, dhe në të dytën është e kundërt me shenjën në shprehjen origjinale.

Ekuacionet lineare

Këto janë më ekuacione të thjeshta të formës $ax+b=0$, ku janë $a$ dhe $b$ numra të rregullt, dhe $a\ne 0$. Ky ekuacion mund të zgjidhet thjesht:

\[\fillim(lidh) & ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \fund (radhis)\]

Më lejoni të vërej se ne kemi të drejtë të pjesëtojmë me koeficientin $a$, sepse $a\ne 0$. Kjo kërkesë është mjaft logjike, pasi për $a=0$ marrim këtë:

Së pari, nuk ka asnjë variabël $x$ në këtë ekuacion. Kjo, në përgjithësi, nuk duhet të na ngatërrojë (kjo ndodh, të themi, në gjeometri, dhe mjaft shpesh), por megjithatë, ky nuk është më një ekuacion linear.

Së dyti, zgjidhja e këtij ekuacioni varet vetëm nga koeficienti $b$. Nëse $b$ është gjithashtu zero, atëherë ekuacioni ynë ka formën $0=0$. Kjo barazi është gjithmonë e vërtetë; kjo do të thotë se $x$ është çdo numër (zakonisht shkruhet kështu: $x\in \mathbb(R)$). Nëse koeficienti $b$ nuk është e barabartë me zero, atëherë barazia $b=0$ nuk plotësohet kurrë, d.m.th. nuk ka përgjigje (shkruani $x\in \varnothing $ dhe lexoni "bashkësia e zgjidhjeve është bosh").

Për të shmangur të gjitha këto vështirësi, ne thjesht supozojmë $a\ne 0$, gjë që nuk na kufizon aspak në të menduarit e mëtejshëm.

Ekuacionet kuadratike

Më lejoni t'ju kujtoj se kështu quhet një ekuacion kuadratik:

Këtu në të majtë është një polinom i shkallës së dytë, dhe përsëri $a\ne 0$ (përndryshe, në vend të një ekuacioni kuadratik, do të marrim një linear). Ekuacionet e mëposhtme zgjidhen përmes diskriminuesit:

1. Nëse $D \gt 0$, marrim dy rrënjë të ndryshme;
2. Nëse $D=0$, atëherë rrënja do të jetë e njëjtë, por e shumëfishimit të dytë (çfarë lloji është ky dhe si të merret parasysh - më shumë për këtë më vonë). Ose mund të themi se ekuacioni ka dy rrënjë identike;
3. Për $D \lt 0$ nuk ka rrënjë fare, dhe shenja e polinomit $a((x)^(2))+bx+c$ për çdo $x$ përkon me shenjën e koeficientit $a. $. Nga rruga, kjo është shumë fakt i dobishëm, për të cilën për disa arsye harrojnë të flasin në mësimet e algjebrës.

Rrënjët vetë llogariten duke përdorur formulën e njohur:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Prandaj, meqë ra fjala, kufizimet në diskriminues. Në fund të fundit, rrënja katrore e numër negativ nuk ekziston. Shumë studentë kanë një rrëmujë të tmerrshme në kokën e tyre për rrënjët, kështu që unë shkruaja në mënyrë specifike gjithë mësimin: çfarë është një rrënjë në algjebër dhe si ta llogarisni atë - unë rekomandoj ta lexoni atë :)

Veprimet me thyesat racionale

Ju tashmë e dini gjithçka që është shkruar më lart nëse keni studiuar metodën e intervalit. Por ajo që do të analizojmë tani nuk ka analoge në të kaluarën - ky është një fakt krejtësisht i ri.

Përkufizimi. Një thyesë racionale është një shprehje e formës

\[\frac(P\majtas(x \djathtas))(Q\majtas(x \djathtas))\]

ku $P\left(x \right)$ dhe $Q\left(x \right)$ janë polinome.

Natyrisht, është e lehtë për të marrë një pabarazi nga një fraksion i tillë - thjesht duhet të shtoni shenjën "më e madhe se" ose "më pak se" në të djathtë. Dhe pak më tej do të zbulojmë se zgjidhja e problemeve të tilla është një kënaqësi, gjithçka është shumë e thjeshtë.

Problemet fillojnë kur ka disa thyesa të tilla në një shprehje. Ata duhet të sillen në një emërues të përbashkët - dhe pikërisht në këtë moment bëhen një numër i madh gabimesh sulmuese.

Prandaj, për të zgjidhur me sukses ekuacionet racionale, duhet të kuptoni fort dy aftësi:

1. Faktorizimi i polinomit $P\left(x \djathtas)$;
2. Në fakt, sjellja e thyesave në një emërues të përbashkët.

Si të faktorizohet një polinom? Shume e thjeshte. Le të kemi një polinom të formës

E barazojmë me zero. Ne marrim një ekuacion prej $n$th shkallë:

\[((a)_(n))((x)^(n))+(a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Le të themi se e zgjidhëm këtë ekuacion dhe morëm rrënjët $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (mos u shqetësoni: në shumicën e rasteve do të ketë jo më shumë se dy nga këto rrënjë) . Në këtë rast, polinomi ynë origjinal mund të rishkruhet si më poshtë:

\[\fillim(lidhoj) & P\majtas(x \djathtas)=((a)_(n))(x)^(n))+(a)_(n-1))(x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\majtas(x -((x)_(1)) \djathtas)\cdot \left(x-((x)_(2)) \djathtas)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \djathtas) \fund (rreshtoj)\]

Kjo eshte e gjitha! Ju lutemi vini re: koeficienti kryesor $((a)_(n))$ nuk është zhdukur askund - do të jetë një shumëzues i veçantë përpara kllapave dhe nëse është e nevojshme, mund të futet në ndonjë nga këto kllapa (praktika tregon se me $((a)_ (n))\ne \pm 1$ ka thuajse gjithmonë thyesa midis rrënjëve).

Detyrë. Thjeshtoni shprehjen:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Zgjidhje. Së pari, le të shohim emëruesit: ata janë të gjithë binomi linearë dhe nuk ka asgjë për të faktorizuar këtu. Pra, le të faktorizojmë numëruesit:

\[\filloj(rreshtoj) & ((x)^(2))+x-20=\majtas(x+5 \djathtas)\majtas(x-4 \djathtas); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\majtas(x-\frac(3)(2) \djathtas)\majtas(x-1 \djathtas)=\majtas(2x- 3 \djathtas)\majtas(x-1 \djathtas); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\majtas(x+2 \djathtas)\majtas(x-\frac(2)(5) \djathtas)=\majtas(x +2 \djathtas)\majtas (2-5x \djathtas). \\\fund (radhis)\]

Ju lutemi vini re: në polinomin e dytë, koeficienti kryesor "2", në përputhje të plotë me skemën tonë, fillimisht u shfaq përpara kllapës, dhe më pas u përfshi në kllapin e parë, pasi fraksioni u shfaq atje.

E njëjta gjë ka ndodhur edhe në polinomin e tretë, vetëm aty është e kundërt edhe rendi i termave. Sidoqoftë, koeficienti "−5" përfundoi duke u përfshirë në kllapin e dytë (mbani mend: mund ta vendosni faktorin në një dhe vetëm një kllapë!), gjë që na shpëtoi nga shqetësimi që lidhet me rrënjët e pjesshme.

Sa i përket polinomit të parë, gjithçka është e thjeshtë: rrënjët e tij kërkohen ose në mënyrë standarde përmes diskriminuesit ose duke përdorur teoremën e Vieta-s.

Le të kthehemi te shprehja origjinale dhe ta rishkruajmë atë me numëruesit e faktorizuar:

\[\fillim(matricë) \frac(\majtas(x+5 \djathtas)\majtas(x-4 \djathtas))(x-4)-\frac(\majtas(2x-3 \djathtas)\majtas( x-1 \djathtas))(2x-3)-\frac(\majtas(x+2 \djathtas)\majtas(2-5x \djathtas))(x+2)= \\ =\majtas(x+5 \djathtas)-\majtas(x-1 \djathtas)-\majtas(2-5x \djathtas)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \fund (matricë)\]

Përgjigje: $5x+4$.

Siç mund ta shihni, asgjë e komplikuar. Pak matematikë e klasës 7-8 dhe kaq. Qëllimi i të gjitha transformimeve është të merret diçka e thjeshtë dhe e lehtë për t'u punuar nga një shprehje komplekse dhe e frikshme.

Megjithatë, kjo nuk do të jetë gjithmonë rasti. Pra, tani do të shohim një problem më serioz.

Por së pari, le të kuptojmë se si të sjellim dy thyesa në një emërues të përbashkët. Algoritmi është jashtëzakonisht i thjeshtë:

1. Faktoroni të dy emëruesit;
2. Merrni parasysh emëruesin e parë dhe shtoni atij faktorë që janë të pranishëm në emëruesin e dytë, por jo në të parën. Produkti që rezulton do të jetë emëruesi i përbashkët;
3. Zbuloni se cilët faktorë i mungon secilës nga thyesat origjinale në mënyrë që emëruesit të bëhen të barabartë me të përbashkëtin.

Ky algoritëm mund t'ju duket si tekst me "shumë shkronja". Prandaj, le të shohim gjithçka duke përdorur një shembull specifik.

Detyrë. Thjeshtoni shprehjen:

\[\majtas(\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \djathtas)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \djathtas)\]

Zgjidhje. Është më mirë të zgjidhen probleme të tilla në shkallë të gjerë në pjesë. Le të shkruajmë se çfarë është në kllapa e parë:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Ndryshe nga problemi i mëparshëm, këtu emëruesit nuk janë aq të thjeshtë. Le të faktorizojmë secilën prej tyre.

Trinomi katror $((x)^(2))+2x+4$ nuk mund të faktorizohet, pasi ekuacioni $((x)^(2))+2x+4=0$ nuk ka rrënjë (diskriminuesi është negativ. ). E lëmë të pandryshuar.

Emëruesi i dytë - polinomi kub $((x)^(3))-8$ - pas ekzaminimit të kujdesshëm është diferenca e kubeve dhe zgjerohet lehtësisht duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x) ^(2))+2x+4 \djathtas)\]

Asgjë tjetër nuk mund të faktorizohet, pasi në kllapa e parë ka një binom linear, dhe në të dytën ka një ndërtim tashmë të njohur për ne, i cili nuk ka rrënjë reale.

Së fundi, emëruesi i tretë është një binom linear që nuk mund të zgjerohet. Kështu, ekuacioni ynë do të marrë formën:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas (((x)^(2))+2x+4 \djathtas))-\frac(1)(x-2)\]

Është mjaft e qartë se emëruesi i përbashkët do të jetë saktësisht $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \djathtas)$, dhe për të reduktuar të gjitha fraksionet në të është e nevojshme për të shumëzuar thyesën e parë në $\left(x-2 \djathtas)$, dhe e fundit - në $\left(((x)^(2))+2x+4 \djathtas)$. Atëherë gjithçka që mbetet është të japim të ngjashme:

\[\fillim(matricë) \frac(x\cdot \majtas(x-2 \djathtas))(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas((x)^(2))+2x+4 \ djathtas))+\frac(((x)^(2))+8)(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x)^(2))+2x+4 \djathtas))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \djathtas))(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x)^(2))+2x +4 \djathtas))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \djathtas)+\majtas(((x)^(2)) +8 \djathtas)-\majtas((x )^(2))+2x+4 \djathtas))(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x)^(2))+2x+4 \djathtas))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas (((x)^(2))+2x+4 \djathtas))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\majtas(x-2 \djathtas)\ majtas (((x)^(2))+2x+4 \djathtas)). \\ \fund (matricë)\]

Kushtojini vëmendje rreshtit të dytë: kur emëruesi është tashmë i zakonshëm, d.m.th. Në vend të tre thyesave të veçanta, ne shkruam një të madhe, nuk duhet t'i hiqni qafe kllapat menjëherë. Është më mirë të shkruani një rresht shtesë dhe të vini re se, të themi, kishte një minus para fraksionit të tretë - dhe nuk do të shkojë askund, por do të "varet" në numëruesin përpara kllapës. Kjo do t'ju shpëtojë nga shumë gabime.

Epo, në rreshtin e fundit është e dobishme të faktorizoni numëruesin. Për më tepër, ky është një katror i saktë, dhe formulat e shkurtuara të shumëzimit na vijnë përsëri në ndihmë. Ne kemi:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x)^(2))+2x+4 \djathtas))= \frac(((\majtas(x-2 \djathtas))^(2)))(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x)^(2))+2x+4 \djathtas) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Tani le të merremi me kllapin e dytë në të njëjtën mënyrë. Këtu do të shkruaj vetëm një zinxhir barazish:

\[\fillim(matrica) \frac(((x)^(2)))((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2))(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas))+\frac(2\cdot \majtas(x+2 \djathtas))(\ majtas(x-2 \djathtas )\cdot \left(x+2 \djathtas))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \majtë(x+2 \djathtas))(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas) ). \\ \fund (matricë)\]

Le të kthehemi te problemi origjinal dhe të shohim produktin:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas))=\frac(1)(x+2)\]

Përgjigje: \[\frac(1)(x+2)\].

Kuptimi i kësaj detyre është i njëjtë me atë të mëparshëm: të tregosh se si mund të thjeshtohen shprehjet racionale nëse i qasesh me mençuri transformimit të tyre.

Dhe tani që i dini të gjitha këto, le të kalojmë në temën kryesore të mësimit të sotëm - zgjidhja e pabarazive racionale të pjesshme. Për më tepër, pas një përgatitjeje të tillë ju do të thyeni vetë pabarazitë si arra.

Mënyra kryesore për të zgjidhur pabarazitë racionale

Ekzistojnë të paktën dy qasje për zgjidhjen e pabarazive racionale. Tani do të shikojmë njërën prej tyre - atë që pranohet përgjithësisht në kursin e matematikës shkollore.

Por së pari le të vërejmë detaj i rëndësishëm. Të gjitha pabarazitë ndahen në dy lloje:

1. Strikte: $f\left(x \djathtas) \gt 0$ ose $f\left(x \djathtas) \lt 0$;
2. Lax: $f\left(x \djathtas)\ge 0$ ose $f\left(x \djathtas)\le 0$.

Pabarazitë e llojit të dytë mund të reduktohen lehtësisht në të parën, si dhe në ekuacionin:

Kjo "shtesë" e vogël $f\left(x \right)=0$ çon në një gjë kaq të pakëndshme si pikat e mbushura - ne u njohëm me to në metodën e intervalit. Përndryshe, nuk ka dallime midis pabarazive strikte dhe jo të rrepta, kështu që le të shohim algoritmin universal:

1. Mblidhni të gjithë elementët jozero në njërën anë të shenjës së pabarazisë. Për shembull, në të majtë;
2. Zvogëloni të gjitha thyesat në një emërues të përbashkët (nëse ka disa thyesa të tilla), sillni të ngjashme. Pastaj, nëse është e mundur, faktorizoni numëruesin dhe emëruesin. Në një mënyrë apo tjetër, do të marrim një pabarazi të formës $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, ku "shënoni" është shenja e pabarazisë .
3. Ne e barazojmë numëruesin me zero: $P\left(x \right)=0$. Ne e zgjidhim këtë ekuacion dhe marrim rrënjët $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $(x)_(3))$, ... Pastaj kërkojmë se emëruesi nuk ishte i barabartë me zero: $Q\left(x \right)\ne 0$. Natyrisht, në thelb duhet të zgjidhim ekuacionin $Q\left(x \right)=0$, dhe marrim rrënjët $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ , $x_(3 )^(*)$, ... (në problemet reale vështirë se do të ketë më shumë se tre rrënjë të tilla).
4. Ne i shënojmë të gjitha këto rrënjë (me dhe pa yje) në një vijë të vetme numerike, dhe rrënjët pa yje janë lyer sipër dhe ato me yje janë shpuar.
5. Vendosim shenjat "plus" dhe "minus", zgjedhim intervalet që na duhen. Nëse pabarazia ka formën $f\left(x \right) \gt 0$, atëherë përgjigja do të jetë intervalet e shënuara me një "plus". Nëse $f\left(x \right) \lt 0$, atëherë ne i shikojmë intervalet me "minuset".

Praktika tregon se vështirësitë më të mëdha shkaktohen nga pikat 2 dhe 4 - transformimet kompetente dhe rregullimi i saktë i numrave në rend rritës. Epo, në hapin e fundit, jini jashtëzakonisht të kujdesshëm: ne gjithmonë vendosim shenja bazuar në pabarazia e fundit e shkruar para se të kalohet te ekuacionet. Ky është një rregull universal, i trashëguar nga metoda e intervalit.

Pra, ekziston një skemë. Le të praktikojnë.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Zgjidhje. Kemi një pabarazi strikte të formës $f\left(x \right) \lt 0$. Natyrisht, pikat 1 dhe 2 nga skema jonë tashmë janë përmbushur: të gjithë elementët e pabarazisë janë mbledhur në të majtë, nuk ka nevojë të sillni asgjë në një emërues të përbashkët. Prandaj, le të kalojmë drejtpërdrejt në pikën e tretë.

Ne e barazojmë numëruesin me zero:

\[\fillim(lidhoj) & x-3=0; \\ & x=3. \fund (radhis)\]

Dhe emëruesi:

\[\fillim(rreshtoj) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \fund (radhis)\]

Kjo është ajo ku shumë njerëz ngecin, sepse në teori ju duhet të shkruani $x+7\ne 0$, siç kërkohet nga ODZ (nuk mund të ndani me zero, kjo është e gjitha). Por në të ardhmen ne do të nxjerrim pikat që erdhën nga emëruesi, kështu që nuk ka nevojë të ndërlikoni përsëri llogaritjet tuaja - shkruani një shenjë të barabartë kudo dhe mos u shqetësoni. Askush nuk do të heqë pikë për këtë.

Pika e katërt. Ne shënojmë rrënjët që rezultojnë në vijën numerike:

Të gjitha pikat janë të fiksuara, pasi pabarazia është e rreptë

Shënim: të gjitha pikat janë të fiksuara, pasi pabarazia origjinale është e rreptë. Dhe këtu nuk ka rëndësi nëse këto pika kanë ardhur nga numëruesi apo emëruesi.

Epo, le të shohim shenjat. Le të marrim çdo numër $((x)_(0)) \gt 3$. Për shembull, $((x)_(0))=100$ (por me të njëjtin sukses mund të merret $((x)_(0))=3.1$ ose $((x)_(0)) = 1 \ 000 \ 000 $). Ne marrim:

Pra, në të djathtë të të gjitha rrënjëve kemi një rajon pozitiv. Dhe kur kalon nëpër secilën rrënjë, shenja ndryshon (nuk do të jetë gjithmonë kështu, por më shumë për këtë më vonë). Prandaj, le të kalojmë në pikën e pestë: rregulloni shenjat dhe zgjidhni atë që ju nevojitet:

Le të kthehemi te pabarazia e fundit që ishte përpara zgjidhjes së ekuacioneve. Në fakt, përkon me atë origjinale, sepse ne nuk kemi bërë asnjë transformim në këtë detyrë.

Meqenëse duhet të zgjidhim një pabarazi të formës $f\left(x \right) \lt 0$, kam hijezuar intervalin $x\in \left(-7;3 \djathtas)$ - është i vetmi i shënuar me një shenjë minus. Kjo është përgjigja.

Përgjigje: $x\in \left(-7;3 \djathtas)$

Kjo eshte e gjitha! Është e vështirë? Jo, nuk është e vështirë. Vërtetë, detyra ishte e lehtë. Tani le ta komplikojmë pak misionin dhe të shqyrtojmë një pabarazi më "të sofistikuar". Kur ta zgjidh, nuk do të jap më llogaritje të tilla të hollësishme - thjesht do të tregoj Pikat kryesore. Në përgjithësi, ne do ta formatojmë atë në të njëjtën mënyrë që do ta formatonim gjatë punës së pavarur ose një provimi.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

\[\frac(\majtas(7x+1 \djathtas)\majtas(11x+2 \djathtas))(13x-4)\ge 0\]

Zgjidhje. Kjo është një pabarazi jo e rreptë e formës $f\left(x \right)\ge 0$. Të gjithë elementët jo zero mblidhen në të majtë, emërues të ndryshëm Nr. Le të kalojmë te ekuacionet.

Numëruesi:

\[\fillim(rreshtoj) & \majtas(7x+1 \djathtas)\majtas(11x+2 \djathtas)=0 \\ & 7x+1=0\Djathtas ((x)_(1))=-\ frak (1) (7); \\ & 11x+2=0\Shigjeta djathtas ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \fund (radhis)\]

Emëruesi:

\[\fillim(lidh) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \fund (radhis)\]

Nuk e di se çfarë lloj perversi e krijoi këtë problem, por rrënjët nuk dolën shumë mirë: do të ishte e vështirë t'i vendosni ato në vijën numerike. Dhe nëse me rrënjën $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ gjithçka është pak a shumë e qartë (ky është numri i vetëm pozitiv - do të jetë në të djathtë), atëherë $ ((x)_(1))=-(1)/(7)\;$ dhe $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ kërkojnë kërkime shtesë: cili është më i madh?

Ju mund ta zbuloni këtë, për shembull, si kjo:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Shpresoj se nuk ka nevojë të shpjegoj pse thyesa numerike $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Nëse është e nevojshme, unë rekomandoj të mbani mend se si të kryeni operacione me fraksione.

Dhe ne shënojmë të tre rrënjët në vijën numerike:

Plotësohen pikat nga numëruesi, pikat nga emëruesi janë shpuar

Po vendosim tabela. Për shembull, mund të merrni $((x)_(0))=1$ dhe të gjeni shenjën në këtë pikë:

\[\fillim(rreshtoj) & f\majtas(x \djathtas)=\frac(\majtas(7x+1 \djathtas)\majtas(11x+2 \djathtas))(13x-4); \\ & f\majtas(1 \djathtas)=\frac(\majtas(7\cdot 1+1 \djathtas)\majtas(11\cdot 1+2 \djathtas))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\fund (rreshtoj)\]

Pabarazia e fundit para ekuacioneve ishte $f\left(x \right)\ge 0$, kështu që ne jemi të interesuar për shenjën plus.

Ne morëm dy grupe: njëri është një segment i zakonshëm dhe tjetri është një rreze e hapur në vijën numerike.

Përgjigje: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \djathtas ) $

Një shënim i rëndësishëm për numrat që zëvendësojmë për të gjetur shenjën në intervalin më të djathtë. Nuk është absolutisht e nevojshme të zëvendësohet numri më i afërt me rrënjën më të djathtë. Ju mund të merrni miliarda ose edhe "plus-pafundësi" - në këtë rast, shenja e polinomit në kllapa, numërues ose emërues, përcaktohet vetëm nga shenja e koeficientit kryesor.

Le të shohim përsëri funksionin $f\left(x \right)$ nga pabarazia e fundit:

Shënimi i tij përmban tre polinome:

\[\filloj(rreshtoj) & ((P)_(1))\majtas(x \djathtas)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\majtas(x \djathtas)=11x+2; \\ & Q\majtas(x \djathtas)=13x-4. \fund (radhis)\]

Të gjithë ata janë binomialë linearë, dhe të gjithë koeficientët kryesorë të tyre (numrat 7, 11 dhe 13) janë pozitivë. Prandaj, kur zëvendësohet shumë numra të mëdhenj Vetë polinomet do të jenë gjithashtu pozitive.

Ky rregull mund të duket tepër i ndërlikuar, por vetëm në fillim, kur analizojmë probleme shumë të lehta. Në pabarazitë serioze, zëvendësimi i "plus-pafundësisë" do të na lejojë të kuptojmë shenjat shumë më shpejt se standardi $((x)_(0))=100$.

Shumë shpejt do të përballemi me sfida të tilla. Por së pari, le të shohim një mënyrë alternative për të zgjidhur pabarazitë racionale të pjesshme.

Mënyra alternative

Këtë teknikë më sugjeroi një nga studentët e mi. Unë vetë nuk e kam përdorur kurrë, por praktika ka treguar se shumë studentë e kanë vërtet më të përshtatshme për të zgjidhur pabarazitë në këtë mënyrë.

Pra, të dhënat fillestare janë të njëjta. Ne duhet të zgjidhim pabarazinë racionale thyesore:

\[\frac(P\majtas(x \djathtas))(Q\majtas(x \djathtas)) \gt 0\]

Le të mendojmë: pse polinomi $Q\left(x \right)$ është “më i keq” se polinomi $P\left(x \djathtas)$? Pse duhet të kemi parasysh grupe të veçanta rrënjët (me dhe pa yll), mendoni për pikat e shpuara etj.? Është e thjeshtë: një thyesë ka një fushë përkufizimi, sipas të cilit thyesa ka kuptim vetëm kur emëruesi i saj është i ndryshëm nga zero.

Përndryshe, nuk ka dallime midis numëruesit dhe emëruesit: ne gjithashtu e barazojmë atë me zero, kërkojmë rrënjët, pastaj i shënojmë në vijën numerike. Pra, pse të mos zëvendësoni vijën thyesore (në fakt, shenjën e ndarjes) me shumëzim të zakonshëm dhe të shkruani të gjitha kërkesat e ODZ në formën e një pabarazie të veçantë? Për shembull, si kjo:

\[\frac(P\majtas(x \djathtas))(Q\majtas(x \djathtas)) \gt 0\Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(rreshtoj) & P\majtas(x \djathtas)\cdot Q \majtas(x \djathtas) \gt 0, \\ & Q\majtas(x \djathtas)\ne 0. \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Ju lutemi vini re: kjo qasje do ta reduktojë problemin në metodën e intervalit, por nuk do ta komplikojë aspak zgjidhjen. Në fund të fundit, ne ende do të barazojmë polinomin $Q\left(x \right)$ me zero.

Le të shohim se si funksionon kjo në problemet reale.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Zgjidhje. Pra, le të kalojmë në metodën e intervalit:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(rreshtoj) & \left(x+8 \djathtas)\majtas(x-11 \djathtas) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Pabarazia e parë mund të zgjidhet në mënyrë elementare. Ne thjesht barazojmë çdo kllapa me zero:

\[\fillim(rreshtoj) & x+8=0\Djathtas shigjetë ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Djathtas ((x)_(2))=11. \\ \fund (radhis)\]

Pabarazia e dytë është gjithashtu e thjeshtë:

Shënoni pikat $((x)_(1))$ dhe $((x)_(2))$ në rreshtin numerik. Të gjithë ata janë rrëzuar, pasi pabarazia është e rreptë:

Pika e duhur u hoq dy herë. Kjo është mirë.

Kushtojini vëmendje pikës $x=11$. Rezulton se është "e dyfishtë e shpuar": nga njëra anë, e shpojmë për shkak të ashpërsisë së pabarazisë, nga ana tjetër, për shkak të kërkesës shtesë të DL.

Në çdo rast, do të jetë vetëm një pikë e shpuar. Prandaj, ne rregullojmë shenjat për pabarazinë $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - e fundit që pamë para se të fillonim zgjidhjen e ekuacioneve:

Ne jemi të interesuar për rajonet pozitive, pasi po zgjidhim një pabarazi të formës $f\left(x \right) \gt 0$ - do t'i hijezojmë ato. Mbetet vetëm të shkruajmë përgjigjen.

Përgjigju. $x\in \left(-\infty ;-8 \djathtas)\bigcup \left(11;+\infty \djathtas)$

Duke përdorur këtë zgjidhje si shembull, do të doja t'ju paralajmëroja kundër një gabimi të zakonshëm midis studentëve fillestarë. Domethënë: mos hapni kurrë kllapa në pabarazi! Përkundrazi, përpiquni të faktorizoni gjithçka - kjo do të thjeshtojë zgjidhjen dhe do t'ju shpëtojë nga shumë probleme.

Tani le të provojmë diçka më të ndërlikuar.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

\[\frac(\majtas(2x-13 \djathtas)\majtas(12x-9 \djathtas))(15x+33)\le 0\]

Zgjidhje. Kjo është një pabarazi jo e rreptë e formës $f\left(x \right)\le 0$, kështu që këtu duhet t'i kushtoni vëmendje pikave të hijezuara.

Le të kalojmë në metodën e intervalit:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & \majtas(2x-13 \djathtas)\majtas(12x-9 \djathtas)\majtas(15x+33 \djathtas)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Le të shkojmë te ekuacioni:

\[\filloj(rreshtoj) & \majtas(2x-13 \djathtas)\majtas(12x-9 \djathtas)\majtas(15x+33 \djathtas)=0 \\ & 2x-13=0\Shigjeta djathtas ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Djathtas ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Djathtas ((x)_(3))=-2.2. \\ \fund (radhis)\]

Ne marrim parasysh kërkesat shtesë:

Ne shënojmë të gjitha rrënjët që rezultojnë në vijën numerike:

Nëse një pikë është edhe e shpuar edhe e mbushur, ajo konsiderohet e shpuar

Përsëri, dy pika "mbivendosen" njëra-tjetrën - kjo është normale, do të jetë gjithmonë kështu. Është e rëndësishme vetëm të kuptohet se një pikë e shënuar si e shpuar dhe e lyer është në të vërtetë një pikë e shpuar. Ato. "pricking" - më shumë efekt i fortë se sa "pikturë".

Kjo është absolutisht logjike, sepse duke shtypur ne shënojmë pika që ndikojnë në shenjën e funksionit, por nuk marrin pjesë vetë në përgjigje. Dhe nëse në një moment numri nuk na përshtatet më (për shembull, nuk bie në ODZ), ne e kalojmë atë nga shqyrtimi deri në fund të detyrës.

Në përgjithësi, ndaloni së filozofuari. Ne vendosim shenja dhe pikturojmë mbi ato intervale që janë shënuar me një shenjë minus:

Përgjigju. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \djathtas)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \djathtas]$.

Dhe përsëri doja të tërhiqja vëmendjen në këtë ekuacion:

\[\majtas(2x-13 \djathtas)\majtas(12x-9 \djathtas)\majtas(15x+33 \djathtas)=0\]

Edhe një herë: kurrë mos i hapni kllapat në ekuacione të tilla! Ju vetëm do t'i bëni gjërat më të vështira për veten tuaj. Mbani mend: produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Rrjedhimisht, ky ekuacion thjesht "shpëtohet" në disa më të vogla, të cilat i zgjidhëm në problemin e mëparshëm.

Duke marrë parasysh shumësinë e rrënjëve

Nga problemet e mëparshme është e lehtë të shihet se janë pabarazitë jo strikte ato që janë më të vështirat, sepse në to duhet të mbani gjurmët e pikave të hijezuara.

Por ka një të keqe edhe më të madhe në botë - këto janë rrënjë të shumta në pabarazitë. Këtu nuk keni më nevojë të mbani gjurmët e disa pikave me hije - këtu shenja e pabarazisë mund të mos ndryshojë papritur kur kalon nëpër të njëjtat pika.

Ne ende nuk kemi shqyrtuar diçka të tillë në këtë mësim (edhe pse një problem i ngjashëm haset shpesh në metodën e intervalit). Prandaj, ne prezantojmë një përkufizim të ri:

Përkufizimi. Rrënja e ekuacionit $((\left(x-a \djathtas))^(n))=0$ është e barabartë me $x=a$ dhe quhet rrënja e shumëzimit $n$th.

Në fakt, ne nuk jemi veçanërisht të interesuar për vlerën e saktë të shumëfishimit. E vetmja gjë që ka rëndësi është nëse i njëjti numër $n$ është çift apo tek. Sepse:

1. Nëse $x=a$ është një rrënjë e shumëfishimit çift, atëherë shenja e funksionit nuk ndryshon kur kalon nëpër të;
2. Dhe anasjelltas, nëse $x=a$ është një rrënjë e shumëfishimit tek, atëherë shenja e funksionit do të ndryshojë.

Të gjitha problemet e mëparshme të diskutuara në këtë mësim janë një rast i veçantë i rrënjës së shumëfishimit tek: kudo shumëfishimi është i barabartë me një.

Dhe më tej. Para se të fillojmë të zgjidhim problemet, do të doja të tërhiqja vëmendjen te një hollësi që duket e qartë për një student me përvojë, por që i shtyn shumë fillestarë në hutim. Gjegjësisht:

Rrënja e shumëfishimit $n$ lind vetëm në rastin kur e gjithë shprehja ngrihet në këtë fuqi: $((\left(x-a \djathtas))^(n))$, dhe jo $\left(((x) ^( n))-a \djathtas)$.

Edhe një herë: kllapa $((\left(x-a \djathtas))^(n))$ na jep rrënjën $x=a$ të shumëfishimit $n$, por kllapa $\left(((x)^( n)) -a \right)$ ose, siç ndodh shpesh, $(a-((x)^(n)))$ na jep një rrënjë (ose dy rrënjë, nëse $n$ është çift) të shumëzisë së parë , pavarësisht se çfarë është e barabartë me $n$.

Krahaso:

\[((\majtas(x-3 \djathtas))^(5)=0\Djathtas shigjetë x=3\majtas(5k \djathtas)\]

Gjithçka është e qartë këtu: e gjithë kllapa u ngrit në fuqinë e pestë, kështu që prodhimi që morëm ishte rrënja e fuqisë së pestë. Dhe tani:

\[\majtas(((x)^(2))-4 \djathtas)=0\Djathtas ((x)^(2))=4\Djathtas x=\pm 2\]

Ne kemi dy rrënjë, por të dyja kanë shumëfishimin e parë. Ose ja një tjetër:

\[\majtas(((x)^(10))-1024 \djathtas)=0\Djathtas ((x)^(10))=1024\Djathtas x=\pm 2\]

Dhe mos lejoni që shkalla e dhjetë t'ju shqetësojë. Gjëja kryesore është që 10 është një numër çift, kështu që në dalje kemi dy rrënjë, dhe të dyja kanë përsëri shumëfishin e parë.

Në përgjithësi, kini kujdes: shumëfishimi ndodh vetëm kur shkalla i referohet të gjithë kllapave, jo vetëm ndryshores.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

\[\frac(((x)^(2))((\majtas(6-x \djathtas))^(3))\majtas(x+4 \djathtas))((\majtas(x+7 \djathtas))^(5)))\ge 0\]

Zgjidhje. Le të përpiqemi ta zgjidhim mënyrë alternative- përmes kalimit nga e veçanta te produkti:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & ((x)^(2))((\majtas(6-x \djathtas))^(3))\majtas(x+4 \djathtas)\cdot ( (\majtas(x+7 \djathtas))^(5))\ge 0, \\ & ((\majtas(x+7 \djathtas))^(5))\ne 0. \\ \fund (rreshtoj )\ drejtë.\]

Le të merremi me pabarazinë e parë duke përdorur metodën e intervalit:

\[\filloj(rreshtoj) & ((x)^(2))(\majtas(6-x \djathtas))^(3))\majtas(x+4 \djathtas)\cdot ((\majtas( x+7 \djathtas))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Djathtas shigjetë x=0\majtas(2k \djathtas); \\ & ((\majtas(6-x \djathtas))^(3)=0\Djathtas shigjetë x=6\majtas(3k \djathtas); \\ & x+4=0\Djathtas shigjeta x=-4; \\ & ((\majtas(x+7 \djathtas))^(5))=0\Djathtas shigjetë x=-7\majtas(5k \djathtas). \\ \fund (radhis)\]

Për më tepër, ne zgjidhim pabarazinë e dytë. Në fakt, ne e kemi zgjidhur tashmë, por në mënyrë që recensuesit të mos gjejnë gabime me zgjidhjen, është më mirë ta zgjidhim atë përsëri:

\[((\majtas(x+7 \djathtas))^(5))\ne 0\Djathtas x\ne -7\]

Ju lutemi vini re: nuk ka shumëfishime në pabarazinë e fundit. Në fakt: çfarë ndryshimi ka sa herë e kaloni pikën $x=-7$ në vijën numerike? Të paktën një herë, të paktën pesë herë, rezultati do të jetë i njëjtë: një pikë e shpuar.

Le të shënojmë gjithçka që kemi marrë në vijën numerike:

Siç thashë, pika $x=-7$ përfundimisht do të shpohet. Shumëfishimet janë renditur në bazë të zgjidhjes së pabarazisë duke përdorur metodën e intervalit.

Gjithçka që mbetet është të vendosni shenjat:

Meqenëse pika $x=0$ është një rrënjë e shumëfishimit çift, shenja nuk ndryshon kur kalon nëpër të. Pikat e mbetura kanë një shumësi të çuditshme, dhe gjithçka është e thjeshtë me to.

Përgjigju. $x\in \left(-\infty ;-7 \djathtas)\bigcup \left[ -4;6 \djathtas]$

Edhe një herë, kushtojini vëmendje $x=0$. Për shkak të shumëfishimit të barabartë, lind një efekt interesant: gjithçka në të majtë të saj është e lyer sipër, gjithçka në të djathtë është gjithashtu e lyer, dhe vetë pika është pikturuar plotësisht.

Si rezultat, nuk ka nevojë të izolohet gjatë regjistrimit të përgjigjes. Ato. nuk ka nevojë të shkruani diçka si $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (edhe pse formalisht një përgjigje e tillë do të ishte gjithashtu e saktë). Në vend të kësaj, ne shkruajmë menjëherë $x\in \left[ -4;6 \djathtas]$.

Efekte të tilla janë të mundshme vetëm me rrënjë të shumëfishta. Dhe në problemin e radhës do të hasim në "manifestimin" e kundërt të këtij efekti. Gati?

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

\[\frac(((\majtas(x-3 \djathtas))^(4))\majtas(x-4 \djathtas))((\majtas(x-1 \djathtas))^(2)) \majtas(7x-10-((x)^(2)) \djathtas))\ge 0\]

Zgjidhje. Këtë herë do të ndjekim skemën standarde. Ne e barazojmë numëruesin me zero:

\[\fillim(rreshtoj) & ((\majtas(x-3 \djathtas))^(4))\majtas(x-4 \djathtas)=0; \\ & ((\majtas(x-3 \djathtas))^(4))=0\Djathtas ((x)_(1))=3\majtas(4k \djathtas); \\ & x-4=0\Shigjeta djathtas ((x)_(2))=4. \\ \fund (radhis)\]

Dhe emëruesi:

\[\filloj(rreshtoj) & ((\majtas(x-1 \djathtas))^(2))\majtas(7x-10-((x)^(2)) \djathtas)=0; \\ & ((\majtas(x-1 \djathtas))^(2)=0\Djathtas shigjetë x_(1)^(*)=1\majtas(2k \djathtas); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Shigjeta djathtas x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \fund (radhis)\]

Meqenëse po zgjidhim një pabarazi jo të rreptë të formës $f\left(x \right)\ge 0$, rrënjët nga emëruesi (që kanë yllza) do të hiqen dhe ato nga numëruesi do të hiqen.

Ne vendosim shenja dhe hijezojmë zonat e shënuara me një "plus":

Pika $x=3$ është e izoluar. Kjo është pjesë e përgjigjes

Para se të shkruajmë përgjigjen përfundimtare, le t'i hedhim një vështrim nga afër fotos:

1. Pika $x=1$ ka një shumësi çift, por është vetë e shpuar. Rrjedhimisht, do të duhet të izolohet në përgjigje: duhet të shkruani $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \djathtas)$, dhe jo $x\in \left(-\ infty ;2 \djathtas)$.
2. Pika $x=3$ gjithashtu ka një shumësi çift dhe është e hijezuar. Rregullimi i shenjave tregon se pika në vetvete na përshtatet, por një hap majtas ose djathtas - dhe ne e gjejmë veten në një zonë që definitivisht nuk na përshtatet. Pika të tilla quhen të izoluara dhe shkruhen në formën $x\in \left\( 3 \djathtas\)$.

Ne kombinojmë të gjitha pjesët e marra në një grup të përbashkët dhe shkruajmë përgjigjen.

Përgjigje: $x\in \left(-\infty ;1 \djathtas)\bigcup \left(1;2 \djathtas)\bigcup \majtas\( 3 \djathtas\)\bigcup \majtas[ 4;5 \djathtas) $

Përkufizimi. Zgjidhja e pabarazisë do të thotë gjeni grupin e të gjitha zgjidhjeve të tij, ose provoni se ky grup është bosh.

Do të duket: çfarë mund të jetë e pakuptueshme këtu? Po, fakti i çështjes është se grupet mund të përcaktohen në mënyra të ndryshme. Le të shkruajmë përsëri përgjigjen për problemin e fundit:

Ne lexojmë fjalë për fjalë atë që është shkruar. Ndryshorja "x" i përket një grupi të caktuar, i cili fitohet duke kombinuar (shenjën "U") katër grupe të veçanta:

• Intervali $\left(-\infty ;1 \right)$, që fjalë për fjalë do të thotë “të gjithë numrat më të vegjël se një, por jo vetë njësia”;
• Intervali $\left(1;2 \djathtas)$, d.m.th. "të gjithë numrat në rangun nga 1 në 2, por jo vetë numrat 1 dhe 2";
• Kompleti $\left\( 3 \djathtas\)$, i përbërë nga një numër i vetëm - tre;
• Intervali $\left[ 4;5 \djathtas)$ që përmban të gjithë numrat në rangun nga 4 në 5, si dhe vetë katër, por jo pesë.

Pika e tretë është me interes këtu. Ndryshe nga intervalet, të cilat përcaktojnë grupe të pafundme numrash dhe tregojnë vetëm kufijtë e këtyre grupeve, grupi $\left\( 3 \djathtas\)$ specifikon rreptësisht një numër me numërim.

Për të kuptuar se po rendisim numra specifikë të përfshirë në grup (dhe jo duke vendosur kufij apo ndonjë gjë tjetër), përdoren mbajtëset kaçurrela. Për shembull, shënimi $\left\( 1;2 \djathtas\)$ do të thotë saktësisht "një grup i përbërë nga dy numra: 1 dhe 2", por jo një segment nga 1 në 2. Mos i ngatërroni këto koncepte në asnjë rrethanë .

Rregulla për mbledhjen e shumëfishave

Epo, në fund të mësimit të sotëm, një kanaçe e vogël nga Pavel Berdov.

Studentët e vëmendshëm ndoshta tashmë kanë pyetur veten: çfarë do të ndodhë nëse numëruesi dhe emëruesi kanë të njëjtat rrënjë? Pra, rregulli i mëposhtëm funksionon:

Shumëfishime rrënjë të njëjta paloset. Gjithmonë. Edhe nëse kjo rrënjë ndodh edhe në numërues edhe në emërues.

Ndonjëherë është më mirë të vendosësh sesa të flasësh. Prandaj, ne zgjidhim problemin e mëposhtëm:

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\majtas(((x)^(2))-16 \djathtas)\majtas((x)^(2))+ 9x+14 \djathtas))\ge 0\]

\[\filloj(rreshtoj) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \fund (radhis)\]

Asgjë e veçantë ende. Ne e barazojmë emëruesin me zero:

\[\filloj(rreshtoj) & \left(((x)^(2))-16 \djathtas)\majtas(((x)^(2))+9x+14 \djathtas)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Shigjeta djathtas x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Shigjeta djathtas x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \fund (radhis)\]

U zbuluan dy rrënjë identike: $((x)_(1))=-2$ dhe $x_(4)^(*)=-2$. Të dyja kanë shumësinë e parë. Prandaj, ne i zëvendësojmë ato me një rrënjë $x_(4)^(*)=-2$, por me një shumësi prej 1+1=2.

Përveç kësaj, ka edhe rrënjë identike: $((x)_(2))=-4$ dhe $x_(2)^(*)=-4$. Ato janë gjithashtu të shumëzisë së parë, kështu që do të mbetet vetëm $x_(2)^(*)=-4$ e shumëfishimit 1+1=2.

Ju lutemi vini re: në të dyja rastet, ne lamë saktësisht rrënjën "e shpuar" dhe përjashtuam atë "të pikturuar" nga shqyrtimi. Sepse në fillim të mësimit ne ramë dakord: nëse një pikë është edhe e shpuar dhe e lyer, atëherë ne ende e konsiderojmë atë të shpuar.

Si rezultat, ne kemi katër rrënjë, dhe të gjitha u prenë:

\[\fillim(lidh) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\majtas(2k \djathtas); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\majtas(2k \djathtas). \\ \fund (radhis)\]

Ne i shënojmë ato në vijën numerike, duke marrë parasysh shumësinë:

Ne vendosim tabela dhe pikturojmë mbi zonat me interes për ne:

Të gjitha. Nuk ka pika të izoluara apo perversione të tjera. Ju mund ta shkruani përgjigjen.

Përgjigju. $x\in \left(-\infty ;-7 \djathtas)\bigcup \left(4;+\infty \djathtas)$.

Rregulla për shumëzimin e shumëfishave

Ndonjëherë ndodh një situatë edhe më e pakëndshme: një ekuacion që ka rrënjë të shumta ngrihet vetë në njëfarë fuqie. Në këtë rast, shumëzimet e të gjitha rrënjëve origjinale ndryshojnë.

Kjo është e rrallë, kështu që shumica e studentëve nuk kanë përvojë në zgjidhjen e problemeve të tilla. Dhe rregulli këtu është:

Kur një ekuacion ngrihet në fuqinë $n$, shumëzimet e të gjitha rrënjëve të tij rriten gjithashtu me $n$ herë.

Me fjalë të tjera, ngritja në një fuqi çon në shumëzimin e shumëfishave me të njëjtën fuqi. Le të shohim këtë rregull duke përdorur një shembull:

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

\[\frac(x((\majtas(((x)^(2))-6x+9 \djathtas))^(2))(\majtas(x-4 \djathtas))^(5)) )(((\majtas(2-x \djathtas))^(3))(\majtas(x-1 \djathtas))^(2)))\le 0\]

Zgjidhje. Ne e barazojmë numëruesin me zero:

Produkti është zero kur të paktën një nga faktorët është zero. Gjithçka është e qartë me faktorin e parë: $x=0$. Por atëherë fillojnë problemet:

\[\fillim(rreshtoj) & ((\majtas(((x)^(2))-6x+9 \djathtas))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\majtas(2k \djathtas); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\majtas(2k \djathtas)\majtas(2k \djathtas) \ \& ((x)_(2))=3\majtas(4k \djathtas) \\ \fund (rreshtoj)\]

Siç e shohim, ekuacioni $((x)^(2))-6x+9=0$ ka një rrënjë të vetme të shumëzimit të dytë: $x=3$. I gjithë ky ekuacion është më pas në katror. Prandaj, shumësia e rrënjës do të jetë $2\cdot 2=4$, që është ajo që ne përfundimisht e shkruajmë.

\[((\majtas(x-4 \djathtas))^(5)=0\Djathtas shigjetë x=4\majtas(5k \djathtas)\]

Nuk ka probleme as me emëruesin:

\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas(2-x \djathtas))^(3))(\majtas(x-1 \djathtas))^(2))=0; \\ & ((\majtas(2-x \djathtas))^(3)=0\Djathtas shigjetë x_(1)^(*)=2\majtas(3k \djathtas); \\ & ((\majtas(x-1 \djathtas))^(2)=0\Djathtas shigjetë x_(2)^(*)=1\majtas(2k \djathtas). \\ \fund (radhis)\]

Në total, morëm pesë pika: dy të shpuara dhe tre të lyera. Nuk ka rrënjë që përputhen në numërues dhe emërues, kështu që ne thjesht i shënojmë ato në vijën numerike:

Ne rregullojmë shenjat duke marrë parasysh shumëzimet dhe pikturojmë intervalet që na interesojnë:

Përsëri një pikë e izoluar dhe një e shpuar

Për shkak të rrënjëve të shumëfishimit, ne përsëri morëm disa elementë "jo standardë". Kjo është $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \djathtas)$, dhe jo $x\in \left[ 0;2 \djathtas)$, dhe gjithashtu një pikë e izoluar $ x\in \majtas\( 3 \djathtas\)$.

Përgjigju. $x\in \left[ 0;1 \djathtas)\bigcup \left(1;2 \djathtas)\bigcup \majtas\( 3 \djathtas\)\bigcup \majtas[ 4;+\infty \djathtas)$

Siç mund ta shihni, gjithçka nuk është aq e ndërlikuar. Gjëja kryesore është vëmendja. Pjesa e fundit e këtij mësimi i kushtohet transformimeve - të njëjtat që diskutuam në fillim.

Konvertime paraprake

Pabarazitë që do të shqyrtojmë në këtë pjesë nuk mund të quhen komplekse. Sidoqoftë, ndryshe nga detyrat e mëparshme, këtu do të duhet të aplikoni aftësi nga teoria e thyesave racionale - faktorizimi dhe reduktimi në një emërues të përbashkët.

Ne e diskutuam këtë çështje në detaje në fillim të mësimit të sotëm. Nëse nuk jeni i sigurt se e kuptoni se për çfarë po flas, ju rekomandoj shumë të ktheheni dhe ta përsërisni. Sepse nuk ka kuptim të grumbulloni metoda për zgjidhjen e pabarazive nëse "lundroni" në konvertimin e thyesave.

NË detyre shtepie Nga rruga, do të ketë gjithashtu shumë detyra të ngjashme. Ato vendosen në një nënseksion të veçantë. Dhe atje do të gjeni shembuj shumë jo të parëndësishëm. Por kjo do të jetë në detyrat e shtëpisë, dhe tani le të shohim disa pabarazi të tilla.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Zgjidhje. Lëvizni gjithçka në të majtë:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Reduktojmë në një emërues të përbashkët, hapim kllapat dhe sjellim terma të ngjashëm në numërues:

\[\fillo(rreshtoj) & \frac(x\cdot x)(\majtas(x-1 \djathtas)\cdot x)-\frac(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x-1 \ djathtas))(x\cdot \left(x-1 \djathtas))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\majtas(((x)^(2))-2x-x+2 \djathtas))(x\majtas(x-1 \djathtas)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\majtas(x-1 \djathtas))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\majtas(x-1 \djathtas))\le 0. \\\fund (rreshtoj)\]

Tani kemi para nesh një pabarazi klasike thyesore-racionale, zgjidhja e së cilës nuk është më e vështirë. Unë propozoj ta zgjidhim atë duke përdorur një metodë alternative - përmes metodës së intervaleve:

\[\fillim(rreshtoj) & \majtas(3x-2 \djathtas)\cdot x\cdot \majtas(x-1 \djathtas)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \fund (radhis)\]

Mos harroni kufizimin që vjen nga emëruesi:

Ne shënojmë të gjithë numrat dhe kufizimet në rreshtin numerik:

Të gjitha rrënjët kanë shumësinë e parë. Nuk ka problem. Ne thjesht vendosim tabela dhe ngjyrosim mbi zonat që na duhen:

Kjo është e gjitha. Ju mund ta shkruani përgjigjen.

Përgjigju. $x\in \left(-\infty ;0 \djathtas)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \djathtas)$.

Sigurisht, ky ishte një shembull shumë i thjeshtë. Pra, tani le ta shohim problemin më seriozisht. Dhe nga rruga, niveli i kësaj detyre është mjaft në përputhje me të pavarur dhe testet për këtë temë në klasën e 8-të.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Zgjidhje. Lëvizni gjithçka në të majtë:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Para se t'i sjellim të dyja thyesat në një emërues të përbashkët, le t'i faktorizojmë këta emërues. Po sikur të dalin të njëjtat kllapa? Me emëruesin e parë është e lehtë:

\[((x)^(2))+8x-9=\majtas(x-1 \djathtas)\majtas(x+9 \djathtas)\]

E dyta është pak më e vështirë. Mos ngurroni të shtoni një faktor konstant në kllapa ku shfaqet fraksioni. Mbani mend: polinomi origjinal kishte koeficientë të plotë, kështu që ka një shans të mirë që faktorizimi të ketë koeficientë të plotë (në fakt, gjithmonë do të ketë, përveç nëse diskriminuesi është irracional).

\[\fillo(rreshtoj) & 3((x)^(2))-5x+2=3\majtas(x-1 \djathtas)\majtas(x-\frac(2)(3) \djathtas)= \\ & =\majtas(x-1 \djathtas)\majtas(3x-2 \djathtas) \fund (rreshtoj)\]

Siç mund ta shihni, ekziston një kllapë e zakonshme: $\left(x-1 \right)$. Ne kthehemi te pabarazia dhe i sjellim të dy thyesat në një emërues të përbashkët:

\[\fillo(rreshtoj) & \frac(1)(\majtas(x-1 \djathtas)\majtas(x+9 \djathtas))-\frac(1)(\majtas(x-1 \djathtas)\ majtas(3x-2 \djathtas))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \majtas(3x-2 \djathtas)-1\cdot \left(x+9 \djathtas))(\majtas(x-1 \djathtas)\majtas(x+9 \djathtas )\majtas(3x-2 \djathtas))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\majtas(x-1 \djathtas)\majtas(x+9 \djathtas)\majtas(3x-2 \djathtas))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\majtas(x-1 \djathtas)\majtas(x+9 \djathtas)\majtas(3x-2 \djathtas))\ge 0; \\ \fund (radhis)\]

Ne e barazojmë emëruesin me zero:

\[\fillim(rreshtoj) & \left(x-1 \djathtas)\majtas(x+9 \djathtas)\majtas(3x-2 \djathtas)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \fund( rreshtoj)\]

Nuk ka shumëfisha ose rrënjë që përputhen. Ne shënojmë katër numra në rresht:

Ne vendosim tabela:

Ne e shkruajmë përgjigjen.

Përgjigje: $x\in \left(-\infty;-9 \djathtas)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \djathtas)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \ djathtas) $.

Metoda e intervalitështë një mënyrë universale për të zgjidhur pothuajse çdo pabarazi që shfaqet në një kurs shkollor algjebër. Ai bazohet në vetitë e mëposhtme të funksioneve:

1. Një funksion i vazhdueshëm g(x) mund të ndryshojë shenjë vetëm në pikën në të cilën është e barabartë me 0. Grafikisht, kjo do të thotë se grafiku funksion të vazhdueshëm mund të lëvizë nga një gjysmë plan në tjetrin vetëm nëse kalon boshtin e abshisave (kujtojmë se ordinata e çdo pike që shtrihet në boshtin OX (boshti i abshisës) është e barabartë me zero, domethënë vlera e funksionit në këtë pikë është 0):

Shohim që funksioni y=g(x) i paraqitur në grafik e pret boshtin OX në pikat x= -8, x=-2, x=4, x=8. Këto pika quhen zero të funksionit. Dhe në të njëjtat pika funksioni g(x) ndryshon shenjë.

2. Funksioni gjithashtu mund të ndryshojë shenjën në zero të emëruesit - shembulli më i thjeshtë Funksioni i njohur:

Ne shohim se funksioni ndryshon shenjën në rrënjën e emëruesit, në pikën , por nuk zhduket në asnjë pikë. Kështu, nëse një funksion përmban një fraksion, ai mund të ndryshojë shenjën në rrënjët e emëruesit.

2. Megjithatë, funksioni nuk ndryshon gjithmonë shenjën në rrënjën e numëruesit ose në rrënjën e emëruesit. Për shembull, funksioni y=x 2 nuk ndryshon shenjë në pikën x=0:

Sepse ekuacioni x 2 =0 ka dy rrënjë të barabarta x=0, në pikën x=0 funksioni duket se kthehet në 0 dy herë.

Funksioni ndryshon shenjën në zero të numëruesit, , por nuk e ndryshon shenjën në zero të emëruesit: , meqë rrënja është rrënja e shumëzimit të dytë, pra e shumëfishimit çift:

E rëndësishme! Në rrënjët e shumëfishimit, funksioni nuk ndryshon shenjë.

Shënim! Çdo jolineare Pabarazitë në kurset e algjebrës shkollore zakonisht zgjidhen duke përdorur metodën e intervaleve.

Unë ju ofroj një të detajuar, pas së cilës mund të shmangni gabimet kur zgjidhjen e pabarazive jolineare.

1. Së pari ju duhet të sillni pabarazinë në formë

P(x)V0,

ku V është shenja e pabarazisë:<,>,≤ ose ≥. Për ta bërë këtë ju duhet:

a) zhvendosni të gjithë termat në anën e majtë të pabarazisë,

b) gjeni rrënjët e shprehjes që rezulton,

c) faktorizoni anën e majtë të pabarazisë

d) shkruani faktorë të njëjtë si fuqi.

Kujdes! Hapi i fundit duhet bërë për të mos gabuar me shumësinë e rrënjëve - nëse rezultati është një shumëzues në një fuqi të barabartë, atëherë rrënja përkatëse ka një shumësi të barabartë.

2. Paraqitni rrënjët e gjetura në boshtin e numrave.

3. Nëse pabarazia është e rreptë, atëherë rrathët që tregojnë rrënjët në boshtin numerik lihen "bosh" nëse pabarazia nuk është e rreptë, atëherë rrathët plotësohen.

4. Ne zgjedhim rrënjë të shumëfishta madje - në to P(x) shenja nuk ndryshon.

5. Përcaktoni shenjën P(x) në hendekun më të djathtë. Për ta bërë këtë, merrni një vlerë arbitrare x 0, e cila është më e madhe se rrënja më e madhe dhe zëvendësojeni në P(x).

Nëse P(x 0)>0 (ose ≥0), atëherë në hapësirën më të djathtë vendosim shenjën "+".

Nëse P (x 0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Kur kaloni nëpër pikën që tregon një rrënjë të shumëfishtë, shenja NUK NDRYSHOH.

7. Edhe një herë shikojmë shenjën e pabarazisë origjinale dhe zgjedhim intervalet e shenjës që na duhen.

8. Kujdes! Nëse pabarazia jonë NUK është e rreptë, atëherë ne e kontrollojmë kushtin e barazisë në zero veçmas.

9. Shkruani përgjigjen.

Nëse origjinali pabarazia përmban një të panjohur në emërues, atëherë ne gjithashtu lëvizim të gjithë termat në të majtë dhe zvogëlojmë anën e majtë të pabarazisë në formë

(ku V është shenja e pabarazisë:< или >)

Një pabarazi strikte e këtij lloji është e barabartë me pabarazinë

JO E rreptë pabarazia e formës

ekuivalente sistemi:

Në praktikë, nëse funksioni ka formën , atëherë veprojmë si më poshtë:

1. Gjeni rrënjët e numëruesit dhe të emëruesit.
2. Ne i aplikojmë ato në bosht. Lërini të gjithë rrathët bosh. Pastaj, nëse pabarazia nuk është e rreptë, atëherë pikturojmë mbi rrënjët e numëruesit dhe gjithmonë i lëmë rrënjët e emëruesit bosh.
3. Më pas ndjekim algoritmin e përgjithshëm:
4. Ne zgjedhim rrënjë me shumësi çift (nëse numëruesi dhe emëruesi përmbajnë të njëjtat rrënjë, atëherë numërojmë sa herë ndodhin të njëjtat rrënjë). Në rrënjët e shumëfishimit, shenja nuk ndryshon.
5. Ne e gjejmë shenjën në hendekun më të djathtë.
6. Po vendosim tabela.
7. Në rastin e një pabarazie jo të rreptë, ne kontrollojmë veçmas kushtin e barazisë dhe kushtin e barazisë në zero.
8. Ne zgjedhim boshllëqet e nevojshme dhe rrënjët e lira.
9. Ne e shkruajmë përgjigjen.

Për të kuptuar më mirë algoritmi për zgjidhjen e inekuacioneve duke përdorur metodën e intervalit, shikoni VIDEO TUTORIAL, i cili shpjegon shembullin në detaje zgjidhja e pabarazive duke përdorur metodën e intervalit.

Niveli i parë

Metoda e intervalit. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

Thjesht duhet ta kuptoni këtë metodë dhe ta dini si në fund të dorës! Qoftë vetëm sepse përdoret për të zgjidhur pabarazitë racionale dhe sepse, njohja e duhur e kësaj metode, zgjidhja e këtyre pabarazive është çuditërisht e thjeshtë. Pak më vonë do t'ju tregoj disa sekrete se si të kurseni kohë në zgjidhjen e këtyre pabarazive. Epo, a jeni të intriguar? Atëherë le të shkojmë!

Thelbi i metodës është faktorizimi i pabarazisë në faktorë (përsëriteni temën) dhe përcaktoni ODZ dhe shenjën e faktorëve tani unë do të shpjegoj gjithçka. Le të marrim shembullin më të thjeshtë: .

Rajonet vlerat e pranueshme() nuk ka nevojë të shkruhet këtu, pasi nuk ka ndarje nga një ndryshore dhe nuk ka radikale (rrënjë) të vërejtura këtu. Gjithçka këtu tashmë është e faktorizuar për ne. Por mos u relaksoni, kjo është e gjitha për t'ju kujtuar bazat dhe për të kuptuar thelbin!

Le të themi se nuk e dini metodën e intervalit, si do ta zgjidhnit këtë pabarazi? Qasuni logjikisht dhe ndërtoni mbi atë që tashmë dini. Së pari, ana e majtë do të jetë më e madhe se zero nëse të dyja shprehjet në kllapa janë ose më të mëdha se zero ose më pak se zero, sepse "plus" për "plus" jep "plus" dhe "minus" për "minus" jep "plus", apo jo? Dhe nëse shenjat e shprehjeve në kllapa janë të ndryshme, atëherë në fund ana e majtë do të jetë më pak se zero. Çfarë na duhet për të gjetur ato vlera në të cilat shprehjet në kllapa do të jenë negative ose pozitive?

Ne duhet të zgjidhim një ekuacion, është saktësisht njësoj si një pabarazi, vetëm në vend të një shenje do të ketë një shenjë, rrënjët e këtij ekuacioni do të na lejojnë të përcaktojmë ato vlera kufitare, kur të largohemi nga të cilat faktorët do të jenë më të mëdhenj. ose më pak se zero.

Dhe tani vetë intervalet. Çfarë është një interval? Ky është një interval i caktuar i linjës numerike, domethënë, të gjithë numrat e mundshëm që gjenden midis dy numrave - skajet e intervalit. Nuk është aq e lehtë të imagjinosh këto intervale në kokën tënde, kështu që është e zakonshme të vizatosh intervale, do t'ju mësoj tani.

Ne vizatojmë një bosht të gjithë serinë e numrave nga dhe deri në të; Pikat vizatohen në bosht, të ashtuquajturat zero të funksionit, vlerat në të cilat shprehja është e barabartë me zero. Këto pika janë "të fiksuara" që do të thotë se ato nuk janë ndër ato vlera në të cilat pabarazia është e vërtetë. Në këtë rast ato shpohen sepse shenjë në pabarazinë dhe jo, pra, rreptësisht më e madhe se dhe jo më e madhe se ose e barabartë me.

Dua të them që nuk është e nevojshme të shënosh zero, është këtu pa rrathë, por vetëm për të kuptuar dhe orientuar përgjatë boshtit. Mirë, ne kemi vizatuar boshtin, vendosim pikat (më saktë, rrathët), çfarë më pas, si do të më ndihmojë kjo në zgjidhjen? - ju pyesni. Tani thjesht merrni vlerën për x nga intervalet në rend dhe zëvendësojini ato në pabarazinë tuaj dhe shikoni se në cilën shenjë rezulton shumëzimi.

Shkurtimisht, ne thjesht e marrim atë për shembull, e zëvendësojmë këtu, do të funksionojë, që do të thotë se pabarazia do të jetë e vlefshme për të gjithë intervalin (për gjithë intervalin) nga deri në, nga e morëm. Me fjalë të tjera, nëse x është nga në, atëherë pabarazia është e vërtetë.

Ne bëjmë të njëjtën gjë me intervalin nga te, marrim ose, për shembull, zëvendësojmë, përcaktojmë shenjën, shenja do të jetë "minus". Dhe ne bëjmë të njëjtën gjë me intervalin e fundit, të tretë nga deri në, ku shenja rezulton të jetë "plus". Ka kaq shumë tekst, por jo mjaft qartësi, apo jo?

Hidhini një sy tjetër pabarazisë.

Tani ne aplikojmë edhe shenjat që do të përftohen si rezultat në të njëjtin bosht. Në shembullin tim, një vijë e thyer tregon seksionet pozitive dhe negative të boshtit.

Shikoni pabarazinë - në vizatim, përsëri në pabarazi - dhe përsëri në vizatim, a është diçka e qartë? Tani përpiquni të thoni se në cilat intervale X, pabarazia do të jetë e vërtetë. Ashtu është, nga tek pabarazia do të jetë gjithashtu e vërtetë nga tek, por në intervalin nga tek pabarazia është zero dhe ky interval nuk na intereson pak, sepse ne kemi një shenjë në pabarazi.

Epo, tani që e keni kuptuar, e vetmja gjë që mbetet për të bërë është të shkruani përgjigjen! Si përgjigje, ne shkruajmë ato intervale për të cilat ana e majtë është më e madhe se zero, e cila lexohet si X i përket intervalit nga minus pafundësia në minus një dhe nga dy në plus pafundësi. Vlen të sqarohet se kllapat nënkuptojnë që vlerat me të cilat kufizohet intervali nuk janë zgjidhje të pabarazisë, domethënë nuk përfshihen në përgjigje, por vetëm tregojnë se deri në, për shembull, nuk është një zgjidhje.

Tani një shembull në të cilin jo vetëm që do të duhet të vizatoni intervalin:

Çfarë mendoni se duhet bërë përpara se të vendosni pika në bosht? Po, faktorojeni atë në faktorë:

Vizatojmë intervale dhe vendosim shenja, vërejmë se kemi pika të shpuara sepse shenja është rreptësisht më e vogël se zero:

Është koha t'ju tregoj një sekret që ju premtova në fillim të kësaj teme! Po sikur t'ju them se nuk keni nevojë të zëvendësoni vlerat nga çdo interval për të përcaktuar shenjën, por mund të përcaktoni shenjën në një nga intervalet dhe thjesht të alternoni shenjat në pjesën tjetër!

Kështu, kemi kursyer pak kohë në vendosjen e tabelave - mendoj se kjo kohë e fituar në Provimin e Bashkuar të Shtetit nuk do të dëmtojë!

Ne shkruajmë përgjigjen:

Tani merrni parasysh një shembull të një pabarazie fraksionale-racionale - një pabarazi, të dyja pjesët e së cilës janë shprehje racionale (shih).

Çfarë mund të thoni për këtë pabarazi? Dhe shikojeni atë si ekuacioni racional thyesor, çfarë të bëjmë së pari? Ne shohim menjëherë se nuk ka rrënjë, që do të thotë se është padyshim racionale, por më pas është një fraksion, madje edhe me një të panjohur në emërues!

Kjo është e drejtë, ne kemi nevojë për ODZ!

Pra, le të shkojmë më tej, këtu të gjithë faktorët përveç njërit kanë një ndryshore të shkallës së parë, por ka një faktor ku x ka një shkallë të dytë. Zakonisht, shenja jonë ndryshonte pasi kalonim në njërën nga pikat në të cilën ana e majtë e pabarazisë merr një vlerë zero, për të cilën ne përcaktuam se me çfarë duhet të jetë x në secilin faktor. Por këtu, është gjithmonë pozitive, sepse çdo numër në katror > zero dhe një term pozitiv.

A mendoni se kjo do të ndikojë në kuptimin e pabarazisë? Kjo është e drejtë - nuk do të ndikojë! Ne mund ta ndajmë pabarazinë në të dy pjesët në mënyrë të sigurtë dhe në këtë mënyrë ta heqim këtë faktor në mënyrë që të mos jetë një dhimbje në sy.

Ka ardhur koha për të tërhequr intervalet për ta bërë këtë, ju duhet të përcaktoni ato vlera kufitare, nga të cilat shumëzuesit do të jenë më të mëdhenj dhe më të vegjël se zero. Por kushtojini vëmendje se këtu ka një shenjë, do të thotë që ne nuk do të zgjedhim pikën në të cilën ana e majtë e pabarazisë merr një vlerë zero, ajo përfshihet në numrin e zgjidhjeve, kemi vetëm një pikë të tillë, kjo është pika ku x është e barabartë me një. A do të ngjyrosim pikën ku emëruesi është negativ? - Sigurisht që jo!

Emëruesi nuk duhet të jetë zero, kështu që intervali do të duket kështu:

Duke përdorur këtë diagram, mund ta shkruani lehtësisht përgjigjen, thjesht do të them që tani keni në dispozicion një lloj të ri kllapash - katror! Këtu është një kllapa [ thotë se vlera përfshihet në intervalin e zgjidhjes, d.m.th. është pjesë e përgjigjes, kjo kllapa korrespondon me një pikë të mbushur (jo të fiksuar) në bosht.

Pra, a morët të njëjtën përgjigje?

Ne e faktorizojmë atë në faktorë dhe lëvizim gjithçka në njërën anë, ne duhet të lëmë vetëm zero në të djathtë për t'u krahasuar me të:

Unë tërheq vëmendjen tuaj për faktin se në transformimin e fundit, për të marrë si në numërues ashtu edhe në emërues, unë i shumëzoj të dyja anët e pabarazisë me. Mos harroni se kur të dy anët e një pabarazie shumëzohen me, shenja e pabarazisë ndryshon në të kundërtën!!!

Ne shkruajmë ODZ:

Përndryshe, emëruesi do të shkojë në zero, dhe, siç e mbani mend, nuk mund të ndani me zero!

Dakord, pabarazia që rezulton është joshëse për të zvogëluar numëruesin dhe emëruesin! Kjo nuk mund të bëhet, ju mund të humbni disa nga vendimet ose ODZ!

Tani përpiquni t'i vendosni vetë pikat në bosht. Do të vërej vetëm se kur vizatoni pika, duhet t'i kushtoni vëmendje faktit që një pikë me një vlerë, e cila, në bazë të shenjës, duket se është e paraqitur në bosht si e hijezuar, nuk do të hijezohet, do të jetë u hoq! Pse pyet? Dhe mbani mend ODZ-në, nuk do të pjesëtoni me zero kështu?

Mos harroni, ODZ vjen i pari! Nëse të gjitha pabarazitë dhe shenjat e barabarta thonë një gjë, dhe ODZ thotë një tjetër, besojini ODZ-së, të madh dhe të fuqishëm! Epo, ju i keni ndërtuar intervalet, jam i sigurt që keni marrë sugjerimin tim për alternimin dhe e keni marrë kështu (shih foton më poshtë) Tani kryqëzojeni dhe mos e bëni më atë gabim! Çfarë gabimi? - ju pyesni.

Fakti është se në këtë pabarazi faktori u përsërit dy herë (kujtoni se si u përpoqët ta zvogëloni?). Pra, nëse një faktor përsëritet në pabarazi një numër çift, atëherë kur kaloni nëpër një pikë në boshtin që e kthen këtë faktor në zero (në këtë rast, një pikë), shenja nuk do të ndryshojë nëse është tek , atëherë shenja ndryshon!

Aksi i mëposhtëm me intervale dhe shenja do të jetë i saktë:

Dhe, ju lutemi vini re se shenja që na intereson nuk është ajo që ishte në fillim (kur pamë për herë të parë pabarazinë, shenja ishte aty), pas transformimeve, shenja ndryshoi në, që do të thotë se ne jemi të interesuar për intervalet me një shenjë.

Përgjigje:

Do të them gjithashtu se ka situata kur ka rrënjë pabarazie që nuk përfshihen në asnjë interval, si përgjigje ato shkruhen në kllapa kaçurrelë, si kjo, për shembull: . Mund të lexoni më shumë rreth situatave të tilla në nivelin mesatar të artikullit.

Le të përmbledhim se si të zgjidhim pabarazitë duke përdorur metodën e intervalit:

1. Ne lëvizim gjithçka në anën e majtë, duke lënë vetëm zero në të djathtë;
2. Ne gjejmë ODZ;
3. Ne vizatojmë të gjitha rrënjët e pabarazisë në bosht;
4. Marrim një arbitrar nga një nga intervalet dhe përcaktojmë shenjën në intervalin të cilit i përket rrënja, alternojmë shenjat, duke u kushtuar vëmendje rrënjëve që përsëriten disa herë në pabarazinë nëse shenja ndryshon kur kalon nëpër to mbi barazinë ose çuditshmërinë e numrit të herëve që përsëriten ose jo;
5. Si përgjigje, ne shkruajmë intervale, duke vëzhguar pikat e shpuara dhe jo të shpuara (shih ODZ), duke vendosur llojet e nevojshme të kllapave midis tyre.

Dhe së fundi, seksioni ynë i preferuar, "bëje vetë"!

Shembuj:

Përgjigjet:

METODA E INTERVALIT. NIVELI MESATAR

Funksioni linear

Një funksion i formës quhet linear. Le të marrim një funksion si shembull. Është pozitive në dhe negative në. Pika është zero e funksionit (). Le të tregojmë shenjat e këtij funksioni në boshtin e numrave:

Themi se "funksioni ndryshon shenjën kur kalon nëpër pikë".

Mund të shihet se shenjat e funksionit korrespondojnë me pozicionin e grafikut të funksionit: nëse grafiku është mbi boshtin, shenja është “ ”, nëse poshtë tij është “ ”.

Nëse e përgjithësojmë rregullin që rezulton në një funksion linear arbitrar, marrim algoritmin e mëposhtëm:

• Gjetja e zeros së funksionit;
• E shënojmë në boshtin e numrave;
• Shenjën e funksionit e përcaktojmë me anët e ndryshme nga zero.

Funksioni kuadratik

Shpresoj se ju kujtohet se si të zgjidhni pabarazitë kuadratike? Nëse jo, lexoni temën. Më lejoni t'ju kujtoj formë e përgjithshme funksion kuadratik: .

Tani le të kujtojmë se cilat shenja merr funksioni kuadratik. Grafiku i tij është një parabolë, dhe funksioni merr shenjën " " për ato në të cilat parabola është mbi boshtin, dhe " " - nëse parabola është nën bosht:

Nëse një funksion ka zero (vlerat në të cilat), parabola kryqëzon boshtin në dy pika - rrënjët e ekuacionit kuadratik përkatës. Kështu, boshti ndahet në tre intervale, dhe shenjat e funksionit ndryshojnë në mënyrë alternative kur kalojnë nëpër secilën rrënjë.

A është e mundur të përcaktohen disi shenjat pa vizatuar një parabolë çdo herë?

Kujtojmë se një trinom katror mund të faktorizohet:

Për shembull: .

Le të shënojmë rrënjët në bosht:

Kujtojmë se shenja e një funksioni mund të ndryshojë vetëm kur kalon nëpër rrënjë. Le të përdorim këtë fakt: për secilin nga tre intervalet në të cilat boshti ndahet me rrënjë, mjafton të përcaktohet shenja e funksionit vetëm në një pikë të zgjedhur në mënyrë arbitrare: në pikat e mbetura të intervalit, shenja do të jetë e njëjtë. .

Në shembullin tonë: në të dyja shprehjet në kllapa janë pozitive (zëvendësojnë, për shembull:). Ne vendosim një shenjë " " në bosht:

Epo, kur (zëvendësoni, për shembull), të dy kllapat janë negative, që do të thotë se produkti është pozitiv:

Kjo është ajo që është metoda e intervalit: duke ditur shenjat e faktorëve në çdo interval, ne përcaktojmë shenjën e të gjithë produktit.

Le të shqyrtojmë edhe rastet kur funksioni nuk ka zero, ose vetëm një.

Nëse nuk janë aty, atëherë nuk ka rrënjë. Kjo do të thotë se nuk do të ketë "kalim nëpër rrënjë". Kjo do të thotë që funksioni merr vetëm një shenjë në të gjithë vijën numerike. Mund të përcaktohet lehtësisht duke e zëvendësuar atë në një funksion.

Nëse ka vetëm një rrënjë, parabola prek boshtin, kështu që shenja e funksionit nuk ndryshon kur kalon nëpër rrënjë. Çfarë rregulli mund të nxjerrim për situata të tilla?

Nëse faktorizoni një funksion të tillë, merrni dy faktorë identikë:

Dhe çdo shprehje në katror është jonegative! Prandaj, shenja e funksionit nuk ndryshon. Në raste të tilla do të theksojmë rrënjën, kur kalojmë nëpër të cilën shenja nuk ndryshon, duke e rrethuar me një katror:

Një rrënjë të tillë do ta quajmë shumëfish.

Metoda e intervalit në pabarazitë

Tani çdo pabarazi kuadratike mund të zgjidhet pa vizatuar një parabolë. Mjafton vetëm vendosja e shenjave të funksionit kuadratik në bosht dhe përzgjedhja e intervaleve në varësi të shenjës së pabarazisë. Për shembull:

Le të matim rrënjët në bosht dhe të vendosim shenjat:

Na duhet pjesa e boshtit me shenjën " "; meqenëse pabarazia nuk është e rreptë, vetë rrënjët përfshihen gjithashtu në zgjidhje:

Tani merrni parasysh një pabarazi racionale - një pabarazi, të dyja anët e së cilës janë shprehje racionale (shih).

Shembull:

Të gjithë faktorët përveç njërit janë "linearë" këtu, domethënë, ata përmbajnë një ndryshore vetëm në fuqinë e parë. Na duhen faktorë të tillë linearë për të aplikuar metodën e intervalit - shenja ndryshon kur kalon nëpër rrënjët e tyre. Por shumëzuesi nuk ka rrënjë fare. Kjo do të thotë se është gjithmonë pozitive (kontrollojeni vetë), dhe për këtë arsye nuk ndikon në shenjën e të gjithë pabarazisë. Kjo do të thotë që ne mund të ndajmë anën e majtë dhe të djathtë të pabarazisë me të, dhe kështu të shpëtojmë prej saj:

Tani gjithçka është njësoj siç ishte me pabarazitë kuadratike: përcaktojmë se në cilat pika secili nga faktorët bëhet zero, shënojmë këto pika në bosht dhe renditim shenjat. Dëshiroj të tërheq vëmendjen tuaj për një fakt shumë të rëndësishëm:

Përgjigje:. Shembull: .

Për të aplikuar metodën e intervalit, një nga pjesët e pabarazisë duhet të ketë. Prandaj, le të lëvizim anën e djathtë në të majtë:

Numëruesi dhe emëruesi kanë të njëjtin faktor, por mos nxitoni ta zvogëloni atë! Në fund të fundit, atëherë ne mund të harrojmë të theksojmë këtë pikë. Është më mirë ta shënoni këtë rrënjë si shumëfish, domethënë kur kaloni nëpër të, shenja nuk do të ndryshojë:

Përgjigje:.

Dhe një shembull shumë ilustrues:

Përsëri, ne nuk anulojmë të njëjtët faktorë të numëruesit dhe emëruesit, sepse nëse e bëjmë, do të duhet të kujtojmë në mënyrë specifike të shpojmë pikën.

• : herë të përsëritura;
• : herë;
• : herë (në numërues dhe një në emërues).

Në rastin e një numri çift veprojmë njësoj si më parë: rrethojmë pikën me katror dhe nuk e ndryshojmë shenjën kur kalojmë nga rrënjës. Por në rastin e një numri tek, ky rregull nuk zbatohet: shenja do të ndryshojë akoma kur kalon nëpër rrënjë. Prandaj, ne nuk bëjmë asgjë shtesë me një rrënjë të tillë, sikur të mos ishte shumëfish. Rregullat e mësipërme vlejnë për të gjitha fuqitë çift dhe tek.

Çfarë duhet të shkruajmë në përgjigje?

Nëse ndërrimi i shenjave është shkelur, duhet të jeni shumë të kujdesshëm, sepse nëse pabarazia nuk është e rreptë, përgjigja duhet të përfshijë të gjitha pikat me hije. Por disa prej tyre shpesh qëndrojnë të ndarë, domethënë nuk përfshihen në zonën e hijes. Në këtë rast, ne i shtojmë ato në përgjigje si pika të izoluara (në kllapa kaçurrelë):

Shembuj (vendosni vetë):

Përgjigjet:

1. Nëse ndër faktorët është i thjeshtë, është rrënjë, sepse mund të paraqitet si.
   .

METODA E INTERVALIT. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Metoda e intervalit përdoret për zgjidhjen e pabarazive racionale. Ai konsiston në përcaktimin e shenjës së produktit nga shenjat e faktorëve në intervale të ndryshme.

Algoritmi për zgjidhjen e pabarazive racionale duke përdorur metodën e intervalit.

• Ne lëvizim gjithçka në anën e majtë, duke lënë vetëm zero në të djathtë;
• Ne gjejmë ODZ;
• Ne vizatojmë të gjitha rrënjët e pabarazisë në bosht;
• Marrim një arbitrar nga një nga intervalet dhe përcaktojmë shenjën në intervalin të cilit i përket rrënja, alternojmë shenjat, duke u kushtuar vëmendje rrënjëve që përsëriten disa herë në pabarazinë nëse shenja ndryshon kur kalon nëpër to mbi barazinë ose çuditshmërinë e numrit të herëve që përsëriten ose jo;
• Si përgjigje, ne shkruajmë intervale, duke vëzhguar pikat e shpuara dhe jo të shpuara (shih ODZ), duke vendosur llojet e nevojshme të kllapave midis tyre.

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Per cfare?

Për të suksesshme dhënien e Provimit të Unifikuar të Shtetit, për pranim në kolegj me një buxhet dhe, MË E RËNDËSISHME, për jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që morën një edukim të mirë, fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LËZUAR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse ka shumë më të hapur para tyre më shumë mundësi dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teoria gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUME!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të dëshironi, domosdoshmërisht me zgjidhje, analiza e detajuar dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

1. Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull - 299 fshij.
2. Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - 999 fshij.

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në librin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Në rastin e dytë ne do t'ju japim simulator "6000 probleme me zgjidhje dhe përgjigje, për secilën temë, në të gjitha nivelet e kompleksitetit." Do të jetë padyshim e mjaftueshme për të marrë duart për zgjidhjen e problemeve për çdo temë.

Në fakt, ky është shumë më tepër sesa thjesht një imitues - një program i tërë trajnimi. Nëse është e nevojshme, mund ta përdorni edhe FALAS.

Qasja në të gjitha tekstet dhe programet ofrohet për TË GJITHË periudhën e ekzistencës së sajtit.

Në përfundim...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!

Niveli i parë

Metoda e intervalit. Udhëzuesi i fundit (2019)

Thjesht duhet ta kuptoni këtë metodë dhe ta dini si në fund të dorës! Qoftë vetëm sepse përdoret për të zgjidhur pabarazitë racionale dhe sepse, njohja e duhur e kësaj metode, zgjidhja e këtyre pabarazive është çuditërisht e thjeshtë. Pak më vonë do t'ju tregoj disa sekrete se si të kurseni kohë në zgjidhjen e këtyre pabarazive. Epo, a jeni të intriguar? Atëherë le të shkojmë!

Thelbi i metodës është faktorizimi i pabarazisë në faktorë (përsëriteni temën) dhe përcaktoni ODZ dhe shenjën e faktorëve tani unë do të shpjegoj gjithçka. Le të marrim shembullin më të thjeshtë: .

Nuk ka nevojë të shkruani gamën e vlerave të pranueshme () këtu, pasi nuk ka ndarje nga ndryshorja dhe nuk ka radikale (rrënjë) të vërejtura këtu. Gjithçka këtu tashmë është e faktorizuar për ne. Por mos u relaksoni, kjo është e gjitha për t'ju kujtuar bazat dhe për të kuptuar thelbin!

Le të themi se nuk e dini metodën e intervalit, si do ta zgjidhnit këtë pabarazi? Qasuni logjikisht dhe ndërtoni mbi atë që tashmë dini. Së pari, ana e majtë do të jetë më e madhe se zero nëse të dyja shprehjet në kllapa janë ose më të mëdha se zero ose më pak se zero, sepse "plus" për "plus" jep "plus" dhe "minus" për "minus" jep "plus", apo jo? Dhe nëse shenjat e shprehjeve në kllapa janë të ndryshme, atëherë në fund ana e majtë do të jetë më pak se zero. Çfarë na duhet për të gjetur ato vlera në të cilat shprehjet në kllapa do të jenë negative ose pozitive?

Ne duhet të zgjidhim një ekuacion, është saktësisht njësoj si një pabarazi, vetëm në vend të një shenje do të ketë një shenjë, rrënjët e këtij ekuacioni do të na lejojnë të përcaktojmë ato vlera kufitare, kur të largohemi nga të cilat faktorët do të jenë më të mëdhenj. ose më pak se zero.

Dhe tani vetë intervalet. Çfarë është një interval? Ky është një interval i caktuar i linjës numerike, domethënë, të gjithë numrat e mundshëm që gjenden midis dy numrave - skajet e intervalit. Nuk është aq e lehtë të imagjinosh këto intervale në kokën tënde, kështu që është e zakonshme të vizatosh intervale, do t'ju mësoj tani.

Ne vizatojmë një bosht të gjithë serinë e numrave nga dhe deri në të; Pikat vizatohen në bosht, të ashtuquajturat zero të funksionit, vlerat në të cilat shprehja është e barabartë me zero. Këto pika janë "të fiksuara" që do të thotë se ato nuk janë ndër ato vlera në të cilat pabarazia është e vërtetë. Në këtë rast ato shpohen sepse shenjë në pabarazinë dhe jo, pra, rreptësisht më e madhe se dhe jo më e madhe se ose e barabartë me.

Dua të them që nuk është e nevojshme të shënosh zero, është këtu pa rrathë, por vetëm për të kuptuar dhe orientuar përgjatë boshtit. Mirë, ne kemi vizatuar boshtin, vendosim pikat (më saktë, rrathët), çfarë më pas, si do të më ndihmojë kjo në zgjidhjen? - ju pyesni. Tani thjesht merrni vlerën për x nga intervalet në rend dhe zëvendësojini ato në pabarazinë tuaj dhe shikoni se në cilën shenjë rezulton shumëzimi.

Shkurtimisht, ne thjesht e marrim atë për shembull, e zëvendësojmë këtu, do të funksionojë, që do të thotë se pabarazia do të jetë e vlefshme për të gjithë intervalin (për gjithë intervalin) nga deri në, nga e morëm. Me fjalë të tjera, nëse x është nga në, atëherë pabarazia është e vërtetë.

Ne bëjmë të njëjtën gjë me intervalin nga te, marrim ose, për shembull, zëvendësojmë, përcaktojmë shenjën, shenja do të jetë "minus". Dhe ne bëjmë të njëjtën gjë me intervalin e fundit, të tretë nga deri në, ku shenja rezulton të jetë "plus". Ka kaq shumë tekst, por jo mjaft qartësi, apo jo?

Hidhini një sy tjetër pabarazisë.

Tani ne aplikojmë edhe shenjat që do të përftohen si rezultat në të njëjtin bosht. Në shembullin tim, një vijë e thyer tregon seksionet pozitive dhe negative të boshtit.

Shikoni pabarazinë - në vizatim, përsëri në pabarazi - dhe përsëri në vizatim, a është diçka e qartë? Tani përpiquni të thoni se në cilat intervale X, pabarazia do të jetë e vërtetë. Ashtu është, nga tek pabarazia do të jetë gjithashtu e vërtetë nga tek, por në intervalin nga tek pabarazia është zero dhe ky interval nuk na intereson pak, sepse ne kemi një shenjë në pabarazi.

Epo, tani që e keni kuptuar, e vetmja gjë që mbetet për të bërë është të shkruani përgjigjen! Si përgjigje, ne shkruajmë ato intervale për të cilat ana e majtë është më e madhe se zero, e cila lexohet si X i përket intervalit nga minus pafundësia në minus një dhe nga dy në plus pafundësi. Vlen të sqarohet se kllapat nënkuptojnë që vlerat me të cilat kufizohet intervali nuk janë zgjidhje të pabarazisë, domethënë nuk përfshihen në përgjigje, por vetëm tregojnë se deri në, për shembull, nuk është një zgjidhje.

Tani një shembull në të cilin jo vetëm që do të duhet të vizatoni intervalin:

Çfarë mendoni se duhet bërë përpara se të vendosni pika në bosht? Po, faktorojeni atë në faktorë:

Vizatojmë intervale dhe vendosim shenja, vërejmë se kemi pika të shpuara sepse shenja është rreptësisht më e vogël se zero:

Është koha t'ju tregoj një sekret që ju premtova në fillim të kësaj teme! Po sikur t'ju them se nuk keni nevojë të zëvendësoni vlerat nga çdo interval për të përcaktuar shenjën, por mund të përcaktoni shenjën në një nga intervalet dhe thjesht të alternoni shenjat në pjesën tjetër!

Kështu, kemi kursyer pak kohë në vendosjen e tabelave - mendoj se kjo kohë e fituar në Provimin e Bashkuar të Shtetit nuk do të dëmtojë!

Ne shkruajmë përgjigjen:

Tani merrni parasysh një shembull të një pabarazie fraksionale-racionale - një pabarazi, të dyja pjesët e së cilës janë shprehje racionale (shih).

Çfarë mund të thoni për këtë pabarazi? Dhe ju e shikoni atë si një ekuacion thyesor-racional, çfarë të bëjmë së pari? Ne shohim menjëherë se nuk ka rrënjë, që do të thotë se është padyshim racionale, por më pas është një fraksion, madje edhe me një të panjohur në emërues!

Kjo është e drejtë, ne kemi nevojë për ODZ!

Pra, le të shkojmë më tej, këtu të gjithë faktorët përveç njërit kanë një ndryshore të shkallës së parë, por ka një faktor ku x ka një shkallë të dytë. Zakonisht, shenja jonë ndryshonte pasi kalonim në njërën nga pikat në të cilën ana e majtë e pabarazisë merr një vlerë zero, për të cilën ne përcaktuam se me çfarë duhet të jetë x në secilin faktor. Por këtu, është gjithmonë pozitive, sepse çdo numër në katror > zero dhe një term pozitiv.

A mendoni se kjo do të ndikojë në kuptimin e pabarazisë? Kjo është e drejtë - nuk do të ndikojë! Ne mund ta ndajmë pabarazinë në të dy pjesët në mënyrë të sigurtë dhe në këtë mënyrë ta heqim këtë faktor në mënyrë që të mos jetë një dhimbje në sy.

Ka ardhur koha për të tërhequr intervalet për ta bërë këtë, ju duhet të përcaktoni ato vlera kufitare, nga të cilat shumëzuesit do të jenë më të mëdhenj dhe më të vegjël se zero. Por kushtojini vëmendje se këtu ka një shenjë, do të thotë që ne nuk do të zgjedhim pikën në të cilën ana e majtë e pabarazisë merr një vlerë zero, ajo përfshihet në numrin e zgjidhjeve, kemi vetëm një pikë të tillë, kjo është pika ku x është e barabartë me një. A do të ngjyrosim pikën ku emëruesi është negativ? - Sigurisht që jo!

Emëruesi nuk duhet të jetë zero, kështu që intervali do të duket kështu:

Duke përdorur këtë diagram, mund ta shkruani lehtësisht përgjigjen, thjesht do të them që tani keni në dispozicion një lloj të ri kllapash - katror! Këtu është një kllapa [ thotë se vlera përfshihet në intervalin e zgjidhjes, d.m.th. është pjesë e përgjigjes, kjo kllapa korrespondon me një pikë të mbushur (jo të fiksuar) në bosht.

Pra, a morët të njëjtën përgjigje?

Ne e faktorizojmë atë në faktorë dhe lëvizim gjithçka në njërën anë, ne duhet të lëmë vetëm zero në të djathtë për t'u krahasuar me të:

Unë tërheq vëmendjen tuaj për faktin se në transformimin e fundit, për të marrë si në numërues ashtu edhe në emërues, unë i shumëzoj të dyja anët e pabarazisë me. Mos harroni se kur të dy anët e një pabarazie shumëzohen me, shenja e pabarazisë ndryshon në të kundërtën!!!

Ne shkruajmë ODZ:

Përndryshe, emëruesi do të shkojë në zero, dhe, siç e mbani mend, nuk mund të ndani me zero!

Dakord, pabarazia që rezulton është joshëse për të zvogëluar numëruesin dhe emëruesin! Kjo nuk mund të bëhet, ju mund të humbni disa nga vendimet ose ODZ!

Tani përpiquni t'i vendosni vetë pikat në bosht. Do të vërej vetëm se kur vizatoni pika, duhet t'i kushtoni vëmendje faktit që një pikë me një vlerë, e cila, në bazë të shenjës, duket se është e paraqitur në bosht si e hijezuar, nuk do të hijezohet, do të jetë u hoq! Pse pyet? Dhe mbani mend ODZ-në, nuk do të pjesëtoni me zero kështu?

Mos harroni, ODZ vjen i pari! Nëse të gjitha pabarazitë dhe shenjat e barabarta thonë një gjë, dhe ODZ thotë një tjetër, besojini ODZ-së, të madh dhe të fuqishëm! Epo, ju i keni ndërtuar intervalet, jam i sigurt që keni marrë sugjerimin tim për alternimin dhe e keni marrë kështu (shih foton më poshtë) Tani kryqëzojeni dhe mos e bëni më atë gabim! Çfarë gabimi? - ju pyesni.

Fakti është se në këtë pabarazi faktori u përsërit dy herë (kujtoni se si u përpoqët ta zvogëloni?). Pra, nëse një faktor përsëritet në pabarazi një numër çift, atëherë kur kaloni nëpër një pikë në boshtin që e kthen këtë faktor në zero (në këtë rast, një pikë), shenja nuk do të ndryshojë nëse është tek , atëherë shenja ndryshon!

Aksi i mëposhtëm me intervale dhe shenja do të jetë i saktë:

Dhe, ju lutemi vini re se shenja që na intereson nuk është ajo që ishte në fillim (kur pamë për herë të parë pabarazinë, shenja ishte aty), pas transformimeve, shenja ndryshoi në, që do të thotë se ne jemi të interesuar për intervalet me një shenjë.

Përgjigje:

Do të them gjithashtu se ka situata kur ka rrënjë pabarazie që nuk përfshihen në asnjë interval, si përgjigje ato shkruhen në kllapa kaçurrelë, si kjo, për shembull: . Mund të lexoni më shumë rreth situatave të tilla në nivelin mesatar të artikullit.

Le të përmbledhim se si të zgjidhim pabarazitë duke përdorur metodën e intervalit:

1. Ne lëvizim gjithçka në anën e majtë, duke lënë vetëm zero në të djathtë;
2. Ne gjejmë ODZ;
3. Ne vizatojmë të gjitha rrënjët e pabarazisë në bosht;
4. Marrim një arbitrar nga një nga intervalet dhe përcaktojmë shenjën në intervalin të cilit i përket rrënja, alternojmë shenjat, duke u kushtuar vëmendje rrënjëve që përsëriten disa herë në pabarazinë nëse shenja ndryshon kur kalon nëpër to mbi barazinë ose çuditshmërinë e numrit të herëve që përsëriten ose jo;
5. Si përgjigje, ne shkruajmë intervale, duke vëzhguar pikat e shpuara dhe jo të shpuara (shih ODZ), duke vendosur llojet e nevojshme të kllapave midis tyre.

Dhe së fundi, seksioni ynë i preferuar, "bëje vetë"!

Shembuj:

Përgjigjet:

METODA E INTERVALIT. NIVELI MESATAR

Funksioni linear

Një funksion i formës quhet linear. Le të marrim një funksion si shembull. Është pozitive në dhe negative në. Pika është zero e funksionit (). Le të tregojmë shenjat e këtij funksioni në boshtin e numrave:

Themi se "funksioni ndryshon shenjën kur kalon nëpër pikë".

Mund të shihet se shenjat e funksionit korrespondojnë me pozicionin e grafikut të funksionit: nëse grafiku është mbi boshtin, shenja është “ ”, nëse poshtë tij është “ ”.

Nëse e përgjithësojmë rregullin që rezulton në një funksion linear arbitrar, marrim algoritmin e mëposhtëm:

• Gjetja e zeros së funksionit;
• E shënojmë në boshtin e numrave;
• Ne përcaktojmë shenjën e funksionit në anët e kundërta të zeros.

Funksioni kuadratik

Shpresoj se ju kujtohet se si të zgjidhni pabarazitë kuadratike? Nëse jo, lexoni temën. Më lejoni t'ju kujtoj formën e përgjithshme të një funksioni kuadratik: .

Tani le të kujtojmë se cilat shenja merr funksioni kuadratik. Grafiku i tij është një parabolë, dhe funksioni merr shenjën " " për ato në të cilat parabola është mbi boshtin, dhe " " - nëse parabola është nën bosht:

Nëse një funksion ka zero (vlerat në të cilat), parabola kryqëzon boshtin në dy pika - rrënjët e ekuacionit kuadratik përkatës. Kështu, boshti ndahet në tre intervale, dhe shenjat e funksionit ndryshojnë në mënyrë alternative kur kalojnë nëpër secilën rrënjë.

A është e mundur të përcaktohen disi shenjat pa vizatuar një parabolë çdo herë?

Kujtojmë se një trinom katror mund të faktorizohet:

Për shembull: .

Le të shënojmë rrënjët në bosht:

Kujtojmë se shenja e një funksioni mund të ndryshojë vetëm kur kalon nëpër rrënjë. Le të përdorim këtë fakt: për secilin nga tre intervalet në të cilat boshti ndahet me rrënjë, mjafton të përcaktohet shenja e funksionit vetëm në një pikë të zgjedhur në mënyrë arbitrare: në pikat e mbetura të intervalit, shenja do të jetë e njëjtë. .

Në shembullin tonë: në të dyja shprehjet në kllapa janë pozitive (zëvendësojnë, për shembull:). Ne vendosim një shenjë " " në bosht:

Epo, kur (zëvendësoni, për shembull), të dy kllapat janë negative, që do të thotë se produkti është pozitiv:

Kjo është ajo që është metoda e intervalit: duke ditur shenjat e faktorëve në çdo interval, ne përcaktojmë shenjën e të gjithë produktit.

Le të shqyrtojmë edhe rastet kur funksioni nuk ka zero, ose vetëm një.

Nëse nuk janë aty, atëherë nuk ka rrënjë. Kjo do të thotë se nuk do të ketë "kalim nëpër rrënjë". Kjo do të thotë që funksioni merr vetëm një shenjë në të gjithë vijën numerike. Mund të përcaktohet lehtësisht duke e zëvendësuar atë në një funksion.

Nëse ka vetëm një rrënjë, parabola prek boshtin, kështu që shenja e funksionit nuk ndryshon kur kalon nëpër rrënjë. Çfarë rregulli mund të nxjerrim për situata të tilla?

Nëse faktorizoni një funksion të tillë, merrni dy faktorë identikë:

Dhe çdo shprehje në katror është jonegative! Prandaj, shenja e funksionit nuk ndryshon. Në raste të tilla do të theksojmë rrënjën, kur kalojmë nëpër të cilën shenja nuk ndryshon, duke e rrethuar me një katror:

Një rrënjë të tillë do ta quajmë shumëfish.

Metoda e intervalit në pabarazitë

Tani çdo pabarazi kuadratike mund të zgjidhet pa vizatuar një parabolë. Mjafton vetëm vendosja e shenjave të funksionit kuadratik në bosht dhe përzgjedhja e intervaleve në varësi të shenjës së pabarazisë. Për shembull:

Le të matim rrënjët në bosht dhe të vendosim shenjat:

Na duhet pjesa e boshtit me shenjën " "; meqenëse pabarazia nuk është e rreptë, vetë rrënjët përfshihen gjithashtu në zgjidhje:

Tani merrni parasysh një pabarazi racionale - një pabarazi, të dyja anët e së cilës janë shprehje racionale (shih).

Shembull:

Të gjithë faktorët përveç njërit janë "linearë" këtu, domethënë, ata përmbajnë një ndryshore vetëm në fuqinë e parë. Na duhen faktorë të tillë linearë për të aplikuar metodën e intervalit - shenja ndryshon kur kalon nëpër rrënjët e tyre. Por shumëzuesi nuk ka rrënjë fare. Kjo do të thotë se është gjithmonë pozitive (kontrollojeni vetë), dhe për këtë arsye nuk ndikon në shenjën e të gjithë pabarazisë. Kjo do të thotë që ne mund të ndajmë anën e majtë dhe të djathtë të pabarazisë me të, dhe kështu të shpëtojmë prej saj:

Tani gjithçka është njësoj siç ishte me pabarazitë kuadratike: ne përcaktojmë se në cilat pika secili prej faktorëve bëhet zero, shënojmë këto pika në bosht dhe rregullojmë shenjat. Dëshiroj të tërheq vëmendjen tuaj për një fakt shumë të rëndësishëm:

Përgjigje:. Shembull: .

Për të aplikuar metodën e intervalit, një nga pjesët e pabarazisë duhet të ketë. Prandaj, le të lëvizim anën e djathtë në të majtë:

Numëruesi dhe emëruesi kanë të njëjtin faktor, por mos nxitoni ta zvogëloni atë! Në fund të fundit, atëherë ne mund të harrojmë të theksojmë këtë pikë. Është më mirë ta shënoni këtë rrënjë si shumëfish, domethënë kur kaloni nëpër të, shenja nuk do të ndryshojë:

Përgjigje:.

Dhe një shembull shumë ilustrues:

Përsëri, ne nuk anulojmë të njëjtët faktorë të numëruesit dhe emëruesit, sepse nëse e bëjmë, do të duhet të kujtojmë në mënyrë specifike të shpojmë pikën.

• : herë të përsëritura;
• : herë;
• : herë (në numërues dhe një në emërues).

Në rastin e një numri çift veprojmë njësoj si më parë: rrethojmë pikën me katror dhe nuk e ndryshojmë shenjën kur kalojmë nga rrënjës. Por në rastin e një numri tek, ky rregull nuk zbatohet: shenja do të ndryshojë akoma kur kalon nëpër rrënjë. Prandaj, ne nuk bëjmë asgjë shtesë me një rrënjë të tillë, sikur të mos ishte shumëfish. Rregullat e mësipërme vlejnë për të gjitha fuqitë çift dhe tek.

Çfarë duhet të shkruajmë në përgjigje?

Nëse ndërrimi i shenjave është shkelur, duhet të jeni shumë të kujdesshëm, sepse nëse pabarazia nuk është e rreptë, përgjigja duhet të përfshijë të gjitha pikat me hije. Por disa prej tyre shpesh qëndrojnë të ndarë, domethënë nuk përfshihen në zonën e hijes. Në këtë rast, ne i shtojmë ato në përgjigje si pika të izoluara (në kllapa kaçurrelë):

Shembuj (vendosni vetë):

Përgjigjet:

1. Nëse ndër faktorët është i thjeshtë, është rrënjë, sepse mund të paraqitet si.
   .

METODA E INTERVALIT. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Metoda e intervalit përdoret për zgjidhjen e pabarazive racionale. Ai konsiston në përcaktimin e shenjës së produktit nga shenjat e faktorëve në intervale të ndryshme.

Algoritmi për zgjidhjen e pabarazive racionale duke përdorur metodën e intervalit.

• Ne lëvizim gjithçka në anën e majtë, duke lënë vetëm zero në të djathtë;
• Ne gjejmë ODZ;
• Ne vizatojmë të gjitha rrënjët e pabarazisë në bosht;
• Marrim një arbitrar nga një nga intervalet dhe përcaktojmë shenjën në intervalin të cilit i përket rrënja, alternojmë shenjat, duke u kushtuar vëmendje rrënjëve që përsëriten disa herë në pabarazinë nëse shenja ndryshon kur kalon nëpër to mbi barazinë ose çuditshmërinë e numrit të herëve që përsëriten ose jo;
• Si përgjigje, ne shkruajmë intervale, duke vëzhguar pikat e shpuara dhe jo të shpuara (shih ODZ), duke vendosur llojet e nevojshme të kllapave midis tyre.

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Per cfare?

Për dhënien me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit, për hyrjen në kolegj me buxhet dhe, MË E RËNDËSISHME, për jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që kanë marrë një arsim të mirë fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë atë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LËZUAR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse shumë më tepër mundësi hapen para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teoria gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUME!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të dëshironi, detyrimisht me zgjidhje, analiza të hollësishme dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

1. Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull - 299 fshij.
2. Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - 999 fshij.

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në librin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Në rastin e dytë ne do t'ju japim simulator "6000 probleme me zgjidhje dhe përgjigje, për secilën temë, në të gjitha nivelet e kompleksitetit." Do të jetë padyshim e mjaftueshme për të marrë duart për zgjidhjen e problemeve për çdo temë.

Në fakt, ky është shumë më tepër sesa thjesht një imitues - një program i tërë trajnimi. Nëse është e nevojshme, mund ta përdorni edhe FALAS.

Qasja në të gjitha tekstet dhe programet ofrohet për TË GJITHË periudhën e ekzistencës së sajtit.

Në përfundim...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!