Mësimi i algjebrës "Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallëve më të larta

"Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve gradat më të larta»

( Leximet e Kiselevsky)

Mësuesja e matematikës Afanasyeva L.A.

Shkolla e mesme MKOU Verkhnekarachanskaya

Rrethi Gribanovsky, rajoni Voronezh

2015

Arsimi në matematikë i marrë në shkolla e arsimit të përgjithshëm, është komponenti më i rëndësishëm arsimi i përgjithshëm dhe kulturën e përbashkët njeriu modern.

Matematikani i famshëm gjerman Courant shkroi: "Për më shumë se dy mijë vjet, zotërimi i disa njohurive, jo shumë sipërfaqësore, në fushën e matematikës ishte i domosdoshëm. pjesë integrale në inventarin intelektual të çdo njeriu të arsimuar”. Dhe midis këtyre njohurive, jo vendi i fundit i takon aftësisë për të zgjidhur ekuacione.

Tashmë në kohët e lashta, njerëzit e kuptuan se sa e rëndësishme ishte të mësonin se si të zgjidhnin ekuacionet algjebrike. Rreth 4000 vjet më parë, shkencëtarët babilonas zotëruan zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik dhe zgjidhën sisteme të dy ekuacioneve, njëri prej të cilëve ishte i shkallës së dytë. Me ndihmën e ekuacioneve, u zgjidhën probleme të ndryshme të rilevimit të tokës, arkitekturës dhe çështjeve ushtarake, u reduktuan në to shumë çështje të ndryshme të praktikës dhe shkencës natyrore, pasi gjuha e saktë e matematikës bën të mundur që thjesht të shprehen fakte dhe marrëdhënie që, duke u shprehur në gjuhën e zakonshme, mund të duket konfuze dhe komplekse. Ekuacioni një nga konceptet më të rëndësishme matematikë. Zhvillimi i metodave për zgjidhjen e ekuacioneve, duke filluar nga lindja e matematikës si shkencë, kohe e gjate ishte lënda kryesore e studimit të algjebrës. Dhe sot, në mësimet e matematikës, duke filluar nga faza e parë e arsimit, zgjidhja e ekuacioneve lloje te ndryshme i kushtohet shumë vëmendje.

Nuk ka asnjë formulë universale për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni algjebrik të shkallës së n-të. Shumë, sigurisht, dolën me idenë joshëse për të gjetur për çdo diplomë n formula që do të shprehnin rrënjët e ekuacionit në terma të koeficientëve të tij, domethënë do të zgjidhnin ekuacionin në radikale. Sidoqoftë, "Mesjeta e zymtë" doli të ishte sa më e zymtë në lidhje me problemin në diskutim - për shtatë shekuj të tërë askush nuk gjeti formulat e kërkuara! Vetëm në shekullin e 16-të, matematikanët italianë arritën të shkonin më tej - të gjenin formula për n =3 dhe n =4 . Në të njëjtën kohë pyetja e vendim të përbashkët ekuacionet e shkallës së 3-të u studiuan nga Scipio Dal Ferro, studenti i tij Fiori dhe Tartaglia. Në vitin 1545 u botua libri i matematikanit italian D Cardano "Arti i madh, ose mbi rregullat e algjebrës", ku krahas çështjeve të tjera të algjebrës, shqyrtohen metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kubike, si dhe një metodë për zgjidhjen. ekuacione të shkallës së 4-të, të zbuluara nga nxënësi i tij L. Ferrari. Një prezantim i plotë i çështjeve që kanë të bëjnë me zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës 3 dhe 4 është bërë nga F. Viet. Dhe në vitet 20 të shekullit të 19-të, matematikani norvegjez N. Abel vërtetoi se rrënjët e ekuacioneve të shkallës së 5-të dhe më të lartë nuk mund të shprehen përmes radikalëve.

Procesi i gjetjes së zgjidhjeve për një ekuacion zakonisht konsiston në zëvendësimin e ekuacionit me një ekuivalent. Zëvendësimi i një ekuacioni me një ekuivalent bazohet në zbatimin e katër aksiomave:

1. Nëse sasi të barabarta duke u rritur me të njëjtin numër, rezultatet do të jenë të barabarta.

2. Nëse i njëjti numër zbritet nga vlerat e barabarta, atëherë rezultatet do të jenë të barabarta.

3. Nëse vlerat e barabarta shumëzohen me të njëjtin numër, atëherë rezultatet do të jenë të barabarta.

4. Nëse vlerat e barabarta pjesëtohen me të njëjtin numër, atëherë rezultatet do të jenë të barabarta.

Meqenëse ana e majtë e ekuacionit P(x) = 0 është polinomi n-të shkallë, është e dobishme të kujtojmë deklaratat e mëposhtme:

Deklarata për rrënjët e një polinomi dhe pjesëtuesit e tij:

1. Polinom shkalla e nëntë ka një numër rrënjësh që nuk e kalon numrin n, dhe rrënjët e shumëfishimit m ndodhin saktësisht m herë.

2. Një polinom me shkallë tek ka të paktën një rrënjë reale.

3. Nëse α është rrënja e Р(х), atëherë Р n (х) = (х - α)·Q n - 1 (x), ku Q n - 1 (x) është një polinom i shkallës (n - 1) .

4. Çdo rrënjë numër i plotë i një polinomi me koeficientë të plotë është pjesëtues i termit të lirë.

5. Një polinom i reduktuar me koeficientë të plotë nuk mund të ketë rrënjë racionale të pjesshme.

6. Për një polinom të shkallës së tretë

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d një nga dy gjërat është e mundur: ose zbërthehet në një produkt prej tre binomesh

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ), ose zbërthehet në produktin e një binomi dhe një trinomi katror P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ).

7. Çdo polinom i shkallës së katërt zgjerohet në prodhimin e dy trinomeve katrore.

8. Një polinom f(x) është i pjesëtueshëm me një polinom g(x) pa mbetje nëse ekziston një polinom q(x) i tillë që f(x) = g(x) q(x). Për ndarjen e polinomeve zbatohet rregulli i "pjestimit me kënd".

9. Që polinomi P(x) të jetë i pjesëtueshëm me binomin (x – c), është e nevojshme dhe e mjaftueshme që c të jetë rrënja e P(x) (Pasojë e teoremës së Bezout).

10. Teorema e Vietës: Nëse x 1, x 2, ..., x n janë rrënjët reale të polinomit

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, atëherë vlejnë barazitë e mëposhtme:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

Zgjidhja e shembujve

Shembulli 1 . Gjeni pjesën e mbetur pas pjesëtimit P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 me (x - 1/3).

Vendimi. Sipas konkluzionit të teoremës së Bezout: "Pjestimi i mbetur i një polinomi me një binom (x - c) është i barabartë me vlerën e polinomit në c." Le të gjejmë P(1/3) = 0. Prandaj, mbetja është 0 dhe numri 1/3 është rrënja e polinomit.

Përgjigje: R = 0.

Shembulli 2 . Ndani "këndin" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 me (x + 2). Gjeni pjesën e mbetur dhe herësin e paplotë.

Vendimi:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X 2 - 2x

Përgjigje: R = 3; herësi: 2x 2 - x.

Metodat bazë për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallëve më të larta

1. Prezantimi i një variabli të ri

Metoda e prezantimit të një ndryshoreje të re është që për të zgjidhur ekuacionin f (x) \u003d 0, futet një ndryshore e re (zëvendësim) t \u003d x n ose t \u003d g (x) dhe f (x) shprehet përmes t , duke marrë një ekuacion të ri r (t) . Duke zgjidhur atëherë ekuacionin r(t), gjeni rrënjët: (t 1 , t 2 , …, t n). Pas kësaj, fitohet një grup prej n ekuacionesh q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n, nga të cilat gjenden rrënjët e ekuacionit origjinal.

Shembull;(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Zgjidhje: (x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Zëvendësimi (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Zëvendësimi i kundërt:

x 2 + x + 1 = 2 ose x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 \u003d 0 ose x 2 + x \u003d 0;

Nga ekuacioni i parë: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, nga e dyta: 0 dhe -1.

Metoda e prezantimit të një ndryshoreje të re gjen zbatim në zgjidhje e kthyeshme ekuacione, domethënë ekuacione të formës a 0 x n + a 1 x n - 1 + .. + a n - 1 x + a n \u003d 0, në të cilat koeficientët e termave të ekuacionit, të ndarë në mënyrë të barabartë nga fillimi dhe fundi , janë të barabarta.

2. Faktorizimi me metodën e grupimit dhe formulat e shkurtuara të shumëzimit

Baza kjo metodë konsiston në grupimin e termave në mënyrë të tillë që secili grup të përmbajë një faktor të përbashkët. Për ta bërë këtë, ndonjëherë duhet të përdorni disa truke artificiale.

Shembull: x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Vendimi. Imagjinoni - 3x 2 \u003d -2x 2 - x 2 dhe gruponi:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 ose x 2 + x - 3 \u003d 0.

Nuk ka rrënjë në ekuacionin e parë, nga i dyti: x 1, 2 = (-1 ± √13) / 2.

3. Faktorizimi me metodën e koeficientëve të papërcaktuar

Thelbi i metodës është se polinomi origjinal zbërthehet në faktorë me koeficientë të panjohur. Duke përdorur vetinë që polinomet janë të barabartë nëse koeficientët e tyre janë të barabartë me të njëjtat fuqi, gjenden koeficientët e panjohur të zgjerimit.

Shembull: x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Vendimi. Një polinom i shkallës së tretë mund të zbërthehet në një produkt të faktorëve linearë dhe katrorë.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - sëpatë 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b - a) x 2 + (c - ab) x - ac.

Zgjidhja e sistemit:

marrim

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Rrënjët e ekuacionit (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 janë të lehta për t'u gjetur.

Përgjigje: -1; -2.

4. Mënyra e zgjedhjes së rrënjës me koeficientin më të lartë dhe të lirë

Metoda bazohet në zbatimin e teoremave:

1) Çdo rrënjë numër i plotë i një polinomi me koeficientë të plotë është pjesëtues i termit të lirë.

2) Në mënyrë që thyesa e pakalueshme p / q (p është një numër i plotë, q është një natyror) të jetë rrënja e një ekuacioni me koeficientë të plotë, është e nevojshme që numri p të jetë një pjesëtues i plotë i termit të lirë a 0. , dhe q është një pjesëtues natyror i koeficientit më të lartë.

Shembull: 6x3 + 7x2 - 9x + 2 = 0.

Vendimi:

2: p = ±1, ±2

6: q = 1, 2, 3, 6.

Prandaj p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Pasi të kemi gjetur një rrënjë, për shembull - 2, do të gjejmë rrënjë të tjera duke përdorur ndarjen me një qoshe, metodën e koeficientëve të pacaktuar ose skemën e Horner.

Përgjigje: -2; 1/2; 1/3.

5. Metoda grafike.

Kjo metodë konsiston në vizatimin e grafikëve dhe përdorimin e vetive të funksioneve.

Shembull: x 5 + x - 2 = 0

Le të paraqesim ekuacionin në formën x 5 \u003d - x + 2. Funksioni y \u003d x 5 po rritet, dhe funksioni y \u003d - x + 2 po zvogëlohet. Kjo do të thotë që ekuacioni x 5 + x - 2 \u003d 0 ka një rrënjë të vetme -1.

6. Shumëzimi i një ekuacioni me një funksion.

Ndonjëherë zgjidhja e një ekuacioni algjebrik lehtësohet shumë duke shumëzuar të dy pjesët e tij me ndonjë funksion - një polinom në të panjohurën. Në të njëjtën kohë, duhet të mbahet mend se mund të shfaqen rrënjë shtesë - rrënjët e polinomit me të cilin është shumëzuar ekuacioni. Prandaj, ose duhet të shumëzohet me një polinom që nuk ka rrënjë dhe të merret një ekuacion ekuivalent, ose të shumëzohet me një polinom me rrënjë, dhe më pas secila prej këtyre rrënjëve duhet të zëvendësohet në ekuacionin origjinal dhe të përcaktohet nëse ky numër është rrënja e tij.

Shembull. Zgjidhe ekuacionin:

X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1)

Vendimi: Duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit me polinomin X 2 + 1, i cili nuk ka rrënjë, marrim ekuacionin:

(X 2 + 1) (X 8 - X 6 + X 4 - X 2 + 1) \u003d 0 (2)
ekuivalente me ekuacionin (1). Ekuacioni (2) mund të shkruhet si:

X 10 + 1 = 0 (3)
Është e qartë se ekuacioni (3) nuk ka rrënjë reale, kështu që ekuacioni (1) nuk i ka ato.

Përgjigje: nuk ka zgjidhje.

Përveç metodave të mësipërme për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallëve më të larta, ka edhe të tjera. Për shembull, përzgjedhja katror i plotë, Skema e Hornerit, paraqitja e një thyese si dy thyesa. Nga metodat e zakonshme zgjidhjet e ekuacioneve të shkallëve më të larta, të cilat janë më të zakonshmet, përdorin: metodën e zbërthimit të anës së majtë të ekuacionit në faktorë;

metoda e zëvendësimit të variablave (metoda e prezantimit të një ndryshoreje të re); mënyrë grafike. Këto metoda ua prezantojmë nxënësve të klasës së 9-të gjatë studimit të temës “I gjithë ekuacioni dhe rrënjët e tij”. Në librin shkollor Algjebra 9 (autorë Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. dhe të tjerë) vitet e fundit botimet shqyrtojnë në detaje të mjaftueshme metodat kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallëve më të larta. Për më tepër, në seksionin "Për ata që duan të dinë më shumë", për mendimin tim, materiali është paraqitur në mënyrë të arritshme për zbatimin e teoremave në rrënjën e një polinomi dhe rrënjët e plota të një ekuacioni të tërë kur zgjidhen ekuacionet më të larta. gradë. Nxënësit e përgatitur mirë e studiojnë këtë material me interes dhe më pas ua prezantojnë ekuacionet e zgjidhura shokëve të klasës.

Pothuajse gjithçka që na rrethon është e lidhur në një mënyrë ose në një tjetër me matematikën. Arritjet në fizikë, teknologji, teknologjia e informacionit vetëm konfirmo atë. Dhe ajo që është shumë e rëndësishme - zgjidhja e shumë problemeve praktike zbret në zgjidhjen e llojeve të ndryshme të ekuacioneve që ju duhet të mësoni se si t'i zgjidhni.

Teksti i veprës vendoset pa imazhe dhe formula.
Versioni i plotë puna është e disponueshme në skedën "Skedarët e punës" në formatin PDF

Prezantimi

Zgjidhja e ekuacioneve algjebrike të shkallëve më të larta me një të panjohur është një nga më të vështirat dhe më të vjetrat problemet e matematikës. Matematikanë më të shquar të antikitetit u morën me këto probleme.

Zgjidhja e ekuacioneve të shkallës së n-të është një detyrë e rëndësishme edhe për matematikën moderne. Interesi për to është mjaft i madh, pasi këto ekuacione janë të lidhura ngushtë me kërkimin e rrënjëve të ekuacioneve që nuk merren parasysh nga kurrikula shkollore në matematikë.

Problemi: Mungesa e aftësive në zgjidhjen e ekuacioneve të gradave më të larta në mënyra të ndryshme midis studentëve i pengon ata të përgatiten me sukses për certifikimin përfundimtar në matematikë dhe olimpiadat matematikore, trajnimin në një klasë të specializuar matematikore.

Faktet e mësipërme të përcaktuara rëndësinë të veprës sonë “Zgjidhja e ekuacioneve të gradave të larta”.

Zotërimi i metodave më të thjeshta për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës së n-të zvogëlon kohën e kryerjes së detyrës, nga e cila varet rezultati i punës dhe cilësia e procesit mësimor.

Objektiv: studimi i metodave të njohura për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallëve më të larta dhe identifikimi i më të arritshmeve prej tyre aplikim praktik.

Bazuar në këtë qëllim, vijon detyrat:

Të studiojë literaturën dhe burimet e internetit për këtë temë;

Njihuni me faktet historike që lidhen me këtë temë;

Përshkruani mënyra të ndryshme për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallëve më të larta

krahasoni shkallën e vështirësisë së secilit prej tyre;

Të njohë shokët e klasës me metodat e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallëve më të larta;

Krijo një grup ekuacionesh për zbatimin praktik të secilës prej metodave të shqyrtuara.

Objekti i studimit- ekuacione të shkallëve më të larta me një ndryshore.

Lënda e studimit- mënyrat e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallëve më të larta.

Hipoteza: nuk ka asnjë mënyrë të përgjithshme dhe një algoritëm të vetëm që lejon gjetjen e zgjidhjeve të ekuacioneve të shkallës së nëntë në një numër të kufizuar hapash.

Metodat e hulumtimit:

- biblio metodë grafike(analizë e literaturës për temën e hulumtimit);

- metoda e klasifikimit;

- metoda e analizës cilësore.

Rëndësia teorike kërkimi konsiston në sistemimin e metodave për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallëve më të larta dhe në përshkrimin e algoritmeve të tyre.

Rëndësia praktike- paraqiti materialin për këtë temë dhe zhvillimin e një mjeti mësimor për nxënësit për këtë temë.

1. EKUACIONET E FUQIVE TË LARTË

1.1 Koncepti i një ekuacioni të shkallës së n-të

Përkufizimi 1. Një ekuacion i shkallës së n-të është një ekuacion i formës

a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, ku koeficientët a 0, a 1, a 2…, a n -1, a n - çdo numra realë, për më tepër , a 0 ≠ 0 .

Polinom a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n quhet polinom i shkallës së n-të. Koeficientët dallohen me emra: a 0 - koeficienti i lartë; a n është një anëtar i lirë.

Përkufizim 2. Zgjidhje ose rrënjë për një ekuacion të caktuar janë të gjitha vlerat e ndryshores X, të cilat e kthejnë këtë ekuacion në një barazi të vërtetë numerike ose, për të cilën polinomi a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n shkon në zero. Një vlerë e tillë e ndryshueshme X quhet edhe rrënja e një polinomi. Të zgjidhësh një ekuacion do të thotë të gjesh të gjitha rrënjët e tij ose të vërtetosh se nuk ka asnjë.

Nese nje a 0 = 1, atëherë një ekuacion i tillë quhet numër i plotë i reduktuar ekuacioni racional n th shkallë.

Për ekuacionet e shkallës së tretë dhe të katërt, ekzistojnë formula Cardano dhe Ferrari që shprehin rrënjët e këtyre ekuacioneve në terma radikalësh. Doli se në praktikë ato përdoren rrallë. Kështu, nëse n ≥ 3, dhe koeficientët e polinomit janë numra realë arbitrarë, atëherë gjetja e rrënjëve të ekuacionit nuk është një detyrë e lehtë. Megjithatë, në shumë raste të veçanta ky problem zgjidhet deri në fund. Le të ndalemi në disa prej tyre.

1.2 Fakte historike zgjidhje ekuacionesh të shkallëve më të larta

Një formulë universale për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni algjebrik n-të asnjë diplomë. Shumë, natyrisht, dolën me idenë joshëse për të gjetur formula për çdo fuqi të n që do të shprehte rrënjët e ekuacionit në termat e koeficientëve të tij, domethënë do të zgjidhte ekuacionin në radikale.

Vetëm në shekullin e 16-të, matematikanët italianë arritën të ecnin më tej - të gjenin formula për n \u003d 3 dhe n \u003d 4. Në të njëjtën kohë, Scipio, Dahl, Ferro dhe studentët e tij Fiori dhe Tartaglia u angazhuan në çështjen e zgjidhje e përgjithshme e ekuacioneve të shkallës së 3-të.

Në vitin 1545 u botua libri i matematikanit italian D. Cardano "Arti i madh, ose mbi rregullat e algjebrës", ku krahas pyetjeve të tjera të algjebrës, shqyrtohen metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kubike, si dhe një metodë për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës së 4-të, të zbuluara nga nxënësi i tij L. Ferrari.

Një parashtrim i plotë i pyetjeve në lidhje me zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës 3 dhe 4 u dha nga F. Viet.

Në vitet 20 të shekullit të 19-të, matematikani norvegjez N. Abel vërtetoi se rrënjët e ekuacioneve të shkallës së pestë nuk mund të shprehen përmes radikalëve.

Gjatë studimit u konstatua se shkenca moderne ka shumë mënyra për të zgjidhur ekuacionet e shkallës së n-të.

Rezultati i kërkimit të metodave për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallëve më të larta që nuk mund të zgjidhen me metodat e konsideruara në kurrikulën shkollore janë metoda të bazuara në zbatimin e teoremës Vieta (për ekuacionet e shkallës n>2), teoremat e Bezout, skemat e Hornerit, si dhe formula Cardano dhe Ferrari për zgjidhjen e ekuacioneve kubike dhe kuartike.

Punimi paraqet metodat e zgjidhjes së ekuacioneve dhe llojet e tyre, të cilat janë bërë zbulim për ne. Këto përfshijnë - metodën e koeficientëve të pacaktuar, shpërndarjen e shkallës së plotë, ekuacionet simetrike.

2. ZGJIDHJA E EKUACIONET TË INTEGRUARA TË FUQIVE ME TË LARTË ME KOEFICIENTË TË INTEGRUAR

2.1 Zgjidhja e ekuacioneve të shkallës së 3-të. Formula D. Cardano

Merrni parasysh ekuacionet e formës x 3 +px+q=0. Le të transformojmë ekuacionin pamje e përgjithshme për pamjen: x 3 + px 2 +qx+r=0. Le të shkruajmë formulën e kubit të shumës; Le ta shtojmë atë në barazinë origjinale dhe ta zëvendësojmë me y. Ne marrim ekuacionin: y 3 + (q -) (y -) + (r - =0. Pas transformimeve kemi: y 2 +py + q=0. Tani, le të shkruajmë përsëri formulën e kubit të shumës:

(a+b) 3 =a 3 + 3a 2 b+3ab 2 +b 3 = a 3 +b 3 + 3ab (a + b), zëvendësoj ( a+b) në x, marrim ekuacionin x 3 - 3abx - (a 3 +b 3) = 0. Tani është e qartë se ekuacioni origjinal është i barabartë me sistemin: dhe duke zgjidhur sistemin, marrim:

Ne kemi marrë një formulë për zgjidhjen e ekuacionit të mësipërm të shkallës së 3-të. Mban emrin e matematikanit italian Cardano.

Konsideroni një shembull. Zgjidheni ekuacionin: .

Ne kemi R= 15 dhe q= 124, pastaj duke përdorur formulën Cardano ne llogarisim rrënjën e ekuacionit

Përfundim: kjo formulë është e mirë, por jo e përshtatshme për zgjidhjen e të gjitha ekuacioneve kubike. Megjithatë, është i rëndë. Prandaj, përdoret rrallë në praktikë.

Por ai që e zotëron këtë formulë mund ta përdorë atë në zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës së tretë në provim.

2.2 Teorema e Vietës

Nga kursi i matematikës, ne e dimë këtë teoremë për një ekuacion kuadratik, por pak njerëz e dinë se ajo përdoret edhe për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallëve më të larta.

Merrni parasysh ekuacionin:

faktorizoni anën e majtë të ekuacionit, pjesëtojeni me ≠ 0.

Ne e transformojmë anën e djathtë të ekuacionit në formë

; Nga kjo rrjedh se ne mund të shkruajmë barazitë e mëposhtme në sistem:

Formulat e nxjerra nga Vieta për ekuacionet kuadratike dhe të demonstruara nga ne për ekuacionet e shkallës së 3-të janë gjithashtu të vërteta për polinomet e shkallëve më të larta.

Le të zgjidhim ekuacionin kub:

konkluzioni: kjo mënyrë universale dhe mjaft e lehtë për t'u kuptuar nga studentët, pasi teorema e Vieta është e njohur për ta nga programi shkollor për n. = 2. Në të njëjtën kohë, për të gjetur rrënjët e ekuacioneve duke përdorur këtë teoremë, është e nevojshme të keni aftësi të mira llogaritëse.

2.3 Teorema e Bezout

Kjo teoremë është emëruar sipas matematikanit francez të shekullit të 18-të, J. Bezout.

Teorema. Nëse ekuacioni a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, në të cilën të gjithë koeficientët janë numra të plotë, dhe termi i lirë është i ndryshëm nga zero, ka një rrënjë numër të plotë, atëherë kjo rrënjë është një pjesëtues i termit të lirë.

Duke marrë parasysh që polinomi i shkallës së n-të është në anën e majtë të ekuacionit, teorema ka një interpretim tjetër.

Teorema. Kur pjesëtohet një polinom i shkallës së n-të në lidhje me x në një binom x-a pjesa e mbetur është e barabartë me vlerën e dividentit kur x = a. (letër a mund të shënojë çdo numër real ose imagjinar, d.m.th. çdo numër kompleks).

Dëshmi: le te jete f(x) tregon një polinom arbitrar të shkallës së n-të në lidhje me ndryshoren x, dhe le, kur e pjesëtojmë me një binom ( x-a) ka ndodhur në mënyrë private q(x), dhe në pjesën e mbetur R. Është e qartë se q(x) do të ketë disa polinom (n - 1) shkallë relativisht x, dhe pjesa e mbetur R do të jetë një vlerë konstante, d.m.th. i pavarur nga x.

Nëse pjesa e mbetur R ishte një polinom i shkallës së parë në x, atëherë kjo do të thotë se pjesëtimi nuk është kryer. Kështu që, R nga x nuk varet. Nga përkufizimi i ndarjes, marrim identitetin: f(x)=(x-a)q(x)+R.

Barazia është e vërtetë për çdo vlerë të x, kështu që është e vërtetë edhe për x=a, marrim: f(a)=(a-a)q(a)+R. Simboli f(a) tregon vlerën e polinomit f (x) në x=a, q(a) tregon një vlerë q(x) në x=a. Pjesa e mbetur R mbeti si më parë R nga x nuk varet. Puna ( x-a) q(a) = 0, meqenëse shumëzuesi ( x-a) = 0, dhe shumëzuesi q(a) ka një numër të caktuar. Prandaj, nga barazia marrim: f(a)=R, h.t.d.

Shembulli 1 Gjeni pjesën e mbetur të pjesëtimit të një polinomi x 3 - 3x 2 + 6x- 5 për binom

x- 2. Nga teorema e Bezout : R=f(2) = 23-322 + 62 -5=3. Përgjigje: R= 3.

Vini re se teorema e Bezout nuk është aq e rëndësishme në vetvete, por për shkak të pasojave të saj. (Shtojca 1)

Le të ndalemi në shqyrtimin e disa metodave të zbatimit të teoremës së Bezout për zgjidhjen e problemeve praktike. Duhet të theksohet se kur zgjidhen ekuacionet duke përdorur teoremën Bezout, është e nevojshme:

Gjeni të gjithë pjesëtuesit e plotë të termit të lirë;

Nga këta pjesëtues, gjeni të paktën një rrënjë të ekuacionit;

Ndani anën e majtë të ekuacionit me (Ha);

Shkruani prodhimin e pjesëtuesit dhe të herësit në anën e majtë të ekuacionit;

Zgjidheni ekuacionin që rezulton.

Shqyrtoni shembullin e zgjidhjes së ekuacionit x 3 + 4X 2 + x - 6 = 0 .

Zgjidhje: gjeni pjesëtuesit e termit të lirë ±1 ; ± 2; ± 3; ± 6. Llogaritni vlerat për x= 1, 1 3 + 41 2 + 1-6=0. Ndani anën e majtë të ekuacionit me ( X- 1). Ne kryejmë ndarjen me një "qoshe", marrim:

Përfundim: Teorema e Bezout, një nga mënyrat që ne e konsiderojmë në punën tonë, studiohet në programin e aktiviteteve jashtëshkollore. Është e vështirë të kuptosh, sepse për ta përvetësuar, duhet të dish të gjitha pasojat prej saj, por në të njëjtën kohë, teorema e Bezout është një nga asistentët kryesorë të studentëve në provim.

2.4 Skema e Hornerit

Për të pjesëtuar një polinom me një binom x-α ju mund të përdorni një mashtrim të veçantë të thjeshtë të shpikur nga matematikanët anglezë të shekullit të 17-të, i quajtur më vonë skema e Horner. Përveç gjetjes së rrënjëve të ekuacioneve, skema e Hornerit e bën më të lehtë llogaritjen e vlerave të tyre. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të zëvendësohet vlera e ndryshores në polinomin Pn (x)=a 0 xn+a 1 x n-1 +a 2 xⁿ - ²+…++ a n -1 x+a n. (një)

Merrni parasysh ndarjen e polinomit (1) me binomin x-α.

Shprehim koeficientët e herësit jo të plotë b 0 xⁿ - ¹+ b 1 xⁿ - ²+ b 2 xⁿ - ³+…+ bn -1 dhe pjesa e mbetur r për sa i përket koeficientëve të polinomit Pn( x) dhe numri α. b 0 =a 0 , b 1 = α b 0 +a 1 , b 2 = α b 1 +a 2 …, bn -1 =

= α bn -2 +a n -1 = α bn -1 +a n .

Llogaritjet sipas skemës Horner janë paraqitur në formën e tabelës së mëposhtme:

	a 0	a 1	a 2 ,
	b 0 =a 0	b 1 = α b 0 +a 1	b 2 = α b 1 +a 2		r=α b n-1 +a n

Për aq sa r=Pn(α), atëherë α është rrënja e ekuacionit. Për të kontrolluar nëse α është një rrënjë e shumëfishtë, skema e Hornerit mund të zbatohet tashmë për herësin b. 0 x+ b 1 x+…+ bn -1 sipas tabelës. Nëse në kolonën nën bn -1 ne marrim përsëri 0, pra α është një rrënjë e shumëfishtë.

Shqyrtoni një shembull: zgjidhni ekuacionin X 3 + 4X 2 + x - 6 = 0.

Le të zbatojmë në anën e majtë të ekuacionit faktorizimin e polinomit në anën e majtë të ekuacionit, skema e Hornerit.

Zgjidhje: gjeni pjesëtuesit e termit të lirë ± 1; ±2; ± 3; ± 6.


				6 ∙ 1 + (-6) = 0

Koeficientët e koeficientit janë numrat 1, 5, 6, dhe pjesa e mbetur është r = 0.

Do të thotë, X 3 + 4X 2 + X - 6 = (X - 1) (X 2 + 5X + 6) = 0.

Nga këtu: X- 1 = 0 ose X 2 + 5X + 6 = 0.

X = 1, X 1 = -2; X 2 = -3. Përgjigje: 1,- 2, - 3.

Përfundim: kështu, në një ekuacion, ne kemi treguar përdorimin e dy mënyra të ndryshme faktorizimet e polinomeve. Sipas mendimit tonë, skema e Horner është më praktike dhe ekonomike.

2.5 Zgjidhja e ekuacioneve të shkallës 4. Metoda Ferrari

Studenti i Cardanos, Ludovic Ferrari, zbuloi një mënyrë për të zgjidhur një ekuacion të shkallës së 4-të. Metoda e Ferrarit përbëhet nga dy hapa.

Faza I: ekuacioni i formës paraqitet si prodhim i dy trinomeve katrore, kjo rrjedh nga fakti se ekuacioni është i shkallës së 3-të dhe të paktën një zgjidhje.

Faza II: ekuacionet që rezultojnë zgjidhen duke përdorur faktorizimin, megjithatë, për të gjetur faktorizimin e kërkuar, duhet të zgjidhen ekuacionet kubike.

Ideja është që ekuacionet të paraqiten si A 2 =B 2 ku A= x 2+s,

Funksioni B-linear i x. Pastaj mbetet të zgjidhen ekuacionet A = ±B.

Për qartësi, merrni parasysh ekuacionin: Ne ndajmë shkallën e 4-të, marrim: Për cilindo d shprehja do të jetë një katror i përsosur. Shtojmë në të dyja anët e ekuacionit që marrim

Në anën e majtë është një shesh i plotë, ju mund të vini d në mënyrë që ana e djathtë e (2) të bëhet një katror i përsosur. Imagjinoni që ne e kemi arritur këtë. Atëherë ekuacioni ynë duket si ky:

Gjetja e rrënjës më vonë nuk do të jetë e vështirë. Për të zgjedhur të drejtën dështë e nevojshme që diskriminuesi i anës së djathtë të (3) të zhduket, d.m.th.

Pra për të gjetur d, është e nevojshme të zgjidhet ky ekuacion i shkallës së 3-të. Ky ekuacion ndihmës quhet zgjidhëse.

Mund të gjejmë lehtësisht rrënjën e plotë të tretësit: d= 1

Duke zëvendësuar ekuacionin në (1), marrim

Përfundim: metoda e Ferrarit është universale, por e ndërlikuar dhe e rëndë. Në të njëjtën kohë, nëse algoritmi i zgjidhjes është i qartë, atëherë ekuacionet e shkallës së 4-të mund të zgjidhen me këtë metodë.

2.6 Metoda e koeficientëve të pacaktuar

Suksesi i zgjidhjes së ekuacionit të shkallës së 4-të me metodën e Ferrarit varet nëse zgjidhim tretësin - ekuacionin e shkallës së 3-të, i cili, siç e dimë, nuk është gjithmonë i mundur.

Thelbi i metodës së koeficientëve të pacaktuar është që të merret me mend lloji i faktorëve në të cilët zbërthehet një polinom i caktuar, dhe koeficientët e këtyre faktorëve (gjithashtu polinomet) përcaktohen duke shumëzuar faktorët dhe duke barazuar koeficientët me të njëjtat fuqi të e ndryshueshme.

Shembull: zgjidhni ekuacionin:

Le të supozojmë se ana e majtë e ekuacionit tonë mund të zbërthehet në dy trinome katrore me koeficientë të plotë të tillë që barazia identike të jetë e vërtetë

Është e qartë se koeficientët para tyre duhet të jenë të barabartë me 1, dhe termat e lirë duhet të jenë të barabartë me një + 1, tjetri ka 1.

Koeficientët përballë X. Le t'i shënojmë ato me a dhe për t'i përcaktuar ato, ne i shumëzojmë të dy trinomet në anën e djathtë të ekuacionit.

Si rezultat, marrim:

Barazimi i koeficientëve me të njëjtat fuqi X në anën e majtë dhe të djathtë të barazisë (1), marrim një sistem për gjetjen dhe

Zgjidhjen e këtij sistemi, ne do të kemi

Pra, ekuacioni ynë është i barabartë me ekuacionin

Duke e zgjidhur atë, marrim rrënjët e mëposhtme: .

Metoda e koeficientëve të pacaktuar bazohet në pohimet e mëposhtme: çdo polinom i shkallës së katërt në ekuacion mund të zbërthehet në produktin e dy polinomeve të shkallës së dytë; dy polinome janë identikisht të barabartë nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre janë të barabartë me të njëjtat fuqi X.

2.7 Ekuacionet simetrike

Përkufizimi. Një ekuacion i formës quhet simetrik nëse koeficientët e parë në të majtë të ekuacionit janë të barabartë me koeficientët e parë në të djathtë.

Ne shohim se koeficientët e parë në të majtë janë të barabartë me koeficientët e parë në të djathtë.

Nëse një ekuacion i tillë ka një shkallë tek, atëherë ai ka një rrënjë X= - 1. Më pas, mund ta ulim shkallën e ekuacionit duke e pjesëtuar me ( x+ një). Rezulton se kur pjesëtohet ekuacioni simetrik me ( x+ 1) fitohet një ekuacion simetrik me shkallë çift. Vërtetimi i simetrisë së koeficientëve është paraqitur më poshtë. (Shtojca 6) Detyra jonë është të mësojmë se si të zgjidhim ekuacionet simetrike të shkallës çift.

Për shembull: (1)

Ne zgjidhim ekuacionin (1), ndajmë me X 2 (në shkallën e mesme) = 0.

I grupojmë termat me simetrik

) + 3(x+ . Shënoni në= x+ , le t'i vendosim në katror të dyja pjesët, pra = në 2 pra 2( në 2 ose 2 në 2 + 3 duke zgjidhur ekuacionin, marrim në = , në= 3. Më pas, kthehemi te zëvendësimi x+ = dhe x+ = 3. Marrim ekuacionet dhe i pari nuk ka zgjidhje, dhe i dyti ka dy rrënjë. Përgjigje:.

Përfundim: ky lloj ekuacionesh nuk haset shpesh, por nëse e hasni, atëherë mund të zgjidhet lehtësisht dhe thjesht pa iu drejtuar llogaritjeve të rënda.

2.8 Nxjerrja e shkallës së plotë

Merrni parasysh ekuacionin.

Ana e majtë është kubi i shumës (x + 1), d.m.th.

E nxjerrim rrënjën e shkallës së tretë nga të dyja pjesët: , pastaj marrim

Ku është e vetmja rrënjë.

REZULTATET E STUDIMIT

Si rezultat i punës, arritëm në përfundimet e mëposhtme:

Falë teorisë së studiuar, ne u njohëm me metoda të ndryshme zgjidhje të ekuacioneve të tëra të shkallëve më të larta;

Formula e D. Cardano është e vështirë për t'u përdorur dhe jep një probabilitet të lartë për të bërë gabime në llogaritje;

− metoda e L. Ferrarit lejon zvogëlimin e zgjidhjes së ekuacionit të shkallës së katërt në atë kubike;

− Teorema e Bezout mund të përdoret si për ekuacionet kubike ashtu edhe për ekuacionet e shkallës së katërt; është më i kuptueshëm dhe ilustrues kur zbatohet për zgjidhjen e ekuacioneve;

Skema e Horner ndihmon për të reduktuar dhe thjeshtuar ndjeshëm llogaritjet në zgjidhjen e ekuacioneve. Përveç gjetjes së rrënjëve, skema e Hornerit e bën më të lehtë llogaritjen e vlerave të polinomeve në anën e majtë të ekuacionit;

Me interes të veçantë ishte zgjidhja e ekuacioneve me metodën e koeficientëve të pacaktuar, zgjidhja e ekuacioneve simetrike.

gjatë punë kërkimore rezultoi se nxënësit njihen me metodat më të thjeshta të zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës më të lartë në orët me zgjedhje të matematikës, duke filluar nga klasa e 9-të ose e 10-të, si dhe në kurse të veçanta të shkollave matematikore udhëtuese. Ky fakt krijuar si rezultat i një anketimi të mësuesve të matematikës në MBOU "Shkolla e Mesme Nr. 9" dhe nxënësve që shfaqin interes të shtuar për lëndën "matematikë".

Metodat më të njohura për zgjidhjen e ekuacioneve të gradave më të larta, të cilat ndeshen në zgjidhjen e problemeve olimpiadike, konkurruese dhe si rezultat i përgatitjes për provime nga studentët, janë metodat e bazuara në zbatimin e teoremës së Bezout, skemës së Hornerit dhe futjes së një ndryshoreje të re. .

Demonstrimi i rezultateve të punës kërkimore, d.m.th. mënyrat e zgjidhjes së ekuacioneve që nuk studiohen në kurrikulën e shkollës në matematikë, shokët e klasës të interesuar.

konkluzioni

Duke studiuar literaturën arsimore dhe shkencore, burimet e internetit në forumet arsimore të të rinjve

Trifanova Marina Anatolievna
Mësues matematike, gjimnazi nr.48 (me shumë profil)

Qëllimi i trefishtë i mësimit:

Edukative:
sistematizimi dhe përgjithësimi i njohurive për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallëve më të larta.
Zhvillimi:
nxisin zhvillimin të menduarit logjik, aftësia për të punuar në mënyrë të pavarur, aftësitë e kontrollit dhe vetëkontrollit reciprok, aftësia për të folur dhe dëgjuar.
Edukimi:
zhvillimi i zakonit të punësimit të vazhdueshëm, edukimi i përgjegjshmërisë, punës së palodhur, saktësisë.

Lloji i mësimit:

një mësim në zbatimin kompleks të njohurive, aftësive dhe aftësive.

Formulari i Mësimit:

ajrim, minutë fizike, forma të ndryshme pune.

Pajisjet:

shënimet e referencës, kartat e detyrave, matrica e monitorimit të mësimit.

GJATË ORËSVE

I. Momenti organizativ

T'u komunikoni nxënësve qëllimin e mësimit.
Ekzaminimi detyre shtepie(Shtojca 1). Punoni me abstraktin bazë (Shtojca 2).

Ekuacionet dhe përgjigjet për secilin shkruhen në tabelë. Nxënësit kontrollojnë përgjigjet e tyre dhe japin analizë e shkurtër duke zgjidhur çdo ekuacion ose duke iu përgjigjur pyetjeve të mësuesit (anketimi ballor). Vetëkontroll - nxënësit i japin vetes notat dhe i dorëzojnë fletoret mësuesit për të kontrolluar korrigjimin e notave apo miratimin e tyre. Klasat e shkollës të shkruara në dërrasën e zezë:

"5+" - 6 ekuacione;
"5" - 5 ekuacione;
"4" - 4 ekuacione;
"3" - 3 ekuacione.

Pyetjet e mësuesit për detyrat e shtëpisë:

1 ekuacion

Cili është ndryshimi i variablave në ekuacion?
Cili ekuacion fitohet pas ndryshimit të variablave?

2 ekuacioni

Cili polinom ndan të dyja anët e ekuacionit?
Çfarë zëvendësimi i variablave është marrë?

3 ekuacioni

Çfarë polinomesh duhen shumëzuar për të thjeshtuar zgjidhjen e këtij ekuacioni?

4 ekuacioni

Emërtoni funksionin f(x).
Si u gjetën rrënjët e tjera?

5 ekuacioni

Sa intervale janë marrë për të zgjidhur ekuacionin?

6 ekuacioni

Si mund të zgjidhej ky ekuacion?
Cila zgjidhje është më racionale?

II. Puna në grup është pjesa kryesore e mësimit.

Klasa është e ndarë në 4 grupe. Secilit grup i jepet një kartë me pyetje teorike dhe praktike (Shtojca 3): “Zbërthejeni metodën e propozuar për zgjidhjen e ekuacionit dhe shpjegoni duke përdorur këtë shembull”.

Punë në grup 15 minuta.
Shembujt shkruhen në tabelë (tabela ndahet në 4 pjesë).
Raporti i grupit zgjat 2-3 minuta.
Mësuesi korrigjon raportet e grupeve dhe ndihmon në rast vështirësie.

Vazhdon puna në grup për kartat nr.5 - 8. Për çdo ekuacion jepen 5 minuta për diskutim në grup. Pastaj dërrasa e zezë ka një raport mbi këtë ekuacion - një analizë e shkurtër e zgjidhjes. Ekuacioni mund të mos zgjidhet plotësisht - ai po finalizohet në shtëpi, por diskutohet e gjithë sekuenca e zgjidhjes së tij në klasë.

III. Punë e pavarur. Shtojca 4.

Çdo student merr një detyrë individuale.
Puna zgjat 20 minuta.
5 minuta para përfundimit të orës së mësimit mësuesi/ja jep përgjigje të hapura për çdo ekuacion.
Nxënësit ndryshojnë fletoret në formë rrethi dhe kontrollojnë përgjigjet me një shok. Dhënia e vlerësimeve.
Fletoret i dorëzohen mësuesit për kontrollimin dhe korrigjimin e notave.

IV. Përmbledhje e mësimit.

Detyre shtepie.

Plotësoni zgjidhjen e ekuacioneve jo të plota. Përgatituni për prerjen e kontrollit.

Notimi.

Kur zgjidhen ekuacionet algjebrike, shpesh është e nevojshme të faktorizohet një polinom. Faktorizimi i një polinomi do të thotë ta përfaqësosh atë si produkt të dy ose më shumë polinomeve. Ne përdorim mjaft shpesh disa metoda të zgjerimit të polinomeve: nxjerrja e një faktori të përbashkët, përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit, nxjerrja në pah e katrorit të plotë, grupimi. Le të shohim disa metoda të tjera.

Ndonjëherë, kur faktorizoni një polinom, pohimet e mëposhtme janë të dobishme:

1) nëse një polinom me koeficientë të plotë ka një rrënjë racionale (ku është një fraksion i pakalueshëm, atëherë është pjesëtuesi i termit të lirë dhe pjesëtuesi i koeficientit më të lartë:

2) Nëse zgjidhni disi rrënjën e një polinomi të shkallës, atëherë polinomi mund të përfaqësohet në formën ku polinomi i shkallës

Polinomi mund të gjendet ose duke e ndarë polinomin me binomin "kolona", ose me grupimin përkatës të termave të polinomit dhe duke nxjerrë një faktor prej tyre, ose me metodën e koeficientëve të pacaktuar.

Shembull. Faktorizoni një polinom

Vendimi. Meqenëse koeficienti në x4 është i barabartë me 1, atëherë rrënjët racionale të këtij polinomi ekzistojnë, janë pjesëtues të numrit 6, domethënë mund të jenë numra të plotë ±1, ±2, ±3, ±6. Këtë polinom e shënojmë me P4(x). Meqenëse Р Р4 (1) = 4 dhe Р4 (-4) = 23, numrat 1 dhe -1 nuk janë rrënjë të polinomit PA (x). Meqenëse P4(2) = 0, atëherë x = 2 është rrënja e polinomit P4(x), dhe, për rrjedhojë, ky polinom është i pjesëtueshëm me binomin x - 2. Prandaj x4 -5x3 +7x2 -5x +6 x- 2 x4 -2x3 x3 -3x2 +x-3

3x3 +7x2 -5x +6

3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6 x2 - 2x

Prandaj, P4 (x) = (x - 2) (x3 - 3x2 + x - 3). Meqenëse xz - Zx2 + x - 3 \u003d x2 (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x2 + 1), pastaj x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 \u003d (x - 2) (x - 3) (x2 + 1).

Metoda e futjes së parametrave

Ndonjëherë, kur faktorizoni një polinom, metoda e prezantimit të një parametri ndihmon. Thelbi i kësaj metode do të shpjegohet me shembullin e mëposhtëm.

Shembull. x3 - (√3 + 1) x2 + 3.

Vendimi. Konsideroni një polinom me parametrin a: x3 - (a + 1)x2 + a2, i cili kthehet në një polinom të dhënë për a = √3. Këtë polinom e shkruajmë si trinomi katror në lidhje me a: ar - ax2 + (x3 - x2).

Meqenëse rrënjët e këtij katrori trinomial në lidhje me a janë a1 = x dhe a2 = x2 - x, atëherë barazia a2 - ax2 + (xs - x2) = (a - x) (a - x2 + x) është e vërtetë. Prandaj, polinomi x3 - (√3 + 1)x2 + 3 zbërthehet në faktorë √3 - x dhe √3 - x2 + x, d.m.th.

x3 - (√3+1)x2+3=(x-√3)(x2-x-√3).

Metoda për futjen e një të panjohure të re

Në disa raste, duke zëvendësuar shprehjen f(x), e cila përfshihet në polinomin Pn(x), përmes y, mund të merret një polinom në lidhje me y, i cili tashmë mund të faktorizohet lehtësisht. Më pas, pas zëvendësimit të y me f(x), marrim një faktorizim të polinomit Pn(x).

Shembull. Faktoroni polinomin x(x+1)(x+2)(x+3)-15.

Vendimi. Le ta transformojmë këtë polinom si më poshtë: x(x+1)(x+2)(x+3)-15= [x (x + 3)][(x + 1)(x + 2)] - 15 = ( x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.

Shënoni x2 + 3x me y. Atëherë kemi y(y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1 - 16 = (y + 1)2 - 16 = (y + 1 + 4)(y + 1 - 4)= ( y + 5) (y - 3).

Prandaj x(x + 1) (x + 2) (x + 3) - 15 = (x2 + 3x + 5) (x2 + 3x - 3).

Shembull. Faktorizoni polinomin (x-4)4+(x+2)4

Vendimi. Shënoni x - 4 + x + 2 = x - 1 me y.

(x - 4)4 + (x + 2)2 = (y - 3)4 + (y + 3)4 = y4 - 12y3 + 54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =

2y4 + 108y2 + 162 = 2(y4 + 54y2 + 81) = 2[(y2 + 27)2 - 648] = 2 (y2 + 27 - √b48)(y2 + 27+√b48)=

2((x-1)2+27-√b48)((x-1)2+27+√b48)=2(x2-2x + 28- 18√ 2)(x2- 2x + 28 + 18√ 2 ).

Kombinimi i metodave të ndryshme

Shpesh, kur faktorizoni një polinom, duhet të aplikoni në mënyrë të njëpasnjëshme disa nga metodat e diskutuara më sipër.

Shembull. Faktorizoni polinomin x4 - 3x2 + 4x-3.

Vendimi. Duke përdorur grupimin, ne rishkruajmë polinomin në formën x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3).

Duke zbatuar metodën e zgjedhjes së një katrori të plotë në kllapin e parë, kemi x4 - 3x3 + 4x - 3 = (x4 - 2 1 x2 + 12) - (x2 -4x + 4).

Duke përdorur formulën katrore të plotë, tani mund të shkruajmë se x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 -1)2 - (x - 2)2.

Së fundi, duke zbatuar formulën e diferencës së katrorëve, marrim se x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) \u003d (x2 + x-3) (x2 - x + 1).

§ 2. Ekuacionet simetrike

1. Ekuacionet simetrike të shkallës së tretë

Ekuacionet e formës ax3 + bx2 + bx + a \u003d 0, a ≠ 0 (1) quhen ekuacione simetrike të shkallës së tretë. Meqenëse ax3 + bx2 + bx + a \u003d a (x3 + 1) + bx (x + 1) \u003d (x + 1) (ax2 + (b-a) x + a), atëherë ekuacioni (1) është i barabartë me grup ekuacionesh x + 1 \u003d 0 dhe ax2 + (b-a) x + a \u003d 0, i cili nuk është i vështirë për t'u zgjidhur.

Shembulli 1. Zgjidheni ekuacionin

3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0. (2)

Vendimi. Ekuacioni (2) është një ekuacion simetrik i shkallës së tretë.

Meqenëse 3x3 + 4xr + 4x + 3 = 3(x3 + 1) + 4x(x + 1) = (x + 1)(3x2 - 3x + 3 + 4x) = (x + 1)(3x2 + x + 3) , atëherë ekuacioni (2) është i barabartë me bashkësinë e ekuacioneve x + 1 = 0 dhe 3x3 + x +3=0.

Zgjidhja e të parës nga këto ekuacione është x = -1, ekuacioni i dytë nuk ka zgjidhje.

Përgjigje: x = -1.

2. Ekuacionet simetrike të shkallës së katërt

Ekuacioni i llojit

(3) quhet ekuacion simetrik i shkallës së katërt.

Meqenëse x \u003d 0 nuk është rrënja e ekuacionit (3), atëherë, duke ndarë të dyja pjesët e ekuacionit (3) me x2, marrim një ekuacion të barabartë me atë origjinal (3):

Le të rishkruajmë ekuacionin (4) në formën:

Në këtë ekuacion, ne bëjmë një zëvendësim, pastaj marrim ekuacioni kuadratik

Nëse ekuacioni (5) ka 2 rrënjë y1 dhe y2, atëherë ekuacioni origjinal është i barabartë me grupin e ekuacioneve

Nëse ekuacioni (5) ka një rrënjë у0, atëherë ekuacioni origjinal është i barabartë me ekuacionin

Së fundi, nëse ekuacioni (5) nuk ka rrënjë, atëherë ekuacioni origjinal gjithashtu nuk ka rrënjë.

Shembulli 2. Zgjidheni ekuacionin

Vendimi. Ky ekuacion është një ekuacion simetrik i shkallës së katërt. Meqenëse x \u003d 0 nuk është rrënja e tij, atëherë, duke e ndarë ekuacionin (6) me x2, marrim një ekuacion ekuivalent:

Duke grupuar termat, e rishkruajmë ekuacionin (7) në formë ose në formë

Duke supozuar, marrim një ekuacion që ka dy rrënjë y1 = 2 dhe y2 = 3. Prandaj, ekuacioni origjinal është i barabartë me grupin e ekuacioneve

Zgjidhja e ekuacionit të parë të kësaj bashkësie është x1 = 1, dhe zgjidhja e ekuacionit të dytë është u.

Prandaj, ekuacioni origjinal ka tre rrënjë: x1, x2 dhe x3.

Përgjigje: x1=1.

§3. Ekuacionet algjebrike

1. Zvogëlimi i shkallës së ekuacionit

Disa ekuacione algjebrike, duke zëvendësuar disa polinom në to me një shkronjë, mund të reduktohen në ekuacionet algjebrike, shkalla e të cilit është më e vogël se shkalla e ekuacionit origjinal dhe zgjidhja e të cilit është më e thjeshtë.

Shembulli 1. Zgjidheni ekuacionin

Vendimi. Shënoni me, atëherë ekuacioni (1) mund të rishkruhet si Ekuacioni i fundit ka rrënjë dhe Prandaj, ekuacioni (1) është i barabartë me bashkësinë e ekuacioneve dhe. Zgjidhja e ekuacionit të parë të kësaj bashkësie është dhe Zgjidhja e ekuacionit të dytë është

Zgjidhjet e ekuacionit (1) janë

Shembulli 2. Zgjidheni ekuacionin

Vendimi. Duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit me 12 dhe duke treguar me,

Marrim ekuacionin Këtë ekuacion e rishkruajmë në formë

(3) dhe duke treguar përmes rishkruajmë ekuacionin (3) në formën Ekuacioni i fundit ka rrënjë dhe prandaj, marrim se ekuacioni (3) është i barabartë me bashkësinë e dy ekuacioneve dhe 4)

Zgjidhjet e grupit (4) janë dhe, dhe ato janë zgjidhjet e ekuacionit (2).

2. Ekuacionet e formës

Ekuacioni

(5) ku jepen numrat, mund të reduktohet në ekuacioni bikuadratik me ndihmën e zëvendësimit të së panjohurës, d.m.th., zëvendësimit

Shembulli 3. Zgjidheni ekuacionin

Vendimi. Le të shënojmë me, d.m.th. ne bëjmë një ndryshim të ndryshoreve ose atëherë ekuacioni (6) mund të rishkruhet në formë ose, duke përdorur formulën, në formën

Meqenëse rrënjët e ekuacionit kuadratik janë dhe, atëherë zgjidhjet e ekuacionit (7) janë zgjidhjet e grupit të ekuacioneve dhe. Ky grup ekuacionesh ka dy zgjidhje dhe Prandaj, zgjidhjet e ekuacionit (6) janë dhe

3. Ekuacionet e formës

Ekuacioni

(8) ku numrat α, β, γ, δ dhe Α janë të tillë që α

Shembulli 4. Zgjidheni ekuacionin

Vendimi. Le të bëjmë një ndryshim të të panjohurave, d.m.th. y=x+3 ose x = y – 3. Atëherë ekuacioni (9) mund të rishkruhet si

(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10, d.m.th. në formën

(y2-4)(y2-1)=10(10)

Ekuacioni bikuadratik (10) ka dy rrënjë. Prandaj, ekuacioni (9) gjithashtu ka dy rrënjë:

4. Ekuacionet e formës

Ekuacioni, (11)

Ku, nuk ka rrënjë x = 0, prandaj, duke pjesëtuar ekuacionin (11) me x2, marrim një ekuacion ekuivalent

I cili, pasi të zëvendësojë të panjohurën, do të rishkruhet në formën e një ekuacioni kuadratik, zgjidhja e të cilit nuk është e vështirë.

Shembulli 5. Zgjidheni ekuacionin

Vendimi. Meqenëse h \u003d 0 nuk është rrënja e ekuacionit (12), atëherë, duke e ndarë atë me x2, marrim një ekuacion të barabartë me të

Duke e bërë ndryshimin të panjohur, fitojmë ekuacionin (y+1)(y+2)=2, i cili ka dy rrënjë: y1 = 0 dhe y1 = -3. Prandaj, ekuacioni origjinal (12) është i barabartë me grupin e ekuacioneve

Ky koleksion ka dy rrënjë: x1= -1 dhe x2 = -2.

Përgjigje: x1= -1, x2 = -2.

Komentoni. ekuacioni i llojit,

E cila gjithmonë mund të reduktohet në formën (11) dhe, për më tepër, duke marrë parasysh α > 0 dhe λ > 0 në formën.

5. Ekuacionet e formës

Ekuacioni

,(13) ku numrat, α, β, γ, δ dhe Α janë të tillë që αβ = γδ ≠ 0, mund të rishkruhen duke shumëzuar kllapin e parë me të dytën, dhe të tretën me të katërtën, në formën d.m.th. ekuacioni (13) tani është shkruar në formën (11), dhe zgjidhja e tij mund të kryhet në të njëjtën mënyrë si zgjidhja e ekuacionit (11).

Shembulli 6. Zgjidheni ekuacionin

Vendimi. Ekuacioni (14) ka formën (13) , kështu që ne e rishkruajmë atë si

Meqenëse x = 0 nuk është zgjidhje e këtij ekuacioni, duke pjesëtuar të dyja anët e tij me x2, marrim një ekuacion origjinal ekuivalent. Duke bërë një ndryshim të ndryshoreve, marrim një ekuacion kuadratik zgjidhja e të cilit është dhe. Prandaj, ekuacioni origjinal (14) është i barabartë me bashkësinë e ekuacioneve u.

Zgjidhja e ekuacionit të parë të kësaj bashkësie është

Ekuacioni i dytë i këtij grupi zgjidhjesh ka nr. Pra, ekuacioni origjinal ka rrënjët x1 dhe x2.

6. Ekuacionet e formës

Ekuacioni

(15) ku numrat a, b, c, q, A janë të tillë që, nuk ka rrënjë x = 0, pra, pjesëtimi i ekuacionit (15) me x2. fitojmë një ekuacion të barabartë me të, i cili pas zëvendësimit të së panjohurës do të rishkruhet në formën e një ekuacioni kuadratik, zgjidhja e të cilit nuk është e vështirë.

Shembulli 7. Zgjidhja e ekuacionit

Vendimi. Meqenëse x \u003d 0 nuk është rrënja e ekuacionit (16), atëherë, duke i ndarë të dy pjesët e tij me x2, marrim ekuacionin

, (17) ekuivalente me ekuacionin (16). Pasi kemi bërë ndryshimin e së panjohurës, mund ta rishkruajmë ekuacionin (17) në formë

Ekuacioni kuadratik (18) ka 2 rrënjë: y1 = 1 dhe y2 = -1. Prandaj, ekuacioni (17) është i barabartë me grupin e ekuacioneve dhe (19)

Bashkësia e ekuacioneve (19) ka 4 rrënjë: ,.

Ato do të jenë rrënjët e ekuacionit (16).

§4. Ekuacione racionale

Ekuacionet e formës = 0, ku H(x) dhe Q(x) janë polinome quhen racionale.

Pasi të keni gjetur rrënjët e ekuacionit H(x) = 0, atëherë duhet të kontrolloni se cilat prej tyre nuk janë rrënjët e ekuacionit Q(x) = 0. Këto rrënjë dhe vetëm ato do të jenë zgjidhje të ekuacionit.

Konsideroni disa metoda për zgjidhjen e një ekuacioni të formës = 0.

1. Ekuacionet e formës

Ekuacioni

(1) në kushte të caktuara, numrat mund të zgjidhen si më poshtë. Duke grupuar termat e ekuacionit (1) me dy dhe duke përmbledhur çdo çift, duhet të fitohen polinomet numërues të shkallës së parë ose zero, që ndryshojnë vetëm në faktorë numerik, dhe në emërues - trinome me dy terma të njëjtë që përmbajnë x, atëherë pas ndryshimit të variablave, ekuacioni ose do të ketë edhe formën (1), por me numër më të vogël termash, ose do të jetë i barabartë me një kombinim të dy ekuacioneve, njëri prej të cilëve do të jetë i shkallës së parë dhe e dyta do të jetë një ekuacion i formës (1), por me një numër më të vogël termash.

Shembull. zgjidhin ekuacionin

Vendimi. Duke grupuar në anën e majtë të ekuacionit (2) termin e parë me atë të fundit dhe të dytin me atë të parafundit, e rishkruajmë ekuacionin (2) në formën

Duke përmbledhur termat në çdo kllapa, ne rishkruajmë barazimin (3) si

Meqenëse nuk ka zgjidhje për ekuacionin (4), atëherë, duke e pjesëtuar këtë ekuacion me, marrim ekuacionin

, (5) ekuivalente me ekuacionin (4). Le të bëjmë një ndryshim të së panjohurës, atëherë ekuacioni (5) do të rishkruhet në formë

Kështu, zgjidhja e ekuacionit (2) me pesë terma në anën e majtë reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit (6) të së njëjtës formë, por me tre terma në anën e majtë. Duke përmbledhur të gjithë termat në anën e majtë të ekuacionit (6), ne e rishkruajmë atë në formë

Ka edhe zgjidhje për ekuacionin. Asnjë nga këta numra nuk e zhduk emëruesin e funksionit racional në anën e majtë të ekuacionit (7). Prandaj, ekuacioni (7) ka këto dy rrënjë, dhe për këtë arsye ekuacioni origjinal (2) është i barabartë me grupin e ekuacioneve

Zgjidhjet e ekuacionit të parë të kësaj bashkësie janë

Zgjidhjet e ekuacionit të dytë nga kjo bashkësi janë

Prandaj, ekuacioni origjinal ka rrënjë

2. Ekuacionet e formës

Ekuacioni

(8) në kushte të caktuara numrat mund të zgjidhen si më poshtë: është e nevojshme të zgjidhet pjesa e plotë në secilën prej fraksioneve të ekuacionit, d.m.th., të zëvendësohet ekuacioni (8) me ekuacionin

Reduktojeni atë në formën (1) dhe më pas zgjidheni në mënyrën e përshkruar në paragrafin e mëparshëm.

Shembull. zgjidhin ekuacionin

Vendimi. Ekuacionin (9) e shkruajmë në formë ose në formë

Duke përmbledhur termat në kllapa, ne e rishkruajmë barazimin (10) si

Duke bërë ndryshimin e të panjohurës, e rishkruajmë ekuacionin (11) në formë

Duke përmbledhur termat në anën e majtë të ekuacionit (12), ne e rishkruajmë atë në formë

Është e lehtë të shihet se ekuacioni (13) ka dy rrënjë: dhe. Prandaj, ekuacioni origjinal (9) ka katër rrënjë:

3) Ekuacionet e formës.

Një ekuacion i formës (14) në kushte të caktuara për numrat mund të zgjidhet si më poshtë: duke zgjeruar (nëse, sigurisht, kjo është e mundur) secilin prej thyesave në anën e majtë të ekuacionit (14) në shumën e thyesave të thjeshta

Zvogëloni ekuacionin (14) në formën (1), më pas, pasi të keni kryer një rirregullim të përshtatshëm të termave të ekuacionit që rezulton, zgjidheni atë me metodën e përshkruar në paragrafin 1).

Shembull. zgjidhin ekuacionin

Vendimi. Meqenëse dhe, atëherë, shumëzoni numëruesin e çdo thyese në ekuacionin (15) me 2 dhe vini re se ekuacioni (15) mund të shkruhet si

Ekuacioni (16) ka formën (7). Duke rigrupuar termat në këtë ekuacion, ne e rishkruajmë atë në formë ose në formë

Ekuacioni (17) është i barabartë me bashkësinë e ekuacioneve dhe

Për të zgjidhur ekuacionin e dytë të grupit (18), do të bëjmë një ndryshim të së panjohurës Më pas ajo do të rishkruhet në formë ose në formë

Duke përmbledhur të gjithë termat në anën e majtë të ekuacionit (19), rishkruajeni atë si

Meqenëse ekuacioni nuk ka rrënjë, ekuacioni (20) nuk i ka as ato.

Ekuacioni i parë i grupit (18) ka një rrënjë të vetme Meqenëse kjo rrënjë përfshihet në ODZ të ekuacionit të dytë të grupit (18), ajo është rrënja e vetme e grupit (18), dhe rrjedhimisht ekuacioni origjinal.

4. Ekuacionet e formës

Ekuacioni

(21) në kushte të caktuara në numrat dhe A, pasi të përfaqësohet çdo term në anën e majtë në formë, mund të reduktohet në formën (1).

Shembull. zgjidhin ekuacionin

Vendimi. Le ta rishkruajmë ekuacionin (22) në formë ose në formë

Kështu, ekuacioni (23) reduktohet në formën (1). Tani, duke grupuar termin e parë me të fundit dhe të dytin me të tretën, e rishkruajmë ekuacionin (23) në formën

Ky ekuacion është i barabartë me bashkësinë e ekuacioneve dhe. (24)

Ekuacioni i grupit të fundit (24) mund të rishkruhet si

Ka zgjidhje për këtë ekuacion dhe, duke qenë se përfshihet në ODZ të ekuacionit të dytë të grupit (30), atëherë grupi (24) ka tre rrënjë: Të gjitha ato janë zgjidhje të ekuacionit origjinal.

5. Ekuacionet e formës.

Ekuacioni i formës (25)

Në kushte të caktuara për numrat, duke zëvendësuar të panjohurën, mund të reduktohet në një ekuacion të formës

Shembull. zgjidhin ekuacionin

Vendimi. Meqenëse nuk është zgjidhje e ekuacionit (26), atëherë duke e pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin e çdo thyese në anën e majtë me, ne e rishkruajmë atë në formën

Pasi kemi bërë një ndryshim të ndryshoreve, e rishkruajmë ekuacionin (27) në formë

Zgjidhja e ekuacionit (28) është dhe. Prandaj, ekuacioni (27) është ekuivalent me bashkësinë e ekuacioneve u. (29)

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve: n n n Zëvendësimi i ekuacionit h(f(x)) = h(g(x)) me ekuacionin f(x) = g(x) Faktorizimi. Prezantimi i një ndryshoreje të re. Metoda funksionale - grafike. Zgjedhja e rrënjës. Aplikimi i formulave Vieta.

Zëvendësimi i ekuacionit h(f(x)) = h(g(x)) me ekuacionin f(x) = g(x). Metoda mund të zbatohet vetëm kur y = h(x) është një funksion monoton që merr secilën nga vlerat e tij një herë. Nëse funksioni nuk është monoton, atëherë humbja e rrënjëve është e mundur.

Zgjidheni ekuacionin (3 x + 2)²³ = (5 x - 9)²³ y = x ²³ funksion në rritje, kështu që nga ekuacioni (3 x + 2)²³ = (5 x - 9)²³ mund të shkoni te ekuacioni 3 x + 2 \u003d 5 x - 9, nga ku gjejmë x \u003d 5.5. Përgjigja: 5.5.

Faktorizimi. Ekuacioni f(x)g(x)h(x) = 0 mund të zëvendësohet me bashkësinë e ekuacioneve f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0. Pasi të keni zgjidhur ekuacionet e këtij grupi, ju duhet të merrni ato rrënjë që i përkasin domenit të përkufizimit të ekuacionit origjinal dhe të hiqni pjesën tjetër si të jashtme.

Zgjidheni ekuacionin x³ - 7 x + 6 = 0 Duke përfaqësuar termin 7 x si x + 6 x, marrim në mënyrë sekuenciale: x³ - x - 6 x + 6 = 0 x(x² - 1) - 6(x - 1) = 0 x (x - 1) (x + 1) - 6 (x - 1) = 0 (x - 1) (x² + x - 6) = 0 Tani problemi është reduktuar në zgjidhjen e një grupi ekuacionesh x - 1 = 0; x² + x - 6 = 0. Përgjigje: 1, 2, - 3.

Prezantimi i një ndryshoreje të re. Nëse ekuacioni y(x) = 0 mund të transformohet në formën p(g(x)) = 0, atëherë duhet të prezantoni një ndryshore të re u = g(x), të zgjidhni ekuacionin p(u) = 0, dhe më pas zgjidh bashkësinë e ekuacioneve g( x) = u 1; g(x) = u2; …; g(x) = un , ku u 1, u 2, … , un janë rrënjët e ekuacionit p(u) = 0.

Zgjidhja e ekuacionit Një tipar i këtij ekuacioni është barazia e koeficientëve të anës së majtë të tij, në distancë të barabartë nga skajet e tij. Ekuacione të tilla quhen reciproke. Meqenëse 0 nuk është rrënja e këtij ekuacioni, pjesëtimi me x² jep

Le të prezantojmë një ndryshore të re Pastaj marrim një ekuacion kuadratik Pra, rrënja y 1 = - 1 mund të shpërfillet. Ne marrim përgjigjen: 2, 0, 5.

Zgjidheni ekuacionin 6(x² - 4)² + 5(x² - 4)(x² - 7 x +12) + (x² - 7 x + 12)² = 0 Ky ekuacion mund të zgjidhet si homogjen. Ndani të dyja anët e ekuacionit me (x² - 7 x +12)² (është e qartë se vlerat e x të tilla që x² - 7 x +12=0 nuk janë zgjidhje). Tani le të shënojmë Përgjigjen Ne kemi Nga këtu:

Metoda funksionale - grafike. Nëse njëri nga funksionet y \u003d f (x), y \u003d g (x) rritet dhe tjetri zvogëlohet, atëherë ekuacioni f (x) \u003d g (x) ose nuk ka rrënjë ose ka një rrënjë.

Zgjidheni ekuacionin Është mjaft e qartë se x = 2 është rrënja e ekuacionit. Le të vërtetojmë se kjo është rrënja e vetme. Ekuacionin e transformojmë në formën Vëmë re se funksioni është në rritje, dhe funksioni zvogëlohet. Pra, ekuacioni ka vetëm një rrënjë. Përgjigje: 2.

Zgjedhja e rrënjëve n n n Teorema 1: Nëse një numër i plotë m është një rrënjë e një polinomi me koeficientë të plotë, atëherë termi konstant i polinomit është i pjesëtueshëm me m. Teorema 2: Polinomi i reduktuar me koeficientë të plotë nuk ka rrënjë thyesore. Teorema 3: – ekuacioni me numër të plotë Le të koeficientët. Nëse numri dhe thyesa ku p dhe q janë numra të plotë është i pakalueshëm, është rrënja e ekuacionit, atëherë p është pjesëtuesi i termit të lirë an dhe q është pjesëtuesi i koeficientit në termin më të lartë a 0.

Teorema e Bezout. Mbetja kur pjesëtohet një polinom me një binom (x - a) është e barabartë me vlerën e polinomit të pjesëtueshëm në x = a. Pasojat e teoremës së Bezout n n n n Ndryshimi i fuqive identike të dy numrave është i pjesëtueshëm pa mbetje me diferencën e numrave të njëjtë; Dallimi i fuqive çift identike të dy numrave është i pjesëtueshëm pa mbetje si me ndryshimin e këtyre numrave ashtu edhe me shumën e tyre; Diferenca e fuqive tek identike të dy numrave nuk pjesëtohet me shumën e këtyre numrave; Shuma e fuqive të barabarta të dy jo-numrave është e pjesëtueshme me diferencën e këtyre numrave; Shuma e fuqive tek identike të dy numrave është e pjesëtueshme pa mbetje me shumën e këtyre numrave; Shuma e fuqive çift identike të dy numrave nuk pjesëtohet as me ndryshimin e këtyre numrave as me shumën e tyre; Polinomi është i pjesëtueshëm me binomin (x - a) nëse dhe vetëm nëse numri a është rrënja e këtij polinomi; Numri i rrënjëve të dallueshme të një polinomi jozero nuk është më shumë se shkalla e tij.

Zgjidheni ekuacionin x³ - 5 x² - x + 21 = 0 Polinomi x³ - 5 x² - x + 21 ka koeficientë të plotë. Sipas teoremës 1, rrënjët e tij të plota, nëse ka, janë ndër pjesëtuesit e termit të lirë: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Duke kontrolluar, sigurohemi që numri 3 të jetë rrënjë. Nga një përfundim i teoremës së Bezout, polinomi pjesëtohet me (x – 3). Kështu, x³ - 5 x² - x + 21 \u003d (x - 3) (x² - 2 x - 7). Përgjigje:

Zgjidheni ekuacionin 2 x³ - 5 x² - x + 1 = 0 Sipas teoremës 1, vetëm numrat ± 1 mund të jenë rrënjë të plota të ekuacionit. Kontrollimi tregon se këta numra nuk janë rrënjë. Meqenëse ekuacioni nuk është reduktuar, ai mund të ketë rrënjë racionale të pjesshme. Le t'i gjejmë ato. Për ta bërë këtë, shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me 4: 8 x³ - 20 x² - 4 x + 4 = 0 Duke zëvendësuar 2 x = t, marrim t³ - 5 t² - 2 t + 4 = 0. Nga Terem 2, të gjitha rrënjët racionale të këtij ekuacioni të reduktuar duhet të jenë të plota. Ato mund të gjenden midis pjesëtuesve të termit konstant: ± 1, ± 2, ± 4. Në këtë rast, t = - 1 është i përshtatshëm. Prandaj, polinomi 2 x³ - 5 x² - x + 1 pjesëtohet me (x + 0, 5 ): 2 x³ - 5 x² - x + 1 \u003d (x + 0, 5) (2 x² - 6 x + 2) Zgjidhja e ekuacionit kuadratik 2 x² - 6 x + 2 \u003d 0, gjejmë rrënjët e mbetura: Përgjigje:

Zgjidheni ekuacionin 6 x³ + x² - 11 x - 6 = 0 Sipas teoremës 3, rrënjët racionale të këtij ekuacioni duhet të kërkohen ndër numrat, duke i zëvendësuar një nga një në ekuacion, gjejmë se ato plotësojnë ekuacionin. Ata shterojnë të gjitha rrënjët e ekuacionit. Përgjigje:

Gjeni shumën e katrorëve të rrënjëve të ekuacionit x³ + 3 x² - 7 x +1 = 0 Nga teorema Vieta Vini re se nga

Specifikoni metodën me të cilën mund të zgjidhet secili prej këtyre ekuacioneve. Zgjidh ekuacionet #1, 4, 15, 17.

Përgjigje dhe udhëzime: 1. Prezantimi i një ndryshoreje të re. 2. Metoda funksionale – grafike. 3. Zëvendësimi i ekuacionit h(f(x)) = h(g(x)) me ekuacionin f(x) = g(x). 4. Faktorizimi. 5. Përzgjedhja e rrënjëve. 6 Metoda funksionale - grafike. 7. Zbatimi i formulave Vieta. 8. Përzgjedhja e rrënjëve. 9. Zëvendësimi i ekuacionit h(f(x)) = h(g(x)) me ekuacionin f(x) = g(x). 10. Prezantimi i një variabli të ri. 11. Faktorizimi. 12. Prezantimi i një ndryshoreje të re. 13. Përzgjedhja e rrënjëve. 14. Zbatimi i formulave Vieta. 15. Metoda funksionale – grafike. 16. Faktorizimi. 17. Prezantimi i një variabli të ri. 18. Faktorizimi.

1. Udhëzim. Shkruajeni ekuacionin si 4(x²+17 x+60)(x+16 x+60)=3 x², pjesëtoni të dyja anët me x². Fut variablin Përgjigje: x 1 = - 8; x 2 \u003d - 7, 5. 4. Indikacion. Shtoni 6 y dhe - 6 y në anën e majtë të ekuacionit dhe shkruajeni si (y³ - 2 y²) + (- 3 y² + 6 y) + (- 8 y + 16) = (y - 2)(y² - 3 vjeç - tetë). Përgjigje:

14. Udhëzim. Sipas teoremës së Vietës Meqenëse - janë numra të plotë, atëherë rrënjët e ekuacionit mund të jenë vetëm numrat - 1, - 2, - 3. Përgjigje: 15. Përgjigje: - 1. 17. Treguesi. Ndani të dyja anët e ekuacionit me x² dhe shkruajeni si Futni një ndryshore Përgjigje: 1; pesëmbëdhjetë; 2; 3.

Bibliografi. n n n Kolmogorov A. N. "Algjebra dhe fillimet e analizës, 10 - 11" (M.: Prosveshchenie, 2003). Bashmakov M. I. "Algjebra dhe fillimi i analizës, 10 - 11" (M.: Arsimi, 1993). Mordkovich A. G. "Algjebra dhe fillimi i analizës, 10 - 11" (M.: Mnemozina, 2003). Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M. et al. "Algjebra dhe fillimet e analizës, 10 - 11" (M.: Prosveshchenie, 2000). Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. "Koleksioni i problemeve në algjebër, 8 - 9" (M .: Edukimi, 1997). Karp A.P. "Koleksioni i problemeve në algjebër dhe fillimet e analizës, 10 - 11" (M .: Edukimi, 1999). Sharygin I. F. " Kurs fakultativ në matematikë, zgjidhje problemash, 10" (M.: Prosveshchenie. 1989). Skopets Z. A. "Kapituj shtesë në kursin e matematikës, 10" (M .: Arsimi, 1974). Litinsky G.I. "Mësime në matematikë" (Moskë: Aslan, 1994). Muravin G. K. “Ekuacionet, inekuacionet dhe sistemet e tyre” (Matematika, suplement i gazetës “I Shtatori i Parë”, Nr. 2, 3, 2003). Kolyagin Yu. M. "Polinomet dhe ekuacionet e gradave më të larta" (Matematika, shtojcë e gazetës "I pari i shtatorit", nr. 3, 2005).